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Apostila de Resistência dos Materiais - UFF

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entre as tábuas, a flexão de uma será 
diferente da outra: cada uma sofrerá compressão nas fibras longitudinais superiores e tração 
nas inferiores. 
 Caso as tábuas fossem coladas, umas às outras, impedindo este escorregamento, 
surgiriam tensões tangenciais na cola, indicando que, em vigas com seção transversal 
inteira, submetida ao mesmo carregamento P, ocorrerão tensões de cisalhamento τ ao 
longo dos planos longitudinais com intensidade capaz de impedir o deslizamento ocorrido no 
caso anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A determinação da tensão de cisalhamento horizontal pode ser calculada pela 
condição de equilíbrio de um elemento pnn1p1, cortado da viga por duas seções transversais 
adjacentes, mn e m1n1, à distância dx uma da outra. 
V 
x 
C 
h 
b 
n 
m 
m 
n 
τ 
y 
z 
q 
P
Universidade Federal Fluminense Flávia Moll de S. Judice 
Mayra Soares P. L. Perlingeiro 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
37
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A face da base deste elemento é a superfície inferior da viga e está livre de tensões. 
Sua face superior é paralela à superfície neutra e afasta-se dela a uma distância y1. Nesta 
face, atua a tensão de cisalhamento horizontal τ que existe neste nível da viga. 
 Sobre as faces mn e m1n1 atuam as tensões normais xσ produzidas pelos 
momentos fletores e as tensões de cisalhamento verticais (que não interferem na equação 
de equilíbrio horizontal do elemento na direção horizontal). 
 Se os momentos fletores nas seções mn e m1n1 forem iguais (flexão pura), as 
tensões normais xσ nos lados np e m1p1 também serão iguais, o que colocará o elemento 
em equilíbrio e anulará a tensão de cisalhamento τ . 
 No caso de momento fletor variável, a força normal que atua na área elementar dA 
da face esquerda do elemento será: 
 
 dA
I
yM
dAdF
z
z
x ⋅⋅=⋅= σ 
 
 A soma de todas essas forças distribuídas sobre a face pn será: 
 
 ∫∫∫ ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= 2hy z
z2h
y x
A
xe
11
dyy
I
M
bdybdAR σσ 
 
 De maneira análoga, a soma das forças normais que atuam na face direita, p1n1, é: 
 
 ∫ ⋅⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅=
2h
y z
z
z
z
d
1
dyydx
dxI
dM
I
M
bR 
 
 A diferença entre as forças à direita e à esquerda fornece: 
 
 ∫∫ ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅=−
2h
yz
z2h
y z
z
ed
11
dAydx
dxI
dM
dyydx
dxI
dM
bRR 
 
 Sabendo-se que o elemento encontra-se em equilíbrio, haverá uma força de 
cisalhamento horizontal no plano pp1, de mesma intensidade e com sentido contrário a 
ed RR − , que somada à primeira, anula a resultante de forças na direção x. 
 
 A força de cisalhamento horizontal é dada por: 
 
 dxb ⋅⋅τ 
b 
y1 
h/2 
M+dM 
dx 
C
y 
y 
z 
n n1 
p p1 
h/2 
dA 
m m1 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
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 Igualando a força de cisalhamento horizontal à diferença entre as forças á direita e à 
esquerda do elemento, chega-se a: 
 
 ∫ ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅
2h
yz
z
1
dAydx
dxI
dM
dxbτ 
 
 ∫ ⋅⋅⋅=⋅ 2hyz 1 dAyI
Qbτ 
 
 
bI
mQ
z
z
⋅
⋅=τ 
 
que é a expressão da tensão de cisalhamento. 
 
 Na expressão anterior, tem-se que: 
 
 zm é o momento estático da área da seção transversal abaixo (ou acima) do plano 
em que se deseja determinar τ ; 
 b é a largura da seção transversal na altura do plano em que se deseja determinar 
τ ; 
 zI é o momento de inércia em relação ao centróide da seção; 
 Q é o esforço cortante na seção transversal em estudo. 
 
 
Exercício: Calcular as tensões cisalhantes no ponto P . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicando a expressão da tensão cisalhante, tem-se: 
 
 
( )
12
hb
2
y
4
hyy2
hQ
bI
mQ
3z
z
⋅
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⋅−⋅
=⋅
⋅=τ 
 
 Desenvolvendo, chega-se a: 
 
 ( )
3
22
hb2
y4hQ3
⋅⋅
⋅−⋅⋅=τ 
 
que é a expressão geral da tensão de cisalhamento para seções transversais retangulares. 
b 
h/2 y 
h/2 
y 
z 
P 
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 Quando: 
 
 0
2
hy =⇒−= τ 
 
 
A
Q5,1
hb2
Q30y ⋅=⋅⋅
⋅=⇒= τ 
 
 0
2
hy =⇒= τ 
 
 A variação das tensões cisalhantes é parabólica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3 – Tensões Normais e Cisalhantes em Seções I e T 
 
 A otimização da escolha do formato da seção das vigas, objetivando minimizar o 
valor das tensões normais decorrentes do momento fletor, leva à utilização de seções “I” e 
“T”, com mesas (abas) largas e almas (nervuras) estreitas. 
 Como conseqüência, surgem tensões tangenciais elevadas na alma, na altura da 
linha neutra, devido ao fato da largura b da alma aparecer no denominador da expressão da 
tensão cisalhante. 
 Assim, nos pontos da viga onde a tensão normal é máxima (arestas superior e 
inferior), a tensão tangencial é nula, enquanto na linha neutra, onde a tensão normal é nula, 
a tensão tangencial atinge seu valor máximo. 
 A descontinuidade do valor da tensão de cisalhamento na transição entre a mesa e a 
alma decorre da descontinuidade da largura b da seção nesses locais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
h τmax 
h 
b 
ta 
tm 
τ σ 
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Notas de Aula Resistência dos Materiais IX 
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VII – FLEXÃO COMPOSTA 
 
1 – Flexão e Carga Axial 
 
 Os elementos de uma estrutura estão, algumas vezes, sujeitos à ação simultânea de 
cargas de flexão e axiais. 
 A figura mostra um exemplo desta situação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As tensões resultantes em qualquer seção transversal da viga são obtidas pela 
superposição das tensões axiais devidas a N e M e podem ser calculadas pela equação: 
 
 z
I
M
y
I
M
A
N
y
y
z
z
x ⋅−⋅+=σ 
 
 O diagrama final de tensões é: 
 
 
 
 
 
 
 
 O princípio da superposição dos efeitos poderá ser aplicado, desde que se garanta 
a linearidade da distribuição das deformações longitudinais e das tensões normais em todos 
os pontos da seção transversal do elemento. 
 Quando o momento fletor for conseqüência de uma excentricidade e da carga N em 
relação ao centróide da seção, podemos escrever: 
 
 eNM ⋅= 
 
 A figura ilustra a situação. 
 
 
 
 
 
 
 
N
N
M = N.e
e
y 
=
y
N 
M 
N
M
x 
y 
z 
 σx (M) 
LN LN
σx (N) 
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