Gabarito Lista 7

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GABARITO - CÁLCULO 1 - 2015.2 - LISTA 7 
 
 
1) a) 
x
x
xf
41
)(


 
Raiz: 
)0(1  xx
 
3
1
310
31
0)´(3
1
)´( 44
2
4
2
2


 xx
x
x
xfx
x
xf
 (impossível) 
A função 
f
 é monótona. Em particular em 
 ,0
. 
f
 tem inversa em 
 ,0
. 
 
b) 
1)0(1 f
 (Basta fazer 
0)( xf
) e 
   
4
1
31
1
)1´(
1
0´1 


f
f
 
 
c) 
  )1,0()0(,0 1 f
 
    xyxfy
4
1
1)0(0´1 1  
 
 
 
2) 
   
3
1
)1´(
1
2´1 
f
f
 
 
3) Para 
0x
:






0,2
0,3
)´(
2
xx
xx
xf
 
Neste caso 
)´(xf
 é sempre negativa, confirmando que se 
0x
a função é decrescente (monótona) logo 
invertível. 
 
Se 
0x
, 
0
11
lim)0(
2
0
´ 




x
x
f
x
 e 
0
11
lim)0(
3
0
´ 




x
x
f
x
, 
0)0´( f
. 
Cálculo da inversa de f: 
 






yxxy
yxxy
11
11
2
33 
 
   











 
1,
)1´(
1
1,
)1´(
1
)´(
1
))(´()´( 
3
11
x
yf
x
yf
xf
xffxf 
   














1,
12
1
1,
13
1
)´( 
3 2
1
x
y
x
y
xf 
 
 
 
 
 
4) a) Seja 
xarck sec
. Então: 







x
k
x
kx
k
xk
1
arccos
1
cos
cos
1
sec
. 
Logo 







x
xarc
1
arccossec
, o que implica 
0
1
arccossec 






x
xarc
. c.q.d. 
 
b) Seja 
arctgxy 
 o que implica 
tgyx 
. 
Derivando ambos os lados em relação a x: 
y
yyy
2
2
sec
1
´´.sec1 
. 
Mas 
ytgyytgy
y
2
22
22 1sec1sec 


. 
Logo 
 
22 1
1
1
1
´´
xytg
yarctgx




. c.q.d. 
 
 
c) Seja 
yarcsenx 
, o que implica 
xseny 
. 
Como 
ysenyyysen
y
2
22
22 1cos1cos 


, temos: 
22 11cos)cos( xysenyarcsenx 
 c.q.d. 
 
 
 
5) a) 
042)´(  xarctgxxf
 
Pois: (i) 
2)0´( f
 
(ii) 
0)´(2)´(000  xfxfxarctgxarctgxx
 
(iii) 
0)´(2)´(000  xfxfxarctgxarctgxx
 
Se 
0)´( xf
 então a função 
f
 é sempre crescente, portanto monótona, o que mostra que 
f
 é invertível. 
 
b) 
 






4
.4)1()11(2)1( arctgf
 c.q.d. 
    2
1
)1().1(42
1
)1´(
1
)´( 1
arctgf
f
 
 
6) a) 
0 ,
2
1
)´(  x
x
xf
 
  contínua e monótona é f,0 ,0)´(  xxf
 
  2-1 )(f xx 
 
Domínio: 
 ,0
 
Imagem: 
 ,0
 
 
b) 
xxf 2)´( 
 
0 se 0)´(  xxf
 
0 se 0)´(  xxf
 
F não é invertível 
 
c) 
0 ,2)´(  xxxf
 
  0, ,0)´(  xxf
 
0 se 0)´(  xxf
 
  xx )(f-1
 
Domínio: 
 ,0
 
Imagem: 
 0,
 
 
7) 
13)´( 2  xxf
 
contínua e monótona é f ,0)´(  xxf
 
122)( 3  kkkkf
 
 
4
1
)1´(
1
)´(
1
)2´(1 
fkf
f
 
 
8) a) 
10155)´( 24  xxxf
 
 invertível é fcontínua e monótona é f ,0)´(  xxf
 
0661056)( 35  kkkkkf
 
 
10
1
)0´(
1
)6´(1 
f
f
 
 
b) 
)()´( xsenxf 
 
f não é invertível