2017 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 LISTA 1 ESTACIO.pdf

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 – LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
 
1. Dadas as funções vetoriais f⃗ (t) = 2i⃗ + t
3
j⃗ + 3t
2
k⃗ e 
g⃗ (t) = ti⃗ + k⃗ , e a escalar h(t) = t – 2, determine: 
a) f⃗ (t) + g⃗ (t) 
f⃗ (t) + g⃗ (t) = 2i⃗ + t
3
j⃗ + 3t
2
k⃗ + ti⃗ + k⃗ 
f⃗ (t) + g⃗ (t) = (2 + t)i⃗ + t
3
j⃗ + (3t
2
 + 1)k⃗ 
 
b) f⃗ (t) – 2g⃗ (t) 
f⃗ (t) – 2g⃗ (t) = 2i⃗ + t
3
j⃗ + 3t
2
k⃗ – 2 . (ti⃗ + k⃗ ) 
f⃗ (t) – 2g⃗ (t) = 2i⃗ + t
3
j⃗ + 3t
2
k⃗ – 2ti⃗ – 2k⃗ 
f⃗ (t) – 2g⃗ (t) = (2 – 2t)i⃗ + t
3
j⃗ + (3t
2
 – 2)k⃗ 
 
c) f⃗ (t) × g⃗ (t) 
f⃗ (t) × g⃗ (t) = (2i⃗ + t
3
j⃗ + 3t
2
k⃗ ) × (ti⃗ + k⃗ ) 
f⃗ (t) × g⃗ (t) = 0 + 2(– j⃗ ) + t
4
(– k⃗ ) + t
3
i⃗ + 3t
3
j⃗ + 0 
f⃗ (t) × g⃗ (t) = – 2j⃗ – t
4
k⃗ + t
3
i⃗ + 3t
3
j⃗ 
f⃗ (t) × g⃗ (t) = t
3
i⃗ + (– 2 + 3t
3
)j⃗ – t
4
k⃗ 
 
d) [h(t)f⃗ (t)] . g⃗ (t) 
[h(t)f⃗ (t)] . g⃗ (t) = [(t – 2) . (2i⃗ + t
3
j⃗ + 3t
2
k⃗ )] . (ti⃗ + k⃗ ) 
[h(t)f⃗ (t)] . g⃗ (t) = [(2t – 4)i⃗ + (t
4
 – 2t
3
)j⃗ + (3t
3
 – 6t
2
)k⃗ ] . 
(ti⃗ + k⃗ ) 
[h(t)f⃗ (t)] . g⃗ (t) = (2t – 4) . t + (3t
3
 – 6t
2
) . 1 
[h(t)f⃗ (t)] . g⃗ (t) = 2t
2
 – 4t + 3t
3
 – 6t
2
 
[h(t)f⃗ (t)] . g⃗ (t) = 3t
3
 – 4t
2
 – 4t 
 
2. O limite de uma função vetorial r⃗ (t) = (1 + t
3
)i⃗ + e
– t
j⃗ + 
cos(t)k⃗ é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, calcule o limite da função: limt  0 r⃗ (t). 
limt  0 r⃗ (t) = limt  0 [(1 + t
3
)i⃗ + e
– t
j⃗ + cos(t)k⃗ ] 
limt  0 r⃗ (t) = (1 + 0
3
)i⃗ + e
– 0
j⃗ + cos(0)k⃗ = (1 + 0)i⃗ + 1j⃗ + 1k⃗ 
limt  0 r⃗ (t) = i⃗ + j⃗ + k⃗ 
 
3. Encontre limt  3 [3t
2
i⃗ ̶ (2e
2t
 ̶ 1)j⃗ ̶ cos(πt)k⃗ ] 
limt  3 [3t
2
i⃗ ̶ (2e
2t
 ̶ 1)j⃗ ̶ cos(πt)k⃗ ] = 3 . 3
2
i⃗ – (2e
2 . 3
 – 
1)j⃗ – cos(π . 3)k⃗ = 3 . 9i⃗ – (2e
6
 – 1)j⃗ – cos(3π)k⃗ 
limt  3 [3t
2
i⃗ ̶ (2e
2t
 ̶ 1)j⃗ ̶ cos(πt)k⃗ ] = 27i⃗ – (2 . 403,43 – 1)j⃗ 
– (– 1)k⃗ = 27i⃗ – (806,86 – 1)j⃗ + 1k⃗ 
limt  3 [3t
2
i⃗ ̶ (2e
2t
 ̶ 1)j⃗ ̶ cos(πt)k⃗ ] = 27i⃗ – 805,86j⃗ + k⃗ 
 
4. Se r⃗ (t) = 2cos(t)i⃗ + sen(t)j⃗ + 2tk⃗ , encontre ∫ r⃗ 
 π 
4
0
(t)d(t). 
∫ r⃗ 
 π 
4
0
(t)dt = ∫ [2cos(t)i⃗ + sen(t)j⃗ + 2tk⃗ ]
 π 
4
0
d(t) 
∫ r⃗ 
 π 
4
0
(t)dt = [2sen(t)i⃗ ̶ cos(t)j⃗ + 
 2t2
2 k⃗
 ]|
 π 
4
0
 
∫ r⃗ 
 π 
4
0
(t)dt = [2sen (
π
 4 ) i⃗
 ̶ cos (
π
 4 ) j⃗
 + (
π
 4 )
2
k⃗ ] – [2sen(0)i⃗ – 
cos(0)j⃗ + 0k⃗ ] 
∫ r⃗ 
 π 
4
0
(t)dt = [2 . 
 √2 
 2 i⃗
 ̶ 
 √2 
 2 j⃗
 + 
 π2
 4 k⃗
 ] – [2 . 0i⃗ – 1j⃗ ] 
∫ r⃗ 
 π 
4
0
(t)dt = [√2 i⃗ ̶ 
 √2 
 2 j⃗
 + 
 π2
 4 k⃗
 ] – [0i⃗ – j⃗ ] 
∫ r⃗ 
 π 
4
0
(t)dt = √2 i⃗ – 
 √2 
 2 j⃗
 + 
 π2
 4 k⃗
 – [– j⃗ ] = √2 i⃗ – 
 √2 
 2 j⃗
 + 
 π2
 4 k⃗
 + 
j⃗ 
∫ r⃗ 
 π 
4
0
(t)dt = √2 i⃗ + (1 – 
 √2 
 2 ) j⃗
 + 
 π2
 4 k⃗
 
 
5. Considerando que a equação abaixo define y como uma função 
diferenciável de x, use a diferenciação implícita para 
encontrar o valor de 
 dy 
dx
 no ponto dado. 
x
3
 – 2y
2
 + xy = 0, ponto (1,1). 
 x
3
 – 2y
2
 + xy = 0 
3x
2
 – 4y
 dy 
dx
 + x
 dy 
dx
 = 0 
– 4y
 dy 
dx
 + x
 dy 
dx
 = – 3x
2
 . (– 1)
 
4y
 dy 
dx
 – x
 dy 
dx
 = 3x
2 
(4y – x)
 dy 
dx
 = 3x
2
 
 dy 
dx
 = 
 3x2
 4y ̶ x 
 dy 
dx
 = 
 3 . 12
 4 . 1 ̶ 1 
 dy 
dx
 = 
 3 . 1
 4 ̶ 1 = 
 3
 3 
 
 dy 
dx
 = 1 
 
 
6. Calcule a derivada das funções vetoriais abaixo: 
a) r⃗ (t) = (t
3
 – t
2
)i⃗ + sen(1 – t)j⃗ + √t k⃗ 
 dr⃗⃗⃗ (t) 
dt
 = (3t
2
 – 2t)i⃗ + (0 – 1)cos(1 – t)j⃗ + 
 1 
2 t
 ̶ 1 2 k⃗ 
 dr⃗⃗⃗ (t) 
dt
 = (3t
2
 – 2t)i⃗ – cos(1 – t)j⃗ + 
 1 
 2√t 
 k⃗ 
 
b) r⃗ (t) = cos(3t)i⃗ + tj⃗ + sen(3t)k⃗ 
 dr⃗⃗⃗ (t) 
dt
 = – 3sen(3t)i⃗ + j⃗ + 3cos(3t)k⃗ 
 
c) r⃗ (t) = (1 + t
2
, te
– t
, cos(2t)) 
 dr⃗⃗⃗ (t) 
dt
 = (0 + 2t, te
– t
 . (– 1), – 2sen(2t)) 
 dr⃗⃗⃗ (t) 
dt
 = (2t, – te
– t
, – 2sen(2t)) 
 
7. Verifique se a função vetorial r⃗ (t) = (
 t 
 2 , 
 cos(2t) 
 t , 
 4 ̶ t2 
 2 ̶ t ) 
é contínua no ponto t = 1. 
limt  1 r⃗ (t) = limt  1 [(
 t 
 2 , 
 cos(2t) 
 t , 
 4 ̶ t2 
 2 ̶ t )] 
limt  1 r⃗ (t) = (
 1 
 2 , 
 cos(2 . 1) 
 t , 
 4 ̶ 12 
 2 ̶ 1 ) 
limt  1 r⃗ (t) = (
 1 
 2 , 
 cos(2) 
 1 , 
 4 ̶ 1 
 1 ) = (
 1 
 2 , cos(2), 
 3 
 1 ) 
limt  1 r⃗ (t) = (
 1 
 2 , cos(2), 3) 
 
8. Encontre a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto 
P(1, 1, 1) e é paralela ao eixo x. 
xp = 1, yp = 1, zp = 1 e v⃗ = (1, 0, 0) é paralelo ao eixo x: 
x = xp + t . v1 
x = 1 + t . 1 
x = 1 + t 
 y = yp + t . v2 
y = 1 + t . 0 
y = 1 
 z = zp + t . v3 
z = 1 + t . 0 
z = 1 
 
 
 
{
x = 1 + t
 y = 1 
z = 1 
 
 
9. Encontre um vetor normal à curva r⃗ (t) = (e
t
cos t)i⃗ + (e
t
sen t)j⃗ 
+ 2k⃗ . 
 dr⃗⃗⃗ (t) 
dt
 = (e
t
cos t – e
t
sen t)i⃗ + (e
t
sen t + e
t
cos t)j⃗ + 0k⃗ 
 dr⃗⃗⃗ (t) 
dt
 = e
t
(cos t – sen t)i⃗ + e
t
(sen t + cos t)j⃗ 
 
10. Encontre um vetor normal à curva r⃗ (t) = (sen t – cos t)i⃗ + 
(cos t + sen t)j⃗ + 6k⃗ . 
 dr⃗⃗⃗ (t) 
dt
 = [cos t – (– sen t)]i⃗ + [cos t + (– sen t)]j⃗ + 0k⃗ 
 dr⃗⃗⃗ (t) 
dt
 = (cos t + sen t)i⃗ + e
t
(cos t – sen t)j⃗ 
 
11. Determine o comprimento de arco da ciclóide r⃗ (t) = 
(5sen(t), – 5cos(t)) entre t = 0 e t = 2π. 
x = 5sen(t) e y = – 5cos(t): 
 dx 
dt
 = 5cos(t) 
 dy 
dt
 = – 5[– cos(t)] = 5sen(t) 
L = ∫ √(
 dx 
dt
)
2
 + (
 dy 
dt
)
2
2π
0 dt = ∫
√[5cos (t)]2 + [5sen (t)]2
2π
0 dt 
L = ∫ √25cos2(t) + 25sen2(t)
2π
0 dt = ∫ √25[cos
2(t) + sen2(t)]
2π
0 dt 
L = ∫ √25 . 1
2π
0 dt = ∫ √25
2π
0 dt = ∫ 5
2π
0 dt = 5t|
2π
0
 = 5 . (2π – 0) 
L = 5 . 2π 
L = 10π 
 
12. Encontre a curvatura e o vetor normal unitário para o 
movimento circular: r⃗ (t) = (cos 2t)i⃗ + (sen 2t)j⃗ . 
Curvatura (κ): 
v⃗ = 
 dr⃗⃗⃗ 
dt
 = (– 2sen 2t)i⃗ + (2cos 2t)j⃗ 
 
|v⃗ | = √(2sen 2t)2 + (2cos 2t)2 = √4sen2 2t + 4cos2 2t 
|v⃗ | = √4 . (sen2 2t + cos2 2t) = √4 . 1 = √4 = 2 
 
T⃗ = 
v⃗⃗⃗ 
 |v⃗⃗⃗ | 
 = 
 ( ̶ 2sen 2t)i⃗⃗⃗ + (2cos 2t)j⃗⃗⃗ 
 2 = (– sen 2t)i⃗
 + (cos 2t)j⃗ 
 
 dT⃗⃗⃗ 
dt
 = (– 2cos 2t)i⃗ + (– 2sen 2t)j⃗ 
 
|
 dT⃗⃗⃗ 
dt
| = √(2cos 2t)2 + (2sen 2t)2 = √4cos2 2t + 4sen2 2t 
|
 dT⃗⃗⃗ 
dt
| = √4 . (cos2 2t + sen2 2t) = √4 . 1 = √4 = 2 
 
κ = 
1
 |v⃗⃗⃗ | 
 . |
 dT⃗⃗⃗ 
dt
| = 
1
 2 . 2 = 
2
 2 
κ = 1 
 
 
Vetor normal (N⃗ ): 
N⃗ = 
 dT⃗⃗⃗⃗ 
dt
 |
 dT⃗⃗⃗⃗ 
dt
| 
 = 
 ( ̶ 2cos 2t)i⃗⃗⃗ + ( ̶ 2sen 2t)j⃗⃗⃗ 
 2 
N⃗ = (– cos 2t)i⃗ + (– sen 2t)j⃗ 
 
13. Seja r⃗ (t) = (2ln(t + 1))i⃗ + t
2
j⃗ + 
 t2
 2 k⃗
 o vetor posição de 
uma partícula no espaço no instante t, pede-se: 
a) Os vetores velocidade e aceleração da partícula; 
Vetor velocidade (v⃗ ): 
v⃗ = 
 dr⃗⃗⃗ 
dt
 = 2 . 
 1 + 0 
 t + 1 i⃗
 + 2tj⃗ + 
 2t 
 2 k⃗
 = 2 . 
1
 t + 1 i⃗
 + 2tj⃗ + tk⃗ 
v⃗ = 
2
 t + 1 i⃗
 + 2tj⃗ + tk⃗ 
 
Vetor aceleração (a⃗ ): 
a⃗ = 
 dv⃗⃗⃗ 
dt
 = – 2 . (t + 1)
– 2
 . (1 + 0)i⃗ + 2j⃗ + 1k⃗ 
a⃗ = – 2 . 
1
 (t + 1)
2
 
 . 1i⃗ + 2j⃗ + k⃗ 
 
 
b) O módulo da velocidade da partícula; 
|v⃗ | = √(
2
 t + 1 )
2
 + (2t)2 + (t)2 = √
4
 (t + 1)
2
 
 + 4t2 + t2 
|v⃗ | = √
4
 (t +1)
2
 
 + 5t2 
 
 
 
 
 
a⃗ = – 
2
 (t + 1)
2
 
i⃗ + 2j⃗ + k⃗ 
c) A direção do movimento da partícula em t = 1; 
A direção do movimento da partícula é definida pelos ângulos θ 
e φ: 
v⃗ = 
2
 t + 1 i⃗
 + 2tj⃗ + tk⃗ = 
2
 1 + 1 i⃗
 + 2 . 1j⃗ + 1k⃗ = 
2
 2 i⃗
 + 2j⃗ + 1k⃗ 
v⃗ = i⃗ + 2j⃗ + 1k⃗  v⃗ x = 1; v⃗ y = 2 e v⃗ z = 1: 
θ = tg
– 1
 
v⃗⃗⃗ y
 v⃗⃗⃗ x 
 = tg
– 1
 
2
 1 = tg
– 1
 2 
θ = 63,43° 
 
|v⃗ | = √v⃗ x
2
 + v⃗ y
2
 + v⃗ z
2
 = √12 + 22 + 12 = √1 + 2 + 1 = √6 
φ = cos
– 1
 
v⃗⃗⃗ z
 |v⃗⃗⃗ | 
 = cos
– 1
 
1
 √6 
 = cos
– 1
 0,4082 
φ = 65,91° 
 
d) A velocidade da partícula em t = 1; 
v⃗ = 
2
 t + 1 i⃗
 + 2tj⃗ + tk⃗ = 
2
 1 + 1 i⃗
 + 2 . 1j⃗ + 1k⃗ = 
2
 2 i⃗
 + 2j⃗ + 1k⃗ 
v⃗ = i⃗ + 2j⃗ + k⃗ 
 
e) O vetor tangente unitário em t = 1. 
T⃗ = 
v⃗⃗⃗ 
 |v⃗⃗⃗ | 
 
T⃗ = 
 i⃗⃗⃗ + 2i⃗⃗⃗ + k⃗⃗⃗ 
 √6 
 
 
14. No instante t, a posição de uma partícula no espaço é dada 
por: x(t) = 3t
2
; y(t) = 3t
 3 
2 ; z(t) = t
 1 
2 . 
a) Escreva a função vetorial que nos dá a trajetória da 
partícula; 
r⃗ (t) = x(t)i⃗ + y(t)j⃗ + z(t)k⃗ 
r⃗ (t) = 3t
2
i⃗ + 3t
 3 
2 j⃗ + t
 1 
2 k⃗ 
 
 
b) Determine a posição e a velocidade quando t = 4 s. 
Posição (r⃗ ): 
r⃗ = 3t
2
i⃗ + 3t
 3 
2 j⃗ + t
 1 
2 k⃗ = 3 . 4
2
i⃗ + 3 . 4
 3 
2 j⃗ + 4
 1 
2 k⃗ 
r⃗ = 3 . 16i⃗ + 3 . 8j⃗ + 2k⃗ 
r⃗ = (48i⃗ + 24j⃗ + 2k⃗ ) m 
 
 
Velocidade (v⃗ ): 
v⃗ = 
 dr⃗⃗⃗ 
dt
 = 6ti⃗ + 
 9 
 2 t
 1 
2 j⃗ + 
 1 
 2 t
 ̶ 1 2 k⃗ 
v⃗ = 6 . 4i⃗ + 
 9 
 2 . 4
 1 
2 j⃗ + 
 1 
 2 . 4
 ̶ 1 2 k⃗ = 24i⃗ + 
 9 
 2 . 2j⃗
 + 
 1 
 2 . 
 1 
 2 k⃗
 
v⃗ = (24i⃗ + 9j⃗ + 
 1 
 4 k⃗
 ) m/s 
 
15. Determine as equações paramétricas da reta r que passa 
pelos pontos A(1, – 1, 4) e B(2, 3, 2). 
v⃗ = B – A = (2, 3, 2) – (1, – 1, 4) = (2 – 1, 3 + 1, 2 – 4) 
v⃗ = (1, 4, – 2) 
 
x = xA + t . v1 
x = 1 + t . 1 
x = 1 + t 
 y = yA + t . v2 
y = – 1 + t . 4 
y = – 1 + 4t 
 z = zA + t . v3 
z = 4 + t . (– 2) 
z = 4 – 2t 
 
 
 
{
x = 1 + t 
 y = ̶ 1 + 4t
z = 4 ̶ 2t 
 
 
16. Elimine o parâmetro t para encontrar uma equação 
cartesiana da curva: x = 3t – 5 e y = 2t + 1. 
Isolando o parâmetro t 
da 1ª equação, temos: 
x = 3t – 5 
3t – 5 = x 
3t = x + 5 
t = 
 x + 5 
3 
 Substituindo o parâmetro t na 2ª 
equação, temos: 
y = 2t + 1 = 2 . 
 x + 5 
3 + 1 = 
 2x + 10 
3 + 1 
y = 
 2x + 10 + 3 
3 = 
 2x + 13 
3 
A equação cartesiana é: 
y = 
 2 
3 x + 
 13 
3 
 
17. Encontre uma equação paramétrica para a reta y + 3 = 2 – x. 
y + 3 = 2 – x 
y + 3 = – (x – 2) 
 y + 3 
1 = 
 x ̶ 2 
 ̶ 1 
 x ̶ 2 
 ̶ 1 = t 
x – 2 = t . (– 1) 
x – 2 = – t 
x = 2 – t 
 y + 3 
1 = t 
y + 3 = t . 1 
y + 3 = t 
y = – 3 + t 
 
 
 
{
x = 2 ̶ t 
 y = ̶ 3 + t
 
 
18. Substitua as equações polares a seguir por equações 
cartesianas e identifique os gráficos correspondentes. 
a) rcos θ = – 4 
Equação cartesiana: 
x = rcos θ: 
rcos θ = – 4 
 Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
x = – 4 
 
 
b) r
2
 = 4rcos θ 
Equação cartesiana: 
x = rcos θ e r
2
 = x
2
 + y
2
: 
r
2
 = 4rcos θ 
x
2
 + y
2
 = 4x 
 Centro C e raio r da circunferência: 
m = – 4, n = 0 e k = 0: 
a = – 
 m 
 2 = – 
 ( ̶ 4) 
 2 = 2 
b = – 
 n 
 2 = – 
 0 
 2 = 0 C(2, 0) 
 
r = √a2 + b2 ̶ k = √22 + 02 ̶ 0 
r = √4 + 0 ̶ 0 = √4 = 2 
x
2
 + y
2
 – 4x = 0 
 
y 
– 4 x 0 – 3 – 2 – 1 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) r = 
 4 
 2cos θ ̶ sen θ 
 
Equação cartesiana: 
x = rcos θ e y = rsen θ: 
r = 
 4 
 2cos θ ̶ sen θ 
r(2cos θ – sen θ) = 4 
2rcos θ – rsen θ = 4 
2x – y = 4 
2x – 4 = y 
 Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = 2x – 4 
 
 
19. Quais pares de coordenadas polares representam o mesmo 
ponto? Justifique as suas respostas. 
a) (3, 0); b) (− 3, 0); c) (2, 
 2π 
3 ); d) (2, 
 7π 
3 ); 
e) (− 3, π); f) (2, 
 π 
3 ); 
g) (− 3, 2π); h) ( ̶ 2, ̶ 
 π 
3 ). 
 
 
y 
x 0 
1 
– 4 
– 3 
– 2 
– 1 
y 
1 x 0 
C 
2 
r = 2 
a) (3, 0)  r = 3 e θ = 0: 
x = rcos θ = 3cos 0 = 3 . 1 
x = 3 
 y = rsen θ = 3sen 0 = 3 . 0 
y = 0 
 
 (3, 0) 
 
b) (– 3, 0) = (3, 0 + π) = (3, π)  r = 3 e θ = π: 
x = rcos θ = 3cos π 
x = 3 . (– 1) 
x = – 3 
 y = rsen θ = 3sen π = 3 . 0 
y = 0 
 
 (– 3, 0) 
 
c) (2, 
 2π 
3 )  r = 2 e θ = 
 2π 
3 : 
x = rcos θ = 2cos 
 2π 
3 
x = 2 . (– 0,5) 
x = – 1 
 y = rsen θ = 2sen 
 2π 
3 
y = 2 . 
 √3 
 2 
 
y = √3 
 
 (– 1, √3) 
 
d) (2, 
 7π 
3 )  r = 2 e θ = 
 7π 
3 : 
x = rcos θ = 2cos 
 7π 
3 
x = 2 . 0,5 
x = 1 
 y = rsen θ = 2sen 
 7π 
3 
y = 2 . 
 √3 
 2 
 
y = √3 
 
 (1, √3) 
 
 
 
e) (– 3, π) = (3, π + π) = (3, 2π)  r = 3 e θ = 2π: 
x = rcos θ = 3cos 2π = 3 . 1 
x = 3 
 y = rsen θ = 3sen 2π = 3 . 0 
y = 0 
 
 (3, 0) 
 
f) (2, 
 π 
3 )  r = 2 e θ = 
 π 
3 : 
x = rcos θ = 2cos 
 π 
3 
x = 2 . 0,5 
x = 1 
 y = rsen θ = 2sen 
 π 
3 
y = 2 . 
 √3 
 2 
 
y = √3 
 
 (1, √3) 
 
g) (– 3, 2π) = (3, 2π + π) = (3, 3π)  r = 3 e θ = 3π: 
x = rcos θ = 3cos 3π 
x = 3 . (– 1) 
x = – 3 
 y = rsen θ = 3sen 3π = 3 . 0 
y = 0 
 
 (– 3, 0) 
 
h) ( ̶ 2, ̶ 
 π 
3 ) = (2, ̶ 
 π 
3 + π) = (2, 
 2π 
3 )  r = 2 e θ = 
 2π 
3 : 
x = rcos θ = 2cos 
 2π 
3 
x = 2 . (– 0,5) 
x = – 1 
 y = rsen θ = 2sen 
 2π 
3 
y = 2 . 
 √3 
 2 
 
y = √3 
 
 (– 1, √3) 
 
 
 
 Os pares de coordenadas polares (3, 0) e (– 3, π) 
representam o mesmo ponto (3, 0). 
Os pares de coordenadas polares (– 3, 0) e (– 3, 2π) 
representam o mesmo ponto (– 3, 0). 
Os pares de coordenadas polares (2, 
 2π 
3 ) e ( ̶ 2, ̶ 
 π 
3 ) 
representam o mesmo ponto (– 1, √3). 
Os pares de coordenadas polares (2, 
 7π 
3 ) e (2, 
 π 
3 ) 
representam o mesmo ponto (1, √3). 
 
20. Encontre as coordenadas cartesianas do ponto cujas 
coordenadas polares são ( ̶ 4, 
 7π 
6 ). 
( ̶ 4, 
 7π 
6 ) = (4, 
 7π 
6 + π) = (4, 
 13π 
6 )  r = 4 e θ = 
 13π 
6 : 
x = rcos θ = 4cos 
 13π 
6 
x = 4 . 
 √3 
 2 
 
x = 2√3 
 y = rsen θ = 4sen 
 13π 
6 
y = 4 . 0,5 
y = 2 
 
 As coordenadas cartesianas são x = 2√3 e y = 2.