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Apostila de Resistência dos Materiais - UFF

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da 
força P e encurtamento das arestas na direção transversal. Assim, a área da seção 
transversal do cubo passa a ser ( )21 εν ⋅− e o volume passa a ser ( ) ( )211 ενε ⋅−⋅+ . 
 
 Desenvolvendo a expressão, chega-se a: 
 
 
( ) ( )
( ) ( )( )32222
22
2
221'V
211'V
11'V
ενενεενεν
ενενε
ενε
⋅+⋅⋅−+⋅+⋅⋅−=
⋅+⋅⋅−⋅+=
⋅−⋅+=
 
 
 Desprezando-se os termos de ordem superior, obtém-se: 
 
 ( )ενε ⋅⋅−+= 21'V 
 
 A variação do volume é dada pela diferença entre os volumes final e inicial: 
 
 ( ) ( )νεενε∆ ⋅−⋅=−⋅⋅−+==− 21121VV'V 
 
 A variação do volume unitário é expressa por: 
 
 ( )νε∆ ⋅−⋅= 21
V
V
 
 
 A equação anterior pode ser usada para calcular a variação do volume de uma barra 
tracionada, desde que se conheçam a deformação ε e o coeficiente de Poisson ν. 
 
 Como não é razoável admitir-se que um material diminua de volume quando 
tracionado, pode-se concluir que ν é sempre menor do que 0,5. 
 
 
 
1 
1
1
ε 
ν.ε 
ν.ε 
P P 
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Mayra Soares P. L. Perlingeiro 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
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4 – Tensão Admissível ou Tensão-Limite 
 
 Para permitir sobrecargas acidentais, bem como para levar em conta certas 
imprecisões na construção e possíveis desconhecimentos de algumas variáveis na análise 
da estrutura, normalmente emprega-se um coeficiente de segurança. 
 
 Para os materiais dúcteis, tem-se 
1
y
>γ
σ
. 
 Para os materiais frágeis, tem-se 
1
u
>γ
σ
. 
 
 No concreto armado, 15,1aço =γ e 4,1conc =γ . 
 
 
5 – Estruturas Estaticamente Indeterminadas 
 
 Haverá casos em que as equações de equilíbrio não são suficientes para se chegar 
às solicitações da estrutura. As equações a mais, necessárias para solucionar o problema, 
são encontradas nas condições de deformação. 
 Um exemplo de estrutura estaticamente indeterminada é mostrado na figura 
seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A barra AB tem as extremidades presas a suportes rígidos e está carregada com 
uma força F em um ponto intermediário C. 
 
 As reações RA e RB aparecem nas extremidades da barra, porém suas intensidades 
não podem ser calculadas apenas pela Estática. A única equação fornecida pelo equilíbrio 
é: 
 
 FRR BA =+ 
 
 Sabe-se, porém, que a variação de comprimento da barra é nula; logo: 
 
 0∆L∆L 0∆L 21 =+∴= 
 
 
( ) 0
AE
LFR
AE
LR 2A1A =⋅
⋅−+⋅
⋅
 
 
 0LFLRLR 22A1A =⋅−⋅+⋅ 
 
 ( ) 221A LFLLR ⋅=+⋅ 
 
DEN 
F
A
R
L1 L2 
C B
R
+ 
RA 
RA-F 
+ 
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 ( ) L
LF
LL
LFR 2
21
2
A ⋅=+
⋅= 
 
 
L
LF
L
LFFR 12B ⋅=⋅−= 
 
 O diagrama real do esforço normal é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 – Tensões Térmicas 
 
 Como é sabido, as dimensões dos corpos sofrem alterações em função da variação 
de temperatura. 
 Quando a estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme da 
temperatura não acarreta nenhuma tensão, já que a estrutura é capaz de se expandir ou se 
contrair livremente. 
 Por outro lado, a variação de temperatura em estruturas estaticamente 
indeterminadas produz tensões nos elementos, denominadas tensões térmicas. 
 A propriedade física que estabelece a relação de proporcionalidade entre a variação 
da dimensão longitudinal de uma peça e a variação de temperatura correspondente é 
denominada coeficiente de dilatação térmica α. 
 
 Seja a barra da figura restringida pelos apoios A e B. 
 Com a variação de temperatura, a barra tende a se deformar. Porém, os apoios 
impedem essa deformação e surgem reações nos apoios iguais a R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O diagrama de esforço normal é: 
 
 
- 
+ 
L
LF 2⋅ 
DEN 
L
LF 1⋅
A
B
L 
R
R
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 Como a variação de comprimento da barra é nula, tem-se: 
 
 0∆L∆L TN =+ ∆ 
 
 0∆TL
AE
LR- =⋅⋅+⋅
⋅ α 
 
 AE∆TR ⋅⋅⋅= α 
 
 E∆T
A
R
x ⋅⋅−=−= ασ 
 
- 
R 
DEN 
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IV – CISALHAMENTO PURO 
 
 Vimos que as forças axiais provocam tensões normais nos elementos estruturais. 
 
 No entanto, pode ocorrer que as forças atuantes no elemento estejam inclinadas com 
relação à sua seção transversal. Nesse caso, essas forças podem ser decompostas em 
componentes paralelas e perpendiculares ao plano de corte considerado. A componente 
normal N à seção transversal do elemento irá provocar tensão normal σ (sigma) e a 
componente vertical V irá provocar tensão de cisalhamento τ (tau). 
 
Conclusão: as tensões normais resultam de esforços perpendiculares ao plano de corte, 
enquanto as tensões de cisalhamento resultam de esforços paralelos a esse mesmo plano. 
 
 Consideremos duas chapas A e B ligadas pelo rebite CD. 
 
 
 
 
 
 
onde a área da seção transversal do rebite é denominada por A. 
 
 Sob a ação da força F, surgem esforços cortantes (tangenciais) à seção transversal 
do rebite e, portanto, tensões de cisalhamento τ cuja intensidade média é 
A
F
med =τ . 
 
 A fim de visualizar as deformações produzidas por uma tensão de cisalhamento, 
consideremos o cubo elementar (elemento infinitesimal) submetido à tensão de 
cisalhamento τ na sua face superior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como não há tensões normais agindo sobre o elemento, seu equilíbrio na direção 
horizontal só é possível se, na face inferior, existir tensão de cisalhamento igual e em 
sentido contrario à da face superior. Além disso, essas tensões de cisalhamento irão 
produzir momento que deve ser equilibrado por outro momento originado pelas tensões que 
atuam nas faces verticais. Portanto, essas tensões de cisalhamento devem ser também 
iguais a τ para que o elemento permaneça em equilíbrio. 
 
 Um elemento sujeito apenas às tensões de cisalhamento mostradas na figura 
anterior é dito em cisalhamento puro. 
 
Conclusão: 
a) as tensões de cisalhamento que agem em um elemento ocorrem aos pares, iguais e 
opostos; 
b) as tensões de cisalhamento existem sempre em planos perpendiculares entre si. 
Tais tensões são iguais em intensidade e têm sentidos opostos que se “aproximam” 
ou se “afastam” da linha de interseção dos planos. 
τ τ
τ
τ 
C 
F 
D 
A

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