Tema 3 - Aprofundamento de Funções

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DESCRIÇÃO
Abordagem das funções por vários pontos de vista complementares: descrição como conceito
matemático, estudo analítico e representação gráfica. Consolidação da importante noção de
função real de uma variável real.
PROPÓSITO
Compreender a relevância do conceito de função para a interpretação e a resolução de problemas
diversos, inclusive fenômenos naturais, sociais e de outras áreas.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções
MÓDULO 2
Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora
MÓDULO 3
Definir funções crescentes e decrescentes
MÓDULO 4
Definir funções periódicas
MÓDULO 1
 Reconhecer graficamente o domínio, a imagem e o contradomínio de funções
INTRODUÇÃO
Para fazermos modelos matemáticos de nossa realidade, associamos quantidades numéricas aos
acontecimentos, fatos e objetos que desejamos estudar ou analisar.
É comum obtermos relações expressas em termos de fórmulas ou expressões matemáticas,
porém, muitas vezes, as expressões obtidas nem sempre dão origem a um número real para
todos os possíveis valores da variável independente.
Nessa situação, é importante determinar o conjunto dos valores da variável independente para os
quais a fórmula matemática define uma função.
Imagem: Shutterstock.com
Nosso estudo se restringirá ao estudo das funções reais de variável real, ou seja, tanto o domínio
quanto o contradomínio são subconjuntos de ℝ ou até mesmo todo o ℝ.
Antes de darmos prosseguimentos ao nosso estudo de funções, assista ao vídeo que relembra as
definições básicas relativas às funções.
DEFINIÇÃO
O domínio da função � é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a
função assume valores reais, ou seja:
� ( � ) = { � ∈ℝ |
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja nas imagens três representações gráficas de funções cuja lei de formação é �(�)=�2 e os
seus domínios.
�1=ℝ
�2 = � − 2; − 2√ ; − 1; 0; 1; 2√ ; 2�
�3=[0;+∞[
Quando uma função está definida por uma fórmula matemática, a fórmula em si pode impor
restrições sobre os valores reais para os quais podemos calculá-la.
EXEMPLO 1
Qual é o domínio da função � ��� = 1�?
Repare que �=0 não está no domínio dessa função, pois a divisão por 0 (zero) não está definida.
Logo, �(�)=ℝ∗.
EXEMPLO 2
Qual é o maior subconjunto de �⊂ℝ, tal que a fórmula ���� = �√ define uma função �:�→ℝ?
Como só podemos calcular a raiz quadrada de valores não negativos, temos: �(�)=[0; +∞[.
Vamos ver na prática como determinar o domínio de uma função?
EXEMPLO 3
Pensando em construir uma piscina retangular em sua casa, João recorreu à Revista Casa e
Jardim, da Globo, onde encontrou um modelo de piscina que contracena com a represa no projeto
assinado pela arquiteta Eliana Marques Lisboa.
Sabendo que o terreno onde será construída a piscina deve ser cercado com 240 m de cerca, faça
o que se pede:
A - Expresse a área do terreno em metros quadrados em função do comprimento do terreno.
B - Determine o domínio da função resultante. Lembre-se de que a expressão que determina a
área de uma figura retangular é dada pelo produto entre o comprimento e a largura.
Assista ao vídeo com a resolução das questões apresentadas no exemplo 1.3.
EXEMPLO 4
SABENDO QUE O COMPRIMENTO DO TERRENO
DE JOÃO É DE 100 M, UTILIZE A EXPRESSÃO
OBTIDA �=�⋅(120−�) PARA DETERMINAR A ÁREA
DO TERRENO ONDE SERÁ CONSTRUÍDA A
PISCINA.
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
Conforme visto no exemplo 3, a área do terreno é dada pela expressão A=x⋅(120−x), onde x
é o número de metros de comprimento do terreno.
Logo, temos:
javascript:void(0)
javascript:void(0)
A(100)=100⋅(120−100)=2000 m2
Isso significa que a imagem de 100 pela função A é 2000.
 ATENÇÃO
Os gráficos das funções podem fornecer informações visuais importantes sobre uma função.
O gráfico de uma função pode ser definido como:
����(�)={(�; �(�)) | �∈�(�)}
Portanto, a ordenada � de um ponto do gráfico da função � é o valor de � na abscissa �
correspondente.
O gráfico de � também nos permite visualizar o domínio e a imagem, além de muitas outras
informações.
LEITURA GRÁFICA: DOMÍNIO E IMAGEM
O domínio da função � é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que define a
função assume valores reais, ou seja:
COMO SABER SE UM NÚMERO REAL �
PERTENCE AO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
�?
O número real � pertence ao domínio de uma função � se a reta vertical �=� corta o gráfico de �
em um ponto. Como f é uma função, este ponto é necessariamente único.
Foto: Shutterstock.com
EXEMPLO 1
Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins:
Fonte: BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil e
das Unidades da Federação. Brasília: IBGE, 2008. Imagem: Shutterstock.com. Imagem adaptada
por: Gian Corapi.
Verifique que, no ano de 2030, temos uma única taxa de crescimento, tanto no Brasil quanto em
Tocantins.
 COMO SABER SE UM NÚMERO REAL �
PERTENCE À IMAGEM DE UMA FUNÇÃO �?
O número real � pertence à imagem de uma função � se a reta horizontal �=� corta o gráfico de �
em pelo menos um ponto.
EXEMPLO 2
Verifique que o valor 0,82 pertence tanto à imagem da função que representa a taxa de
crescimento no Tocantins quanto à função que representa a taxa de crescimento no Brasil, em
2029 e 2018, respectivamente.
Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins:
Fonte: BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil e
das Unidades da Federação. Brasília: IBGE, 2008.
DOMÍNIO
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar o domínio da função é projetar o gráfico
no Eixo ��.
Exemplo 1: Observe o gráfico da função �:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo ��?
Vemos que o domínio da função � é o intervalo no eixo das abscissas indicado em vermelho.
Seu domínio é o intervalo fechado: � � � � = � − 1, 4�
Exemplo 2: Observe o gráfico da função �:
javascript:void(0)
javascript:void(0)
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo ��?
Vemos que o domínio da função � é o conjunto no eixo das abscissas indicado em vermelho.
 Seu domínio é a união de intervalos disjuntos (intervalos cuja interseção é vazia): � � � � = � − 7
2
, 1� ∪ �1 , 5�.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Assista ao vídeo com mais um exemplo de domínio da função.
IMAGEM
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar a imagem da função é projetar o seu
gráfico no Eixo ��.
Exemplo 1: Observe o gráfico da função �:
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo ��?
Vemos que a imagem da função � é o intervalo fechado indicado em vermelho no Eixo ��.
Sua imagem é o intervalo fechado − 9
4
; 37
12
,
� � � � � = − 9
4
; 37
12
.
Exemplo 2: Observe o gráfico da função �:
javascript:void(0)
javascript:void(0)
O que acontece se projetarmos o gráfico da função no Eixo �y?
Vemos que a imagem da função � é o intervalo indicado em vermelho no Eixo �y
Sua imagem é o intervalo � − 2; 5, 25�.
� � � � � = � − 2; 5, 25�.
EXEMPLO 3
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Gráfico da função ℎ
Se Projetarmos o gráfico da função no Eixo ��, vemos que a imagem da função ℎ é o intervalo
indicado em vermelho no Eixo ��.
Sua imagem é o intervalo � − 2; 5, 25�.
� � � ℎ � = � − 2; 5, 25�.

Em resumo, é possível determinar a imagem de um conjunto de pontos:
Se � é um subconjunto do domínio da função � (pintado de azul na figura), então, a imagem
deste subconjunto é dada por �(�)={ �(�) | � ∈� }.
EXEMPLO 4
Assista ao vídeo com mais um exemplo de imagem da função.
EXEMPLO 5
Observe o gráfico da função � e o intervalo − 2
3
; 5
12
 destacado em verde no Eixo ��, que é um
subconjunto da imagem de �.
Ao traçar as retas � = 5
12
 e � = − 2
3
 de forma horizontal, partindo no Eixo ��, temos:

Se pegarmos a parte do gráfico restrita à região entre as retas � = −2
3
 e � = 5
12
, temos:
Agora, para descobrirmos a parte do domínio correspondente ao intervalo − 2
5
; 5
12
 da imagem, basta
projetarmos no Eixo ��.
A parte do Eixo �� que nos interessa está destacada em vermelho: [−0,4; 2]∪[3,6; 3,8]:

VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE A SEGUINTE FUNÇÃO:
�� =
−2�, �� � < 0
�,� �� 0 ≤ � ≤ 4
2, �� � > 4
O DOMÍNIO E A IMAGEM DA FUNÇÃO SÃO, RESPECTIVAMENTE:
A) �� � � = ℝ � ��� � � = �0, + ∞ �
B) �� � � = �0, + ∞ � � �� � = ℝ
C) �� � � = ℝ � �� � = ℝ
D) �� � � = �0, + ∞ � � �� � = �0, + ∞ �
2. (PETROBRAS - 2008) CONSIDERE QUE � É UMA FUNÇÃO DEFINIDA DO
CONJUNTO � EM ℝ POR: �(�)=�2−4�+8.
SENDO �� A IMAGEM DE �, É CORRETO AFIRMAR QUE, SE:
A) �=[−2,0], então ��(�)=ℝ+.
B) �=[2,+∞[, então ��(�)=[0;4].
C) �=[2,+∞[, então ��(�)=ℝ+.
D) �=[0;2], então ��(�)=[4;8].
3. OBSERVE OS GRÁFICOS DAS FUNÇÕES �=�(�), �=�(�) E �=�(�):
NO MESMO PAR DE EIXOS, PODEMOS AFIRMAR QUE:
A) �2 = 2, �2 = 2, � ℎ2 = − 2.
B) �� = −3, 3 � ��ℎ = −4, 3
C) �� = −4, 4 � ��� = −4, 3.
D) �ℎ = −2, 2 � ��ℎ = −4, 3
4. CONSIDERE A FUNÇÃO ���� = 120�300−�. PODEMOS AFIRMAR QUE O
DOMÍNIO DA FUNÇÃO � É:
A) Todo número real �.
B) Todo número real �, exceto os números positivos.
C) Todo número real �, exceto �=300.
D) Todo número real �, exceto os números negativos.
5. CONSIDERE O GRÁFICO DA FUNÇÃO �:
APÓS A ANÁLISE DO GRÁFICO, PODEMOS AFIRMAR QUE:
A) A função não está definida em �=1,6.
B) ��� = −4, 5 ∪ −3, 4 .
C) �(�)=[−4.5, 11].
D) �(�)=[−4.5, 2)∪(2,11].
6. SE A FUNÇÃO REAL DEFINIDA POR �� = �+1
�−2√ + 11−�√
 POSSUI �=[�,�]
COMO DOMÍNIO, ENTÃO, �+� VALE:
A) 11
B) 5
C) 13
D) 15
GABARITO
1. Considere a seguinte função:
�� =
−2�, �� � < 0
�,� �� 0 ≤ � ≤ 4
2, �� � > 4
O domínio e a imagem da função são, respectivamente:
A alternativa "A " está correta.
A função é formada por três pedaços de funções já conhecidas. Cada um desses pedaços
corresponde a uma parte do domínio. Para �<0, o gráfico é parte da reta �=−2�. Para traçar, basta
considerarmos dois pontos.
� �= −2� (�; -2�)
0 -2 . 0 = 0 (0; 0)
-2 -2 . (-2) = 4 (-2; 4)
Marcando esses pontos no plano, obtemos a parte da reta que nos interessa:
Repare que o ponto (0;0) ficou traçado como “bolinha aberta”, pois �=0 não pertence a essa parte
do domínio da função.
Para 0≤�≤4, o gráfico é parte do gráfico de �=√�. Para traçá-lo, devemos olhar para o esboço
apresentado anteriormente, bem como calcular o valor da função nos extremos.
� �=√� (�; √�)
0 √0=0 (0; 0)
4 √4=2 (4; 2)
Marcamos, então, esses pontos e, em seguida, traçamos uma curva passando por eles com o
formato parecido com o do esboço já apresentado.
Finalmente, para �>4, a função é constante e igual a 2. Seu gráfico é uma reta paralela ao Eixo
��:
Aqui, o ponto (4;2) também ficou como “bolinha aberta”, pois �=4 não pertence a essa parte do
domínio.
Juntando todas essas informações em um único plano, obtemos o gráfico da função �:
A partir da representação gráfica, fica fácil perceber que �� � � = ℝ � �� � = �0, + ∞ �.
2. (PETROBRAS - 2008) Considere que � é uma função definida do conjunto � em ℝ por:
�(�)=�2−4�+8.
Sendo �� a imagem de �, é correto afirmar que, se:
A alternativa "D " está correta.
O gráfico da função � é dado por:
Vamos analisar cada restrição do domínio da função �.
Note que, se �=[−2,0], temos que ��(�)=[8,20].
Se �=[2,+∞[, temos que ��(�)=[4,+∞).
Se �=[0;2], temos que I�(�)=[4;8].
3. Observe os gráficos das funções �=�(�), �=�(�) e �=�(�):
No mesmo par de eixos, podemos afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
Observando o gráfico, temos: �(2)=2, �(2)=2 e ℎ(2)=2.
���(�)=[−4,4] e ��(�)=[−4,3].
���(�)=[−3,3] e ��(�)=[−1,�(3)]
���(ℎ)=[−2,2] e ��(ℎ)=[1,2].
4. Considere a função ���� = 120�
300−�. Podemos afirmar que o domínio da função � é:
A alternativa "C " está correta.
A função não está definida para �=300, pois este número anula o denominador.
5. Considere o gráfico da função �:
Após a análise do gráfico, podemos afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
Projetando o gráfico da função no eixo -�, vemos que o domínio da função � é o conjunto no eixo
-� indicado em vermelho na figura.
Seu domínio é a seguinte união de intervalos:[−�.� , �) ∪ (� , ��].
���(�)=[−�.� , �) ∪ (� , ��].
Projetando o gráfico da função no eixo -�, vemos que a imagem da função � é o intervalo no eixo
-� indicado em vermelho na figura.
Sua imagem é o intervalo [−�, �.�].
��(�)=[−�, �.�].
6. Se a função real definida por �� = �+1
�−2√ + 11−�√
 possui �=[�,�] como domínio, então, �+�
vale:
A alternativa "C " está correta.
Primeiramente, vamos determinar o domínio da função �. Para isso, precisamos analisar para
quais valores de � a função � − 2√ e 11 − �√ está bem definida e fazer a interseção dos intervalos.
Note que � − 2√ está bem definida para � ≥ 2, e 11 − �√ está bem definida para 11 − � ≥ 0, ou seja,
� ≤ 11. Como �2, + ∞ � ∩ � − ∞ , 11� = 2, 11, temos que �=[2,11].
Logo, � + � = 2 + 11 = 13.
MÓDULO 2
 Identificar graficamente os tipos de funções: injetora, sobrejetora e bijetora
FUNÇÕES INJETORAS
Uma função � é dita injetora (ou injetiva) se, para quaisquer dois números �1, � 2 ∈ ���(�), tais
que �1≠�2, os números �(�1) e �(�2) na imagem de � são também distintos.
Assista ao vídeo com mais um exemplo de injeção, sobrejeção e bijeção.
EXEMPLO 1
A função �(�)=�2−1, definida para todos os números reais, é injetiva?
Observe que: �(−2)=(−2)2−1=3=22−1=�(2)

Em outros termos, –2 e 2 têm a mesma imagem.

Gráfico da função � e reta horizontal �=�

A partir da representação gráfica da função �(�)=�2−1, é possível observar que há retas
horizontais que intersectam seu gráfico mais de uma vez.
 ATENÇÃO
Teste da reta horizontal
Uma função é injetiva se, e somente se, toda reta horizontal intersecta seu gráfico em, no máximo,
um ponto.
Observe que, pelo teste da reta horizontal, a função do exemplo citado não é injetiva.
EXEMPLO 2
A função �(�)=�3 é injetiva.
Gráfico de �(�)=��
Qualquer reta horizontal intersecta o gráfico em apenas um ponto. Logo, pelo teste da reta
horizontal, a função � é injetiva.
FUNÇÕES SOBREJETORAS E BIJETORAS
SOBREJETORAS
Se �,�⊂ℝ, uma função �:�→� é chamada sobrejetora ou sobrejetiva, quando �(�)=�.
Repare que, quando restringimos o contradomínio de uma função para sua imagem, ou
seja,�:���(�)⟶�(���(�)), estamos garantindo que não há qualquer elemento do contradomínio
que não seja imagem de algum elemento do domínio. Assim, essa é uma forma de garantir que a
função seja sobrejetiva.
BIJETORAS
Uma função �, que é simultaneamente injetora e sobrejetora, é chamada de bijetora ou bijetiva.
Assim, a função �:���(�)→�(���(�)) (que já é sobrejetora) será bijetora se, e somente se, for
injetora.
RELAÇÃO GEOMÉTRICA ENTRE OS
GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO E SUA
INVERSA
O objetivo é mostrar graficamente a relação existente entre o gráfico de uma função bijetora e sua
inversa.
 ATENÇÃO
Lembre-se de que uma função ter inversa é equivalente a ela ser bijetiva.
No quadro a seguir, sintetizamos algumas informações sobre uma função � e sua inversa �−1:
�: �→ � E �−1: �→ �
SE �"LEVA" � EM � ENTÃO �−1 "TRAZ" � "DE VOLTA"
EM �
���� = � ⇔ �−1��� = �
������ = ����−1� E �����−1� = �����
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É preciso notar que:
���� = � ⇔ �−1��� = �
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas o que essa equivalência significa geometricamente?
Que o ponto (�;�) estar no gráfico da função � é equivalente ao ponto (�;�) estar no gráfico da
função �−1.
Simetria dos pontos (�;�) e (�;�) em relação à reta �=�
No gráfico, percebemos que os pontos (�;�) e (�;�) são simétricos em relação à reta �=�. Mas isso
é verdade para todos os pontos das funções � e �−1.
O GRÁFICO DE �−� É OBTIDO REFLETINDO-SE O
GRÁFICO DE � EM TORNO DA RETA �=�.
Simetria entre os gráficos de � e �−�
Se � e � forem tais que �−1 = � , temos:
�−1� � = � � = �−1 � = �, PARA TODO � ∈ �� � �.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
� �−1 � = � � = �, PARA TODO � ∈ � �−1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A lei da esquerda nos diz que, se começarmos em �, aplicando �, e, em seguida, �−1, obteremos
de volta �.
Da mesma forma, a lei da direita nos diz que, se começarmos em �, aplicando �−1, e, em seguida,
�, obteremos de volta �.
EXEMPLO 1
Assista ao vídeo com um exemplo de relação geométrica entre os gráficos de uma função e sua
inversa.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (ADAPTADA DE: LIVRO ABERTO - S.D.) CONSIDERE A FUNÇÃO �:ℝ→ℝ
TAL QUE �(�)=9−�2. ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) Existe algum �∈ℝ cuja imagem é igual a 10.
B) A função � é injetora.
C) A função � é sobrejetora.
D) Restringindo o domínio da função � para o intervalo [0,+∞), temos que � é injetora.
2. CONSIDERE A FUNÇÃO BIJETORA �:[1,+∞)→(−∞,3] DEFINIDA POR
�(�)=−�2+2�+2 E SEJA (�,�) O PONTO DE INTERSEÇÃO DE � COM SUA
INVERSA �−1. O VALOR NUMÉRICO DA EXPRESSÃO �+� É:
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
3. (ADAPTADA DE: OBMEP-2019) A CALCULADORA DE DARIO TEM UMA
TECLA ESPECIAL. SE UM NÚMERO �, DIFERENTE DE 2, ESTÁ NO VISOR,
ELE APERTA A TECLA ESPECIAL E APARECE O NÚMERO, 2×��−2. POR
EXEMPLO, SE O NÚMERO 6 ESTÁ NO VISOR, AO APERTAR A TECLA
ESPECIAL, APARECE 3, POIS 2×66−2 = 3. PARA QUAIS VALORES DARIO
OBTÉM O MESMO NÚMERO QUE ESTÁ INICIALMENTE NO VISOR?
A) 1 e 0
B) 2 e 0
C) 3 e 0
D) 4 e 0
4. CONSIDERE A FUNÇÃO �:[−1,2]→ℝ, DADA POR:
�� =
�2, �� − 1 ≤ � ≤ 0
�+1
2
, �� 0 < � ≤ 1
−� + 2, �� 1 < � ≤ 2
NESTAS CONDIÇÕES, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) � é sobrejetora.
B) � é injetora.
C) � é bijetora.
D) ��(�)=[0,1].
5. DADA A FUNÇÃO � :ℝ − 2 → ℝ3, ONDE � � = 2�−3�−2 + 1 ASSINALE A
OPÇÃO CORRETA, NO QUE DIZ RESPEITO À SUA INVERSA:
A) Não está definida, pois � não é injetora.
B) Não está definida, pois � não é sobrejetora
C) Está definida por �−1 � =
�−2
�−3, � ≠ 3
D) Está definida por �−1 � =
�+5
�−3, � ≠ 3
E) Está definida por �−1 � =
2�−5
�−3 , � ≠ 3
6. SEJA � A FUNÇÃO �:[�,+∞)→ℝ, DEFINIDA POR �(�)=� 3−3�2+1. O MENOR
VALOR DE � PARA QUE A FUNÇÃO SEJA INJETORA É:
A) -1
B) 0
C) 1
D) 2
GABARITO
1. (Adaptada de: LIVRO ABERTO - s.d.) Considere a função �:ℝ→ℝ tal que �(�)=9−�2.
Assinale a alternativa correta:
A alternativa "D " está correta.
Observe o gráfico da função �(�)=9−�2:
Ao traçarmos a reta horizontal �=10, ela não intersecta o gráfico da função �. Logo, não existe
�∈ℝ, cuja imagem é igual a 10.
Além disso, utilizando o teste da reta horizontal para saber se a função � é injetora em todo o seu
domínio, notamos que existem vários números diferentes com imagens iguais. Por exemplo:
�(−1)=8 e �(1)=8. Assim, � não é injetora em ℝ.
Em contrapartida, ao restringir o domínio da função � ao intervalo [0,+∞), o gráfico da função � é
dado por:
Utilizando o teste da horizontal, observamos que a função é injetora nesse intervalo.
2. Considere a função bijetora �:[1,+∞)→(−∞,3] definida por �(�)=−�2+2�+2 e seja (�,�) o
ponto de interseção de � com sua inversa �−1. O valor numérico da expressão �+� é:
A alternativa "B " está correta.
Repare que neste domínio a função é estritamente decrescente. Vamos buscar os pontos onde �
encontra a sua inversa encontrando os pontos em que � intercepta a função y = x (função
identidade). Logo:
−�2 + 2� + 2 = � ⇔ − �2 + � + 2 = 0 ⇔ � = 2 �� � = − 1
Como o domínio de � é o intervalo �1, + ∞ �, o único valor de x que nos interessa é x = 2 e, para
este valor, �(2) = 2. Assim, o ponto buscado é (a,b) = (2,2) e então a + b = 4.
3. (Adaptada de: OBMEP-2019) A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um
número �, diferente de 2, está no visor, ele aperta a tecla especial e aparece o número, 2×��−2.
Por exemplo, se o número 6 está no visor, ao apertar a tecla especial, aparece 3, pois 
2×6
6−2
= 3. Para quais valores Dario obtém o mesmo número que está inicialmente no visor?
A alternativa "D " está correta.
Note que a tecla especial é uma função. Portanto, podemos considerar:
���� = ��2�−2
Desejamos obter os valores de �, tais que �(�)=�. Note ainda que 2 não está no domínio da
função dada. Vamos aos cálculos:
��2
�−2 = �
0 = �2 − 4� = ��� − 4�
Logo, �=0 e �=4.
4. Considere a função �:[−1,2]→ℝ, dada por:
�� =
�2, �� − 1 ≤ � ≤ 0
�+1
2
, �� 0 < � ≤ 1
−� + 2, �� 1 < � ≤ 2
Nestas condições, é correto afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
Observe o gráfico da função �:
Utilizando o teste da horizontal, vemos que a função não é injetora e, consequentemente, não é
bijetora. Em contrapartida, ��(�)=[0,1]≠ℝ. Logo, a função � não é sobrejetora.
5. Dada a função � :ℝ − 2 → ℝ3, onde � � = 2�−3�−2 + 1 assinale a opção correta, no que diz
respeito à sua inversa:
A alternativa "E " está correta.
Primeiro, veja que � é bijetora no domínio e no contradomínio dados. Assim, isolando x em função
de y na expressão de �, temos:
� = 2�−3�−2 + 1 ⇔ �� − 2� = 3� − 5 ⇔ ��� − 3� = 2� − 5 ⇔ �
2�−5
�−3
Repare que esta última expressão só está definida para � ≠ 3, e a validade da expressão de � =
�−1 � é garantida pois � ≠ 2 na expressão de �. Portanto, �-1 está bem definida.
6. Seja � a função �:[�,+∞)→ℝ, definida por �(�)=� 3−3�2+1. O menor valor de � para que a
função seja injetora é:
A alternativa "D " está correta.
Observe o gráfico da função �(�)=�3−3�2+1:
Note que, para a função � ser bijetora, �=2.
O gráfico em roxo é a função �:[2,+∞)→ℝ, que é injetora pelo teste da reta horizontal.
MÓDULO 3
 Definir funções crescentes e decrescentes
INTRODUÇÃO
Grande parte do estudo de Cálculo dirige-se à determinação do comportamento de uma função
em certo intervalo. Por exemplo, estamos interessados em algumas perguntas como:
ONDE A FUNÇÃO É CRESCENTE?
ONDE ELA É DECRESCENTE?
O LUCRO DA EMPRESA AUMENTOU?
Neste módulo, mostraremos como as funções se comportam em determinados intervalos da reta
real e algumas de suas aplicações.
Assista ao vídeo com mais um exemplo de função crescente e função decrescente.
DEFINIÇÃO
Uma função � :ℝ→ ℝ é considerada crescente quando os valores das imagens, � � � �,
aumentam à medida que os valores de � aumentam, ou seja, para �2 > �1 , temos: � � �2 � >
� � �1 �.
Em termos gráficos:
Exemplo de uma função crescente
Exemplo de uma função decrescente
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EXEMPLO 1
O gráfico mostra a Chuva Acumulada Mensal no município de Campos (RJ), em 2020, e a Chuva
Acumulada Mensal de acordo com as normas climatológicas entre 61-90:
Note que ocorreu um decréscimo da quantidade de chuva acumulada do mês de janeiro ao mês
de fevereiro. Além disso, de acordo com a Normal Climatológica, no mês de outubro, a previsão é
de um aumento significativo das chuvas acumuladas.
Fonte: Instituto Nacional de Meteorologia (INMET).
EXEMPLO 2
Veja a projeção do crescimento da taxa bruta de mortalidade e natalidade do Brasil, do início de
2010 a 2058.
Observe que a taxa bruta de natalidade decresceu, enquanto ocorreu um crescimento na taxa
bruta de mortalidade.
EXEMPLO 3
Considere a função � � � � = �3
Note que essa função é crescente em toda a reta real.
De fato, dados �1 < �2 , temos que � � �1 � = �3
1 < �3
2 = � � �2 �.
EXEMPLO 4
Considere a função � � =
− �2 , � < 0
0, 0 ≤ � ≤ 1
� � − 1�2, � > 1
Observe que a função apresentada não é estritamente crescente em toda reta real, já que ela é
constante no intervalo [0,1].
As funções estritamente crescentes têm um papel especial em Cálculo I.
EXEMPLO 5
Vamos praticar: analise o gráfico da função.
Agora, determine os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO
Observando o gráfico, vemos que a função é crescente em � − ∞ , − 0 . 22� ∪ �1 . 55, + ∞ � e
decrescente em � − 0 . 22, 1 . 55�.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (ADAPTADA DE: UFPE - 2017) NO GRÁFICO A SEGUIR, TEMOS O
NÍVEL DA ÁGUA ARMAZENADA EM UMA BARRAGEM AO LONGO DE TRÊSjavascript:void(0)
javascript:void(0)
ANOS:
DE ACORDO COM O GRÁFICO, PODEMOS AFIRMAR QUE:
A) O nível de 70 m foi atingido uma única vez.
B) O nível da água armazenada cresce em todo tempo.
C) O nível da água armazenada é estritamente decrescente.
D) O nível de 40 m foi atingido 2 vezes nesse período.
2. OBSERVANDO O GRÁFICO A SEGUIR, TEMOS O REGISTRO DO NÍVEL
DA ÁGUA ARMAZENADA EM UMA BARRAGEM AO LONGO E ALGUNS
ANOS. ESTA BARRAGEM AO LONGO E ALGUNS ANOS. ESTA BARRAGEM
FOI CONSTRUÍDA PARA REPRESAR ÁGUA PARA MOVER AS TURBINAS DE
UMA USINA HIDRELÉTRICA:
APÓS OBSERVAR O GRÁFICO, ASSINALE A OPÇÃO CORRETA:
A) O nível da água permaneceu constante num período de 8 anos.
B) O nível de 80 metros foi atingido exatamente duas vezes até o ano 2000.
C) Após o ano 2000, o nível da água da barragem foi insuficiente para gerar energia.
D) No período de 1995 a 2000, o nível da água só diminuiu.
3. APÓS VÁRIAS EXPERIÊNCIAS EM LABORATÓRIOS, OBSERVOU-SE QUE
A CONCENTRAÇÃO DE CERTO ANTIBIÓTICO NO SANGUE DE COBAIAS
VARIA DE ACORDO COM A FUNÇÃO � � � � = 12 � − 2 �2 , EM QUE � É O
TEMPO DECORRIDO, EM HORAS, APÓS A INGESTÃO DO ANTIBIÓTICO.
NESSAS CONDIÇÕES, A PARTIR DE QUAL MOMENTO A CONCENTRAÇÃO
DESSE ANTIBIÓTICO COMEÇA A DECRESCER?
A) 0
B) 6
C) 3
D) 18
4. UMA FUNÇÃO � :ℝ+ → ℝ+ É CRESCENTE E SATISFAZ A SEGUINTE
CONDIÇÃO: � �3 � � = 3 � � � �, PARA TODO � ∈ ℝ+. SE � �9� = 27, QUAL O
VALOR DE � �1�?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
5. SABENDO QUE � É UM NÚMERO REAL, O MAIOR VALOR DE �, TAL QUE
A FUNÇÃO � � � � = �2 − 4 � + 3, PARA � < �, SEJA DECRESCENTE, É:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
6. SEJA � :ℝ→ ℝ UMA FUNÇÃO ESTRITAMENTE DECRESCENTE, ISTO É,
PARA QUAISQUER X E Y REAIS COM X < Y TEM-SE �(X) > �(Y). OBSERVE
AS AFIRMAÇÕES:
� É INJETORA
� É SOBREJETORA
SE � POSSUI INVERSA, ENTÃO SUA INVERSA TAMBÉM É
ESTRITAMENTE DECRESCENTE
PODEMOS ASSEGURAR QUE:
A) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras
B) Apenas as afirmações II e III são falsas
C) Apenas a afirmação I é falsa
D) Todas as afirmações são verdadeiras
GABARITO
1. (Adaptada de: UFPE - 2017) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada
em uma barragem ao longo de três anos:
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
Traçando uma reta horizontal paralela ao eixo x (tempo), vemos que o nível de 40 m foi atingido 2
vezes no período de 3 anos. Isso já mostra que a função, cujo gráfico tem a representação da
figura, não é injetora. Além disso, como existem oscilações no nível da água armazenada, em
alguns instantes ela cresce e em outros decresce. Assim, a função em questão não é crescente
nem decrescente.
2. Observando o gráfico a seguir, temos o registro do nível da água armazenada em uma
barragem ao longo e alguns anos. Esta barragem ao longo e alguns anos. Esta barragem foi
construída para represar água para mover as turbinas de uma usina hidrelétrica:
Após observar o gráfico, assinale a opção correta:
A alternativa "C " está correta.
Perceba que, após o ano 2000, a tendência do gráfico é de decrescimento e por essa razão não é
possível gerar energia, pois o nível de água estará sempre abaixo do mínimo.
3. Após várias experiências em laboratórios, observou-se que a concentração de certo
antibiótico no sangue de cobaias varia de acordo com a função � � � � = 12 � − 2 �2 , em
que � é o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico.
Nessas condições, a partir de qual momento a concentração desse antibiótico começa a
decrescer?
A alternativa "C " está correta.
Observe o gráfico da função �:
Podemos constatar que a concentração desse antibiótico começa a decrescer a partir do �� da
parábola. Logo, precisamos determinar o vértice dessa parábola. Isso pode ser feito
algebricamente.
Algebricamente, temos:
�� = −
�
2�
Onde:
� = − 2 → coeficiente de �2 na função quadrática;
� = 12 → coeficiente de � na função quadrática.
Assim:
�� = −
12
2�−2�
= 3
4. Uma função � :ℝ+ → ℝ+ é crescente e satisfaz a seguinte condição: � �3 � � = 3 � � � �,
para todo � ∈ ℝ+. Se � �9� = 27, qual o valor de � �1�?
A alternativa "C " está correta.
Note que:
27 = � �9� = � �3 ⋅ 3� = 3 ⋅ � �3 ⋅ 1� = 3 ⋅ 3 ⋅ � �1�
Logo, temos:
� �1� = 27
9
= 3
5. Sabendo que � é um número real, o maior valor de �, tal que a função � � � � = �2 − 4 �
+3, para � < �, seja decrescente, é:
A alternativa "C " está correta.
A parte do gráfico onde � < � é uma parábola, cujo vértice é o ponto � − �
2� , −
�
4�
� = �2, − 1�.
Assim, a função é decrescente, nas condições do problema, para � ≤ 2, portanto, o maior valor
de � é 2.
6. Seja � :ℝ→ ℝ uma função estritamente decrescente, isto é, para quaisquer x e y reais
com x < y tem-se �(x) > �(y). Observe as afirmações:
� é injetora
� é sobrejetora
Se � possui inversa, então sua inversa também é estritamente decrescente
Podemos assegurar que:
A alternativa "A " está correta.
Se uma função é estritamente decrescente, isto significa que não há repetição de imagens e,
portanto, a função é necessariamente injetora. Como não conhecemos sua lei de formação, não
podemos garantir sua sobrejetividade.
Repare que se x < y implica �(x) > �(y), defina �-1 como sendo a inversa de � (supondo que �-1
exista). Então � � = � ⇔ �−1 � = � e � � = � ⇔ �−1 � = �. Desta forma:
� < � ⇔ � � > � � ⇔ �−1 � < �−1 � ⇔ � > �
Esta última equivalência mostra que �-1 é também estritamente decrescente.
Portanto, as afirmativas I e III são verdadeiras.
MÓDULO 4
 Definir funções periódicas
Foto: Shutterstock.com
INTRODUÇÃO
Se olharmos para a natureza, vamos descobrir muitos fenômenos que acontecem de forma
repetitiva em intervalos de tempos regulares, obedecendo, portanto, a padrões cíclicos.
Veja a seguir alguns exemplos:
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AS ESTAÇÕES DO ANO
Imagem: Shutterstock.com
OS BATIMENTOS CARDIÁCOS
Imagem: Shutterstock.com
OS MOVIMENTOS DOS PONTEIROS DE UM RELÓGIO DE
PULSO
Imagem: Shutterstock.com
O MOVIMENTO DOS PLANETAS
Imagem: Shutterstock.com
A CORRENTE ELÉTRICA ALTERNADA
Imagem: Shutterstock.com
A CIRCULAÇÃO DO SANGUE
Fenômenos como esses são modelados usando uma classe importante de funções: as
periódicas. Dentre a classe das funções periódicas, destacamos as chamadas funções
trigonométricas:
 SENO
 COSSENO
 TANGENTE
Assista ao vídeo com mais um exemplo de função periódica.
DEFINIÇÃO
Uma função é considerada periódica quando existe um número real �>0, tal que �(�+�)=�(�),
para todo � no domínio da função.
O menor dos valores de �>0, para os quais a propriedade é verificada, é chamado de período
fundamental da �.
 ATENÇÃO
Se uma função � é periódica de período �, então, � também é periódica de período ��, onde �∈ℕ,
já que:
�(�)=�(�+�)=�(�+2�)=�(�+3�)=⋯=�(�+��)
ELETROCARDIOGRAMA
Exame que tem o objetivo de detectar se existe alguma falha na condução elétrica pelo
coração.
EXEMPLO 1
Considere a função � do gráfico mostrado na figura a seguir, que corresponde ao
eletrocardiograma de uma pessoa saudável:
Observe que o padrão de repetição ocorre em intervalos de comprimento T, e não em intervalos
de comprimento menor. Assim, a função � é uma função periódica de período T.
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Imagem: Shutterstock.com
EXEMPLO 2
Considere a função:
� :ℕ→ ℤ, ��� ��� � � � � = � − 1��
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A tabela abaixo mostra o valor da função � para os valores de � de 0 a 5.
x 0 1 2 3 4 5
f(x) (-1)0=1 (-1)1=-1 (-1)2=1 (-1)3=-1 (-1)4=1 (-1)5=-1
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
2 - Se � é um número par, �(�)=1.
3 - Se � é um número ímpar, �(�)=−1.
ESTA É UMA FUNÇÃO PERIÓDICA DE PERÍODO 2. POR
QUÊ?
Ora, quando � varia duas unidades, o valor da função se repete, ou seja:
�(�)=�(�+2)=�(�+4)=�(�+6)...
Dessa forma, podemos afirmar que o período dessa função é 2.
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EXEMPLO 3
Considere a função �(�)=sen(�)e � um ponto no ciclo trigonométrico.
Imagine que o ponto � se movimenta no ciclo no sentido anti-horário, a partir da posição (1,0) e dá
uma volta completa, ou seja, o ângulo � varia de 0 até 2�.
Pensando no ciclo, é possível perceber que:
Quando o ângulo � cresce de O valor �(�)=sen(�)
0 � �
2
Cresce de 0 � 1
�
2
� � Decresce de 1 � 0
� � 3�
2
Decresce de 0 � −1
3�
2
� 2� Cresce de −1 � 0
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
Assista ao vídeo e veja uma representação gráfica do que foi descrito no exemplo 3.
O fluxo de ar através da traqueia é uma função periódica do tempo � e ocorre em ambos os
sentidos dos pulmões (inspiração e expiração).
O fluxo pode ser representado pela função:
� � � � = � · ���� � � �
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Shutterstock.com
Onde:
A = fluxo máximo durante a expiração e inspiração
� = período respiratório
� = 2�� → � = o tempo que o indivíduo leva para fazer um ciclo completo
A função � é, certamente, uma aproximação, pois � varia de indivíduo para indivíduo. Mas estudos
experimentais mostram que é uma “boa” aproximação da realidade.
Imagem: Shutterstock.com
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. OBSERVE O GRÁFICO DA FUNÇÃO A SEGUIR:
ASSINALE A RESPOSTA CORRETA:
A) É uma função periódica de período 2.
B) É uma função periódica de período 1.
C) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico continuar com esse comportamento,
�(14)=2.
D) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico de da função � continuar com o mesmo
comportamento, �(17)=0.
2. SENDO �:ℝ→ℝ UMA FUNÇÃO PERIÓDICA DE PERÍODO 2, PODEMOS
AFIRMAR QUE:
A) A função �(�)=�(2�) é periódica de período 4.
B) A função �(�)=�(2�) é periódica de período 1.
C) A função ℎ(�)=�(�/2) é periódica de período 1.
D) A função ℎ(�)=�(�+�), onde � é uma constante positiva, não é periódica.
3. CONSIDERE QUE A FUNÇÃO �:[�, +∞[ →[−�,�] SEJA PERIÓDICA COM
PERÍODO 6 E SEJA ESTRITAMENTE CRESCENTE NO INTERVALO [4,10].
LOGO, PODEMOS AFIRMAR QUE:
A) �(10)=�(25) � �(4)<�(8).
B) �(12)=�(24) � �(15)<�(16).
C) �(15)=�(21) � �(21)<�(22).
D) �(18)=�(24) � �(28)<�(27).
4. SEJA A FUNÇÃO � DEFINIDA POR � � = − 2 + 3 · COS��
4
+ �
6
. O PERÍDO E
A IMAGEM � SÃO, RESPECTIVAMENTE
A) 4 e [-2,2].
B) 4 e [-5,1].
C) 8 e [-2,2].
D) 8 e [-5,1].
5. EM DETERMINADA ILHA DE TURISMO, DETERMINOU-SE QUE A
VARIAÇÃO DA MARÉ AO LONGO DO DIA PODE SER DESCRITA PELA
SEGUINTE FUNÇÃO: ���� = 2 + SEN ��
12
ONDE � É MEDIDO EM HORAS E �(�) EM METROS.
QUAL GRÁFICO REPRESENTA A VARIAÇÃO DA MARÉ AO LONGO DE UM
DIA?
A)
A)
B)
B)
C)
C)
D)
D)
6. CONSIDERANDO A FUNÇÃO �:ℝ→ℝ, DADA POR ���� = − 2 + COS��
2
+ �
3
,
DETERMINE A ALTERNATIVA CORRETA:
A) A função � é periódica com período 2.
B) A imagem de � é o intervalo [-2,2].
C) A função � é bijetora.
D) Existe � ∈ℝ, tal que �(�)= −�,�.
GABARITO
1. Observe o gráfico da função a seguir:
Assinale a resposta correta:
A alternativa "D " está correta.
Observe que a função é periódica de período 4, porque:
�(�+4)=�(�), ∀ �∈���(�)
Assim:
• �(14)=�(10+4)=�(10)=�(6)=�(2)=1;
• �(17)=�(13+4)=�(13)=0.
2. Sendo �:ℝ→ℝ uma função periódica de período 2, podemos afirmar que:
A alternativa "B " está correta.
Note que a função �(�)=�(2�) é periódica de período 1, pois:
�(�+1)=�(2(�+1))=�(2�+2)=�(2�)=�(�).
A função ℎ(�)=�(�/2) é periódica de período 4.
A função ℎ(�)=�(�+�) é periódica de período 4.
3. Considere que a função �:[�, +∞[ →[−�,�] seja periódica com período 6 e seja
estritamente crescente no intervalo [4,10]. Logo, podemos afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
Veja que �(24) = �(18 + 6) = �(18), pois � é periódica de período 6. Além disso, �(28) = �(4) = - 3
(pois � é sobrejetora e estritamente crescente em [4, 10), e também �(27) = �(9) > �(4). Assim,
�(28) < �(27)
4. Seja a função � definida por � � = − 2 + 3 · cos��
4
+ �
6
. O perído e a imagem � são,
respectivamente
A alternativa "C " está correta.
Sabemos que, uma função do tipo �(x) = A + B cos(Cx + D), seu conjunto-imagem é dado por
Im(�) = [A - B, A + B] e seu período é dado por � = 2�� . Assim, � =
2�
�
4
= 8 e Im(�) = [-2 -3, -2
+ 3] = [-5,1].
5. Em determinada ilha de turismo, determinou-se que a variação da maré ao longo do dia
pode ser descrita pela seguinte função: ���� = 2 + sen ��
12
Onde � é medido em horas e �(�) em metros.
Qual gráfico representa a variação da maré ao longo de um dia?
A alternativa "D " está correta.
Lembrando que uma função da forma �(�)=���(��+�) tem imagem dada pelo seguinte intervalo:
��(�)=[−�,�]
Então, a imagem da função ���� = 2 + ��� ��
12
 pode ser obtida da seguinte forma:
−1 ≤ ��� ��
12
≤ 1 �������� 2� ⇒
−1 ≤ 2 + ��� ��
12
≤ 3 ⇒
−1 ≤ ���� ≤ 3.
Logo, a imagem da função ���� = 2 + ��� ��
12
 é o intervalo [�;�], ou seja, a altura mínima da maré é
de 1 metro, enquanto a altura máxima é de 3 metros.
Assim, as possíveis alternativas são as das letras (b) e (d). Pelos gráficos dessas letras, vemos
que as marés baixas ocorrem às 6h e às 18h.
Calculando �(�) e �(��), obtemos:
��6� = 2 + ��� � .6
12
= 2 + ��� �
2
= 2 + 1 = 3
��18� = 2 + ��� � .18
12
= 2 + ��� 3�
2
= 2 + � − 1� = 1
Portanto, o gráfico que representa a variação da maré é o que consta na letra D.
6. Considerando a função �:ℝ→ℝ, dada por ���� = − 2 + cos��
2
+ �
3
, determine a alternativa
correta:
A alternativa "D " está correta.
Vamos analisar cada alternativa:
a) O período de uma função do tipo �(�)= � +�.���(��+�) é dado por � = 2�� . Então, no caso de
nossa função �(�), temos � = �
2
. O período será:
� = 2�� =
2�
�
2
= 2� × 2� =
4�
� = 4
Logo, o período da função dada não é 2.
b) Uma função da forma �(�)=���(��+�) tem imagem: ��(�)=[−�,�]
Então, sendo ���� = − 2 + cos��
2
+ �
3
, temos:
−1 ≤ cos��
2
+ �
3
≤ 1 �������� − 2� ⇒
−3 ≤ − 2 + cos��
2
+ �
3
≤ − 1 ⇒
����� = � − 3, − 1�
Logo, a imagem de � não é o intervalo [-2,2].
c) Como vimos na letra B, a imagem de � é:
����� = � − 3, − 1� ≠ � = ���������í���
Logo, � não é sobrejetora e, portanto, não pode ser bijetora.
d) Como vimos na letra B, a imagem da função é o intervalo [−�,−�]. Como −�,� ∈[−�,−�], então,
existe � ∈���í��� �� �=ℝ, tal que �(�)= −�,�.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
No estudo das funções reais de variável real, você pôde observar que a descrição de problemas
de nosso cotidiano é realizada com o auxílio das funções.
O entendimento das funções reais de variável real requer aprender, de maneira mais aprofundada,
a determinar o domínio e a imagem de alguns tipos de funções algébricas, bem como reconhecer
geometricamente quando a função é injetora, sobrejetora e bijetora.
É muito importante que você faça todos os exercícios propostos e estude bem os exemplos
apresentados para compreender melhor o conteúdo.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil e das
Unidades da Federação. Brasília: IBGE, 2008.
DELGADO GÓMEZ, J. J. Pré-cálculo. Rio de Janeiro: CEDERJ, 2002. v. 4.
FOMIN, D. A. Círculos matemáticos. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar I. São Paulo: Atual, 2013. v.
1.
LIMA, E.; CARVALHO, P. E. W.; MORCAGO, C. A Matemática do Ensino Médio. 9. ed. Rio de
Janeiro: SBM, 2006. v. 1.
LIVRO ABERTO. Funções. (s.d.).
LUCENA, M. Guerra às sacolinhas. Galileu, n. 225, 2010.
MAESTRI, R. Algumas boas notícias com algumas não tanto do Covid-19. Jornal GGN, mar.
2020.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. v. 1.
VISÃO SAÚDE. Covid-19: que países conseguiram contrariar a curva do Coronavírus?
Publicação em: 20 mar. 2020.
EXPLORE+
Pesquise e consulte:
O aplicativo on-line GeoGebra;
O Portal OBMEP do Saber.
Busque e analise os seguintes resultados do uso do aplicativo GeoGebra:
BORGES, A. Desenho da função seno. GeoGebra. (s.d.).
CORREIA, P. Duração do dia. GeoGebra, (s.d.).No primeiro, você encontra a construção do gráfico da função seno, e no segundo, um exercício
interessante que mostra o número de horas de sol ao longo do ano em diferentes locais do
planeta.
CONTEUDISTA
Loisi Carla Monteiro Pereira
 CURRÍCULO LATTES
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