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Fundamentos da Matemática Aula 01: Conjuntos Exemplos Iniciais: a) Uma coleção de revistas é um conjunto; cada revista é um elemento desse conjunto. b) Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é um elemento desse conjunto. c) Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto; cada aluno é um elemento desse conjunto. d) As turmas de um campus formam um conjunto; cada turma é um elemento desse conjunto. -Representação de um conjunto Representação Tabular: Exemplo: O conjunto cujos elementos são as vogais do alfabeto: {a, e, i, o, u} O conjunto cujos elementos são as consoantes: {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z} A mudança na ordem dos elementos não altera o conjunto e os elementos podem aparecer mais de uma vez no conjunto, fato que também não altera tal conjunto. Exemplo: A= {a,e,i,o,u} A= {u,i,o,a,e} , B= {a,n,t,o,n,i,o}, o certo seria: B= {a,n,t,o,i} Representação Através de Diagrama de Venn: Exemplo: Representação Através de uma Propriedade: Eventualmente, não é conveniente escrever todos os elementos do conjunto, principalmente por conta da elevada quantidade de elementos. Neste caso, podemos descrever tal conjunto por uma propriedade comum a todos os seus elementos. Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por: A = {x | x tem a propriedade p} (Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p”.) Exemplo: a) A = {x I x é um país da Europa} O conjunto A é formado por todos os países da Europa. b) B = {x I x é mamífero} O conjunto B é formado por todos os mamíferos} c) {x I x é um Estado da Região Sudeste do Brasil} Lê-se: ‘’x’’ tal que ‘’x’’ é um Estado da Região Sudeste do Brasil Exercício: 1. Construa o diagrama de Venn dos conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6}: -Relação de Pertinência A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4} note que u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B. Indicamos estes fatos respectivamente por: u Є A (Lê-se ‘’u pertence a A’’) e u B (Lê-se ‘’u não pertence a B’’) A relação entre um conjunto e itens que podem ou não estar entre seus elementos é denominada relação de pertinência. Є (pertence) e (não pertence) Exemplo: Considere o conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8}. Podemos dizer que: 2 Є A: O elemento 2 pertence ao conjunto A. 3 A: O elemento 3 não pertence ao conjunto A. -Tipos de Conjuntos Conjunto Unitário: Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento. a) C = {5} b) B = {x I x é estrela do sistema solar} Conjunto Vazio: Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento, ou seja. Um conjunto vazio é representado pelos símbolos Ø ou { }. Exemplo: a) D = {x I x é número e x.0 = 5} = Ø b) E = {x I x é computador sem memória} = { } c) {x I x é um número ímpar múltiplo de 4}, pois não existe múltiplo de quatro que seja ímpar. Atenção: Quando os símbolos { } ou Ø aparecerem dentro de um conjunto, listados, visíveis, o conjunto vazio deve ser tratado como elemento desse conjunto. Exemplo: Considere o conjunto A = {Ø, 1, 2, 3}. Temos que Ø Є A, pois Ø é um elemento do conjunto A. Conjunto Finito: É aquele que conseguimos chegar ao “�m” da contagem de seus elementos. Exemplo: a) B = {1, 2, 3, 4} b) D = {x | x é brasileiro} c) H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol} Conjunto In�nito: É aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao “�m” da contagem. Exemplo: a) N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} b) A = {x Є N I x é par} = {0, 2, 4, 6, ...} • a • 1 • 9 • 3 •4 • e • i • o • u A B A B U 1 2 3 4 5 6 Є/ Є/ Є/ Conjuntos Iguais: Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos. Pode-se, na realidade, dizer que representam o mesmo conjunto, ainda que denominados de maneira distinta. Exemplo: a) Considere os conjuntos A e B assim de�nidos. A é o conjunto das letras da palavra “arte”: A = {a, r, t, e} e B é o conjunto das letras da palavra “reta”: B = {r, e, t, a}. Temos que A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos. b) O conjunto dos jovens brasileiros do sexo masculino que completam 18 anos este ano e o conjunto de jovens brasileiros que devem fazer o alistamento militar obrigatório este ano são, na verdade, o mesmo conjunto. São iguais, pois possuem os mesmos elementos, ainda que denominados de maneira distinta. Conjuntos Diferentes: Se A não é igual a B, escrevemos A ≠ B (lê-se “A é diferente de B”). Conjunto Universo (U): Contém todos os elementos que possam vir a pertencer a conjuntos de�nidos no contexto considerado, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar. Exemplo: a) Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto universo considerado. Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais, teremos como resposta o conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}. Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares, teremos como conjunto solução S = {0, 2, 4}. b) O conjunto formado pelos brasileiros com mais de 65 anos e o conjunto formado pelos que deveriam fazer o alistamento militar em determinado ano são conjuntos de�nidos a partir de um grupo mais amplo, composto por toda a população brasileira. A população brasileira, portanto, forma um grupo geral, universal, a partir do qual podemos de�nir conjuntos menores. Por isso, no contexto da criação de conjuntos formados por grupos de indivíduos da população brasileira, o conjunto formado por toda a população pode ser considerado como o conjunto Universo a partir do qual, no contexto de indivíduos que a formam, pode-se criar conjuntos menores e formados por indivíduos com determinada característica. O conjunto Universo é simbolizado pela letra U. No contexto das letras que compõe o alfabeto de um idioma, podemos de�nir como Universo o conjunto que contém todas as letras do alfabeto, vogais e consoantes, apresentado a seguir. {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} Conjuntos Disjuntos: Dois conjuntos são chamados disjuntos quando não possuem nenhum elemento em comum. Ou seja, não é possível encontrar um elemento que pertença, ao mesmo tempo, aos dois conjuntos. Exemplo: a) Consideremos os conjuntos apresentados anteriormente, sendo o primeiro formado por idosos e o segundo formado por pessoas que deverão fazer o alistamento militar no presente ano. Não existe elemento comum a estes dois conjuntos, consequentemente os mesmos são disjuntos. b) Considere os conjuntos das vogais e das consoantes de um alfabeto. Como não existe uma letra que seja, simultaneamente, uma vogal e uma consoante, pode-se a�rmar que estes dois conjuntos são disjuntos. Fundamentos da Matemática Aula 01: Conjuntos Exemplos Iniciais: a) Uma coleção de revistas é um conjunto; cada revista é um elemento desse conjunto. b) Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é um elemento desse conjunto. c) Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto; cada aluno é um elemento desse conjunto. d) As turmas de um campus formam um conjunto; cada turma é um elemento desse conjunto. -Representação de um conjunto Representação Tabular: Exemplo: O conjunto cujos elementos são as vogais do alfabeto: {a, e, i, o, u} O conjunto cujos elementos são as consoantes: {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z} A mudança na ordem dos elementos não altera o conjunto e os elementos podem aparecer mais de uma vez no conjunto, fato que também não altera tal conjunto. Exemplo: A= {a,e,i,o,u} A= {u,i,o,a,e} , B= {a,n,t,o,n,i,o}, o certo seria: B= {a,n,t,o,i} RepresentaçãoAtravés de Diagrama de Venn: Exemplo: Representação Através de uma Propriedade: Eventualmente, não é conveniente escrever todos os elementos do conjunto, principalmente por conta da elevada quantidade de elementos. Neste caso, podemos descrever tal conjunto por uma propriedade comum a todos os seus elementos. Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por: A = {x | x tem a propriedade p} (Lê-se: “A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p”.) Exemplo: a) A = {x I x é um país da Europa} O conjunto A é formado por todos os países da Europa. b) B = {x I x é mamífero} O conjunto B é formado por todos os mamíferos} c) {x I x é um Estado da Região Sudeste do Brasil} Lê-se: ‘’x’’ tal que ‘’x’’ é um Estado da Região Sudeste do Brasil Exercício: 1. Construa o diagrama de Venn dos conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4, 5, 6}: -Relação de Pertinência A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4} note que u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B. Indicamos estes fatos respectivamente por: u Є A (Lê-se ‘’u pertence a A’’) e u B (Lê-se ‘’u não pertence a B’’) A relação entre um conjunto e itens que podem ou não estar entre seus elementos é denominada relação de pertinência. Є (pertence) e (não pertence) Exemplo: Considere o conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8}. Podemos dizer que: 2 Є A: O elemento 2 pertence ao conjunto A. 3 A: O elemento 3 não pertence ao conjunto A. -Tipos de Conjuntos Conjunto Unitário: Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento. a) C = {5} b) B = {x I x é estrela do sistema solar} Conjunto Vazio: Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento, ou seja. Um conjunto vazio é representado pelos símbolos Ø ou { }. Exemplo: a) D = {x I x é número e x.0 = 5} = Ø b) E = {x I x é computador sem memória} = { } c) {x I x é um número ímpar múltiplo de 4}, pois não existe múltiplo de quatro que seja ímpar. Atenção: Quando os símbolos { } ou Ø aparecerem dentro de um conjunto, listados, visíveis, o conjunto vazio deve ser tratado como elemento desse conjunto. Exemplo: Considere o conjunto A = {Ø, 1, 2, 3}. Temos que Ø Є A, pois Ø é um elemento do conjunto A. Conjunto Finito: É aquele que conseguimos chegar ao “�m” da contagem de seus elementos. Exemplo: a) B = {1, 2, 3, 4} b) D = {x | x é brasileiro} c) H = {x | x é jogador da seleção brasileira de futebol} Conjunto In�nito: É aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao “�m” da contagem. Exemplo: a) N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} b) A = {x Є N I x é par} = {0, 2, 4, 6, ...} С Conjuntos Iguais: Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos. Pode-se, na realidade, dizer que representam o mesmo conjunto, ainda que denominados de maneira distinta. Exemplo: a) Considere os conjuntos A e B assim de�nidos. A é o conjunto das letras da palavra “arte”: A = {a, r, t, e} e B é o conjunto das letras da palavra “reta”: B = {r, e, t, a}. Temos que A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos. b) O conjunto dos jovens brasileiros do sexo masculino que completam 18 anos este ano e o conjunto de jovens brasileiros que devem fazer o alistamento militar obrigatório este ano são, na verdade, o mesmo conjunto. São iguais, pois possuem os mesmos elementos, ainda que denominados de maneira distinta. Conjuntos Diferentes: Se A não é igual a B, escrevemos A ≠ B (lê-se “A é diferente de B”). Conjunto Universo (U): Contém todos os elementos que possam vir a pertencer a conjuntos de�nidos no contexto considerado, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar. Exemplo: a) Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto universo considerado. Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais, teremos como resposta o conjunto solução S = {0, 1, 2, 3, 4}. Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares, teremos como conjunto solução S = {0, 2, 4}. b) O conjunto formado pelos brasileiros com mais de 65 anos e o conjunto formado pelos que deveriam fazer o alistamento militar em determinado ano são conjuntos de�nidos a partir de um grupo mais amplo, composto por toda a população brasileira. A população brasileira, portanto, forma um grupo geral, universal, a partir do qual podemos de�nir conjuntos menores. Por isso, no contexto da criação de conjuntos formados por grupos de indivíduos da população brasileira, o conjunto formado por toda a população pode ser considerado como o conjunto Universo a partir do qual, no contexto de indivíduos que a formam, pode-se criar conjuntos menores e formados por indivíduos com determinada característica. O conjunto Universo é simbolizado pela letra U. No contexto das letras que compõe o alfabeto de um idioma, podemos de�nir como Universo o conjunto que contém todas as letras do alfabeto, vogais e consoantes, apresentado a seguir. {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} Conjuntos Disjuntos: Dois conjuntos são chamados disjuntos quando não possuem nenhum elemento em comum. Ou seja, não é possível encontrar um elemento que pertença, ao mesmo tempo, aos dois conjuntos. Exemplo: a) Consideremos os conjuntos apresentados anteriormente, sendo o primeiro formado por idosos e o segundo formado por pessoas que deverão fazer o alistamento militar no presente ano. Não existe elemento comum a estes dois conjuntos, consequentemente os mesmos são disjuntos. b) Considere os conjuntos das vogais e das consoantes de um alfabeto. Como não existe uma letra que seja, simultaneamente, uma vogal e uma consoante, pode-se a�rmar que estes dois conjuntos são disjuntos. Subconjunto -Conceito A relação de inclusão relaciona conjuntos, indicando se um conjunto está contido ou não em um outro conjunto. Se todos os elementos de um conjunto A pertencerem a outro conjunto B, então o conjunto A está contido no conjunto B. Se um único elemento do primeiro conjunto A não pertencer ao segundo conjunto B, temos que o conjunto A não estará contido no conjunto B. Exemplo: Considere o conjunto das letras do nosso alfabeto: A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, y, z} Temos que A é formado pelo conjunto de vogais (V) e pelo conjunto de consoantes (C). V = {a, e, i, o, u} C = { b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, x, y, z} O conjunto das vogais é um subconjunto do conjunto das letras do nosso alfabeto. Simbolicamente, temos: V C A (Lê-se: V está contido em A), ou A V (Lê-se: A contém V) Um subconjunto de um conjunto é qualquer outro conjunto cujos elementos são, necessariamente, elementos do conjunto original. -Propriedades: 1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: Simbolicamente: A C B - [ x Є A, x Є B] Exemplos: Ø C {1, 2, 3} Ø C Ø 2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. Simbolicamente: A C A, A 3. Todo conjunto é um subconjunto do conjunto Universo, no contexto considerado. Para indicar que um conjunto A não é subconjunto de B, escreve-se: A B (Lê-se ‘’A não está contido em B’’), ou B A (Lê-se ‘’B não contém A’’) Exemplo: a) {a, b, c} {a, b, d} Atenção: 1. A relação de inclusão (C) é usada exclusivamente para relacionar um subconjunto B cpm um conjunto A que contém B: B C A. 2. A relação de pertinência ( Є ) é usada exclusivamente para relacionar um elemento x com um conjunto A que possui x como elemento: x Є A. Conjunto cujos elementos são conjuntos Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos. Considere, por exemplo, o conjunto: P = {Ø, {a}, {b}, {a, b}} Ø é elemento de P e, portanto, escrevemos Ø ЄP. Além disso, temos também que: {a} Є P, {b} Є P, {a, b} Є P. Vejamos alguns subconjuntos de P: {Ø} C P: Todos os elementos de {Ø}, no caso só há o elemento Ø, é elemento de P. {{a}} C P: Todos os elementos de {{a}}, no caso só há o elemento {a}, é elemento de P. {{a, b}} C P: Todos os elementos de {{a, b}}, no caso só há o A A С / С / С / elemento {a, b}, é elemento de P. {{a}, {b}} C P: Todos os elementos de {{a}, {b}}, no caso os elementos {a} e {b}, são elementos de P. Conjunto das partes de um conjunto: Considere o conjunto A = {1, 2}. Vamos escrever os subconjuntos de A: a) com nenhum elemento: Ø b) com um elemento: {1}, {2} c) com dois elementos: {1,2} P(A) = {Ø, {1}, {2}, {1, 2}} Chamamos conjunto das partes de um conjunto A ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. Notação: P(A) (lê-se P de A) Exemplo: a) No exemplo acima, P(A) = {Ø, {1}, {2}, {1, 2}}. b) Dado um conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B): P(B) = {Ø, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n. p}, {m, n, p}} Observe que, no primeiro exemplo (a), o conjunto A tem dois elementos e obtivemos P(A) com 4(2²) elementosm isto é, A tem 4 subconjuntos. De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, o número de elementos de P(A) é 2 . Exemplo: Se A = {2, 4, 7, 9, 3}, então P(A) terá 25 = 32 elementos. União de conjuntos (U): Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A com B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Notação: A U B (lê-se "A união B"). A U B = {x | x U A ou x U B} Propriedades da União de Conjuntos: Se um conjunto B é subconjunto de um conjunto A, a união A U B será o conjunto A. B C A A U B = A, para todo A, B. A operação de união é comutativa. A U B = B U A, para todo A, B. A operação de união é associativa. (A U B) U C = A U (B U C), para todo A, B, C. Exemplos: A = {2, 3, 5, 6, 8} B = {3, 5, 8, 9} A U B = {2, 3, 5, 6, 8, 9} A = {3, 5} B={2,3,4,5,6} A U B = {2, 3, 4, 5, 6} = B A = {2, 3, 5} B = {4, 6} A U B = {2, 3, 4, 5, 6} Interseção de Conjuntos ( ): Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A com B ao conjunto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. Notação: A B (lê-se "A intersecção B"). A B = {x | x A e x B} Subconjunto -Conceito A relação de inclusão relaciona conjuntos, indicando se um conjunto está contido ou não em um outro conjunto. Se todos os elementos de um conjunto A pertencerem a outro conjunto B, então o conjunto A está contido no conjunto B. Se um único elemento do primeiro conjunto A não pertencer ao segundo conjunto B, temos que o conjunto A não estará contido no conjunto B. Exemplo: Considere o conjunto das letras do nosso alfabeto: A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, x, y, z} Temos que A é formado pelo conjunto de vogais (V) e pelo conjunto de consoantes (C). V = {a, e, i, o, u} C = { b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, x, y, z} O conjunto das vogais é um subconjunto do conjunto das letras do nosso alfabeto. Simbolicamente, temos: V C A (Lê-se: V está contido em A), ou A V (Lê-se: A contém V) Um subconjunto de um conjunto é qualquer outro conjunto cujos elementos são, necessariamente, elementos do conjunto original. -Propriedades: 1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto: Simbolicamente: A C B - [ x Є A, x Є B] Exemplos: Ø C {1, 2, 3} Ø C Ø 2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. Simbolicamente: A C A, A 3. Todo conjunto é um subconjunto do conjunto Universo, no contexto considerado. Para indicar que um conjunto A não é subconjunto de B, escreve-se: A B (Lê-se ‘’A não está contido em B’’), ou B A (Lê-se ‘’B não contém A’’) Exemplo: a) {a, b, c} {a, b, d} Atenção: 1. A relação de inclusão (C) é usada exclusivamente para relacionar um subconjunto B cpm um conjunto A que contém B: B C A. 2. A relação de pertinência ( Є ) é usada exclusivamente para relacionar um elemento x com um conjunto A que possui x como elemento: x Є A. Conjunto cujos elementos são conjuntos Os elementos de um conjunto podem também ser conjuntos. Considere, por exemplo, o conjunto: P = {Ø, {a}, {b}, {a, b}} Ø é elemento de P e, portanto, escrevemos Ø Є P. Além disso, temos também que: {a} Є P, {b} Є P, {a, b} Є P. Vejamos alguns subconjuntos de P: {Ø} C P: Todos os elementos de {Ø}, no caso só há o elemento Ø, é elemento de P. {{a}} C P: Todos os elementos de {{a}}, no caso só há o elemento {a}, é elemento de P. {{a, b}} C P: Todos os elementos de {{a, b}}, no caso só há o elemento {a, b}, é elemento de P. {{a}, {b}} C P: Todos os elementos de {{a}, {b}}, no caso os elementos {a} e {b}, são elementos de P. Conjunto das partes de um conjunto: Considere o conjunto A = {1, 2}. Vamos escrever os subconjuntos de A: a) com nenhum elemento: Ø b) com um elemento: {1}, {2} c) com dois elementos: {1,2} P(A) = {Ø, {1}, {2}, {1, 2}} Chamamos conjunto das partes de um conjunto A ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. Notação: P(A) (lê-se P de A) Exemplo: a) No exemplo acima, P(A) = {Ø, {1}, {2}, {1, 2}}. b) Dado um conjunto B = {m, n, p}, escrevemos P(B): P(B) = {Ø, {m}, {n}, {p}, {m, n}, {m, p}, {n. p}, {m, n, p}} Observe que, no primeiro exemplo (a), o conjunto A tem dois elementos e obtivemos P(A) com 4(2²) elementosm isto é, A tem 4 subconjuntos. De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, o número de elementos de P(A) é 2 . Exemplo: Se A = {2, 4, 7, 9, 3}, então P(A) terá 25 = 32 elementos. União de conjuntos (U): Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A com B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Notação: A U B (lê-se "A união B"). A U B = {x | x U A ou x U B} Propriedades da União de Conjuntos: Se um conjunto B é subconjunto de um conjunto A, a união A U B será o conjunto A. B C A A U B = A, para todo A, B. A operação de união é comutativa. A U B = B U A, para todo A, B. A operação de união é associativa. (A U B) U C = A U (B U C), para todo A, B, C. Exemplos: A = {2, 3, 5, 6, 8} B = {3, 5, 8, 9} A U B = {2, 3, 5, 6, 8, 9} A = {3, 5} B={2,3,4,5,6} A U B = {2, 3, 4, 5, 6} = B A = {2, 3, 5} B = {4, 6} A U B = {2, 3, 4, 5, 6} Interseção de Conjuntos ( ): Dados dois conjuntos A e B, chama-se interseção de A com B ao conjunto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. Notação: A B (lê-se "A intersecção B"). A B = {x | x A e x B} Propriedades da Interseção de Conjuntos: Se um conjunto B é subconjunto de um conjunto A, a interseção A B será o conjunto B. B C A - A B = B, para todo A, B. A operação de interseção é comutativa. A B = B A, para todo A, B. A operação de interseção é associativa. (A B) C = A (B C), para todo A, B, C. Exemplos: A = {2, 3, 5, 6, 8} B = {3, 5, 8, 9} A B = {3, 5, 8} A = {3, 5} B = {2, 3, 4, 5, 6} A B = {3, 5} = A A = {2, 3, 5} B = {4, 6} A B = Ø Diferença de Conjuntos (-): Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B ao conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Notação: A - B (lê-se "A menos B"). A - B = {x | x Є A e x B} Exemplos: A = {2, 3, 5, 6, 8} B = {3, 5, 8, 9} A - B = {2, 6} B -A = {9} A = {3, 5} B = {2, 3, 4, 5, 6} A - B = { } = Ø Complementar de um Conjunto (C): Se A e B são conjuntos tais que A C B, então a diferença B - A é chamada complementar de A em B. Notação: C (lê-se "complementar de A em B"). C = B - A = {x | x Є B e x A}, onde A C B Exemplos: A = {3, 5} B = {2, 3, 4, 5, 6} Existe C , pois A C B. C = {2, 4, 6} A = {2, 3, 5, 6, 8} B = {3, 5, 8, 9} Como A B, então não existe: C n U U U U U U U U U U U U U U UU Є/ A B A B A B A B A B Є/ С /
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