CÁLCULO INTEGRAL

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CÁLCULO INTEGRAL
1.1 ANTIDERIVADA
1. A velocidade é a derivada da função posição x = x(t) em relação ao tempo t. Qual é a distância (em metros) que um trem-bala percorre em 4 segundos se ele parte da posição x = 0 m e sua velocidade for dada por v = 4t3 - 3t2 + 2t? 
A. 208 m 
2. Determine a função y = y(x) sabendo que dy/dx = x² + x^1/2.
E. y = x³/3 +2/3 . x^2/3 + C
3. Encontre o valor de ∫(x² + 4x^5 – 6)dx
D. x³/3 + 2x^6/3 -6x + C
4. A rede elétrica brasileira funciona através da corrente alternada, cuja tensão obedece uma função trigonométrica. Supondo que a derivada da tensão pelo tempo seja: dV/dt = 4cos(2t) e que a tensão tinha valor nulo quando a rede elétrica foi ligada, encontre a função da tensão. 
C. V(t) = 2sen(2t) 
5. Se prendêssemos uma vareta em uma roda e colocarmos o sistema a girar, observaremos que a sombra que a vareta projeta no chão é uma função trigonométrica. Supondo que a função da velocidade da sombra seja dada por v(θ) = 4sen(θ) e que quando θ = 0º, a posição x da vareta é x(0°) = 0, qual é a função da posição que satisfaça as condições iniciais? 
A. X(θ)=-4cos(θ) 
1.2 CONCEITO E PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA
1. Pedro é um agrônomo que percorre semanalmente as plantações sob sua responsabilidade. Em uma dessa visitas, percebeu uma lavoura de trigo queimando e ele definiu a velocidade do fogo com v(t) = 3t2 + 30t + 36, com t medido em segundos. Qual o espaço percorrido s(t) pelo fogo, sabendo que t = 5s? 
B. 680 m. 
2. Durante suas produções, um agricultor elaborou um gráfico entre curvas para observar o movimento da produção. Sabendo que o ponto (1,5) pertence à curva da equação f(x) e a sua declividade é dada por f’(x) = 3x – 4, qual a função que o agricultor utiliza em seus cálculos? 
C. y = 3x2/2 – 4x + 7,5. 
3. Uma das formas de se calcular a integral é a partir da ideia de antiderivada, ou seja, encontrar uma função F(x) que ao ser derivada resulta em f(x). Nessas condições, a função F(x) é uma antiderivada de uma função f(x) com x em um intervalo dado. Assim, marque a alternativa correta.​​​​​​​​​​​​​​ 
B. A função F(x) = 1x^6/2 não é a única antiderivada de 3x5, pois podemos somar uma constante C e obter outra antiderivada. 
4. No instante t = 0, há um caminhão carregado de grãos com velocidade de 81 m/s e o motorista visualiza uma árvore caída em seu caminho para chegar até o armazém. Dessa forma, o motorista desacelerou rapidamente o veículo, com uma desaceleração constante a = -9 m/s. Em que instante a velocidade do caminhão chegou a zero? 
C. A velocidade do caminhão chegou a zero em t = 9 s. 
5. Uma agroquímica de fungicidas para plantação de trigo tem um custo marginal definido pela função c’(x) = x3 + 2x2 + 4x. Nessas condições, qual função define o custo total, sendo que o custo fixo é R$ 2.000,00?​​​​​​​​​​​​​​
A. c(x) = x^4/4 + 2x³/3 + 2x² + 2000
1.3 NOÇÕES DE INTEGRAL, CÁLCULO E FUNÇÃO INTEGRAL
1. Dada a função f(x) = 3x + 1, qual é a sua integral?​​​​​​​
C. 3/2x² + x + C.
2. A solução para a integral ∫(20 + 4x^5 / 3x) é:
A. 0.
3. A integral da função f(x) = 10x + 2 no intervalo [1,2] é:
C. 17.
4. Qual das opções abaixo representa uma integral indefinida? 
D. ∫4dx.
5. Se a velocidade de uma partícula é dada por v(t) = 3t em m/s, qual é o seu deslocamento depois de 10 segundos?​​​​​​​ 
D. 150m.
2.1 INTEGRAL DEFINIDA
1. Considere f(x) = x. Calcule R(f, P, C) para a partição P de [0,5;1,5] dada por P = ｛0,5; 1; 1,3; 1,5｝ e pontos intermediários C = {0,7; 1,2; 1,4}.
B. 0,99.
2. Deduza a fórmula para a integral abaixo. Dica: esboce um gráfico e utilize seu conhecimento entre a relação da integral e a área.
D. ∫a0 xdx = a²/2
3. Calcule integral definida abaixo utilizando o teorema obtido no exercício 2.
C. ∫40 xdx = 8
4. Calcule a seguinte integral definida: ∫10 (2x³ -x + 4) dx
A. 4
5. Sabendo que a fórmula da integral é, ∫aπ0 cos(x) dx = sen(aπ) = 0 para a ϵ N
responda, utilizando o conceito de área com sinal, por que essa integral sempre resulta em zero.
A. Resulta em zero porque a área do cosseno sempre dá zero. 
B. Resulta em zero porque a área com sinal do seno sempre dá zero. 
C. Resulta em zero porque o cálculo está errado. 
D. Resulta em zero porque a área tem sinal negativo. 
E. Resulta em zero porque a área com sinal se anula.
2.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 1
1. O teorema fundamental do cálculo (TFC) nos diz que: 
B. A integral definida de uma função é igual a sua antiderivada calculada no limite de integração superior menos a antiderivada calculada no limite de integração inferior.
2. Usando o teorema fundamental do cálculo, qual o resultado da seguinte integral definida? ​​​​​​​∫4-3 (x+x²)dx
A. 203/6
3. Calcule a seguinte integral definida: ∫50 √y dy
C.2/3 * 5 3/2
4. Calcule o valor da integral de sen(t) com limites [π ,3π/2 ] usando o TFC:
E. -1
5. Calcule a integral de:​​​​​​​​​​​​​​​ ∫ π0 |cos(x)|
E. 2 
2.3 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL E INTEGRAÇÃO POR PARTES
1. O objetivo da integração por partes é passar de uma integral ∫ u dv, que não se sabe como resolver, para uma integral ∫ v du, que se consegue calcular. De modo geral, escolhe-se dv primeiro, sendo a parte do integrando, incluindo dx que se sabe integrar de modo imediato, e u será a parte restante. Utilize o método de integração por partes para calcular ∫ x2ex dx e assinale a alternativa que contém a resposta correta:
C. ∫ x2ex dx = x2ex − 2xex + 2ex + C.
2. Da regra de derivação do produto de duas funções u = u(x) e v = v(x), tem-se que (uv)' = u'v + uv'. Integrando, tem-se u(x)v(x) = ∫ u'(x)v(x) dx + ∫ u(x)v'(x) dx, ou, ainda, ∫ uv' dx = uv − ∫ u'v dx, que é a fórmula de integração por partes. A fórmula recebe esse nome porque permite que se reduza a integração do produto uv' à integração do produto u'v. Por isso, é comum você se deparar com a explicação de que se está derivando u e integrando v’. A fórmula da integração por partes também pode ser expressa por ∫ u dv = uv − ∫ v du. Utilize o método de integração por partes para calcular ∫ x ex dx e assinale a alternativa que contém a resposta correta: 
A. ∫ x ex dx = x ex − ex + C.
3. Pode-se formalizar o método da substituição ao observar que se tem no integrando uma função composta f(u) multiplicada pela derivada da função interna, u'(x). A derivada surge escrita na forma da diferencial du = u'(x) dx, ou seja, ∫ f(u)du = ∫ f(u(x)) ∙ u'(x) dx. Dessa igualdade, interessam os dois últimos termos, que indicam como sistematizar o método da integração por substituição: se em um intervalo a função u(x) é diferenciável e a função composta f(u) é contínua, então ∫ f(u(x)) ∙ u'(x) dx = ∫ f(u)du nesse intervalo. Utilize o método de substituição para calcular ∫ 7 ∙ (7x + 5)3 dx e assinale a alternativa que contém a resposta correta:
E. ∫ 7 ∙ (7x + 5) 3dx = (7x+5)^4 /4 + C
4. A integração por substituição, também conhecida como mudança de variável, origina-se da regra de derivação em cadeia, resultando em ∫ f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C; disso, assume-se u = g(x), de tal forma que ∫ f(g(x)) ∙ g'(x) dx = ∫ f(u)du = F(u) + C = F(g(x)) + C, pois, por hipótese, F é primitiva de f. A ideia do método é procurar reduzir a função que se deseja integrar à forma ∫ f(g(x)) ∙ g'(x) dx, em que f seja fácil de integrar. Utilize o método de substituição para calcular ∫ 2x(x2 + 1)3 dx e assinale a alternativa que contém a resposta correta:
B. ∫ 2x(x 2 + 1) 3dx = (x 2+1)^4/4 + C.
5. A integração por substituição é, basicamente, o inverso da regra da cadeia para derivadas. Em outras palavras, esse método ajuda na integração de funções compostas. Existem alguns casos bem fáceis de resolver; por exemplo, conhecida a derivada de x2 como 2x, então ∫ 2x dx = x2 + C. Mas também existem outros casos não tão triviais, quando, então, percebe-se a utilidade da integração por substituição.
D. ∫ x 2 (x 3−2) 5 dx = − (x 3−2) −4 12 + C.
3.1 INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
1. Para resolver integrais envolvendo potências das funções seno e cosseno, épossível utilizar algumas estratégias próprias, de acordo com a potência de cada função. Resolva a integral aplicando a estratégia adequada.
∫sen^5 x cos² x dx
A. – cos³x/3 + 2 cos^5x/5 – cos^7x/7 + C
2. Para determinar o volume de um sólido obtido pela rotação da função f(x) em torno do eixo x, para a<x<b, resolve-se a integral V = ∫ba π [f(x)]² dx. Determine o volume do sólido obtido pela rotação da função f (x) = sen² x cos^3/2 em torno do eixo x, para ​​​​​​​0<x< π/2.
D. 2π/35
3. Uma pessoa percorre um caminho em formato parabólico, segundo a curva y=x2, ilustrada abaixo.
Determine a distância percorrida pela pessoa do ponto (0,0) ao ponto (1,1), sabendo que o comprimento do arco dessa parábola nesses pontos é dada por: ∫10 √1 + 4x² dx
D. √5 + In ( √5 + 2 ) / 4
4. Deseja-se construir um reservatório obtido pela rotação da função y = e^x, 0<x<1 em torno do eixo x. Para determinar a quantidade de material necessário para a construção do reservatório, é preciso encontrar a área de sua superfície, que é dada por A = 2π∫10 e^x √1 + e^2x dx. Calcule a área da superfície do reservatório e assinale a resposta correta.
E. π (e √e²+1 + In(e + √e²+1) - √2 – In (√2+1))
5. Um campo elétrico E no ponto P (a, b) em uma barra carregada de comprimento L é dado por 
E = ∫L-a –a b/ 4πϵ0 (x²+b²)^3/2 dx. Onde ϵ0 é uma constante. Determine o campo elétrico no ponto (3, 2) de uma barra de comprimento 5.
B. 1/8πϵ0 (√2/2 + 3/√13)
3.2 MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS
1. Para resolver integrais envolvendo divisão entre polinômios, utiliza-se o método da decomposição em frações parciais para simplificar o cálculo da integral. Sendo assim, utilize tal método para resolver a integral: ∫ 1 / x²(4-x) dx
B. In|x| / 16 – 1/4x - In|4-x| / 16 + K
2. Analisando a integral ​​​​​​​pode-se concluir que seu cálculo não é de fácil resolução. Uma forma de simplificar o cálculo integral de funções desse tipo é realizando a decomposição em frações parciais. Resolva a integral utilizando a decomposição mencionada.​​​​​​​
A. 3 In |x-1 / 4 + In |x+1| / 2 - In |x+3| / 4 + K
3. Para determinar o volume de um sólido obtido pela rotação da função f(x) em torno do eixo x, para a ≤ x ≤ b, resolve-se a integral Determine o volume do sólido obtido pela rotação da função ​​​​​​​em torno do eixo x, para 0 ≤ x ≤ 2.
E. π (4 – In 3 )
4. Use frações parciais para calcular: ∫ x³-1 / x²(x – 2)^3 dx
C. 3/16 In |x| - 1/8x -3/16 In |x-2| - 5/4(x-2) – 7/8(x-2)² + K
5. Um campo elétricoE no ponto P(a, b), a > 0 eb > 0, em uma barra de comprimento L, é dado por: ​​​​​​​, em que ε0 é uma constante. Determine o campo elétrico no ponto (3, 2) de uma barra de comprimento 5.​​​​​​​
D. 1/4πϵ0 (3 In 3 – 11 In 2 – 2 In 7)
3.3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL - ÁREA ENTRE DUAS CURVAS
1. Calcule a área entre as retas y = 5 e y = 2, para [a, b]. Também identifique o polígono cuja a área foi calculada.
C. 3( b - a ) (u.a.)
2. Calcule a área entre as curvas y = x2 e y = x, no intervalo [0,2].
B. 4/6 (u.a.)
3. Calcule a área da região formada pelas curvas: x + y = 4; x – y = 0; y + 3x = 4 e diga os valores das coordenadas de x dos pontos de intersecção entre as curvas. 
A. área igual a 2 (u.a.) e as coordenadas x dos pontos de interseção das curvas são: ｛0;1;2｝
4. Determine a área compreendida entre as curvas y = ｛ x ｝ over { 2 } e y = sqrt x. 
B. 4/3 (u.a.)
5. Calcule, usando a integração em y, a área entre as curvas ​​​​​​​ 2y – x = 1 e y = √x+1
B. 4/3 (u.a.)
4.1 FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS
1. Calcule o valor da função a seguir nos pontos (1,–3) e (5,0).​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ f(x,y) = (3x - 2y) / (x^2 - xy)
B. 9/4 e 3/5
2. Descreva o domínio e o gráfico da seguinte função: f (x,y) = √16 – x² - y²
C. D = ｛(x,y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 16｝ e o gráfico é a semiesfera superior de raio 4.
3. Determine o domínio da seguinte função f (x, y,z) = √3x-2y+z / x²y-z:
A. D = ｛(x,y,z) ∈ R3 | 3x – 2y + z > 0 e x2y ≠ z｝.
4. A função T(x,y,z) = x2+ y2+ z2 determina a temperatura em cada ponto do espaço. As superfícies isotérmicas são dadas pelas equações em uma certa temperatura constante. Sendo assim, determine a equação da superfície isotérmica quando a temperatura for igual a 25º.
A. x2 + y2 + z2 = 25.
5. ​​​​​​​​​​Determine a taxa de variação média de B até C, considerando o seguinte mapa de contorno:
B. -0,50.
4.2 INTEGRAÇÃO EM VÁRIAS VARIÁVEIS
1. ​​​​​Determine a massa, em kg, de uma lâmina que ocupa a região retangular R = [−1,4] × [2,5] e que apresenta densidade σ(x,y) = y2, medida em kg/m2. 
B. 195 kg. 
2. Uma lâmina com densidade ​​​​​​​medida em kg/m3, ocupa a região R retangular com vértices (−2,0), (3,0), (−2,5) e (3,5). O valor da massa, medida em kg, e das coordenadas ​​​​​​​, medidas em metros, do centro de massa são, respectivamente:​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​ 
A. 258,3 kg; 3,31 m; 0,63 m.
3. Calcule a integral tripla: ∫∫∫Exe^xydV​​​​​​​ onde E = ｛ (x,y,z) | 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, 1 ≤ z ≤ 3 ｝.
B. 2/3 [e^6-e³-3].
4. O sólido mostrado na figura a seguir tem densidade volumétrica p(x,y,z) = x/8 (y/3 + z/5) ​​​​​​​medida em kg/cm3. Determine sua massa.
D. 180.000 g.
5. Calcule a integral tripla: ∫∫∫B(x-z)²/y dV​​​​​​​ onde B = [0,1] × [1,5] × [2,8].
E. 225,32.
4.3 DERIVADAS PARCIAIS
1. Determine ∂f/∂x e ∂f/∂y​​​​​​​ no ponto (1, -1) sabendo que f (x, y)=2x2-3y-4.
C. ∂f/∂x (1, -1) = 4 e ∂f/∂y (1, -1) = -3.
2. Encontre fx e fy considerando f(x,y) = 1 / (x-y)
E. fx = - 1/(x-y)² e fy = 1/(x-y)².
3. Encontre fx, fy e fz onde f (x, y,z) = 1+xy2-2z2​​​​​​​.
D. f x= y 2 , f y= 2xy e f z=- 4z.
4. Determine fxy e fyx onde f(x,y)= x+y+xy.
A. f xy = f yx = 1.
5. Encontre ∂z/∂x​​​​​​​ se a equação xy+z3x-2yz=0 define z como função de duas variáveis independentes x e y.​​​​​​​​​​​​​
D. y + z³ / 2y – 3z³x.
5.1 DERIVADAS DIRECIONAIS
1. Considere um ponto sobre a superfície de equação f (x, y)= 2xy - y3 no ponto P(5, 5). Ao deslocar esse ponto ao longo da superfície, é possível observar que ele se move em taxas de valores diferentes, dependendo da direção do deslocamento. Determine a taxa na qual o ponto se desloca na direção do versor. U = 3/5, -4/5
C. 58. 
2. ​​​​​​​A derivada direcional indica o quanto a função varia em uma dada direção, ou seja, indica a taxa de variação da função. Determine a taxa variação da função ​​​​​​​ f (x, y, z ) = xy + yz + zx no ponto P(1, -1, 2) e na direção do vetor. 
A. 3. 
3. Dado um ponto no espaço definido por uma função, existem infinitas direções nas quais é possível deslocar e determinar a taxa cuja função varia naquela direção. Mas existe, em um dado ponto, uma única direção na qual a função cresce mais rapidamente. Encontre a direção na qual a função f(x, y) = x2+ xy + y2 aumenta mais rapidamente no ponto (-1, 1). Encontre a derivada direcional de f nessa direção.
E. v=(-1,1) e df(-1,1)= √2
4. ​​​​​​​Dada uma função, podemos determinar a direção na qual a função apresenta a menor variação possível. Tal direção é unicamente determinada, juntamente com a taxa mínima de variação. Encontre a direção na qual a função f(x,y,z) = x/y – yz diminui mais rapidamente no ponto (4, 1, 1). Encontre a derivada direcional de f nessa direção. ​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​
D. v=(-1,5,1) e df(4,1,1)= -3√3
5. Suponha que a temperatura varie em certa região de acordo com a função T(x, y) = x3- y3+ xy. Determine a direção na qual a temperatura aumenta mais rapidamente no ponto (2,1).
B. v=(13,-1)
5.2 INTEGRAIS DE LINHA
1. Encontre a massa total do arame no formato de parábola y = x2, ao longo de1 ≤ x ≤ 4, que tem densidade de massa δ = y/x. 
C. 42,74 
2. Resolva a integral ∫c 2yx² - 4xds​​​​​​​ na qual C é o semicírculo centrado na origem, com raio 3 e rotação no sentido horário.​​​​​​​​​​​​​​ 
D. –108
3. Resolva a integral de linha ∫c 3x² - 2yds​​​​​​​ na qual C é o segmento de reta de (3,6) a (1,–1).​​​​​​​​​​​​​​
B. 8 √53
4. Calcule ​​​​​​​ na qual C é o caminho y = x2 de x = –1 a x = 2, no sentido do aumento do valor da coordenada x.​​​​​​​​​​​​​​ 
E. 17^3/2 – 5 ^3/2 / 2
5. Calcule o trabalhorealizado por uma partícula no campo vetorial F(x,y) = (x2 – 2xy)i + (y2 – 2xy)j, ao percorrer o trajeto C, definido pela parábola y = x2, do ponto (–1,1) ao ponto (1,1), no sentido do crescimento das ordenadas.​​​​​​​​​​​​​​ 
D.-14/15
5.3 INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE DE CAMPOS VETORIAIS
1. Considere F = < y, z, x > e S a superfície orientada parametrizada por Φ (u,v) = (u2 – v, u + v, v2). Marque a alternativa que contém o produto escalar F.n em termos dos parâmetros u e v. 
A. 2u³+u²+2v²−4uv²−v
2. O componente normal de um campo vetorial F num ponto P de uma superfície orientada é o produto escalar F(P)⋅en(P)=||F(P)||cos(θ), onde θ é o ângulo entre F(P) e en(P). Considere F = < y, z, x > e S a superfície orientada parametrizada por Φ (u,v) = (u2 – v, u + v, v2). Marque a alternativa que contém o componente normal de F à superfície S em P = (3,3,1) = Φ(2,1). 
C. 13/√93
3. Considere F = < y, z, x > e S a superfície orientada parametrizada por Φ (u,v) = (u² – v, u + v, v²) ao longo de 0<u<2 e -1<v<1 Marque a alternativa que contém A. -24. B. 24.
B.24
4
E. -4
5. Uma das aplicações da integral de superfície de campos vetoriais é no cálculo do fluxo do fluido através de uma superfície S. Considere F = < x, y, 2z > e S a porção da superfície z = 1 – x2 – y2 acima do plano xy, orientada com normal apontando para cima. Marque a alternativa que contém o fluxo do campo vetorial F através de S. 
D. 2π