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Apostila de Resistência dos Materiais - UFF

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Flávia Moll de S. Judice 
Mayra Soares P. L. Perlingeiro 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
41
Exercício: Calcular as tensões normais máximas no pilar de seção transversal quadrada 
submetido à força normal excêntrica, sabendo que N=4000 kN. Adotar: cm 20e = ; 
cm 3,13e = ; cm 10e = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os esforços solicitantes são: 
 
 N104N 6⋅−= 
 Nmm e104M 6z ⋅⋅−= 
 
 As características geométricas da seção são: 
 
 25 mm104,6800800A ⋅=⋅= 
 410
3
z mm104,312
800800I ⋅=⋅= 
 
 As máximas tensões normais, para mm200e = , são: 
 
 ( ) MPa6,15
104,3
400200100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x −=⋅
⋅⋅⋅−+
⋅
⋅−=σ 
 ( ) ( ) MPa1,3
104,3
400200100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x =⋅
−⋅⋅⋅−+⋅
⋅−=σ 
 
 O diagrama de tensões é: 
 
 
 
 
 
 
 
 As máximas tensões normais, para mm133e = , são: 
 
 ( ) MPa5,12
104,3
400133100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x −=⋅
⋅⋅⋅−+⋅
⋅−=σ 
3,1 MPa 
-15,6 MPa 
80 cm 
80 y 
z
zx
N
e
y
Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice 
Mayra Soares P. L. Perlingeiro 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
42
 ( ) ( ) 0
104,3
400133100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x =⋅
−⋅⋅⋅−+⋅
⋅−=σ 
 
 
 O diagrama de tensões é: 
 
 
 
 
 
 
 
 As máximas tensões normais, para mm100e = , são: 
 
 ( ) MPa 9,10
104,3
400100100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x −=⋅
⋅⋅⋅−+⋅
⋅−=σ 
 ( ) ( ) MPa6,1
104,3
400100100,4
104,6
100,4
10
6
5
6
x −=⋅
−⋅⋅⋅−+⋅
⋅−=σ 
 
 O diagrama de tensões é: 
 
 
 
 
 
 
 
 Haverá casos em que será importante garantir que, em um pilar comprimido pela 
ação de forças normais excêntricas, não haja inversão do sinal de tensão (como no caso do 
concreto, que é praticamente incapaz de suportar tensões de tração). Nesses casos, será 
necessário limitar uma região da seção, chamada núcleo central, onde as forças de 
compressão nela aplicadas produzirão apenas compressão sobre todas as seções 
transversais. 
 O exemplo mostra um pilar de seção retangular submetido à carga concentrada F 
com excentricidade e em relação ao eixo z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-10,9 MPa 
-1,6 MPa 
F
y
z
x
e
-12,5 MPa 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
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 Os esforços solicitantes são: 
 
 FN −= 
 eFM z ⋅−= 
 
 Para que ocorram apenas tensões normais de compressão: 
 
 ( ) 0
12
hb
yeF
hb
F
3x
≤
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅
⋅⋅−+⋅
−=σ 
 ( ) ( ) 0
12
hb
2
heF
hb
F
3
≤
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅
−⋅⋅−+⋅
− 
 
6
he ≤ 
 
6
hemax = 
 
 Analogamente, se a força F estivesse aplicada com excentricidade e em relação ao 
eixo y, o máximo valor de e seria 6
b . 
 
 A figura mostra o núcleo central da seção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No caso de um pilar com seção circular, de diâmetro d, o núcleo central tem área 
também circular de raio igual à máxima excentricidade admissível, tal que: 
 
 ( ) ( ) 0
64
d
2
deF
4
d
F
42
≤
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅
−⋅⋅−+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅
−
ππ
 
 
8
de ≤ 
 
8
demax = 
 
 
 
 
 
y 
z 
b/6
h/6
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
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2 – Flexão e Torção 
 
 Tal como vimos anteriormente, os elementos de uma estrutura podem também estar 
solicitados simultaneamente por cargas de flexão e de torção. Sob tais condições, a 
determinação das tensões em um ponto qualquer da seção transversal será feita utilizando 
o princípio da superposição dos efeitos, somando-se algebricamente as tensões devidas 
a cada um dos esforços, isoladamente. 
 
 
d 
d/4 
F
y
zx
e
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
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VIII – ANÁLISE DE TENSÕES 
 
1 – Tensões em Planos Inclinados 
 
 Quando uma barra prismática está sujeita à tração simples, as tensões numa seção 
transversal mn, normal ao seu eixo, são uniformemente distribuídas e iguais a A
P . 
 Consideremos as tensões no plano pq que corta a barra formando um ângulo θ com 
a seção transversal mn. As forças que representam a ação do lado direito sobre o lado 
esquerdo da barra são uniformemente distribuídas sobre a seção inclinada pq, conforme 
mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Uma vez que a parte esquerda está em equilíbrio sob a ação dessas forças e da 
carga externa P, conclui-se que a resultante das forças distribuídas sobre a seção inclinada 
é igual a P. 
 Decompondo-se a resultante R em duas componentes N e V, que são normal e 
tangente, respectivamente, ao plano inclinado, obtém-se: 
 
 θcosPN ⋅= 
 
 θsenPV ⋅= 
 
 Como a área A´ da seção inclinada é θcosA , as tensões correspondentes a N e V 
são: 
 
 θσθσθ 2x2 coscosA
P
A´
N ⋅=⋅== (1a) 
 
 θθσθθτθ cossencossenA
P
A´
V
x ⋅⋅=⋅⋅== (1b) 
 
onde A
Px =σ é a tensão normal à seção transversal da barra. 
 
 Nas equações anteriores, θσ e θτ são, respectivamente, as tensões normal e de 
cisalhamento no plano pq, cuja orientação é definida pelo ângulo θ. 
q
m
n
p θ 
PP
θ 
RP
N 
V
θ P
σθ 
τ
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
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 A Eq. (1a) mostra como a tensão normal θσ varia em função do ângulo θ. Quando 
0=θ , o plano pq coincide com mn, acarretando xσσθ = . Se o ângulo θ aumentar, a 
tensão θσ diminuirá até que, em 2πθ = , anula-se. Assim, xmax σσ = . 
 A Eq. (1b) mostra que a tensão de cisalhamento τ é nula quando 0=θ e 2πθ = , 
atingindo o valor máximo quando 4
πθ = . Este máximo é 2xmax στ = . 
 
Convenção de sinais: 
 
a) Tensões normais positivas θσ são

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