Ex 02 D'Alambert (pendulo)

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Exercício de Dinâmica de Sistemas Mecânicos - Prof. Dr. Samuel da Silva 
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Aluno – Roberto Outa 
Pós-Engenharia Mecânica
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinâmica de Sistemas Mecânicos - Prof. Dr. Samuel da Silva 
Programa de Pós Graduação Engenharia Mecânica – Ilha Solteira 
Principio de D`Alembert – pendulo e duas barras 
 
Aluno – Roberto Outa 
 
 
 
Exercício de Dinâmica de Sistemas Mecânicos - Prof. Dr. Samuel da Silva 
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Aluno – Roberto Outa 
Pós-Engenharia Mecânica
A generalização do principio de D`Alembert 
O principio do trabalho virtual provém da afirmação do equilíbrio estático do sistema mecânico. 
Usando uma ideia simples de D`Alembert, o principio do trabalho virtual pode ser estendido para 
sistemas dinâmicos, abrindo assim o caminho para a mecânica analítica. 
Segundo a lei de Newton, para uma partícula de massa , esta pode ser escrita da seguinte forma 
 
Onde é uma força aplicada, e é uma força contrária (força de restrição). A equação (1) é 
frequentemente referida como o principio de D`Alembert. Neste contexto, o termo se refere a uma 
força inercial. 
A primeira vista a equação (1) não é vista fornecendo qualquer nova informação. Realmente, se o 
objeto é a para derivar a equação de movimento, então a equação (1) não oferece qualquer coisa além do 
que a segunda lei de Newton nos apresenta. Sobre estas circunstancias uma possível questão, é que se 
existe justificativa para que se refere a equação (1) como um princípio. 
Então, devemos buscar a virtude da equação (1) prosseguindo com uma diferente linha de 
pensamento. 
A equação (1) pode ser considerada uma afirmação do equilíbrio dinâmico da partícula , e é a 
interpretação que carrega implicações de longo alcance. De fato, agora o principio do trabalho virtual pode 
ser expresso estendido a dinâmica, produzindo assim o primeiro principio variacional da dinâmica. Para este 
fim, referimo-nos para a equação (1) e escrevemos: 
 
Então, consideramos o sistema de partículas e assumimos que o deslocamento virtual 
 são irreversíveis, de modo que detém a equação 
 
 , 
e podemos escrever para os sistema de partículas a equação abaixo: 
 
 
 
 
A equação (3) incorpora não só o principio do trabalho virtual estático como o principio dinâmico de 
D`Alembert, e é referido para o principio da generalizado de D`Alembert. 
A soma das forças aplicadas e a força inercial em algum momento se refere a força 
eficaz. Isto nos permite anunciar o principio de generalização de D`Alembert que segue : “O trabalho virtual 
 
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realizado por forças eficazes através de deslocamentos virtuais infinitesimal compatíveis com restrições do 
sistema é zero”. 
O principio de D`Alembert, equação (4), representa de uma maneira geral a formulação dos 
problemas dinâmicos. Sua principal vantagem sobre a segunda lei de Newton é que obviamente são precisas 
as forças contrarias. 
Ainda, equação (4), não é conveniente para a derivação das equações de movimento, 
particularmente para sistemas mais complexos. O principio generalizado de D`Alembert é a primeira 
variação do principio dinâmico e outros princípios que podem ser derivados deste. De fato, o nosso interesse 
no principio de D`Alembert pode ser traçado para o fato que é permitido a derivação de qualquer outro 
principio, denominado, principio de Hamilton. 
A generalização do principio de D`Alembert é ainda uma aproximação vetorial usando as 
coordenadas físicas para descrever o movimento. Uma objeção para o uso de coordenadas físicas é que em 
muitos casos elas são independentes. De fato, antes podíamos obter as equações de movimento pelos meios 
do principio de D`Alembert, isto é necessário converter a formula de um único vetor nos termos de 
dependência das coordenadas físicas, sujeito as restrições de um escalar no termo de coordenadas 
generalizadas independentes, na maneira similar de um principio virtual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referência Bibliográfica 
MEIROVITCH, Leonard – Principles and Thechniques of Vibrations – pg 80 a 81 
 
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Exercicio 01 - O Problema do Pendulo 
 
1) Faça um diagrama do corpo livre na partícula B e obtenha a equação do movimento usando o princípio 
generalizado de D`Alembert. 
Decomposição das forças 
Levando em consideração que o ponto B é a referencia para o sistema linear, poderemos achar as forças no sistema 
conforme a DCL abaixo: 
 
 
Considere que o pendulo da fig(1) oscila em um 
plano x-y com um deslocamento angular . A 
partícula B tem uma massa m conectada ao ponto O 
através de uma mola linear de rigidez k tal que a 
distancia OB seja descrita por L(t). 
 
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Equação do movimento pelo principio generalizado de D`Alembert 
 
 
 
 
Neste caso teremos 
 
Sendo, 
 
 
 
Substituindo os dados da equação (1), pelas informações da equação (4), teremos: 
 
Entende-se que para pequenas oscilações onde 
Teremos a seguinte condição: 
 
 
 
 
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Resolvendo o sistema por Newton – Euler 
Sistema de inercial de referencia – ponto O 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para 
 
 
 
 
Podemos entender que através do diagrama de corpo livre , podemos definir que a distancia entre A e B é de 
 
Achando a velocidade escalar pela equação pela derivada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação da velocidade é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação da velocidade com as respectivas substituições das matrizes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformando a equação da velocidade para a base inercial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvendo a equação da aceleraçãoExercício de Dinâmica de Sistemas Mecânicos - Prof. Dr. Samuel da Silva 
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A equação da aceleração é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação da aceleração com as respectivas substituições das matrizes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo a equação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformando a equação para a base inercial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para o DCL abaixo, desenvolvemos a seguinte situação (referencia no ponto B): 
 
 
 Aplicando Newton – Euler 
 
 
 
 
 
Desenvolvendo a equação 
 
 
Igualando a equação a zero, teremos: 
 
 
 
 
 Desenvolvendo a equação de Euler (Momentos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referência Bibliográfica 
Inman, Daniel J. – Engineering Mechanics Dynamics – ISBN 9780132784092 
Santos, Ilmar F. – Dinâmica de Sistemas Mecânicos – ISBN 9788534611107 
 
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Exercicio 02 – O problema de duas barras 
1) Esboce o DCL das barras OC e PQ e represente os esforços atuantes. Quantas incógnitas tem este 
problema. Justifique. 
 
As incógnitas do problema são 8 forças considerando todos os esforços atuantes e ainda os ângulos 
das matrizes de transformação que são ao total 2 rotacionando em “z”. 
 
2) Desenvolvendo a equação do movimento usando o principio de D`Alembert 
Considerando que 
 
 
 
 
Neste caso teremos 
 
 
Para, é única condição atuante seria a dos momentos e a das forças Peso atuante no sistema. 
 
Referência Bibliográfica 
Inman, Daniel J. – Engineering Mechanics Dynamics – ISBN 9780132784092 
Santos, Ilmar F. – Dinâmica de Sistemas Mecânicos – ISBN 9788534611107 
DCL