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Cálculo III – Resumos e exercícios - Profª Roselene Nunes de Lima 
Profª Roselene Nunes de Lima 
8825-2987oi 9645-4560 tim 
roseanis@ig.com.br 
 
A REVISÃO É IMPORTANTE 
 
Aproveite para revisar, concomitantemente com as aulas: 
 Trigonometria: razões e relações; 
 Potenciação e radiciação: propriedades; 
 Funções: exponencial, logarítmica, par, ímpar, trigonométricas e polinomiais; 
 Derivada: técnicas de derivação. 
 
É muito importante ter habilidades com calculadora científica, durante o curso todo iremos 
precisar dela. Sugiro que se faça a leitura sobre quaisquer textos científicos, além de vocês 
procurarem responder problemas de raciocínio lógico combinatório, analítico e sintético, pois 
engenheiros e engenheiras precisam saber ler e escrever muito bem, a leitura subsidia a boa escrita. 
Muito sucesso! Contem comigo, sempre. Rose 
 
O QUE É MODELO MATEMÁTICO? 
Na área das ciências aplicadas, um modelo matemático é um tipo de modelo científico que 
utiliza algum formulismo matemático para expressar relações, predições, variáveis, parâmetros, 
entidades e relações entre variáveis e/ou entidades ou operações. 
Estes modelos são usados para analisar os comportamentos de sistemas complexos em 
situações geralmente difíceis de observar na realidade. 
Fonte: http://conceito.de/modelo-matematico 
 
Indicação de livros 
 
 
 
Dicas e sugestões sobre os livros: 
1. Cálculo, vol. 2: é ótimo, tem muita leitura boa e tem muitas questões contextualizadas. 
Também indico para equações diferenciais (1º livro) Tem na biblioteca. 
2. Cálculo de várias variáveis: é o melhor para se estudar neste semestre, leitura muito didática. 
Tem muitas questões contextualizadas (2º livro) 
3. O guia completo para quem não é CDF – cálculo: é o melhor livro para se obter dicas e 
sugestões dos três cálculos e de equações diferenciais. Numa linguagem clara e divertida, 
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quem estuda com ele fica mais ligado (a). Digamos que ele seja o “manual do James Stwart”. 
Sugiro que comprem e leiam todo. Média de preço R$65,00. Se comprarem nos sebos on-line 
fica mais barato. (3º livro) 
4. Cálculo B: as autoras têm uma linguagem clara e objetiva, não tem muitas questões 
contextualizadas. (4º livro) Tem na biblioteca. 
 
Para estudar um curso universitário, os alunos não podem depender apenas de um livro. 
 
EMENTA A SER ESTUDADA DURANTE ESTE PERÍODO 
 
 Função de várias variáveis: problemas e gráficos; 
 Curvas parametrizadas e superfícies de nível; 
 Limites; 
 Derivadas parciais de 1ª ordem; 
 Derivadas parciais de 2ª ordem, mistas e de ordem superior; 
 Matriz jacobiana; 
 Derivada direcional; 
 Gradiente de uma função e propriedades; 
 Pontos críticos. Estudo de máximos e mínimos de funções de várias variáveis; 
 Multiplicadores de Lagrange: aplicação e problemas de máximos e mínimos. 
 
FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
Função de duas variáveis 
 
Seja D um subconjunto (região) do espaço 𝑅2 (plano). Chama-se função 𝑓 de 𝐷 toda relação 
que associa, a cada par (𝑥, 𝑦) 𝜖 𝐷, um único número real, representado por 𝑓(𝑥, 𝑦). O conjunto 𝐷 é 
o domínio da função. 
Assim, 𝐷 é o domínio da função em 𝑅2, 𝑓 é a função 𝑓(𝑥, 𝑦) é o valor da função calculado em 
(𝑥, 𝑦). 
 Uma função de duas variáveis pode ser representada graficamente por curvas de nível, 
numericamente por uma tabela de valores, ou algebricamente por uma fórmula. 
Domínio: obter o domínio da função 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2
√3𝑥−𝑦
; 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ⊂ 𝑅2/3𝑥 − 𝑦 > 0} 
 
Questões de funções de uma variável: 
1. O táxi cobra R$0,60 por quilômetro rodado mais uma taxa fixa de R$4,75. Qual função descreve 
o texto? 
 
 
2. Suponha que uma pessoa percorreu 30 km no táxi da questão (1), qual será o valor da viagem? 
 
 
3. Suponha que uma pessoa viajou uma determinada distância no táxi da questão (1) e pagou 
R$45,55. Qual foi a distância? 
 
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4. Suponha que um quarto esteja sendo resfriado de acordo com o modelo 𝑇(𝑡) = √576 − 𝑡, 
onde t (horas) e T (graus Celsius). Se iniciarmos o processo de resfriamento em 𝑡 = 0, quando 
esse modelo deixará de ser válido? Por quê? 
 
 
 
 
 
 
NOTAÇÃO DE FUNÇÃO: Um exemplo 
 
Suponha que você queira comprar uma televisão que é muito cara e você não comprará a 
vista. Se você for pagar em parcelas deverá saber o valor da taxa de juros e quanto pagará, sabendo 
que você determinará em quantas parcelas comprará a TV. 
 Vou chamar de 𝑃, o pagamento mensal da TV, de 𝑉 o valor da TV e 𝑖 a taxa de juros, então: 
𝑃 = 𝑓(𝑉, 𝑖) 
𝑃 é a variável dependente, 𝑉 e 𝑖 são variáveis independentes, ou seja, 𝑃 depende de 2 valores para 
existir, do valor da TV e da taxa de juros. 
 
Questões de funções de várias variáveis: 
 
1. Uma empresa fabrica caixas de papelão de três tamanhos: pequena, média e grande. O custo é 
de R$2,50 para fabricar uma caixa pequena, R$4,00 para uma caixa média e R$4,50 para uma 
caixa grande. Os custos fixos são de R$8.000,00. 
a) Expresse o custo da fabricação de 𝑝 caixas pequenas, 𝑚 caixas médias e 𝑔 caixas grandes como 
uma função de três variáveis, respectivamente. 
b) Encontre 𝑓(3000, 5000, 4000) e interprete-a. 
c) Qual é o domínio de 𝑓? 
 
 
 
 
 
2. Um fabricante estima que sua produção (medida em unidades de um produto) pode ser 
modelada por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 100𝑥0,6𝑦0,4, em que a mão de obra x é medida em pessoas-hora e 
o capital y, em milhares de dólares. 
a) Qual é o nível de produção quando x = 1000 e y = 500? 
b) Qual é o nível de produção quando x = 2000 e y = 1000? 
c) Quando dobrar a quantidade de mão de obra e capital dos itens (a) e (b) como afeta a 
produção? a) ≅75.786 unidades b) ≅151.572 unidades 
 
 
 
 
 
 
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3. O pagamento mensal M de um empréstimo parcelado de P reais tomado por t anos a uma taxa 
de juros anual de r é dada por 
𝑀 = 𝑓(𝑃, 𝑟, 𝑡) =
𝑃𝑟
12
1 − [
1
1 +
𝑟
12
]
12𝑡 
a) Determine o pagamento mensal de uma hipoteca residencial de R$100.000,00, tomada por 
trinta anos a uma taxa anual de juros de 7%. 
b) Determine o pagamento mensal do financiamento de um automóvel no valor de 
R$22.000,00, tomado por cinco anos a uma taxa anual de juros de 8%.a) ≅R$665,30 b) ≅R$446, 08 
 
 
 
 
 
 
 
4. Um população que cresce exponencialmente satisfaz a equação 𝑃(𝐴, 𝑘, 𝑡) = 𝐴𝑒𝑘𝑡, onde P é a 
população no instante t, A é a população inicial (para t = 0) e k é a taxa de crescimento relativo 
(per capita). A população de um certo país é atualmente de 5 milhões de habitantes e está 
crescendo a taxa de 3% ao ano. Qual será a população daqui a 7 anos? 
 6.200.000 habitantes 
 
 
 
 
 
 
CONSUMO DIÁRIO DE ENERGIA 
5. Suponha que uma pessoa com I anos de idade tenha p quilogramas de peso e a centímetros de 
altura. Nesse caso, de acordo com as equações de Harris-Benedict, o consumo basal de energia, 
em quilocalorias, será dado por: 
 
𝐵ℎ = 66,47 + 13,75𝑝 + 5,00𝑎 − 6,77𝐼 No caso de um homem 
𝐵𝑚 = 655,10 + 9,60𝑝 + 1,85𝑎 − 4,68𝐼 No caso de uma mulher 
 
a) Determine o consumo basal de energia de um homem de 22 anos de idade com 90 kg de peso 
e 1 m e 90 cm de altura. 2.105,03 kcal 
b) Determine o consumo basal de energia de uma mulher de 27 anos de idade com 61 kg de 
peso e 1 m e 70 cm de altura. 1.428,84 kcal 
c) Um homem mantem um peso de 85 kg e uma altura de 1 m e 93 cm durante toda vida adulta. 
Em que idade seu consumo basalde energia é de 2018 quilocalorias? 
 27 anos 
d) Uma mulher mantem um peso de 67 kg e uma altura de 173 cm durante toda vida adulta. Em 
que idade seu consumo basal de energia é de 1504 quilocalorias? 
 24,4 anos 
e) Calcule o seu consumo basal. Você me diz 
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6. Calcule o domínio de cada função: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 
1
√𝑥2+𝑦2−5
 
b) 𝑔(𝑤, 𝑡) = √9 − 𝑤2 − 𝑡2 
c) 𝑧 = 𝑙𝑛(𝑥2 + 𝑦2 − 25) 
d) 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 
1
−𝑥+𝑦
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Exprima: 
a) O volume 𝑉 de um cone circular reto em função do raio da base 𝑟 e de altura ℎ. 
 
 
 
b) A área A de um trapézio em função dos lados paralelos 𝑥 e 𝑦, e da altura ℎ. 
 
 
 
 
8. Para um mol de gás ideal, a Equação de Clayperon estabelece que 𝑃𝑉 = 𝑅𝑇, onde 𝑝 é a pressão, 
𝑉 é o volume ocupado, 𝑇 a temperatura absoluta e 𝑅 uma constante universal. 
a) Exprima o volume como função da pressão e da temperatura. 
 
 
 
b) Exprima a pressão em função do volume e da temperatura. 
 
 
 
c) Exprima a temperatura em função da pressão e do volume. 
 
 
 
 
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Texto para as questões de 9 a 13 
 
A onda 
 
Suponha que você está num estádio onde a audiência está fazendo a onda. Este é um ritual 
em que membros da audiência se levantam de modo a criar uma onda que se desloca à volta do 
estádio. Normalmente uma única onda viaja a toda volta do estádio, mas podemos supor que há uma 
sequência contínua de ondas. Que espécie de função descreveria o movimento da audiência? Para 
conservar simples as coisas, olhamos só uma fileira de espectadores. Consideramos a função que 
descreve o movimento de cada indivíduo na fileira. Este é função de duas variáveis: 𝑥 (número do 
lugar) e 𝑡 (tempo em segundos). Para cada valor de 𝑥 e 𝑡 escrevemos ℎ(𝑥, 𝑡) para a altura (em 
centímetros) acima do solo da cabeça do espectador no lugar de número 𝑥 ao tempo de 𝑡 segundos. 
Suponhamos que nos dizem que ℎ(𝑥, 𝑡) = 150 + 30𝑐𝑜𝑠(0,5𝑥 − 𝑡) 
9. Explique o sentido de ℎ(𝑥, 5) em termos da onda. Ache o período de ℎ(𝑥, 5). O que representa 
esse período? 
 
 
 
 
 
 
 
10. Mostre que o gráfico de ℎ(7, 𝑡) tem a mesma forma que o gráfico de ℎ(2, 𝑡). 
 
 
 
 
 
 
 
11. Use o resultado da questão (10) para achar a velocidade da onda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Use as funções ℎ(𝑥, 5) e ℎ(𝑥, 6) para mostrar que a velocidade da onda é de 2 lugares por 
segundo. 
 
 
 
 
 
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13. Suponhamos que função onda no estádio fosse ℎ(𝑥, 𝑡) = 150 + 30𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 2𝑡). Como essa onda 
se compara com a onda original? Qual é a velocidade dessa onda (em lugares por segundo)? 
 
 
 
 
 
 
 
14. Você está planejando uma longa viagem de carro e sua despesa principal será com gasolina. 
a) Faça uma tabela mostrando como o custo diário de combustível varia como função do preço 
da gasolina (em reais por litro) e do número de litros que você compra cada dia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Se seu carro faz 9 km para cada litro de gasolina, faça uma tabela mostrando como varia o 
custo diário de combustível como função da distância percorrida cada dia e do preço da 
gasolina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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15. A temperatura ajustada para o fator vento é uma temperatura que diz quanto frio se percebe 
como combinação de vento e temperatura. A tabela abaixo mostra a temperatura ajustada para 
o fator vento como função de velocidade do vento e da temperatura. 
Velocidade 
do vento 
Temperatura (°F) 
(mph) 35 30 25 20 15 10 5 0 
5 33 27 21 16 12 7 0 - 5 
10 22 16 10 3 - 3 - 9 - 15 - 22 
15 16 9 2 - 5 - 11 - 18 - 25 - 31 
20 12 4 - 3 - 10 17 - 24 - 31 - 39 
25 8 1 - 7 - 15 - 22 - 29 - 36 - 44 
 
a) Se a temperatura é de 0°F e a velocidade do vento é 15 mph, quão frio parece? 
b) Se a temperatura é de 35°F que velocidade do vento faz parecer 22°F? 
c) Se a temperatura é de 25°F que velocidade do vento faz parecer 20°F? 
d) Se o vento soprar a 15 mph que temperatura parece ser de 0°F? 
 
GRÁFICOS 
Para funções de uma variável faremos o gráfico no plano cartesiano bidimensional, 𝑅2. Na 
função de duas variáveis faremos o gráfico no plano cartesiano tridimensional, 𝑅3. 
 
CURVA DE NÍVEL: observe o parabolóide, as curvas de nível são as circunferências da figura ao lado. 
Se o parabolóide tivesse na posição invertida, ou seja, de cabeça para baixo, então os valores nas 
curvas seriam maiores onde estão os menores e vice-versa. Veja figura abaixo (azul) 
22 yxz  
 
 
 
 
Para uma função qualquer 𝑧 = (𝑥, 𝑦) obteremos informações importantes a respeito de f 
observando apenas pontos do domínio, no plano 𝑥𝑦: 
 Procuramos os pontos (𝑥, 𝑦) que satisfazem à equação 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐, onde 𝑐 e uma constante. 
 Esses pontos determinam uma curva em 0𝑥𝑦 que é chamada curva de nível c de 𝑓(𝑥, 𝑦). 
 Ao longo de uma curva de nível c a função 𝑓(𝑥, 𝑦) assume sempre o mesmo valor que é 𝑐. 
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
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 Então, atribuímos sucessivamente a 𝑐 os valores 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 …. E representando as curvas 
correspondentes obtemos um “mapa topográfico” para 𝑓, que pode inclusive ajudar no 
esboço do gráfico de 𝑓. 
 
GRANDEZAS FÍSICAS 
No caso de 𝑓(𝑥, 𝑦) representar uma grandeza física, as curvas de nível ganham uma particular 
importância, recebendo inclusive denominações especiais. 
 Se 𝑓(𝑥, 𝑦) é a temperatura no ponto (𝑥, 𝑦) de uma chapa plana, as curvas 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 são 
chamadas ISOTERMAS. 
 Se 𝑓(𝑥, 𝑦) é pressão de um gás de volume 𝑥 e temperatura 𝑦, as curvas 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 são 
chamadas ISÓBARAS. 
 Se 𝑓(𝑥, 𝑦) é o potencial (elétrico ou gravitacional) na região 𝐷 do plano 0𝑥𝑦, as curvas 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐 são chamadas EQUIPOTENCIAIS. 
 
CURVAS DE NÍVEL – MAPAS TOPOGRÁFICOS 
 
 O mapa topográfico dá a elevação na região e é uma boa maneira de obter uma visão geral 
do terreno; onde estão as montanhas e onde estão as planícies. 
 As curvas num mapa topográfico que separam as elevações mais baixas das mais altas são 
chamadas de curvas de contorno. 
Quanto mais próximas, as curvas de contorno, tiverem umas das outras, mais íngreme será o 
terreno; quanto mais espaçadas, mais plano será o terreno. 
 
EXERCÍCIO 
1) Represente, no plano 𝑥𝑦, as curvas de nível c = 0, c = 1 e c = 4 das funções indicadas: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 − 9 
b) 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 − 9 
c) 𝑧 = √19 − 𝑥2 − 𝑦2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADA PARCIAL 
 
 A derivada parcial de uma função mede sua taxa de variação. Com as derivadas parciais 
obteremos taxas de variações quando uma variável varia e as outras se mantem constantes. 
 
Derivadas parciais de 𝑓 com relação a 𝑥 e a 𝑦. 
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Para todos os pontos em que existe o limite definimos as derivadas parciais no 
ponto (𝒂, 𝒃) por 
 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) = Taxa de variação de 𝑓 em relação a 𝑥 no ponto (𝑎, 𝑏) 
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ, 𝑏) − 𝑓(𝑎, 𝑏)
ℎ
 
 
𝑓𝑦(𝑎, 𝑏) = Taxa de variação de 𝑓 em relação a 𝑦 no ponto (𝑎, 𝑏) 
= lim
ℎ→0
𝑓(𝑎, 𝑏 + ℎ) − 𝑓(𝑎, 𝑏)
ℎ
 
Se variarmos 𝑎e 𝑏, teremos as funções derivadas parciais 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) e 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) 
 
Notação alternativa para as derivadas parciais 
Se 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) podemos escrever 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
 e 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑧
𝜕𝑦
, ou 
𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
|
(𝑎,𝑏)
 e 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏) =
𝜕𝑧
𝜕𝑦
|
(𝑎,𝑏)
 
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA PARCIAL 
 
Considere a função com duas variáveis reais 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 
 
Para 𝑦 = 𝑦0 temos que 𝑓(𝑥, 𝑦0) é uma função de uma variável cujo gráfico planar é uma 
curva 𝐶1 resultante da interseção do gráfico 3D da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) com o plano 𝑦 = 𝑦0. 
A inclinação ou o coeficiente angular da reta tangente à curva 𝐶1 no ponto 𝑃 = (𝑥0, 𝑦0) é 
dado por 𝑡𝑔𝛼 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0) onde 𝛼 é o ângulo formado entre o plano 𝒙𝒚 e a reta tangente. Veja 
a figura 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 Figura 2 
 
De maneira análoga, temos que a inclinação da reta tangente à curva 𝐶2, resultante da 
interseção do gráfico 3D da função 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) com o plano 𝑥 = 𝑥0 é dado por 𝑡𝑔𝛽 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0) 
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onde 𝛽 é o ângulo formado entre o plano 𝒙𝒚 e a reta tangente. Veja a figura 2: 
 
Observações: 
1. Quando for solicitado que se calcule o coeficiente angular a curva com o plano 𝑥 = 𝑥0 no ponto 
𝑦 = 𝑦0, quer dizer calcular a derivada parcial de 𝑦 no ponto particular, ou seja, 𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0); 
2. Quando for solicitado que se calcule o coeficiente angular a curva com o plano 𝑦 = 𝑦0 no 
ponto 𝑥 = 𝑥0, quer dizer calcular a derivada parcial de 𝑥 no ponto particular, ou seja, 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0). 
 
DERIVADAS PARCIAIS SUCESSIVAS 
 
Se 𝑓 é uma função de duas variáveis 𝑥 e 𝑦, suas derivadas parciais são 
𝑓𝑥 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
 e 𝑓𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
 
Se derivarmos essas derivadas mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda 
ordem, que são representadas por 
𝑓𝑥𝑥 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
 , 𝑓𝑦𝑥 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
 , 𝑓𝑥𝑦 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
 , 𝑓𝑦𝑦 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
 
Quando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadas cruzadas (derivadas mistas) 
são iguais, ou seja, 𝑓𝑥𝑦 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
= 𝑓𝑦𝑥 =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
. 
Derivadas parciais de ordem superior: quando são calculadas a partir das suas primeiras 
derivadas. 
 
 
REGRA DA CADEIA 
 
 A regra da cadeia para funções de várias variáveis tem o intuito de calcular derivadas parciais de 
funções compostas de várias variáveis. 
 Suponha que a função 𝑃 = 𝑝(𝑥, 𝑦) com derivadas parciais contínuas represente a quantidade 
produzida de um determinado bem a partir de matérias-primas 𝑥 e 𝑦, que por sua vez, variam 
com o tempo, ou seja, 𝑥 = 𝑥(𝑡) e 𝑦 = 𝑦(𝑡). 
 A quantidade produzida expressa-se como função do tempo, de acordo com a seguinte 
expressão: 
𝑃 = 𝑝(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = 𝑃(𝑡) 
A regra da cadeia para a composição desta natureza é dada por: 
dt
dy
x
p
dt
dx
x
p
tP ..)(' 
















 
EXERCÍCIOS 
1. A concentração de bactérias, 𝐶, no sangue (em milhões de bactérias/mL), em seguida à injeção 
de um antibiótico, é uma função da dose 𝒙 (em gm) injetada e do tempo 𝒕 (em horas) desde a 
injeção. Suponha que nos dizem que 
𝑪 = 𝒇(𝒙, 𝒕) = 𝒕𝒆−𝒙𝒕. 
Calcule as seguintes quantidades e explique o que significa cada uma em termos práticos: 
a) 𝒇𝒙(𝟏, 𝟐) 
b) 𝒇𝒕(𝟏, 𝟐) 
 
 
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2. Suponha que uma pessoa em uma festa beba 𝑥 = 𝑥(𝑡) = 0,8𝑡 litros de refrigerante e coma 
𝑦 = 𝑦(𝑡) = 0,2𝑡 quilogramas de bolo de chocolate após 𝑡 horas. Com isso ele produz 
𝐸(𝑥, 𝑦) =
1
2
𝑥 + 3𝑦 calorias de energia ao beber 𝑥 litros de refrigerante e comer 𝑦 quilogramas 
de bolo. Quanta energia ele produziu após 5 horas de festa? Qual a taxa de produção de energia 
em 𝑡 = 5? 
 
 
 
 
 
3. A altura de um cone circular é 100 cm e decresce a uma razão de 10cm/s. O raio da base é 50cm 
e cresce à razão de 5cm/s. Determine a velocidade da variação do volume deste cone. 
 
 
 
 
 
 
4. Uma loja de produtos naturais vende dois tipos de cápsulas vitamínicas, marca A e marca B. As 
pesquisas de mercado mostram, que se um vidro da marca A for vendido por x reais e um vidro 
da marca B for vendido por y reais, a demanda da marca A será 𝑄(𝑥, 𝑦) = 300 − 20𝑥2 + 30𝑦 
vidros por mês. Estima-se que daqui a 𝑡 meses o preço de um vidro da marca A será 
𝑥 = 2 + 0,05𝑡 reais e o preço de um vidro da marca B será 𝑦 = 2 + 0,1√𝑡 reais. 
Qual será a taxa de variação com o tempo da demanda da marca A daqui a 4 meses? 
 
 
 
 
 
 
 
VETOR GRADIENTE E CURVAS DE NÍVEL 
 
Vetor gradiente 
O vetor gradiente ou gradiente de 𝑓(𝑥, 𝑦) no ponto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0) é o vetor 
∇𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 
obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de 1ª ordem no ponto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0). 
O vetor gradiente por ser denotado por: 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = (𝑥0, 𝑦0) ou ∇𝑓 = (𝑥0, 𝑦0) ou ainda, 
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 = (𝑥0, 𝑦0) (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(𝑥0, 𝑦0),
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥0, 𝑦0)) usualmente é denotado por: 
 ∇𝑓 = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
) para z = f(x, y) e, ∇𝑓 = (
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓
𝜕𝑧
) para w = f(x, y, z) 
 
O vetor gradiente na curva de nível indica o maior nível da curva. 
 Cálculo III – Resumos e exercícios - Profª Roselene Nunes de Lima 
EXERCÍCIOS 
 
1. Calcule o gradiente de cada função: 
a) 𝑧 = 5𝑥2 + 𝑦2 +
1
𝑥
𝑦2 
b) W = xyz 
 
 
 
 
 
 
5. Determine o vetor gradiente da função 𝑔(𝑥, 𝑦) = √1 − 𝑥2 − 𝑦2 em P(0, 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Para cada campo escalar obtenha ∇𝑓(𝑥, 𝑦): 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝑦) + 𝑐𝑜𝑠𝑥 
b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2−𝑦2
2
 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 
 
 
 
 
 
 
5. Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos: 
a) 𝑧 = 𝑥√𝑥2 + 𝑦2; P(1, 1) 
b) 𝑧 = 𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦 + 𝑦2; P(0, 3) 
c) 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(3𝑥 + 𝑦); 𝑃 (0,
𝜋
2
) 
d) 𝑓(𝑢, 𝑣, 𝑤) = 𝑢2 + 𝑣2 − 𝑤2 + 𝑢𝑣𝑤; P(0, 1, 0) 
 
 
 
 
Respostas: 
 a b c d 
(
𝟑√𝟐
𝟐
,
√𝟐
𝟐
 ) 
(9, 6) (0, 0) (0, 2, 0)