AULA DERIVADAS curso lic biologia 27032017

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Aula: Derivadas 
 
Lic. Biologia 2015 
 
 
 
Capanema, 27 de março de 2017. 
 
 
 
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DA AMAZÔNIA 
Campus de Capanema 
x 
y 
y = f(x) 
P 
Definindo a tangente em P: 
x 
f(x) 
secante 
Q 
x+x 
f(x+x) 
x 
f(x+ x)-f(x) 
Logo, a secante msec é dada por 
x
xfxxf



)()(
msec
y = mx+b 
x 
y = f(x) 
P 
Definindo a tangente em P: 
x 
f(x) 
Q 
x+x 
f(x+x) 
x 
f(x+ x)-f(x) 
Q1 
secante 
y 
x 
y 
y = f(x) 
P 
Definindo a tangente em P: 
x 
f(x) 
Q 
x+x 
f(x+x) 
x 
f(x+ x) - f(x) 
Q1 
secante 
Q2 
A tangente mtang é definida por 
x
xfxxf
m
x
g




)()(
lim
0
tan
P 
x 
f(x) 
Q 
tangente em P 
f(x+x) 
x+x 
secante 
A derivada de uma função num ponto de abcissa x, é igual à t.v.m. quando ∆x → 0 
A tangente mtang é definida por 
P 
x 
f(x) 
Q 
tangente em P 
f(x+x) 
x+x 
secante 
x
xfxxf
m
xxx
xx
xfxf
x
y
m
x
x
xxPQ
x












)()(
lim
)()(
limlim
11
0
1
12
12
12
12
1
A tangente mtang é definida por 
P 
x 
f(x1) 
Q 
tangente em P 
f(x1+x) 
x+x 
secante 
Exemplos: a) f(x)=3x+2 
3)('
3lim)('
3
lim)('
23233
lim)('
)23(2)(3
lim)('
)()(
lim)('
2)(3)(
23)(
0
0
0
0
0





















xf
xf
x
x
xf
x
xxx
xf
x
xxx
xf
x
xfxxf
xf
xxxxf
xxf
x
x
x
x
x
 
b) f(x)=1-4x2 
b) f(x)=1-4x2 
xxf
xxxf
x
xxx
xf
x
xxxxx
xf
x
xxxxx
xf
x
xxx
xf
x
xfxxf
xf
xxxxf
xxf
x
x
x
x
x
x
8)('
48lim)('
48
lim)('
414841
lim)('
41)2(41
lim)('
)41()(41
lim)('
)()(
lim)('
)(41)(
41)(
0
2
0
222
0
222
0
22
0
0
2
2

























 
c) f(x)=2x2-x-1 
c) f(x)=2x2-x-1 
14)('
124lim)('
24
lim)('
121242
lim)('
121)2(2
lim)('
)12(1)()(2
lim)('
)()(
lim)('
1)()(2)(
12)(
0
2
0
222
0
222
0
22
0
0
2
2

























xxf
xxxf
x
xxxx
xf
x
xxxxxxxx
xf
x
xxxxxxxx
xf
x
xxxxxx
xf
x
xfxxf
xf
xxxxxxf
xxxf
x
x
x
x
x
x
Como achar a Equação da Reta Tangente à Curva y = f (x) em (x1, y1) 
1. Calcule f (x1) e f (x1 + ∆x). 
2. Calcule o coeficiente angular 
x
xfxxf
xm
x 



)()(
lim)( 11
0
1
3. Se o limite existe, então determine a reta tangente quando 
)()( 11 xxmxfy 
a) f(x)=x2 quando x=2 
42.2)(
2
2)(
2)('
2
)2(
lim)('
2
lim)('
)(
lim)('
)()(
lim)('
)()(
)(
1
11
11
1
1
0
1
2
1
2
1
2
1
0
1
22
1
0
1
11
0
1
2
11
2
1























xm
x
quando
xxm
ou
xxf
xx
x
xxx
xf
x
xxxxx
xf
x
xxx
xf
x
xfxxf
xf
xxxxf
xxf
x
x
x
x
44
)2.(44
)).((')(
).()(
)4,2(
42)2(
2
)(
111
11
22
2
1







xy
xy
xxxfxfy
xxmxfy
P
xf
x
quando
xxf
 Determine a equação da reta tangente à função f(x) no ponto indicado e 
faça o esboço do gráfico: 
a) f(x)=x2 quando x=2 
42.2)(
2
2)(
2)('
2
)2(
lim)('
2
lim)('
)(
lim)('
)()(
lim)('
)()(
)(
1
11
11
1
1
0
1
2
1
2
1
2
1
0
1
22
1
0
1
11
0
1
2
11
2
1























xm
x
quando
xxm
ou
xxf
xx
x
xxx
xf
x
xxxxx
xf
x
xxx
xf
x
xfxxf
xf
xxxxf
xxf
x
x
x
x
44
)2.(44
)).((')(
).()(
)4,2(
42)2(
2
)(
111
11
22
2
1







xy
xy
xxxfxfy
xxmxfy
P
xf
x
quando
xxf
 Determine a equação da reta tangente à função f(x) no ponto indicado e 
faça o esboço do gráfico: 
Conceito, Notação e Representação 
Derivada 
Uma função derivável em um ponto pode ser não-derivável em outro!!!! 
Conceito: 
 A função f’(x) é chamada de derivada de f 
em relação a x. O domínio de f(x) consiste de 
todo x para qual o limite existe. 
Domínio da função derivada 
 
- O domínio de f’ é o conjunto de pontos no domínio de f para o qual o limite 
existe. Ele pode ser o mesmo domínio de f ou menor. 
 
- Se f’ existe para um determinado valor de x, dizemos que f é derivável em x. 
 
- Se f’ existe em todo ponto do domínio de f, chamamos f de derivável. 
Derivada 
Notação: maneira como representamos um 
conceito. 
 
- 1º Newton denotou através de letras ponteadas ẋ e ẏ 
 
- Lagrange: f’(x), f’’(x),...,f(n)(x) 
 
- Leibniz: 
 
 
-Cauchy: Df(x), D2f(x),..., D(n)f(x) 
 
 
)(
)(
2
2
,...,,
n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dy
Derivada 
 Representação matemática do conceito de 
derivada. 
 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)('
0
Derivação de funções algébricas e 
transcendentes 
Operações algébricas: +, -, *, /,^ e √ com índice 
inteiro positivo. As funções que transcendem as 
operações algébricas são as exponenciais, 
logarítmicas e trigonométricas. 
Regras de Derivação 
 
 
Derivada de uma constante 
 
 
cxf )( 0)(' xf
2)( xf ?)(' xf
0)( c
dx
d
x 
y 
c 
y = c 
Inclinação = 0 
Derivada de uma função identidade 
 
xxf )( 1)(' xf
(Quando se tem uma constante no termo, 
ela permanece. No caso de uma constante 
estar sozinha, a sua derivada vale zero). 
       








x
y
Regra da Potência 
 
 
nxxf )(
1)('  nxnxf
5)( xxf 
45)(' xxf 
1)(  nn nxx
dx
d
Exemplo: 
 
 
 
 
x
y
1

   
2
21 1.1
1
x
xx
dx
d
xdx
d





 
  1 nn nxx
dx
d
Inverso da base e oposto do expoente 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
3
4
x
y 
   
4
43
3
12
3.4.4
4
x
xx
dx
d
xdx
d





 
  1 nn nxx
dx
d
3
1
*4
x
y 
Inverso da base e oposto do expoente 
 
 
Derivada do Produto de uma Constante 
por uma Função 
 
 
)()( xfcxg  )(')(' xfcxg 
28)( xxg  xxxg 16)2(8)(' 
)()]([ xcfxcf
dx
d

2)( cxxf 
cxcx
dx
d
2)( 2 
Derivada de uma Soma 
 
 
)()()( xgxfxh  )(')(')(' xgxfxh 
583)( 4  xxxf
?)(' xf 812
3  xR
Derivada de uma Soma 
 
 
)]([)]([)]()([ xg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d

Exemplo: seja a função 
25410)( tttx 
tttt
dx
d
1041040)5410( 2 
Derivada de um Produto 
 
 
)()()( xgxfxh 
)()(')(')()(' xgxfxgxfxh 
dx
df
xgdx
dg
xfxgxf
dx
d
).().()]().([ 
Exemplo: seja a função 
)13()( 2  xxxP
f(x) = x2 g(x) =3x+1 
xxxxxxxxxP 29263)13).(2()3).(()´( 2222 
Derivada de um Quociente 
 
 )(
)(
)(
xg
xf
xh 
2)]([
)(')()(')(
)('
xg
xgxfxfxg
xh


)(
).().(
)(
)(
2 xg
dx
dg
xf
dx
df
xg
xg
xf
dx
d







Exemplo: seja a função 
)3/()212( 2  xxxy
2
2
2
2
)3(
156
)3(
)]1.(212()22).(3(
)´(






x
xx
x
xxxx
xQ
2)]([
)(')()(')(
)('
xg
xgxfxfxg
xh
