Gabriella Gonçalves Sobral Relatorio pendulo simples 2016

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Gabriella Gonçalves Sobral
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto Armando Dias Tavares
Departamento de Física Nuclear e Altas Energias
Relatório de Física Geral
Pêndulo simples
Professora Márcia Begalli 
Rio de Janeiro 
2016
Objetivo do Experimento 
Estudar as características do pêndulo simples e determinara gravidade local. 
 Introdução Teórica 
O pêndulo simples é um sistema constituído de um fio inextensível e de massa desprezível que contém comprimento l, tendo em sua extremidade inferior um corpo de massa m e sua extremidade superior fixa em um ponto, tal que ele possa oscilar livremente. 
Figura 1 : Esquema ilustrando a trajetória do pêndulo.
A forma mais simples de oscilação, o movimento harmônico simples (MHS), é o movimento que ocorre quando numa trajetória retilínea, uma partícula oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio sob a ação de uma força resultante. 
Neste caso, quando o corpo de massa m é deslocado de sua posição de repouso e solto, o pêndulo realiza oscilações e ao considerarmos desprezível a resistência do ar, as únicas forças atuantes sobre o pêndulo serão a tensão com o fio e o peso da massa m. Desta forma: 
Figura 2: Esquema ilustrando as forças que atuam sobre o pêndulo.
A componente da força Peso que é dada por P.cosθ se anulará com a forca Tensão do fio, sendo assim, a única causa do movimento oscilatório será a P.senθ. Então:
Px = P.senθ = m.g.senθ 
Note que esta força não é proporcional ao deslocamento angular θ, e sim a senθ; o movimento resultante, portanto, não será harmônico simples.
 No entanto, se o ângulo θ for muito pequeno (até 15°), o senθ será aproximadamente igual a θ (medido em radianos), por exemplo: 
θ = 5° = 0,0873 radiano, logo senθ = 0,0873
θ = 10° = 0,1745 radiano, logo senθ = 0,1736
θ = 15° = 0,2618 radiano, logo senθ = 0,2588
O deslocamento ao longo do arco é 𝑥 = L.θ, e para pequenos ângulos, o movimento será praticamente retilíneo. Portanto, supondo senθ θ = , podemos reescrever a equação da seguinte forma:
F = m.g.senθ 
m.a = m.g. 
a = . 𝑥 
Sendo f a frequência, T o período e 𝜔 a grandeza denominada pulsação, temos: 
f = e 𝜔 = 2𝜋f = 
Sendo aceleração no MHS definida como: 
|𝑎| = 𝜔². 𝑥 
Podemos substituir a equação (5) na (6), obtendo-se: 
𝑎 = . 𝑥 
Comparando a equação (7) com a equação (4), podemos escrever:
= → 𝑇 = 2𝜋 
Logo, observa-se que o período do pêndulo simples independe de sua massa e a aceleração da gravidade pode ser obtida da seguinte relação:
 = 4𝜋² 
Esquema Experimental 
Figura 3: Esquema de montagem do pêndulo simples com o transferidor.
Material utilizado 
Kit fornecido pelo laboratório de Física Geral
Corpo de massa 20g
Fio de comprimento variável dentro do intervalo de 60 cm a 100 cm
Trena para medida do fio
Transferidor para medida do ângulo inicial do pêndulo
Cronômetro para medida do tempo de oscilação do pêndulo
Procedimento Experimental 
Após a montagem do kit, ajustamos o comprimento do fio do pêndulo para 100cm e verificamos o erro da menor divisão da trena de ± 1 mm. Damos início ao procedimento. 
Deslocamos o corpo até um ângulo de 5°, e soltamos o corpo simultaneamente ao acionamento do cronometro, contamos o tempo de 20 oscilações e assim obtemos o nosso primeiro tempo, repetimos a medição por 10 vezes
Repetimos o procedimento para os ângulos 10° e 15°.
Diminuímos o comprimento do pêndulo para 90 cm, 80 cm, 70 cm e 60 cm e marcamos o seu respectivo tempo de 20 oscilações para cada comprimento. 
(Lembrando que escolhemos angulações pequenas (inferiores a 15 °) para considerarmos um pêndulo simples.
Valores de referência/Dados:
Aceleração da gravidade é dada por: 
 g=4𝜋² 
Onde L é o comprimento do fio medido em metros (m) e T² é o período ao quadrado medido em segundos ao quadrado (s²).
a propagação de erro por:
g = x g 
Tabela 1: Média do tempo, erro, média do período e o do erro período para seus respectivos comprimentos.
	θ(°)
	L(cm)
	T1(s)
	T2(s)
	T3(s)
	T4(s)
	T5(s)
	T6(s)
	T7(s)
	T8(s)
	T9(s)
	T10(s)
	
	σ τ
	
	σ T
	5
	100
	39,62
	39,69
	39,56
	39,59
	39,92
	39,56
	39,67
	39,72
	39,42
	39,60
	39,635
	0,124
	1,982
	0,0991
	10
	100
	40,09
	39,63
	39,69
	40,03
	39,70
	39,78
	40,02
	39,59
	39,60
	39,67
	39,783
	0,181
	1,989
	0,00905
	15
	100
	39,77
	39,72
	39,83
	39,47
	39,71
	39,45
	39,74
	39,83
	40,07
	39,63
	39,722
	0,171
	1,986
	0,00855
	10
	90
	37,44
	37,12
	37,63
	37,74
	37,66
	37,64
	37,78
	37,60
	37,19
	37,23
	37,503
	0,242
	1,875
	0,0121
	10
	80
	35,44
	34,62
	36,37
	35,52
	36,47
	36,53
	36,47
	35,73
	36,57
	36,67
	36,039
	0,678
	1,802
	0,0399
	10
	70
	30,55
	31,78
	31,64
	31,03
	30,79
	31,78
	31,63
	31,77
	30,69
	31,53
	31,319
	0,497
	1,7159
	0,0249
	10
	60
	33,77
	33,70
	33,93
	34,07
	34,33
	33,73
	33,09
	33,27
	34,03
	33,65
	33,757
	0,369
	1,6879
	0,0185
Tabela 2: Média do tempo, erro, média do período e o erro do período para L=100 cm 
	L(cm)
	
	σ τ
	
	σ T
	100
	39,713
	0,159
	1,986
	0,0389
Compatibilidade
Tabela3: Compatibilidade entre as medidas do período para os três ângulos iniciais, para L=100cm
	θ(°)
	5 e 10
	5 e 15
	10 e 15
	
	Compatível
D=0,676σ
	Compatível
D=0,412σ
	Compatível D=0,245σ
Onde D é a discrepância entre os dois valores analisados. Como os valores são compatíveis, podemos assumir que é um pêndulo simples.
Tabela 4: Período, gravidade e propagação de erro para seus respectivos comprimentos.
	L(m)
	(s)
	σT
	g (m/)
	g (m/)
	100
	3,5948
	0,159
	10,01
	0,1
	0,9
	3,516
	0,242
	10,10
	0,13
	0,8
	3,247
	0,678
	9,73
	0,43
	0,7
	2,944
	0,497
	9,38
	0,20
	0,6
	2,849
	0,369
	8,31
	0,17
Fazendo o gráfico obtemos a seguinte equação da reta: 
L = a + b
L=0,31 x -0,2
L= 0,82 
Substituímos na equação a = g/4π² o valor encontrado deste coeficiente angular da reta (a) para que calculemos o valor da gravidade, adotando π= 3,14.
0,31= g/4(3,14)² 
g= 39,4784176 x 0,31
g= 12,24 m/s²
Derivando a mesma equação, obtemos o erro da gravidade:
ɗa = ɗg/4π² → σa = σg/4π²
σg = 4(3,14)² x 0,01
σg = 0,39 m/s²
Logo, como estimativa-padrão para a aceleração da gravidade, encontramos:
g = (12,24 ± 0,39) m/s²
Tabela 5: Valores obtidos 
	
Método:
	
Gravidade – g (m/s²):
	Valor esperado
(m/s²)
	Compatibilidade
	Ajuste linear
	12,24 ± 0,39
	9,80
	Inconclusivo
	Média 
	10,01 ± 0,1
	9,80
	Inconclusivo 
Compatibilidade
A diferença entre a medida obtida pela média e pelo ajuste linear é de 5,58 , sendo então incompatível.
Conclusão
Fizemos as medidas e determinamos uma medida e o desvio padrão e obtivemos o valor: 10,01 ± 0,1. Verificamos que esse valor é inconclusivo e sua discrepância é de 2,1σ . Fizemos a propagação de erro para verificar a incerteza que teríamos na medida, verificamos que conforme o comprimento diminui, o erro tende a aumentar, por isso procuramos fazer o pêndulo com o maior comprimento possível. Por outro lado, verificamos que o comprimento não é a única coisa que interfere, o erro na medida do período também influencia, visto que temos um erro maior quando o comprimento é 0,8 cm do que quando temos 0,7 (tabela 4), por consequência do tempo de reação humano ao acionar o botão do cronômetro.
Determinamos a aceleração da gravidade através do ajuste linear. A gravidade deu muito alta e não é compatível com o valor de referência nem com o valor obtido através da média, não entendemos o que aconteceu, verificamos as contas e provavelmente aconteceu algum erro na hora de contar o número de oscilações. Pode ter acontecidodo tempo ter sido medido de forma errada. Provavelmente medimos além de 20 oscilações. Para ter certeza do que aconteceu precisaríamos refazer o experimento, mas não houve tempo hábil. 
Bibliografia 
SANTORO, A. et al. Estimativas e erros em experimentos de física. 3. ed. [S.l.]: EdUerj, 2013. 140 p. ISBN 978-85-7511-284-7. 
WIKIPEDIA. Pêndulo. 2013. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Pndulo
SÓ FISICA. Pêndulo Simples. Disponível em: http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php