Memorial de Cálculo de Projeto de Edifício Residencial de Múltiplos Pavimentos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
CIV0456 - PROJETO DE ESTRUTURAS DE CONCRETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO DE EDIFÍCIO RESIDENCIAL - MEMORIAL DE CÁLCULO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALUNOS: DANIEL HIGOR LEITE BRAZ 
 THIAGO ARNAUD ABREU DE OLIVEIRA 
 
PROFESSORES: JOEL ARAÚJO DO NASCIMENTO NETO 
 RODRIGO BARROS 
 
 
NATAL - RN 
 2016/06 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROJETO DE EDIFÍCIO RESIDENCIAL - MEMORIAL DE CÁLCULO 
 
 
 
 
 
Atividade Prática da disciplina 
CIV0456 - Projeto de Estruturas 
de Concreto do curso de 
Engenharia Civil da 
Universidade Federal do Rio 
Grande do Norte. 
 
 
 
 
 
NATAL - RN 
 2016/06 
 
3 
 
Resumo 
De posse do projeto arquitetônico de um edifício residencial, faz-se a modelagem da 
estrutura no software TQS. A partir dos valores fornecidos de esforços e detalhamento, 
estabelecem-se as devidas comparações entre o resultado do programa computacional e 
o cálculo manual. De modo geral, os resultados foram compatíveis. No entanto, por 
apresentar uma maior sofisticação e compreensão do comportamento da estrutura, o 
programa computacional mostrou-se mais preciso. 
 
Palavras-Chave: TQS, esforços, detalhamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
SUMÁRIO 
1. Dados do projeto ............................................................................ 6 
2. Lajes maciças ................................................................................. 6 
2.1. Cargas nas Lajes .................................................................................................... 7 
2.1.1. Cargas permanentes ........................................................................................ 7 
2.1.2. Cargas acidentais ............................................................................................. 7 
2.1.3. Reservatório elevado ........................................................................................ 7 
2.2. Dimensionamento das Lajes ................................................................................... 7 
2.2.1. Armadura Longitudinal ...................................................................................... 8 
2.2.2. Armadura Transversal..................................................................................... 10 
3. Escadas ......................................................................................... 10 
3.1. Levantamento das ações ...................................................................................... 11 
3.2. Esquema estrutural e Diagramas dos esforços ..................................................... 11 
4. Vigas .............................................................................................. 12 
4.1. Viga V9.................................................................................................................. 13 
4.1.1. Armadura transversal - Estribos de 2 ramos ................................................... 13 
4.1.2. Armadura Longitudinal .................................................................................... 14 
4.2. Viga V16 ................................................................................................................ 15 
4.2.1. Armadura transversal - Estribos de 2 ramos ................................................... 15 
4.2.2. Armadura Longitudinal .................................................................................... 16 
5. Pilares ........................................................................................... 17 
5.1. Pilar P13 ................................................................................................................ 19 
5.1.1. Esforços solicitantes ....................................................................................... 19 
5.1.2. Armadura Longitudinal .................................................................................... 20 
5.1.3. Armadura Transversal..................................................................................... 23 
5.2. Pilar P27 ................................................................................................................ 24 
 
5 
 
5.2.1. Esforços solicitantes ....................................................................................... 24 
5.2.2. Armadura Longitudinal .................................................................................... 25 
5.2.3. Armadura Transversal..................................................................................... 28 
6. Sapatas .................................................................................................................... 28 
6.1. Sapata S13 ........................................................................................................... 31 
6.2. Sapata S27 ........................................................................................................... 34 
7. Estabilidade global - Parâmetro γz .............................................. 37 
7.1. Características da edificação ................................................................................. 37 
7.2. Parâmetros da norma NBR 6123........................................................................... 37 
7.3. Pórticos analisados ............................................................................................... 38 
7.4. Cálculo do γz ......................................................................................................... 42 
8. Referências ................................................................................... 45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
1. Dados do projeto 
 A seguir, são apresentadas as características gerais do edifício residencial do 
projeto. A planta baixa do pavimento-tipo é apresentada na Figura 1. 
a) fck = 25 MPa 
b) γc = 1,4; γs = 1,15 
c) Altura da edificação: h = 19,60 m. Pé direito: 2,80 m 
d) Dimensões em planta: a = 30,10 m e b = 16,25 m 
Figura 1 - Planta baixa do pavimento-tipo 
 
Fonte: projeto arquitetônico elaborado no AutoCAD. 
2. Lajes maciças 
 O edifício apresenta panos de lajes maciças de espessuras iguais a 10 cm 
(pavimento-tipo) e 12 cm (cobertura). A fim de facilitar a execução, procurou-se 
uniformizar as espessuras dos panos de laje, mesmo para aquelas menos carregadas. Os 
valores adotados são superiores aos limites mínimos indicados na seção da 13.2.4.1. 
Lajes maciças da NBR 6118/2014 e que se enquadram nas características das lajes do 
edifício. Estes limites são apresentados a seguir: 
a) 7 cm para cobertura não em balanço 
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço 
c) 10 cm para lajes em balanço 
7 
 
2.1. Cargas nas Lajes 
 As intensidades das cargas lançadas sobre as lajes foram obtidas através da NBR 
6120/1980 - Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. A seguir, apresentam-se 
os valores considerados. 
2.1.1. Cargas permanentes 
a) Revestimento (argamassa de cal, cimento e areia): 19 kN/m3 ∙ 0,03 m = 0,57 kN/m2 
b) Piso de mármore: 28 kN/m3 ∙ 0,02 m = 0,56 kN/m2 
c) Impermeabilizante: 17 kN/m3 ∙ 0,005 m = 0,085 kN/m2 
2.1.2. Cargas acidentais 
a) dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro: 1,5 kN/m2 
b) casas de máquinas: 7,5 kN/m2 
c) terraços sem acesso ao público: 2 kN/m2 
2.1.3. Reservatório elevado 
a) Dimensões: 5,60 m x 3,95 m x 2,20 m 
b) Nível de água máximo = 1,75 m 
c) Peso próprio: 
 Paredes 1 e 2(maior): 25 kN/m3 ∙ 0,15 ∙ 2,05 ∙ 5,60 m3 = 43,05 kN 
 Paredes 3, 4 e 5 (menor): 25 kN/m3 ∙ 0,15 ∙ 2,05 ∙ 3,65 m3 = 28,06 kN 
 Tampa superior: 25 kN/m3 ∙ 0,15 ∙ 3,95 ∙ 5,60 m3 = 82,95 kN 
 ∴ Total = 253,23 kN ÷ 22,12 m2 = 11,45 kN/m2 
 Peso da água: pw = 10 kN/m
3 ∙ 1,75 m = 17,5 kN/m2 
 ∴ Total = 11,45 kN/m2 + 17,5 kN/m2 = 28,95 kN/m2 
 Na Tabela 1, as cargas sobre as lajes do edifício. 
Tabela 1 - Ações sobre as Lajes 
Laje Ação permanente (kN/m2) Ação acidental (kN/m2) 
Pavimento-tipo 1,20 1,50 
Cobertura 0,70 2,00 
Reservatório 30,30 0,5 
Fonte: elaborado pelos autores 
2.2. Dimensionamento das Lajes 
 As lajes escolhidas para a verificação do dimensionamento foram a L5 e L6, 
destacadas na Figura 2. Os esforços característicos solicitantes destas lajes são 
apresentados na Tabela 2 e o procedimento para o cálculo das armaduras mais adiante. 
8 
 
Figura 2 - Lajes verificadas 
 
Fonte: elaborado pelos autores 
Tabela 2 - Momentos característicos 
Lajes mx (kNm/m) m'x (kNm/m) my (kNm/m) m'y (kNm/m) 
L5 5,50 9,00 3,40 7,20 
L6 3,30 9,10 3,20 3,50 
Fonte: elaborada pelos autores. 
2.2.1. Armadura Longitudinal 
 O cálculo da armadura longitudinal foi feito a partir da Tabela 1.1 - Flexão simples 
em seção retangular - Armadura simples (PINHEIRO, 2004). Os parâmetros necessários 
à determinação da área de aço - kc, ks e altura útil d - são apresentados nas equações 
(01), (02) e (03) respectivamente. 
kc =
bwd
2
Md
 (01) 
ks =
Asd
Md
 (02) 
d = h − (cob + 0,5 ∙ 𝑙) (03) 
a) L5: 
 d = 10 - 2,5 - 0,5 = 7 cm 
 kc,x = 100 cm ∙ (7,0 cm)² ÷ (770 kNcm/m) = 6,36 cm²/kN ∴ ks,x = 0,024 
 ∴ As,x = 0,024 ∙ 770 ÷ 7,0 = 2,64 cm²/m ∴ 8 c/ 17.5 (2,87 cm
2/m) 
 kc,x’ = 100 cm ∙ (7,0 cm)² ÷ (1260 kNcm/m) = 3,89 cm²/kN ∴ ks,x = 0,025 
 ∴ As,x’ = 0,025 ∙ 1260 ÷ 7,0 = 4,50 cm²/m ∴ 8 c/ 11 (4,57 cm
2/m) 
9 
 
 kc,y = 100 cm ∙ (6,0 cm)² ÷ (476 kNcm/m) = 7,56 cm²/kN ∴ ks,x = 0,024 
 ∴ As,y = 0,024 ∙ 476 ÷ 6,0 = 1,90 cm²/m ∴ 6.3 c/ 16 (1,95 cm
2/m) 
 kc,y’ = 100 cm ∙ (6,0 cm)²÷ (1008 kNcm/m) = 3,57 cm²/kN ∴ ks,x = 0,026 
 ∴ As,y’ = 0,026 ∙ 1008 ÷ 6,0 = 4,37 cm²/m ∴ 10 c/ 17.5 (4,49 cm
2/m) 
b) L6: 
 d = 10 - 2,5 - 0,5 = 7 cm 
 kc,x = 100 cm ∙ (7,0 cm)² ÷ (462 kNcm/m) = 10,61 cm²/kN ∴ ks,x = 0,024 
 ∴ As,x = 0,024 ∙ 462 ÷ 7,0 = 1,58 cm²/m ∴ 6.3 c/ 19 (1,64 cm
2/m) 
 kc,x’ = 100 cm ∙ (7,0 cm)² ÷ (1274 kNcm/m) = 3,85 cm²/kN ∴ ks,x = 0,025 
 ∴ As,x’ = 0,025 ∙ 1274 ÷ 7,0 = 4,55 cm²/m ∴ 8 c/ 11 (4,57 cm
2/m) 
 kc,y = 100 cm ∙ (6,0 cm)² ÷ (448 kNcm/m) = 8,04 cm²/kN ∴ ks,x = 0,024 
 ∴ As,y = 0,024 ∙ 448 ÷ 6,0 = 1,79 cm²/m ∴ 6.3 c/ 17 (1,84 cm
2/m) 
 kc,y’ = 100 cm ∙ (6,0 cm)²÷ (490 kNcm/m) = 7,35 cm²/kN ∴ ks,x = 0,024 
 ∴ As,y’ = 0,024 ∙ 490 ÷ 6,0 = 1,96 cm²/m ∴ 6.3 c/ 15 (2,08 cm
2/m) 
 Os valores calculados são superiores à armadura mínima de flexão normativa. 
Para vigas e lajes em concreto C25, a NBR 6118 na Tabela 17.3 - Taxas mínimas de 
armadura de flexão para vigas estabelece uma taxa mín = 0,15%, o que resulta em área 
de 1,50 cm2/m para as lajes do pavimento-tipo. 
 Nas tabelas 3 e 4, são apresentadas as armaduras determinadas pelo cálculo 
manual e pelo software, respectivamente, para fins de comparação. 
Tabela 3 - Armaduras obtidas no cálculo manual 
Cálculo manual 
Laje As,x (cm
2/m) As,x' (cm
2/m) As,y (cm
2/m) As,y' (cm
2/m) 
L5 ϕ8 c/17.5 ϕ8 c/11 ϕ6.3 c/16 ϕ10 c/17.5 
L6 ϕ6.3 c/19 ϕ8 c/11 ϕ6.3 c/17 ϕ6.3 c/15 
Fonte: elaborada pelos autores. 
Tabela 4 - Armaduras fornecidas pelo software 
TQS 
Laje As,x (cm
2/m) As,x' (cm
2/m) As,y (cm
2/m) As,y' (cm
2/m) 
L5 ϕ8 c/17.5 ϕ8 c/10 ϕ6.3 c/15 ϕ10 c/17.5 
L6 ϕ6.3 c/20 ϕ8 c/10 ϕ6.3 c/15 ϕ6.3 c/15 
Fonte: elaborada pelos autores. 
 As diferenças sutis se devem ao critério adotado pelo software por espaçamentos 
múltiplos de 2,5 cm. 
10 
 
2.2.2. Armadura Transversal 
 De acordo com a seção 19.4.1 - Lajes sem armadura para força cortante, as lajes 
maciças ou nervuradas podem prescindir de armadura transversal para resistir às forças 
de tração advindas da força cortante, se a condição abaixo for satisfeita: 
VSd ≤ VRd1 = [τRd ∙ k ∙ (1,2 + 40ρ1) + 0,15σcp] ∙ bw ∙ d 
onde: 
 - VSd: força cortante de cálculo 
 - VRd1: força cortante resistente de cálculo 
 - τRd = 0,25 fctd 
 - 1 = As1 / bwd: taxa de armadura de tração 
 Para as lajes analisadas, conclui-se que as armaduras transversais são 
dispensáveis, conforme valores apresentados na Tabela 5. A mesma constatação foi 
obtida no programa computacional. 
Tabela 5 - Armadura Transversal 
Lajes Vk (kN/m) Vsd (kN/m) Rd (MPa) k 1 VRd1 (kN/m) 
L5 9,5 13,30 0,32 1,53 0,004 30,61 
L6 9,2 12,88 0,32 1,53 0,002 28,93 
Fonte: elaborada pelos autores. 
3. Escadas 
 O cálculo das escadas foi desenvolvido a parte da modelagem computacional. A 
escada do edifício, segundo o projeto arquitetônico, apresenta as seguintes 
características: 
a) Lances adjacentes (esquema ilustrativo na Figura 3) 
b) Largura do degrau: a = 29,0 cm 
c) Altura do espelho: e = 17,5 cm 
d) Número de degraus: n = 2,80 m / 17,5 cm = 16 degraus 
e) Patamar: largura = 1,62 m; altura: hpatamar = 0,15 m 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Figura 3 - Escada em “U” 
 
Fonte: Apostila de Circulação Vertical (2009). 
3.1. Levantamento das ações 
Figura 4 - Detalhe da escada 
 
Fonte: BARROS (2015). 
a) Inclinação: cos  = a / √(a2 + e2) = 0,856 ∴  = 31,11° 
b) Ações no patamar: 
 Revestimento e regularização: 1,00 kN/m2 
 Peso próprio: 25 kN/m3 ∙ 0,15 m = 3,75 kN/m2 
 Carga acidental: 3,0 kN/m2 
 ∴ Total = 7,75 kN/m2 
c) Ações no lance: 
 Revestimento e regularização: 1,00 kN/m2 
 Peso próprio: gpp,lance = gpp,patamar ∙ 1 / cos  = 4,38 kN/m
2 
 Carga acidental: 3,0 kN/m2 
 ∴ Total = 8,38 kN/m2 ≈ 8,40 kN/m2 
3.2. Esquema estrutural e Diagramas dos esforços 
 
 
12 
 
Figura 5 - Esquema estrutural 
 
Figura 6 - Diagrama de Esforço cortante 
 
 
 
Figura 7 - Diagrama de Momento Fletor 
 
Fonte: elaboradas no ftool. 
 Do diagrama do esforço cortante, obtêm-se as ações sobre as respectivas vigas 
de apoio. Para as vigas que apoiam a escada (V15 e V10), adiciona-se além da reação de 
apoio, a carga de alvenaria. 
4. Vigas 
 As vigas escolhidas para a verificação do dimensionamento são apresentadas na 
Figura 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Figura 8 - Vigas verificadas 
 
Fonte: elaborada pelos autores. 
4.1. Viga V9 
a) Seção transversal: b = 15 cm; h = 60 cm. 
b) Altura útil: d = h - (cob + t + 
1/2 l) = 60 - (2,5 + 0,5 + 0,5) = 56,5 cm 
c) Comprimentos dos vãos: l1 = 3,00 m; l2 = 5,40 m; l3 = 3,00 m 
 Nas tabelas a seguir, apresentam-se os esforços máximos por trecho para 
dimensionamento. 
Tabela 6 - Esforços cortantes máximos por trecho 
Esforço cortante Trecho 1 Trecho 2 Trecho 3 
Vk (kN) 51,20 60,70 51,50 
VSd (kN) 71,68 84,98 72,10 
Fonte: elaborada pelos autores. 
Tabela 7 - Momentos fletores máximos por trecho 
Trecho M+k (kNm) M
-
k (kNm) M
+
d (kNm) M
-
d (kNm) 
Trecho 1 11,00 50,00 15,4000 70,0000 
Trecho 2 27,40 56,60 38,3600 79,2400 
Trecho 3 11,30 50,00 15,8200 70,0000 
Fonte: elaborada pelos autores. 
4.1.1. Armadura transversal- Estribos de 2 ramos 
a) Verificação da diagonal comprimida: VSd ≤ VRd2 = 0,27 ∙ v2 ∙ fcd ∙ bw ∙ d 
 ∴ VRd2 = 0,27 · (1 - 25 ÷ 250) · 1,79 kN/cm
2 · 15 cm · 56,5 cm = 367,75 kN 
b) Mecanismos complementares: Vc0 = 0,6 ∙ fctd ∙ bw ∙ d 
 ∴ Vc0 = 0,6 ∙ 0,128 kN/cm
2 ∙ 15 cm ∙ 56,5 cm = 65,21 kN 
c) Força resistente nos estribos: VSd ≤ VRd3 = Vc0 + Vsw 
 ∴ Vsw,1 = 71,68 kN - 65,21 kN = 6,47 kN 
 ∴ Vsw,2 = 84,98 kN - 65,21 kN = 19,77 kN 
14 
 
 ∴ Vsw,3 = 72,10 kN - 65,21 kN = 6,89 kN 
d) Área de estribo: Asw,1estribo ÷ s = Vsw ÷ [fywd ∙ 0,9 ∙ d ∙ (sen 90° + cos 90°)] 
∴ Asw,1 ÷ s = 6,47 kN ÷ (43,5 kN/cm
2 ∙ 0,9 ∙ 56,5 cm) = 0,0029 ∴ Asw,1 = 0,29 cm
2/m 
∴ Asw,2 ÷ s = 19,77 kN ÷ (43,5 kN/cm
2 ∙ 0,9 ∙ 56,5 cm) = 0,0089 ∴ Asw,2 = 0,89 cm
2/m 
∴ Asw,3 ÷ s = 6,89 kN ÷ (43,5 kN/cm
2 ∙ 0,9 ∙ 56,5 cm) = 0,0031 ∴ Asw,3 = 0,31 cm
2/m 
e) Área mínima: Asw,mínima ÷ s = 0,2 ∙ bw ∙ fctm ÷ fywk 
 ∴ Asw,mínima ÷ s = 0,2 ∙ 15 ∙ 0,3 ∙ 25
2/3 ÷ 500 = 0,0154 ∴ Asw,mínima = 1,54 cm
2/m 
 A partir dos valores calculados, conclui-se que a armadura transversal adotada 
para viga V9 é a armadura mínima. A opção escolhida é de ϕ4.2 c/ 17.5 cm (1,58 cm2/m), 
idêntica à armadura detalhada pelo software. 
4.1.2. Armadura Longitudinal 
 Para o cálculo da armadura longitudinal, adotam-se as expressões (01) e (02), já 
utilizadas no dimensionamento das lajes maciças. Os valores utilizados e obtidos a partir 
do cálculo são apresentados na Tabela 8. 
Tabela 8 - Áreas de aço 
Trecho M+k (kNm) M
-
k (kNm) M
+
d (kNm) M
-
d (kNm) k
+
c k
-
c k
+
s k
-
s A
+
s (cm
2) A-s (cm
2) 
Trecho 1 11,00 50,00 15,4000 70,0000 31,1 6,8 0,023 0,024 0,63 2,97 
Trecho 2 27,40 56,60 38,3600 79,2400 12,5 6,0 0,024 0,024 1,63 3,37 
Trecho 3 11,30 50,00 15,8200 70,0000 30,3 6,8 0,023 0,024 0,64 2,97 
Fonte: elaborada pelos autores. 
 Os valores de área de aço acima apresentados devem ser comparados com os de 
armadura mínima abaixo. Além disso, por apresentar uma altura de 60 cm, a viga deve 
possuir armadura de pele, calculada a seguir. 
 As,mín = 0,15% · Ac = 1,35 cm
2 
 As,pele = 0,10% · Ac = 0,90 cm
2 (3ϕ6.3) 
Para os trechos 1 e 3, a área de aço resultou inferior à mínima de 1,35 cm2, 
devendo ser esta a adotada. 
A seguir, apresentam-se as armaduras obtidas pelo cálculo manual e as 
fornecidas pelo software. 
Tabela 9 - Armaduras obtidas no cálculo manual 
Trecho A+s (cm
2) A+s A
-
s (cm
2) A-s As,pele 
Trecho 1 1,35 3ϕ10 2,97 3ϕ12.5 3ϕ6.3 
Trecho 2 1,63 3ϕ10 3,37 3ϕ12.5 3ϕ6.3 
Trecho 3 1,35 3ϕ10 2,97 3ϕ12.5 3ϕ6.3 
Fonte: elaborada pelos autores. 
15 
 
Tabela 10 - Armaduras fornecidas pelo software 
Trecho A+s (cm
2) A+s A
-
s (cm
2) A-s As,pele 
Trecho 1 2,00 3ϕ10 3,10 3ϕ12.5 3ϕ6.3 
Trecho 2 1,60 3ϕ10 3,50 3ϕ12.5 3ϕ6.3 
Trecho 3 2,00 3ϕ10 3,10 3ϕ12.5 3ϕ6.3 
Fonte: elaborada pelos autores. 
As áreas de aço necessárias são compatíveis. Para os trechos extremos da viga, 
observam-se áreas da armadura positiva maiores indicadas pelo TQS, o que pode ser um 
indicativo da ancoragem nesse trecho. 
4.2. Viga V16 
a) Seção transversal: b = 15 cm; h = 60 cm. 
b) Altura útil: d = h - (cob + t + 
1/2 l) = 60 - (2,5 + 0,5 + 0,5) = 56,5 cm 
c) Comprimentos dos vãos: l1 = 3,40 m; l2 = 6,50 m 
 Nas tabelas a seguir, apresentam-se os esforços máximos por trecho para 
dimensionamento. 
Tabela 11 - Esforços cortantes máximos por trecho 
Esforço Cortante Trecho 1 Trecho 2 
Vk (kN) 40,70 49,90 
VSd (kN) 56,98 69,86 
Fonte: elaborada pelos autores. 
Tabela 12 - Momentos fletores máximos por trecho 
Trecho M+k (kNm) M
-
k (kNm) M
+
d (kNm) M
-
d (kNm) 
Trecho 1 19,90 44,50 27,8600 62,3000 
Trecho 2 28,50 66,60 39,9000 93,2400 
Fonte: elaborada pelos autores. 
4.2.1. Armadura transversal - Estribos de 2 ramos 
a) Verificação da diagonal comprimida: VSd ≤ VRd2 = 0,27 ∙ v2 ∙ fcd ∙ bw ∙ d 
 ∴ VRd2 = 0,27 · 0,90 · 1,79 kN/cm
2 · 15 cm · 56,5 cm = 367,75 kN 
b) Mecanismos complementares: Vc0 = 0,6 ∙ fctd ∙ bw ∙ d 
 ∴ Vc0 = 0,6 ∙ 0,128 kN/cm
2 ∙ 15 cm ∙ 56,5 cm = 65,21 kN 
c) Força resistente nos estribos: VSd ≤ VRd3 = Vc0 + Vsw 
 ∴ Vsw,1 = 56,98 kN - 65,21 kN = -8,23 kN 
 ∴ Vsw,2 = 69,86 kN - 65,21 kN = 4,65 kN 
d) Área de estribo: Asw,1estribo ÷ s = Vsw ÷ [fywd ∙ 0,9 ∙ d ∙ (sen 90° + cos 90°)] 
 ∴ Asw,1 ÷ s = Asw,mínima ÷ s 
16 
 
 ∴ Asw,2 ÷ s = 4,65 kN ÷ (43,5 kN/cm
2 ∙ 0,9 ∙ 56,5 cm) = 0,0021 ∴ Asw,2 = 0,21 cm
2/m 
e) Área mínima: Asw,mínima ÷ s = 0,2 ∙ bw ∙ fctm ÷ fywk 
 ∴ Asw,mínima ÷ s = 0,2 ∙ 15 ∙ 0,3 ∙ 25
2/3 ÷ 500 = 0,0154 ∴ Asw,mínima = 1,54 cm
2/m 
 A partir dos valores calculados, conclui-se que a armadura transversal adotada 
para viga V16 é a armadura mínima. A opção escolhida é de ϕ4.2 c/ 17.5 cm (1,58 
cm2/m), idêntica à armadura detalhada pelo software. 
4.2.2. Armadura Longitudinal 
 Para o cálculo da armadura longitudinal, adotam-se as expressões (01) e (02), já 
utilizadas no dimensionamento das lajes maciças. Os valores utilizados e obtidos a partir 
do cálculo são apresentados na Tabela 13. 
Tabela 13 - Áreas de aço 
Trecho M+k (kNm) M
-
k (kNm) M
+
d (kNm) M
-
d (kNm) k
+
c k
-
c k
+
s k
-
s A
+
s (cm
2) A-s (cm
2) 
Trecho 1 19,90 44,50 27,8600 62,3000 17,2 7,7 0,024 0,024 1,18 2,65 
Trecho 2 28,50 66,60 39,9000 93,2400 12,0 5,1 0,024 0,025 1,69 4,13 
Fonte: elaborada pelos autores. 
 Os valores de área de aço acima apresentados devem ser comparados com os de 
armadura mínima abaixo. Além disso, por apresentar uma altura de 60 cm, a viga deve 
possuir armadura de pele, calculada a seguir. 
 As,mín = 0,15% · Ac = 1,35 cm
2 
 As,pele = 0,10% · Ac = 0,90 cm
2 (3ϕ6.3) 
Para o trecho 1, a área de aço resultou inferior à mínima de 1,35 cm2, devendo ser 
esta a adotada. 
A seguir, apresentam-se as armaduras obtidas pelo cálculo manual e as 
fornecidas pelo software. 
Tabela 14 - Armaduras obtidas no cálculo manual 
Trecho A+s (cm
2) A+s A
-
s (cm
2) A-s As,pele 
Trecho 1 1,35 3ϕ10 2,65 2ϕ16 3ϕ6.3 
Trecho 2 1,69 3ϕ10 4,13 4ϕ12.5 3ϕ6.3 
Fonte: elaborada pelos autores. 
Tabela 15 - Armaduras fornecidas pelo software 
Trecho A+s (cm
2) A+s A
-
s (cm
2) A-s As,pele 
Trecho 1 2,10 3ϕ10 2,70 2ϕ16 3ϕ6.3 
Trecho 2 2,80 4ϕ10 4,30 4ϕ12.5 3ϕ6.3 
Fonte: elaborada pelos autores. 
17 
 
 As áreas de armadura positiva expressas pelo TQS foram superiores às do cálculo 
manual. As áreas de armaduras detalhadas para os momentos negativos foram 
compatíveis, resultando em uma mesma escolha para detalhamento. 
5. Pilares 
 Os pilares do edifício apresentam revestimento de 0,5 cm e cobrimento total de 3,0 
cm. A princípio, as seções dos pilares foram uniformizadas em 20 x 40 cm (ambas as 
dimensões superiores à dimensão mínima de 19 cm, estabelecida na NBR 6118/2014, 
seção 13.2.3 - Pilares e pilares-parede). Para os pilares mais carregados, os quais o 
software TQS indicou taxa de armadura superior à máxima normativa (8% Ac), as seções 
foram aumentadas. 
 Os pilares escolhidos são destacados na Figura 9. 
Figura 9 - Pilares verificados 
 
Fonte: elaborada pelos autores. 
 Na Figura 10, a convenção do sentido dos eixos e momentos adotado pelo TQS. 
Figura 10 - Convenção dos eixos e sentidos dos momentos do TQS 
 
Fonte: BARBOZA, BASTOS (2008). 
 As expressões dos parâmetros necessários ao dimensionamento manual dos 
pilares são apresentadas adiante. 
18 
 
a) Comprimento equivalente le 
le ≤ {
lo + h
l
 (04) 
onde: 
 - l0: distânciaentre as faces internas dos elementos que vinculam o pilar 
 - h: altura da seção transversal do pilar, no plano da estrutura em estudo 
 - l: distância entre os eixos dos elementos estruturais que vinculam o pilar 
b) Excentricidades iniciais eiy, eiz 
eiy =
Mz 
Nx
 (05) 
eiz =
My 
Nx
 (06) 
onde: 
 - Mz: momento fletor vetor seta dupla na direção do eixo z (Figura 10) 
 - My: momento fletor vetor seta dupla na direção do eixo y (Figura 10) 
 - Nx: esforço normal no pilar 
c) Excentricidade acidental ea 
ea,ext = θ1l (07) 
ea,int =
ea,ext
2
 (08) 
onde: 
 - θ1 = θ1,máx = 1/200 
d) Excentricidade e momento mínimos 
 De acordo com a NBR 6118/2014, seção 11.3.3.4.3 - Momento mínimo, as 
excentricidades e momentos mínimos são definidos conforme a Figura 11. As expressões 
a serem utilizadas são definidas adiante. 
Figura 11 - Momentos mínimos 
 
Fonte: NBR 6118/2014. 
emin = 1,5 + 0,03h (09) 
M1d,min = eminNd (10) 
19 
 
e1 = ei + ea + ef > emin (11) 
e) Índice de esbeltez λ e esbeltez limite λ1 
λ =
le
√i
 (12) 
λ1 =
25 + 12,5(e1 /h)
αb
, sendo 35 ≤ λ1 ≤ 90 (13) 
onde: 
 - i: raio de giração, definido pela raiz quadrada da inércia pela área √I A⁄ 
 - e1/h: esbeltez relativa de primeira ordem (desconsidera-se a acidental) 
 - b: parâmetro que depende da vinculação do pilar e forma do diagrama 
f) Esforço normal reduzido ν 
ν =
Nd
Acfcd
 (14) 
onde: 
 - Nd: esforço normal de projeto 
 - Ac: área da seção transversal do pilar 
 - fcd: resistência à compressão de projeto do concreto 
g) Excentricidade de 2ª ordem - Método do pilar padrão com curvatura aproximada 
e2 =
le
2
10
1
r
 (15) 
1
r
=
0,005
h(ν + 0,5)
≤
0,005
h
 (16) 
onde: 
 - 1/r: curvatura na seção crítica 
 - h: altura da seção transversal na direção considerada 
h) Momentos reduzidos μ 
μ = ν
e
h
 (17) 
onde: 
 - e: excentricidade de cálculo 
 - h: altura da seção transversal na direção considerada 
5.1. Pilar P13 
5.1.1. Esforços solicitantes 
 
20 
 
Figura 12 - a) Fx b) My c) Mz 
 
Fonte: TQS. 
Tabela 16 - Esforços solicitantes 
Nk (kN) 1626,70 Myk (kNcm) 3860,00 Myd (kNcm) 5404,00 
Nd (kN) 2277,38 Mzk (kNcm) 1310,00 Mzd (kNcm) 1834,00 
Fonte: elaborada pelos autores. 
5.1.2. Armadura Longitudinal 
a) Comprimento equivalente 
Tabela 17 - Comprimento equivalente 
hz (cm) 60 lo (cm) 220,00 le,z (cm) 280,00 
hy (cm) 20 l (cm) 280,00 le,y (cm) 240,00 
Fonte: elaborada pelos autores 
b) Excentricidades iniciais 
Tabela 18 - Excentricidades iniciais 
ei,z (cm) 5404 / 2277,38 = 2,37 
ei,y (cm) 1834 / 2277,38 = 0,81 
Fonte: elaborada pelos autores. 
c) Excentricidade acidental 
Tabela 19 - Excentricidade acidental 
ea,ext (cm) 280 / 200 = 1,40 
ea,int (cm) 1,40 / 2 = 0,70 
Fonte: elaborada pelos autores. 
d) Excentricidade e momento mínimos 
 
 
21 
 
Tabela 20 - Excentricidade e momentos mínimos 
emín,z (cm) 3,30 Myd,mín (kNcm) 7515,35 
emín,y (cm) 2,10 Mzd,mín (kNcm) 4782,50 
Fonte: elaborada pelos autores. 
e) Índice de esbeltez λ e esbeltez limite λ1 
 Dos valores apresentados nas Tabelas 20 e 16, conclui-se que o parâmetro b = 
1,0 para as duas direções, uma vez que os momentos solicitantes são inferiores aos 
respectivos momentos mínimos. 
Tabela 21 - Esbeltez 
λz 280√12 / 20 = 48,5 λ1,z 25,5 ∴ λ1,z = 35 
λy 240√12 / 60 = 13,9 λ1,y 25,5 ∴ λ1,y = 35 
Fonte: elaborada pelos autores. 
 Com base nos valores acima, conclui-se que o pilar é medianamente esbelto na 
direção z e curto na direção y. Portanto, deve-se calcular a excentricidade de segunda 
ordem que amplificará o momento na direção z, ou seja, e2y. 
f) Esforço normal reduzido ν 
ν =
2277,38 kN
20 cm ∙ 60 cm ∙ 2,5 kN/cm2 1,4⁄
= 1,06 
g) Excentricidade de 2ª ordem - Método do pilar padrão com curvatura aproximada 
1
r
=
0,005
20(1,06 + 0,5)
= 0,00016 ≤
0,005
20
= 0,00025 
e2 =
2402
10
0,00016 = 0,92 cm 
h) Momentos reduzidos μ 
 Para o cálculo dos momentos reduzidos, é necessária a definição das situações 
de cálculo mais críticas de projeto. Estas foram definidas segundo a seguinte convenção: 
 (I) Seção de extremidade, desaprumo em z 
 (II) Seção de extremidade, desaprumo em y 
 (III) Seção intermediária, desaprumo em z 
 (IV) Seção intermediária, desaprumo em y 
 A seguir, apresentam-se as excentricidades obtidas para as quatro situações 
propostas. A partir dos valores calculados, serão definidas as situação mais críticas para 
as quais serão obtidas as taxas de armadura ω através da utilização dos ábacos de flexão 
oblíqua (PINHEIRO, 2009). Além dos momentos reduzidos, é necessária a determinação 
do d’ da seção transversal, definido segundo a expressão (18). 
22 
 
d′ = cob + t + 0,5l (18) 
 d’ = 3,0 cm + 0,63 cm + 1,0 cm = 4,63 cm 
Tabela 22 - Situações de cálculo 
Situações de Cálculo 
 
I II III IV 
ei,z (cm) 2,37 2,37 2,37 2,37 
ei,y (cm) 0,81 0,81 0,81 0,81 
e2,y (cm) 
0,92 
ea,ext (cm) 1,40 1,40 
ea,int (cm) 
0,70 0,70 
emín,z (cm) 3,30 3,30 3,30 3,30 
emín,y (cm) 2,10 2,10 2,10 2,10 
ez (cm) 3,77 2,37 3,30 2,37 
ey (cm) 0,81 2,21 0,81 3,02 
Fonte: elaborada pelos autores. 
 As situações de cálculo críticas são a (I) e a (IV). A seguir, apresentam-se os 
dados de entrada no ábaco (Figura 13) para cada uma das situações críticas e as taxas 
de armadura obtidas. 
Tabela 23 - Situação de cálculo I 
ν 1,06 d' (cm) 4,63 Ábaco 5B n° A1b (cm
2) φ (cm) φadot (cm) ρ 
μz 0,07 d'/hz 0,08 ω 0,45 12 1,85 1,53 1,60 2,01% 
μy 0,04 d'/hy 0,23 As (cm
2) 22,18 10 2,22 1,68 2,00 2,62% 
Fonte: elaborada pelos autores. 
Tabela 24 - Situação de cálculo IV 
ν 1,06 d' (cm) 4,63 Ábaco 5B n° A1b (cm
2) φ (cm) φadot (cm)ρ 
μz 0,04 d'/hz 0,08 ω 0,75 12 3,08 1,98 2,00 3,14% 
μy 0,16 d'/hy 0,23 As (cm
2) 36,96 10 3,70 2,17 2,00 2,62% 
Fonte: elaborada pelos autores. 
 A seguir, as áreas mínima e máxima, dadas pelas expressões (19) e (20). 
As,mín = 0,15 ∙ Nd fyd⁄ ≥ 0,004 Ac (19) 
As,máx = 4% Ac (20) 
∴ As,mín = 7,86 cm
2 e As,máx = 48 cm
2 
 
 
 
23 
 
 
Figura 13 - Ábaco 5B 
 
Fonte: PINHEIRO (2009) 
 Dos valores acima, conclui-se pelo cálculo manual que o detalhamento a ser 
adotado corresponde a 12ϕ20 (37,70 cm2). O software adotou o mesmo detalhamento. 
5.1.3. Armadura Transversal 
 Os estribos nos pilares têm as funções de garantir o posicionamento e impedir a 
flambagem das barras longitudinais, garantir a costura das emendas de barras 
longitudinais e confinar o concreto e obter uma peça mais resistente e dúctil. Eles são 
definidos a partir das características de diâmetro e espaçamento. 
a) Diâmetro mínimo 
t ≥ {
5mm
l 4⁄ 
 (21) 
 O diâmetro adotado pelo TQS foi de 6.3 mm, sendo superior ao mínimo de 5 mm. 
b) Espaçamento máximo 
24 
 
smáx ≤ {
20cm
12l
 b (menor dimensão do pilar)
 (22) 
 O espaçamento adotado foi de 20 cm. 
c) Estribos poligonais 
 Na seção 18.2.4 - Proteção contra flambagem das barras, a NBR 6118/2014 
determina a necessidade de estribos poligonais em trechos situados a mais de 20 t do 
canto, conforme a Figura 14. Ao adotar estribos de 6.3 mm, a distância de cobertura 
aumenta (12,6 cm) e são necessários 2 estribos poligonais. 
Figura 14 - Proteção contra flambagem das barras 
 
Fonte: NBR 6118/2014. 
d) Armadura transversal nas emendas por traspasse 
 Os estribos devem ser capazes de resistir a uma força igual à de uma barra 
emenda (longitudinal). Sabendo que a bitola da armadura longitudinal adotada foi de 20 
mm, determina-se a força e a quantidade de estribos necessários na região da emenda. 
- Força resistida por uma barra longitudinal: 
 Fl = fyd ∙ A120 = 50 kN/cm
2 ∙ 3,14 cm2 ÷ 1,15 = 136,6 kN 
- Força resistida pelo estribo: 
 Ft = fyd ∙ A16.3 = 50 kN/cm
2 ∙ 0,31 cm2 ÷ 1,15 = 13,55 kN 
 Logo, são necessários 10 estribos na região da emenda por transpasse. 
5.2. Pilar P27 
5.2.1. Esforços solicitantes 
 
 
 
 
 
 
25 
 
Figura 15 - a) Fx b) My c) Mz 
 
Fonte: TQS. 
Tabela 25 - Esforços solicitantes 
Nk (kN) 1780,3 Myk (kNcm) 1040,0 Myd (kNcm) 1456,0 
Nd (kN) 2492,4 Mzk (kNcm) 8710,0 Mzd (kNcm) 12194,0 
Fonte: elaborada pelos autores. 
5.2.2. Armadura Longitudinal 
a) Comprimento equivalente 
Tabela 26 - Comprimento equivalente 
hz (cm) 25 lo (cm) 220,00 le,z (cm) 245,00 
hy (cm) 70 l (cm) 280,00 le,y (cm) 280,00 
Fonte: elaborada pelos autores 
b) Excentricidades iniciais 
Tabela 27 - Excentricidades iniciais 
ei,z (cm) 1456 / 2492,4 = 0,58 
ei,y (cm) 12194 / 2492,4 = 4,89 
Fonte: elaborada pelos autores. 
c) Excentricidade acidental 
Tabela 28 - Excentricidade acidental 
ea,ext (cm) 280 / 200 = 1,40 
ea,int (cm) 1,40 / 2 = 0,70 
Fonte: elaborada pelos autores. 
d) Excentricidade e momento mínimos 
 
 
26 
 
Tabela 29 - Excentricidade e momentos mínimos 
emín,z (cm) 2,25 Myd,mín (kNcm) 5607,95 
emín,y (cm) 3,60 Mzd,mín (kNcm) 8972,71 
Fonte: elaborada pelos autores. 
e) Índice de esbeltez λ e esbeltez limite λ1 
 Dos valores apresentados nas Tabelas 29 e 25, conclui-se que o parâmetro b = 
1,0 para as duas direções, uma vez que o pilar apresenta cargas transversais 
significativas ao longo da altura. 
Tabela 30 - Esbeltez 
λz 245√12 / 70 = 12,1 λ1,z 25,3 ∴ λ1,z = 35 
λy 280√12 / 25 = 38,8 λ1,y 25,9 ∴ λ1,y = 35 
Fonte: elaborada pelos autores. 
 Conclui-se que o pilar é medianamente esbelto na direção y. Portanto, calcula-se a 
excentricidade de segunda ordem que amplificará o momento na direção y, ou seja, e2z. 
f) Esforço normal reduzido ν 
ν =
2492,4 kN
25 cm ∙ 70 cm ∙ 2,5 kN/cm2 1,4⁄
= 0,8 
g) Excentricidade de 2ª ordem - Método do pilar padrão com curvatura aproximada 
1
r
=
0,005
25(0,8 + 0,5)
= 0,000154 ≤
0,005
25
= 0,0002 
e2 =
2452
10
0,000154 = 0,93 cm 
h) Momentos reduzidos μ 
d’ = 3,0 cm + 0,63 cm + 0,625 cm = 4,255 cm 
Tabela 31 - Situações de cálculo 
 
I II III IV 
ei,z (cm) 0,58 0,58 0,58 0,58 
ei,y (cm) 4,89 4,89 4,89 4,89 
e2,z (cm) 
0,93 
 
ea,ext (cm) 1,40 1,40 
ea,int (cm) 
0,70 0,70 
emín,z (cm) 2,25 2,25 2,25 2,25 
emín,y (cm) 3,60 3,60 3,60 3,60 
ez (cm) 2,25 0,58 3,18 0,58 
ey (cm) 4,89 6,29 4,89 5,59 
Fonte: elaborada pelos autores. 
27 
 
 As situações de cálculo críticas são a (II) e a (III). A seguir, apresentam-se os 
dados de entrada no ábaco (Figura 16) para cada uma das situações críticas e as taxas 
de armadura obtidas. 
Tabela 32 - Situação de cálculo II 
ν 0,80 d' (cm) 4,26 Ábaco 22B n° A1b (cm
2) φ (cm) φadot (cm) ρ 
μz 0,02 d'/hz 0,17 ω 0,17 10 1,22 1,25 1,25 0,70% 
μy 0,07 d'/hy 0,06 As (cm
2) 11,50 8 1,53 1,39 1,60 0,92% 
Fonte: elaborada pelos autores. 
Tabela 33 - Situação de cálculo III 
ν 0,80 d' (cm) 4,26 Ábaco 22B n° A1b (cm
2) φ (cm) φadot (cm) ρ 
μz 0,10 d'/hz 0,17 ω 0,30 10 2,16 1,66 2,00 1,80% 
μy 0,06 d'/hy 0,06 As (cm
2) 21,56 8 2,70 1,85 2,00 1,44% 
Fonte: elaborada pelos autores. 
Figura 16 - Ábaco 22B 
 
Fonte: PINHEIRO (2009). 
28 
 
 Apesar de não ser a mais crítica, a área necessária obtida pela situação de cálculo 
II foi compatível com a detalhada pelo TQS. Esta resultou em 11,50 cm2, estando 
compreendida entre As,mín = 8,6 cm
2 e As,máx = 70 cm
2. Portanto, adota-se armadura 
longitudinal de 10ϕ12.5. 
5.2.3. Armadura Transversal 
 As características de diâmetro, espaçamento e necessidade de estribos poligonais 
são definidas conforme apresentado na seção 5.1.3. 
a) Diâmetro mínimo: 5 mm. O TQS adotou t = 6.3 mm. 
b) Espaçamento máximo: 20 cm. O TQS adotou s = 15 cm. 
c) Estribos poligonais: 20 t = 12,6 cm ∴ necessidade de 3 estribos poligonais. 
d) Armadura transversal nas emendas por traspasse 
- Força resistida por uma barra longitudinal: 
 Fl = fyd ∙ A112.5 = 50 kN/cm
2 ∙ 1,23 cm2 ÷ 1,15 = 53,36 kN 
- Força resistida pelo estribo: 
 Ft = fyd ∙ A16.3 = 50 kN/cm
2 ∙ 0,31 cm2 ÷ 1,15 = 13,55 kN 
 Logo, são necessários 4 estribos na região da emenda por transpasse. 
6. Sapatas 
 As sapatas que serão dimensionadas manualmente encontram-se sob os pilares 
P13 e P27, acima dimensionados. Como critério de projeto, as sapatas serão 
dimensionadas como rígidas, segundo critério da NBR 6118 na seção 22.6.1 - 
Conceituação apresentado em (23). 
h ≥
A − ap
3
 (23) 
onde: 
 - h: altura da sapata 
 - A: dimensão da sapata em uma determinada direção 
 - ap: dimensão do pilar na mesma direção 
 Adiante, apresentam-se as etapas para o cálculo de sapata isolada sob flexão 
oblíqua. 
a) Estimativa das dimensões da base da sapata 
Ssap ≥
1,1 Nk
σadm(24) 
29 
 
B = 0,5(bp − ap) + √0,25(bp − ap)
2
+ Ssap (25) 
Ssap = A ∙ B (26) 
CA = 0,5(A − ap) (27) 
onde: 
 Ssap: área estimada da base da sapata 
 Nk: esforço normal característico do pilar sobre a sapata 
 σadm: tensão admissível do solo; igual a 0,02 kN/cm
2 
 B: menor dimensão da base da sapata 
 ap: maior dimensão da seção transversal do pilar 
 bp: menor dimensão da seção transversal do pilar 
 CA: dimensão do balanço na direção a 
b) Altura da sapata 
 Altura da sapata é definida segundo critério apresentado em (23). Além desta, são 
feitas as seguintes verificações: 
d ≥ lb,pilar (28) 
h0 ≥ {
h 3⁄
 15 cm
 (29) 
onde: 
 - d: altura útil da sapata 
 - h0: definido segundo a Figura 17 
Figura 17 - Detalhes construtivos para a sapata 
 
Fonte: BASTOS (2016). 
c) Verificações das tensões na base da sapata 
ea = Ma Nk⁄ (30) 
eb = Mb Nk⁄ (31) 
x = ea A⁄ (32) 
30 
 
y = eb B⁄ (33) 
onde: 
 - ea = ex: excentricidade na mesma direção da dimensão A 
 - eb = ey: excentricidade na mesma direção da dimensão B 
 - x e y: parâmetros de entrada no ábaco (Figura 18) 
 A partir da interseção dos parâmetros de entrada, definem-se as expressões das 
tensões nos cantos da sapata. 
Figura 18 - Ábaco para determinação das tensões máximas nas sapatas retangulares rígidas para ação 
com dupla excentricidade 
 
Fonte: MONTOYA, apud BASTOS (2016). 
d) Determinação dos momentos fletores na sapata (CEB-70) 
 De acordo com a metodologia proposta pelo CEB-70, os momentos fletores são 
calculados em seções de referência S1A e S1B, relativas aos respectivos lados A e B da 
sapata. Estas seções distam em xA e xB das extremidades, conforme a Figura 19. A partir 
destas distâncias, calculadas pelas expressões a seguir, e da tensão aplicada p sobre o 
solo determinam-se os momentos solicitantes na sapata MA e MB. 
xA = CA + 0,15ap (34) 
xB = CB + 0,15bp (35) 
MA = p
xA
2
2
B (36) 
31 
 
MB = p
xB
2
2
A (37) 
Figura 19 - Notações e seções de referência 
 
Fonte: BASTOS (2016). 
e) Determinação das armaduras 
 As áreas de aço são determinadas a partir das expressões a seguir. 
As,A =
MA,d
0,85 ∙ d ∙ fyd
 (38) 
As,B =
MB,d
0,85 ∙ d ∙ fyd
 (39) 
f) Verificação da diagonal comprimida na superfície crítica C 
 Por serem rígidas, as sapatas não estarão sujeitas à ruptura por punção. No 
entanto, é necessário verificar a tensão na diagonal comprimida na superfície crítica C, 
que corresponde ao perímetro do pilar. 
τSd =
Fsd
u0d
 (40) 
τRd2 = 0,27 (1 −
fck
250
) fcd (41) 
τRd2 ≥ τsd: não ocorre ruptura por compressão da diagonal 
onde: 
 - τSd: tensão cisalhante atuante 
 - FSd: esforço normal de cálculo 
 - u0: perímetro da superfície crítica C 
 - τRd2: tensão resistente 
6.1. Sapata S13 
a) Estimativa das dimensões da base da sapata 
32 
 
 A partir dos valores das dimensões e esforços do pilar P23, estimam-se a área e 
as dimensões da base da sapata S13 pelas expressões dantes apresentadas. Para o 
cálculo, foi adotada tensão admissível do solo σadm = 0,02 kN/cm
2. 
Tabela 34 - Características do P13 
ap (cm) 60 
bp (cm) 20 
Nk (kN) 1626,7 
MA,x (kNm) 38,6 
MB,y (kNm) 13,1 
Fonte: elaborada pelos autores. 
Tabela 35 - Dimensões da S13 
S (cm2) 89468,5 
B (cm) 279,78 ∴ 280 
A (cm) 319,78 ∴ 320 
CA (cm) 130,00 
CB (cm) 130,00 
Fonte: elaborada pelos autores. 
b) Altura da sapata 
 De posse das dimensões da base, determina-se a altura da sapata segundo (23). 
Para a armadura detalhada do P13, isto é, 1220, obtém-se o respectivo comprimento de 
ancoragem considerando concreto C25, região de boa aderência e gancho. Para essas 
características, de acordo com a Tabela A-7 - Comprimento de ancoragem (cm) para o 
aço CA-50 nervurado (BASTOS, 2016), o lb = 53 cm e, portanto menor que a altura útil da 
sapata apresentada na Tabela 36. 
Tabela 36 - Altura da sapata 
h (cm) 86,67 ∴ 90 
lb (cm) 53,00 
d (cm) 85,00 
h0 (cm) 30,00 
Fonte: elaborada pelos autores. 
c) Verificações das tensões na base da sapata 
 Pelas expressões (30) a (33), definem-se as excentricidades do esforço normal 
sobre a sapata e os parâmetros de entrada no ábaco da Figura 18. Os valores obtidos 
estão expostos na Tabela 37. 
 
 
 
33 
 
Tabela 37 - Excentricidades 
eA,x (cm) 2,373 
eB,y (cm) 0,805 
x 0,007 
y 0,003 
Fonte: elaborada pelos autores. 
 A entrada no ábaco dos parâmetros x e y indica que a sapata encontra-se 
totalmente comprimida (Zona D). Para este tipo de situação, a máxima tensão é definida 
pela expressão (42). 
σ5 =
FV
A ∙ B ∙ λ5
≤ σadm (42) 
onde: 
 - σ5: máxima tensão na sapata 
 - FV: normal solicitante, igual a 1,1Nk 
 - A, B: dimensões da base da sapata 
 - λ5: parâmetro obtido no ábaco da Figura 17 
 Do ábaco, temos que: 
σ5 =
1,1 ∙ 1626,7 kN
320 cm ∙ 280 cm ∙ 1,00
= 0,01997 kN cm2⁄ < 0,02 kN cm2⁄ 
 Portanto não há necessidade de modificarmos as dimensões estimadas para a 
base da sapata. 
d) Determinação dos momentos fletores na sapata (CEB-70) 
 Pelas expressões (34) a (37), determinam-se as coordenadas das seções de 
referência e os momentos solicitantes da sapata, expostos na Tabela38. 
Tabela 38 - Momentos solicitantes 
xA (cm) 139,00 
xB (cm) 133,00 
MA (kNcm) 54019,40 
MB (kNcm) 56521,72 
MA,d (kNcm) 75627,16 
MB,d (kNcm) 79130,41 
Fonte: elaborada pelos autores. 
e) Determinação das armaduras 
34 
 
 De posse das intensidades dos momentos de cálculo, calculam-se as áreas de 
aço necessárias pelas expressões (38) e (39). Os valores obtidos constam na Tabela 39. 
A altura útil foi estimada considerando d’ = 5 cm. 
Tabela 39 - Áreas de aço 
d (cm) 85,00 As,A (cm
2) 24,08 As,A (cm
2/m) 8,598 
fyd (kN/cm
2) 43,48 As,B (cm
2) 25,19 As,B (cm
2/m) 7,872 
Fonte: elaborada pelos autores. 
 De posse dos valores calculados, determinam-se as bitolas e espaçamentos para 
o detalhamento, conforme apresentado na Tabela 40. 
Tabela 40 - Armadura detalhada 
Cálculo manual TQS 
As,A 12.5 c/14 8,76 cm
2 16 c/17 11,83 cm
2 
As,B 12.5 c/15 8,18 cm
2 16 c/16 12,57 cm
2 
Fonte: elaborada pelos autores. 
 A armadura detalhada pelo software foi superior à obtida pelo cálculo manual. Isso 
ocorre devido ao critério do programa computacional para a armadura mínima, que 
considera toda a área transversal da sapata. Vale salientar que a NBR 6118 não define 
área mínima para sapatas. 
f) Verificação da diagonal comprimida na superfície crítica C 
 De acordo com as expressões (40) e (41), verifica-se a diagonal comprimida. Os 
resultados obtidos indicam que não ocorrerá ruptura, conforme a Tabela 41. 
Tabela 41 - Verificação da diagonal comprimida 
u0 (cm) 160,00 τsd (kN/cm
2) 0,17 
d (cm) 85,00 τRd,2 (kN) 0,43 
Fsd (kN) 2277,38 Sem esmagamento 
Fonte: elaborada pelos autores. 
6.2. Sapata S27 
a) Estimativa das dimensões da base da sapata 
 Apresentam-se as dimensões obtidas na Tabela 43. 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Tabela 42 - Características do P27 
ap (cm) 70 
bp (cm) 25 
Nk (kN) 1780,3 
MA,x (kNm) 87,1 
MB,y (kNm) 10,4 
Fonte: elaborada pelos autores. 
Tabela 43 - Dimensões da S27 
S (cm2) 97916,5 
B (cm) 291,22 ∴ 290 
A (cm) 336,22 ∴ 340 
CA (cm) 135,00 
CB (cm) 132,50 
Fonte: elaborada pelos autores. 
b) Altura da sapata 
 De posse das dimensões da base, determina-se a altura da sapata segundo (23). 
Para a armadura detalhada do P27, isto é, 1012.5, obtém-se o respectivo comprimento 
de ancoragem considerando concreto C25, região de boa aderência e gancho. Para 
essas características, de acordo com a Tabela A-7 - Comprimento de ancoragem (cm) 
para o aço CA-50 nervurado (BASTOS, 2016), o lb = 33 cm e, portanto menor que a altura 
útil da sapata apresentada na Tabela 44. 
Tabela 44 - Altura da sapata 
h (cm) 86,67 ∴ 90 
lb (cm) 33,00 
d (cm) 85,00 
h0 (cm) 30,00 
Fonte: elaborada pelos autores. 
c) Verificações das tensões na base da sapata 
 Pelas expressões (30) a (33), definem-se as excentricidade do esforço normal 
sobre a sapata e os parâmetros de entrada no ábaco da Figura 18 (Tabela 45). 
Tabela 45 - Excentricidades 
eA,x (cm) 4,892 
eB,y (cm) 0,584 
x 0,014 
y 0,002 
Fonte: elaborada pelos autores. 
36 
 
 A entrada no ábaco dos parâmetros x e y indica que a sapata encontra-se 
totalmente comprimida (Zona D). Para este tipo de situação, a máxima tensão é definida 
pela expressão (42). 
 Do ábaco, temos que: 
σ5 =
1,1 ∙ 1780,3 kN
290 cm ∙ 340 cm ∙ 1,00
= 0,01986 kN cm2⁄ < 0,02 kN cm2⁄ 
 Portanto não há necessidade de modificarmos as dimensões estimadas para a 
base da sapata. 
d) Determinação dos momentos fletores na sapata (CEB-70) 
 Os valores obtidos a partir das expressões (34) a (37) para as seções de 
referência e momentos fletores são expostos na Tabela 46. 
Tabela 46 - Momentos solicitantes 
xA (cm) 145,50 
xB (cm) 136,25 
MA (kNcm) 60968,14 
MB (kNcm) 62680,28 
MA,d (kNcm) 85355,40 
MB,d (kNcm) 87752,39 
Fonte: elaborada pelos autores. 
e) Determinação das armaduras 
 De posse das intensidades dos momentos de cálculo, calculam-se as áreas de 
aço necessárias pelas expressões (38) e (39). Os valores obtidos constam na Tabela 47. 
A altura útil foi estimada considerando d’ = 5 cm. 
Tabela 47 - Áreas de aço 
d (cm) 85,00 As,A (cm
2) 27,17 As,A (cm
2/m) 9,370 
fyd (kN/cm
2) 43,48 As,B (cm
2) 27,94 As,B (cm
2/m) 8,216 
Fonte: elaborada pelos autores. 
 De posse dos valores calculados, determinam-se as bitolas e espaçamentos para 
o detalhamento, conforme apresentado na Tabela 48. 
Tabela 48 - Armadura detalhada 
Cálculo manual TQS 
As,A 12.5 c/13 9,44 cm
2 16 c/17 11,83 cm
2 
As,B 12.5 c/14 8,76 cm
2 16 c/16 12,57 cm
2 
Fonte: elaborada pelos autores. 
37 
 
 A armadura detalhada pelo software foi superior à obtida pelo cálculo manual. Isso 
ocorre devido ao critério do programa computacional para a armadura mínima, que 
considera toda a área transversal da sapata. Vale salientar que a NBR 6118 não define 
área mínima para sapatas. 
f) Verificação da diagonal comprimida na superfície crítica C 
 De acordo com as expressões (40) e (41), verifica-se a diagonal comprimida. Os 
resultados obtidos indicam que não ocorrerá ruptura, como é possível observar pelos 
valores da Tabela 49. 
Tabela 49 - Verificação da diagonal comprimida 
u0 (cm) 190,00 τsd (kN/cm
2) 0,15 
d (cm) 85,00 τRd,2 (kN) 0,43 
Fsd (kN) 2492,42 Sem esmagamento 
Fonte: elaborada pelos autores. 
7. Estabilidade global - Parâmetro γz 
 Apresentam-se a seguir os dados necessários à análise da estabilidade global da 
edificação considerando a direção Y. 
7.1. Características da edificação 
 a) Dimensões em planta: a = 30,10 m e b = 16,25 m 
 b) Altura da edificação: h = 19,60 m 
 c) fck = 25 MPa, Eci = 28 GPa, Ecs = 24 GPa 
 d) Carga média do pavimento: ppav = 11,5 kN/m
2 
 e) Área do pavimento-tipo: 422,785 m2 
7.2. Parâmetros da norma NBR 6123 
 a) Velocidade básica do vento: Vo = 30 m/s 
 b) NBR 6123: Categoria IV, Classe B 
 c) Velocidade característica do vento: Vk = S1 ∙ S2 ∙ S3 ∙ Vo 
 d) Fr = 0,98; b = 0,85; p = 0,125 
 e) Pressão dinâmica do vento: q = 0,613Vk
2 
 f) Coeficiente de arrasto: Cay = 1,19 (l1/l2 = 1,85 e h/l1 = 0,65) 
 g) Força de arrasto: Fa = Ca ∙ q ∙ A 
38 
 
7.3. Pórticos analisados 
 Para a direção Y, foram considerados os pórticos destacados na Figura 20. 
Figura 20 - Pórticos analisados 
 
Fonte: elaborada pelos autores. 
 Os pórticos acima foram divididos segundo a rigidez em seis grupos. A parcela da 
carga do vento Fw/pórtico sobre cada pórtico é determinada a partir da rigidez equivalente. 
Este tratamento é feito através da analogia de cada pórtico como uma barra engastada e 
livre na extremidade. Cada pórtico representante de cada grupo foi modelado no ftool com 
uma carga unitária de H = 1 kN aplicada na extremidade (Figuras 21 a 26) e, de cada 
modelagem, extraiu-se o deslocamento a na extremidade. Para a modelagem, as vigas 
apresentam rigidez (EI)sec = 0,4 ∙ EcIc e os pilares rigidez (EI)sec = 0,8 ∙ EcIc de acordo com 
a seção 15.7.3 - Consideração aproximada da não linearidade física da NBR 6118/2014. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Figura 21 - Pórtico do Grupo 1: carga unitária e deformada 
 
Fonte: elaborada no ftool. 
Figura 22 - Pórtico do Grupo 2: carga unitária e deformada 
 
Fonte: elaborada no ftool. 
40 
 
Figura 23 - Pórtico do Grupo 3: carga unitária e deformada 
 
Fonte: elaborada no ftool. 
Figura 24 - Pórtico do Grupo 4: carga unitária e deformada 
 
Fonte: elaborada no ftool. 
41 
 
Figura 25 - Pórtico do Grupo 5: carga unitária e deformada 
 
Fonte: elaborada no ftool. 
Figura 26 - Pórtico do Grupo 6: carga unitáriae deformada 
 
Fonte: elaborada no ftool. 
42 
 
 Os valores obtidos são apresentados na Tabela 50. 
Tabela 50 - Parcela de vento por pórtico 
Pórtico a (m) EIequiv. = HL
3/3a (MNm2) Fw/pórtico 
Grupo 1 0,0028460 3527,54 0,03 
Grupo 2 0,0024480 4101,05 0,04 
Grupo 3 0,0021640 4639,27 0,04 
Grupo 4 0,0024910 4030,26 0,03 
Grupo 5 0,0013640 3680,13 0,06 
Grupo 6 0,0005513 9105,19 0,16 
Fonte: elaborada pelos autores. 
7.4. Cálculo do γz 
 Tomando como referência o pórtico representante do grupo 6, procede-se o 
cálculo do parâmetro da estabilidade na direção Y. A Figura 27 apresenta o modelo 
estrutural e a configuração deformada do pórtico analisado. 
Figura 27 - Modelo estrutural e deformada para Cálculo do γz 
 
Fonte: elaborada no ftool. 
43 
 
 A partir do valor do γz, calculado pela expressão (43), caracteriza-se a estrutura em 
nós fixos (γz ≤ 1,1) ou em nós móveis. Para a última categoria, caso 1,1 ≤ γz ≤ 1,3, 
permite-se solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem; 
caso γz > 1,3, permite-se adoção do processo P-Δ para a avaliação da não-linearidade 
geométrica em conjunto com os valores de rigidez dados por representativos do efeito da 
não-linearidade física (NBR 6118/2014). 
γz =
1
1 −
ΔMtot,d
M1,tot,d
 (43) 
onde: 
 ΔMtot,d: soma dos produtos das forças verticais pelos deslocamentos horizontais 
 M1,tot,d: soma dos momentos das forças horizontais em relação à base da estrutura 
 Na Tabela 51 apresentam-se os valores calculados e o resultado obtido para o γz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
Tabela 51 - Parâmetro γz para a direção Y 
 
∴ γz = 1,094 < 1,1 → Estruturas de nós fixos. 
O programa computacional classificou a estrutura em nós móveis, de acordo com os valores apresentados na Figura 28. 
Figura 28 – Parâmetros de Instabilidade do TQS 
 
Fonte: TQS. 
Andar Altura (m) S1·S3 S2 Vk (m/s) q (N/m
3) Cay Ay (m
2) F (kN) F/pórtico M1a ordem (kNm) Fvert (kN) a (m) M2a ordem (kNm) 
Cobertura 19,60 1,00 0,906 27,18 452,96 1,19 84,28 45,43 7,1 139,38 548,08 0,01311 7,19 
6 16,80 1,00 0,889 26,66 435,83 1,19 84,28 43,71 6,8 114,95 782,97 0,01263 9,89 
5 14,00 1,00 0,869 26,06 416,41 1,19 84,28 41,76 6,5 91,52 782,97 0,01126 8,82 
4 11,20 1,00 0,845 25,35 393,82 1,19 84,28 39,50 6,2 69,25 782,97 0,00939 7,35 
3 8,40 1,00 0,815 24,45 366,49 1,19 84,28 36,76 5,8 48,33 782,97 0,00703 5,51 
2 5,60 1,00 0,775 23,24 331,16 1,19 84,28 33,21 5,2 29,11 782,97 0,00429 3,36 
1 2,80 1,00 0,710 21,31 278,47 1,19 84,28 27,93 4,4 12,24 782,97 0,00166 1,30 
 M1,tot,d = 706,705 kNm Mtot,d = 60,767 kNm 
45 
 
8. Referências 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, ABNT NBR 6118: Projeto de 
estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2014. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, ABNT NBR 6120: Cargas para o 
cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro, 1980. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, ABNT NBR 6123: Forças devidas 
ao vento em edificações. Rio de Janeiro, 1988. 
BARROS, Rodrigo. Projeto de Estruturas de Concreto - Slides. Natal, 2015. 
BARBOZA, Marcos Robiati; BASTOS, Paulo Sérgio dos Santos. Concepção e Análise 
de Estruturas de Edifícios em Concreto Armado. Bauru: Unesp, 2008. 
BASTOS, Paulo Sérgio dos Santos. Sapatas de Fundação. Bauru/SP, 2016. 
PINHEIRO, Libânio Miranda; BARALDI, Lívio Túlio; POREM, Marcelo 
Eduardo. Estruturas de Concreto: Ábacos para Flexão Oblíqua. São Carlos, 2009. 
FACULDADE ASSIS GURGACZ (FAG). Apostila de Circulação Vertical. Cascavel. 
(Disciplina de Desenho II do Curso de Arquitetura e Urbanismo). Disponível em: 
<www.fag.edu.br>. 
PUC-Rio. FTOOL. Versão educacional 3.01. 2016. 
TQS Informática Ltda. CAD TQS V18.5. 2016.
46