Corrente Elétrica e Resistência

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6 CORRENTE ELÉTRICA E RESISTÊNCIA
Nos capítulos anteriores estudamos as propriedades de
cargas em repouso, assunto da eletrostática. A partir deste
capítulo iniciaremos o estudo das correntes elétricas, ou seja,
das cargas em movimento.
6.1 CORRENTE ELÉTRICA
Quando ligamos uma bateria às duas extremidades de
um condutor, uma diferença de potencial V é criada e, se
o comprimento do fio for ℓ, então um campo elétrico de
módulo E = V/ℓ será criado dentro do condutor. Este
campo elétrico ~E atuará sobre os elétrons, imprimindo-lhes
um movimento resultante no sentido oposto a ~E.
Se uma carga líquida dq passa através de qualquer super-
fície num intervalo de tempo dt, dizemos que foi estabelecida
uma corrente elétrica, cuja intensidade é definida por
I =
dq
dt
.
Para uma corrente em um fio, dq é a carga que passa através
de uma seção transversal em um tempo dt. A unidade SI de
corrente é o ampère (A), definido como
1 ampère = 1 coulomb/segundo
A
I
+
+
+
+
+
Figura 6.1 – Cargas em movimento através de uma área A. A taxa
com a qual a carga flui através da área é definida como a corrente
I. A direção da corrente é a direção do movimento das cargas
positivas. ©Serway–Jewett 3ed.
Note que é necessário que exista o escoamento de uma
carga resultante dq para que se estabeleça uma corrente.
Além disso, a carga resultante que atravessa uma dada
superfície pode ser positiva ou negativa. Por razões his-
tóricas, convencionou-se dizer que a corrente possui a
mesma direção do fluxo das cargas positivas, como mostra
a Figura 6.1. Nos condutores elétricos, como cobre ou
alumínio, a corrente é devida ao movimento de elétrons com
carga negativa. Portanto, a corrente num condutor possui
direção oposta ao movimento dos elétrons. No entanto,
se estamos considerando um feixe de prótons carregados
positivamente num acelerador, a corrente possui a mesma
direção do movimento dos prótons. Portanto, é a carga
líquida em movimento que define o sentido da corrente
elétrica. Por exemplo, a Figura 6.2 mostra quatro seções
I!0II I
Figura 6.2 – Cargas movem-se através de quatro regiões: (a) A
carga líquida é positiva, portanto a corrente I tem o mesmo sentido
das cargas positivas; (b) A carga líquida é positiva e o sentido da
corrente é o mesmo do movimento das cargas; (c) A carga líquida
é nula, portanto não há corrente fluindo na região; (d) A carga total
é negativa e a corrente possui sentido oposto ao do movimento das
cargas. ©Serway–Jewett 3ed.
de área pelas quais fluem diferentes quantidades de cargas
positivas e negativas, o que resulta em diferentes intensidades
e sentidos para a corrente elétrica em relação ao movimento
das cargas.
6.2 RESISTÊNCIA
Vimos no Capítulo 3 que o campo elétrico no interior
de um condutor é zero. Entretanto, isto é válido apenas se
o condutor estiver em equilíbrio eletrostático. Nesta seção
vamos descrever o que acontece quando cargas num condutor
não estão em equilíbrio, ou seja, quando há um campo
elétrico no interior do condutor.
Considere um condutor com uma seção transversal de
área A transportando uma corrente I. A densidade de
corrente J no condutor é definida como a corrente por
unidade de área:
J ≡
I
A
,
onde J possui unidades de A/m2. Esta expressão é válida
apenas se a densidade de corrente é uniforme e somente se
a superfície da seção de área A é perpendicular à direção da
corrente. De uma forma geral, a densidade de corrente é uma
quantidade vetorial e está relacionada com a corrente I pela
expressão
I =
ˆ
~J · d ~A,
onde d ~A é um elemento de superfície e a integral é calculada
sobre toda a superfície em questão.
O campo elétrico exerce uma força ~F = q~E sobre os por-
tadores de carga (elétrons) em um condutor, mas esta força
não produz uma aceleração resultante porque os elétrons
colidem continuamente com os átomos ou íons que fazem
parte do condutor. O efeito das diversas colisões resulta
numa pequena velocidade média adquirida pelos elétrons,
chamada velocidade de deriva ou arrasto, ~ud. Como os
elétrons possuem carga negativa, o sentido da velocidade de
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Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 6: Corrente elétrica e resistência
vd
E
–
Figura 6.3 – Representação gráfica do movimento dos elétrons
em um condutor. Mudanças na direção dos movimentos são o
resultado de colisões entre elétrons e átomos no condutor. Note
que o movimento líquido do elétron é oposto à direção do campo
elétrico. ©Serway–Jewett 3ed.
deriva é oposto ao do campo elétrico (Figura 6.3). O número
de elétrons livres ou de condução em um comprimento ℓ de
um fio condutor é nAℓ, onde n é o número de elétrons por
unidade de volume e Aℓ é o volume do comprimento ℓ do fio.
A carga que atravessa o fio num intervalo de tempo ∆t = ℓ/vd
é ∆q = (nAℓ)e. Logo, a corrente I é dada por:
I =
∆q
∆t
=
nAℓe
ℓ/vd
= nAevd.
Como J = I/A, temos que
vd =
I
nAe
=
J
ne
.
Ou, em termos vetoriais, temos que:
~J = −ne~ud
onde o sinal negativo indica que para os elétrons ~J e ~ud
possuem sentidos opostos.
A densidade de corrente ~J e um campo elétrico ~E são
estabelecidos em um condutor qualquer que seja a diferença
de potencial mantida ao longo do condutor. Em alguns
materiais, a densidade de corrente é proporcional ao campo
elétrico:
~J = σ~E,
onde a constante de proporcionalidade σ é chamada de
condutividade do condutor. Esta relação é conhecida como
a lei de Ohm, que pode ser escrita como:
para diversos materiais (incluindo a maioria dos
metais), a razão entre a densidade de corrente
e o campo elétrico é uma constante σ que é
independente do campo elétrico que produz a
corrente.
Materiais que obedecem a lei de Ohm são chamados ôhmi-
cos.
Consideremos agora um fio condutor de seção de área
A e comprimento ℓ, como mostrado na Figura 6.4. Uma
diferença de potencial V é mantida através do fio, criando
um campo elétrico e uma corrente ao longo do fio. Supondo
que o campo seja uniforme, a diferença de potencial está
�
Vb Va
IA
E
Figura 6.4 – Uma diferença de potencial V = Vb − Va é aplicada
a um condutor cilíndrico de comprimento ℓ e área da seção reta A,
originando uma corrente I. ©Halliday 8ed.
relacionada com o campo pela expressão
V = Eℓ.
Portanto, podemos expressar a magnitude da densidade de
corrente no fio como
J = σE = σ
V
ℓ
.
Como J = I/A, podemos escreve a diferença de potencial
como
V =
ℓ
σ
J =
(
ℓ
σA
)
I = RI.
A quantidade R = ℓ/σA é chamada de resistência do
condutor. Assim, podemos definir a resistência como a razão
entre a diferença de potencial ao longo do condutor e a
corrente no condutor:
R =
V
I
.
Esta equação será muito empregada na análise de circuitos
elétricos. A resistência possui unidades SI de volts por
ampère, que recebe a denominação de ohm (Ω):
1Ω ≡
1V
1A
.
Esta expressão mostra que se uma diferença de potencial de
1 V ao longo de um condutor causa uma corrente de 1 A, a
resistência do condutor é de 1 Ω. Um condutor cuja função
num circuito é fornecer uma resistência específica é chamado
de resistor e é representado num diagrama de circuito com
o símbolo . Para uma dada diferença de potencial,
quanto maior for a resistência ao fluxo de carga, menor será
a corrente.
Em termos da resistência, podemos escrever a lei de Ohm
como:
um condutor obedece à lei de Ohm quando sua re-
sistência é independente do valor e da polaridade
da diferença de potencial aplicada.
O inverso da condutividade é a resistividade ρ:
ρ =
1
σ
,
onde ρ possui unidades de ohm·metro (Ω · m).
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Como R = ℓ/σA, podemos expressar a resistência de um
bloco uniforme de material com comprimento ℓ como
R = ρ
ℓ
A
.
Note que esta relação só é válida para condutores homogê-
neos e isotrópicos de seção reta uniforme e sujeitos a um
campo elétrico também uniforme.
6.2.1 Variação da resistividade com a temperatura
A resistividade de um material depende da temperatura.
A resistência dos metais geralmente aumenta com a tem-
peratura. Isto não é surpresa, já que para temperaturas
mais altas os átomos movem-se mais rapidamente e estão
organizados de forma menos ordenada, afetando de forma
mais significativa o fluxo de elétrons. Se a variação de tem-
peratura não é tão grande, a resistividade dos metais aumenta
aproximadamente de forma linear com a temperatura, de
acordo com a relação:
ρ = ρ0[1 + α(T − T0)],
onde ρ0 é a resistividade numa dada temperatura de refe-
rência T0 (como 0°C ou 20°C), ρ é a resistividade a uma
temperatura T e α é chamado de coeficiente de temperatura
da resistividade.
6.2.2 Semicondutores
Semicondutores são substâncias cuja resistividade elé-
trica, ao contrário do que ocorre com os condutores normais,
diminui com a temperatura. Assim, são condutores nas
temperaturas usuais e isolantes nas baixas temperaturas.
Exemplos de elementos químicos com propriedades de
semicondutores são o germânio e o silício. Além destes
elementos, também são semicondutores uma grande quanti-
dade de substâncias entre as quais se destacam os compostos
binários constituídos por átomos de grupos diferentes da
tabela periódica como, por exemplo, GaAs, AlSb e InSb.
6.3 POTÊNCIA EM CIRCUITOS ELÉTRICOS
Se uma bateria é usada para estabelecer uma corrente
elétrica em um condutor, há uma contínua transformação
da energia química na bateria para a energia cinética dos
elétrons, isto é, para a energia interna do condutor, o que
resulta em um aumento da temperatura do condutor.
Vamos determinar uma expressão que permite calcular
a taxa pela qual a energia é transferida ao condutor. Em
primeiro lugar, vamos considerar um circuito simples como o
mostrado na Figura 6.5 onde a energia está sendo transferida
diretamente para um resistor. Como os fios que conectam a
bateria e o resistor também possuem uma resistência, parte
da energia é transferida para os fios e parte para o resistor.
Por simplicidade, vamos considerar que a resistência dos fios
é desprezível, portanto toda a energia fornecida ao circuito é
b
a
c
d
R
I
∆V
+
–
Figura 6.5 – Um circuito simples consistindo de um resistor de
resistência R e uma bateria possuindo uma diferença de potencial V
entre seus terminais. Cargas positivas movem-se no sentido horário.
©Serway–Jewett 3ed.
transferida para o resistor.
Uma quantidade de carga positiva q move-se ao longo de
todo o circuito criando uma corrente I. Entre os pontos a e
b, a carga move-se através da bateria e a energia potencial
elétrica do sistema aumenta por uma quantidade U = qV
enquanto a energia potencial química na bateria diminui pela
mesma quantidade. Quando a carga move-se de c até d
através do resistor, o sistema perde energia potencial elétrica
durante as colisões dos elétrons com os átomos no resistor.
Neste processo, a energia é transformada em energia interna
correspondendo a um aumento do movimento vibracional
dos átomos no resistor. Nos segmentos bc e da não ocorre
nada, já que desprezamos a resistência do fio condutor.
Portanto, quando a carga retorna ao ponto a, parte da energia
foi transferida para o resistor na forma de energia interna.
O resistor está normalmente em contato com o ar,
logo, como sua temperatura aumenta, a energia interna é
transferida para o ar na forma de calor. Além disso, o
resistor também emite radiação térmica, uma outra forma de
transferência de energia. Após um certo intervalo de tempo,
o resistor atinge uma temperatura constante e a energia
fornecida pela bateria é balanceada pela energia liberada pelo
resistor na forma de calor ou radiação.
A taxa pela qual o sistema perde energia potencial elé-
trica à medida que a carga q atravessa o resistor é então
dU
dt
=
d
dt
(qV) =
dq
dt
V = IV,
onde I é a corrente no circuito. O sistema ganha esta energia
potencial quando a carga passa através da bateria, ao custo
da diminuição da energia química da bateria. Portanto, a
potência P = dU/dt que dá a taxa de perda de energia
potencial é
P = IV.
Como para um resistor V = IR, podemos expressar a
potência transferida para o resistor como:
P = I2R =
V2
R
.
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Se a corrente I é expressa em ampères, V em volts e R em
ohms, a unidade SI de potência é o volt·ampère ou watt:
1 volt · ampère = 1
joule
coulomb
·
coulomb
segundo
= 1watt
O processo pelo qual a potência é perdida como energia
interna em um condutor de resistência R é frequentemente
chamado aquecimento Joule ou efeito Joule.
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7 CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA
Neste capítulo vamos tratar da física de circuitos elétricos
que contêm resistores, fontes e capacitores. Vamos limitar a
discussão a circuitos nos quais as cargas se movem sempre
no mesmo sentido, conhecidos como circuitos de corrente
contínua ou circuitos DC (do inglês Direct Current).
7.1 FONTES DE FEM
Para fazer passar cargas elétricas por um resistor pre-
cisamos estabelecer uma diferença de potencial entre as
extremidades do dispositivo. O dispositivo que mantém a
voltagem constante em um circuito é chamado de fonte de
fem, ou simplesmente fonte. Originalmente, o termo fem
era uma abreviação de força eletromotriz, que era usada para
designar a diferença de potencial produzida por uma fonte de
tensão, embora na verdade não se trate de uma força.
As fontes de fem (símbolo E ) são todos os dispositi-
vos (por exemplo, baterias e geradores) que aumentam a
energia potencial de um circuito mantendo uma diferença
de potencial entre pontos no circuito enquanto cargas o
atravessam. Pode-se pensar em uma fonte de fem como
sendo uma “bomba de carga” que faz com que os elétrons se
desloquem em uma direção oposta ao campo elétrico dentro
da fonte. A diferença de potencial máxima entre os terminais
de uma fonte, quando nenhuma corrente é fornecida para um
circuito, é chamada de fem da fonte. A fem E de uma fonte
descreve o trabalho realizado por unidade de carga, ou
E =
dW
dq
.
A unidade de fem é o joule/coulomb que, como já vimos, é o
volt (V).
Uma fonte real, como uma bateria, tem sempre alguma
resistência interna r para o fluxo de cargas. Consequente-
mente, quando ligamos uma bateria a um circuito gerando
uma corrente elétrica ao longo dele, a diferença de potencial
entre os terminais da bateria será uma quantidade diferente
da sua fem. Por exemplo, considerando o circuito mostrado
na Figura 7.1, vamos determinar a diferença de potencial
entre os pontos a e b, V = Vb − Va. Quando passamos
pela fonte entre o terminal negativo e o positivo, o potencial
aumenta por uma quantidade E . Quando passamos através
da resistência r, o potencial diminui por uma quantidade Ir,
onde I é a corrente no circuito. Assim, a voltagem da bateria
é
(7.1) V = E − Ir.
Para uma bateria ideal, r = 0 e portanto V = E. Se nenhuma
corrente flui na bateria, V = E. Portanto, a diferença
de potencial entre os terminais de uma bateria depende da
corrente na bateria e de sua resistência interna.
ε
a
d
R
I
b
r
– +
c
(a)
I
Figura 7.1 – Um circuitocontendo uma fonte de fem com resis-
tência interna r e um resistor com resistência R. ©Serway–Jewett
3ed.
Considere novamente o circuito da Figura 7.1. A dife-
rença de potencial entre os pontos c e d, que atravessa o
resistor é V = IR. Como a diferença de potencial fornecida
pela bateria deve ser igual à diferença de potencial ao longo
do resistor, podemos reescrever a Eq. 7.1 como
(7.2) E − Ir = IR⇒ E = IR + ir.
Isolando a corrente obtemos
I =
E
R + r
.
Esta equação mostra que num circuito simples a corrente
elétrica depende da resistência externa R e da resistência
interna r da bateria. Se R é muito maior que r, como é o caso
de muitos circuitos reais, podemos desprezar r e a corrente
será dada por:
I =
E
R
,
que é a corrente máxima de um circuito operando a uma dada
fem E e com uma resistência R.
Se multiplicamos a Eq. 7.2 pela corrente I, obtemos
IE = I2R + I2r.
Esta equação indica que a potência total fornecida pela bate-
ria IE é transferida para a resistência externa na quantidade
I2R e para a resistência interna na quantidade I2r.
7.2 RESISTORES EM SÉRIE E EM PARALELO
7.2.1 Resistores em série
A Figura 7.2 mostra dois resistores R1 e R2 formando
uma combinação em série. As correntes que atravessam
ambos os resistores são iguais já que a quantidade de carga
que passa através de R1 também deve passar através de R2 no
mesmo intervalo de tempo. Portanto, a diferença de potencial
aplicada em uma combinação em série de resistores será
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dividida entre os resistores, ou seja
V = IR1 + IR2 = I(R1 + R2) = IReq,
onde Req é a resistência equivalente do circuito dada por:
Req = R1 + R2 + ... + RN .
Esta relação indica que a resistência equivalente de uma
combinação em série de resistores é a soma numérica das
resistências individuais e é sempre maior que qualquer resis-
tência individual.
Figura 7.2 – Combinação de resistores em série. ©Tipler–Mosca
5ed.
7.2.2 Resistores em paralelo
Agora considere a combinação de resistores mostrada na
Figura 7.3, que representa resistores em paralelo. Quando
a corrente atinge o ponto a, chamado de nó, ela se divide
em duas partes I1 e I2. Um nó de um circuito é portanto
caracterizado como qualquer ponto de um circuito no qual a
corrente se divide. Esta divisão implica que menos corrente
passará por cada resistor individual do que a corrente total
fornecida pela bateria. Como a carga elétrica (ou a corrente)
no circuito é conservada, a corrente I que entra no ponto a
deve ser igual às correntes que o deixam, isto é
I = I1 + I2,
onde I1 é a corrente em R1 e I2 é a corrente em R2.
A diferença de potencial entre os resistores é a mesma,
logo
I = I1 + I2 =
V
R1
+
V
R2
= V
(
1
R1
+
1
R2
)
=
V
Req
,
onde novamente Req é uma resistência equivalente para um
circuito com resistências em paralelo, dada por
1
Req
=
1
R1
+
1
R2
+ ... +
1
RN
.
Para dois resistores, temos:
Req =
R1R2
R1 + R2
.
Estas expressões mostram que o inverso da resistência equi-
valente de dois ou mais resistores conectados em paralelo é
igual à soma dos inversos das resistências individuais.
Figura 7.3 – Combinação de resistores em paralelo. ©Tipler–
Mosca 5ed.
7.3 REGRAS DE KIRCHHOFF
Conforme vimos anteriormente, circuitos simples podem
ser analisados usando a expressão V = IR e regras para
combinações de resistores em série e em paralelo. Porém, em
muitos casos não é possível reduzir um circuito a uma forma
simples. Para analisar circuitos mais complexos, como o da
Figura 7.6, utilizamos dois princípios chamados regras de
Kirchhoff:
1. Regra dos nós (conservação de cargas) Em um nó, a
soma das correntes elétricas que entram é igual à soma
das correntes que saem, ou seja, um nó não acumula
carga. Por exemplo, para o nó mostrado na Figura 7.4,
a relação entre as correntes será I1 = I2 + I3. Esta regra
está relacionada ao princípio da conservação de cargas
aplicado a circuitos elétricos.
∑
Ientra =
∑
Isai.
(a)
I1
I2
I3
Figura 7.4 – Regra dos nós de Kirchhoff. ©Serway–Jewett 3ed.
2. Regra das malhas (conservação de energia) A soma
algébrica das diferenças de potencial encontradas em
todos os pontos ao longo de um percurso completo do
circuito deve ser igual a zero. Esta regra está associada
ao princípio da conservação da energia em circuitos.
∑
ao longo
do circuito
V = 0
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Quando aplicamos a segunda regra de Kirchhoff na
prática, consideramos as seguintes convenções de sinal:
(a)
I
a b∆V = –IR
(b)
I
a b∆V = +IR
(c)
ε
a b
∆V = +ε
– +
(d)
a b
∆V = –ε
–+
ε
ε
ε
Figura 7.5 – Regras para determinação das diferenças de potencial
através de um resistor e uma bateria. Cada elemento é atravessado
da esquerda para direita. ©Serway–Jewett 3ed.
• Se atravessamos um resistor na direção da corrente, a
diferença de potencial será −IR (Figura 7.5a).
• Se atravessamos um resistor na direção oposta da cor-
rente, a diferença de potencial será +IR (Figura 7.5b).
• Se a fonte de fem (assumindo que possui resistência in-
terna desprezível) é atravessada na direção da fem (de −
para +), a diferença de potencial será +E (Figura 7.5c).
• Se a fonte de fem (assumindo que possui resistência
interna desprezível) é atravessada na direção oposta da
fem (de + para −), a diferença de potencial será −E
(Figura 7.5d).
7.3.1 Exemplo de aplicação das regras de Kirchhoff
Dado o circuito mostrado na Figura 7.6, desejamos obter
os valores das correntes I1, I2 e I3.
Solução
Em primeiro lugar, não podemos simplificar o circuito
usando as regras para resistores em série ou paralelo. Deve-
mos utilizar, então, as regras de Kirchhoff. Vamos definir de
forma arbitrária as direções das correntes tal como mostrado
na Figura 7.6. Aplicando a lei dos nós para o ponto c,
obtemos
I1 + I2 = I3.
Temos uma equação com três variáveis desconhecidas.
Logo, para encontrar os valores das correntes precisamos
de pelo menos mais duas equações que envolvam essas três
variáveis. Podemos dividir o circuito em três malhas, ou
caminhos: abcda, be f cb e ae f da. Portanto, necessitamos
14.0 V
e
b
4.0 Ω
– +
10.0 V
6.0 Ω
–+
f
I2
c
I3
I1
2.0 Ω
da
(Example 28.9) A circuit containing 
Figura 7.6 – Um circuito de malhas múltiplas. ©Serway–Jewett
3ed.
determinar as equações para duas malhas para encontrar as
correntes. Aplicando a regra das malhas para os caminhos
abcda e be f cb e atravessando o circuito no sentido horário,
obtemos as seguintes expressões:
abcda : 10,0 V − (6,0 Ω)I1 − (2,0 Ω)I3 = 0
be f cb : −(4,0 Ω)I2 − 14,0 V + (6,0 Ω)I1 − 10,0 V = 0
Portanto, temos três equações para determinar três variáveis.
Substituindo I3 = I1 + I2 na equação para abcda, temos:
10,0 V − (6,0 Ω)I1 − (2,0 Ω)(I1 + I2) = 0
10,0 V = (8,0 Ω)I1 + (2,0 Ω)I2 = 0
Dividindo cada termo da expressão para be f cb por 2 temos:
−12,0 V = −(3,0 Ω)I1 + (2,0 Ω)I2
Substituindo esta equação na anterior, eliminamos I2 e obte-
mos
22,0 V = (11,0 Ω)I1
I1 = 2,0 A
E determinamos I2 fazendo
(2,0 Ω)I2 = (3,0 Ω)I1 − 12,0 V
(2,0 Ω)I2 = (3,0 Ω)(2,0 A) − 12,0 V = −6,0V
I2 = −3,0 A
Finalmente,
I3 = I1 + I2
I3 = −1,0 A
Para finalizar o problema, notamos que as correntes I2 e
I3 são ambas negativas, indicando que as correntes possuem
sentido oposto do que escolhemos inicialmente.
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7.4 CIRCUITOS RC
Até agora analisamos circuitos de corrente contínua nos
quais a corrente é constante. Se incluirmos capacitores nestes
circuitos, a corrente terá sempre a mesma direção mas pode
variar com o tempo. Um circuito contendo uma combinação
em série de um resistor e um capacitor é chamado circuito
RC. Um exemplo deste tipo de circuito é mostrado na
Figura 7.7.
7.4.1 Carregando o capacitor
Considere o circuito da Figura 7.7 com o capacitor em
(a) inicialmente descarregado. Não há corrente no circuito
já que a chave S mantém o circuito aberto. Se a chave for
fechada em t = 0, a carga começará a fluir estabelecendo
uma corrente elétrica ao longo do circuito, o que ocasionará
o carregamento do capacitor. À medida que as placas do
capacitor vão sendo carregadas, a diferença de potencial no
capacitor aumenta. O valor máximo da carga nas placas
depende da voltagem da bateria. Quando a carga máxima
é atingida, a corrente no circuito é zero pois a diferença de
potencial no capacitor iguala-se à voltagem fornecida pela
bateria.
Para analisar este circuito quantitativamente, vamos apli-
car a lei das malhas de Kirchhoff após a chave ser fechada.
Seguindo o circuito da Figura 7.7b no sentido horário, temos
(7.3) E −
q
C
− IR = 0,
onde q/C é a diferença de potencial no capacitor e IR é a di-
ferença de potencial no resistor, onde usamos as convenções
de sinal mostradas na Figura 7.5. Para o capacitor, note que
estamos atravessando-o na direção da placa positiva para a
negativa; isto representa uma diminuição do potencial. As-
sim, usamos o sinal negativo para esta diferença de potencial.
Note que q e I são valores instantâneos que dependem do
tempo à medida que o capacitor vai sendo carregado.
Podemos utilizar a Eq. 7.3 para encontrar a corrente
inicial no circuito e a carga máxima no capacitor. No instante
em que a chave é fechada (t = 0), a carga no capacitor é zero,
logo a corrente inicial I0 no circuito é máxima e igual a
I0 =
E
R
(corrente em t = 0).
Quando o capacitor está carregado com seu valor máximo de
carga Q, não há mais fluxo de carga, a corrente no circuito
é zero e a diferença de potencial na bateria foi transferida
completamente para o capacitor. Substituindo I = 0 na
Eq. 7.3 obtemos a carga máxima do capacitor
Q = CE carga máxima.
Para determinar as expressões analíticas da dependência
temporal da carga e da corrente, devemos resolver a Eq. 7.3.
A corrente deve ter o mesmo valor em todos os pontos do
circuito-série. Assim, a corrente que atravessa a resistência R
ε
S
R
C
ε
R
S
I
q–
+ q
t < 0 t > 0
Figura 7.7 – Um circuito contendo uma fonte, um resistor e um
capacitor. Quando a chave do circuito é ligada, o capacitor começa
a ser carregado. ©Serway–Jewett 3ed.
deve ser a mesma entre as placas do capacitor. Esta corrente
é igual a taxa pela qual a carga nas placas do capacitor varia.
Logo, substituímos I = dq/dt na Eq. 7.3, rearranjando os
termos, temos:
dq
dt
=
E
R
−
q
RC
.
Para encontrar o valor de q, resolvemos esta equação dife-
rencial simples. Primeiro, combinamos os termos do lado
direito:
dq
dt
=
CE
RC
−
q
RC
= −
q −CE
RC
.
Agora, multiplicando por dt e dividindo por q−CE, obtemos
dq
q −CE
= −
1
RC
dt.
Integrando esta expressão, usando o fato que q = 0 em t = 0,
obtemos ˆ q
0
dq
q −CE
= −
1
RC
ˆ t
0
dt
ln
(
q −CE
−CE
)
= −
t
RC
.
E resolvendo o logaritmo, podemos escrever esta expressão
como
(7.4) q(t) = CE
(
1 − e−t/RC
)
= Q
(
1 − e−t/RC
)
,
onde Q = CE é a carga máxima no capacitor.
Podemos determinar uma expressão para a corrente dife-
renciando a Eq. 7.4 em relação ao tempo. Usando I = dq/dt,
encontramos
(7.5) I(t) =
E
R
e−t/RC .
A quantidade RC, que aparecem nos expoentes na Eq. 7.4
e Eq. 7.5, é chamada de constante de tempo τ do circuito:
τ = RC.
Prof. Abílio Mateus Jr.
Departamento de Física (CFM)
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Notas de aula – FSC 5133: Física Teórica B Capítulo 7: Circuitos de corrente contínua
S
RC
–Q
+Q
R
S
I
–q
+q
C
t < 0 t > 0
Figura 7.8 – Um circuito simples contendo um resistor e um
capacitor. ©Serway–Jewett 3ed.
7.4.2 Descarregando o capacitor
Agora considere o circuito mostrado na Figura 7.8, que
consiste de um capacitor carregado com uma carga inicial
Q, um resistor e uma chave. Quando a chave está aberta
(Figura 7.8a), uma diferença de potencial Q/C existe entre
as placas do capacitor e é zero no resistor pois I = 0. Se
a chave é fechada em t = 0, o capacitor inicia o processo
de descarga através do resistor. Num instante t durante a
descarga, a corrente no circuito é I e a carga no capacitor é q
(Figura 7.8b). Note que o circuito da Figura 7.8 é o mesmo
da Figura 7.7 se removermos a bateria. Assim, eliminando a
fem E da Eq. 7.3, obtemos
−
q
C
− IR = 0.
Substituindo I = dq/dt nesta expressão, fica
−R
dq
dt
=
q
C
dq
q
= −
1
RC
dt.
Integrando esta expressão, usando o fato que q = Q em t = 0,
temos ˆ q
Q
dq
q
= −
1
RC
ˆ t
0
dt
ln
(
q
Q
)
= −
t
RC
q(t) = Qe−t/RC .
Diferenciando esta expressão em relação ao tempo nos dá a
corrente instantânea em função do tempo:
I(t) =
dq
dt
=
d
dt
(
Qe−t/RC
)
= −
Q
RC
e−t/RC ,
onde Q/RC = I0 é a corrente inicial. O sinal negativo
indica que à medida que o capacitor descarrega, a direção da
corrente é oposta à direção quando o capacitor estava sendo
carregado. Notamos que tanto a carga no capacitor como a
corrente no circuito decaem exponencialmente a uma taxa
caracterizada pela constante de tempo τ.
Prof. Abílio Mateus Jr.
Departamento de Física (CFM)
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