FA5 Reinaldo MATLAB Parte 2 e 3(LGR)

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MATLAB – Parte 2
MATRIX LABORATORY ( PROF. REINALDO AZEVEDO)
Introdução
 O ‘MATRIX LABORATORY’ ou simplesmente MATLAB foi
criado no final dos anos 70 por Cleve Moler, na
universidade do Novo México, nos USA. O MATLAB foi
reescrito na linguagem ‘C’ por Moler, John ‘Jack’ Little
e Steve Bangert em 1984 na universidade de Stanford,
então fundaram a MathWorks.
Cleve Mooler: (Fonte: Wickipédia em 05/10/2016.)
Entrando com funções
 >> % 1º é preciso informar o MatLab que serão introduzidas variáveis 
'simbólicas', 't' e 's';
 >> % usando a função 'syms'
 >> syms t s
 >> f=1-2*exp(-3*t)+exp(-6*t)
 f =
 exp(-6*t) - 2*exp(-3*t) + 1
Entrando com funções
 >> F = laplace(f,t,s)
 F =
 1/(s + 6) - 2/(s + 3) + 1/s
 >> F2 = simplify(F)
 F2 =
 1/(s + 6) - 2/(s + 3) + 1/s
 >> % neste caso não houve simplificação
Entrando com funções
 >> pretty(F2)
 1 2 1
 ----- - ----- + -
 s + 6 s + 3 s
 >> % a função 'pretty' melhora a visualização da função
Entrando com funções
 >> syms t s
 >> f = -1.25 + 3.5*t*exp(-2*t) + 1.25*exp(-2*t)
 f =
 (5*exp(-2*t))/4 + (7*t*exp(-2*t))/2 - 5/4

 >> F = laplace(f,t,s)
 F =
 5/(4*(s + 2)) + 7/(2*(s + 2)^2) - 5/(4*s)
Entrando com funções
 >> F2 = simplify(F)
 F2 =
 (s - 5)/(s*(s + 2)^2)

 >> pretty(F2)
 s - 5
 ----------
 2
 s (s + 2)
Encontrar
as 
frações
parciais
Encontrando frações parciais
 >> % entrando com o polinômio do numerador
 >> num = [2 5 3 6]
 num =
 2 5 3 6
 >> % entrando com o polinômio do denominador
 >> den = [1 6 11 6]
 den =
 1 6 11 6
Encontrando frações parciais
 % para confirmar a função inserida pode-se usar a função 
‘tf(num,den)’
 >> tf(num,den)
 ans =
 2 s^3 + 5 s^2 + 3 s + 6
 -----------------------
 s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6
Encontrando frações parciais
 >> % aplicando a função 'residue' obtêm-se as frações parciais 
 >> % onde 'r' são os numeradores das frações, 'p' são os polos e 'k' é a 
constante (se houver).
 >> [r,p,k] = residue (num, den)
 r =
 -6.0000
 -4.0000
 3.0000
Encontrando frações parciais
 p =
 -3.0000
 -2.0000
 -1.0000
 k =
 2
Encontrando frações parciais
 >> % ou seja chegamos a função G:
 >> G=-6/(s+3)-4/(s+2)+3/(s+1)+2
 G =
 3/(s + 1) - 4/(s + 2) - 6/(s + 3) + 2

 >> % aplicando laplace inversa, 'ilaplace()', temos:
 >> g = ilaplace(G)
 g =
 3*exp(-t) - 4*exp(-2*t) - 6*exp(-3*t) + 2*dirac(t)
 >> % onde 'dirac(t)' é um impulso unitário.
Construção do Lugar Geométrico das 
Raízes (LGR)
 MATLAB_LGR_Nise, 6Ed, pg 319-320
 % Entrando com as equações de 1º grau do numerador:
 >> num1=[1 3]
 num1 =
 1 3
Construção do Lugar Geométrico das 
Raízes (LGR)
 >> num2=[1 4]
 num2 =
 1 4
 % Usar a função ‘conv()’ para fazer o produto das equações no 
numerador. Duas equações por vez.
 >> num=conv(num1,num2)
 num =
 1 7 12
Construção do Lugar Geométrico das 
Raízes (LGR)
 % Entrando com as equações de 1º grau do denominador:
 >> den1=[1 1]
 den1 =
 1 1
 >> den2=[1 2]
 den2 =
 1 2
Construção do Lugar Geométrico das 
Raízes (LGR)
 % Fazendo a multiplicação das equações do denominador:
 >> den=conv(den1,den2)
 den =
 1 3 2
Construção do Lugar Geométrico das 
Raízes (LGR)
 % Encontrando a função de transferência usando a função ‘tf()’ 
(de ‘transfer function’)
 >> sis=tf(num,den)
 sis =
 s^2 + 7 s + 12
 --------------
 s^2 + 3 s + 2

 Continuous-time transfer function.
Construção do Lugar Geométrico das 
Raízes (LGR)
 % Encontrando as raízes do numerador (os zeros) com a função 
‘roots()’:
 >> roots(num)
 ans =
 -4
 -3
 % Encontrando as raízes do denominador (os polos):
 >> roots(den)
 ans =
 -2
 -1
Construção do Lugar Geométrico das 
Raízes (LGR)
 % Encontrando o gráfico do Lugar Geométrico das Raízes usando 
a função ‘rlocus()’ (de ‘root locus’)
 >> rlocus(sis)
Gráfico do Lugar Geométrico das Raízes
Construção do Lugar Geométrico das 
Raízes (LGR)
 MATLAB_LGR_Nise, 6Ed, pg 323, Exemplo 8.2:
 Entrando com as equações de 1º grau do numerador:
 >> num=[1 3]
 num =
 1 3
Construção do Lugar Geométrico das 
Raízes (LGR)
 % Encontrando as raízes do numerador (os zeros) com a função 
‘roots()’:
 >> roots(num)
 ans =
 -3
 % Entrando com as equações de 1º grau do denominador:
 >> den1=[1 0]
 den1 =
 1 0
Construção do Lugar Geométrico das 
Raízes (LGR)
 >> den2=[1 1]
 den2 =
 1 1
 >> den3=[1 2]
 den3 =
 1 2
 >> den4=[1 4]
 den4 =
 1 4
Construção do Lugar Geométrico das 
Raízes (LGR)
 % Fazendo a multiplicação das equações do denominador:
 % Usar a função ‘conv()’ para cada duas equações.
 >> den12=conv(den1,den2)
 den12 =
 1 1 0
 >> den34=conv(den3,den4)
 den34 =
 1 6 8
 >> den=conv(den12,den34)
 den =
 1 7 14 8 0
Construção do Lugar Geométrico das 
Raízes (LGR)
 % Encontrando a função de transferência usando a função ‘tf()’ 
(de ‘transfer function’)
 >> sis=tf(num,den)
 sis =
 s + 3
 --------------------------
 s^4 + 7 s^3 + 14 s^2 + 8 s
 Continuous-time transfer function.
Construção do Lugar Geométrico das 
Raízes (LGR)
 % Encontrando o gráfico do Lugar Geométrico das Raízes usando 
a função ‘rlocus()’ (de ‘root locus’)
 >> rlocus(sis)
Gráfico do Lugar Geométrico das Raízes