Modelagem Solução de Equações Diferenciais

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MODELAGEM DE 
SISTEMAS DINÂMICOS
2. PROCESSO DE MODELAGEM MATEMÁTICA
Elaborado por Prof. Reinaldo Azevedo
Fluxograma de um projeto de engenharia
Um projeto de engenharia de controle nasce da necessidade de criar 
ou otimizar um processo. 
1-Estabelecer os objetivos de controle.
2-Identificar as variáveis a controlar.
3-Obter o modelo do processo.
4-Determinar o controlador e ajustar seus parâmetros.
5-Validar o projeto de controle.
Processo de modelagem matemática
Notamos que a obtenção do modelo do processo é uma das etapas 
fundamentais para um projeto de engenharia de controle (Ogata, 2010).
Um modelo é a aproximação ou simplificação de algo real, e pode ter 
significado físico ou matemático.
Outro ponto importante é que um modelo matemático não é único para 
um determinado sistema. Pode ser representado de várias formas 
diferentes dependendo do que se quer representar e das simplificações.
A modelagem matemática é um processo de descrição ou criação do 
conjunto de equações que regem a dinâmica do sistema.
Um sistema é a combinação de componentes que se interagem para 
conseguir determinado objetivo.
Fluxograma do processo de modelagem
1-Definição do problema.
2-Teoria e aplicações das leis fundamentais.
3-Simplificações ou aproximações.
4-Equacionamento.
5-Calibração e validação do modelo.
Processo de modelagem matemática
1-Definição do problema: Determinar o que deseja conhecer, suas 
causas e efeitos.
Qual variável que tenho no sistema para que se possa obter a 
resposta desejada, otimizando ou inovando meu processo?
Quais são as entradas e saídas do meu sistema?
Processo de modelagem matemática
2-Teoria e aplicações de leis fundamentais: Determinar quais as leis 
da física que regem seu sistema.
Lei de Ohm, Leis de Kirchhoff, Leis de Newton, Lei de conservação 
das massas.
3-Simplificações ou aproximações: São considerações e limitações 
feitas no sistema para simplificação do modelo. Quanto mais preciso 
for o sistema mais complexo fica o modelo podendo até inviabilizar a 
determinação do mesmo. 
Processo de modelagem matemática
4-Equacionamento: Descrição das equações que compõe e 
interagem em seu sistema dinâmico a ser modelado.
O número de variáveis deverá ser igual ao número de equações para 
temos uma solução matemática.
‘Um modelo é caracterizado por determinado número de variáveis e 
a solução matemática deverá ter o mesmo numero de equações’. 
Veja mais em: Felício, Luiz Carlos. Modelagem da dinâmica de 
sistemas e estudo da resposta. 2Ed. São Carlos: RiMa, 2010.
Processo de modelagem matemática
5-Calibração e validação: Nesta etapa são feitos testes que podem 
comparar o modelo com o sistema real, validando o modelo.
Processo de modelagem matemática
Exemplo: KLS-AMI (pg.14). 
Veja o circuito medidor de 
temperatura usando um 
termistor (tipo NTC):
Fig1.4: Divisor de tensão.
Processo de modelagem matemática
1. Definição do problema: A mudança de temperatura provoca a 
alteração do valor do Termistor que consequentemente varia a 
tensão no resistor R. Pode-se dizer que o sinal de entrada é a tensão 
(V) e a saída a tensão sobre o resistor (VR).
2. Teoria e aplicação das leis fundamentais: Lei de Kirchhoff.
3. Simplificações e aproximações: resistores e condutores ideais e 
condições iniciais nulas.
Processo de modelagem matemática
4. Equacionamento:
V = Vtermistor + VR
V = (Rtermistor + R).I
Portanto, 𝐼 =
𝑉
𝑅𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟+𝑅
Como, VR=R.I, temos:
𝑉𝑅 = 𝑅.
𝑉
𝑅𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟 + 𝑅
Situação-problema: Sistema massa-mola-
amortecedor viscoso
Situação-problema: Sistema massa-mola-
amortecedor viscoso
1. Definição do problema: a entrada é a força externa, fext(t), 
aplicada ao sistema gerada pelo impacto do pneu com o solo, e a 
saída o deslocamento, x(t), na massa
2. Teoria a aplicação das leis fundamentais: segunda Lei de Newton.
3. Simplificações e aproximações: Toda massa e as molas são ideais. 
Somente a força da mola e do amortecedor agem no sistema.
Situação-problema: Sistema massa-mola-
amortecedor viscoso
4. Equacionamento:
2ª Lei de Newton: F = m.a (Teorema fund. Dinâmica)
𝑓𝑒𝑥𝑡 𝑡 + 𝑓𝑎𝑚𝑜𝑟 𝑡 + 𝑓𝑚𝑜𝑙𝑎 𝑡 = 𝑚.
𝑑2.𝑥 𝑡
𝑑𝑡2
𝑓𝑚𝑜𝑙𝑎 𝑡 = −𝑘. 𝑥 𝑡 e 𝑓𝑎𝑚𝑜𝑟 𝑡 = −𝑏
𝑑.𝑥 𝑡
𝑑𝑡
O coeficiente de viscosidade ‘b’ é usualmente chamado ‘fv’
𝑓𝑒𝑥𝑡 𝑡 – 𝑏.
𝑑.𝑥 𝑡
𝑑𝑡
– 𝑘. 𝑥 𝑡 = 𝑚.
𝑑2.𝑥 𝑡
𝑑𝑡2
Situação-problema: Sistema massa-mola-
amortecedor viscoso
4. Equacionamento:
E finalmente teremos a equação diferencial do sistema.
𝑚.
𝑑2.𝑥 𝑡
𝑑𝑡2
+ 𝑏.
𝑑.𝑥 𝑡
𝑑𝑡
+ 𝑘. 𝑥 𝑡 = 𝑓𝑒𝑥𝑡 𝑡
Situação-problema: Sistema massa-mola-
amortecedor viscoso
5. Calibração e validação: Nesta etapa são realizados testes para 
certificação do modelo. No primeiro exemplo confirmação do valor 
ideal de R e na situação-problema o melhor valor de k, b e m.
Este assunto será abordado posteriormente com mais detalhes.