Mecânica Teórica: Princípios e Deslocamentos

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Atanásio Zacarias Cheque
Movimento ligado do ponto e princípio de D'Alembert;
Princípios dos deslocamentos virtuais e princípio de Torricelli;
Licenciatura em Ensino de Física com Habilitações em Ensino de
Matemática
Universidade Púnguè
Tete
2021
Atanásio Zacarias Cheque
Licenciatura em Ensino de Física com Habilitações em Ensino de
Matemática
Universidade Púnguè
Tete
2021
Trabalho da cadeira de Mecânica Teórica a ser
apresentado ao departamento de ciências
naturais e matemática para efeitos de avaliação
sob tutória do dr: Fernanda P. Santana
3
�ndice
I.Introdução.................................................................................................................................................3
1.Movimento ligado do ponto e princípio de D'Alembert............................................................................4
2.deslocamento virtual.................................................................................................................................4
2.1.Trabalho virtual.....................................................................................................................................5
2.2.Princípios dos deslocamentos virtuais...................................................................................................5
2.2.1.Princípio dos trabalhos virtuais...........................................................................................................5
2.2.3.Os princípios energéticos em mecânica estrutural..............................................................................6
2.2.4.Princípio de Torricelli.........................................................................................................................6
3.1.Princípio de D’Alembert........................................................................................................................8
3.2.Foralismo de Lagrange........................................................................................................................10
4.Conclusão...............................................................................................................................................14
5.Referencia Bibliográfica.........................................................................................................................15
3
I. Introdução
O presente trabalho pretende fazer Reflexão sobre as grandes questões levantadas pela Mecânica
Clássica, a mecânica Newtonianao com maior incidência no Movimento ligado do ponto e
Princípios de D’Alembert, ainda mais o trabalho faz menção dos princípios dos deslocamentos
virtuais e Principio de Torricelli, as Equações de Lagrage e seu Formalismo 
4
1.Movimento ligado do ponto e princípio de D'Alembert
 Para colocar algum Objecto em movimento é necessário aplicar uma determinada força. Quando
há aplicação duma determinada força em um determinado ponto pode essa força executar um
trabalho.
O movimento que as partículas que podem executar pode ser idealizado no espaço a três
demissões de coordenadas
2.deslocamento virtual 
Na dinâmica dos corpos, deslocamento virtual de um sistema refere-se a qualquer mudança na 
configuração espacial do sistema resultante de uma mudança arbitrária e infinitesimal δrr ina(s) 
coordenada(s) ❑❑ r⃗i das partículas que o compõem, fazendo-se tais mudanças contudo de forma 
sempre consistente com todas as restrições e forças impostas ao sistema conforme definidas em 
um particular instante de tempo t
Segundo (RUSSELL:2010): “deslocamento virtual é qualquer deslocamento materialmente
possível imaginado para o sistema frente às restrições determinadas em um especificado
instante de tempo t; feito de forma coerente ou não com a real dinâmica a ser seguida pelo
sistema ao evoluir no tempo’’.
O deslocamento é dito virtual justamente para se fazer distinção entre o deslocamento sendo
definido e os possíveis deslocamentos reais do sistema - que ocorrem em um dado intervalo de
tempo dt.
2.1.Trabalho virtual
O trabalho de uma força sobre uma partícula ao longo de um deslocamento virtual é conhecido como 
trabalho virtual.
5
2.2.Princípios dos deslocamentos virtuais
O princípio dos trabalhos virtuais dá origem a duas formas:
 Princípio dos trabalhos virtuais
 Princípio de d'Alembert
 Método dos elementos finitos em mecânica estrutural
 Princípios energéticos em mecânica estrutural
2.2.1.Princípio dos trabalhos virtuais
O princípio do trabalho virtual, que é a forma do princípio da menor acção aplicado a sistemas, afirma
que o caminho realmente seguido pela partícula é aquele para o qual a diferença entre o trabalho ao longo
desse caminho e os demais caminhos próximos é zero (de primeira ordem). O procedimento formal para
calcular a diferença de funções avaliadas em caminhos próximos é uma generalização da derivada
conhecida do cálculo diferencial e é denominado o cálculo das variações.
Considere uma partícula P que se move de um ponto UMA até um ponto B ao longo de uma
trajectória r (t), enquanto uma força F (r(t)) é aplicado a ele. O trabalho feito pela força F é dado
pelo integral
W¿ ∮
r
( ¿ )=A
r (t ) =B
F .dt=¿∫
¿
t
F
dr
d t
dt=∫
¿
t1
F .vdt ¿
Onde dr é o elemento diferencial ao longo da curva que é a trajectória de Pe v é a sua 
velocidade. É importante notar que o valor do trabalho W depende da trajectória r(t).
Agora considere a partícula P que se move do ponto UMA apontar B novamente, mas desta vez
ele se move ao longo da trajectória próxima que difere de r(t) pela variação δr(t)=εh(t), Onde ε é
uma constante de escala que pode ser tão pequena quanto desejada e h(t) é uma função arbitrária
que satisfaz h(t0) = h(t1) = 0. Suponha que a força F(r(t)+εh(t)) é o mesmo que F(r(t)). O
trabalho realizado pela força é dado pela integral
W=∮
r
( ¿ )=A
r (t 1)=B
F .d (r+∈h)=¿∫
¿
t1
F d¿¿¿¿
A variação do trabalho δW associado a este caminho próximo, conhecido como o trabalho 
virtual, pode ser calculado como
δW=W−w=∫
t0
t1
(F .∈h́ )dt 
2.2.3.Os princípios energéticos em mecânica estrutural 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_dos_trabalhos_virtuais
https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_de_d'Alembert
https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_dos_trabalhos_virtuais
6
Segundo (TAUCHERT:1974) os princípios energéticos em mecânica: expressam as relações
entre tensão, deformação, deslocamento, propriedades materiais e cargas externas, na forma de
energia ou trabalho efectuado pelas forças internas e externas. Como energia é uma quantidade
escalar, estas relações fornecem formas convenientes e alternativas para formular as equações
governantes de corpos deformáveis em mecânica dos sólidos. Também podem ser usadas para
obter soluções aproximadas de sistemas razoavelmente complexos, evitando a difícil tarefa de
resolver um conjunto de equações diferenciais parciais
2.2.4.Princípio de Torricelli 
 Teorema de Torricelli é uma aplicação do princípio de Bernoulli e estuda o fluxo de
um líquido contido em um recipiente, através de um pequeno orifício, sob a acção da gravidade.
A partir do teorema de Torricelli pode-se calcular o caudal de saída de um líquido por um
orifício. "A velocidade de um líquido em uma vasilha aberta, por um orifício, é a que teria um
corpo qualquer, cai no vazio desde o nível do líquido até o centro de gravidade do orifício",
matematicamente:
 
 Onde:
vt é a velocidade teórica do líquido à saída do orifício
❑❑ v0 é a velocidade de aproximação.
h é a distância desde a superfície do líquido ao centro do orifício.
g é a aceleração da gravidade
Para velocidades de aproximação baixas, a maioria dos casos, a expressão anterior se transforma 
em:
 vr=√2gh
 Onde:
vrv é a velocidade real média do líquido na saída do orifício
CvC é o coeficiente de velocidade. Para cálculos preliminares em aberturas de parede delgadapode admitir-se 0.95 no caso mais desfavorável. Tomando Cv =1
Cv=√2gh
 Experimentalmente se tem comprovado que a velocidade média de um jorro de um orifício de
parede delgada, é um pouco menor que a ideal, devido à viscosidade do fluido e outros factores
tais como a tensão superficial, daí tem-se o significado deste coeficiente de velocidade.
 Exercício para aplicação das equações de Torricelli
vt=√2 g(h+ v0
2
2 g )
https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tens%C3%A3o_superficial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_de_Bernoulli
https://pt.wikipedia.org/wiki/Acelera%C3%A7%C3%A3o_da_gravidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dist%C3%A2ncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Orif%C3%ADcio&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADquido
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tens%C3%A3o_(mec%C3%A2nica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_parcial
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_dos_s%C3%B3lidos
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carga_estructural
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lei_de_Hooke
https://pt.wikipedia.org/wiki/Deslocamento
https://pt.wikipedia.org/wiki/Deforma%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Torricelli
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Um corpo é abandonado de uma altura de 20 m num local onde a aceleração da gravidade da 
Terra é dada por g = 10 m/s2. Desprezando o atrito, o corpo toca o solo com que velocidade?
 Resolução
 Dados:
h = 20 m
g = 10 m/s2
v0 = 0 (corpo abandonado)
Através da equação de Torricelli, temos:
v2 = v02 + 2gh
v2 = 02 + 2. 10 . 20
v2 = 400
v = √400
v = 20 m/s
 
3.1.Princípio de D’Alembert 
Para um ponto material em equilíbrio, sabemos que o "trabalho real realizado pelo sistema de
forças que actua sobre ele é nulo". Para este mesmo ponto, o princípio de d'Alembert nos diz
que :"o trabalho virtual realizado pelo sistema de forças que actua sobre ele é nulo para um
deslocamento virtual arbitrário qualquer que lhe imponhamos". Ou seja 
Para LANCZOS: 1970 “O Princípio de d'Alembert, também conhecido como o Princípio de 
Lagrange d'Alembert, afirma que a soma das diferenças entre as forças agindo em um sistema e 
as derivadas no tempo dos momento do sistema ao longo de um deslocamento virtual consistente
com os vínculos do sistema, é zero”. 
Ou, matematicamente:
∑
¿i
( f i−miai ).δr ri
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quantidade_de_movimento_linear
https://pt.wikipedia.org/wiki/Deslocamento_virtual
8
Onde:
 f i ⟶ São as forças aplicadas;
 δr ri ⟶ É o deslocamento virtual do sistema, consistente com os vínculos;
 mi⟶ São as massas das partículas do sistema;
 a i⟶ São as acelerações das partículas do sistema;
miai ⟶Representa a derivada temporal do momentum linear da i-ésima partícula.
 A equação acima, apesar de ser conhecida como princípio de d'Alembert, foi primeiramente
obtida nesta forma variacional pelo matemático italiano Joseph Louis Lagrange. A contribuição
de d'Alembert foi demonstrar que num sistema dinâmico como um todo as forças de vínculo
zeram, o que é equivalente a dizer que as forças generalizadasQ j não precisam incluir as forças
de vínculo.
Considerando a lei de Newton para um sistema de partículas. A força total sobre cada partícula é:
Movendo as forças inércias para o lado esquerdo da equação e considerando o trabalho virtual,δrW ,
realizado pelas forças totais e inércias juntas através de um deslocamento virtual δr rido sistema, temos:
Que zera pelo fato de as forças totais sobre cada partícula serem nulas. Separando as forças totais
em forças aplicadas·e forças dev vínculo, C⃗ i, temos:
Se os deslocamentos virtuais arbitrários são assumidos em direcções ortogonais às forças de
vínculo, então as forças de vínculo não realizam trabalho. Tais deslocamentos são ditos
f i
(T )
=miai
δrw=∑
i
f i
(T) . δr r i−∑
i
mia iδr ri=0
 
δrw=∑
i
f i
(T) . δr r i+∑
i
C i δr ri−∑
i
miai δr ri=0
https://pt.wikipedia.org/wiki/Trabalho_virtual
https://pt.wikipedia.org/wiki/Deslocamento_virtual
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=For%C3%A7as_generalizadas&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrange
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serem consistentes com os vínculos. Isto leva à formulação do princípio de d'Alembert, que
afirma que a ‘‘diferença entre as forças aplicadas e as forças inércias para um sistema dinâmico
não realiza trabalho virtual”:
δrw=∑
i
¿¿). δr r i=0
Basta, portanto, substituir a palavra "real" do enunciado da proposição da Mecânica sobre
trabalho (real) realizado por um ponto em equilíbrio, por "virtual" para obtermos a proposição
sobre trabalho virtual realizado por um ponto material em equilíbrio, quando ele sofre um
deslocamento virtual arbitrário qualquer.
 Como os corpos rígidos e elásticos nada mais é que uma soma de infinitos pontos materiais,
pode-se enunciar os teoremas sobre trabalhos virtuais a eles aplicáveis da seguinte forma: 
 Corpos rígidos: “Para um corpo rígido em equilíbrio, a soma algébrica dos trabalhos virtuais
de todas as forças (reais) que sobre ele atum é nula, para todos os deslocamentos virtuais
arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe imponhamos”; 
 Corpos elásticos: “Para um corpo elástico, que atingiu sua configuração de equilíbrio, o
trabalho virtual total das forças externas que sobre ele atum é igual ao trabalho virtual das
forças internas (esforços simples) nele actuantes, para todos os deslocamentos virtuais
arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que lhe imponhamos”.
3.2.Foralismo de Lagrange
As Equações de Lagrange formam uma nova expressão das Três Leis de Newton escritas em
termos de grandezas integradas, como energia cinética e energia potencial. As vantagens práticas
desse formalismo se devem, de um lado, por partir de grandezas integrais e, de outro lado, por
permitir a eliminação de variáveis espúrias que surgem a partir de vínculos que podem ser
impostos ao sistema.
Para a obtenção das Equações de Lagrange é preciso recorrer o método de D’Alembert, que parte
das Três Leis de Newton
O Princípio de D’Alembert representa uma forma de encarar problemas dinâmicos, em que a 
força resultante não é nula, como um problema de equilíbrio de forças. Para isso, interpreta a 
derivada temporal do momento linear como uma espécie de força, que somada `a força resultante
sobre o sistema resulta numa nova resultante nula.
A grande novidade com relação a esse princípio é o de separar forças de vínculos de forças
externas, o que pode reduzir o número de variáveis do sistema, já que novas coordenadas,
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chamadas coordenadas generalizadas, permitem eliminar aquelas limitadas pelos vínculos.
Assim o número de coordenadas passa a ser igual ao número de graus de liberdade, tornando o
problema mais tratável. 
A transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas generalizadas leva `a Equação de
Lagrange, esta sim de grande aplicação na prática para resolver problemas mais complexos
O vector posição do corpo
é dado por: r i= {x1 , x2, x3 } , e a 2a lei de Newton leva `a equação: F i=Ṕi
Onde F ié a resultante das forças que agem sobre o corpo i e pi o seu momento linear.
Da equação acima segue que para qualquer deslocamento obtém-se
∑
i=0
N
¿¿¿). δr r i=0
A equação mostra que, se π for considerado uma força, qualquer problema dinâmico, isto é, em
que haja aceleração do sistema, pode ser interpretado como um problema de estática, ou seja, de
equilíbrio de forças. Este resultado é conhecido como Princípio de D’Alembert.
Para obter as Equações de Lagrange, que representam um formalismo consideravelmente
diferente das Três Leis de Newton para resolver problemas que usualmente encontramos na
Física, em especial na Mecânica, porém retratam exactamente os mesmos princípios
estabelecidos por Isaac Newton. Em muitos casos o formalismo de Lagrange apresenta
vantagens práticas, eem grande medida isso decorre do fato de que coordenadas espúrias, que
são aquelas que podem ser eliminadas quando se consideram os vínculos do sistema, podem ser
eliminadas do problema desde o início, facilitando a solução dos problemas. Essas coordenadas
desaparecem por causa de vínculos que restringem o movimento do sistema físico estudado.
Exemplos de sistemas com vínculos são, uma conta que se move presa a um fio, que pode ter
qualquer formato, como circular, espiral, etc., ou um bloco que se move sobre uma Superfície
rígida.
Dados os vínculos que agem sobre as M partículas, o número de graus de liberdade pode ser 
reduzido de 3D para um número N, onde D é a dimensão do espaço onde os corpos se movem 
(normalmente D = 3). Podemos então introduzir N coordenadas, chamadas coordenadas 
generalizadas, que correspondem aos graus de liberdade das M partículas.
3.3.Equações de Lagrange
As Equações de Lagrange podem ser obtidas a partir do Princípio de D’Alembert ao se mudar o
sistema de coordenadas eliminando aquelas supérfluas. Assim, um sistema com M partículas
pode ser descrito por N coordenadas independentes, obtidas após a eliminação das coordenadas
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espúrias usando as equações de vínculos holonómicos. As equações de movimento das M
partículas podem então ser escritas em função das N coordenadas generalizadas, ou seja
{ r i=ri (q1 ,q2 .. .qN , t )rM=rM (q1 ,q2. ..qN , t )
e daí que segue que: 
Assim, a variação δrr ˙ i devido `a variação das coordenadas generalizadas, após um intervalo de 
tempo δt, é dada port, é dada por
δr ri=∑
i
∂ ri
∂qj
qj δr q́j
Onde δrq ˙ j=¿ q ˙ j δrt Por outro lado, como r ˙ i=r ˙ i¿), temos:
δr ŕi=∑
i
∂ŕ i
∂qj
qjδr q́ j
e comparando as duas equações para δr ŕi obtemos que
O primeiro termo da equação ∑
i=0
N
¿¿¿). δr r i=0 , Representa o Princípio de D’ Alembert, também pode ser
reescrito em função das coordenadas generalizadas como
∑
i
f i . δr r i=∑
i , j
f i .
∂ri
∂qj
δr qj
Definindo as componentes das forças generalizadas
Qj=∑
i
f i .
∂ri
∂qj
Segue que ∑
i
f i . δr ri= ∑
i
f i .Qj δrq j
ŕ i=∑
i
∂ri
∂qj
qi+
∂ ri
∂t
∂ŕi
∂q́ j
=
∂ri
∂qj
 =
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Assim, o trabalho realizado pelas forças fi pode ser calculado através das forças generalizadas. 
Se Fi são forças conservativas, então existe uma energia potencial V tal que:
Fi=−∇V
e daqui se pode concluir que:
Qj=
−∂V
∂qj
Onde V é a energia potencial do sistema.
 Para obtermos as Equações de Lagrange, vamos escrever a equação,∑
i=0
N
¿¿¿). δr r i=0 que 
representa o Princ´ıpio de D’alembert, em termos das coordenadas generalizadas, qj . Para 
tratarmos do segundo termo da equação, note que:
∑
i
Ṕi δr r i=mŕ iδr r i , e que ŕ i δr r i=
d
dt
(ŕ¿¿ i δr r i)−ŕ i
d
dt
δr r i¿
No primeiro termo da equa o acima temos:ção acima temos:
, 
Onde foi usada a equa oção acima temos: 
∂ŕi
∂q́ j
=
∂ri
∂qj
. Portanto podemos escrever:
No segundo termo da equa o: ção acima temos: ŕ i δr r i=
d
dt
(ŕ¿¿ i δr r i)−ŕ i
d
dt
δr r i¿ temos
 , e ent o ão acima temos:
Assim, o segundo termo da equa o ção acima temos: ∑
i=0
N
¿¿¿). δr r i=0 fica (1.1)
ŕ i δr r i∑
j
ŕi
∂ri
∂qj
δr r i=∑
j
ŕ i
∂ri
∂q ˙j
δr r j
ŕ i δr r i=∑
j
∂ri
∂q ˙ j (
ŕ i2
2 )δr r j .
ŕ i
d
dt
δr r i=ŕ iδr ŕ i∑
j
ri
∂ŕ i
∂q j
δr q j ŕ
d
dt
δr r i=∑
j
∂
∂qj (
ŕ i2
2 )δr q j
m ŕ i δr r i=∑
j [
d
dt
∂
∂ q́ j (
mŕ i2
2 )−
∂
∂qj (
m ŕ i2
2 )] δr q j
13
O primeiro termo do lado esquerdo da equa o (1.1) tamb m pode ser reescrito comoção acima temos: ém pode ser reescrito como
F iδr ri=∑
j
F i .
∂r i
∂qj
δr q j=∑j
Qi δr q j 
Onde Qj=Fi
∂ ri
∂qj
 é chamada for a generalizada. Agora a equaç ç o (1.1) fião acima temos: ca:
∑
i
∑
j [
d
dt
∂
∂ q́ j (
mŕ i2
2 )−
∂
∂qj (
m ŕ i2
2 )−Qj]δr q j=0
Sendo as somat rias em órias em i e j independentes e portanto podemos trocar a ordem da 
soma. Note que
T=∑
j
mi
2
ŕ i2
i
e ŕ i=∑
j
r i
∂ŕ i
∂q j
+
∂ ŕ
∂t
 portanto
ŕ i
2=¿∑
j,k
∂ ŕ i
∂q j
∂ŕ i
∂qk
+2∑
j
∂ ŕ i
∂t
∂ŕ i
∂qj
+( ∂ŕ i∂ t )¿
Com isso temos:
4.Conclusão 
Para um ponto material em equilíbrio, sabemos que o "trabalho real realizado pelo sistema de
forças que actua sobre ele é nulo
Para obter as equações de Lagrage recorre-se ao Principio de D’Alembert
O formalismo Lagrangiano introduz uma nova maneira de se estudar equações de movimento.
Sua simplicidade se traduz no fato de que nesse método é suficiente tomar grandezas escalares,
T=∑
i
mi
2 (
∂ŕ i
∂t )+∑j [∑i mi
∂ŕ i
∂ t
∂ŕ i
∂qj ] q́ j+∑j ,k [∑i
mi
2
i
∂ŕ i
∂qj
∂ŕ i
∂qk ] q́ j q́ k
14
energia cinética e energia potencial, para a solução de problemas da mecânica que seria de difícil
resolução se considerarmos o formalismo newtoniano. 
As equações de Lagrange possuem a vantagem adicional de serem válidas para uma escolha
arbitrária das coordenadas generalizadas, a escolha em cada situação específica sendo ditada por
razões de conveniência e simplicidade. 
5.Referencia Bibliográfica
BEER Fernando P. Johnston & RUSSELL E.Jr Mecânica vectorial para Engenheiros: Estática, 
Mc Graw-Hill Companies2010
MONTEIRO Henrique Alves, Luiz, Sistemas dinâmicos, Editora Livraria da Física, 2006.
LEMOS, Nivaldo A. Mecânica Analítica, 2°Ed. São Paulo 2007, Editora Livraria de Física 386
15
LEECH, J. W., BSc. PhD. Mecânica Analítica. Traduzido por OLIVEIRA, Carlos Campos de. 
Ed. Ao livro técnico S. A. e Editora da Universidade de São Paulo. Rio de Janeiro, 1971. 160p.
TAUCHERT, T.R. Princípios de energia em mecânica estrutural, McGraw-Hill, 1974
BASTOS, F.A. A.; Problemas de Mecânica dos Fluidos, Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1980.