Transformada de Laplace

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EGCAS, EGMS e EGPS | Análise, Modelagem e Controle | 2017_1 
Transformada de Laplace 
DOMÍNIO DO TEMPO X DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 
Pierre-Simon-Laplace_(1749-1827) 
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Definição 
A transformada de Laplace de uma função f(t) (‘f’ em função de ‘t’, também pode ser representada em função 
de ‘x’; f(x)) é dada por: 
L {𝑓(𝑡)} = lim ∫ 𝑓(𝑡). 𝑒−𝑠𝑡. 𝑑𝑡 
Sendo a integral de ‘0’ (zero) até A com A ∞ e S>’0’ (zero); 
Para representar a Transformada de Laplace usa-se esta letra L (letra ‘ele’ maiúsculo em escrita ‘Kunstler 
Script’, ou similar, e a mesma letra elevada a -1, L- -1, para a Transformada Inversa). As funções são 
representadas por letras minúsculas, como: f(t), h(t), p(x), r(t), etc...E as funções depois da aplicação da 
transformada de Laplace são representadas por sua letra maiúscula e passam a ser função de ‘s’ como: 
F(s), H(s), P(s), R(s), e assim consecutivamente. 
Notação (exemplo): 
Para a Transformada: L {f(t)} = F(s); L {p(x)} = P(s); 
Para a Transformada Inversa: L -1 {F(s)} = f(t); L -1 {P(s)} = p(x); 
Função da Transformada de Laplace 
A Transformada de Laplace é usada principalmente como ferramenta na solução dos chamados ‘problemas 
de valor inicial’ (PVI) normalmente com equações diferenciais de elevado grau de dificuldade. 
Com a aplicação de Laplace nestas equações, elas se tornam equações lineares, no domínio de ‘s’, com 
solução por métodos algébricos mais simples, após solucionada esta nova equação, aplica-se a 
Transformada Inversa para retornar ao domínio inicial, com o problema inicial, portanto solucionado. 
Domínio de t Domínio de s 
PVI (Eq. Diferenciais)  L  Eq. Lineares 
 
Solução final  L -1  Solução (por métodos algébricos) 
 
Exemplo: Aplicar a Transformada de Laplace na função f(t)=1; 
Para f(t)=1, temos F(s) = L {f(t)}, ou seja, F(s) = L {1} 
F(s) =L {1} = lim ∫ 1. 𝑒−𝑠𝑡 . 𝑑𝑡, com t variando de 0 a ∞, resolvendo a integral vem: 
𝐹(𝑠) = lim 
1 𝑒−𝑠𝑡
−𝑠
, aplicando a definição de limite, fazemos a diferença da função para t∞ e para t=0; 
𝐹(𝑠) = 𝑙𝑖𝑚 (−
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
) (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 → ∞) − (−
𝑒−𝑠𝑡
𝑠
) (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0) 
 
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Vamos analisar a função exponencial: y=e-x 
 
Portanto para t∞, F(s)=0 e para t=0, F(s)=1 
Prosseguindo com a solução deste exemplo teremos: 
𝐹(𝑠) = 0 – (−
1
𝑠
)  𝐹(𝑠) =
1
𝑠
 
L {1} = 𝐹(𝑠) =
1
𝑠
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 
1) f(t) = 5𝑡 + 4𝑡2 − 8 
F(s) = L {f(t)} = L {5𝑡 + 4𝑡2 − 8 } 
F(s) = L {5𝑡} + L {4𝑡2} - L {8} 
F(s) = 5L {𝑡} + 4L {𝑡2} -8L {1} 
Usando tabelas de Transformadas de Laplace, vem: 
𝐹(𝑠) = 5. (
1
𝑠2
) + 4. (
2
𝑠3
) − 8. (
1
𝑠
) 
𝐹(𝑠) =
5
𝑠2
+
8
𝑠3
−
8
𝑠
 
 
2) 𝑓(𝑡) = 6𝑒5𝑡 + 𝑠𝑒𝑛(3𝑡)– 8 cos(9𝑡) 
F(s) = L {6𝑒5𝑡 + 𝑠𝑒𝑛(3𝑡)– 8 cos(9𝑡)} 
F(s) = L {6𝑒5𝑡} + L {𝑠𝑒𝑛(3𝑡)} - L {8 cos(9𝑡)} 
F(s) = 6L {𝑒5𝑡} + L {𝑠𝑒𝑛(3𝑡)} - 8L {cos(9𝑡)} 
𝐹(𝑠) = 6. (
1
𝑠 − 5
) +
3
𝑠2 + 32
– 8. (
𝑠
𝑠2 + 92
) 
𝐹(𝑠) =
6
𝑠 − 5
+
3
𝑠2 + 9 
–
8𝑠
𝑠2 + 81
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
3) 𝑓(𝑥) = 3 + 2𝑥2 
 
4) 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 
 
5) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2– 3𝑥 + 4 
 
6) 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑒4𝑡 
 
7) 𝑓(𝑡) = 𝑡𝑐𝑜𝑠5𝑡 
 
 
TABELA DE TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 Tabela de Transformadas de Laplace 
f(t) F(s)= L {f(t)}=



0
st dte f(t)
 
1 1 
s
1
 
2 tn ( n=1,2,...) 
1ns
!n

 
3 tp ( p>-1) 
1ps
)1p(


 
4 eat 
as
1

 
5 eattn ( n=1,2,...) 
1n)as(
!n

 
6 sin bt 
22 bs
b

 
7 cos bt 
22 bs
s

 
8 sinh bt 
22 bs
b

 
9 cosh bt 
22 bs
s

 
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10 eatsin bt 
22 b)as(
b

 
11 eatcos bt 
22 b)as(
as


 
12 u (t - c) 
s
e cs
 
13 u(t - c)f( t- c) 
)s(Fe cs
 
14 t sin at 
222 )as(
as2

 
15 t cos at 
222
22
)as(
as


 
16 sin at – at cos at 
222
3
)as(
a2

 
17 sin at + at cos at 
222
2
)as(
as2

 
18 
 
t
0
d)(g)t(f 
 F(s)G(s) 
19 
)ct( 
 e-cs 
20 
)t(f )n(
 
)0(f...)0(fs)s(Fs )1n(1nn  
 
21 tnf(t) 
)s(F)1( )n(n
 
22 f(t+T)=f(t) 
sT
T
0
st
e1
dte




 
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PROPRIEDADES 
Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace 
L {f +g}=L {f} + L {g} L -1{F +G}=L -1{F} + L -1{G} 
L {cf } = cL {f} L --1{cF }= cL -1{F} 
L {f ’}= sL {f}- f(0) L –1{F(s)}=





 
n
n
1
n
n
ds
)s(Fd
t
)1(
L
 
L {f ’’}= s2L {f}- sf(0) – f ’(0) L –1






s
)s(F =
 d)(f
t
0

 
L {f (n)}= snL {f} - sn-1f(0) - sn-2f’(0) - ... - f(n-1)(0) L -1 (F(s - a)) = eatf(t) 
L {eatf(t)}=F(s - a) 
 
L 
  )s(F
ds
d
)1()t(ft
n
n
nn 
 
L 
  






a
s
F
a
1
)at(f
 
L 
  gf
 L {f}L {g} 
L 
)s(F
s
1
d )(f
t
0







 
 
L 









s
d )(F
t
)t(f 
 
)0(f)s(sFlim
s


 
)(f)s(sFlim
0s

