Álgebra Linear e Geometria Analítica

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Departamento de Matema´tica da Universidade de Coimbra 30/10/12
Frequeˆncia I A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica
Licenciaturas em F´ısica e Engenharia F´ısica 1h30m
(5.5) 1. Considere as matrizes
A =
2640 �1 11 0 2
0 0 1
375 , B =
264�1 0 21 1 0
0 1 �1
375 , C =
266664
1 0 2 1
0 0 1 1
2 �1 0 0
0 0 �3 0
377775 .
a) Calcule A� 3B e A+BT .
b) Diga, justificando, se A e´ invert´ıvel e, em caso afirmativo, calcule a sua inversa.
c) Calcule det(B) , det(AB) e det(C) .
d) Mostre que, se F e´ uma matriz n ⇥ n invert´ıvel tal que F�1 = F T enta˜o
det(F 2) = 1 .
(4.5) 2. Considere o sistema de treˆs equac¸o˜es lineares nas inco´gnitas x, y, z sobre R :8>>><>>>:
x+ y � (1 + �)z = 1
x+ (1 + �)y � z = 1 + �
2x+ 2y � �(1 + �)z = �
.
a) Determine a decomposic¸a˜o LU da matriz do sistema dado.
b) Discuta o sistema em func¸a˜o do paraˆmetro � 2 R .
c) Para � = 2 , resolva o sistema indicando uma soluc¸a˜o particular do sistema e
uma soluc¸a˜o particular do sistema homoge´neo associado.
——————————————Resoluc¸a˜o Suma´ria——————————————
1. b) P1,2A = U , det(A) = 1 e A e´ invert´ıvel; enta˜o, A
�1 = U�1P1,2 e⇥
UT
�� I⇤ �!
�`2
�2`1 + `3
2641 0 00 1 0
0 1 1
�������
1 0 0
0 �1 0
�2 0 1
375 �!
�`2 + `3
2641 0 00 1 0
0 0 1
�������
1 0 0
0 �1 0
�2 1 1
375.
Assim A�1 =
2641 0 �20 �1 1
0 0 1
375
2640 1 01 0 0
0 0 1
375 =
264 0 1 �2�1 0 1
0 0 1
375.
1. d) 1 = det(FF�1) = det(F ) det(F�1) = det(F ) det(F T ) = (det(F ))2 = det(F 2) .
2. a) Sendo G =
2641 1 �1� �1 1 + � �1
2 2 ��(1 + �)
375 �!�`1 + `2
�2`1 + `3
2641 1 �1� �0 � �
0 0 (2� �)(1 + �)
375 = U . Lo-
go G = LU com L =
2641 0 01 1 0
2 0 1
375, � 6= 0 ; para � = 0, P2,3G =
2641 0 02 1 0
1 0 1
375
2641 1 �10 0 2
0 0 0
375.
2. b) Como L�1
h
1 1 + � �
iT
=
h
1 � �� 2
iT
, temos que o sistema, para � = �1
e´ imposs´ıvel, para � = 0, 2 e´ poss´ıvel e indeterminado, e para � 6= �1, 0, 2 e´ poss´ıvel
e determinado.
2. c) z e´ a inco´gnita livre; resolvendo o sistema homoge´neo associado com z = 1
obtemos a soluc¸a˜o
h
4 �1 1
iT
; resolvendo o sistema com z = 0 obtemos a soluc¸a˜oh
0 1 0
iT
. A soluc¸a˜o do sistema e´
h
0 1 0
iT
+ ↵
h
4 �1 1
iT
, ↵ 2 R.
Departamento de Matema´tica da Universidade de Coimbra 18/12/12
Frequeˆncia II A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica
Licenciaturas em F´ısica e Engenharia F´ısica 1h30m
(4.0) 3. Seja F = {(x, y, z) 2 R3 : x� 2z = 0}.
a) Prove que F e´ subespac¸o de R3.
b) Determine um conjunto gerador de F.
c) Diga se o conjunto encontrado na al´ınea b) e´ linearmente independente.
d) Determine uma base para F e a sua dimensa˜o.
(6.0) 4. Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 ! R3 definida por
T (x, y, z) = (x+ y, x+ 2y � z, x� y + 2z).
a) Determine a imagem pela transformac¸a˜o linear, T , dos vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0),
(0, 0, 1), e obtenha a matriz, A, que representa T relativamente a` base cano´nica
de R3.
b) Mostre que {(�1,�2, 1), (1, 1, 1), (�1, 1, 1)} e´ uma base de R3 formada por
vectores pro´prios de A, e conclua que A e´ uma matriz singular.
c) Mostre que A e´ diagonaliza´vel, identificando uma matriz na˜o-singular, S, e uma
matriz diagonal, ⇤, tais que ⇤ = S�1AS.
d) Calcule a projecc¸a˜o ortogonal do vector (3, 2, 1) sobre o plano C(A)(⌘ subespac¸o
das colunas de A).
——————————————Resoluc¸a˜o Suma´ria——————————————
3. Pode ver-se que F e´ o subespac¸o gerado pelos vectores (2, 0, 1), (0, 1, 0) que sa˜o
linearmente independentes. Logo dimF = 2.
4. Pode ver-se que T (x, y, z) = A
h
x y z
iT
onde A =
2641 1 01 2 �1
1 �1 2
375. Assim,
A
h
�1 �2 1
iT
= 3
h
�1 �2 1
iT
, A
h
1 1 1
iT
= 2
h
1 1 1
iT
, A
h
�1 1 1
iT
=
h
0 0 0
iT
; e, como, vectores pro´prios de uma mesma matriz associados a valores
pro´prios distintos sa˜o linearmente independentes, temos que o conjunto dos vectores
dados e´ uma base de R3. Mais ainda, como 0 e´ um valor pro´prio de A, temos que A
e´ singular. Reescrevendo as identidades anteriores em notac¸a˜o matricial temos,
AS = S⇤, onde S =
264�1 1 �1�2 1 1
1 1 1
375 e ⇤ =
2643 0 00 2 0
0 0 0
375.
Como S e´ na˜o-singular temos que A e´ diagonaliza´vel i.e. A = S⇤S�1.
Para a al´ınea d) comece por mostrar que C(A) tem como base {(1, 1, 1), (1, 2,�1)}.
Como esta base na˜o e´ ortogonal, vamos orto-normaliza´-la usando o processo de
Gram-Schmidt, i.e. u1 =
h
1 1 1
iT
e u2 =
h
1 2 �1
iT � 2/3 h1 1 1iT =
1/3
h
1 4 �5
iT
. Logo,
⇢
1/
p
3
h
1 1 1
iT
, 1/
p
42
h
1 4 �5
iT�
, e´ uma base orto-
-normal de C(A). Agora, projC(A)(3, 2, 1) = proj(1/
p
3 , 1/
p
3 , 1/
p
3)(3, 2, 1)
+proj(1/
p
42 , 4/
p
42 ,�5/p42)(3, 2, 1) = (2, 2, 2) + (1/7, 4/7,�5/7) = (15/7, 18/7, 9/7).
Departamento de Matema´tica da Universidade de Coimbra 11/01/13
Exame I A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica
Licenciaturas em F´ısica e Engenharia F´ısica 2h30m
Parte I — 1h15m
(5.0) 1. Considere as matrizes A =
2641 3 �12 1 �1
2 �1 0
375 , B =
2641 0 21 1 0
0 1 �1
375 .
a) Calcule A� BT , (AB)T .
b) Calcule det(B).
c) Diga, justificando, se A e´ invert´ıvel e, em caso afirmativo, calcule a sua inversa.
d) Seja F uma matriz n⇥ n tal que F 2 = F e F 6= I. Mostre que det(F ) = 0.
(5.0) 2. Considere o sistema de treˆs equac¸o˜es lineares nas inco´gnitas x, y, z sobre R :8>>><>>>:
x+ 2 ``` y � z = �1/2
x� y � z = ```
y + ``` z = 0
, ``` 2 R.
a) Determine a decomposic¸a˜o LU da matriz do sistema dado.
b) Discuta o sistema em func¸a˜o do paraˆmetro ``` 2 R .
c) Para ``` = �1/2 , resolva o sistema indicando uma soluc¸a˜o particular do sistema
e uma soluc¸a˜o particular do sistema homoge´neo associado.
Parte II — 1h15m
(5.0) 3. Seja A =
2641 2 31 �1 6
1 �4 9
375.
a) Sendo AT a matriz transposta de A, determine uma base ortogonal para o
espac¸o das colunas de AT , que designaremos por CAT .
b) Verifique que os subespac¸os vectoriais, nu´cleo de A, NA, e CAT sa˜o ortogonais,
considerando R3 munido do produto interno usual.
c) Determine a equac¸a˜o cartesiana que os elementos de CAT satisfazem.
(5.0) 4. Considere a matriz B =
264 3 2 �13 4 1
�3 �2 1
375.
a) Supondo que a matriz B representa uma transformac¸a˜o linear T : R3 ! R3 rela-
tivamente a` base cano´nica, identifique a matriz que representa T relativamente a`
base {p1, p2, p3}, com p1 =
h
1 �1 1
iT
, p2 =
h
�1 1 1
iT
e p3 =
h
1 1 �1
iT
.
b) Indique os valores pro´prios de B.
c) Justifique que B e´ diagonaliza´vel, identificando uma matriz � e uma matriz
invert´ıvel S tais que � = S�1B S .
d) Mostre que, se C e´ uma matriz invert´ıvel e µ e´ um seu valor pro´prio, enta˜o 1/µ
e´ valor pro´prio de C�1 .
Departamento de Matema´tica da Universidade de Coimbra 06/02/13
Exame II A´lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica
Licenciaturas em F´ısica e Engenharia F´ısica 2h30m
(4.5) 1. Considere as matrizes A =
2643 1 21 0 2
1 �2 2
375 e B =
266664
2 5 1 3
1 8 0 2
0 �2 1 1
0 1 0 0
377775 .
a) Diga se a matriz A e´ invert´ıvel e, em caso afirmativo, calcule a sua inversa.
b) Calcule det(B).
c) Seja C uma matriz n⇥ n tal que C2 = 000n⇥n . Mostre que, det(C) = 0 e que
I + C e´ na˜o-singular.
(5.0) 2. Considere o sistema de treˆs equac¸o˜es lineares nas inco´gnitas x, y, z sobre R :8>>><>>>:
�x+ 3y � z = 2
x� 3 ``` y � 2z = �2
�x+ 3y + 2z = ``` + 1
, ``` 2 R .
a) Determine a decomposic¸a˜o LU da matriz do sistema dado.
b) Discuta o sistema em func¸a˜o do paraˆmetro ``` 2 R .
c) Para ``` = �1 , resolva o sistema indicando uma soluc¸a˜o particular do sistema e
uma soluc¸a˜o particular do sistema homoge´neo associado.
(5.0) 3. Sejam M = {(x, y, z) 2 R3 : x� 2yz = 0}
e N = {(x, y, z) 2 R3 : x� 4y + 2z = 0, 2x+y = 0} .
a) Diga, justificando, se M e N sa˜o subespac¸os de R3.
b) Determine um conjunto gerador de O = {(x, y, z) 2 R3 : 2x� 3y + 2z = 0}.
c) Determine uma base de O e indique a dimensa˜o de O.
d) Determine a projecc¸a˜o de (1, 0, 1) sobre O.
(5.5) 4. Considere a transformac¸a˜o linear T : R3 ! R3 definida por
T (x, y, z) = (�2x+ 3y � 3z, 6x� 3y � z,�6x� y � 3z).
a) Determine a imagem pela transformac¸a˜o linear, T , dos vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0),
(0, 0, 1), e obtenha a matriz, A, que representa T relativamente a` base cano´nica
de R3.
b) Mostre que {(1,�1, 1), (0, 1, 1), (�1,�1, 1)} e´ uma base de R3 formada por
vectores pro´prios de A. Diga, justificando, se A e´ uma matriz na˜o-singular.
c) Mostre que A e´ diagonaliza´vel, identificando uma matriz na˜o-singular, S, e uma
matriz diagonal, ⇤, tais que ⇤ = S�1AS.
d) Mostre que, uma matriz n ⇥ n, D, tem um valor pro´prio nulo se, e somente
se, D e´ singular.