Aula 7 Os princípios da óptica e dos fenômenos ondulatórios

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Introdução às Ciências Físicas
Aula 7: Os princípios da óptica e dos fenômenos ondulatórios
Apresentação
A óptica é normalmente identi�cada como o campo da física que descreve todos os fenômenos da observação visual e da
visão. Nesse particular, em função da evolução da compreensão dos diversos fenômenos e propriedades físicas
associadas, classi�cados como re�exão e refração, polarização, interferência, difração e dispersão que, de uma forma ou
de outra, estão ligados à luz, obriga-nos a fazer um tratamento deste campo (óptica) em que, ora usamos uma teoria
corpuscular, ora usamos uma teoria ondulatória da luz.
A luz passa a desempenhar o papel central nesse campo da física teórica. Para certos fenômenos, trataremos a luz como
formada, ou se comportando como, feixes retilíneos de luz. Para outros fenômenos, trataremos a luz por uma descrição
ondulatória.
Quando lidamos com fenômenos eletromagnéticos da natureza da luz, somos obrigados a reconhecê-la e a tratá-la como
uma composição de campos elétricos e magnéticos. É nesse contexto que vamos procurar abordar, resumidamente, os
fenômenos ondulatórios e a óptica em seus aspectos mais gerais.
Objetivos
De�nir os conceitos e princípios da óptica e dos fenômenos físicos ondulatórios;
Reconhecer as grandezas físicas ondulatórias;
Compreender as relações entre os princípios da física ondulatória e suas grandezas físicas.
 Ondas
Não faz muito tempo, quando desejávamos nos comunicar entre duas localidades quaisquer, digamos duas cidades A e B,
podíamos fazê-lo, majoritariamente, por carta ou por comunicação telefônica, incluído neste o telex e fax.
 Luz Branca refratando em um prisma em seus comprimentos de ondas constituintes
No primeiro caso, transportávamos partículas (carta), informação, matéria e, por conseguinte, energia. No segundo caso,
transportávamos somente informação e energia, mas não transportávamos matéria, como no exemplo anterior.
A segunda alternativa nos é útil para de�nirmos o conceito de ondas, e por ondas vamos signi�car o transporte de energia
entre dois pontos, sem necessariamente transportar matéria, como no sentido usual e simples do termo.
Tipos de ondas
Nesse sentido, podemos ter diferentes tipos de ondas:
1
Ondas sonoras ou de pressão.
2
Ondas eletromagnéticas.
3
Ondas de matéria (que veremos no
estudo de Mecânica Quântica).
4
Ondas mecânicas.
5
Ondas não lineares do tipo solitônicas
(ainda mais complicadas de serem
descritas e compreendidas).
Quantidades que caracterizam uma onda
Em geral, em qualquer tratamento ondulatório, temos algumas quantidades que caracterizam uma onda. Essas quantidades
são conhecidas como:
1
Comprimento de onda.
2
Frequência.
3
Amplitude.
4
Período de oscilação da onda.
5
Número de onda.
Esses são, em geral, os ingredientes que constituem qualquer onda.
 Ondas mecânicas
Sabemos que, quando efetuamos uma batida sobre uma
mesa, provocamos uma vibração nessa mesa, que é o meio
onde essa vibração se propaga, carregando consigo energia
e informação, sem transportar matéria, no sentido usual.
Dizemos, então, que uma onda mecânica foi gerada.
O número de oscilações, ou vibrações, que temos por
unidade de tempo é o que de�nimos como a frequência de
vibração da onda.
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Um pouco mais de conhecimento – Ondas mecânicas
Na mais simples representação algébrica de uma onda, podemos associá-la a funções senoidais ou cossenoidais.
Uma representação constituída por altos e baixos que chamamos de cristas e vales.
A distância entre duas cristas, ou dois vales, é de�nida como o comprimento de onda λ.
O número de vezes, por unidade de tempo, em que a oscilação ocorre, como já mencionado, será a frequência f, de
oscilação da onda.
O valor máximo da oscilação representa o que chamamos de amplitude A, da onda. A amplitude, portanto, é um valor
de pico da onda.
O tempo necessário para que ocorra uma oscilação completa, de 0 a 2π, é o que vamos de�nir por período de
oscilação T, da onda.
Onde V é a velocidade de propagação ondulatória, chamada velocidade de fase.
Uma correlação simples é obtida entre a frequência e o período de oscilação, qual seja:
T f = 1
Ou seja, a frequência representa uma quantidade que é o inverso do período de oscilação, e isto é válido para
qualquer tipo de onda, ao menos para as ondas lineares, excetuando-se aquelas do tipo solitônicas, sobre as quais
vamos apenas comentar mais adiante pois fogem ao objetivo de nossa discussão.
Atenção
Onda se propagando em um meio material
O caso clássico de uma onda se propagando em um meio material é o de uma vibração em uma corda esticada, onde todos os
elementos apresentados acima, que caracterizam uma onda, estão presentes:
A frequência f.
O período de oscilação T.
A amplitude A.
O número-de-onda K, que pode ser convenientemente apresentado como:
K = 1/𝜆
Onde 𝜆 representa o comprimento de onda.
Como as ondas se propagam?
As ondas se propagam de duas formas distintas, dependendo de sua natureza:
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Se as vibrações ondulatórias ocorrem em uma direção, digamos a direção X, e a propagação se veri�ca na direção
ortogonal (perpendicular) à vibração da onda, direção Y, diremos que é uma onda transversal.
A onda vibra em uma direção e a propagação é ortogonal à direção de vibração.
Onda transversal 
No outro caso, se a direção de propagação é a mesma em que ocorre a vibração, dizemos que a onda é longitudinal.
Este é o caso que se veri�ca quando uma pessoa fala, quando ondas de pressão de ar são geradas e se propagam na
mesma direção de vibração da onda, transportando informação, o que nós conhecemos como ondas sonoras.
Da mesma maneira, caixas acústicas produzem ondas de pressão de ar longitudinais, som.
Onda longitudinal 
Comentário
Apesar de termos discutido até aqui as ondas mecânicas, as características acima são típicas de qualquer fenômeno ondulatório,
inclusive as ondas luminosas (deixando de lado as do tipo solitônicas).
Essas últimas, ondas de luz, são as ondas que particularmente nos interessam em nosso estudo, principalmente porque,
dependendo do fenômeno observado e que estivermos estudando, podemos ou não fazer uso da representação ondulatória da
luz ou fazer uso da simples representação de raios de luz, para uma completa descrição do fenômeno observado.
 A óptica geométrica - raios de luz
Quem já não teve a oportunidade de observar imagens que
são formadas em espelhos planos ou curvos, ou, ainda,
veri�car a ampli�cação de imagens através de lentes, e
observar que uma colher, quando mergulhada em um copo
transparente de água, dá a impressão de que se encontra
quebrada na interface ar-água, devido a um fenômeno que
chamamos refração?
Esses são fenômenos simples que podem ser descritos
satisfatoriamente através da chamada óptica geométrica,
cuja hipótese básica é que a luz seja formada por raios de
luz, uma abstração físico-matemática que facilita a nossa
compreensão para os fenômenos de re�exão e refração
em espelhos e lentes.
 Um pouco mais de conhecimento – Óptica geométrica
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Um pouco mais de conhecimento – Óptica geométrica
Considere uma superfície lisa, re�etora, que divide uma região do espaço em duas partes distintas A e B. É um fato
experimental que um feixe de luz incidindo com qualquer ângulo de incidência (i), com relação à direção perpendicular
à superfície re�etora, terá um raio re�etido de tal forma que (i) = (r), onde (r), aqui, signi�ca ângulo re�etido.
Temos, então, o que �cou conhecido, na literatura, como a Primeira Lei da Óptica Geométrica, isto é, o ângulo de
incidência é igual ao ângulo de re�exão, em relação a uma reta perpendicular à superfície re�etora.
Refração da luz
No caso da colher mergulhada em um líquido, onde a superfície do líquido divide dois meios de propagação luminosa,
líquido-ar, veri�camos que, aos nossos olhos, a colher parecerá quebrada.
Esse fenômeno, conhecido como refraçãoda luz é também descrito de forma simples, com a representação dos raios
de luz, satisfazendo a chamada lei de Snell da re�exão e da refração, fornecida pela relação:
Onde N e N representam uma nova quantidade associada aos respectivos meios de propagação luminosa,
chamados índices de refração.
Sabemos que a velocidade da luz no vácuo é aproximadamente c = 299.792.458m/s, para qualquer sistema de
referência inercial. Porém, se a luz estiver viajando em outro meio de propagação, que não o vácuo, veri�camos que
sua velocidade de propagação, no lugar de ser c será ligeiramente menor, digamos v < c, de tal sorte que a relação
entre c/v = N, onde N de�ne uma característica do meio no qual a luz viaja, isto é, de�ne o índice de refração do meio.
Portanto, a velocidade da luz, em qualquer meio de propagação, diferente do vácuo, será fornecida pela relação:
N = c/v
Quando v = c, obtém-se o índice de refração do vácuo como sendo igual à unidade.
Re�exão interna total
Fazendo uso, ainda, da descrição geométrica e da representação dos raios de luz, é possível entender o fenômeno da
re�exão interna total, uma consequência da re�exão e refração, onde temos a luz viajando desde um ponto p, no qual
se localiza a fonte luminosa, em um meio de propagação (1), com índice refração N , para um meio de propagação
(2), com índice de refração N . Uma interface divide os dois meios (1) e (2).
1 2
1
2
Desde que a luz provenha de um meio com índice de refração maior do que o
outro meio para o qual ela se dirige, com índice de refração menor, temos que a
luz será completamente refletida nessa interface a partir de um ângulo crítico.
Exemplo
Quando se considera, por exemplo, uma interface vidro-ar, sabendo-se que para o vidro N = 1,52, podemos usar a
lei de Snell e obter o ângulo crítico para o qual ocorre a re�exão interna total, dado por:
Sen (Â ) = 1/1,52 = 0,658
O que nos fornecerá o ângulo crítico  = 41,15 graus.
Veja que tomamos o índice de refração do ar como aproximadamente igual ao do vácuo, N =1. Então, se a luz viajar
desde o Vidro, através da interface que separa os dois meios, em direção ao meio de propagação ar, ela sofrerá uma
completa re�exão, na interface, para qualquer ângulo maior do que o ângulo crítico de 41,15 graus.
Não veremos o raio refratado do outro lado da interface, no meio de propagação ar.
Outras ocorrências do fenômeno da re�exão interna total são as miragens e as �bras ópticas:
As comuns re�exões em interfaces que separam dois meios de propagação luminosa, como, a seguir, na re�exão da
imagem da tartaruga, e a miragem no asfalto quente, onde as camadas de ar atmosférico mais aquecidas, próximas
ao solo, possuem índices de refração menores do que os das camadas de ar atmosféricas mais frias, fazendo com
que a luz proveniente e difusa do céu seja totalmente re�etida, fornecendo a miragem.
vidro
c
c
Ar
Saiba mais
Princípio de Fermat
Temos aqui três fenômenos, tendo em comum a descrição geométrica através de raios de luz e a Lei de Snell.
No caso da re�exão da luz em uma superfície re�etora ou no caso da refração da luz através de uma interface que separa dois
meios, com os seus respectivos índices de refração, podemos obter as duas leis partindo-se de um princípio físico conhecido
como princípio de Fermat, que a�rma que a luz descreve uma trajetória entre dois pontos quaisquer no menor tempo entre esses
dois pontos.
A luz, por assim dizer, percorre uma trajetória mínima. Pode-se mostrar que a consequência desse princípio é exatamente a lei da
re�exão, na superfície re�etora, bem como a lei da refração de Snell, já previamente apresentadas.
Esse princípio é o análogo ao famoso princípio da ação mínima, no estudo da Mecânica, o qual foge do nível de nossa presente
discussão.
 Dispersão e espalhamento da luz
Considere uma luz branca que incide em um prisma. A luz que emerge do prisma se espalha e o faz com várias componentes
de cores que foram separadas entre si. A luz, sofre, o que se denomina de dispersão.
A luz branca que incide no prisma, ao sair, se dispersa em
várias cores que constitui o que denominamos espectro de
luz.
Fica bem difícil explicar a existência do espectro da luz
considerando apenas a representação de raios de luz, para
explicar tal observação. O que são essas cores? De onde
elas provêm? Como se explicam?
Temos a mesma di�culdade para explicar o espalhamento da luz na atmosfera terrestre. Ao olhar para o céu durante o dia, a luz
que vemos é a luz solar que foi absorvida e depois retransmitida em muitas direções. Esse fenômeno chama-se espalhamento
luminoso.
Caso a Terra não possuísse atmosfera, o céu seria negro tanto durante o dia
quanto durante a noite, tal como um astronauta observa o céu no entorno da
Lua, quando está no espaço ou sobre a superfície lunar. Você veria a luz
solar somente quando olhasse diretamente para o sol e poderia observar as
estrelas durante o dia.
Como explicar o espalhamento da luz com a descrição simples dos raios de luz? Não é possível. É necessário algo mais para
justi�car e explicar plenamente os dois fenômenos acima. O espalhamento da luz e a decomposição da luz em seus
componentes.
 A teoria ondulatória e o princípio de Christian Huygens
As leis da re�exão e da refração podem ser obtidas a partir
de considerações ondulatórias, consistentes com a
natureza ondulatória da luz.
Em 1678, o cientista holandês Christian Huygens formulou
um princípio que permite a construção geométrica de
frentes de onda a partir de uma frente de onda conhecida
em um dado instante. Huygens a�rmou que:
“Todos os pontos de uma frente de onda podem ser considerados fontes de ondas secundárias que se espalham para fora
com uma velocidade igual à velocidade de propagação da onda.”
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Um pouco mais de conhecimento – Teoria ondulatória
De posse do princípio de Huygens, onde a luz agora é vista como onda e não mais como feixes de raios de luz, uma
física ondulatória para os fenômenos luminosos foi construída.
A luz agora possui frentes de onda, comprimentos de onda, períodos de oscilação, frequências, en�m, todas as
características que foram previamente de�nidas no início de nosso estudo.
Huygens não somente obteve as leis da re�exão e da refração de Snell, utilizando o novo ponto de vista a respeito da
luz, como foi possível explicar a existência de diferentes comprimentos de onda, tanto quanto explicava a dispersão da
luz branca, quando esta atravessa o prisma e a decompõe em ondas de vários comprimentos de onda, isto é, com
várias cores que constituem o espectro luminoso.
A teoria ondulatória também foi usada para explicar o espalhamento da luz na atmosfera da Terra. No entanto, para
este fenômeno em particular, ainda será necessária a compressão de outra propriedade da luz: a polarização da luz,
que ainda estudaremos adiante.
Dependendo do tipo de fenômeno que vamos observar, podemos tratar a luz como constituída de raios de luz, no
contexto da óptica geométrica, ou podemos tratar a luz no contexto de frentes de onda, de acordo com o princípio de
Huygens, para explicar a dispersão luminosa e reobter as leis da re�exão e refração.
Em certo sentido, o tipo de experiência que �zermos com a luz de�nirá se vamos fazer uso da formulação geométrica
ou da formulação ondulatória, e ambas as formulações estão sujeitas ao princípio de Fermat, segundo o qual a luz
percorre uma trajetória entre dois pontos que leva o menor tempo possível.
Exemplo
Logo, podemos entender o funcionamento de todos os instrumentos óticos que usamos no nosso dia a dia, tais como
câmeras, projetores, lupas, microscópios óticos, telescópios, espelhos etc.
Todos os fenômenos ligados a esses aparelhos podem ser explicados com base na ótica geométrica, sendo su�ciente
a hipótese da existência de raios de luz. Já fenômenos como o espalhamento e a decomposição da luz branca em seu
espectro exigem uma descrição mais elaborada e completa, a formulação ondulatória.
 Sobrea natureza da luz
James Clark Maxwell, em 1865, estudando o campo eletromagnético e colocando a teoria em bases matemáticas mais
consistentes, deduziu um conjunto de 4 equações que sistematiza todo o conhecimento dos Campos Elétricos e Magnéticos,
oriundos dos estudos anteriores de Ampère, Volt, Ohm, Lenz, Coulomb, Gauss, Faraday, entre tantos outros, que culminou no
que passou a ser conhecido como o teoria eletrodinâmica clássica.
Em seus estudos, Maxwell conseguiu obter uma relação simples envolvendo as constantes de permissividade elétrica ε e
permeabilidade magnética μ , ambas no vácuo, com a velocidade da luz c.
Maxwell deduziu a seguinte expressão:
Onde:
ε – permissividade elétrica do vácuo.
μ – permeabilidade magnética do vácuo.
0
0
C = 1
.ε0 μ0√
0
0
Atenção
Quando os valores das constantes elétrica e magnética, no vácuo, são introduzidos na expressão, obtém-se o incrível valor da
velocidade da luz no vácuo: 299.792Km/s.
De outro lado, Hertz, antes de Maxwell, usando circuitos e pilhas, já havia estudado e deduzido o caráter das ondas
eletromagnéticas para ondas de rádio, por exemplo.
A conclusão de Maxwell foi imediata: ou as ondas de rádio (eletromagnéticas) tinham a mesma natureza que a luz ou a luz
seria uma onda eletromagnética, como eram as ondas de Hertz (1885).
Ficou assim compreendido que a luz era, de fato, uma composição de campos elétricos e magnéticos, que oscilam em fase
no tempo e no espaço.
 Como a luz é constituída?
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Como a luz é constituída?
A luz é constituída, então, de campos elétricos e campos magnéticos que oscilam simultaneamente e cujo produto
vetorial, entre esses dois campos, fornece o chamado Vetor de Poynting, que designa a direção de propagação do
campo eletromagnético e seu �uxo de energia. Ficou, assim, de�nitivamente estabelecida a natureza da luz.
A luz, então, é uma onda eletromagnética. A luz possui, portanto, todos os ingredientes de uma representação
ondulatória, tais como comprimento de onda, frequência, período, amplitude e número de onda, como já havíamos
estudado antes.
Uma onda senoidal ou cossenoidal será representada por uma função matemática, tal como na expressão:
Y(x,t) = Y sin (κx-ωt)
Onde:
Y é a amplitude.
κ é o número de onda.
x designa o espaço de propagação da onda (direção de propagação).
ω é a frequência angular de oscilação da onda (ω=2πf).
t é o tempo de propagação da onda.
Para o caso particular em que essa onda descreve a luz, podemos representar Y(x,t) como E(x,t) ou B(x,t), onde E(x,t) e
B(x,t) representam os campos elétricos e magnéticos que constituem a luz.
Como E B podem vibrar em diferentes direções e sentidos, são quantidades vetoriais. Esses campos vibram e se
propagam pelo espaço, em fase, de tal forma que a razão entre os módulos de E B serão iguais à razão entre as suas
respectivas amplitudes de campo, isto é:
E/B = E /B = c
Sendo E e B as respectivas amplitudes de campo elétrico e magnético, E e B os módulos dos vetores E e B, e c a
velocidade da luz.
max
max
m m
m m
 Sobre a polarização da luz
Consideremos que a componente de campo elétrico, de um feixe luminoso, oscila em todas as direções espaciais. Os campos
elétricos e magnéticos são campos vetoriais, com vibrações em todas as direções possíveis, perpendiculares à direção de
propagação, no vácuo.
Vamos imaginar que desejamos �ltrar todas essas vibrações do campo elétrico exceto uma, digamos, da direção y. Queremos,
assim, �ltrar todas as componentes nas direções x e z, deixando passar pelo �ltro apenas a componente y, para ser detectada
ou observada.
O �ltro que vamos usar é o que denominamos tecnicamente de polarizador. Podemos fazer incidir luz natural sobre um
primeiro polarizador . A luz, depois de atravessar o primeiro polarizador, vibrará em uma única direção. Dizemos que a luz
foi linearmente polarizada.
Podemos usar um segundo polarizador para analisar a luz já polarizada, chamado de analisador. Ele poderá ser usado para
veri�car a intensidade radiativa de luz, ou de campo, previamente polarizado.
1
 Lei de Malus
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http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0127/aula7.html
Lei de Malus
Sabendo-se que a intensidade da onda corresponde ao valor médio do Vetor de Poynting e que essa intensidade da
radiação luminosa, ou da onda descrita aqui pelo campo elétrico, é proporcional ao quadrado da amplitude do campo
elétrico Em, pode-se mostrar que a radiação que atravessa o segundo polarizador (analisador) satisfaz uma lei
conhecida como Lei de Malus:
I = I (cos θ)
Onde I é a intensidade máxima da radiação transmitida.
O segundo polarizador pode girar em relação ao primeiro com θ variando desde 0 até 90º e, então, vemos a
intensidade variar desde um valor I = 0 até um valor máximo I = I .
Essa lei foi obtida por Ettiènne Louis Malus, em 1809, e vale somente quando o feixe luminoso incidente sobre o
analisador já está linearmente polarizado.
Outras possibilidades de polarização não estão descartadas. A luz pode ser polarizada por re�exão, refração e
absorção. Pode ser linearmente, circularmente e elipticamente polarizada.
Embora deixemos de lado uma discussão mais aprofundada sobre essas variantes de polarização, fazemos aqui o
registro para os interessados em se aprofundar um pouco mais sobre o tema da polarização da luz.
m
2
m
m
 Sobre a difração da luz
Considere a seguinte experiência: coloca-se uma fonte de luz em um ponto p qualquer arbitrário. À sua frente, colocamos um
anteparo, de tal forma que possamos detectar sombras ou luz re�etida nesse anteparo.
Coloquemos um corpo macroscópico diante da luz, entre a fonte e o anteparo. Certamente veremos uma sombra projetada no
anteparo devido à interrupção da luz que é bloqueada diante daquele corpo sólido.
Para descrever esse fato, podemos usar a óptica geométrica e a representação por raios de luz. Vamos repetir a experiência,
mas, desta vez, vamos utilizar um �o de cabelo esticado e colocá-lo diante da luz de forma adequada.
 Um pouco mais de conhecimento – Difração da luz e Difração de fenda
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Um pouco mais de conhecimento – Difração da luz e Difração de fenda
Difração da luz
Desta vez, ao tentarmos observar a sombra formada do �o de cabelo, entre a fonte e o anteparo distante,
simplesmente não conseguiremos ver a sombra projetada no anteparo, como antes.
Por que não? Somos, novamente, obrigados a abandonar a representação de raios de luz e a óptica geométrica em
favor da descrição ondulatória da luz, quando tivermos obstáculos e fendas, ou observarmos mais detidamente os
efeitos de bordas da luz sobre os objetos.
Em sua manifestação ondulatória, a imagem formada no anteparo distante segue um padrão de linhas chamado de
padrão de difração. Fenômeno característico ondulatório.
Consideremos agora um segundo experimento: entre a fonte e o anteparo distante, coloquemos um segundo anteparo
com um orifício circular de diâmetro d, pequeno ou da ordem do comprimento de onda da radiação luminosa
incidente.
O que veremos no anteparo de observação? Temos a luz (monocromática) incidindo diretamente sobre um primeiro
anteparo, no qual se encontra um pequeno orifício circular cujo diâmetro é menor, ou da ordem, do comprimento de
onda da radiação monocromática incidente.
Também funcionará para orifícios maiores, mas o efeito será menos evidente. O que veremos? Veremos uma
sequência circular de claros e escuros que regularmente se afastam do centro para a periferia, em círculos
concêntricos.
Os círculos claros e escuros vão se alternando de tal forma que os círculos claros vão se tornando cada vez menos
claros, quanto mais distantes estão do centro. O brilho, ao longo das sucessivas coroas circulares, vai �cando cada vez
menos intenso. Denominamos esse fenômeno de difração, como nas �guras a seguir.
Vemos, nos experimentos, uma sequência de máximos e mínimos luminosos, determinados de acordo com a
expressão para os mínimos de difração:
d sin θ=m λ
Onde:
d representa a largurada fenda.
λ é o comprimento de onda da radiação monocromática incidente.
m é a ordem da linha difrativa onde, em geral, para fenda plana, m = 1, 2, 3, …, para os sucessivos mínimos de
intensidade.
No caso particular da difração devido a um orifício circular, o primeiro mínimo, primeira ordem, será localizado em m =
1.22, no lugar de m =1. Esse valor é obtido em função das respectivas áreas das várias coroas circulares que
constituem os vários “escuros” da franja de difração.
Temos uma sequência de coroas circulares escuras e também uma sequência de coroas circulares claras. A soma de
todas as áreas das coroas circulares escuras, contribuem para que o valor de m seja convergente para m = 1.22,
quando para outras situações semelhantes o primeiro mínimo de difração seria obtido para m = 1.
Difração de fenda
Veja a difração de fenda única plana:
Agora veja a difração de fenda única circular:
Repare nas �guras que a onda incidente muda sua direção de propagação original quando encontra uma borda de
uma fenda ou um obstáculo. No lugar da luz iluminar o anteparo somente com a largura da fenda, a luz difrata, muda
direções, produzindo uma onda de difração.
A razão pode ser explicada pelo princípio de Huygens. Quanto ao padrão de difração, com máximos e mínimos, a
razão é a diferença nos caminhos ópticos dos feixes luminosos, que, quando superpostos, interferem produzindo esse
padrão de claros e escuros.
Os efeitos e razões são equivalentes para as ondas mecânica vibracionais e �uídicas também, como mostram as
�guras a seguir.
Exemplo
Você já deve presenciado um pequeno orifício numa cortina que, iluminado pelo Sol, produz um feixe em forma de
cone que se alarga formando um grande disco em sua frente de onda.
Como nesse caso corriqueiro a luz é difusa, branca, não vemos o padrão difrativo de claros e escuros, que se forma
para cada comprimento de onda incidente, mas o efeito da difração é visível iluminando uma área bem maior do que a
área do orifício.
O padrão de difração �cará mais evidente se a onda incidente for monocromática e da ordem do comprimento de
onda da onda incidente. O fenômeno se aplica para qualquer onda, mesmo sonora ou mecânica em geral, quando
bordas de portas fazem o som contorná-la e nos encontrar, mesmo que não haja re�exão em qualquer parede.
Ou, no caso eletromagnético, em telecomunicações, quando um obstáculo pode ser contornado por um sinal
eletromagnético até nos alcançar. Ondas no mar podem difratar contornando obstáculos e seguindo direções
diferentes das ondas originais.
A experiência de difração pode ser refeita usando-se, no lugar de uma fenda circular, uma fenda única plana, dupla,
tripla ou N-upla (múltiplas fendas), o que chamamos de rede de difração, que discutiremos à frente.
Assim como vimos uma equação para os mínimos de difração, que correspondem aos pontos escuros na experiência
de difração circular e plana de fenda única, e discutimos que a distribuição de energia era cada vez menos intensa, à
medida que íamos para a periferia dos círculos concêntricos, adiantamos que é possível obter uma expressão
matemática para descrever a intensidade energética de difração de fenda única para o caso em que a fenda é do tipo
não circular.
Isso pode ser realizado usando-se uma técnica fasorial que não iremos reproduzir aqui. Apenas adiantamos que
obtemos uma sequência de claros e escuros em que a energia também se distribui de tal forma que as intensidades
das franjas de difração diminuem à medida que observamos as franjas mais afastadas do máximo central. Detalhes
técnicos podem ser encontrados nas referências básicas ao �nal do texto.
Repare na �gura, a envoltória de intensidade de energia em difração de fenda única. O máximo central é mais intenso
(brilho) e os máximos secundários cada vez menos intensos à medida do afastamento do centro.
 Fendas múltiplas e redes de difração
Podemos refazer o nosso estudo com fendas múltiplas e, em particular, podemos tomar N = 2 e refazer o nosso estudo de
difração para duas fendas com larguras �nitas.
Considere, então, a fonte de luz, um primeiro anteparo constituído de duas fendas de largura a, sendo a distância entre os
centros das fendas de�nida como d. Consideremos ainda um segundo anteparo distante D do primeiro.
Saiba mais
O que vamos observar nessa situação com dupla-fenda?
Para responder adequadamente à essa pergunta,fazemos uso da famosa experiência de Young para mostrar, na verdade, a
interferência da luz que passa através das duas fendas.
Ressaltamos que essa experiência é das mais relevantes em física, não somente do ponto de vista óptico e eletrodinâmico,
como também do ponto de vista quântico, mas vamos voltar à óptica.
A luz proveniente da fonte original, ao penetrar em cada uma das fendas faz com que cada uma delas se comporte como
fontes individuais de luz que saem respectivamente do orifício S e do orifício S , como prevê o princípio de Huygens.
Como cada orifício se comporta como uma nova fonte individual, as ondas provenientes de cada uma das duas fontes passam
a interferir construtivamente ou destrutivamente produzindo uma �gura de interferência no anteparo de fundo que vai nos
fornecer os claros e escuros de interferência.
1 2
Atenção
Atenção para as diferenças muito sutis entre os dois fenômenos, difração e interferência. Classi�camos os problemas ópticos de
fenda única como o protótipo do fenômeno de difração e o de fenda dupla como o protótipo de interferência. Quase sempre
veremos os dois fenômenos ocorrendo juntos.
 A fenda dupla de Young
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A fenda dupla de Young
Expressões matemáticas podem ser obtidas para descrever tanto os máximos quanto os mínimos de interferência,
isto é, tanto os claros como os escuros.
Para o primeiro caso temos:
Onde m = 0, 1, 2, 3...
Temos claros tanto para a direita do máximo central m = 0, quanto temos máximos (claros) para a esquerda em
relação ao máximo central.
Para os pontos de mínimos ou escuros, temos:
Onde m = 0, 1, 2, 3...
É possível também se obter uma expressão matemática que nos fornece a intensidade da luz no processo de
interferência na fenda dupla. Ou seja, podemos veri�car como ocorre a distribuição de energia ao longo do segundo
anteparo entre claros e mínimos.
d   sinθ = m λ
d   sinθ = (m+ )λ1
2
É possível veri�car que a expressão para a distribuição de energia, os picos da interferência da fenda dupla, se
mostram como uma sequência entre claros e escuros, com máximos e mínimos de�nidos em posições �xas.
Contudo, suas intensidades são moduladas pela intensidade da difração da fenda única, como mostram as �guras
acima.
A expressão para a intensidade da energia é, então, proporcional ao produto da intensidade na experiência de fenda
dupla multiplicada pela expressão que fornece a intensidade de difração na fenda única.
Ou seja, o fenômeno da interferência-difração, embora possa ser estudado de forma separada, como se fossem dois
fenômenos distintos, na verdade se constitui em fenômeno conjunto. O estudo em separado, consistindo apenas de
uma técnica didática, facilita a nossa compreensão.
Trata-se, portanto, de um fenômeno conjunto, onde a intensidade da radiação, no processo difração-interferência
através de uma tela com duas fendas com larguras �nitas, é fornecida pela combinação da intensidade proveniente do
efeito de interferência modulado pelo efeito de difração.
Em outras palavras: Uma envoltória representando a intensidade do fenômeno de difração modula, por assim dizer, os
claros e escuros de intensidade do fenômeno de interferência.
 Rede de difração e difração de raios x
Redes de difração podem ser construídas com N-fendas e é natural estender o nosso estudo até aqui realizado para qualquer
valor de N. Um estudo dessas redes pode ser conduzido e pode-se até obter expressões matemáticas para conseguir o poder
de resolução cromático R da rede e a dispersão D da rede.
Também podemos usar a difração de raios X em redes naturais com N-fendas que já existem na próprianatureza. Referimo-
nos aqui às redes cristalinas, tais como as do cloreto de sódio, cloreto de potássio e várias outras estruturas cristalinas que
nada mais são do que redes de difração naturais com os seus átomos dispersos em planos paralelos cruzados, com seus
espaçamentos bem de�nidos, e separação d entre os vários planos paralelos que contêm os átomos na rede cristalina.
Raios X ou luz de alta frequência, com elevada energia e, portanto, pequeno comprimento-de-onda 𝝀, pode ser usado para
incidir sobre essa rede de difração e sondar essa estrutura cristalina. Isso foi realizado e continua sendo aplicado nos dias de
hoje graças à Bragg, Laue e outros.
Em um estudo mais elaborado, é possível obter a condição de Bragg para veri�car a interferência construtiva na difração de
Bragg dada por:
2𝒅 𝐬𝐢𝐧 𝜽=𝒎 𝝀
Onde:
d aqui representa o espaçamento entre os planos paralelos que constituem a rede cristalina.
𝜽 é o ângulo de espalhamento para o qual se obtém os pontos de máximos na interferência construtiva.
𝝀 representa o comprimento de onda da radiação de incidência, se for raios X ou luz de alta energia.
m = 1, 2, 3… representa a ordem dos máximos, isto é, dos pontos de claro detectados no anteparo de observação.
 Atividade
1. A rapidez de propagação invariável das ondas eletromagnéticas no espaço é uma consequência notável de qual princípio
central da física?
2. Quando a luz vermelha incide sobre uma rosa vermelha, por que suas folhas se tornam mais quentes do que as pétalas?
3. Que evidência você pode citar para justi�car a a�rmação de que a frequência da luz não se altera com a re�exão ou a
refração?
4. Se a rapidez de propagação da luz fosse a mesma em todos os materiais, ainda assim ocorreria a refração quando a luz
passasse de um meio para outro?
5. Por que seria impossível para um material �uorescente emitir luz ultravioleta quando iluminado por luz infravermelha?
Notas
Polarizador 1
Sem entrar no mérito de como polarizadores são constituídos, eles são instrumentos que servem para �ltrar componentes do
campo elétrico que oscilam, a princípio, em qualquer direção arbitrária x; y; z ou em qualquer plano x-y; x-z; y-z.
Referências
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos da Física. Volumes 1, 2, 3 e 4. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
HEWITT, Paul G. Física Conceitual. 11. ed. São Paulo: editora Bookman - Companhia editora, 2011.
NUSSENZVEIG, H. Moysés. Curso de Física Básica. Volumes 1, 2, 3 e 4. São Paulo: Ed. Edgar Blücher, 1998.
SEARS & ZEMANSKY; YOUNG, H.; FREEDMAN, R. A. Física I, II, III e IV. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2009.
Próxima aula
Teoria da relatividade de Einstein;
Mecânica clássica de Newton e mecânica de Einstein;
Espaço-tempo e a velocidade da luz como ancora relativística;
Efeitos relativísticos de contração espacial e dilatação temporal;
Tempo próprio, o cone de luz e a causalidade de Einstein;
Paradoxos relativísticos;
Relatividade geral e seus efeitos;
Princípios da cosmologia de Einstein.
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