EXERCICIO PARA V2 E V3

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CÁLCULO II
EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA AV2 E AV3
1 – Calcule os limites abaixo:
a) 			b) 
2 - Determinar e para a função f (x, y) = cos2(3x – y2).
3 - Determinar os valores de e no ponto (4, -5) para a função: f (x, y) = x2 + 3xy + y -1.
4 - Seja a função w = ln (2x + 3y). Determinar .
5 - Determinar para y2 – x2 – sen (xy) = 0 usando a derivação implícita.
6 - Considere w = f (x, y, z) uma função de três variáveis que tem derivadas parciais contínuas , e em algum intervalo e que x, y e z são funções de outra variável t. Então .
Diz-se que dw/dt é a derivada total de w com relação a t e representa a taxa de variação de w à medida que t varia.
Supondo w = x2 – 3y2 + 5z2 onde x = et, y = e-t e z = e2t, calcule dw/dt sendo t = 0.
7 – Seja z = sen (xy) + xsen y. Determinar quando u = 0, v = 1, x = u2 + v2 e y = u.v.
8 - Encontre a derivada direcional da função f (x, y, z) = ln (xyz) em P(1, 2, 2) na direção do vetor v = i + j – k.
9 – Determinar a derivada direcional da função f (x,y,z) = cos(xy) + eyz + ln(xz) em P(1, 0, 1/2) na direção do vetor v = i + 2j + 2k.
10 – A equação de Laplace é empregada em estudos que envolvem a distribuição de temperatura em estado estacionário em sólidos, bem como de potenciais gravitacionais e potenciais elétricos tridimensional. A equação na forma tridimensional é: .
As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. Identifique as funções harmônicas abaixo:
a) f(x,y,z) = x2 + y2 – 2z2				b) f(x,y,z) = sen(2x) + cos(2x) – 2z2
c) f(x,y,z) = 2sen2(xy) + 2cos2(xy) – 2z2			d) f(x,y,z) = xy + xz + yz
11 – Calcular o volume do sólido cuja base situada no plano xy é o retângulo: 1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ 2; e é limitado na parte superior pela superfície: z = 4xy.
12 – A integral: fornece a área de uma região no plano xy. Esboce a região, identifique cada curva limite com sua equação, escreva as coordenadas dos pontos onde há intersecção das curvas. Depois encontre a área da região.
13 – Resolva a integral: invertendo a ordem de integração.
14 – Transforme a integral cartesiana para uma integral polar e calcule a integral polar de 
15 – Resolva a integral: , invertendo a ordem de integração.
16 – Calcular o volume do sólido cuja base se encontra no plano xy limitada por y = 1, x = 2 e y = x +1, e tem a superfície z = 3 + x – y limitante na parte superior.
17 – Calcular as integrais triplas abaixo:
a) 				b) 
c) 
18 – Calcular a integral de linha para a função f (x,y,z) = x – 3y2 + z sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,2).
19 – Calcular o trabalho realizado pela força: F = (y – x2)i + (z – y2)j + (x – z2)k sobre a curva r(t) = ti + t2j + t3k, entre 0 t 1.
20 – Aplique o teorema de Green para calcular a integral: onde a curva C representa a fronteira: 0 x e 0 y sen(x).
21 - Aplique o teorema de Green para calcular a integral: onde C representa o triângulo limitado por x = 0, x + y = 1 e y = 0.
Respostas:
1 – Substituindo os valores de x e de y nas respectivas expressões dos limites, vem.
a) 
b) 
2 - 
e
 
3 - 		e		
Os valores das derivadas no ponto (4, -5) serão:
 
e
 
4 - 		e		
Obs.: Invertendo a ordem de derivação o resultado é o mesmo, ou seja: 
5 – Fazendo z = y2 – x2 – sen(xy) = 0, logo,
 
6 - Determinação das derivadas:
 				
 				
Cálculo dos valores x, y,z e das derivadas em t = 0:
x = eo = 1		y = e-0 = 1		z = e2.0 = 1
 				
 				
Assim, se tem:
 
7 – Como z = f(x,y) e x = g(u,v) e y = h(u,v), então, z = f(g(u,v),h(u,v)), logo, usando a regra da cadeia, vem:
 
As derivadas parciais são dadas por:
						
Para u = 0 e v = 1, tem-se: x = 02 + 12 = 1; y = 0.1 = 0. Os valores das derivadas são:
					
Assim, obtém-se:
 
8 – Por definição a derivada direcional é dada por: , onde f é o gradiente da função e b o vetor unitário que fornece a direção do processo de derivação.
O gradiente da função é dado por: 
As derivadas parciais da função dada são:
				
No ponto P(1,2,2), se tem: 					e	
O vetor b é dado por: b = 
Assim, a derivada direcional será:
 
9 – Usando o mesmo procedimento do exercício anterior, vem:
 		
 	
 			
O gradiente da função no ponto P é: 
O vetor unitário b é: b = 
Logo, a derivada direcional é:
 
10 – Uma função é dita harmônica se satisfaz a equação de Laplace, ou seja, a soma das derivadas parciais de segunda ordem é nula. Assim, se tem:
a) 	e	
 	e	
 	e	
logo: 		(harmônica)
b) 	e	
 	e	
 	e	
logo: 		(não harmônica)
c) 	e	
 	e	
 	e	
logo: 		(não harmônica)
d) 	e	
 	e	
 	e	
logo: 		(harmônica)
11 – O volume do sólido será dada pela integral dupla:
V = 	ou	V = 
Resolvendo a primeira, vem:
V = 
O cálculo da segunda integral fornecerá o mesmo valor, ou seja, V = 32.
12 - A região é limitada em 0 x /4 e senx y cosx. O gráfico está representado abaixo:
O ponto interseção das duas curvas é dado por: senx = cosx, logo, x = /4 e y = .
Cálculo da integral: 
 
13 – A região R de integração compreende: 0 y 1 e y x 1. Esta região R está representada no gráfico abaixo.
0
x
y
1
1
y=x
R
Invertendo a ordem de integração, vem: 0 x 1 e 0 y x e .
O cálculo da integral será:
 
14 - A região R de integração é: -1 x 1 e 0 y , ou seja, a região R é o semicírculo conforme indicado no gráfico abaixo:
x
0
y
-1
1
y=
R
Em coordenadas polares se tem: 0 r 1 e 0 , logo: . O cálculo da integral é:
 
15 – A integral é resolvida invertendo a ordem de integração. A região R corresponde a: 0 y e y/2 x . A figura abaixo apresenta a região R de integração:
0
x
y
y=2x
R
Assim, se tem: 0 x e 0 y 2x.
 
y
x
 = 
2
y = 
1
y
 = x + 1
R
x16 – A base do sólido no plano xy está mostrada na figura abaixo:
Os limites de integração são: 0 ≤ x ≤ 2; 1 ≤ y ≤ x + 1; e 0 ≤ z ≤ 3 + x – y.
O volume do sólido será dado pelo cálculo da integral:
V = 
V = = 
V = 
17 –
a) 
		= 
b) 
		= 
c) 
			=
			=
			=
Obs.: sen4x = (sen2x)2 = [1/2(1 – cos2x)]2 = 1/4(1 – 2cos2x + cos22x) = 1/4[1 – 2cos2x + 1/2(1 + cos4x)]
sen4x = 3/8 – (1/2)cos2x + (1/8)cos4x.
18 – O vetor correspondente a reta C é (fazendo x = t): r = ti + tj + 2tk. A sua derivada é: dr/dt = i + j + 2k. O valor de |dr/dt| = 
A integral de linha será: 
			=
19 – Escrevendo a força F em função do parâmetro t, vem: F = (t2 – t2)i + (t3 – t4)j + (t – t6)k = (t3 – t4)j + (t – t6)k.
Determinar dr/dt: dr/dt = i + 2tj + 3t2k
O produto escalar entre F·r fornece: F·r = [(t3 – t4)j + (t – t6)k]·[ i + 2tj + 3t2k] = 2t4 – 2t5 + 3t3 – 3t8
O trabalho será: 
		= 
20 – Pelo teorema de Green: 
Assim, se tem:
M = 3y	e		N = 2x
 	e		 
A região R fechada está representada no gráfico abaixo:
Os limites de integração são: 0 x e 0 y sen(x). Logo, podemos escrever:
 
21 – Usando o mesmo procedimento do exercício anterior, tem-se:
M = y2		e		N = x2
 	e		 
A região R fechada está representada no gráfico abaixo:
R
0
x
y
1
1
y=1-x
Os limites de integração são: 0 x 1 e 0 y (1 – x). Logo, podemos escrever:
 
	=