Campo Eléctrico - Teoria

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1
 
 
 
 
 
 
ELECTROMAGNETISMO E ÓPTICA 
 
ELECTROESTATICA 
 
JOSÉ MANUEL SALGUEIRO GOMES FERREIRA 
JOSÉ MANUEL MARQUES MARTINS DE ALMEIDA 
 
 
 
Departamento de Física 
UTAD 
Vila Real 
 2
CAMPO ELÉCTRICO 
LEI CONSERVAÇÃO CARGA: 
Carga eléctrica total num sistema isolado permanece constante 
1. LEI DE COULOMB 
 
1) Sistemas de 2 cargas 
 
 
   
 
 
 
1 2
21 1 2
2 2
1 2 2
0
, : Cargas 1 e 2 Coulombs
: Vector dirigido de para etros
; Força total sobre Newtons
: Permitividade no vazio
q C q C C
r m q q m m
F N q N
N m C  




 
 
1 2 1 2
2 21 213 2
0 21 0 21
1 1 ˆ
4 4
q q q qF r r
r r   
 
 
 
(Nota: 9 2 2
0
1 9 10
4
Nm C
 
  ) 
21r
 
2q + 
1q 
2F

 
 3
2) Sistemas de 1N  cargas 
 
   
 
 
 
0
0 0
1 2
0
: carga 1, 2, ,
: 
: Força total sobre carga , devida
 às cargas , , ,
: Vector dirigido da carga para a carga 0
j
N
j
q C j j N
q C
F N q
q q q
r m j
 



 
 
0
0 01 02 0 0 03
1 0 0
1
4
N
j
j N j
j j
q q
F F F F F r
r 
      
       
ojr
 
0F

 
Nq 
2q 
3q 
1q 
0q 
jq 
 4
2. ENERGIA POTENCIAL ELÉCTRICA 
► Trabalho   JoulesU J J  
Realizado para trazer cargas    1 2 e q C q C do infinito até à distância  12r m é: 
 
1 2
0 12
1
4
q qU
r 
 
► Trabalho  U J realizado para trazer três cargas,      1 2 3, e q C q C q C , do infinito até à 
configuração abaixo é: 
 
1 3 2 31 2
0 12 0 13 0 23
1 1 1
4 4 4
q q q qq qU
r r r     
   
 
● Também se pode escrever, 
 
1 3 2 3 3 1 3 21 2 2 1
0 12 0 13 0 21 0 23 0 31 0 32
3
1 0
1 1 1 1 1 1 1
2 4 4 4 4 4 4
1 1
2 4
j k
j k j jk
q q q q q q q qq q q qU
r r r r r r
q q
U
r
           
  
 
      
 
  
 
► Da mesma forma, trabalho  U J realizado para trazer N cargas desde o infinito até 
uma dada configurauração em que cada par de cargas e j kq q esta separado por uma 
distância jkr é: 
10
1 1
2 4
N
j k
j k j jk
q q
U
r   
   
1q 
2q 
 12r m 
2q 
3q 
1q 13r 
12r 
23r 
 5
CAMPO ELÉCTRICO 
► Já se viu que a força exercida sobre a carga 0q devido à presença das cargas 1 2, , , Nq q q 
é: 
 00 0 0 0 03 3
1 10 0 0 0
1 1 . , ,
4 4
N N
j j
j j
j jj j
q q q
F r q r q E x y z
r r    
 
   
  
 
  
 
● Em que: 
  03
10 0
1, ,
4
N
j
j
j j
q
E x y z r
r  
 
 
 
 
é o campo eléctrico no ponto 0 de coordenadas  , ,x y z devido à presença das cargas 
1 2, , , Nq q q . 
 
► Se tivermos apenas 1 carga  1N  , o campo eléctrico vem:   1 013
0 01
1, ,
4
qE x y z r
r 

 
 
 
Unidades de 1 2 1: ou quilograma e s segundosE NC kg m s C kg    

 
E

 
01r
 
1q 
 , ,x y z 
O 
z 
y 
x 
(Para 1 0,q E

 tem o 
mesmo sentido de 01r
 ) 
x 
y 
z 
E

 
 0 , ,x y z 
0 jr
 
jq 
Nq 
2q 
1q 
 6
● Direcção e Sentido 
 
i) 
 
ii) 
 
● Sendo a carga de prova , se a carga criadora for  a força tem sentido oposto a carga 
criadora e se esta for ⊖ a força será o sentido oposto (no entanto a força tem sempre o 
sentido do campo eléctrico). 
 
● Assim, a intensidade, o sentido e a direcção do campo eléctrico só dependem do valor da 
carga criadora: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Q 
q 
F

 E

 
q 
Q 
F

 
E

 
+ Q 
uˆ E

 
r 
P 
2 ˆe
QE k u
r


 
(campo divergente da carga) 
- Q 
uˆ 
E

 
r 
P 
2 ˆe
QE k u
r


 
(campo convergente para a carga) 
 7
► Linhas de força ou Linhas de Campo 
Para especificar, num determinado ponto, o campo eléctrico usam-se vectores para indicar a 
sua direcção, sentido e intensidade. 
 
Uma outra maneira de representar o campo eléctrico utiliza linhas de força. Para cargas 
pontuais o campo será representado da seguinte maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O campo eléctrico num ponto é tangente à linha de campo nesse ponto. 
+ - 
E

  
 8
3. CAMPO ELÉCTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGA 
 
 3m C  ; Densidade volumétrica de carga (carga eléctrica por unidade de volume). 
 
 , ,x y z     , isto é,  varia ou pode variar de ponto para ponto. 
 
V: Volume  3m que contém toda a carga da distribuição 
 
 
 
Carga no interior do cubo infinitesimal: .dq dx dy dz    
 
Q: Carga Total em V 
  3
0
1, ,
4
dqdE x y z r
r 

 
 
 
 
   3 3
0 0
, ,1 1, ,
4 4Q V
x y z dx dy dzdqE x y z r r
r r

   
     
  
  
 
y 
x 
z 
E

 
 , ,x y z r 
x x 
 , ,x y z   
dx 
dz 
dy 
V 
 
     2 2 2
, ,r x x y y z z
r x x y y z z
     
       

 
 9
4. Lei de Gauss 
► Considere-se uma região delimitada pela superfície fechada S, no interior da qual 
existe carga (zona ponteada) total  intQ C : 
 
 
 
 2da m : Vector-área infinitesimal (é perpendicular a S em cada ponto de S e aponta 
para fora) 
 
 1E NC : Vector campo eléctrico em cada ponto da superfície Gaussiana S. 
 
► Lei de Gauss: 
int
0
.
S
QE da


 
 
 
1) Lei de Gauss para uma distribuição discreta de cargas 1 2, , , , ,i Nq q q q  contidas em S: 
 
int
1 10
1; .
N N
i iS
i i
Q q E da q
 
   
 
 
 
E

 
da 
S
da S 
 2S m 
 10
2) Lei Gauss para uma distribuição contínua de carga no interior de S, caracterizada por 
densidade volumétrica de carga  , ,x y z    
 
int
0
1; . ,
V S V
Q dv E da dv 

   
 
 
 
onde  3V m : volume onde existe carga interior a S 
 
dv : elemento de volume infinitesimal 
 
 
► Para além da densidade volumétrica de carga  3.C m  , também se usam: 
 1 :m C  densidade linear de carga, i.e. carga por unidade de comprimento. 
 2 :m C  densidade superficial carga, i.e. carga por unidade de superfície. 
 11
► Exercício 
Demonstrar que: 
 
● Campo eléctrico E E

 à distância r de um fio infinito com densidade linear de carga  
é: 
 
0
 se 0
2
E
r
 
 
  
 
● Campo eléctrico E E

 devido a um plano infinito com densidade superficial de carga 
 é: 
 
0
 se 0
2
E  

   
 12
5. Diferença de potencial e função potencial 
 
► O Trabalho realizado  dW J para transportar a carga positiva  q C de uma distância 
infinitesimal  ds m num campo eléctrico E é dado por: 
 
 . .dW F ds qE ds   
  
 
 
► E a diferença de potencial infinitesimal  d volts é definida: 
 
.dWd
q
E ds  
 
 (Abreviação: V volt ) 
 
Nota: em virtude do referido acima, E

 também pode ser expresso em 1Vm . 
 
► A diferença de potencial entre os pontos 0 e P P é pois: 
 
   
0 00
0. . 
P P
P
P
PP
d P ds sd EE P        
  
 
 
 
 
● Note-se que o elemento de comprimento ds m é tangente em cada ponto à trajectória 
entre 0 e P P . 
qE

 
E

 
ds q 
ds 
E

 
P 
0P 
y 
z 
x 
 13
 
● Se E

 for electrostático, o integral 
0
.
P
P
E ds
 
 
tem sempre o mesmo valor qualquer que seja o percurso entre 0 e P P . 
 
 
● Num campo eléctrico electrostático, 
 
       
   
0 0 0 0
0
0
. . . . 0
1 2 1 2
. . 0
 1 2
P P P P
P P P P
P P
P P
E ds E ds E ds E ds
E ds E ds
    
  
   
 
      
   
 
● Ou seja, num campo electrostático o integral de linha do campo eléctrico ao longo de um 
percurso fechado (que começa e acaba no mesmo ponto) é zero: 
 
. 0
C
E ds 
 
 
 
P 
E

 ds 
ds 
0P 
E

 
ds 
(1) 
(2) 
ds ds    
 14
Relação E grad 

 
► O potencial no ponto P,  P , só depende das coordenadas cartesianas  , ,x y z desse 
ponto, ou seja  , ,x y z  
 
► Então, pela regra de diferenciação em cadeia, 
   , , . , , . ,d dx dy dz dx dy dz dsx y z x y z
                        
 
 
 
Onde: 
, ,
x y z
         

 (operador NABLA) e: 
  , ,ds ds dy dz (deslocamento infinitesimal ds ) 
A grandeza 

 (leia-se grad  ou gradiente de  é uma grandeza vectorial) 
 
► MAS, sabemos que: 
 . e que: .d E ds d ds        
Então vem que E grad    
 
 
P(x,y,z) 
Q(x+dx,y+dy,z+dz) 
 15
Funções e teoremas importantes do cálculo vectorial 
A. Divergência de C , .C  , Rotacional de C , C  , e Laplaciano de f , 2 f 
 
C

: Vector qualquer cujo módulo, direcção e sentido variam de ponto para ponto 
(Exemplos: vector campo eléctrico, vector aceleração da gravidade, etc.) 
 
f: Função qualquer cujo módulo varia de ponto para ponto 
(exemplos: potencial, temperatura, pressão atmosférica, etc.) 
 
, , :x y zC C C Projecções do vector C

 segundo 
as direcções de ˆˆ ˆ, e i j k
 
 
 
 
Divergência de C  . , , . , , yx zx y z CC CC C C Cx y z x y z
                

 
 
Rotacional de C 
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆy yx xz z
x y z
i j k
C CC CC CC i j k
x y z y z z x x y
C C C
                                  
 
  
 
 
Laplaciano de f  
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2.
f f ff f f
x y z x y z
                      
 
 
y 
x 
z 
O 
y 
x 
z 
O
C

 
jˆ

 
kˆ

 
iˆ

 
 16
B. Teorema da Divergência 
● Considere-se um volume V delimitado pela superfície fechada S; o fluxo de um vector C

 
através de S é: 
 .S C da
 
 
 2da m : Vector-área infinitesimal (é perpendicular a S e aponta para fora). 
 
Teorema da Divergência:  . .S VC da C dv  
 
 
 
 3dv m : Elemento de volume infinitesimal em V 
V
V dv   
V
S
da C

 
 17
C. Teorema do Rotacional 
● Considere-se uma superfície aberta S delimitada por uma curva C. 
O integral de linha de um vector qualquer A

 ao longo do percurso fechado C é: 
 
 . ou .C A ds A ds 
   
●   :ds m Elemento de comprimento tangente a C em cada ponto da curva 
 
Teorema do Rotacional:  . .S
C
A ds A da  
  
 
 
 2da m : Vector área infinitesimal com direcção normal a S em cada ponto e cujo sentido é 
o de um sacarrolhas que roda com ds . 
 
 
S 
Curva C 
da  
ds 
A

 
 18
D. Algumas relações importantes do cálculo vectorial 
● , e A B C
 
: Vectores quaisquer cujo módulo, direcção e sentido podem variar de ponto 
para ponto. 
f : Função de ponto 
     . .A B C B A C A B C           
● Utilizando operadores 

 e o vector C

, a igualdade acima toma a forma 
 
   
   
2.
. .
. . .
C C C
A B C A B C
A B C B A C B C A
A B C A B C
     
  
     
    
     
    
       
    
 
 
 
 
. 0
Sempre
0
A
f
  
  
 
  
 
     Af f A A f          
 
 
 19
6. Equação de Poisson e Equação de Laplace 
Aplicação do teorema da divergência à electrostática 
 
● Aplicando o teorema ao vector campo eléctrico  1E NC , vem: 
 
 . .
S V
E da E dv  
  
 * 
 
► Mas Lei de Gauss para distribuição contínua de carga 
 
0
1.
S V
E da dv

 
 
 ** 
 
onde se toma como superfície Gaussiana a superfície S e  3m C  é a densidade 
volumétrica de carga no interior de S, i.e. em V 
 
 
► Então, igualando * com **: 
0 0
. 0 . 
V
EE dv 
 
 
    




  
 
0
.div E 



  Lei de Gauss na forma diferencial 
 
► Assim, 0 .E  
 
 i.e. conhecido o vector campo eléctrico num ponto, pode-se 
determinar  nesse ponto! 
 
V 
Superfície Gaussiana S 
 20
Por outro lado: 
0
.div E 



 
 
► Mas   : PotencialE V 
 
  pois o campo é consevativo. 
 
► e, portanto    0 0. / ; div -grad / V volts            
 
 2
0


     Equação de Poisson 
 
● Fazendo 0  obtém-se 
2 0   Equação de Laplace 
 
► Equação de Poisson permite determinar densidade volumétrica de carga num ponto 
desde que se conheça o potencial nesse ponto. 
 
 21
6.1 Considerações sobre as equações de Laplace e Poisson 
● Se uma função  , ,x y z satisfaz a equação de Laplace  2 0  , o valor médio de  
sobre a superfície de qualquer esfera, r R  , é igual ao valor de  no centro da esfera, 
 0r  
 
 
 
● Teorema da Impossibilidade: Não é possível construir um campo electrostático que 
mantenha uma partícula carregada em equilíbrio estável no espaço vazio. 
● Teorema da Unicidade: Não pode existir mais do que um potencial  , ,x y z que 
satisfaça a equação de Poisson ou a equação de Laplace, e um dado conjunto de condições 
fronteira. 
 
 
R 
r 
 0r R r    
 22
6.2 Aplicação do Teorema do Rotacional à Electrostática 
 
 . .
S
C
E ds E da  
   
 
 
Mas num campo electrostático, 
. 0
C
E ds 
 
 
 
 Num campo electrostático 0rotE E 
  
 
 
 expressão prática que permite determinar se um dado campo eléctrico é ou não 
electrostático. 
 
 Um campo electroestático deriva sempre de um potencial: 
 
E  
 
, então   0rotE E              sempre 
 
 23
7. Potencial de um Sistema Discreto de Cargas Pontuais 
 
● Potencial num ponto P à distância ir de uma carga iq : 
 
   
   
0
, onde ,1
4 i
i i
i qq
r
C r m
P V

 



, 
 
● Se tiver N cargas discretas separadas de P pelas distâncias ir , com 1,2, , ,i N  o 
potencial em P é a soma dos potenciais individuais. Portanto, 
 
10
1
4
N
i
i i
qP
r

  
  
 
… 
P 
1q 
2q 
iq 
Nq 
1r 
ir 
Nr 
2r 
 24
8. Potencial de uma distribuição contínua de carga 
● Considere-se um volume do espaço (picotado) onde existe carga e um ponto  , ,x y zexterior no qual se quer determinar o potencial 
 
 3m C  : densidade volumétrica de carga  , ,x y z     ---- 
 
V: volume que contém carga 
 
 
   
0
, , .1, ,
4 V
x y z dx dy dz
x y z
r

 
     
       2 2 2r x x y y z z        
 
z 
x 
y 
r 
V 
 , ,x y z   'dy 
'dz 
'dx 
 , ,P x y z 
x 
y 
x 
 25
9. Energia associada ao campo eléctrico 
 
 201 com 2 VU E dv U J e J Joule  
 
Mas 
2
0= grad 
1
2 V
U vE d       

 
 
● Por outro lado (recordando), para cargas pontuais: 
 
1 1 10 0
1 1 1 1 
2 4 8 2
N N N
j k k
j j j
j k j j k j jjk jk
q q qU q q
r r

       
       
onde: 
0
1
4
k
j
k j jk
q
r

  
  
 
é o potencial em j devido ao conjunto de cargas 1 2 1 1, , , , , ,j j Nq q q q q   . 
 
● Passando do discreto ao contínuo, 
 
1
N
j j V
j
q dv 

  
1
2 V
U dv   
 
● Assim, a energia associada ao campo eléctrico pode ser escrita de duas maneiras: 
j 
1q 
2q 
1jq  
Nq 
1jq  2jr 
 26
2
0 1 
2 2V V
U dv dv     

 
 
 
 
Resumo da Electrostática 
 
 
E

 
  
    2
1
2 1 .
P
P
E
P P E ds

 
 
  
 
  
3
0
0
1
4
.
V
r dvE
r
E

 
 

 


 
 
2
0
0
1
4 V
dv
r
  

 
  
 
 
 27
10. Algumas propriedades básicas dos condutores 
 
● No interior dum condutor maciço a carga e o campo eléctrico são nulos. 
 
● Dentro do volume encerrado por uma superfície condutora não há influência de cargas 
(princípio da blindagem eléctrica) 
 
● Num condutor a carga encontra-se à superfície, e o campo eléctrico à superfície é 
perpendicular a esta e vale 
 
0
E


 
 
com  2m C  : densidade superficial de carga no condutor. 
 
 28
Revisão 
Cálculo de potenciais 
i) Caso de uma carga pontual 2
1 ˆ. .
4 o
QE r
r


 
 
ˆdV r
r
E radV
d
g  

 2
1
4
 
o
QdV dr
r
  
 
2
1 1 
44 4o o o
Q dr QdV V
r
QV
r r  
        
  
 
ii) Caso de um campo uniforme 
 
● Supor duas placas paralelas com cargas Q e 
Q . 
● Como E grad V 

 e ˆE E i

 temos: 
 
: ˆ ˆV VEi i
x y
   
 
ˆ Vj
z


kˆ
 
   
 
 
 dV E dx dV E dx      
 
.V E x C    Potencial no ponto x 
● Nos pontos x=x1 e x=x2 o potencial é: 
 
   1 1 1 2 2 2. e .V x E x C V V x E x C V       
 
 
● A diferença de potencial entre as placas será: 
 
     2 1 2 1 2 1 .V V V E x C E x C E x x E d              
em que  2 1x x d  é a distância entre as placas. 
E

 
x O 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
x=x1 
 
V=V1 
x=x2 
 
V=V2 
 29
● Se os pontos x=x1 e x=x2 estiverem com os potenciais V(x1)=0 e V(x2)=-V, teremos as 
seguinte representação gráfica para o campo e para o potencial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
● Resumo: 
* .
P
pE F d  

 energia potencial (com 0pE  para r  ) 
* .
P
V E d

  

 potencial (com 0V  em r  ) 
* 2
1
.
rp
r
E
V E d
q

    



 diferença de potencial 
* E grad V 

 e pF grad E 

 
 
O 
,E V 
V 
.V E x  
x 
E cte 
x 
 30
12. Condensadores e Capacidades 
Definição de capacidade 
● Um condensador é um dispositivo que permite armazenar carga e energia eléctrica. 
 
● Os mais vulgares são: os condensadores planos, cerâmicas, electrolíticos e condensadores 
a óleo. 
 
● O potencial eléctrico na superfície de uma esfera de raio R com carga Q é: 
 
1 .
4 o
QV
R 
 
● Assim, a relação 4 o
Q R
V
  é constante para essa esfera. 
 
● Na verdade, essa relação é constante para todos os condutores carregados. 
● Define-se capacidade de um condutor: 
 
QC
V
 Unidades: 1.C V  ou Farad (F) 
 
● O conceito é extensível a conjuntos de condutores: 
 
● Exemplo: Caso de dois condutores carregados com cargas Q e Q . Se 1V e 2V forem 
os potenciais desses condutores então 1 2V V V  é a diferença de potencial entre eles. A 
capacidade do conjunto é: 
 
QC
V
 
 
 
● Esta arranjo de condutores constitui um condensador. Símbolo: 
+Q -Q 
1V 2V 
E

 
 31
● O exemplo mais simples de um condensador é constituído por duas placas condutoras 
separadas por uma distância d  Condensador plano 
 
5.1 - Tipos de condensadores (exemplos) 
i) Condensador plano 
● Vimos que o campo no interior é 
constante: 
1 2V V VE
d d
  
 
● Se as placas tiverem área A, a densidade superficial de carga nas placas é: 
Q
A
  Então: 
o o
QE
A

 
  
ou seja: 
o
Q V
A d
 e, logo: 
 
o AQC
V d
  Capacidade de um condensador plano (vácuo entre as placas) 
 
● Se tivermos um dieléctrico no interior então: o  
 
AC
d
 Capacidade de um condensador plano com um dieléctrico 
 
 
E

 
1,Q V 
2,Q V 
1 2V V V  
 32
ii) Condensador esférico 
● Considerar dois condutores de raio a e b 
com cargas q e q , respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
Pela lei de Gauss: 
i tint n(pois 0)
(pois 0
0
 )ext
E
E
Q
q qo
 

  



 e 2
1 ˆ 
4cond o
qE r
r
a r b
 
  

 
 
● Por outro lado: 
' '
.
P
P P P
V V V E d    

 
ou, usando um percurso radial: .
a
b
V E dr  
 
 com ˆ. rdr dr u

 
 
    2'
1 1
4 4
a
b
o o
dr q qV
r a
V V P
b
P
   
          
● E, então: 
4 o
Q a bC
V b a
  
 
 Capacidade de um condensador esférico 
 
+ 
- 
b 
r 
a P 'P 
E

 
condE 
q q 
inE 
d

 
ˆnu 
 33
● Limites: 
Se: a b 
2
4a b o o
b AC
d d
     Condensador plano 
(A área da esfera e d=b-a) 
 
Se: b  4b oC a   Capacidade de uma esfera de raio a 
 
 
 
 
Observação: Diferença e potencial entre dois pontos 
1. O potencial pode calcular-se a partir do campo eléctrico, .V E dr 
  , 
 
 a constante de integração é geralmente fixada através da definição do valor do 
potencial num ponto (geralmente, considerando nulo o potencial no infinito). 
 
2. A diferença de potencial entre dois pontos, V(P1)–V(P2) é a diferença entre os valores do 
potencial V(r) num e noutro ponto; 
 
é o trabalho exercido sobre a unidade de carga (1C) num deslocamento de P2 e P1: 
 
       1 1 12
2
2
1 2
P P P P P
P
r rE dr E dr EdrV P V EdrP Edr
   
                   
         
 34
iii) Condensador cilíndrico 
' '
.
.
2
P
P P P
a a
a b b b
o
V V E d
V V E d dr
r
V

 
   
   

  
 
 




 
1 ˆ ˆ e 
2
.
2
 
2
n
o
r r
o
n
o
E u d dr dr
r
b
ab
u
a


  



 
 
  
 
 
 
 
● Capacidade por unidade de comprimento: C
V


 
2 o
n
C b
a


; Para um comprimento L: .C L C  
 
P 
'P E

 
a b 
 
 
ˆnu 
x 
x 
 35
Energia armazenada num condensador 
 
     21 , onde 
2
U J CV C F V Volts 
 
● Densidade de energia num condensador,  3J m  , 
 
é a energia armazenada no campo eléctrico do condensador por unidade de volume: 
 
2 20 0
2 2V
dU d E dv E
dv dv
        
 
Nota: 20
1 
2 V
U E dv  
 
 36
12.1 Condensadores em série 
À combinação chama-se associação em série dos 
condensadores  1C F e  2C F . Esta combinação é equivalente a 
 
com 1 2
1 2
C CC
C C


. 
● Se se tiver N condensadores em série 
 
● Este arranjo é equivalente a 
 
com 1 1 2 11 2 NC C C C       
 
12.2 Condensadores em paralelo 
● A combinação chama-se 
 
uma associação em paralelo dos condensadores    1 2 e C F C F e é equivalente a 
 com 1 2C C C  . 
1C 2C 
1C 2C NC 
 C F 
C 
1C 2C 
 C F
 37
● Se se tiver N condensadores em paralelo 
 
 
● Este arranjo é equivalente a 
 com 1 2 NC C C C    
1C 2C NC 
C 
 38
13. Corrente eléctrica 
 
 
 2da m : vector-área cujo módulo é a 
área tracejada 
 q C : carga transportada por um 
portador na amostra 
 3 :n m número de portadores de carga 
por unidade de volume na amostra 
 
 
 1 2J C s m  : densidade de corrente na amostra J n qu
 
 
 
e  /u m s : Velocidade do portador de carga 
 
 1adI C s : corrente na amostra .adI J da
 
 
 
● Agora, Sendo velocidade média electrónica eu

 
eN : concentração total i.e. número total de electrões por unidade de volume 
e eJ e N u  
 
. 
 
 
 
● Se dentro da amostra houver vários tipos de transportadores de carga com 
concentrações kn , cargas kq e velocidade ku
 diferentes, 
 
1 1 1 2 2 2
1 1
. . .
. . , onde 
a N N N
N N
k k k k k k
k k
I n q u a n q u a n q u a
n q u a J a J n q u
 
   
     
 
     
     
+ - 
 1 2J C s m  
q - 
d a 
 V Volts 
1( )u s m 
 39
13.1 Correntes estacionárias e conservação de carga 
● Considere-se um volume V delimitado pela superfície fechada S, através da qual existe 
um movimento de cargas 
 
● da : vector-área (perpendicular a S em cada ponto e dirigido para fora) 
●  3m C  : Densidade volumétrica de carga em V 
 
● Por definição: .adI J da
 
  .a SI J da 
 
 
 
● Se . 0
S
J da 
 
, há carga que deixa o volume V por unidade de tempo. 
 
 Logo a carga em V, V dv , decresce. 
 
 Utilizando o princípio de conservação da carga .S VJ da dvt
 
 
 
 
V 
S 
J

 
da 
 2da m 
 1 2J C s m  
 40
● Mas (Teorema da Divergência) 
 . .
. 0
. 0 .
S V
V
J da J dv
J dv
t
J J
t t

 
 
      
      
 
 

  
 
   
 
 
● Se J

 for constante no tempo, a carga que entra em V é igual à que sai, 
 
 . 0 . 0
S
J da J t      
  
 
 
 Para uma corrente estacionária a densidade volumétrica de carga  é constante no 
tempo mas não necessariamente no espaço. 
 
 
 41
13.2 Condutividade Eléctrica e Lei de Ohm 
 
 1I s C : Corrente na amostra 
.
A A
I J da A da  
 
 
0 0
.
L
LV V V E d   

 
● Lei de Ohm pode escrever-se de duas formas: 
     
     
1 2 1 3 2 2 1
2 2 1 1 2 2 1
: condutividade
: resistência
J s m C s kg m C E s kg mC
V s kg m C R s kg m C I s C
R


     
    


 
 
● Unidade de resistência: Ohm   1 2 21 s kg m C   
● Unidade de corrente: Ampere (A) 11A s C 
● Unidade de potencial eléctrico: Volt (V) 2 2 11V s kg m C  
● As expressões da página anterior são gerais e válidas para qualquer geometria. 
 
Por exemplo, para uma amostra cilíndrica (trabalho de casa): 
 
LR
A
 
 
onde    1 1
1 : Resistividade da amostra.m
m

  
 

 
+ - 
 V Volts 
 2A m 
 2da m 
0x  x L 
x 
E

 
J

 
 0V Volts  LV Volts 
 d m

 
 42
13.3 Resistência dos Condutores 
 
● Viu-se que para uma amostra cilíndrica 
 
1 LR
A
 , 
 
● Mas isto é apenas um caso particular, e a expressão para a resistência depende da 
geometria da amostra. 
 
● Por exemplo, para a amostra abaixo (cabo coaxial onde o espaço entre os 2 cilindros é 
preenchido com grafite) 
 
 
 
 1 2 2 11 ln /2
V VR r r
I L 
   (Deixa-se como exercício) 
E

 
 L m  
 2r m 
 1r m 
1V 
2V 
 43
13.5 Dissipação de energia na passagem da corrente 
 
 
 
● Se a carga  q C se deslocar de  r m  sob a acção da força  F N

, é produzido um 
trabalho  W J : 
 
. . . . .. qW r rF E q E v t   
    
 
 1v ms : velocidade da carga 
 t s : tempo que a carga leva a percorrer a distância  r m  
 
●  Potência  P W produzida  1 watt 1 1W W J s  é: 
 
.WP q E v
t


 
  
 
● A energia produzida no deslocamento infinitesimal da carga é  dU J e vai aparecer sob 
a forma de calor (efeito Joule). Esta energia é 
 
 ,dUdU Vdq VI dt P VI
dt
     
 
onde V (Volts) é a diferença de potencial entre o elemento do circuito atravessado pela 
carga, e I (A) a corrente através desse elemento. 
 
 
+ 
E

 
F q E
 
 
 r m  
q 
 44
 
● Se o elemento for uma resistência  R  , então 
 
  2. . .P V I RI I R I   
 
● Naturalmente, a passagem de corrente contínua num circuito requer uma fonte de 
energia capaz de manter o campo eléctrico que desloca os portadores. 
 
Por razões históricas esta fonte de energia chama-se Força Electromotriz (Volts)