Pilar Intermediario

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Dimensionamento de Pilares Intermediários Segundo a NBR 6118/2003 
 
Paulo Sérgio dos Santos Bastos (1), Luttgardes de Oliveira Neto (2) 
 
(1) Professor Doutor, Departamento de Engenharia Civil, UNESP - Bauru/SP 
email: pbastos@feb.unesp.br 
 
(2) Professor Doutor, Departamento de Engenharia Civil, UNESP - Bauru/SP 
email: lutt@feb.unesp.br 
 
Endereço para correspondência: 
UNESP – Departamento de Engenharia Civil, Av. Luiz Edmundo Coube, s/n, 17.033-360 – Bauru/SP 
 
Palavras-chave: pilares de edifícios, pilares intermediários, dimensionamento, projeto, normalização. 
 
 
Resumo 
A nova norma brasileira NBR 6118/2003 introduziu modificações na metodologia de 
dimensionamento de alguns elementos estruturais, entre eles os pilares de concreto 
armado. Com o propósito de apresentar e analisar as modificações introduzidas com 
relação aos pilares, este trabalho mostra como ficou o dimensionamento dos pilares 
intermediários. Apresentam-se as novas prescrições e os parâmetros de projeto, seguidos 
por um roteiro prático de dimensionamento. Dois exemplos numéricos são mostrados em 
detalhes a fim de exemplificar a aplicação das novas prescrições. Os resultados são 
analisados e comparados com aqueles obtidos segundo a metodologia contida na NBR 
6118/78. A comparação dos resultados numéricos, calculados segundo as duas normas, 
mostra diferenças de armaduras, que vão de zero a até 21 %. 
 
1. Introdução 
 
A nova NBR 6118/2003 fez modificações em algumas das metodologias de cálculo 
das estruturas de concreto armado, como também em alguns parâmetros aplicados no 
dimensionamento e verificação das estruturas. Especial atenção é dada à questão da 
durabilidade das peças de concreto. 
Particularmente no caso dos pilares, a nova norma introduziu várias modificações, 
como nos valores das excentricidades acidental e de 2a ordem, um maior cobrimento de 
concreto, uma nova metodologia para o cálculo da esbeltez limite relativa à consideração 
ou não dos momentos fletores de 2a ordem e, principalmente, com a consideração de um 
momento fletor mínimo, que pode substituir o momento fletor devido à excentricidade 
acidental. Como as modificações introduzidas são consideráveis e o texto não se 
encontra suficientemente detalhado, no caso dos pilares intermediários não ocorrem 
dúvidas, mas nos pilares de extremidade e de canto surgem algumas dúvidas, que podem 
originar erros no cálculo de dimensionamento. Outros dois artigos, um sobre pilares de 
extremidade e outro sobre pilares de canto são também apresentados. 
Este trabalho descreve os parâmetros de projeto e duas diferentes metodologias 
propostas na NBR 6118/2003 para o dimensionamento de pilares de concreto armado. 
Um roteiro de cálculo dos pilares intermediários está também apresentado. São feitos 
dois exemplos numéricos para verificação e avaliação dos métodos propostos na nova 
norma, além de uma comparação com os resultados obtidos segundo a NBR 6118/78. 
2. Pilares Intermediários 
 
 Para efeito de projeto, os pilares dos edifícios podem ser classificados nos 
seguintes tipos: pilares intermediários, pilares de extremidade e pilares de canto (FUSCO, 
1981). A cada um desses tipos básicos de pilar corresponde uma situação de projeto ou 
de solicitação diferente. 
Nos pilares intermediários (figura 1) considera-se a compressão centrada para a 
situação de projeto, pois como as lajes e vigas são contínuas sobre o pilar, pode-se 
admitir que os momentos fletores transmitidos ao pilar sejam pequenos e desprezíveis. 
Não existem, portanto, os momentos fletores MA e MB de 1a ordem nas extremidades do 
pilar, como prescritos no item 15.8 da NBR 6118/2003. 
 
 
 
 
 
 
 
y
x
Nd
 
 
Figura 1 - Arranjo estrutural e situação de projeto dos pilares intermediários. 
 
3. Imperfeições Geométricas Locais 
 
 “No caso da verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do 
desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar” (item 11.3.3.4.2). “Admite-se que, 
nos casos usuais, a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo do lance do 
pilar seja suficiente.” A imperfeição geométrica local pode ser avaliada pelo ângulo: 
 
H100
1
1 =θ (Equação 1) 
 
com: H = altura do lance, em metro, conforme mostrado na figura 2; 
 ⎩⎨
⎧
⇒
⇒=θ
locais esimperfeiçõ e móveis nós de estruturas para 300/1
fixos nós de estruturas para 400/1
mín1 
θ1máx = 1/200 
 
PLANTA 
SITUAÇÃO DE 
PROJETO 
Elemento de 
travamento
θ
θl
l
Hl
Pilar de 
contraventamento
Pilar 
contraventado
l Hl/2
ea
θl
ea
θ
 
 
 a) Elementos de travamento b) Falta de retilinidade c) Desaprumo do pilar 
 (tracionado ou comprimido) no pilar 
 
Figura 2 - Imperfeições geométricas locais. 
 
A excentricidade acidental para um lance do pilar resulta do ângulo θ1 : 
 
2
He 1a θ= (Equação 2) 
 
4. Momento Fletor Mínimo 
 
 A NBR 6118/2003 introduziu um parâmetro novo no cálculo dos pilares: o momento 
fletor mínimo, o qual consta no código ACI 318 (1995) como equação 10-15. Segundo o 
código, “a esbeltez é levada em consideração aumentando-se os momentos fletores nos 
extremos do pilar. Se os momentos atuantes no pilar são muito pequenos ou zero, o 
projeto de pilares esbeltos deve se basear sobre uma excentricidade mínima”, dada pelo 
momento mínimo. 
 Na NBR 6118/2003 consta que “o efeito das imperfeições locais nos pilares pode 
ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1a 
ordem dado a seguir” (item 11.3.3.4.3): 
 
)h03,0015,0(NM dmín,d1 += (Equação 3) 
 
com h sendo a altura total da seção transversal na direção considerada, em metro. 
 
 A NBR 6118/2003 ainda informa que ao se considerar o momento fletor mínimo 
pode-se desconsiderar a excentricidade acidental ou o efeito das imperfeições locais, e 
que ao momento mínimo devem ser acrescidos os momentos de 2a ordem, descritos no 
item 6 deste artigo. 
 
5. Análise dos Efeitos Locais de 2a Ordem 
 
 “Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se 
horizontalmente. Os esforços de 2a ordem decorrentes desses deslocamentos são 
chamados efeitos globais de 2a ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar, 
os respectivos eixos não se mantém retilíneos, surgindo aí efeitos locais de 2a ordem que, 
em princípio, afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo delas” (item 15.4.1). 
 “As estruturas são consideradas, para efeito de cálculo, como de nós fixos, quando 
os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e, por decorrência, os efeitos globais 
de 2a ordem são desprezíveis (inferiores a 10 % dos respectivos esforços de 1a ordem). 
Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2a ordem” (item 
15.4.2). 
 “A análise global de 2a ordem fornece apenas os esforços nas extremidades das 
barras, devendo ser realizada uma análise dos efeitos locais de 2a ordem ao longo dos 
eixos das barras comprimidas”. Os elementos isolados, para fins de verificação local, 
devem ser formados pelas barras comprimidas retiradas da estrutura, com comprimento 
le , porém aplicando-se às suas extremidades os esforços obtidos através da análise 
global de 2a ordem (item 15.7.4). 
 Neste artigo, admite-se que os pilares sejam de nós fixos, onde basta considerar os 
efeitos localizados de 2a ordem. 
 “Os efeitos locais de 2a ordem em elementos isolados podem ser desprezados 
quando o índice de esbeltez for menor que o valor limite λ1” (item 15.8.2), calculado pela 
expressão: 
b
1
1
h
e5,1225
α
+
=λ (Equação 4) 
 
onde: e1 = excentricidade de 1a ordem (não inclui a excentricidade acidental ea); 
 h/e1 = excentricidade relativa de 1
aordem; 
 
9035 1
b
≤λ≤α (Equação 5) 
 
Deve-se ter pilar de seção e armadura constantes ao longo do eixo longitudinal. O 
valor de bα deve ser obtido conforme estabelecido a seguir: 
 
a) para pilares biapoiados sem cargas transversais 
 
40,0
M
M40,060,0
A
B
b ≥+=α (Equação 6) 
onde: 1,0 ≥ αb ≥ 0,4 
 
MA e MB são os momentos de 1a ordem nos extremos do pilar. Deve ser adotado 
para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal positivo, se 
tracionar a mesma face que MA , e negativo em caso contrário. 
 
b) para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura 
 
1b =α 
 
c) para pilares em balanço 
85,0
M
M20,080,0
A
C
b ≥+=α (Equação 7) 
onde: 
MA = momento de 1a ordem no engaste; 
MC = momento de 1a ordem no meio do pilar em balanço. 
 
d) para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento 
mínimo 
 
1b =α 
 
 O fator αb consta do ACI 318 (1995) com a notação Cm (item 10.12.3.1). Porém, ao 
contrário da NBR 6118/2003, que também considera a excentricidade relativa e1/h, tanto o 
ACI como o Eurocode 2 (1992) e o MC-90 (1990) do CEB, calculam a esbeltez limite em 
função da razão entre os momentos fletores ou entre as excentricidades nas 
extremidades do pilar. 
 
6. Determinação dos Efeitos Locais de 2a Ordem 
 
 “O cálculo pode ser feito pelo método geral ou por métodos aproximados. O 
método geral é obrigatório para λ > 140” (item 15.8.3). 
 A norma apresenta quatro diferentes métodos aproximados, sendo eles: método do 
pilar-padrão com curvatura aproximada (item 15.8.3.3.2), método do pilar-padrão com 
rigidez κ aproximada (item 15.8.3.3.3), método do pilar-padrão acoplado a diagramas M, 
N, 1/r (item 15.8.3.3.4) e médodo do pilar-padrão para pilares de seção retangular 
submetidos à flexão composta oblíqua (item 15.8.3.3.5). 
Neste artigo apresentam-se apenas os chamados “Método do pilar-padrão com 
curvatura aproximada” e “Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada”, os quais 
podem ser aplicados no cálculo de pilares com λmáx ≤ 90, seção constante e armadura 
simétrica e constante ao longo do seu eixo. 
 
6.1 Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada 
 
“A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se 
que a deformação da barra seja senoidal. A não-linearidade física é considerada através 
de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica”. 
O momento fletor total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão: 
 
⎩⎨
⎧≥+α=
mín,d1
A,d1
2
e
dA,d1btot,d M
M
r
1
10
NMM
l
 (Equação 8) 
 
onde: 1/r = curvatura na seção crítica, avaliada pela expressão aproximada: 
 
h
005,0
)5,0(h
005,0
r
1 ≤+ν= (Equação 9) 
 
sendo: 
cdc
Sd
f.A
N=ν (Equação 10) 
M1d,A ≥ M1d,mín 
com: ν = força normal adimensional; 
 M1d,A = valor de cálculo de 1a ordem do momento MA ; 
M1d,mín = momento fletor mínimo como definido na eq. 3; 
NSd = força normal solicitante de cálculo; 
Ac = área da seção transversal do pilar; 
fcd = resistência de cálculo à compressão do concreto (fcd = fck /γc); 
h = dimensão da seção transversal na direção considerada. 
 
 A rigor, o momento fletor total máximo deve ser calculado para cada direção 
principal do pilar. Ele leva em conta que, numa seção intermediária onde ocorre a 
excentricidade máxima de 2a ordem, o momento fletor máximo de 1a ordem seja corrigido 
pelo fator αb. Isto é semelhante ao que encontra-se no item 7.5.4 de FUSCO (1981), com 
a diferença de que novos parâmetros foram estabelecidos para αb. Se o momento de 1a 
ordem for nulo ou menor que o mínimo, então o momento mínimo, constante na altura do 
pilar, deve ser somado ao momento fletor de 2a ordem. 
 
6.2 Método do Pilar-Padrão com Rigidez κ Aproximada 
 
“A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se 
que a deformação da barra seja senoidal. A não-linearidade física deve ser considerada 
através de uma expressão aproximada da rigidez”. 
O momento total máximo no pilar deve ser calculado a partir da majoração do 
momento de 1a ordem pela expressão: 
 
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧≥
νκ
λ−
α=
mín,d1
A,d1
2
A,d1b
tot,d M
M
/120
1
M
M (Equação 11) 
 
sendo o valor da rigidez adimensional κ dado aproximadamente pela expressão: 
 
ν⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=κ
d
tot,d
N.h
M
5132 (Equação 12) 
 
“As variáveis h, ν, M1d,A e αb são as mesmas definidas anteriormente. Usualmente, 
duas ou três iterações são suficientes quando se optar por um cálculo iterativo.” 
Substituindo a equação 12 na equação 11 obtém-se uma equação do 2o grau que 
serve para calcular diretamente o valor de tot,dM , sem a necessidade de se fazer 
iterações: 
0MNh3840M)M19200NhNh3840(M19200 A,d1dbtot,dA,d1bd
2
d
2
tot,d =α−α−λ−+ 
(Equação 13) 
7. Roteiro de Cálculo 
 
 Apresenta-se o roteiro de cálculo dos chamados pilares intermediários, com a 
aplicação do “Método do pilar-padrão com curvatura aproximada” e do “Método do pilar-
padrão com rigidez κ aproximada”. 
No pilar intermediário, devido à continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: 
 MA = MB = 0 , em ambas as direções do pilar, o que leva a M1d,A = 0 e e1 = 0. 
 
a) Esforços Solicitantes 
 
 A força normal de cálculo pode ser determinada como Nd = γn . γf . Nk 
 
onde: Nk = força normal característica no pilar; 
γn = coeficiente de majoração da força normal (ver Tabela 13.1 da NBR 6118/03); 
γf = coeficiente de majoração da força normal, como definido na Tabela 11.1 da 
NBR 6118/2003. 
 
b) Índice de Esbeltez 
 
i
 el=λ , 
A
Ii = , para seção retangular: 
h
 3,46 el=λ 
 
c) Momento Fletor Mínimo 
 
M1d,mín = Nd (1,5 + 0,03 h) com h = dimensão do pilar, em cm, na direção considerada. 
 
d) Esbeltez Limite 
 
b
1
1
 
h
e12,5 25
α
+
=λ com 9035 1
b
≤λ≤α 
 
 e1 = 0 para pilar intermediário. 
λ ≤ λ1 - não considera-se o efeito de 2ª ordem para a direção considerada; 
λ > λ1 - considera-se o efeito de 2ª ordem para a direção considerada. 
 
e) Momento de 2a Ordem 
e1) Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada 
Determina-se Md,tot pela Equação 8: 
 
⎪⎩
⎪⎨⎧≥+α=
mín,d1
A,d1
2
e
dA,d1btot,d M
M
r
1
10
NM.M l M1d,A ≥ M1d,mín 
e2) Armadura Longitudinal 
Determinam-se os coeficientes adimensionais: 
 
cdc
d
f.A
N=ν e 
cdc
tot,d
fAh
M=µ (Equação 14) 
 
No ábaco de flexão composta normal determina-se a taxa mecânica ω e calcula-se 
a armadura do pilar com a equação: 
yd
cdc
s f
fAA ω= (Equação 15) 
e3) Método do Pilar-Padrão com Rigidez κ Aproximada 
Determina-se Md,tot pela Equação 13 e a armadura conforme o item e2): 
0MNh3840M)M19200NhNh3840(M19200 A,d1dbtot,dA,d1bd
2
d
2
tot,d =α−α−λ−+ 
 
8. Exemplos de Cálculo 
 Os exemplos numéricos a seguir são de pilares intermediários, biapoiados, de nós 
fixos e sem forças transversais atuantes. Os seguintes dados são comuns em todos os 
exemplos: 
 - concreto C-20; aço CA-50 A - d’ = 4,0 cm ; γc = γf =1,4 
 
8.1 Exemplo Numérico 1 
 
Dimensionar a armadura longitudinal 
vertical do pilar mostrado na figura 3, 
sendo conhecidos: 
 
Nk = 785,7 kN 
seção 20 x 50 (Ac = 1000 cm2) 
lex = ley = 280 cm 
 
dN
x
y
h = 50 cmx
h 
 =
 2
0 
cm
y
 
Figura 3 – Dimensões da seção transversal e situação de projeto.
 
RESOLUÇÃO 
 
 Embora a armadura longitudinal resultará do cálculo segundo a direção de menor 
rigidez do pilar (dir. y), a título de exemplo será demonstrado também o cálculo segundo a 
direção x. 
 
a) Esforços solicitantes 
 A força normal de cálculo é: Nd = γn . γf . Nk= 1,0 . 1,4 . 785,7 = 1100 kN. 
 Tratando-se de um pilar intermediário, não existem momentos fletores e 
excentricidades de 1a ordem em ambas as direções do pilar. 
 
b) Índice de esbeltez 
 
4,19
50
28046,3
h
46,3
x
ex
x =⋅==λ l 
4,48
20
28046,3
h
46,3
y
ey
y =⋅==λ
l
 
 
c) Momento fletor mínimo 
 
O momento fletor mínimo, em cada direção, é calculado pela Equação 3: 
M1d,mín = Nd (1,5 + 0,03 h), com h em cm. 
 
Dir. x: M1d,mín,x = ( )50.03,05,11100 + = 3300 kN.cm 
Dir. y: M1d,mín,y = ( )20.03,05,11100 + = 2310 kN.cm 
 
d) Esbeltez limite 
b
1
1
 
h
e12,5 25
α
+
=λ com 9035 1
b
≤λ≤α 
 
 Nos pilares intermediários não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a 
ordem nas extremidades do pilar em ambas as direções x e y, isto é, MA = MB = 0. Daí 
resulta que αb é igual a 1,0. Assim: 
 
 λ1,x = λ1,y = 25 ≥ 
b
35
α ∴ λ1,x = λ1,y = 35 
 
 Desse modo: 
 λx = 19,4 < λ1,x ∴ não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção x; 
 λy = 48,4 > λ1,y ∴ são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção y. 
 
e) Momento de 2a ordem 
 
 O momento de 2a ordem será avaliado pelos métodos do pilar-padrão com 
curvatura aproximada e do pilar-padrão com rigidez κ aproximada. 
 
e1) Método do pilar-padrão com curvatura aproximada 
 
 
⎩⎨
⎧≥+α=
mín,d1
A,d1
2
e
dA,d1btot,d M
M
r
1
10
NMM
l 
 
 Força normal adimensional: 77,0
4,1
0,21000
1100
f.A
N
cdc
d ===ν 
 
 Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2a ordem: 
 
 ( ) ( ) 1-41-4 m 10.5,220
005,0m 10.9685,1
5,077,020
005,0
50,0h
005,0
r
1 −− =≤=+=+ν= 
 
 Fazendo M1d,A ≥ M1d,mín em cada direção, tem-se os momentos totais máximos: 
 
Dir. x: Md,tot,x = M1d,mín,x = 3300 kN.cm 
 
Dir. y: 400810.9685,1
10
28011002310.0,1M 4
2
y,tot,d =+= − kN.cm 
 ∴Md,tot,y = 4008 kN.cm ≥ M1d,mín,y = 2310 kN.cm 
 
Para o momento total máximo na direção y resultam as excentricidades mostradas 
na figura 4. 
 
 
Nd
y
x
e = 2,1cm1y,mín
e = 1,54 cm2y
e = 3,64 cmy
 
 
Figura 4 – Excentricidades resultantes segundo a direção y. 
 
 A excentricidade ey determinada conforme a NBR 6118/78 resulta igual a 3,72 cm 
(eay + e2y = 2,00 + 1,72), muito próxima da calculada pela NBR 6118/2003. 
 
e2) Cálculo da armadura 
Com ν = 0,77 e utilizando os ábacos de VENTURINI (1987) para flexão reta: 
 
Dir. x: 
 
µ = 
cdcx
x,tot,d
f.A.h
M
 = 05,0
4,1
0,21000.50
3300 = Ábaco A-25 
 ω = 0,05 
x
x
h
'd = 
50
0,4 = 0,08 ≈ 0,10 
 
 Dir. y: 
 
 µ = 
cdcy
y,tot,d
f.A.h
M
= =
4,1
0,21000.20
4008 0,14 Ábaco A-4 
 ω = 0,38 
y
y
h
'd
 = 
20
0,4 = 0,20 
As = 
yd
cdc
f
fAω = 49,12
15,1
50
4,1
0,21000.38,0
= cm2 
 
e3) Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada 
 
Aplicando a Equação 13 numericamente para a direção y, tem-se: 
0MNh3840M)M19200NhNh3840(M19200 A,d1dbtot,dA,d1bd
2
d
2
tot,d =α−α−λ−+ 
−−−+ tot,d22 tot,d M)2310.0,1.192001100.20.4,481100.20.3840(M19200
02310.1100.20.0,1.3840 =− 
010.951488,1M11408320M19200 11tot,d
2
tot,d =−− 
010164000M2,594M tot,d
2
tot,d =−− 
 
A raiz positiva da equação de 2o grau é: 
Md,tot = 3500 kN.cm ≥ M1d,mín = 2310 kN.cm 
 
e4) Cálculo da armadura 
Com ν = 0,77 e utilizando os ábacos de VENTURINI (1987) para flexão reta: 
 
 µ = 
cdcy
y,tot,d
f.A.h
M
=
4,1
0,21000.20
3500 = 0,12 Ábaco A-4 
 ω = 0,30 
y
y
h
'd
 = 
20
0,4 = 0,20 
As = 
yd
cdc
f
fAω = 86,9
15,1
50
4,1
0,21000.30,0
= cm2 
 
8.2 Exemplo Numérico 2 
 Este segundo exemplo é semelhante ao primeiro, com exceção da maior força 
normal de compressão. São conhecidos: 
 
Nk = 1071 kN 
seção 20 x 50 (Ac = 1000 cm2) 
lex = ley = 280 cm 
 
dN
x
y
h = 50 cmx
h 
 =
 2
0 
cm
y
 
Figura 5 – Dimensões da seção transversal e situação de projeto.
 
RESOLUÇÃO 
 
a) Esforços solicitantes 
A força normal de cálculo é: Nd = γn . γf . Nk = 1,0 . 1,4 . 1071 = 1500 kN. 
 
b) Índice de esbeltez 
 
4,19
50
28046,3
h
46,3
x
ex
x =⋅==λ l 
4,48
20
28046,3
h
46,3
y
ey
y =⋅==λ
l
 
 
c) Momento fletor mínimo 
O momento fletor mínimo, em cada direção, é calculado pela Eq. 3: 
M1d,mín = Nd (1,5 + 0,03 h), com h em cm. 
 
Dir. x: M1d,mín,x = ( )50.03,05,11500 + = 4500 kN.cm 
Dir. y: M1d,mín,y = ( )20.03,05,11500 + = 3150 kN.cm 
 
d) Esbeltez limite 
b
1
1
 
h
e12,5 25
α
+
=λ com 9035 1
b
≤λ≤α 
 
 Do mesmo modo como no exemplo anterior: 
 
 λ1,x = λ1,y = 25 ≥ 
b
35
α ∴ λ1,x = λ1,y = 35 
 
 Desse modo: 
 λx = 19,4 < λ1,x ∴ não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção x; 
 λy = 48,4 > λ1,y ∴ são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção y. 
 
e) Momento de 2a ordem 
 
 O momento de 2a ordem será avaliado pelos métodos do pilar-padrão com 
curvatura aproximada e do pilar-padrão com rigidez κ aproximada. 
 
e1) Método do pilar-padrão com curvatura aproximada 
 
 
⎩⎨
⎧≥+α=
mín,d1
A,d1
2
e
dA,d1btot,d M
M
r
1
10
NMM
l 
 
Força normal adimensional: 05,1
4,1
0,21000
1500
f.A
N
cdc
d ===ν 
 
 Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2a ordem: 
 
 ( ) ( ) 1-41-4 m 10.5,220,0
005,0m 10.6129,1
5,005,120
005,0
50,0h
005,0
r
1 −− =≤=+=+ν= 
 
 Fazendo M1d,A ≥ M1d,mín em cada direção, tem-se os momentos totais máximos: 
 
Dir. x: Md,tot,x = M1d,mín,x = 4500 kN.cm 
 
Dir. y: 504710.6129,1
10
28015003150.0,1M 4
2
y,tot,d =+= − kN.cm 
Md,tot,y = 5047 kN.cm ≥ M1d,mín,y = 3150 kN.cm 
 
Para o momento total máximo na direção y resultam as excentricidades mostradas 
na figura 6. 
 
e = 3,36 cmy
x
e = 1,26 cm
1y,míne = 2,1cm
2y
y
dN
 
 
Figura 6 – Excentricidades resultantes segundo a direção y. 
 
 
 A excentricidade ey determinada conforme a NBR 6118/78 resulta igual a 3,41 cm 
(eay + e2y = 2,00 + 1,41), muito próxima da calculada pela NBR 6118/2003. 
 
e2) Cálculo da armadura 
Com ν = 1,05 e utilizando os ábacos de VENTURINI (1987) para flexão reta: 
 
Dir. x: 
 
µ = 
cdcx
x,tot,d
f.A.h
M
 = 06,0
4,1
0,21000.50
4500 = Ábaco A-25 
 ω = 0,38 
x
x
h
'd = 
50
0,4 = 0,08 ≈ 0,10 
 
 Dir. y: 
 
 µ = 
cdcy
y,tot,d
f.A.h
M
= =
4,1
0,21000.20
5047 0,18 Ábaco A-4 
 ω = 0,78 
y
y
h
'd
 = 
20
0,4 = 0,20 
As = 
yd
cdc
f
fAω = 63,25
15,1
50
4,1
0,21000.78,0
= cm2 
 
e3) Método do pilar-padrão com rigidez κ aproximada 
Aplicando a Equação 13 numericamente para a direção y, tem-se: 
0MNh3840M)M19200NhNh3840(M19200 A,d1dbtot,dA,d1bd
2
d
2
tot,d =α−α−λ−+ 
−−−+ tot,d22 tot,d M)3150.0,1.192001500.20.4,481500.20.3840(M19200
03150.1500.20.0,1.3840 =− 
010.6288,3M15556800M19200 11tot,d
2
tot,d =−− 
018900000M25,810M tot,d
2
tot,d =−− 
A raiz positiva da equação de 2o grau é: 
Md,tot = 4771 kN.cm ≥ M1d,mín = 3150 kN.cm 
 
e4) Cálculo da armadura 
Com ν = 1,05 e utilizando os ábacos de VENTURINI (1987) para flexão reta: 
 
 µ = 
cdcy
y,tot,d
f.A.h
M
=
4,1
0,21000.20
4771 = 0,17 Ábaco A-4 
 ω = 0,76 
y
y
h
'd
 = 
20
0,4 = 0,20 
As = 
yd
cdc
f
fAω = 97,24
15,1
50
4,1
0,21000.76,0
=cm2 
 
9. Análise dos Resultados 
 
A Tabela 1 apresenta um resumo dos resultados obtidos, calculados segundo as 
normas NBR 6118/78 e NBR 6118/2003. 
Para efeito comparativo foram calculadas as armaduras longitudinais dos pilares 
segundo as metodologias das normas NBR 6118/78 e NBR 6118/2003. Utilizaram-se dois 
exemplos de cálculo de pilares intermediários, buscando-se conservar suas 
características físicas e mecânicas, tais como dimensões e resistência, aumentando-se a 
força normal atuante. 
As armaduras foram calculadas com d’ de 3,0 cm e 4,0 cm para a NBR 6118/78 e 
d’ de 4,0 cm para a NBR 6118/2003. Ao especificar um maior cobrimento nominal, o valor 
de d’, que para a NBR 6118/78 era comumente considerado igual a 3,0 cm, passou a ser 
de 4,0 cm para a nova norma. 
 
Tabela 1 - Momentos fletores de cálculo (kN.cm) e áreas de armadura (cm²) 
obtidas segundo a NBR 6118/78 e NBR 6118/2003. 
Método de Exemplo 1 Exemplo 2 
dimensionamento Md,tot As Md,tot As 
NBR 6118/1978 - d’ = 3 cm 11,50 24,31 
 - d’ = 4 cm 4092 12,49 
5115 
25,63 
NBR 6118/2003 
(Curvatura Aproximada) 4008 12,49 5047 25,63 
Diferença (%) para d’ = 3 cm + 8,6 + 5,4 
Diferença (%) para d’ = 4 cm - 2,0 0,0 - 1,4 0,0 
NBR 6118/2003 
(Rigidez Aproximada) 3500 9,86 4771 24,97 
Diferença (%) para d’ = 3 cm - 14,3 + 2,7 
Diferença (%) para d’ = 4 cm - 14,5 - 21,1 - 6,7 - 2,6 
 
 
 Nos dois exemplos observa-se que o método da curvatura aproximada resultou 
armaduras idênticas àquelas obtidas segundo a NBR 6118/78, para o mesmo valor de d’. 
Comparando com a armadura calculada para d’ igual a 3,0 cm nota-se que, ao aumentar 
o cobrimento, a nova norma está aumentando a armadura necessária para o pilar. 
Nos dois exemplos numéricos nota-se que a excentricidade mínima foi um pouco 
superior à excentricidade acidental da NBR 6118/2003. Mesmo assim os momentos 
máximos calculados pelo método da curvatura aproximada foram um pouco menores. 
Isso ocorre porque a excentricidade de 2a ordem da NBR 6118/2003 resulta um pouco 
menor que aquela da NBR 6118/78. 
Mesmo tratando-se de pilares intermediários, onde não ocorrem momentos fletores 
de 1a ordem, notou-se um aumento considerável da armadura, em torno de 100 %, para 
um aumento de apenas 36 % para a força normal do exemplo 2. 
Embora apenas dois exemplos numéricos tenham sido apresentados, pelos valores 
contidos na Tabela 1 pode-se observar que o método da rigidez aproximada resulta 
armaduras inferiores ao método da curvatura aproximada. Para a força normal maior a 
diferença de armadura diminuiu de 21,1 % para 2,6 %. Outros exemplos devem ser feitos 
para verificar o problema. 
 
10. Considerações Finais 
 
Este trabalho apresentou uma comparação entre as metodologias de cálculo 
utilizadas pela NBR 6118/78 e pela NBR 6118/2003 no dimensionamento da armadura de 
pilares intermediários. Para a comparação foram calculados dois exemplos de pilares 
empregando-se ambos os métodos. 
Vale lembrar que outros exemplos com solicitações diversas e consideração da 
fluência no concreto devem ser realizados para se obter resultados mais abrangentes e 
conclusivos. 
Nos pilares intermediários, como não ocorrem momentos fletores de 1a ordem, 
sempre resultará λ1 igual a 35. Isso implica que a nova norma está um pouco mais 
conservadora na questão de se considerar os efeitos de 2a ordem, pois na NBR 6118/78 o 
limite era um pouco superior (40). 
A NBR 6118/78 considera como excentricidade acidental 2,0 cm, ao passo que a 
NBR 6118/2003 considera o valor da falta de retilinidade que, na grande maioria das 
vezes, é bem menor que os 2,0 cm adotados pela NBR 6118/78. Por exemplo, tomando-
se o maior valor admitido de θ1 = 1/200, para um pilar de altura H igual a 400 cm, o valor 
da excentricidade acidental resulta igual a 1,0 cm. 
Em relação ao cálculo do momento mínimo, há uma questão a ser colocada. A 
NBR 6118/2003 afirma que “O efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser 
substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1a ordem” 
(item 11.3.3.4.3). Pode-se entender que, sendo o momento de 1a ordem MA na 
extremidade do pilar maior que o momento mínimo, no cálculo do momento total deve-se 
tomar para M1d,A o seu próprio valor (MA), sem acréscimo do momento devido à 
excentricidade acidental (Nd . ea). Como MA é nulo no caso dos pilares intermediários, 
toma-se para M1d,A o valor do momento mínimo, nas duas direções principais do pilar. 
A Equação 13 apresentada transforma o cálculo iterativo numa equação do 2o 
grau, o que facilita um pouco o trabalho manual. 
 Outros dois artigos dos autores tratam dos pilares de extremidade e dos pilares de 
canto. 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building code requirements for structural concrete, 
ACI 318 R-95. Farmington Hills, 1995, 369p. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de estruturas 
de concreto armado, NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 1978, 76p. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto 
– Procedimento, NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 2003, 170p. 
 
COMITÉ EURO-INTERNATIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Model Code 1990: final draft. 
Bulletim D’Information, n.203, 204 e 205, jul., 1991. 
 
EUROPEAN COMMITTEE STANDARDIZATION. Eurocode 2 – Design of concrete 
structures. Part 1: General rules and rules for buildings. London, BSI, 1992. 
 
FUSCO, P.B. Estruturas de concreto - Solicitações normais. Rio de Janeiro, ed. 
Guanabara Dois, 1981, 464p. 
 
VENTURINI, W.S. Dimensionamento de peças retangulares de concreto armado 
solicitadas à flexão reta. São Carlos, Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola 
de Engenharia de São Carlos – USP, 1987.