Trabalho03 - Interferência-Difração

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
ICEA- Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas 
 Campus- João Monlevade 
 
 
 
 
Disciplina: Física III/ CEA-013 
Curso: Engenharia de Computação 
 
Trabalho 02 – Interferência e Difração 
 
 
 
 
 
Nomes: Lucas Cedro de Lima 
 Luíza Bastos Ribeiro 
 Welton Braga de Souza 
 
 
João Monlevade-MG 
08/11/2012 
 
 
1 
 
Sumário 
Introdução ..................................................................................................................................................2 
Resumo ......................................................................................................................................................3 
Seção 1.0 – Interferência ........................................................................................................................4 
Seção 1.1 – Experimento de Young ..........................................................................................................5 
Seção 1.2 - Intensidade Franjas de Interferência ......................................................................................7 
Seção 1.3 – Espelho de Lloyd ...................................................................................................................9 
Seção 1.4 – Exercício Proposto ..............................................................................................................10 
Seção 2.0 - Difração Luminosa ..............................................................................................................12 
Seção 2.1 – Difração por uma fenda ......................................................................................................13 
Seção 2.2 – Difração por uma fenda circular ..........................................................................................14 
Conclusão ................................................................................................................................................16 
Bibliografia .............................................................................................................................................17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
A primeira pessoa a apresentar uma teoria ondulatória convincente para a luz foi o físico holandês 
Christian Huyguens, em 1678. Embora muito menos completa que a teoria eletromagnética de Maxwell, 
desenvolvida mais tarde, a teoria de Huyguens era matematicamente mais simples e permanece útil até 
hoje [2]. A teoria de Huyguens utiliza uma construção geométrica que permite prever onde estará uma 
frente de onda em qualquer instante. 
Thomas Young, através de seu experimento (experimento de Young) que será demonstrado nesse 
trabalho, provou que a luz é uma onda. Seu experimento, nada mais era que demonstrar que a luz sofria 
interferência, assim como todos os outros tipos de ondas existentes. 
A luz, portanto, assim como todas as ondas, sofre os efeitos de interferência e difração. O efeito de 
interferência pode ser definido como superposição de onda podendo ser construtiva, destrutiva ou 
intermediária. Ou seja, as frentes de onda podem se somar, se anular, ou obterem valores intermediários 
entre a maior frente e a menor. Já o efeito de difração tem como definição o espalhamento de um feixe de 
luz monocromático incidido em uma ou duas fendas. Esse efeito provoca uma imagem denominada figura 
de difração (uma figura com um centro mais claro e as laterais mais escuras). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Resumo 
Esse trabalho consiste em mostrar os princípios do fenômeno da interferência, (interferências construtiva, 
destrutiva e intermediária) e sobre os fenômenos de difração (em uma fenda, em um orifício circular e em 
duas fendas). Consiste também em mostrar o desenvolvimento das fórmulas de ambos os fenômenos e 
suas aplicações. Na interferência, mostrou-se um exemplo de um aquário sendo incidido por um feixe 
laser e na difração mostrou-se o experimento de Young. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Desenvolvimento 
1.0 Interferência 
Assim como em ondas mecânicas, as ondas de luz também sofrem interferência. Na interferência 
construtiva a onda resultante é uma onda maior que aquelas que foram combinadas podendo ser no 
máximo o dobro. Na destrutiva a maior resultante será atingida quando seu valor mínimo for zero 
(totalmente anuladas). 
Apesar de a interferência estar sempre presente, nem sempre ela poderá ser notada. Se utilizarmos duas 
fontes de luz lado a lado, como por exemplo, duas lâmpadas, as emissões de luz não manterá uma relação 
constante de fase uma com a outra. Ondas produzidas por lâmpadas comuns sofrem alterações de 
mudança de fase aleatórias em intervalos de nano-segundos. Sendo assim as interferências construtivas ou 
destrutivas ocorrem muito rapidamente, sendo o olho humano incapaz de notar tal fenômeno. Fontes 
como estas são ditas ser “incoerentes”. 
Para se notar a interferência de ondas de luz, devem-se cumprir estes dois requisitos: 
 A fonte deve ser coerente; isto é, ela deve manter uma constante de fase em respeito com a outra. 
 A fonte deve ser monocromática; isto é, um único comprimento de onda (ondas planas). 
Como um exemplo pode-se utilizar dois alto-falantes lado a lado sendo controlados pelo mesmo 
amplificador. Como ambas as caixas respondem ao mesmo amplificador as alterações sempre serão as 
mesmas para ambos ao mesmo tempo, sendo assim possível notar uma interferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
1.1 Experimento de Young 
Este experimento foi criado em 1801 por Thomas Young para provar que assim como as ondas do mar e 
ondas sonoras, as ondas de luz também sofrem interferência. Será demonstrado como este experimento 
foi realizado. 
Thomas utilizou de uma “barreira” qualquer (que impedem a passagem de luz) com duas pequenas fendas 
e uma tela. É necessário que este experimento cumpra as regras de interferência, para isso, deve ser 
utilizado uma fonte de luz monocromática e uma fonte coerente. As duas fendas servem para “separar” e 
espalhar os raios de luz vindos da fonte, como visto na figura1. Qualquer mudança feita pela fonte irá 
alterar as ondas de forma igual. 
 
Figura 1 – Esq. Diagrama esquemático do experimento de Young. Dir. Resultado observado na tela. 
Se as luzes viajassem apenas em linha reta, nenhuma sobreposição e muito menos interferência. Mas 
devido ao efeito da difração, após atravessar a fenda, a luz se espalha, iluminando regiões que 
supostamente deveriam estar obscuras. As regiões claras e escuras observadas na figura 1 à direita são 
referentes à interferência construtiva e destrutiva do experimente, essas faixas são denominadas “franjas”. 
Na figura 2, serão mostradas algumas formas que ondas podem se combinar ao chegar na tela de 
visualização. Na primeira imagem ambas as ondas atingem a tela em um certo ponto P, como elas 
percorrem a mesma distância, ambas se combinam construtivamente. Na figura 1-b elas se encontram no 
ponto Q, a onda superior percorre um comprimento de onda a mais, sendo assim elas ainda se interferirão 
construtivamente. A imagem mais a direita nos mostra uma diferença de fase de meio comprimento de 
onda, isso ocasionará uma interferência destrutiva, e uma faixa preta será observada no visor. 
 
Figura 2 - Formas diferentes do encontro de ondas6 
 
Para descrever o experimento de Young será utilizada a figura 3 que se segue: 
 
Figura 3 - Experimento de Young 
Seja uma barreira com duas fendas S1 e S2, com uma distancia “d” entre elas, e um visor em paralelo 
distanciado a uma distancia L da barreira. Em um ponto P qualquer na parte superior da tela, a onda 
inferior deverá trafegar um caminho maior, chamada diferença de caminho, que pode ser calculada pela 
fórmula: 
 (1) (assumindo r2 e r1 como raios paralelos, que pode ser considerado 
verdadeiro caso L >> d) 
Caso δ seja igual a zero ou algum múltiplo do comprimento de onda, em P, a interferência será 
construtiva. Sendo assim a condição para franjas claras no ponto P é: 
 (2) (“m” é o número que representa o número de 
comprimentos de onda da diferença do caminho entre as duas ondas). 
Caso δ seja um múltiplo de λ/2 a diferença de fase entre as ondas será de 180º, o que representa uma 
interferência destrutiva, produzindo franjas escuras. 
 (3) 
Usualmente se obtém expressões de posição ao longo do visor medindo verticalmente a distancia do 
ponto O a P. Para isso devemos assumir sempre que L >> d e que d >> λ. Sob essas condições, θ será 
pequeno, assim pode-se utilizar uma aproximação para ângulos pequenos onde senθ ≈ tanθ. Sendo do 
triangulo OPQ da figura 2: 
(4) 
Isolando senθ na formula (2) e substituindo na fórmula (4) temos: 
 (para franjas claras) 
Para um procedimento análogo para a fórmula (3) temos: 
 (para franjas escuras) 
 
7 
 
 
1.2 Intensidade das Franjas de Interferência 
Na figura 1 pode-se notar que não há uma mudança abrupta entre a parte clara e escura, há uma mudança 
gradativa. Daqui a diante será discutido um pouco mais sobre essas fases intermediarias e não somente as 
faixas de interferência máxima, seja ela construtiva ou destrutiva. Será calculada a distribuição da 
intensidade da luz associada ao padrão de interferência das duas fendas. 
Para isto continuaremos a considerar que nossas fontes são coerentes e que possuem a mesma frequência 
angular ω e uma constante de fase Φ. 
 
Figura 4 - Imagem para análise do padrão de interferência das duas fendas. 
A magnitude total do campo elétrico no ponto P da figura 4 é a combinação de duas ondas. Assumindo a 
mesma amplitude E0, é possível escrever a magnitude do campo elétrico no ponto P para cada onda 
separadamente: 
 (5) 
Mesmo sabendo que a fase das ondas é a mesma nas fendas, no ponto P há uma diferença de fase que 
depende da diferença do caminho percorrido por cada uma (fórmula 1). A diferença do caminho de λ 
(para interferências construtivas) corresponde a 2π rad. A diferença de caminho para δ é uma fração de λ 
assim como a diferença de fase Φ é de 2π. Logo se pode escrever que 
 
 que nos dá (6) 
Utilizando o princípio da superposição da fórmula (5) obtém-se a resultante do campo elétrico no ponto P 
 (7) 
Para simplificar esta expressão, utilizaremos uma identidade trigonométrica. 
(8) 
Tomando A = ωt + Φ e B = ωt, a equação (7) fica na forma: 
 (9) 
Pode-se notar que a campo elétrico no ponto P tem a mesma frequência ω que a luz na fenda, porém a 
amplitude do campo não será a mesma, esta será multiplicada por um fato de 2cos(Φ/2). Se substituirmos 
o valor de Φ por 0, 2π, 4π, ...2nπ (n>= 0) a magnitude de P corresponde ao dobro da campo elétrico 
inicial (2E0) que corresponde a uma interferência construtiva máxima. Se utilizarmos agora valores de Φ 
8 
 
como π, 3π, 5π,...,2n+1 (n>=0) a magnitude no ponto será zero, que corresponde a uma interferência 
máxima e destrutiva. 
Para definir a equação final de intensidade da luz deve-se ter conhecimento de: 
“A intensidade de uma onda é proporcional ao quadrado da magnitude resultante do campo elétrico 
naquele ponto” [1] 
Deduzindo esta afirmação matematicamente temos: 
 
A maioria dos instrumentos de medição de intensidade de luz utiliza o valor de sen
2(ωt + Φ/2) como ½. 
Sendo assim podemos escrever a intensidade média no ponto P como: 
 onde Imax é a máxima intensidade na tela. 
Substituindo o valor de Φ pelo valor da fórmula (6) obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
1.3 Espelho de Lloyd 
Foi estudado e analisado na seção anterior o método de “Young”, que compreendia em uma fonte de luz 
coerente iluminando um par de fendas. Ainda antes deste trabalho ser criado, em 1837 Humprey Lloyd 
apresentou o experimento hoje conhecido como “Lloyd’s mirror” (espelho de Lloyd). 
Este experimento consiste também em criar um padrão de interferência com uma única fonte de luz, 
porém, com base na reflexão. 
 
Figura 5 – Experimento de Lloyd (Lloyd’s Mirror) 
Na figura acima está representado esquematicamente como funciona o espelho de Lloyd. Seja S uma 
fonte de luz monocromática localizada próxima a um espelho e uma tela posiciona ha uma distancia 
moderada a frente em perpendicular com o espelho. Os raios que saem de S iluminam tanto o espelho 
quanto a tela, e selecionando dois raios de interesse, escolheremos um ponto P qualquer na tela. Este 
ponto P é atingindo por dois raios, sendo o superior vindo direto da fonte e o inferior devido a uma 
reflexão no espelho. Prolongando o raio inferior, pode-se supor que há outra fonte virtual S’ que seria a 
fonte desse raio. Sendo assim podemos comparar esse arranjo com o de Young para fendas, pois cada 
fenda agia como uma fonte separada, a distância entre os pontos S e S’ seria a distancia “d” da fórmula 
(1) e “L” seria a distancia entre os pontos e a tela. Sendo L >> d, podemos esperar que as ondas formam 
um padrão de interferência como visto com duas fontes coerentes e reais, e de fato isto acontece. 
Para espelhos, uma onda eletromagnética sofre uma mudança de fase de 180º após ser refletida por um 
espelho com índice de refração mais elevado do que o meio que ela antes trafegava. 
 
Figura 6 – Experimento de Lloyd 
 
 
 
 
 
 
10 
 
1.4 Exercício Proposto (Aquário) 
Suponha aquário de 1m
3
 cúbico atingido por um feixe laser. 
a) Caso o raio incida com ângulo de inclinação de 30°, calcule o novo ângulo de inclinação do raio 
caso passe do ar para a água. 
b) Caso incida na lateral do aquário, calcule a diferença de fase, entre um feixe que passaria pelo 
aquário e outro feixe que não passaria pelo mesmo. 
c) Qual teria de ser o comprimento do aquário para um os dois feixes, quando incidindo no mesmo 
se anulariam. 
Resolução 
a) Sabe-se que: 
Índice de refração do ar: 1,0 
Índice de refração da água: 1,333 
 
Utilizando a lei de Snell para refração 
 
1,0 x sen (30º) = 1,333 x sen (θ2) 
0,5 / 1,33333 = sen (θ2) 
0,375 = sen (θ2) 
arcsen (0,375) = θ2 
θ2 = 22,02º 
b) Será utilizado: 
Vluznoar = 3,8 x 10
8
 
Vluznaágua = 2,25 x 10
8 
Frequência de um feixe de luz vermelha = 4,50 x 10
14
 
 
λ = v/f 
 
λágua = 2,25x10
8 
/4,50x10
14 
= 500nm 
λar = 3,0x10
8
/ 4,50x10
14
 = 667nm 
 
Comprimento do aquário = 1m 
1m / 500nm = 2,0 x 10
6 
1m / 667nm = 1499250,375 
 
Como nos importamos apenas com o que após a vírgula: 
A diferença de fase dos dois será 
0,375 – 0 = 0,375 
 
Convertendo para graus temos: 
 
1 = 360º 
0,375 = x 
X= 135º 
 
 
Convertendo para radianos temos: 
180 = π 
135 = x 
X = 2,356 rad 
 
 
11 
 
c) Sabe-se que para uma interferência totalmente destrutiva é preciso uma diferença de fase de π 
rad, e que o comprimento de onda fora do aquário permanecera inalterado. 
Para isso o número após a vírgula precisa ser necessariamente 0,5. Como para um aquário de 
1metro obtivemos um valor de 1499250,375 ciclos completosdo comprimento de onda. 
Procuraremos um valor um pouco distante do encontrado para que haja uma diferença notável no 
comprimento do aquário. 
 
Procuraremos quantos metros de aquário é necessário para que haja 1500000,5 ciclos completos. 
 
X / 667nm = 1500000,5 
X = 1,0005 m 
 
O aquário deveria ter 1,0005 metros para que as ondas fossem destrutivas. Mesmo tendo 
aumentado bastante o valor de ciclos, o valor em metros do aquário ainda é imperceptível. Isso 
pois o comprimento de onda da luz é um valor extremamente pequeno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
2.0 Difração Luminosa 
Difração da luz pode ser definida como o espalhamento da luz após a sua passagem por um pequeno 
orifício ou barreira, e, além de produzir esse efeito, a difração causa uma diferença de luminosidade que é 
denominada figuras de difração. Essas figuras são formadas por um máximo central, que produz uma luz 
mais intensa e uma série de mínimos estreitos, que produzem uma luz menos intensa. Esse fenômeno não 
é uma exclusividade da luz, pois ela é um efeito ondulatório, portanto acontece também em outros tipos 
de onda, como no som por exemplo. 
No capítulo de ótica foi aprendido que a luz viaja em linha reta e em forma de raios, entretanto, se essa 
afirmação fosse considerada completamente verdadeira, não existiria o fenômeno da difração, pois a 
figura de difração não aconteceria. 
A difração pode ser dividida em três casos, que serão discutidos nas seções abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
2.1– Difração por uma fenda: 
Acontece quando uma onda luminosa atravessa uma fenda estreita e se depara com uma tela plana, 
produzindo uma figura de difração. Esse caso tem como um dos interesses encontrar as posições dos 
mínimos, a fórmula para descobrir o ângulo entre eles é a seguinte: 
 , para m > 0 (m pertencente aos inteiros). (eq 1) 
Esse caso é exemplificado na figura 7 mostrada abaixo: 
 
Figura 7 - Exemplo de difração por uma fenda. Um feixe de luz incidente no anteparo com uma fenda (de 
tamanho Δvy) produzindo uma imagem de difratada no plano B[1]. 
 
Para encontrar uma expressão para a intensidade I da luz difratada em função de x, utiliza-se a seguinte 
fórmula: 
 ( ) (
 
 
)
 
(eq 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
2.2 Difração por uma fenda circular 
Esse caso diferencia-se do primeiro pelo fato de que agora ao invés de incidir a onda luminosa através de 
uma fenda retangular, ela será incidida através de um orifício circular, de diâmetro d. 
A imagem correspondente não é apenas um ponto, e sim um disco com intensidades claras e escuras. Um 
exemplo desse tipo de difração é apresentado abaixo: 
 
Figura 8 - Difração de uma abertura circular. [2] 
 
Para encontrar a posição do primeiro mínimo da figura de difração de uma abertura circular de diâmetro 
d, utiliza-se a seguinte equação: 
 
 
 
 (eq 3) 
Onde θ é o ângulo entre o eixo central e a reta que liga o centro do anel à posição do mínimo (circular). 
Comparando a equação 3 com a equação 1, pode-se perceber que a diferença está no fator 1,22, que 
aparece por causa da forma circular da abertura. 
Esse caso pode ser aplicado para distinguir dois objetos pontuais distantes, cuja separação angular é 
pequena. Têm-se três possíveis casos: 
 
Figura 9 - Figuras de difração, formadas por uma lente convergente, de duas estrelas próximas[2]. 
15 
 
Na figura 3-a, como as figuras de difração das estrelas estão muito próximas (superpostas), elas não 
podem ser analisadas separadamente. Em 3.b,onde os corpos também mal podem ser distinguidos, tem-se 
que o máximo central da figura de difração de uma das fontes coincide com o primeiro mínimo central da 
figura de difração da segunda. Essa situação é denominada critério de Rayleigh. 
Para o caso das figuras 3-a e 3-b, onde é difícil distinguir um corpo do outro, usa-se a seguinte equação 
para a separação angular dos mínimos: 
 
 (
 
 
) (eq 4) 
 
Como os ângulos são pequenos, é possível substituir por expresso em radianos: 
 
 
 
 (critério de Rayleigh) (eq 5) 
Para efeito dos cálculos teóricos a serem desenvolvidos posteriormente, vamos tomar a equação 5 como 
sendo um critério preciso: Se a separação angular θ entre as fontes for maior que θR supõe-se as figuras de 
difração podem ser distinguidas. Se a separação for menor que θR vamos supor que as fontes não podem 
ser distinguidas. 
O critério de Rayleigh pode ser usado para explicar o efeito que acontece com as cores no estilo de 
pintura pontilhista. Quando o observador está próximo da pintura, tem-se que θR > θ, de forma que os 
pontos são facilmente distinguidos, enxergando, portanto, as cores e os pontos definidos pelo pintor. 
Quando o observador se posiciona distante da pintura, θR < θ, por isso os pontos não podem ser 
distinguidos separadamente, assim, a mente do observador é obrigada a inventar uma cor para cada grupo 
de pontos. Um pintor pontilhista usa esse sistema visual do espectador para criar as cores de suas obras. 
Abaixo é mostrado um exemplo de uma pintura pontilhista: 
 
Figura 10 - Pintura Pontilhista de Eliseu Visconti [4]. 
 
O caso de Difração por duas fendas já foi explicado anteriormente, no capítulo de Interferência. 
 
 
16 
 
Conclusão 
Após montar o experimento de Young a partir de uma caixa de papelão e uma lanterna, percebeu-se a 
formação da figura de difração quando a luz monocromática da lanterna deparou-se com duas fendas 
retangulares. Na figura de difração, observaram-se partes estavam escuras e outras claras devido ao fato 
das interferências construtivas e destrutivas. 
 
 
Figura 11 - Experimento de Young 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bibliografia 
[1]http://www.ensinoadistancia.pro.br/EaD/Fisica-4/Aulas/Aula-20/aula-20.html 
[2] HALLIDAY RESNICK. Fundamentos da física. Volume 4 Óptica e Física Moderna. 8
th
 Edição. LTC 
(2007). 
[3] SERWAY JEWETT. Physics for Scientists and Engineers. 6
th
 Edition. Thomson Brooks/Cole (2004). 
[4] http://esteticaarte2009.blogspot.com.br/2009/08/pontilhismo.html