Prova 6

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Ca´lculo Prova 6 30/11/2011
Nome: RA:
1. Considere a func¸a˜o f(x, y) = ln(1 + x2 + y2) e suponha que x = sen(3t) e y = cos(3t).
Encontre ∂f
∂t
utilizando dois me´todos:
a. Substituindo diretamente x e y e derivando com relac¸a˜o a t
b. Utilizando a regra da cadeia.
2. Suponha que a temperatura no plano xy seja dada em cada ponto pela func¸a˜o
T (x, y) = 16− 2x2 − y2
a. Encontre as derivadas parciais de T . O que essas derivadas representam?
b. Qual a taxa de variac¸a˜o da temperatura no ponto (2, 1) na direc¸a˜o do vetor
(
3
5
,−4
5
)
?
c. Qual a direc¸a˜o de maior taxa de variac¸a˜o da temperatura a partir do ponto (2, 1)? Qual e´
essa taxa?
d. Encontre os pontos cr´ıticos de T e os extremos locais, caso existam.
e. Encontre o maior e o menor valor de T (x, y) se considerarmos apenas os pontos (x, y) que
esta˜o sobre a circunfereˆncia x2 + y2 = 4.
3. Calcule (fac¸a apenas 2 itens):
a.
∫∫∫
S
xz(9 − y2) dV , onde S e´ o paralelep´ıpedo limitado pelos planos x = 0, x = 2,
y = 0, y = 3, z = 0 e z = 1.
b.
∫∫
D
x
y
dA, onde D e´ a regia˜o no plano limitada pelas retas x = 0, x = 1, y = 1 e
pela curva y = ex.
c. Volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + 3z = 6, x = 0, y = 0 e z = 0.
4. Considere a func¸a˜o f(x, y) = 3−y
3
com (x, y) variando dentro de um c´ırculo de raio 3, ou
seja, x2 + y2 ≤ 9.
a. Mostre que nessa regia˜o f(x, y) ≥ 0. (obs: verifique os extremos da func¸a˜o no inte-
rior do c´ırculo achando os pontos cr´ıticos, e na fronteira pelo me´todo de Lagrange)
b. Calcule o volume do so´lido limitado pelos planos y+3z = 3, z = 0 e pelo cilindro x2+y2 = 9
5. Discuta o significado da mudanc¸a de coordenadas e como isso pode nos auxiliar ao fazer
integrais. Fale um pouco sobre as mudanc¸as de coordenadas que vimos (polar, cil´ındrica e
esfe´rica) fornecendo suas fo´rmulas.
BOA PROVA!!!