Lajes Nervuradas: Solução Econômica e Versátil

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LAJE NERVURADA 
 
De acordo com a Norma, lajes nervuradas são aquelas lajes moldadas no local ou com nervuras pré-
moldadas, cuja zona de tração para momentos positivos está localizada nas nervuras entre as quais pode 
ser colocado material inerte. 
Quando citamos “material inerte”, subentende-se que ele não será considerado como ganho de 
resistência. Pode-se usar isopor (EPS – poliestireno expandido), blocos de concreto celular, cerâmica, etc. 
O isopor tem como vantagem o baixo peso em relação a outros elementos de enchimento, isolamento 
térmico e acústico. 
 
Quando precisamos construir em vãos maiores, a escolha na utilização de laje nervurada resulta numa 
solução simples e barata. Inclusive, economiza-se no uso de vigas. 
Devido às aberturas, ela é mais leve e consome menos concreto (embora geralmente possua altura maior 
que as lajes maciças), além de reduzirmos o uso de formas. Os moldes se chamam cubetas. 
Podem ser armadas em uma só direção ou em cruz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recomendações da norma: 
Altura da mesa. Deverá ser um quinze avos da distância entre as nervuras, ou 4cm (o que for maior. 
 
Largura das nervuras. Não deve ser inferior a 5cm. A partir de 8cm, devem ser usadas armaduras de 
compressão (de distribuição) A’s. 
 
Largura da mesa. 
 
Distância entre os eixos das nervuras. 
 
Distância entre as nervuras. Não deve ultrapassar 110cm. Se for até 50cm, a laje pode ser calculada 
como maciça. A partir daí, considera-se as nervuras como vigas, e a mesa como uma laje maciça 
apoiada na grelha de vigas. 
As nervuras podem ser inclinadas 
para facilitar a retirada da forma. 
hf 
bf 
bw 
lo 
a 
A seção para o cálculo da laje nervurada chama-se VIGA T. Dependendo da altura da linha neutra, o 
critério para análise da seção muda. 
 
Obs: 
Linha Neutra (LN) é a faixa divisória entre as regiões de tração e compressão, medida a partir do 
topo, com altura x. Adota-se y = 0,8x em função de uma simplificação permitida pela Norma, onde 
se considera o gráfico da tensões como um retângulo, ao invés de uma parábola. 
 
Assim, o primeiro passo é saber onde se localiza a LN: 
a) MÉTODO CLÁSSICO 
 determinar βx 
fcddb
m
x
w
calc
***272,0
5625,125,1
2
 
 sendo 
d
x
x 
, temos 
dxx *
 
 
 caso 
hfx 
, a LN estará na mesa. Senão, estará na nervura. 
 
 
b) MÉTODO SIMPLIFICADO 
 
 determinar 
8,0*d
hf
x f 
 
 
 determinar βx pela tabela Kc x Ks, cujo valor de entrada será 
Md
db
Kc
f
2

 
 
 caso 
fx x
, a LN estará na mesa. Senão, estará na nervura. 
 
 
 
LINHA NEUTRA NA MESA: 
hfx 
 
 
O cálculo é feito como uma laje 
retangular de altura hf e largura bf. 
 
Este caso é chamado de FALSO TÊ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LINHA NEUTRA NA NERVURA: 
hfx 
 
 
A mesa está totalmente comprimida. A 
área da seção comprimida é dimensionada 
em duas: 
 
Área 1: bw * 0,8x 
 
Área 2: (bf – bw) * hf 
 
Neste caso, a seção a ser considerada é 
uma SEÇÃO TÊ. 
 
 
 
Se o momento fletor for negativo, a seção transversal é sempre considerada como retangular 
A viga T permite o início dos estudos da viga. 
 
 
 
 
FLEXÃO SIMPLES 
Flexão simples é a flexão sem a força normal, apenas com a atuação do momento fletor e da força 
cortante. Caso ocorra a força normal, o campo de estudo se refere à flexão composta, mais característica 
para os pilares. 
Já no caso das lajes, despreza-se a força cortante, e temos a flexão pura. 
Para desenvolver o estudo da flexão simples, iremos nos concentrar nas vigas que, segundo a definição da 
NBR 6116, são os “elementos lineares em que a flexão é preponderante”. 
 
 
Basicamente, a função das vigas é receber as cargas das lajes e transmiti-las aos pilares. Sua armadura é 
composta de barras longitudinais (responsáveis pela resistência à tração causadas pela flexão) e por 
estribos (responsáveis pelo combate às tensões de compressão e tração geradas na seção transversal, e 
às tensões de cisalhamento). Tensão é o esforço por unidade de área, que varia de acordo com as 
características geométricas da peça. O que importa é conhecer o valor máximo. 
Num raciocínio inverso à laje armada em uma só direção, podemos comparar as barras longitudinais 
como a armação principal, e como armação secundária a armação transversal (paralela ao lado menor), 
sendo neste caso, os estribos. Quando a armadura longitudinal estiver apenas na região tracionada, é 
necessário ter um porta-estribos, composto por duas barras na região comprimida, o que mantém os 
estribos na posição de projeto. 
O método elástico especifica que devemos calcular as tensões máximas e compará-las com as tensões 
determinadas em experimentos de laboratório. Se esta for menor que aquela, garante-se a segurança. 
Este é o método de cálculo clássico, ou método das tensões admissíveis. 
No entanto, o método mais adotado atualmente consiste em calcular o momento capaz de romper a 
peça, e compará-lo com o momento solicitante calculado em função da carga atuante. O estudo é feito na 
ruína da estrutura. Obtém-se o coeficiente de segurança (ou de ponderação) dividindo-se o momento ao 
qual a peça resiste até o momento responsável pelo colapso (momento solicitante). 
 
M: momento fletor solicitante 
Cc: resultante de compressão no concreto 
Ts: resultante da tração no aço 
z: distância (braço de alavanca) 
 
 
Representação tridimensional das regiões onde ocorrem as solicitações: 
 
 
 
 
Logo, no equilíbrio, 
 Cc.Z = Ts.Z = M 
Corte esquemático de uma viga com armadura dupla e suas tensões e deformações: 
 
 
Gráficos tensão X deformação 
 
Serão estudados agora os efeitos decorrentes da TENSÃO e da DEFORMAÇÃO, respectivamente, os 
ESTÁDIOS e os DOMÍNIOS. 
 
 
ESTÁDIOS DE TENSÃO: 
A ruptura da viga por flexão é lenta e gradual; já se for causada pelos esforços cortantes é abrupta e 
imediata. Assim, a resistência da viga ao cortante deve ser maior que a resistência à flexão. 
A maneira pela qual o cálculo estrutural analisa o comportamento de uma seção de concreto consiste em 
carregá-la, gradativamente, do zero à ruptura (são aplicados esforços de ruptura: esforços máximos 
permitidos oriundos da multiplicação dos esforços solicitantes - de serviço - pelo coeficiente de 
segurança). Isto permite acompanhar 3 (ou 4) etapas bem características que uma peça estrutural 
submetida à flexão passa, do início do carregamento ao colapso. Cada uma destas etapas de tensão é 
chamada de ESTÁDIO. 
Obs: σc = tensão do concreto: σcc na compressão, σct na tração 
 σs = tensão do aço 
 fcd = limite de resistência do concreto no esmagamento (compressão) 
 fyd = limite de resistência do aço no escoamento (tração) 
 
Estádio Ia: diagrama triangular – concreto resistente à tração. 
Estádio Ib: é o início da fissuração, por tração, do concreto 
Estádio II: não se considera a resistência do concreto à tração 
Estádio III: é o início da plastificação do concreto. Esmagamento por compressão. 
 
ESTÁDIO I 
 
 
 
 
 
 
 
Concreto resistindo simultaneamente à tração e compressão: concreto não fissurado. 
ESTÁDIO Ia: σct < fct, onde fct = resistência do concreto à tração. Corresponde ao início do 
carregamento, e por isso as tensões são pequenas. O diagrama de tensões é linear ao longo da seção 
transversal da peça, conforme a lei de Hooke (a intensidade da força elástica é diretamente proporcional 
à deformação: σ = ε E).ESTÁDIO Ib: σct = fct. cálculo do momento fletor de fissuração (solicitação que pode provocar o início da 
formação de fissuras). É como se não houvesse armadura: o cálculo pode ser feito tratando a estrutura 
de CA como concreto simples: substitui-se a armadura por concreto de área α vezes a área da armadura, 
sendo α a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto. 
 
O início da fissuração, que ocorre no instante que as tensões de tração (σct) superam a resistência do 
concreto à tração (fct), determina o fim do ESTÁDIO I e início do ESTÁDIO II. É nessa fase que é calculada a 
armadura mínima. 
ESTÁDIO II 
 
 
 
 
 
 
σct > fct e σs < fyd. Concreto trabalhando à compressão no regime elástico enquanto as tensões de 
tração são desprezadas (concreto fissurado). 
Nesta etapa, o concreto já não resiste à tração, surgindo fissuras nesta região tracionada. Assim, 
despreza-se a resistência do concreto à tração; contudo a zona de compressão continua sob a lei de 
Hooke: tensões lineares, de zero (na linha neutra) ao valor máximo (na borda mais comprimida). 
No ESTÁDIO II, é possível verificar o comportamento da estrutura em serviço, seja no estado limite de 
abertura de fissuras ou no estado limite de deformações excessivas. 
Como o carregamento continua crescendo, as fissuras e a linha neutra vão na direção da borda 
comprimida, e as tensões de tração e compressão aumentam, podendo atingir ou não o escoamento – 
início do ESTÁDIO III (o ESTÁDIO II termina com o início da plastificação do concreto comprimido). 
 
ESTÁDIO III 
 
 
 
 
 
 
σcd = 0,85 (ou 0,80) fcd e σs = fyd. É o indicado para o dimensionamento no estado limite último, 
situação denominada como “cálculo na ruptura”. Os valores de cálculo do momento são obtidos pela 
multiplicação do momento característico atuante Mk pelo coeficiente de ponderação (ou de segurança), 
resultando em Md. 
O dimensionamento consiste em fazer com que as dimensões da seção sejam suficientes para que o 
colapso aconteça no momento Md. 
Como etapa final do processo, a zona comprimida está completamente plastificada e o concreto desta 
região está na iminência de ruptura. 
 
Temos que: 
Mk >> Md; o trecho é seguro, mas antieconômico. Existe excesso de materiais. 
Mk > Md: ainda há excesso de materiais, mas esta condição poderá ser considerada. 
Mk = Md: o trecho atinge o limite de segurança, com o uso adequado de materiais. 
Mk < Md: o trecho não é seguro. Faltam materiais e a viga deverá ser redimensionada. 
 
Obs: 
Para facilitar o cálculo, a Norma permite a adequação do gráfico para a forma retangular. A 
tensão é 0,85fcd se a largura da seção (na linha neutra) não diminuir em direção da borda 
comprimida. Caso contrário, adota-se 0,80fcd. 
 
O efeito Rusch é levado, portanto em consideração. Trata-se da correção entre os ensaios 
medidos em laboratório, de curta duração, e os carregamentos reais de longa duração. 
 
 
 
 
 largura da seção = 0.85 fcd largura da seção = 0.80 fcd 
 
Para que o raciocínio de cálculo no ESTÁDIO III seja viável, algumas hipóteses devem ser seguidas (as 
mesmas serão melhor detalhadas um pouco mais à frente): 
- As seções transversais se mantém planas até a ruptura; 
- O encurtamento de ruptura do concreto à compressão é igual a 3,5 mm/m, ou 3,5%0 (três e meio 
permilagem, ou por mil) . 
- O alongamento máximo do aço na tração é de 10mm/m, ou 10 %0 (dez permilagem, ou por mil). 
 
 
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO: 
Agora, serão vistas as deformações. Considera-se que o colapso de uma estrutura à flexão ocorre na 
ruptura do concreto submetido à compressão ou da armadura submetida à tração. Quando o aço ou o 
concreto atinge seu limite de deformação causada por tensões de compressão e tração (ocasionando, 
respectivamente, encurtamento e alongamento), entra-se no campo chamado DOMÍNIO. São, portanto, 
representações das deformações (ε) existentes na seção transversal. 
Obs: εsd = deformação de alongamento do aço 
 εyd = deformação do início do escoamento do aço 
 εcd = deformação de encurtamento da fibra mais tracionada de concreto 
 
Esta é uma representação dos oito tipos de domínios relacionados à diferentes solicitações. 
Vê-se a seção lateral de uma peça estrutural, no caso, uma viga, com a indicação da armadura positiva 
(As2) e da negativa (As1) 
Os limites de 3,5%0 (encurtamento do concreto) e 10%0 (alongamento do aço) foram fixados no diagrama, 
forçando as linhas dos domínios se inclinarem (são linhas retas pois, na hipótese de cálculo do ESTÁDIO 
III, as seções transversais se mantém planas até a ruptura). 
A linha neutra percorre o espaço de - a + . Entre X=0 e X=h, a LN estará dentro da seção da peça. 
 
RETA A: 
É uma linha que representa a tração uniforme (ou axial): 
todos os pontos, inclusive as armaduras, estão com 
tração no limite (εyd =10 ‰). As armaduras As1 e As2 
estão com a mesma tensão de tração fyd (a mesma do 
início de escoamento do aço). 
A força normal está no centro de gravidade da seção 
transversal. 
Como só existe tração (εcd=0), a linha neutra está acima 
da borda superior da peça, tendendo a - 
DOMÍNIO 1: 
A seção está totalmente tracionada (εcd=0), sendo as armaduras a única fonte de resistência. Porém, a 
tração não é uniforme, pois a deformação varia, na borda superior, de 10 ‰ a 0 (10%0 <= εyd <= 0). Na 
armadura inferior, a deformação permanece em 10 ‰ (εyd = 10 ‰) 
Assim, a linha neutra desce de - a zero, e está fora da seção transversal, com X (altura da LN) negativo. 
No momento que passa pela borda superior, dá-se o limite entre os domínios 1 e 2. 
Neste domínio, o concreto está inteiramente fissurado, e a ruína se dá pelo alongamento do aço 
 
DOMÍNIO 2: 
É quando o concreto começa a sofrer encurtamento causado pela compressão. Em decorrência desta 
deformação, o domínio 2 é subdividido em duas partes: 
- Domínio 2a: a deformação vai de 0 a 2%0 (0 <= εcd <= 2%0) 
- Domínio 2b: a deformação vai de 2%0 a 3,5%0 (2 <= εcd <= 3,5%0) 
Como a seção transversal tem parte tracionada e parte comprimida, a linha neutra inicia-se em zero, e 
cresce até o valor X2lim (0 ≤ X ≤ X2lim), cujo cálculo será visto mais adiante. 
Assim, classifica-se o domínio 2 como dimensionamento à seção subarmada, uma vez que a armadura 
tracionada é aproveitada ao máximo, com εsd = 10 ‰, mas o concreto comprimido não, com 
εcd ≤ 3,5 ‰ (como se houvesse sobra, desperdício de concreto). 
Este domínio configura-se como a divisa entre a ruína por exclusivo alongamento da armadura e a 
ruptura do concreto comprimido (próximos domínios). 
 
DOMÍNIO 3: 
No início deste domínio, o dimensionamento também está no modo subarmado. 
Na borda superior, o concreto está comprimido no valor máximo de εcd = 3,5 ‰, estando assim, na 
ruptura. Na borda inferior, a deformação de alongamento na armadura tracionada está entre a 
deformação de início de escoamento do aço e 10 ‰ (εyd <=εsd <= 10%0). Desta forma, a tensão na 
armadura é a máxima permitida, fyd. 
 A altura da linha neutra varia de X2lim até X3lim (X2lim ≤ X ≤ X3lim), servindo de fronteira entre os domínios 3 
e 4. 
Na situação última deste domínio, a ruptura do concreto comprimido (encurtamento do concreto) ocorre 
simultaneamente com o escoamento da armadura tracionada (alongamento do aço): seção normalmente 
armada. 
 
 
DOMÍNIO 4 
Na borda superior, o concreto continua na ruptura, comprimido no valor máximo de 3,5 ‰. 
O aço, porém, não atinge o escoamento, e considera-se este domíniocomo seção superarmada: a 
deformação de alongamento na armadura tracionada varia de zero até εyd , ou seja, a tensão na 
armadura é menor que a máxima permitida, fyd. A ruína é pelo encurtamento do concreto. 
A altura da linha neutra pode variar de X3lim até a altura útil d (X3lim ≤ X ≤ d), sendo que, se ultrapassar, 
entra-se no DOMÍNIO 4a, válido apenas para a flexo-compressão. 
 
DOMÍNIO 4A 
A seção está quase totalmente comprimida. A ruína permanece causada pela deformação de 
encurtamento máximo do concreto na borda superior comprimida (εcd =3,5 ‰). A borda inferior está 
com 0 <= εsd <= εyd. 
 Ambas as armaduras encontram-se comprimidas, embora a armadura próxima à linha neutra tenha 
tensões muito pequenas (portanto, esta armadura é mal aproveitada). 
A linha neutra ainda está dentro da seção transversal, na região de cobrimento da armadura menos 
comprimida, ou seja, d ≤ X ≤ h. 
 
 
 
DOMÍNIO 5 
A seção está totalmente comprimida. A linha neutra está fora da seção transversal, com altura variando 
de h até +. A ruína acontece pelo encurtamento do concreto. 
Neste domínio é definido o ponto C, existente a 3/7 h a partir da borda mais comprimida. É por este 
ponto que passa a linha inclinada do diagrama de domínios. 
Na borda superior, o encurtamento do concreto εcd varia de 2 ‰ a 3,5 ‰ e na borda menos 
comprimida, εcd varia de 0 a 2 ‰. Considera-se a seção superarmada (εyd = 0). 
O diagrama terá forma de um triângulo (quando a altura da LN for igual a h) ou, com seu contínuo 
deslocamento, de um trapézio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
RETA B 
A compressão é uniforme, com a força normal de compressão 
aplicada no centro de gravidade da seção transversal . A linha está 
em +∞ , e todos os pontos da seção possuem encurtamento de 2 
‰. 
 
 
 
 
Conclusão: para a flexão simples, são utilizados apenas os domínios 2, 3 ou 4. 
 
DOMÍNIO 2 e 3: 
 seção subarmada. 
 A armadura escoa antes da ruptura do concreto à compressão. 
 
ydsd  
 isto é, o alongamento tracionado é maior ou igual ao alongamento de escoamento. 
DOMÍNIO 4: 
 seção superarmada. 
 O concreto atinge o encurtamento de ruptura antes da armadura escoar. 
 
ydsd  
 
 
DIMENSIONAMENTO DE VIGAS: 
Um ponto fundamental para início do cálculo é a obtenção da altura X da linha neutra. Ela dependerá do 
tipo de aço. Obs: 
dX 0
 
 
LIMITE ENTRE O DOMÍNIO 2 E O DOMÍNIO 3: 
 
dX
Xxd
259,0
0035,001,0
3/2lim



 
 
 
 
 
 LIMITE ENTRE O DOMÍNIO 3 E O DOMÍNIO 4: 
 
 
0035,0
0035,0
0035,0
4/3lim 



yd
yd
d
X
Xxd


 
 
 
 
 CA-25 CA-50 CA-60 
εyd (%0) 1,04 2,07 2,48 
domínio 2 
dX 259,00 
 
dX 259,00 
 
dX 259,00 
 
limite 2/3 
dX 259,0lim 
 
d259,0
 
d259,0
 
d259,0
 
domínio 3 
dXd 771,0259,0 
 
dXd 628,0259,0 
 
dXd 585,0259,0 
 
limite 3/4 
0035,0
0035,0
lim


yd
d
X

 d771,0
 
d628,0
 
d585,0
 
domínio 4 
dXd 771,0
 
dXd 628,0
 
dXd 585,0
 
 
Lembrando que 
 aço CA-25: 
 
 
 
 
 aço CA-50: 
 
 
 
 
 aço CA-60: 
0 











%04,1001035,0
000.210
39,217
39,217
15,1
250
250
yd
MPafyd
MPafyk













%07,2002070,0
000.210
78,434
78,434
15,1
500
500
yd
MPafyd
MPafyk

0 
 












%48,200248,0
000.210
74,521
74,521
15,1
600
600
yd
MPafyd
MPafyk

0 
 
Módulo de elasticidade do aço = 
210 GPa = 210.000 MPa 
ROTEIRO PARA O DIMENSIONAMENTO: 
1) determinar a altura da linha neutra 
 
a. braço de alavanca Z = d – 0,4X 
 
b. Md = Rc * Z = (0,85fcd * 0,8X * bw) * d -0,4X 
 
 
Obs: as fórmulas então podem ser 
 
Md = 0,68 * fcd * X * bw * (d − 0,4* X) ou 
 
 
Md = (0,68 * X * d – 0,272* X2 )* fcd* bw 
 
 
2) verificar a limitação de X pela Norma: 
 para 
 
 para 
 
Caso esta limitação seja ultrapassada, entramos com o valor de fck e de Kc na tabela Kc x Ks para 
determinar o novo βx. Com este novo valor de βx, teremos X = βx *d. 
Obs: lembrando que 
 
3) definição do domínio: compara-se a altura da LN obtida com os limites X2lim ou X3lim: 
 
a. se for no domínio 2 ou 3: seção subarmada: a armadura escoa antes. 
Igualamos σsd com fyd. 
 
b. se for no domínio 4: seção superarmada: o concreto rompe antes. 
Entramos no gráfico Tensão X Deformação com εsd para determinar σsd 
 
4) cálculo da seção: 
 
a. se for no domínio 2 ou 3: 
 
b. se for no domínio 4: 
 
 
Obs: se X foi obtido por meio de X = βx *d, a área da seção será 
MPafck 50








35,0
45,0
x
x
d
X
x



MPafck 50
Md
dbw
Kc
2*

ydsd  
ydsd  
fydZ
Md
As
*

sdZ
Md
As
*

sdd
Md
KcAs 
5) armadura mínima: 
 
6) espaçamento entre as bitolas: 
 
 
 
dMáx: 
 
 
 
 
 
7) A armadura dupla é necessária no DOMÍNIO 4: estas barras ajudam na resistência à compressão: 
 
7.1 – Calcula-se M2d, que é a resultante da compressão sobre o aço multiplicada por (d – d´). 
 
 M2d = σ´sd * (d – d´), onde σ´sd é a tensão de encurtamento do aço. 
 
 
7.2 – calcula-se A´s: 
 
 
 
 7.3 – calcula-se As: 
 
 
 
 
Obs: 
 uma viga deve ter largura mínima de 12cm, exceto para vigas parede, que deve ser 15cm. 
 
 vigas parede são vigas altas, onde a relação comprimento/altura é menor que 2 (vigas biapoiadas) 
ou 3 (vigas contínuas), podendo receber carregamentos superiores ou inferiores. 
 
 uma viga deve ter altura mínima de 25cm, padronizada de 5 em 5cm. 
 
 caso a viga tenha mais que 60cm de altura, faz-se necessário o uso de armaduras de pele, que são 
barras longitudinais dispostas no meio da seção para evitar o surgimento de fissuras na parte 
tracionada. 
 
BRITA DIÂMETRO (mm) 
0 4,8 a 9,5 
1 9,5 a 19 
2 19 a 25 
3 25 a 38 
hbAs mínmín **






dMáx
cm
eV
5,0
2







dMáx
cm
eH
2,1
2

´)(´
2
´
dd
dM
sA
sd 


´)(
2
)4,0( dd
dM
Xd
Md
As
sdsd 


 