Lista_colorbox_semana6___2020_2

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LISTA 6
Cálculo 1A - 2020.2
Definição de derivada
Interpretação Geométrica
Diferenciabilidade x Continuidade
Função derivada
Definição
Uma função f é dita diferenciável em um ponto x0 do seu domínio, se existe um número real
a ∈ R tal que: 
f(x) = f(x0) + a(x− x0) + erro(x),
erro(x0) = 0,
lim
x→x0
erro(x)
x− x0
= 0.
(?)
Quando esse número real existe, ele é dito a derivada de f em x0 e escrevemos f ′(x0) = a.
Exercício 1
Use a definição em (?) para resolver os problemas a seguir.
1. Dada a função f(x) = 3x3 + 2x, verifique que f ′(1) = 11.
2. Dada a função f(x) = sen(x), verifique que f ′(0) = 1.
Exercício 2
Use a definição em (?) para resolver esse exercício. Seja f(x) uma função real, diferenciável em R, tal que
f(1) = 2 e f ′(1) = π. Calcule
lim
x→1
f(x)− 2
x− 1
Exercício 3
Use a definição em (?) para resolver esse exercício. Seja f(x) uma função tal que
f(0) =
√
2 e f(x) =
√
2 + 5x+ h(x).
Sabe-se que
lim
x→0
f(x)−
√
2
x
− 5 = 0.
Quanto vale f ′(0)?
Exercício 4
Dada f : R→ R, em que f(−2) = −4 e f ′(−2) = e. Calcule lim
h→0
f(−2 + h) + 4
h
Exercício 5
Suponha que f e g são duas funções reais, diferenciáveis em um intervalo (a, b) tais que g(x) = f(x) + k, ∀x ∈
(a, b), em que k é uma constante real. Dado x0 ∈ (a, b) mostre que, f ′(x0) = g′(x0). Interprete geometricamente
o resultado.
Exercício 6
Em cada um dos itens seguintes são indicados os valores de x0, f(x0), f ′(x0), para alguma função f : R→ R.
Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f em (x0, f(x0)).
1. x0 = 1, f(x0) = 3 e f ′(x0) = −1,
2. x0 = π, f(x0) = 0 e f ′(x0) = 2,
3. x0 = 0, f(x0) = 5 e f ′(x0) =
√
2.
Exercício 7
A Figura a seguir contém o gráfico de duas funções, onde um gráfico é translação vertical do outro . Qual a
diferença no valor de suas derivadas em cada ponto? (Observação : tente pensar apenas usando a informação
de que a derivada mede a inclinação da reta tangente ao gráfico).
Exercício 8
Cada uma das figuras a seguir é o esboço do gráfico de uma função. Identifique o sinal da derivada em cada
ponto. (Observação: tente pensar geometricamente aqui).
Figura 1: Figura 2: Figura 3: Figura 4:
Exercício 9
Na figura a seguir, verifique que f ′(xi) = 0, i = 1, 2, 3, 4. Identifique os intervalos em que a derivada é positiva.
Identifique os intervalos em que a derivada é negativa. Pense geometricamente.
x1 x2 x3 x4
2
Exercício 10
Considere as funções f e g com domínio e contradomínio em R. Ambas são diferenciáveis em todo o domínio.
Os gráficos de f e g se intersectam perpendicularmente no ponto (−1, 3). A reta tangente ao gráfico de f nesse
ponto tem equação:
y = 3 +
1
2
(x+ 1).
Quanto vale g′(−1)?
Exercício 11
Use alguma das definições equivalentes de derivada para calcular f ′(x0) e determine a equação da reta tangente
ao gráfico da função no ponto (x0, f(x0)).
1. f(x) =
1
x
, x 6= 0, x0 = 2, 2. f(x) =
1
x2
, x 6= 0, x0 = −1.
Exercício 12
Verifique se a função f(x) é derivável em x = 1 e se é contínua em x = 1.
1. f(x) =

3− x
2
, se x < 1,
1√
x
, se x ≥ 1.
2. f(x) =
−x, se x < 1,1√
x
, se x ≥ 1.
Exercício 13
Seja f a função:
f(x) =
x sen
(
1
x
)
, se x 6= 0,
1, se x = 0.
1. f é derivável em x = 0? f é contínua em x = 0?
2. O que acontece se f(0) = 0? f é derivável em x = 0? f é contínua em x = 0?
Exercício 14
Seja f a função
f(x) =
x2sen
(
1
x
)
, se x 6= 0,
1, se x = 0.
1. f é derivável em x = 0? f é contínua em x = 0?
2. E se tivermos f(0) = 0? f é derivável em x = 0? f é contínua em x = 0?
Exercícios sem gabarito
As questões a seguir têm muitas respostas. Por esse motivo, não colocamos gabarito. Sugerimos fortemente que
vocês façam e postem a solução no fórum, para discutir com os colegas e professores. Eventualmente alguma(s)
serão tema de algum vídeo.
3
Exercício 15
Esboce um gráfico de alguma função f(x) com domínio e contradomínio em R com todas as seguintes
propriedades.
a) f é descontínua em exatamente dois pontos.
b) lim
x→∞
f(x) = 1.
c) A derivada de f não existe em exatamente 4 pontos.
d) A derivada de f é positiva se x ∈ (0, 2) e negativa se x ∈ (−2, 0).
Exercício 16
Esboce um gráfico de alguma função f(x) com domínio e contradomínio em R com todas as seguintes
propriedades.
a) f tem uma assíntota vertical.
b) f é diferenciável em todos os seus pontos de continuidade.
c) A derivada de f é sempre positiva.
Exercício 17
Esboce um gráfico de alguma função f(x) com domínio e contradomínio em R com todas as seguintes
propriedades.
a) f é diferenciável em R.
b) f é crescente.
c) A derivada de f é decrescente.
d) f tem pelo menos uma assíntota horizontal.
Exercício 18
Esboce um gráfico de alguma função f(x) com domínio e contradomínio em R com todas as seguintes
propriedades.
a) f não é diferenciável se x é um número natural.
b) f é diferenciável se x ∈ R− N.
c) A derivada de f , nos intervalos em que existe é constante.
d) A derivada de f assume valores positivos e negativos.
e) A derivada de f vale 0 em pelo menos um intervalo.
Solução do Exercício 1
1. De acordo com a definição, escrevemos f(x) = f(1) + a(x − 1) + erro(x) em que a é nosso candidato a
f ′(1). A derivada no ponto x = 1 será a se e somente se:
lim
x→1
erro(x)
x− 1
= 0.
4
Usando a função do enunciado e a = 11 escrevemos:
3x3 + 2x = 5 + 11(x− 1) + erro(x). (1)
De (1) concluímos:
erro(x) = 3x3 + 2x− 5− 11(x− 1) = 3(x3 − 3x+ 2).
Precisamos, então, fazer o limite:
lim
x→1
3(x3 − 3x+ 2)
x− 1
.
Calculando:
lim
x→1
3(x3 − 3x+ 2)
x− 1
= lim
x→1
3(x− 1)(x2 + x− 2)
x− 1
= lim
x→1
3(x2 + x− 2) = 0.
E, portanto, f ′(1) = 11.
2. Procedendo como no exercício anterior, escrevemos:
sin(x) = sin(0) + 1 · x+ erro(x) = x+ erro(x).
Precisamos mostrar:
lim
x→0
sin(x)− x
x
= 0.
Calculando:
lim
x→0
sin(x)− x
x
= lim
x→0
sinx
x
− 1 =y
Lembrando que lim
x→0
sinx
x
= 1
0.
Solução do Exercício 2
Aplicando (?) em x0 = 1 temos que
f(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0) + erro(x) = 2 + π(x− 1) + erro(x).
Daqui obtemos que
f(x)− 2
x− 1
= π +
erro(x)
x− 1
.
Então tomando limite quadno x→ 1 chegamos em
lim
x→1
f(x)− 2
x− 1
= π + lim
x→1
erro(x)
x− 1
=y
Como f é uma função real diferenciável em x0 = 1,
de acordo com (?) temos que lim
x→1
erro(x)
x− 1
= 0
π.
Solução do Exercício 3
Em primeiro lugar vamos tentar comparar a equação
lim
x→0
f(x)−
√
2
x
− 5 = 0
5
com a expressão
lim
x→x0
erro(x)
x− x0
.
Para isso, observe-se que
0 = lim
x→0
f(x)−
√
2
x
− 5 =y
f(0) =
√
2
lim
x→0
f(x)− f(0)− 5(x− 0)
x− 0
=y
f(x) =
√
2 + 5x+ h(x)
= f(0) + 5(x− 0) + h(x)
=y
chamando h(x) = erro(x)
f(0) + 5(x− 0) + erro(x).
lim
x→0
erro(x)
x− 0
Portanto, em vista da definição (?), a resposta é f ′(0) = 5.
Solução do Exercício 4
Olhando a definição (?) temos que
f(x) = f(x0) + f
′(x0)(x− x0) + erro(x).
Isolando a derivada obtemos
f ′(x0) =
f(x)− f(x0)
x− x0
+
erro(x)
x− x0
Tomando limite x→ x0 em ambos lados da igualdade acima chegamos em
f ′(x0) = lim
x→x0
f ′(x0) = lim
x→x0
(
f(x)− f(x0)
x− x0
+
erro(x)
x− x0
)
= lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
+ lim
x→x0
erro(x)
x− x0
=y
Como f é diferenciável em x0,
de acordo com (?) vale
lim
x→x0
erro(x)
x− x0
= 0.
lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
=y
Tomando h = x− x0 então
h→ 0 quando x→ x0
e x = x0 + h
lim
h→0
f(h + x0) − f(x0)
h
(2)
Agora vamos sustituir na fórmula acima os elementos dados no problemas: x0 = −2, f(x0) = −4, f ′(x0) = e e
lim
h→0
f(−2 + h) + 4
h
=y
+4 = −(−4) = −f(x0)
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
=y
(2)
f ′(x0) = e.
6
Solução do Exercício 5
Usando o cômputo para a derivada obtido na equação (2) do exercicio anterior, temos
g′(x0) = lim
x→x0
g(x)− g(x0)
x− x0
= lim
x→x0
(f(x) + k)− (f(x0) + k)
x− x0
= lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= f ′(x0).
Como f e g diferem por uma constante, sabemos que seus gráficos são “paralelos”, isto é, o gráfico de g é o
gráfico de f deslocado ao longo do eixo ŷ de k unidades. O deslocamento não interfere na direção da reta
tangente em cada pontoe, portanto, a derivada é a mesma.
Solução do Exercício 6
Usando sempre a expressão y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) temos
1. y = 3− (x− 1) 2. y = 2(x− π) 3. y = 5 +
√
2x.
Solução do Exercício 7
Não há diferença. As funções são uma translação vertical uma da outra. (Veja o exercício 5) A derivada mede
o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico. No caso, em cada ponto x, a reta tangente tem o mesmo
coeficiente angular.
Solução do Exercício 8
As figuras 1 e 2 têm derivada positiva. Porem as figuras 3 e 4, a derivada é negativa.
Solução do Exercício 9
Para ver que a derivada vale 0 em xi, basta verificar que nesses pontos a tangente é paralela ao eixo x̂.
Observando a direção da tangente, concluímos que a derivada é negativa em (x1, x2) ∪ (x3, x4). É positiva em
(0, x1) ∪ (x2, x3) ∪ (x4,∞).
Solução do Exercício 10
Pela equação da reta tangente ao gráfico de g, sabemos que o coeficiente angular dessa reta é 1/2. A reta
tangente ao gráfico de g, nesse ponto, tem que ser perpendicular a essa reta (por hipótese) e, portanto, tem
coeficiente angular −2. Logo, g′(−1) = −2.
Solução do Exercício 11
1. Aplicando o cômputo da derivada obtido em (2), temos
f ′(2) = lim
x→2
f(x)− f(2)
x− 2
= lim
x→2
1
x −
1
2
x− 2
= lim
x→2
2−x
2x
x− 2
= − lim
x→2
1
2x
= −1
4
.
7
Assim, a reta tangente ao gráfico de f no ponto (2, f(2)) é
y = f(2) + f ′(2)(x− 2) = 1
2
+
(
−1
4
)
(x− 2) =
(
−1
4
)
x+ 1.
2. Aplicando o cômputo da derivada obtido em (2), temos
f ′(−1) = lim
x→−1
f(x)− f(−1)
x− (−1)
= lim
x→−1
1
x2 − 1
x+ 1
= lim
x→−1
1−x2
x2
x+ 1
= lim
x→−1
(1− x)
x2
= 2.
Assim, a reta tangente ao gráfico de f no ponto (−1, f(−1)) é
y = f(−1) + f ′(−1)(x− (−1)) = 1 + (2) (x+ 1) = 2x+ 3.
Solução do Exercício 12
1. Para saber se f ′(1) existe, calculamos os limites laterais
lim
x→1−
f(x)− f(1)
x− 1
= lim
x→1−
3−x
2 − 1
x− 1
= lim
x→1−
(3− x)− 2
2(x− 1)
= lim
x→1−
1− x
2(x− 1)
= lim
x→1−
(
−1
2
)
= −1
2
,
lim
x→1+
f(x)− f(1)
x− 1
= lim
x→1+
1√
x
− 1
x− 1
= lim
x→1+
1−
√
x√
x(x− 1)
= lim
x→1+
(
− 1√
x(
√
x+ 1)
)
= −1
2
.
Assim o limite existe e
f ′(1) = lim
x→1
f(x)− f(1)
x− 1
= −1
2
.
Isto é, f é derivável em x = 1, e como sabemos que se a função tem derivada em um ponto, ela é contínua
nesse ponto, logo, f é contínua em x = 1.
2. Vejamos se f é contínua em x = 1, para isso devemos calcular os limites laterais
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
(−x) = −1 e lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
1√
x
= 1.
Logo concluímos que f não é contínua em x = 1, e como sabemos que se a função tem derivada em um
ponto, ela é contínua nesse ponto, f também não será derivável em x = 1.
Solução do Exercício 13
1. Pelo Teorema do Confronto temos que
lim
x→0
f(x) = lim
x→0
x sen
(
1
x
)
= 0 6= 1 = f(0),
então f não é contínua em x = 0, e como sabemos que se a função tem derivada em um ponto, ela é
contínua nesse ponto, temos que f não é derivável em x = 0.
2. Como agora
f(x) =
x sen
(
1
x
)
, x 6= 0,
0, x = 0.
Temos que
f ′(0) = lim
h→0
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0
f(h)− f(0)
h
= lim
h→0
h sen
(
1
h
)
− 0
h
= lim
h→0
sen
(
1
h
)
. (Não existe)
8
Assim f não é derivável em x = 0.
Mas, sabemos que lim
x→0
f(x) = lim
x→0
x sen
(
1
x
)
= 0 = f(0), isto é, f é contínua em x = 0.
Solução do Exercício 14
1. Pelo Teorema do Confronto temos que
lim
x→0
f(x) = lim
x→0
x2sen
(
1
x
)
= 0 6= 1 = f(0),
então f não é contínua em x = 0, e como sabemos que se a função tem derivada em um ponto, ela é
contínua nesse ponto, temos que f não é derivável em x = 0.
2. Como agora
f(x) =
x2sen
(
1
x
)
, x 6= 0,
0, x = 0.
Pelo item 1 sabemos que agora f(x) é contínua no ponto x = 0, pois temos que
lim
x→0
f(x) = lim
x→0
x2sen
(
1
x
)
= 0 = f(0).
Então não podemos aplicar o raciocínio do item 1 para concluir a solução. O que devemos fazer agora é
aplicar diretamente a definição, isto é
f ′(0) = lim
h→0
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0
f(h)− f(0)
h
= lim
h→0
h2sen
(
1
h
)
− 0
h
= lim
h→0
h sen
(
1
h
)
= 0.
Assim f é derivável em x = 0.
9