DERIVADA IMPLICITAMENTE

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Professor Marcio L. Cezar
Cálculo I
12/08/2020
Estudo das Derivadas
Uma aplicação geométrica para a definição
de derivadas
• Reta tangente
Consideraremos a inclinação de uma curva 𝑓 𝑥 e,
em seguida iremos calcular a inclinação da reta
secante a 𝑓 𝑥 , para em seguida, partido dessa ideia,
podermos definir a inclinação da reta tangente a essa
curva em determinado ponto.
Seja 𝑓 𝑥 uma curva definida no intervalo
𝑎, 𝑏 Sejam 𝑃 𝑥0, 𝑦0 e 𝑄 𝑥, 𝑦 dois pontos
distintos da curva 𝑓 𝑥 .
Seja a reta secante que passa pelos pontos 𝑃 𝑒 𝑄.
Considerando o triângulo retângulo 𝑃𝑀𝑄, logo
teremos que a inclinação da reta secante (ou o
coeficiente angular da reta secante) dada por:
𝑡𝑔𝛽 =
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
Também podendo ser:
𝑡𝑔𝛽 =
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
Vamos supor agora que o ponto P permaneça fixo, e que o ponto Q semova sobre a curva em direção ao ponto P.
Partindo dessa hipótese, a inclinação 𝛽 da reta secante irá variar. A medida que o ponto Q se aproxima do ponto P,
essa variação será cada vez menor, tendendo a um limite constante.
Esse limite é denominado de inclinação da reta tangente à curva 𝑓 𝑥 no ponto 𝑃.
OBS: Dada uma curva 𝑓 𝑥 , seja 𝑃 𝑥0, 𝑦0 um ponto sobre ela. A inclinação da reta tangente à essa curva no ponto
𝑃é dada por:
𝒎 𝒙𝒐 = lim
𝑸→𝑷
𝒇 𝒙 − 𝒇 𝒙𝒐
𝒙 − 𝒙𝒐
Ou por 𝒎 𝒙𝒐 = lim
𝒙→𝒙𝒐
𝒇 𝒙 −𝒇 𝒙𝒐
𝒙−𝒙𝒐
Quando o limite existir
Derivada de uma função em determinado ponto
O limite da inclinação da reta tangente a uma curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 no ponto 𝑥0, 𝑓 𝑥0 nos dá a ideia de derivada da 
função 𝑦 = 𝑓 𝑥 no ponto 𝑥0.
Então podemos afirmar que, geometricamente, da derivada da função 𝑓 𝑥 no ponto 𝑥0 representa a inclinação da 
curva nesse ponto.
A derivada de um função 𝑓(𝑥) em um ponto 𝑥0, denotada por 𝑓′(𝑥), é definida pelo limite:
𝑓′ 𝑥0 = lim
𝑥⟶𝑥0
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
Ou se considerarmos ∆𝑥 = ℎ = 𝑥 − 𝑥0, logo 𝑥 = 𝑥0 + ℎ, ou 𝑥 = 𝑥0 + ∆𝑥. Então podemos escrever 𝑓′(𝑥) por:
𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)
ℎ
𝑜𝑢
𝑓′ 𝑥0 = lim
∆𝑥⟶0
𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
Exemplo
Dadas as funções usando duas definições calcule a
derivada de cada função dada:
a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑥 − 4, encontrar 𝑓′(2).
Usando a definição 𝑓′ 𝑥0 = lim
𝑥⟶𝑥0
𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0
𝑓′ 2 = lim
𝑥⟶2
𝑓 𝑥 −𝑓(2)
𝑥−2
𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑥 − 4
𝑓 2 = 3 ∙ 22 + 2 ∙ 2 − 4
𝑓 2 = 3 ∙ 4 + 2 ∙ 2 − 4
𝑓 2 = 12 + 4 − 4
𝑓 2 = 12
Logo teremos
𝑓′ 2 = lim
𝑥⟶2
𝑓 𝑥 −𝑓(2)
𝑥−2
𝑓′ 2 = lim
𝑥⟶2
𝑓 𝑥 −12
𝑥−2
𝑓′ 2 = lim
𝑥⟶2
3𝑥2+2𝑥−4−12
𝑥−2
𝑓′ 2 = lim
𝑥⟶2
3𝑥2+2𝑥−16
𝑥−2
Fatorando o polinômio 3𝑥2 + 2𝑥 − 16, usando o dispositivo
de Briot-Ruffini teremos:
2
|
3 2
3 8
|
−16
0
, portanto o numerador da fração poderá
ser escrito na forma fatorada da seguinte forma:
3𝑥2 + 2𝑥 − 16 = 𝑥 − 2 ∙ 3𝑥 + 8
Logo o limite ficará assim definido
𝑓′ 2 = lim
𝑥⟶2
3𝑥2+2𝑥−16
𝑥−2
𝑓′ 2 = lim
𝑥⟶2
𝑥−2 ∙ 3𝑥+8
𝑥−2
𝑓′ 2 = lim
𝑥⟶2
3𝑥 + 8
𝑓′ 2 = 3 ∙ 2 + 8
𝑓′ 2 = 6 + 8
𝑓′ 2 = 14
𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑥 − 4
Usando a definição 𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)
ℎ
𝑓′ 2 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)
ℎ
𝑓 𝑥0 = 3(𝑥0)
2 + 2𝑥0 − 4
𝑓 𝑥0 + ℎ = 3 ∙ 𝑥0 + ℎ
2 + 2 ∙ 𝑥0 + ℎ − 4
𝑓 𝑥0 + ℎ = 3 ∙ ((𝑥0)
2 + 2𝑥0ℎ + ℎ
2) + 2 ∙ 𝑥0 + ℎ − 4
𝑓 𝑥0 + ℎ = 3 ∙ (𝑥0)
2 + 6𝑥0ℎ + 3ℎ
2 + 2𝑥0 + 2ℎ − 4
𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)
ℎ
𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ⟶0
3∙(𝑥0)
2+6𝑥0ℎ+3ℎ
2+2𝑥0+2ℎ−4− 3(𝑥0)
2+2𝑥0−4
ℎ
𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ⟶0
3∙(𝑥0)
2+6𝑥0ℎ+3ℎ
2+2𝑥0+2ℎ−4−3 𝑥0
2−2𝑥0+4
ℎ
𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ⟶0
6𝑥0ℎ+3ℎ
2+2ℎ
ℎ
𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ⟶0
6𝑥0ℎ+3ℎ
2+2ℎ
ℎ
𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ⟶0
ℎ(6𝑥0+3ℎ+2)
ℎ
𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ⟶0
6𝑥0 + 3ℎ + 2
𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ⟶0
6𝑥0 + 3ℎ + 2
𝑓′ 𝑥0 = 6𝑥0 + 3 ∙ 0 + 2
𝒇′ 𝒙𝟎 = 𝟔𝒙𝟎 + 𝟐
𝑓′ 2 = 6 ∙ 2 + 2
𝑓′ 2 = 12 + 2
𝑓′ 2 = 14 
b) Encontra a derivada da função 𝑓 𝑥 =
𝑥−2
𝑥+3
𝑓′ 𝑥0 = lim
𝑥⟶𝑥0
𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0
𝑓 𝑥 =
𝑥−2
𝑥+3
⟹ 𝑓 𝑥0 =
𝑥0−2
𝑥0+3
𝑓′ 𝑥0 = lim
𝑥⟶𝑥0
𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0
= lim
𝑥⟶𝑥0
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)
1
𝑥−𝑥0
𝑓′ 𝑥0 = lim
𝑥⟶𝑥0
𝑥−2
𝑥+3
−
𝑥0−2
𝑥0+3
1
𝑥−𝑥0
𝑓′ 𝑥0 = lim
𝑥⟶𝑥0
𝑥−2 𝑥0+3 − 𝑥0−2 𝑥+3
𝑥+3 𝑥0+3
1
𝑥−𝑥0
𝑓′ 𝑥0 = lim
𝑥⟶𝑥0
𝑥𝑥0+3𝑥−2𝑥0−6− 𝑥𝑥0+3𝑥0−2𝑥−6
𝑥+3 𝑥0+3
1
𝑥−𝑥0
𝑓′ 𝑥0 = lim
𝑥⟶𝑥0
𝑥𝑥0+3𝑥−2𝑥0−6−𝑥𝑥0−3𝑥0+2𝑥+6
𝑥+3 𝑥0+3
1
𝑥−𝑥0
𝑓′ 𝑥0 = lim
𝑥⟶𝑥0
3𝑥−2𝑥0−3𝑥0+2𝑥
𝑥+3 𝑥0+3
1
𝑥−𝑥0
𝑓′ 𝑥0 = lim
𝑥⟶𝑥0
3𝑥−2𝑥0−3𝑥0+2𝑥
𝑥+3 𝑥0+3
1
𝑥−𝑥0
𝑓′ 𝑥0 = lim
𝑥⟶𝑥0
5𝑥−5𝑥0
𝑥+3 𝑥0+3
1
𝑥−𝑥0
𝑓′ 𝑥0 = lim
𝑥⟶𝑥0
5(𝑥−𝑥0)
𝑥+3 𝑥0+3
1
𝑥−𝑥0
𝑓′ 𝑥0 = lim
𝑥⟶𝑥0
5
𝑥+3 𝑥0+3
Logo se 𝑥 ⟶ 𝑥0, então podemos substituir 𝑥0 por 𝑥 na 
última equação calculada. Assim fazendo teremos:
𝑓′ 𝑥0 = lim
𝑥⟶𝑥0
5
𝑥+3 𝑥0+3
𝑓′ 𝑥 =
5
𝑥+3 𝑥+3
𝑓′ 𝑥 =
5
𝑥+3 2
Usando a definição 𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓 𝑥 =
𝑥−2
𝑥+3
𝑓 𝑥 + ℎ =
𝑥+ℎ−2
𝑥+ℎ+3
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥+ℎ−2
𝑥+ℎ+3
−
𝑥−2
𝑥+3
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥+ℎ−2 𝑥+3 − 𝑥−2 𝑥+ℎ+3
𝑥+ℎ+3 𝑥+3
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥+ℎ−2 𝑥+3 − 𝑥−2 𝑥+ℎ+3
𝑥+ℎ+3 𝑥+3 ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥2+3𝑥+ℎ𝑥+3ℎ−2𝑥−6− 𝑥2+ℎ𝑥+3𝑥−2𝑥−2ℎ−6
𝑥+ℎ+3 𝑥+3 ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥2+3𝑥+ℎ𝑥+3ℎ−2𝑥−6−𝑥2−ℎ𝑥−3𝑥+2𝑥+2ℎ+6
𝑥+ℎ+3 𝑥+3 ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥2−𝑥2+3𝑥−3𝑥+ℎ𝑥−ℎ𝑥+3ℎ+2ℎ−2𝑥+2𝑥−6+6
𝑥+ℎ+3 𝑥+3 ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥2−𝑥2+3𝑥−3𝑥+ℎ𝑥−ℎ𝑥+3ℎ+2ℎ−2𝑥+2𝑥−6+6
𝑥+ℎ+3 𝑥+3 ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
5ℎ
𝑥+ℎ+3 𝑥+3 ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
5
𝑥+ℎ+3 𝑥+3
𝑓′ 𝑥 =
5
𝑥+0+3 𝑥+3
𝑓′ 𝑥 =
5
𝑥+3 𝑥+3
𝑓′ 𝑥 =
5
𝑥+3 2
Regras de derivação (Diferenciação)
1) Derivada de uma constante c
Seja c uma constante real e 𝑓 𝑥 = 𝑐, para todo x,
então temos:
𝒇 𝒙 = 𝒄 ⟹ 𝒇′ 𝒙 = 𝟎
Provando esse resultado.
Utilizando a definição 𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0)
ℎ
𝑓 𝑥0 + ℎ = 𝑐 e 𝑓 𝑥0 = 𝑐
𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ⟶0
𝑐−𝑐
ℎ
𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ⟶0
0
ℎ
𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ⟶0
0
𝑓′ 𝑥 = 0
Portanto para está comprovado que, a derivada de
qualquer que seja o número real será igual a zero
2) Derivada de uma Potência
Seja n um número inteiro positivo, 𝑐 uma
constante real e 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑥𝑛, então temos:
𝒇 𝒙 = 𝒄𝒙𝒏 ⟹ 𝒇′ 𝒙 = 𝒏 ∙ 𝒄𝒙𝒏−𝟏
Exemplo:
Calcular a diferencial da função dada:
𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 2𝑥 − 4
𝑓′ 𝑥 = 2 ∙ 3𝑥2−1 + 1 ∙ 2𝑥1−1 − 0
𝑓′ 𝑥 = 6𝑥1 + 2𝑥0
𝑓′ 𝑥 = 6𝑥 + 2
3) Derivada do Produto de duas funções
Sejam u e v duas funções, então teremos 𝒖 ∙ 𝒗 ′ 𝒙 = 𝒖′ ∙ 𝒗 + 𝒖 ∙ 𝒗′
Exemplos:
Calcule a derivada das seguintes funções:
a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 4 ∙ 𝑥2 + 7
𝒖 = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 4, 𝒗 = 𝑥2 + 7
𝒇′ 𝒙 = 𝒖′ ∙ 𝒗 + 𝒖 ∙ 𝒗′
𝑓′ 𝑥 = 𝟔𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 ∙ 𝑥2 + 7 + 2𝑥3 + 3𝑥2 − 4 ∙ 𝟐𝒙
𝑓′ 𝑥 = 𝟔𝒙𝟒 +𝟒𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 + 𝟒𝟐𝒙 + 𝟒𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟑 − 𝟖𝒙
𝑓′ 𝑥 = 𝟔𝒙𝟒 +𝟒𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟑 + 𝟒𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟐𝒙 − 𝟖𝒙
𝑓′ 𝑥 = 𝟏𝟎𝒙𝟒 +𝟏𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝟒𝒙
b) 𝑦 = 2𝑥3 − 1 ∙ 𝑥4 − 𝑥2
𝒖 = 2𝑥3 − 1, 𝒗 = 𝑥4 − 𝑥2
𝒚′ = 𝒖′ ∙ 𝒗 + 𝒖 ∙ 𝒗′
𝒚′ = 𝟔𝒙𝟐 ∙ 𝑥4 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 1 ∙ 𝟒𝒙𝟑 − 𝟐𝒙
𝒚′ = 𝟔𝒙𝟔 −𝟔𝒙𝟒 + 𝟖𝒙𝟔 − 𝟒𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝒙
𝒚′ = 𝟔𝒙𝟔 + 𝟖𝒙𝟔 − 𝟔𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟒 −𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝒙
𝒚′ = 𝟏𝟒𝒙𝟔 − 𝟏𝟎𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝒙
4) Derivada do Quociente de duas funções
Sejam u e v duas funções, então teremos
𝒖
𝒗
′
𝒙 =
𝒖′∙ 𝒗−𝒖 ∙ 𝒗′
𝒗𝟐
Exemplos:
Calcule a derivada das seguintes funções:
a) y =
𝑥−2
𝑥+3
𝒖 = 𝑥 − 2, 𝒗 = 𝑥 + 3
𝒚′ =
𝒖′∙ 𝒗−𝒖 ∙ 𝒗′
𝒗𝟐
𝒚′ =
𝟏∙ 𝑥+3 − 𝑥−2 ∙𝟏
𝑥+3 𝟐
𝒚′ =
𝑥+3−𝑥+2
𝑥+3 𝟐
𝒚′ =
𝑥−𝑥+3+2
𝑥+3 𝟐
𝒚′ =
5
𝑥+3 𝟐
b) 𝑔 𝑥 =
𝑥4−𝑥2−2𝑥
1−𝑥
𝒖 = 𝑥4 − 𝑥2 − 2𝑥, 𝒗 = 1 − 𝑥
𝒈′ 𝒙 =
𝒖′∙ 𝒗−𝒖 ∙ 𝒗′
𝒗𝟐
𝒈′ 𝒙 =
𝟒𝒙𝟑−𝟐𝒙−𝟐 ∙ 𝟏−𝒙 − 𝑥4−𝑥2−2𝑥 ∙ −𝟏
1−𝑥 𝟐
𝒈′ 𝒙 =
𝟒𝒙𝟑−𝟒𝒙𝟒−𝟐𝒙+𝟐𝒙𝟐−𝟐+𝟐𝒙− −𝟏 𝑥4−𝑥2−2𝑥
1−𝑥 𝟐
𝒈′ 𝒙 =
−𝟒𝒙𝟒+𝑥4+𝟒𝒙𝟑+𝟐𝒙𝟐−𝑥2−𝟐𝒙+𝟐𝒙−2𝑥−𝟐
1−𝑥 𝟐
𝒈′ 𝒙 =
−𝟑𝑥4+𝟒𝒙𝟑+𝒙𝟐−2𝑥−𝟐
1−𝑥 𝟐
Tabela de Derivadas de Funções
1) 𝑓 𝑥 = 𝑐 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 0
2) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑥𝑛 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑐𝑥𝑛−1
3) 𝑢 ∙ 𝑣 ′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′
4) 
𝑢
𝑣
′
=
𝑢′∙𝑣−𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣2
5) 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥
6) 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥
7) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
8) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥
9) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥
10) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥
11) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑥
12) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
Exercícios
1) Utilize a definição 𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
para
calcular as derivadas das seguintes funções
dadas:
a) 𝑦 = 4𝑥2 + 5𝑥 + 3
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥2
c) 𝑓 𝑥 = 𝑥
d) 𝑔 𝑥 =
𝑥+2
−𝑥+3
e) 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 12
2) Aplique as regras de derivação para calcular as
derivadas das seguintes funções dadas:
a) 𝑦 = 4𝑥2 + 5𝑥 + 3
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥2
c) 𝑓 𝑥 = 𝑥
d) 𝑔 𝑥 =
𝑥+2
−𝑥+3
e) 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 12
Continuação do exercício 2:
f) 𝑦 = 𝑥3 −3𝑥2 +5𝑥 − 1
g) 𝑓 𝑥 = 3𝑥4 −4𝑥2 +5𝑥 − 1
h) 𝑓 𝑥 =
𝑥8
8
−3𝑥4 +1
i) 𝑓 𝑥 = 𝑥7 −2𝑥4 +5𝑥3 − 3𝑥
j) 𝑓 𝑥 =
8
𝑥8
−
3
𝑥4
− 9
k) 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 − 5 ∙ 3𝑥 − 2
l) 𝑓 𝑥 = 3𝑥4 − 1 ∙ 2𝑥3 − 6𝑥
m) 𝑦 =
𝑥3−3𝑥2
5𝑥−1
n) 𝑦 =
3−𝑥2
2𝑥−3
o) 𝑔 𝑥 =
3𝑥5+2𝑥
𝑥2−𝑥
p) 𝑔 𝑥 = 3𝑥4 − 1 ∙ 2𝑥3 − 6𝑥 3𝑥2 + 12
𝑞) 𝑔 𝑥 = 3𝑥4 − 1 ∙ 2𝑥3 − 6𝑥 3𝑥2 + 12
1) Utilize a definição 𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
para calcular as
derivadas das seguintes funções dadas:
a) 𝑦 = 4𝑥2 + 5𝑥 + 3
𝑓 𝑥 = 4𝑥2 + 5𝑥 + 3
Calculando 𝑓 𝑥 + ℎ
𝑓 𝑥 + ℎ = 𝑓 𝑥 + ℎ = 4 𝑥 + ℎ 2 + 5(𝑥 + ℎ) + 3
𝑓 𝑥 + ℎ = 4 𝑥2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2 + 5𝑥 + 5ℎ + 3
𝑓 𝑥 + ℎ = 4𝑥2 + 8ℎ𝑥 + 4ℎ2 + 5𝑥 + 5ℎ + 3
Substituindo os resultados obtidos na definição
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
4𝑥2 + 8ℎ𝑥 + 4ℎ2 + 5𝑥 + 5ℎ + 3 − (4𝑥2 + 5𝑥 + 3 )
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
4𝑥2 + 8ℎ𝑥 + 4ℎ2 + 5𝑥 + 5ℎ + 3 − 4𝑥2 − 5𝑥 − 3
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
8ℎ𝑥 + 4ℎ2 + 5ℎ
ℎ
Fatorando o numerador colocando o h em
evidência
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
ℎ(8𝑥 + 4ℎ + 5)
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
(8𝑥 + 4ℎ + 5)
𝑓′ 𝑥 = 8𝑥 + 4 ∙ 0 + 5
𝑓′ 𝑥 = 8𝑥 + 5
𝑦′ = 8𝑥 + 5
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥2
A definição é:
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓 𝑥 + ℎ = 𝑥 + ℎ 2
𝑓 𝑥 + ℎ = 𝑥2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2
Substituindo os resultados na definição
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2 − 𝑥2
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥2 − 𝑥2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
2ℎ𝑥 + ℎ2
ℎ
Fatorando o numerador colocando o h em evidência
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
2ℎ𝑥 + ℎ2
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
ℎ(2𝑥 + ℎ)
ℎ
Simplificando a função por h
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
ℎ(2𝑥 + ℎ)
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
(2𝑥 + ℎ)
Calculando o limite da função
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
(2𝑥 + ℎ)
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 + 0
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥
𝑐) 𝑓 𝑥 = 𝑥
A definição é:
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓 𝑥 + ℎ = 𝑥 + ℎ
Substituindo os resultados na definição
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥 + ℎ − 𝑥
ℎ
Racionalizando o numerador
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥 + ℎ − 𝑥
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥 + ℎ − 𝑥
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥 + ℎ − 𝑥
ℎ
∙
𝒙 + 𝒉 + 𝒙
𝒙 + 𝒉 + 𝒙
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥 + ℎ
2
− 𝑥
2
ℎ 𝑥 + ℎ + 𝑥
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥 + ℎ − 𝑥
ℎ 𝑥 + ℎ + 𝑥
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
ℎ
ℎ 𝑥 + ℎ + 𝑥
Simplificando o limite por h
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
1
𝑥 + ℎ + 𝑥
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
1
𝑥 + ℎ + 𝑥
Calculando o limite
𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥 + 0 + 𝑥
𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥 + 𝑥
𝑓′ 𝑥 =
1
2 𝑥
Portanto se 𝑓 𝑥 = 𝑥, então 𝑓′ 𝑥 =
1
2 𝑥
d) 𝑔 𝑥 =
𝑥+2
−𝑥+3
A definição é:
𝑔′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔(𝑥)
ℎ
𝑔 𝑥 + ℎ =
𝑥 + ℎ + 2
− 𝑥 + ℎ + 3
Calculando g 𝑥 + ℎ
𝑔 𝑥 + ℎ =
𝑥 + ℎ + 2
− 𝑥 + ℎ + 3
𝑔 𝑥 + ℎ =
𝑥 + ℎ + 2
−𝑥 − ℎ + 3
Substituindo as informações na definição de derivada
𝑔′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔(𝑥)
ℎ
𝑔′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥 + ℎ + 2
−𝑥 − ℎ + 3
−
𝑥 + 2
−𝑥 + 3
ℎ
𝑔′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥 + ℎ + 2
−𝑥 − ℎ + 3
−
𝑥 + 2
−𝑥 + 3
ℎ
𝑔′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥 + ℎ + 2 −𝑥 + 3 − (𝑥 + 2) −𝑥 − ℎ + 3
(−𝑥 − ℎ + 3) ∙ (−𝑥 + 3)
ℎ
𝑔′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑥 + ℎ + 2 −𝑥 + 3 − (𝑥 + 2) −𝑥 − ℎ + 3
(−𝑥 − ℎ + 3) ∙ (−𝑥 + 3)
∙
1
ℎ
𝑔′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
−𝑥2 + 3𝑥 − 𝑥ℎ + 3ℎ − 2𝑥 + 6 − −𝑥2 − 𝑥ℎ + 3𝑥 − 2𝑥 − 2ℎ + 6
ℎ ∙ (−𝑥 − ℎ + 3) ∙ (−𝑥 + 3)
𝑔′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
−𝑥2 + 3𝑥 − 𝑥ℎ + 3ℎ − 2𝑥 + 6 + 𝑥2 + 𝑥ℎ − 3𝑥 + 2𝑥 + 2ℎ − 6
ℎ ∙ (−𝑥 − ℎ + 3) ∙ (−𝑥 + 3)
𝑔′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
−𝑥2 + 𝑥2 − 𝑥ℎ + 𝑥ℎ − 2𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 − 3𝑥 + 3ℎ + 2ℎ + 6 − 6
ℎ ∙ (−𝑥 − ℎ + 3) ∙ (−𝑥 + 3)
𝑔′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
5ℎ
ℎ ∙ (−𝑥 − ℎ + 3) ∙ (−𝑥 + 3)
𝑔′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
5ℎ
ℎ ∙ (−𝑥 − ℎ + 3) ∙ (−𝑥 + 3)
Simplificando o limite por h
𝑔′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
5
(−𝑥 − ℎ + 3) ∙ (−𝑥 + 3)
Calculando o limite
𝑔′ 𝑥 =
5
(−𝑥 − 0 + 3) ∙ (−𝑥 + 3)
𝑔′ 𝑥 =
5
(−𝑥 + 3) ∙ (−𝑥 + 3)
𝑔′ 𝑥 =
5
(−𝑥 + 3)2
Portanto se 𝑔 𝑥 =
𝑥+2
−𝑥+3
, então a derivada 
de se 𝑔 𝑥 será:
𝑔′ 𝑥 =
5
(−𝑥 + 3)2
e) 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 12
A definição é:
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓 𝑥 + ℎ = 3 𝑥 + ℎ 2 + 12
𝑓 𝑥 + ℎ = 3𝑥2 + 6ℎ𝑥 + 3ℎ2 + 12
Substituindo os resultados na definição
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
3𝑥2 + 6ℎ𝑥 + 3ℎ2 + 12 − (3𝑥2 + 12)
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
3𝑥2 + 6ℎ𝑥 + 3ℎ2 + 12 − 3𝑥2 − 12
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
3𝑥2 − 3𝑥2 + 6ℎ𝑥 + 3ℎ2 + 12 − 12
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
3𝑥2 − 3𝑥2 + 6ℎ𝑥 + 3ℎ2 + 12 − 12
ℎ
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
6ℎ𝑥 + 3ℎ2
ℎ
Colocando o h em evidência no numerador
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
ℎ(6𝑥 + 3ℎ)
ℎ
Simplificando o limite por h
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
(6𝑥 + 3ℎ)
Calculando o limite
𝑓′ 𝑥 =6𝑥 + 3 ∙ 0
𝑓′ 𝑥 =6𝑥
Portanto se 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 12, logo sua derivada será:
𝑓′ 𝑥 =6𝑥
2) Aplique as regras de derivação para calcular as derivadas
das seguintes funções dadas:
a) 𝑦 = 4𝑥2 + 5𝑥 + 3
Aplicando as regras 
𝑓 𝑥 = 𝑐 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 0 e 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑥𝑛 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑐𝑥𝑛−1
𝑓′ 𝑥 = 8𝑥 + 5
𝑏) 𝑓 𝑥 = 𝑥2
Aplicando a regra 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑥𝑛 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑐𝑥𝑛−1
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥
c) 𝑓 𝑥 = 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑥
1
2
Aplicando a regra 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑥𝑛 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑐𝑥𝑛−1
𝑓′ 𝑥 =
1
2
𝑥
1
2
−1
𝑓′ 𝑥 =
1
2
𝑥−
1
2
𝑓′ 𝑥 =
1
2 𝑥
𝑑) 𝑔 𝑥 =
𝑥+2
−𝑥+3
Aplicando a regra da derivado do quociente
𝑢
𝑣
′
=
𝑢′∙ 𝑣−𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣2
𝑢 = 𝑥 + 2
𝑣 = −𝑥 + 3
𝑢′ = 1
𝑣′ = −1
𝑔′ 𝑥 =
𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣2
𝑔′ 𝑥 =
1 ∙ −𝑥 + 3 − 𝑥 + 2 ∙ −1
−𝑥 + 3 2
𝑔′ 𝑥 =
−𝑥 + 3 + 𝑥 + 2
−𝑥 + 3 2
𝑔′ 𝑥 =
5
−𝑥 + 3 2
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ⟶0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
f) 𝑦 = 𝑥3 −3𝑥2 +5𝑥 − 1
Aplicando as regras 
𝒇 𝒙 = 𝒄 ⟹ 𝒇′ 𝒙 = 𝟎 e 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒙𝒏 ⟹ 𝒇′ 𝒙 = 𝒏 ∙ 𝒄𝒙𝒏−𝟏
𝒇′ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟓
g) 𝑓 𝑥 = 3𝑥4 −4𝑥2 +5𝑥 − 1
Aplicando as regras 
𝒇 𝒙 = 𝒄 ⟹ 𝒇′ 𝒙 = 𝟎 e 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒙𝒏 ⟹ 𝒇′ 𝒙 = 𝒏 ∙ 𝒄𝒙𝒏−𝟏
𝒇′ 𝒙 = 𝟏𝟐𝒙𝟑 − 𝟖𝒙 + 𝟓
h) 𝑓 𝑥 =
𝑥8
8
−3𝑥4 +1
Aplicando as regras 
𝒇 𝒙 = 𝒄 ⟹ 𝒇′ 𝒙 = 𝟎 e 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒙𝒏 ⟹ 𝒇′ 𝒙 = 𝒏 ∙ 𝒄𝒙𝒏−𝟏
𝒇′ 𝒙 =
𝟖𝒙𝟕
𝟖
− 𝟏𝟐𝒙𝟑
𝒇′ 𝒙 = 𝒙𝟕 − 𝟏𝟐𝒙𝟑
i) 𝑓 𝑥 = 𝑥7 −2𝑥4 +5𝑥3 − 3𝑥
Aplicando a regra 
𝒇 𝒙 = 𝒄𝒙𝒏 ⟹ 𝒇′ 𝒙 = 𝒏 ∙ 𝒄𝒙𝒏−𝟏
𝒇′ 𝒙 = 𝟕𝒙𝟔 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟏𝟓𝒙𝟐 − 𝟑
j) 𝑓 𝑥 =
8
𝑥8
−
3
𝑥4
− 9
𝑓 𝑥 = 8𝑥−8 − 3𝑥−4 − 9
Aplicando as regras 
𝒇 𝒙 = 𝒄 ⟹ 𝒇′ 𝒙 = 𝟎 e 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒙𝒏 ⟹ 𝒇′ 𝒙 = 𝒏 ∙ 𝒄𝒙𝒏−𝟏
𝒇′ 𝒙 = −𝟔𝟒𝒙−𝟗 + 𝟏𝟐𝒙−𝟓
𝒇′ 𝒙 = −
𝟔𝟒
𝒙𝟗
+
𝟏𝟐
𝒙𝟓
l) 𝑓 𝑥 = 3𝑥4 − 1 ∙ 2𝑥3 − 6𝑥
Aplicando a regra do produto
𝒖 ∙ 𝒗 ′ = 𝒖′ ∙ 𝒗 + 𝒖 ∙ 𝒗′
𝒖 = 𝟑𝒙𝟒 − 𝟏 ⟹ 𝒖′ = 𝟏𝟐𝒙𝟑
𝒗 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙 ⟹ 𝒗′ = 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔
𝒇′ 𝒙 = 𝒖′ ∙ 𝒗 + 𝒖 ∙ 𝒗′
𝒇′ 𝒙 = 𝟏𝟐𝒙𝟑 ∙ 𝟐𝒙𝟑 − 𝟔𝒙 + 𝟑𝒙𝟒 − 𝟏 ∙ 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔
𝒇′ 𝒙 = 𝟐𝟒𝒙𝟔 − 𝟕𝟐𝒙𝟒 + 𝟏𝟖𝒙𝟔 − 𝟏𝟖𝒙𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟔
𝒇′ 𝒙 = 𝟐𝟒𝒙𝟔 + 𝟏𝟖𝒙𝟔 − 𝟕𝟐𝒙𝟒 − 𝟏𝟖𝒙𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟔
𝒇′ 𝒙 = 𝟒𝟐𝒙𝟔 − 𝟗𝟎𝒙𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟔
k) 𝑓 𝑥 = 2𝑥3 − 5 ∙ 3𝑥 − 2
Aplicando a regra do produto
𝒖 ∙ 𝒗 ′ = 𝒖′ ∙ 𝒗 + 𝒖 ∙ 𝒗′
𝒖 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓 ⟹ 𝒖′ = 𝟔𝒙𝟐
𝒗 = 𝟑𝒙 − 𝟐 ⟹ 𝒗′ = 𝟑
𝒇′ 𝒙 = 𝒖′ ∙ 𝒗 + 𝒖 ∙ 𝒗′
𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙𝟐 ∙ 𝟑𝒙 − 𝟐 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓 ∙ 𝟑
𝒇′ 𝒙 = 𝟏𝟖𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟑 − 𝟏𝟓
𝒇′ 𝒙 = 𝟏𝟖𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟓
𝒇′ 𝒙 = 𝟐𝟒𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟓
m) 𝑦 =
𝑥3−3𝑥2
5𝑥−1
Aplicando a regra da derivado do quociente
𝒖
𝒗
′
=
𝒖′ ∙ 𝒗 − 𝒖 ∙ 𝒗′𝒗𝟐
𝒖 = 𝒙𝟑−𝟑𝒙𝟐⟹ 𝒖′ = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙
𝒗 = 𝟓𝒙 − 𝟏 ⟹ 𝒗′ = 𝟓
𝒚′ =
𝒖′ ∙ 𝒗 − 𝒖 ∙ 𝒗′
𝒗𝟐
𝒚′ =
𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 ∙ 𝟓𝒙 − 𝟏 − 𝒙𝟑 −𝟑𝒙𝟐 ∙ 𝟓
𝟓𝒙 − 𝟏 𝟐
𝒚′ =
𝟏𝟓𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟓𝒙𝟑 + 𝟏𝟓𝒙𝟐
𝟓𝒙 − 𝟏 𝟐
𝒚′ =
𝟏𝟓𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙
𝟓𝒙 − 𝟏 𝟐
𝒚′ =
𝟏𝟎𝒙𝟑 − 𝟏𝟖𝒙𝟐 + 𝟔𝒙
𝟓𝒙 − 𝟏 𝟐
n) 𝑦 =
3−𝑥2
2𝑥−3
Aplicando a regra da derivado do quociente
𝒖
𝒗
′
=
𝒖′ ∙ 𝒗 − 𝒖 ∙ 𝒗′
𝒗𝟐
𝑢 = 3−𝑥2⟹ 𝒖′ = −𝟐𝒙
𝒗 = 𝟐𝒙 − 𝟑 ⟹ 𝒗′ = 𝟐
𝒚′ =
𝒖′ ∙ 𝒗 − 𝒖 ∙ 𝒗′
𝒗𝟐
𝒚′ =
−𝟐𝒙 ∙ 𝟐𝒙 − 𝟑 − 3 −𝑥2 ∙ 𝟐
𝟐𝒙 − 𝟑 𝟐
𝒚′ =
−𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟔 + 𝟐𝒙𝟐
𝟐𝒙 − 𝟑 𝟐
𝒚′ =
−𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟔
𝟐𝒙 − 𝟑 𝟐
𝒚′ =
−𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟔
𝟐𝒙 − 𝟑 𝟐
o) 𝑔 𝑥 =
3𝑥5+2𝑥
𝑥2−𝑥
Aplicando a regra da derivado do quociente
𝒖
𝒗
′
=
𝒖′ ∙ 𝒗 − 𝒖 ∙ 𝒗′
𝒗𝟐
𝒖 = 𝟑𝒙𝟓 + 𝟐𝒙 ⟹ 𝒖′ = 𝟏𝟓𝒙𝟒 + 𝟐
𝒗 = 𝒙𝟐 − 𝒙 ⟹ 𝒗′ = 𝟐𝒙 − 𝟏
𝒈′ 𝒙 =
𝒖′ ∙ 𝒗 − 𝒖 ∙ 𝒗′
𝒗𝟐
𝒈′ 𝒙 =
𝟏𝟓𝒙𝟒 + 𝟐 ∙ 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟑𝒙𝟓 + 𝟐𝒙 ∙ 𝟐𝒙 − 𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙 𝟐
𝒈′ 𝒙 =
𝟏𝟓𝒙𝟔 − 𝟏𝟓𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟔𝒙𝟔 + 𝟑𝒙𝟓 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙
𝒙𝟐 − 𝒙 𝟐
𝒈′ 𝒙 =
𝟏𝟓𝒙𝟔 − 𝟔𝒙𝟔 + 𝟑𝒙𝟓 − 𝟏𝟓𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝒙
𝒙𝟐 − 𝒙 𝟐
𝒈′ 𝒙 =
𝟗𝒙𝟔 − 𝟏𝟐𝒙𝟓 − 𝟐𝒙𝟐
𝒙𝟐 − 𝒙 𝟐
p) 𝑔 𝑥 = 3𝑥4 − 1 ∙ 2𝑥3 − 6𝑥 3𝑥2 + 12
Pra esse caso consideraremos o produto de três funções
𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ e queremos calcular sua derivada, então podemos
usar a derivada do produto 𝑢 ∙ 𝑣 ′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′ , se
considerarmos
𝑢 = 𝑓 ∙ 𝑔 𝑒 𝑣 = ℎ
Assim temos:
𝑢 ∙ 𝑣 ′ = 𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ ′
𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ
′
= 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′
𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ
′
= 𝑓 ∙ 𝑔 ′ ∙ ℎ + 𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ′
Pela regra do produto teremos :
𝑓 ∙ 𝑔 ′ = 𝑓′ ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑔′
Logo temos:
𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ
′
= 𝑓 ∙ 𝑔 ′ ∙ ℎ + 𝑓 ∙ 𝑔 ∙ 𝑔ℎ′
𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ
′
= 𝑓′ ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑔′ ∙ ℎ + 𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ′
𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ ′ = 𝑓′ ∙ 𝑔 ∙ ℎ + 𝑓 ∙ 𝑔′ ∙ ℎ + 𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ′
Usando esse princípio iremos resolver a letra p do
𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ ′ = 𝑓′ ∙ 𝑔 ∙ ℎ + 𝑓 ∙ 𝑔′ ∙ ℎ + 𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ′
p) 𝑔 𝑥 = 3𝑥4 − 1 ∙ 2𝑥3 − 6𝑥 3𝑥2 + 12
𝑓 = 3𝑥4 − 1 ⟹ 𝑓′ = 12𝑥3;
𝑔 = 2𝑥3 − 6𝑥 ⟹ 𝑔′ = 6𝑥2 − 6
ℎ = 3𝑥2 + 12 ⟹ ℎ′ = 6𝑥
Aplicando a fórmula 𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ ′ = 𝑓′ ∙ 𝑔 ∙ ℎ + 𝑓 ∙ 𝑔′ ∙ ℎ + 𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ′
𝑔′ 𝑥 = 𝑓′ ∙ 𝑔 ∙ ℎ + 𝑓 ∙ 𝑔′ ∙ ℎ + 𝑓 ∙ 𝑔 ∙ ℎ′
𝑔′ 𝑥 = 12𝑥3 ∙ 2𝑥3 − 6𝑥 ∙ 3𝑥2 + 12 + 3𝑥4 − 1 ∙ 6𝑥2 − 6 ∙ 3𝑥2 + 12 + 3𝑥4 − 1 ∙ 2𝑥3 − 6𝑥 ∙ 6𝑥
𝑔′ 𝑥 = 24𝑥6 − 72𝑥4 ∙ 3𝑥2 + 12 + 18𝑥6 − 18𝑥4 − 6𝑥2 + 6 ∙ 3𝑥2 + 12 + 6𝑥7 −18𝑥5 −2𝑥3 + 6𝑥 ∙ 6𝑥
𝑔′ 𝑥 = 72𝑥8 + 288𝑥6
−216𝑥6 − 864𝑥4
54𝑥8 + 216𝑥6
− 54𝑥6 − 864𝑥4
− 18𝑥4 − 72𝑥2
+18𝑥2 + 72
+36𝑥7 − 108𝑥6 − 12𝑥4 + 36𝑥2
= 126𝑥8 + 36𝑥7 + 126𝑥6 − 1758𝑥4 − 18𝑥2 + 72
𝑔′ 𝑥 = 126𝑥8 + 36𝑥7 + 126𝑥6 − 1758𝑥4 − 18𝑥2 + 72
Derivada de Função Composta
Seja duas funções f e g diferenciáveis, onde 𝑦 = 𝑔 𝑢 e 𝑢 = 𝑓 𝑥 . Podemos afirmar que, para todo x tal 
que 𝑓 𝑥 está no domínio de g, podemos escrever 𝑦 = 𝑔 𝑢 = 𝑔 𝑓 𝑥 , isto é, consideramos uma 
função composta.
Regra da Cadeia
Se 𝑦 = 𝑔 𝑢 e 𝑢 = 𝑓 𝑥 e existem as derivadas 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
e 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
, logo a função composta 𝑔 𝑓 𝑥 tem a derivada 
e é calculada pela equação: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Exemplos:
Calcular a derivada de cada uma das funções dadas 
a seguir em relação à variável x:
a) 𝑦 = 𝑥4 − 5𝑥 3
𝑢 = 𝑥4 − 5𝑥, 𝑦 = 𝑢3
Aplicando a regra da cadeia:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒖
∙
𝒅𝒖
𝒅𝒙
Calcular
𝑑𝑦
𝑑𝑢
(derivar y em relação a u)
𝑦 = 𝑢3
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 3𝑢2
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 3 𝑥4 − 5𝑥 2
Calcular 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
(derivar u em relação a x) 
𝑢 = 𝑥4 − 5𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4𝑥3 − 5
Aplicar a regra da cadeia, sabendo que 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 3 𝑥4 − 5𝑥 2 e 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4𝑥3 − 5
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒖
∙
𝒅𝒖
𝒅𝒙
Daí temos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3 𝑥4 − 5𝑥 2 ∙ 4𝑥3 − 5
𝑏) 𝑦 =
1−2𝑥
𝑥−1
6
𝑢 =
1−2𝑥
𝑥−1
e 𝑦 = 𝑢6
Aplicando a regra da cadeia:
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒖
∙
𝒅𝒖
𝒅𝒙
Calcular 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
(derivar y em relação a u)
𝑦 = 𝑢6
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 6𝑢5
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 6
1−2𝑥
𝑥−1
5
Calcular 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
(derivar u em relação a x) 
𝑢 =
1−2𝑥
𝑥−1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝒇′∙𝒈−𝒇 ∙𝒈′
𝒈𝟐
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑓′∙𝑔−𝑓 ∙𝑔′
𝑔2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
−2∙ 𝑥−1 − 1−2𝑥 ∙1
𝑥−1 2
Aplicar a regra da cadeia, sabendo que 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 6
1−2𝑥
𝑥−1
5
e 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
𝑥−1 2
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒖
∙
𝒅𝒖
𝒅𝒙
Daí temos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 6
1−2𝑥
𝑥−1
5
∙
1
𝑥−1 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
6 1−2𝑥 5
𝑥−1 7
Rascunho
𝑓 = 1 − 2𝑥
𝑓′ = −2
𝑔 = 𝑥 − 1
𝑔′ = 1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
−2𝑥 + 2 − 1 + 2𝑥
𝑥 − 1 2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
−2𝑥 + 2𝑥 + 2 − 1
𝑥 − 1 2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
𝑥 − 1 2
c) 𝑦 = 2𝑥 − 1 2 3 − 𝑥2 3
Temos nesse caso que derivar o produto, logo
usaremos inicialmente a regra 𝑓 ∙ 𝑔 ′ = 𝑓′ ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑔′
𝑓 = 2𝑥 − 1 2 𝑒 𝑔 = 3 − 𝑥2 3
Calculando as derivadas:
Derivando a função f
𝑓′ ⟹ 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑎
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑢 = 2𝑥 − 1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2
𝑓′ =
𝑑𝑓
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑓′ = 2 2𝑥 − 1 ∙ 2
𝑓′ = 4 2𝑥 − 1
𝑓 = 𝑢2
𝑑𝑓
𝑑𝑢
= 2𝑢
𝑑𝑓
𝑑𝑢
= 2 2𝑥 − 1
𝑔 = 3 − 𝑥2 3
Derivando a função 𝑔
𝑔′ ⟹ 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑒𝑖𝑎
𝑑𝑔
𝑑𝑥
=
𝑑𝑔
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑢 = 3 − 𝑥2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −2𝑥
𝑔′ =
𝑑𝑔
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑔′ = 3 3 − 𝑥2 2 ∙ −2𝑥
𝑔′ = −6𝑥 3 − 𝑥2 2
𝑔 = 𝑢3
𝑑𝑔
𝑑𝑢
= 3𝑢2
𝑑𝑔
𝑑𝑢
= 3 3 − 𝑥2 2
𝑓 ∙ 𝑔 ′ = 𝑓′ ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑔′
𝑓 = 2𝑥 − 1 2 𝑒 𝑔 = 3 − 𝑥2 3
𝑓′ = 4 2𝑥 − 1
𝑔′ = −6𝑥 3 − 𝑥2 2
Agora aplicaremos a regra da derivada de um produto
𝑦′ = 𝑓′ ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑔′
𝑦′ = 4 2𝑥 − 1 ∙ 3 − 𝑥2 3 + (2𝑥 − 1)2 −6𝑥(3 − 𝑥2)2
𝑦′ = 4 2𝑥 − 1 ∙ 3 − 𝑥2 3 − 6𝑥(2𝑥 − 1)2(3 − 𝑥2)2
d) ℎ 𝑥 = 4 5 − 𝑥3
Podemos escrever essa função em forma de potência da 
seguinte maneira:
ℎ 𝑥 = 4 5 − 𝑥3
1
2
𝑢 = 5 − 𝑥3
ℎ(𝑢) = 4𝑢
1
2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −3𝑥2
𝑑ℎ
𝑑𝑢
= 4 ∙
1
2
𝑢
1
2−1
𝑑ℎ
𝑑𝑢
= 2𝑢−
1
2
𝑑ℎ
𝑑𝑢
= 2 5 − 𝑥3 −
1
2
𝑑ℎ
𝑑𝑢
=
2
5 − 𝑥3
1
2
𝑑ℎ
𝑑𝑢
=
2
5 − 𝑥3
𝑑ℎ
𝑑𝑢
=
2
5 − 𝑥3
𝑒
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −3𝑥2
Aplicando a regra da cadeia teremos:
𝑑ℎ
𝑑𝑥
=
𝑑ℎ
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑ℎ
𝑑𝑥
=
2
5 − 𝑥3
∙ −3𝑥2
ℎ′ 𝑥 =
−6𝑥2
5 − 𝑥3
e) 𝑓 𝑥 = 5𝑒2𝑥−3
𝑢 = 2𝑥 − 3
𝑓 𝑢 = 5𝑒𝑢
Aplicando a regra da cadeia
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 5𝑒2𝑥−3 ∙ 2
𝑓′ 𝑥 = 10𝑒2𝑥−3
Tabela de Derivadas de Funções
1) 𝑓 𝑥 = 𝑐 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 0
2) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑥𝑛 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑐𝑥𝑛−1
3) 𝑢 ∙ 𝑣 ′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′
4) 
𝑢
𝑣
′
=
𝑢′∙ 𝑣−𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣2
5) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑒𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = c𝑒𝑥
6) 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥
7) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
8) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥
9) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥
10) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥
11) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑥
12) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2
𝑑𝑓
𝑑𝑢
= 5𝑒𝑢
𝑑𝑓
𝑑𝑢
= 5𝑒2𝑥−3
Utilize regras de derivação para provar que se 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥
⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥, e em seguida calcule a derivada de 
𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥2 − 3𝑥
Provando a afirmação 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥
𝑓 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
Então
𝑓′ 𝑥 =
𝑢′∙𝑣−𝑢∙𝑣′
𝑣2
𝑓′ 𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥∙𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑒𝑛𝑥∙ −𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑓′ 𝑥 =
𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑓′ 𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥
Tabela de Derivadas de Funções
1) 𝑓 𝑥 = 𝑐 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 0
2) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑥𝑛 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑐𝑥𝑛−1
3) 𝑢 ∙ 𝑣 ′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′
4) 
𝑢
𝑣
′
=
𝑢′∙ 𝑣−𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣2
5) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑒𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = c𝑒𝑥
6) 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥
7) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
8) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥
9) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥
10) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥
11) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑥
12) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑢′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑣′ = −𝑠𝑒𝑛𝑥
Calculando a derivada da função 
𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥2− 3𝑥
𝑢 = 𝑥2 − 3𝑥
𝑦 = 𝑡𝑔𝑢
Aplicando a regra da cadeia teremos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑐2 𝑥2 − 3𝑥 ∙ 2𝑥 − 3
𝑦′ = 2𝑥 − 3 ∙ 𝑠𝑒𝑐2 𝑥2 − 3𝑥
Tabela de Derivadas de Funções
1) 𝑓 𝑥 = 𝑐 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 0
2) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑥𝑛 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑐𝑥𝑛−1
3) 𝑢 ∙ 𝑣 ′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′
4) 
𝑢
𝑣
′
=
𝑢′∙ 𝑣−𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣2
5) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑒𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = c𝑒𝑥
6) 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥
7) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
8) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛𝑥
9) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥
10) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥
11) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑥
12) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 ⟹ 𝑓′ 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥 − 3
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 𝑠𝑒𝑐2𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 𝑠𝑒𝑐2 𝑥2 − 3𝑥
Os exercícios seguintes (5 e 6) retirados do livro “CÁLCULO Funções de uma e várias variáveis” do autor 
Pedro Alberto Morettin, publicado em 2016 pela editora SARAIVA 
Fazer as questões ímpares
Atividades retirada do livro O CÁLCULO com Geometria 
Analítica do autor LEITHOLD conforme as referência 
bibliográficas informadas no final desta aula 
Aplicações das derivadas
• Funções crescentes e decrescentes
Afirmamos que uma função 𝑓 𝑥 , definida em determinado intervalo do eixo x, é crescente se, nesse
intervalo 𝑥1 < 𝑥2 implica que 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2 . Analogamente, afirmamos que 𝑓 𝑥 é decrescente se,
𝑥1 < 𝑥2 e 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 .
Teorema
Seja a 𝑓 𝑥 contínua no intervalo I.
• Se 𝑓′ 𝑥 > 0 para todo x pertencendo ao interior de I, então 𝑓 𝑥 será crescente em I.
• Se 𝑓′ 𝑥 < 0 para todo x pertencendo ao interior de I, então 𝑓 𝑥 será decrescente em I.
Exemplo:
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento da função 𝑓 𝑥 = −𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 8
𝑓′ 𝑥 = −3𝑥2 + 4𝑥 − 1
∆= 42 − 4 −3 −1
∆= 16 − 12
∆= 4
𝑥 =
−4 ± 4
2 ∙ −3
𝑥 =
−4 ± 2
−6
ൽ
𝑥1 =
−2
−6
=
1
3
𝑥1 =
−6
−6
= 1
− + −
1
3
1
• A função 𝑓 𝑥 será crescente no intervalo
1
3
, 1
• A função 𝑓 𝑥 será decrescente nos intervalos
−∞,
1
3
𝑒 1,+∞
Concavidade e pontos de Inflexão
Concavidade
Teorema
Seja uma função 𝑓 𝑥 que admite segunda derivada no intervalo aberto I.
• Se 𝑓′′ 𝑥 > 0 no intervalo I, então a função dada terá a concavidade voltada para cima em I.
• Se 𝑓′′ 𝑥 < 0 no intervalo I, então a função dada terá a concavidade voltada para baixo em I.
Pontos de Inflexão
Definição
Pontos de inflexão de uma função 𝑓 𝑥 , são os pontos que dividem a função em concavidades de 
sentidos opostos. Para calcularmos os pontos de inflexão fazemos 𝑓′′ 𝑥 = 0, os valores de x dessa 
equação serão denominados de pontos de inflexão.
Exemplo
Seja a função 𝑓 𝑥 = −𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 + 1. Estude a função 𝑓 𝑥 com relação à concavidade e 
determine os pontos de inflexão.
𝑓′ 𝑥 = −3𝑥2 + 6𝑥 − 1
𝑓′′ 𝑥 = −6𝑥 + 6
𝑓′′ 𝑥 = 0
0 = −6𝑥 + 6
6𝑥 = 6
𝑥 = 1
Máximos e Mínimos
Teorema
Seja 𝑓 𝑥 uma função contínua no intervalo fechado 𝑎, 𝑏 . Se 𝑥0 é um ponto tal que 𝑎 < 𝑥0 < 𝑏 no 
qual
• 𝑓′ 𝑥0 = 0
• 𝑓′′ 𝑥0 < 0 então em 𝑥0 ocorre um máximo relativo
• 𝑓′′ 𝑥0 > 0 então em 𝑥0 ocorre um mínimo relativo
• Seja y = 𝑓 𝑥 uma função. Dizemos que 𝑥 = 𝑐 é um ponto crítico de 𝑓 𝑥 , se 𝑓′ 𝑐 = 0 .
Exemplos
1) Encontre o números críticos da função 𝑓 𝑥 identificando-os como ponto de máximo ou ponto de 
mínimo e em seguida determine o ponto de inflexão em cada caso.
a) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3𝑥2 −
8
3
𝑥3
Calculando os pontos críticos 𝑓′ 𝑥 = 0
𝑓′ 𝑥 = 2 + 6𝑥 − 8𝑥2
0 = 2 + 6𝑥 − 8𝑥2
8𝑥2 − 6𝑥 − 2 = 0 ÷ 2
4𝑥2 − 3𝑥 − 1 = 0
∆= −3 2 − 4 ∙ 4 ∙ −1
∆= 9 + 16
∆= 25
𝑥 =
− −3 ± 25
2 ∙ 4
𝑥 =
3 ± 5
8
ൽ
𝑥′ =
8
8
= 1
𝑥′′ = −
2
8
= −
1
4
Portanto 𝑥 = 1 𝑒 𝑥 = −
1
4
são os pontos críticos de 𝑓 𝑥
Identificando o ponto de máximo e o ponto de mínimo local
Portanto 𝑥 = −
1
4
é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑒 𝑠𝑒𝑢 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 é
𝑓 −
1
4
= −
13
48
; 𝑥 = 1 é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 e seu valor máximo
local é 𝑓 1 =
7
3
𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3𝑥2 −
8
3
𝑥3
𝑓 1 = 2 ∙ 1 + 3 ∙ 12 −
8
3
13
𝑓 1 = 2 + 3 −
8
3
𝑓 1 =
6 + 9 − 8
3
𝑓 1 =
7
3
𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3𝑥2 −
8
3
𝑥3
𝑓 −
1
4
= 2 ∙ −
1
4
+ 3 ∙ −
1
4
2
−
8
3
−
1
4
3
𝑓 −
1
4
= −
2
4
+ 3 ∙
1
16
−
8
3
∙ −
1
64
𝑓 −
1
4
= −
2
4
+
3
16
+
1
24
𝑓 −
1
4
=
−24 + 9 + 2
48
𝑓 −
1
4
= −
13
48
𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3𝑥2 −
8
3
𝑥3
Calculando o ponto de inflexão 𝑓′′ 𝑥 = 0
𝑓′ 𝑥 = 2 + 6𝑥 − 8𝑥2
𝑓′′ 𝑥 = 6 − 16𝑥
0 = 6 − 16𝑥
16𝑥 = 6
𝑥 =
6
16
𝑥 =
3
8
Portanto 𝑥 =
3
8
é denominado de ponto de inflexão
Agora iremos calcular as coordenadas do ponto de inflexão 
𝑓
3
8
= 2 ∙
3
8
+ 3
3
8
2
−
8
3
3
8
3
𝑓
3
8
=
3
4
+ 3 ∙
9
64
−
8
3
∙
3
8
∙
3
8
∙
3
8
𝑓
3
8
=
3
4
+ 3 ∙
9
64
−
8
3
∙
3
8
∙
3
8
∙
3
8
𝑓
3
8
=
3
4
+
27
64
−
9
64
𝑓
3
8
=
3
4
+
27
64
−
9
64
𝑓
3
8
=
3
4
+
18
64
𝑓
3
8
=
3
4
+
9
32
𝑓
3
8
=
24 + 9
32
𝑓
3
8
=
33
32
Portanto 𝑥 = −
1
4
é ponto de mínimo local
e 𝑓 −
1
4
= −
13
48
é o valor mínimo local da função;
𝑥 = 1 é ponto de máximo local e seu valor
máximo local é 𝑓 1 =
7
3
.
𝑥 =
3
8
na função é de ponto de inflexão
b) 𝑓 𝑥 = −𝑥 𝑥 + 1 2
Calculando os pontos críticos 𝑓′ 𝑥 = 0
𝑓 = 𝑢 ∙ 𝑣
𝑓′ 𝑥 = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′
𝑢 = −𝑥 ⟹ 𝑢′ = −1
𝑣 = 𝑥 + 1 2
𝑣′ = 2 𝑥 + 1
𝑓′ 𝑥 = −1 ∙ 𝑥 + 1 2 + −𝑥 ∙ 2 𝑥 + 1
𝑓′ 𝑥 = −1 ∙ 𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 2𝑥 ∙ 𝑥 + 1
𝑓′ 𝑥 = −𝑥2 − 2𝑥 − 1 − 2𝑥2 − 2𝑥
𝑓′ 𝑥 = −3𝑥2 − 4𝑥 − 1
−3𝑥2 − 4𝑥 − 1 = 0
−4 2 − 4 −3 −1
∆= 16 − 12
∆= 4
𝑓′ 𝑥 = −3𝑥2 − 4𝑥 − 1
∆= 4
𝑥 =
− −4 ± 4
2 ∙ −3
𝑥 =
4 ± 2
−6
ൽ
Portanto 𝑥 = −1 𝑒 𝑥 = −
1
3
são os pontos críticos de 𝑓 𝑥
Identificando o ponto de máximo e o ponto de mínimo local
𝑓 𝑥 = −𝑥 𝑥 + 1 2
𝑥′ =
6
−6
= −1
𝑥′′ =
2
−6
= −
1
3
𝑓 −1 = − −1 ∙ −1 + 1 2
𝑓 −1 = 1 ∙ 0
𝑓 −1 = 0
𝑓 −
1
3
= − −
1
3
−
1
3
+ 1
2
𝑓 −
1
3
=
1
3
−1 + 3
3
2
𝑓 −
1
3
=
1
3
∙
4
9
𝑓 −
1
3
=
4
27
Portanto 𝑒 𝑥 = −
1
3
é 
ponto de máximo local e 
𝑥 = −1 é ponto de 
mínimo local 
Calculado o ponto de inflexão
𝑓′ 𝑥 = −3𝑥2 − 4𝑥 − 1
𝑓′′ 𝑥 = −6𝑥 − 4
0 = −6𝑥 − 4
6𝑥 = −4
𝑥 = −
4
6
𝑥 = −
2
3
𝑓 −
2
3
= − −
2
3
−
2
3
+ 1
2
𝑓 −
2
3
=
2
3
−2 + 3
3
2
𝑓 −
2
3
=
2
3
1
3
2
𝑓 −
2
3
=
2
3
1
3
2
𝑓 −
2
3
=
2
3
∙
1
9
𝑓 −
2
3
=
2
27
O ponto de inflexão é −
2
3
,
2
27
𝑓 𝑥 = −𝑥 𝑥 + 1 2
𝑥 = −
1
3
é ponto de máximo local e 𝑓 −
1
3
=
4
27
;
𝑥 = −1 é ponto de mínimo local 𝑓 −1 = 0
o ponto de inflexão é 𝑥 = −
2
3
com 𝑓 −
2
3
=
2
27
Problemas de Otimização
Exemplos:
1) Desejamos construir uma praça em nosso bairro no
formato retangular de área igual a 6.400𝑚2. Quais
serão as dimensões dessa praça para que o
perímetro seja o menor possível?
Calculando a área A
𝐴 = 𝑥𝑦
𝑥𝑦 = 6.400
𝑦 =
6.400
𝑥
Calculando o perímetro C
𝐶 = 2𝑥 + 2𝑦
𝐶 𝑥 = 2𝑥 + 2 ∙
6.400
𝑥
𝐶 𝑥 = 2𝑥 +
12.800
𝑥
𝐶 𝑥 = 2𝑥 +
12.800
𝑥
𝐶 𝑥 =
2𝑥2+12.800
𝑥
𝐶′ 𝑥 =
𝑢′∙ 𝑣−𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣2
𝑢 = 2𝑥2 + 12.800
𝑢′ = 4𝑥
𝑣 = 𝑥
𝑣′ = 1
𝐶′ 𝑥 =
4𝑥∙𝑥− 2𝑥2+12.800 ∙1
𝑥2
𝐶′ 𝑥 =
4𝑥2−2𝑥2−12800
𝑥2
𝐶′ 𝑥 =
2𝑥2−12800
𝑥2
𝐶′ 𝑥 = 0
2𝑥2−12800
𝑥2
= 0
2𝑥2 − 12800 = 0
𝑥2 − 6.400 = 0
𝑥2 = 6.400
𝑥2 = 6.400
𝑥 = 6.400
𝑥 = 80 𝑚
𝑦 =
6.400
𝑥
𝑦 =
6.400
80
𝑦 = 80 𝑚
2) Achar dois números positivos cuja soma é 16 e cujo 
produto é o máximo possível.
𝑆 = 𝑥 + 𝑦
𝑃 = 𝑥 ∙ 𝑦
𝑥 + 𝑦 = 16
𝑦 = 16 − 𝑥
𝑃 𝑥 = 𝑥 ∙ 16 − 𝑥
𝑃 𝑥 = 16𝑥 − 𝑥2
𝑃′ 𝑥 = 16 − 2𝑥
𝑃′ 𝑥 = 0
0 = 16 − 2𝑥
2𝑥 = 16
𝑥 =
16
2
𝑥 = 8
𝑦 = 16 − 𝑥
𝑦 = 16 − 8
𝑦 = 8
3) Um jardim retangular de 50𝑚2 de área deve ser protegido contra
animais. Se um lado do jardim já está protegido por uma parede
de celeiro, quais as dimensões da cerca de menor comprimento?
Calculando a área A
𝐴 = 𝑥𝑦
𝑥𝑦 = 50
𝑦 =
50
𝑥
Calculando o perímetro C
𝐶 = 2𝑥 + 𝑦
𝐶 𝑥 = 2𝑥 +
50𝑥
𝐶 𝑥 =
2𝑥2+50
𝑥
𝑢 = 2𝑥2 + 50
𝑢′ = 4𝑥
𝑣 = 𝑥
𝑣′ = 1
𝐶′ 𝑥 =
𝑢′∙ 𝑣−𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣2
𝐶′ 𝑥 =
4𝑥∙𝑥− 2𝑥2+50 ∙1
𝑥2
𝐶′ 𝑥 =
4𝑥2−2𝑥2−50
𝑥2
𝐶′ 𝑥 =
2𝑥2 − 50
𝑥2
2𝑥2 − 50
𝑥2
= 0
2𝑥2 − 50 = 0
𝑥2 − 25 = 0
𝑥2 = 25
𝑥 = 25
𝑥 = 5𝑚
𝑦 =
50
𝑥
𝑦 =
50
5
𝑦 = 10 𝑚
Exercícios
1) Faça um estudo completo e esboce o gráfico das seguintes
funções:
a) 𝑓 𝑥 =
𝑥3
3
−
5𝑥2
2
+ 4𝑥 + 2
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥
c) 𝑓 𝑥 = 5 + 𝑥 − 𝑥2
d) 𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 1
e) 𝑓 𝑥 = 2𝑥4 − 4𝑥2
f) 𝑓 𝑥 = −3𝑥4 − 6𝑥2
g) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 3
h) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 4
i) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥
+ 4
j) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥−1
2) Obtenha os pontos de máximo ou de mínimo das funções
dadas (Quando existirem):
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5
b) 𝑓 𝑥 = 6𝑥 − 𝑥2
c) 𝑓 𝑥 =
𝑥3
3
−
7𝑥2
2
+ 6𝑥 + 5
d) 𝑓 𝑥 = −
𝑥3
3
+ 4𝑥 +6
e) 𝑓 𝑥 = 𝑥 +
1
𝑥
f) 𝑓 𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑥 + 2
3) Deseja-se construir uma piscina retangular com 900𝑚2de
área. Quais as dimensões para que o perímetro seja o mínimo
possível?
4) Obtenha dois números cuja soma seja 100 e cujo produto
seja o máximo.
5) Um fabricante de conservas usa latas cilíndricas cujos
volumes devem ser iguais a 500𝑐𝑚3. Quais devem ser as
dimensões mais econômicas das latas (menor área)?
6) De todos os retângulos de perímetro igual a 100 m, qual é a
área máxima?
7) Qual o número real positivo que, somado a seu inverso, dá o
menor resultado possível?
8) Um homem deseja construir um galinheiro com formato
retangular, usando como um dos lados a parede de sua casa.
Quais dimensões devem ser utilizadas para que a área seja a
maior possível, sabendo que ele pretende usar 20 𝑚 de
cerca?
9) Um reservatório de água tem base quadrada e formato de
prisma reto com tampa. Seu volume é 10𝑚3 e o custo do
material utilizado é $100,00 por 𝑚2. Quais as dimensões do
reservatório que minimizam o custo do material utilizado na
construção?
10) Resolva o problema anterior supondo o reservatório sem
tampa
Correção das atividades:
Nos exercícios de 1 a 20, encontre a derivada da função dada
1) 𝐹 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥 − 5 3
𝐹′ 𝑥 =
𝑑𝐹
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
∙
𝑑𝐹
𝑑𝑢
𝐹′ 𝑥 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
∙
𝑑𝐹
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑑′ e
𝑑𝐹
𝑑𝑢
= 𝑓′
𝐹′ 𝑥 = 𝑑′ ∙ 𝑓′
𝑑 = 𝑥2 + 4𝑥 − 5
𝑑′ = 2𝑥 + 4 = 2 𝑥 + 2
𝑓 = 𝑥2 + 4𝑥 − 5 3
𝑓′ = 3 𝑥2 + 4𝑥 − 5 2
𝐹′ 𝑥 = 𝑑′ ∙ 𝑓′
𝐹′ 𝑥 = 2(𝑥 + 2) ∙ 3 𝑥2 + 4𝑥 − 5 2
𝐹′ 𝑥 = 6 ∙ (𝑥 + 2) ∙ 𝑥2 + 4𝑥 − 5 2
3)𝑓 𝑡 = 2𝑡4 − 7𝑡3 + 2𝑡 − 1 2
𝐹′ 𝑥 = 𝑑′ ∙ 𝑓′
𝑑 = 2𝑡4 − 7𝑡3 + 2𝑡 − 1
𝑑′ = (8𝑡3 − 21𝑡2 + 2)
𝑓 = 2𝑡4 − 7𝑡3 + 2𝑡 − 1 2
𝑓′ = 2 2𝑡4 − 7𝑡3 + 2𝑡 − 1
𝐹′ 𝑥 = 𝑑′ ∙ 𝑓′
𝐹′ 𝑥 = (8𝑡3 − 21𝑡2 + 2) ∙ 2 2𝑡4 − 7𝑡3 + 2𝑡 − 1
𝐹′ 𝑥 = 2 ∙ 8𝑡3 − 21𝑡2 + 2 ∙ 2𝑡4 − 7𝑡3 + 2𝑡 − 1
5) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4 −2
𝑑 = 𝑥 + 4
𝑑′ = 1
𝑓 = 𝑥 + 4 −2
𝑓′ = −2 ∙ 𝑥 + 4 −3
𝑓′ 𝑥 = 1 ∙ −2 ∙ 𝑥 + 4 −3
𝑓′ 𝑥 = −2 ∙ 𝑥 + 4 −3
7)ℎ 𝑢 = 3𝑢2 + 5 3 3𝑢 − 1 2
Temos que calcular a derivada do produto
ℎ′ = 𝑈′ ∙ 𝑉 + 𝑈 ∙ 𝑉′
Então iremos aplicar a regra da cadeia para
calcular 𝑈′ e 𝐺′
Calculando 𝑈′
𝑈 = 3𝑢2 + 5 3
𝑑 = 3𝑢2 + 5
𝑑′ = 6𝑢
𝑓 = 3𝑢2 + 5 3
𝑓′ = 3 3𝑢2 + 5 2
𝑈′ = 𝑑′ ∙ 𝑓′
𝑈′ = 6𝑢 ∙ 3 3𝑢2 + 5 2
𝑈′ = 18𝑢 ∙ 3𝑢2 + 5 2
Calculando 𝐺′
𝑉 = 3𝑢 − 1 2
𝑑 = 3𝑢 − 1
𝑑′ = 3
𝑓 = 3𝑢 − 1 2
𝑓′ = 2 3𝑢 − 1
𝑉′ = 𝑑′ ∙ 𝑓′
𝑉′ = 3 ∙ 2 3𝑢 − 1
𝑉′ = 6 ∙ 3𝑢 − 1
Agora aplicaremos a fórmula da derivada do produto
ℎ′(𝑢) = 𝑈′ ∙ 𝑉 + 𝑈 ∙ 𝑉′
ℎ′(𝑢) = 18𝑢 ∙ 3𝑢2 + 5 2 ∙ 3𝑢 − 1 2 + 3𝑢2 + 5 3 ∙ 6 ∙ 3𝑢 − 1
ℎ′(𝑢) = 18𝑢 ∙ 3𝑢2 + 5 2 ∙ 3𝑢 − 1 2 + 6 ∙ 3𝑢2 + 5 3 ∙ 3𝑢 − 1
Fatorando colocando fatores em evidência
ℎ′(𝑢) = 6 3𝑢2 + 5 2 ∙ 3𝑢 3𝑢 − 1 2 + 3𝑢2 + 5 ∙ 3𝑢 − 1
ℎ′(𝑢) = 6 3𝑢2 + 5 2 ∙ 3𝑢 − 1 3𝑢 3𝑢 − 1 + 3𝑢2 + 5
ℎ′(𝑢) = 6 3𝑢2 + 5 2 ∙ 3𝑢 − 1 9𝑢2 − 3𝑢 + 3𝑢2 + 5
ℎ′(𝑢) = 6 3𝑢2 + 5 2 ∙ 3𝑢 − 1 12𝑢2 − 3𝑢 + 5
9) 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 5 −1 4𝑥 + 3 −2
Temos que calcular a derivada do produto
𝑔′(𝑥) = 𝑈′ ∙ 𝑉 + 𝑈 ∙ 𝑉′
Então iremos aplicar a regra da cadeia para calcular 𝑈′ e
𝐺′
Calculando 𝑈′
𝑈 = 2𝑥 − 5 −1
𝑑 = 2𝑥 − 5
𝑑′ = 2
𝑓 = 2𝑥 − 5 −1
𝑓′ = −1 2𝑥 − 5 −2
𝑈′ = 𝑑′ ∙ 𝑓′
𝑈′ = 2 ∙ −1 2𝑥 − 5 2
𝑈′ = −2 ∙ 2𝑥 − 5 2
Calculando 𝐺′
𝑉 = 4𝑥 + 3 −2
𝑑 = 4𝑥 + 3
𝑑′ = 4
𝑓 = 4𝑥 + 3 −2
𝑓′ = −2 4𝑥 + 3 −3
𝑉′ = 𝑑′ ∙ 𝑓′
𝑉′ = 4 ∙ −2 4𝑥 + 3 −3
𝑉′ = −8 ∙ 4𝑥 + 3 −3
Agora aplicaremos a fórmula da derivada do produto
𝑔′(𝑥) = 𝑈′ ∙ 𝑉 + 𝑈 ∙ 𝑉′
𝑔′(𝑢) = −2 ∙ 2𝑥 − 5 2 ∙ 3𝑢 − 1 2 + 2𝑥 − 5 −1 ∙ −8 ∙ 4𝑥 + 3 −3
𝑔′ 𝑢 = −2 ∙ 2𝑥 − 5 2 ∙ 3𝑢 − 1 2 − 8 ∙ 2𝑥 − 5 −1 ∙ 4𝑥 + 3 −3
11)𝑓 𝑦 =
𝑦−7
𝑦+2
2
Vamos aplicar a regra da cadeia para a função 𝑓 𝑦
𝑑 =
𝑦 − 7
𝑦 + 2
e 𝑓 =
𝑦 − 7
𝑦 + 2
2
𝑑𝑓
𝑑𝑦
=
𝑑𝑓
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑓′ 𝑦 =
𝑑𝑢
𝑑𝑦
∙
𝑑𝑓
𝑑𝑢
𝑓′ 𝑦 = 𝑑′ ∙ 𝑓′
Para calcularmos 𝑑′ iremos aplicar a derivada de um
quociente
𝑑′ =
𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣2
𝑢 = 𝑦 − 7
𝑢′ = 1
𝑣 = 𝑦 + 2
𝑣′ = 1
𝑑′ =
1 ∙ 𝑦 + 2 − 𝑦 − 7 ∙ 1
𝑦 + 2 2
𝑑′ =
1 ∙ 𝑦 + 2 − 𝑦 − 7 ∙ 1
𝑦 + 2 2
𝑑′ =
𝑦 + 2 − 𝑦 + 7
𝑦 + 2 2
𝑑′ =
9
𝑦 + 2 2
Vamos voltar para o início e aplicar a regra da cadeia
𝑓′ 𝑦 = 𝑑′ ∙ 𝑓′
𝑑′ =
9
𝑦 + 2 2
𝑒 𝑓 =
𝑦 − 7
𝑦 + 2
2
⟹
𝑑𝑓
𝑑𝑢
= 𝑓′ = 2
𝑦 − 7
𝑦 + 2
𝑓′ 𝑦 =
9
𝑦 + 2 2
∙ 2
𝑦 − 7
𝑦 + 2
𝑓′ 𝑦 =
18 𝑦 − 7
𝑦 + 2 3
13) 𝑓 𝑥 =
2
7𝑥2+3𝑥−1
Podemos escrever a função dada da seguinte maneira:
𝑓 𝑥 = 2 7𝑥2 + 3𝑥 − 1 −1
Vamos aplicar a regra da cadeia para a função 𝑓 𝑥
𝑑 = 7𝑥2 + 3𝑥 − 1 e 𝑓 = 2 7𝑥2 + 3𝑥 − 1 −1
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑓′ 𝑥 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
∙
𝑑𝑓
𝑑𝑢
𝑓′ 𝑥 = 𝑑′ ∙ 𝑓′
𝑑′ = 14𝑥 + 3 𝑒 𝑓′ = −2 7𝑥2 + 3𝑥 − 1 −2
𝑓′ 𝑥 = 14𝑥 + 3 −2 7𝑥2 + 3𝑥 − 1 −2
𝑓′ 𝑥 = −2 14𝑥 + 3 7𝑥2 + 3𝑥 − 1 −2
4) Um fabricante de conservas usa latas cilíndricas cujos
volumes devem ser iguais a 500𝑐𝑚3. Quais devem ser as
dimensões mais econômicas das latas (menor área)?
𝐴𝑡 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ
𝜋𝑟2ℎ = 500
ℎ =
500
𝜋𝑟2
𝐴 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ
𝐴 𝑟 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟
500
𝜋𝑟2
𝐴 𝑟 = 2𝜋𝑟2 +
1000
𝑟
𝐴 𝑟 = 2𝜋𝑟2 + 1000𝑟−1
𝐴′ 𝑟 = 4𝜋𝑟 − 1000𝑟−2
0 = 4𝜋𝑟 − 1000𝑟−2
1000𝑟−2 = 4𝜋𝑟
1000
𝑟2
= 4𝜋𝑟
4𝜋𝑟3 = 1000
𝑟3 =
1000
4𝜋
𝑟 =
3 1000
4𝜋
𝑟 =
10
3
4𝜋
𝐴′ 𝑟 = 0
9) Um reservatório de água tem base quadrada e formato de
prisma reto com tampa. Seu volume é 10𝑚3 e o custo do
material utilizado é $100,00 por 𝑚2. Quais as dimensões do
reservatório que minimizam o custo do material utilizado na
construção?
10) Resolva o problema anterior supondo o reservatório sem
tampa
𝐴𝑏 = 𝑥
2
ℎ
V = 𝑥2ℎ
𝑥2ℎ = 10
ℎ =
10
𝑥2
𝐶 = 𝑥2 + 4𝑥ℎ
𝐶 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥
10
𝑥2
𝐶 𝑥 = 𝑥2 +
40
𝑥
𝐶 𝑥 = 𝑥2 + 40𝑥−1
𝐶 𝑥 = 𝑥2 + 40𝑥−1
𝐶′ 𝑥 = 2𝑥 − 40𝑥−2
𝐶′ 𝑥 = 0
0 = 2𝑥 − 40𝑥−2
40𝑥−2 = 2𝑥
20𝑥−2 = 𝑥
20
𝑥2
= 𝑥
𝑥3 = 20
𝑥 =
3
20
𝑥 ≅ 2,71
ℎ =
10
𝑥2
ℎ = 10 ÷ 𝑥2
ℎ = 10 ÷
3
20
2
ℎ = 10 ÷
3
400
ℎ =
10
2
3
50
ℎ =
5
3
50
≅ 1,36
𝒇′ 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟒
𝒇′ 𝒙 = 𝟎
𝟑𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟒 = 𝟎
∆= 𝟏𝟔
𝒙 =
−𝟖 ± 𝟏𝟔
𝟐 ∙ 𝟑
𝑥 =
−8 ± 4
6
ൽ
𝑥′ = −
4
6
⟹ 𝑥′ = −
2
3
𝑥′′ = −
12
6
⟹ 𝑥′ = −2
−2 −
2
3
+ − +
∴ O intervalo será: −2,−
2
3
ou −2,−
2
3
𝒇′ 𝒙 = 𝟐 ∙ 𝟑𝒙𝟐−𝟏 − 𝟏 ∙ −𝟓𝒙−𝟏−𝟏 + 0
𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙𝟏 + 𝟓𝒙−𝟐
𝒇′ 𝒙 = 𝟔𝒙 +
𝟓
𝒙𝟐
5. As técnicas de diferenciação, nos ajudam a resolver de maneira
prática diversas diferenciais de funções que, se usarmos a definição
de derivadas fica muito trabalhoso. Portanto sabendo que a derivada
de uma função y, dada pelo quociente de uma função "u" por outra
função "v" é dada pela sentença
𝑦′ =
𝑢′∙𝑣−𝑢∙𝑣′
𝑣2
. Então a expressão que representa a derivada da
função racional y =
1−𝑥2
3𝑥−1
é:
𝑢 = 1 − 𝑥2
𝑢′ = −2𝑥
𝑣 = 3𝑥 − 1
𝑣′ = 3
𝑦′ =
𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣2
𝑦′ =
−2𝑥 ∙ 3𝑥 − 1 − 1 − 𝑥2 ∙ 3
3𝑥 − 1 2
𝑦′ =
−6𝑥2 + 2𝑥 − 3 + 3𝑥2
9𝑥2 − 6𝑥 + 1
𝑦′ =
−6𝑥2 + 3𝑥2 + 2𝑥 − 3
9𝑥2 − 6𝑥 + 1
𝑦′ =
−3𝑥2 + 2𝑥 − 3
9𝑥2 − 6𝑥 + 1
𝑦′ = −
3𝑥2 − 2𝑥 + 3
9𝑥2 − 6𝑥 + 1
𝑔′ 𝑥 = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′
𝑢 = 1 − 𝑥 − 2𝑥2
𝑢′ = −1 − 4𝑥
𝑣 = 𝑥3 − 2𝑥+ 5
𝑣′ = 3𝑥2 − 2
𝑔′ 𝑥 = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′
𝑔′ 𝑥 = −1 − 4𝑥 ∙ 𝑥3 − 2𝑥 + 5 + 1 − 𝑥 − 2𝑥2 ∙ 3𝑥2 − 2
𝑔′ 𝑥 = −𝑥3 + 2𝑥 − 5 − 4𝑥4 + 8𝑥2 − 20𝑥 + 3𝑥2 − 2 − 3𝑥3 + 2𝑥 − 6𝑥4 + 4𝑥2
𝑔′ 𝑥 = −4𝑥4 − 6𝑥4 − 𝑥3 − 3𝑥3 + 8𝑥2 + 3𝑥2 + 4𝑥2 + 2𝑥 + 2𝑥 − 20𝑥 − 5 − 2
𝑔′ 𝑥 = −10𝑥4 − 4𝑥3 + 15𝑥2 − 16𝑥 − 7
𝑓 𝑥 = 2 + 𝑥 − 𝑥2
2
5
𝑢 = 2 + 𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 1 − 2𝑥
𝑓 𝑢 = 𝑢
2
5
𝑑𝑓
𝑑𝑢
=
2𝑢
2
5−1
5
𝑑𝑓
𝑑𝑢
=
2𝑢−
3
5
5
𝑑𝑓
𝑑𝑢
=
2
5𝑢
3
5
𝑑𝑓
𝑑𝑢
=
2
5 2 + 𝑥 − 𝑥2
3
5
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
2
5 2 + 𝑥 − 𝑥2
3
5
∙ 1 − 2𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
2 − 4𝑥
5 2 + 𝑥 − 𝑥2
3
5
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
2 − 4𝑥
5
5
2 + 𝑥 − 𝑥2 3
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= −
4𝑥 − 2
5
5
2 + 𝑥 − 𝑥2 3
𝑓′ 𝑥 = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′
𝑓′ 𝑥 = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′
𝑢 = 𝑥
𝑢′ = 1
𝑣 = 𝑥 − 1 2
𝑣′ = 2 𝑥 − 1
𝑓′ 𝑥 = 1 ∙ 𝑥 − 1 2 + 𝑥 ∙ 2 𝑥 − 1
𝑓′ 𝑥 = 𝑥 − 1 2 + 2𝑥 𝑥 − 1
𝑓′ 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 2𝑥2 − 2𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥2 − 2𝑥 − 2𝑥 + 1
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 4𝑥 + 1
𝑓′′ 𝑥 = 6𝑥 − 4
𝑓′′ 𝑥 = 0
6𝑥 − 4 = 0
6𝑥 = 4
𝑥 =
4
6
𝑥 =
2
3
𝑓′ 𝑥 = 3 ∙
8𝑥2
3
− 6𝑥 − 2
𝑓′ 𝑥 = 8𝑥2 − 6𝑥 − 2
𝑓′′ 𝑥 = 16𝑥 − 6
Ponto de inflexão 𝑓′′ 𝑥 = 0
16𝑥 − 6 = 0
16𝑥 = 6
𝑥 =
6
16
𝑥 =
3
8
Pontos críticos 𝑓′ 𝑥 = 0
8𝑥2 − 6𝑥 − 2 = 0
4𝑥2 − 3𝑥 − 1 = 0
∆= 25
𝑥 =
− −3 ± 25
2 ∙ 4
𝑥 =
3 ± 5
8
ൽ
𝑥′ = 1
𝑥′′ = −
1
4
𝑓 1 =
8 ∙ 13
3
− 3 ∙ 12 − 2 ∙ 1
𝑓 1 =
8
3
− 3 − 2
𝑓 1 =
8
3
− 5
𝑓 1 =
8 − 15
3
𝑓 1 = −
7
3
𝑓 −
1
4
=
8
3
−
1
4
3
− 3 −
1
4
2
− 2 −
1
4
𝑓 −
1
4
=
8
3
∙ −
1
64
−
3
16
+
1
2
𝑓 −
1
4
= −
1
24
−
3
16
+
1
2
𝑓 −
1
4
=
−2 − 9 + 24
48
𝑓 −
1
4
=
13
48
Ponto de Inflexão =
3
8
Ponto de máximo = −
1
4
Ponto de mínimo = 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −𝑠𝑒𝑛 4𝑥 − 1 ∙ 4
𝑢 = 4𝑥 − 1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4
𝑦 = cos 𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= −𝑠𝑒𝑛𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= −𝑠𝑒𝑛 4𝑥 − 1
𝑦′ = −4𝑠𝑒𝑛 4𝑥 − 1
𝑦′ = −4𝑠𝑒𝑛 4𝑥 − 1
𝑦′′ = −16𝑐𝑜𝑠 4𝑥 − 1
𝑢 = 4𝑥 − 1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4
𝑦 = −4sen 𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= −4 cos 𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= −4 cos 4𝑥 − 1
𝑑𝑦2
𝑑𝑥2
= −4𝑐𝑜𝑠 4𝑥 − 1 ∙ 4
𝐴 = 𝑥𝑦
𝑥𝑦 = 72
𝑦 =
72
𝑥
𝐶 = 2𝑥 + 𝑦
𝐶 𝑥 = 2𝑥 +
72
𝑥
𝐶 𝑥 = 2𝑥 + 72𝑥−1
𝐶′ 𝑥 = 0
𝐶′ 𝑥 = 2 − 72𝑥−2
𝐶′ 𝑥 = 2 −
72
𝑥2
0 = 2 −
72
𝑥2
72
𝑥2
= 2
2𝑥2 = 72
𝑥2 =
72
2
𝑥2 = 36
𝑥 = 36
𝑥 = 6𝑚
𝑦 =
72
6
𝑦 = 12𝑚
𝐴 = 𝑥𝑦
𝑥𝑦 = 4900
𝑦 =
4900
𝑥
⟹
𝐶 = 2𝑥 + 2𝑦
𝐶 𝑥 = 2𝑥 + 2 ∙
4900
𝑥
𝐶 𝑥 = 2𝑥 + 9800𝑥−1
𝐶′ 𝑥 = 0
𝐶′ 𝑥 = 2 − 9800𝑥−2
𝐶′ 𝑥 = 2 −
9800
𝑥2
0 = 2 −
9800
𝑥2
9800
𝑥2
= 2
2𝑥2 = 9800
𝑥2 =
9800
2
𝑥2 = 4900
𝑥 = 4900
𝑥 = 70𝑚
𝑦 =
4900
𝑥
𝑦 = 70m
𝐶 = 2𝑥 + 2𝑦
𝐶 = 2 ∙ 70 + 2 ∙ 70
𝐶 = 140 + 140
𝐶 = 280𝑚
Derivação de Função dada Implicitamente
Consideremos uma equação nas variáveis x e y.
Dizemos que uma função 𝑦 = 𝑓 𝑥 é dada
implicitamente por tal equação se, para todo x no
domínio de f, o ponto 𝑥, 𝑓 𝑥 for solução da equação.
Exemplo 1:
Seja a equação 𝑥2 + 𝑦2 = 1, a função 𝑦 = 1 − 𝑥2 é
dada implicitamente pele equação, pois, para todo x em
−1, 1 ,
𝑥2 + 1 − 𝑥2
2
= 1
Observe que a função y = − 1 − 𝑥2 é, também, dada
implicitamente por tal equação.
Exemplo 2:
Determine uma função que seja dada implicitamente
pela equação 𝑦2 + 𝑥𝑦 − 1 = 0.
∆= 𝑥2 − 4 ∙ 1 ∙ −1
∆= 𝑥2 + 4
𝑦 =
−𝑏 ± ∆
2𝑎
𝑦 =
−𝑥 ± 𝑥2 + 4
2
Se uma função 𝑓 é dada implicitamente nas avariáveis
x e y, isto é, 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0, então podemos derivar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
uma função dada implicitamente, aplicando a seguinte
identidade
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑓𝑥
𝑓𝑦
Onde 𝑓𝑥 é a deriva da função 𝑓 𝑥, 𝑦 em relação à
variável x, e 𝑓𝑦 é a derivada de 𝑓 𝑥, 𝑦 em relação à
variável y.
Exemplo 3:
Supondo que 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 seja derivável em −1, 1 , calcule
𝑑𝑦
𝑑𝑥
.
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 ⟺ 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 𝑥
Assim teremos
𝑠𝑒𝑛𝑦 − 𝑥 = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑓𝑥
𝑓𝑦
𝑓𝑥 = −1
𝑓𝑦 = cos 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
−1
cos 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
cos 𝑦
Sabemos que sen2y + cos2y = 1, com y ∈ −
π
2
,
π
2
, segue que 
𝑐𝑜𝑠2𝑦 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑦 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑦
Lembrando que
𝑠𝑒𝑛𝑦 = 𝑥
Logo 
𝑐𝑜𝑠𝑦 = 1 − 𝑥2
Portanto
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
cos 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
1 − 𝑥2
, −1 < 𝑥 < 1
Exemplo 4:
Supondo que 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 seja derivável em R, calcule
𝑑𝑦
𝑑𝑥
.
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 ⟺ tg𝑦 = 𝑥
Assim teremos
𝑡𝑔 𝑦 − 𝑥 = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑓𝑥
𝑓𝑦
𝑓𝑥 = −1
𝑓𝑦 = tg𝑦 ′
𝑓𝑦 =
𝑠𝑒𝑛 𝑦
cos 𝑦
′
𝑓𝑦 =
𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′
𝑣2
𝑓𝑦 =
cos 𝑦 ∙ cos 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛 𝑦 ∙ −𝑠𝑒𝑛 𝑦
cos 𝑦 2
𝑓𝑦 =
cos2𝑦 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑦
cos2 𝑦
𝑓𝑦 =
1
cos2 𝑦
𝑓𝑦 = 𝑠𝑒𝑐
2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
−1
𝑠𝑒𝑐2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑠𝑒𝑐2𝑦
Sabemos que se𝑐2y = 1 + 𝑡𝑔2𝑦, e tg 𝑦 = 𝑥
se𝑐2y = 1 + 𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑠𝑒𝑐2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
1 + 𝑥2
Velocidade e Aceleração. Taxa de Variação 
Suponhamos que uma partícula se desloca sobre o eixo
x com função de posição 𝑥 = 𝑓(𝑡). Isto significa dizer
que a função f fornece a cada instante t a posição
ocupada pela partícula na reta. A velocidade média da
partícula entre os instantes 𝑡 e ℎ = ∆𝑡 é definida pelo
quociente:
𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓 𝑡
ℎ
onde ∆𝑥 = 𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓 𝑡 é o deslocamento da
partícula entre os instantes 𝑡 e t + ℎ.
A velocidade da partícula no instante t é definida como
sendo a derivada de f em t, isto é:
𝑣 𝑡 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑓′ 𝑡
assim pela definição de derivada temos:
𝑣 𝑡 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑡 + ℎ − 𝑓 𝑡
ℎ
Analogamente a aceleração da partícula no instante t é
definida como a derivada em t da função 𝑣 𝑡
𝑎 𝑡 = 𝑣′ 𝑡
Ou
𝑎 𝑡 = 𝑓′′ 𝑡
Exemplo 1
Uma partícula move-se sobre o eixo x de modo que no 
instante t a posição x é dada por 𝑥 = 𝑡2, 𝑡 ≥ 0, onde x é 
dado em metros e t em segundos.
a) Determine as posições ocupadas pela partícula nos 
instantes 𝑡 = 0, 𝑡 = 1 𝑒 𝑡 = 2
b) Qual a velocidade no instante t?
c) Qual a aceleração no instante t?
d) Esboce o gráfico da função de posição.
Solução:
a)
t x
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
b) 𝑥 𝑡 = 𝑡2
𝑣 𝑡 = 𝑥′ 𝑡
𝑣 𝑡 = 2𝑡 𝑚/𝑠
c) 
𝑎 𝑡 = 𝑥′′ 𝑡
𝑎 𝑡 = 𝑣′ 𝑡
𝑎 𝑡 = 2𝑚/𝑠2
d)
Exemplo 2:
Uma partícula move-se sobre o eixo x de modo que no
instante t a posição x é dada, por 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠3𝑡, 𝑐𝑜𝑚 𝑡 ≥ 0.
Suponha x dado em metros e t em segundos.
a) Determine as posições ocupadas pela partícula nos
instantes 𝑡 = 0, 𝑡 =
𝜋
6
, 𝑡 =
𝜋
3
, 𝑡 =
𝜋
2
𝑒 𝑡 =
2𝜋
3
.
b) Qual a velocidade no instante t?
c) Qual a aceleração no instante t?
d) Esboce o gráfico da função de posição.
Solução:
𝒕 𝒙
0 1
𝜋
6
0
𝜋
3
−1
𝜋
2
0
2𝜋
3
1
A partícula executa um movimento de
vaivém entre as posições −1 𝑒 1
b) Qual a velocidade no instante t?
𝑥 𝑡 = cos 3𝑡
𝑣 𝑡 = 𝑥′ 𝑡
Pela regra da cadeia temos:
𝑣 𝑡 =
𝑑𝑥
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑡
𝑢 = 3𝑡
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= 3
𝑥 = cos 𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑢
= −𝑠𝑒𝑛 𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑢
= −𝑠𝑒𝑛 3𝑡
𝑣 𝑡 =
𝑑𝑥
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑡
𝑣 𝑡 = −𝑠𝑒𝑛 3𝑡 ∙ 3
𝑣 𝑡 = −3 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 𝑚/𝑠
c) Qual a aceleração no instante t?
𝑥 𝑡 = cos 3𝑡
𝑎 𝑡 = 𝑥′′ 𝑡
𝑎 𝑡 = 𝑣′ 𝑡
𝑣 𝑡 = −3 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 𝑚/𝑠
Pela regra da cadeia temos:
𝑎 𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑡
𝑢 = 3𝑡
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= 3
𝑣 = −3𝑠𝑒𝑛 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑢
= −3𝑐𝑜𝑠 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑢
= −3𝑐𝑜𝑠 3𝑡
𝑎 𝑡 =
𝑑𝑣
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑡
𝑎 𝑡 = −3𝑐𝑜𝑠 3𝑡 ∙ 3
𝑎 𝑡 = −9 𝑐𝑜𝑠 3𝑡
𝒕 𝒙
0 1
𝜋
6
0
𝜋
3
−1
𝜋
2
0
2𝜋
3
1
d) Esboce o gráfico da função de posição
Exemplo 3:
Um ponto move-se ao longo do gráfico 𝑦 = 𝑥2 + 1 de
tal modo que sua abscissa x varia a uma taxa cosntante
de 3cm/s. Qual é, quando 𝑥 = 4 𝑐𝑚, a velocidade da
ordenada y?
Aplicando a regra da cadeia temos:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
∙
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Já sabemos que o ponto varia em relação ao eixo x a
uma taxa de 3cm/s, isto é,
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 3𝑐𝑚/𝑠
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
∙ 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 3
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
∙ 3
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 2𝑥 ∙ 3
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 6𝑥
Quando 𝑥 = 4 𝑐𝑚 a velocidade da ordenada 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
será 
dada por:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 6 ∙ 4
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 24 𝑐𝑚/𝑠
RespostasReferências Bibliográficas
FLEMMING, Diva Marília. Cálculo A, funções, limite, derivação e integração, 6ª edição. São Paulo:
Pearson Prentice Hall, 2006
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo Vol. 1, 5ª edição. Rio de Janeiro: LTC Editora,
2006.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica Vol. 1, 3ª edição. São Paulo: Harbra, 1994.
STEWART, James. Cálculo Vol 1, 5ª edição. São Paulo: Editora Pioneira, 2005.