Elemat(Sinais I)

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Universidade Federal de Goia´s Professor: Maxwell
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica Elemat
Sinais de f(x) = Ax+B.
Seja f : R→ R uma func¸a˜o dada por f(x) = Ax+B. Aqui, A e B sa˜o constantes! Queremos saber:
1) Quando f(x) > 0 [isto e´, quando f(x) e´ POSITIVA.] 2) Quando f(x) < 0 [isto e´, quando f(x) e´ NEGATIVA.]
Caso I [Quando A > 0] Neste caso,
f(x) > 0⇐⇒ Ax+B > 0⇐⇒ Ax > −B ⇐⇒ x < −
B
A
.
Ou seja, f(x) > 0 SE x > −B
A
. Analogamente, f(x) < 0 SE x < −B
A
.
−−−−−−−(contra´rio do sinal de A) + ++ ++++(sinal de A)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− • −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− > sinal de Ax+B
f(x) < 0 se x < −B
A
−
B
A
f(x) > 0 se x > −B
A
Caso II [Quando A < 0] Neste caso,
f(x) > 0⇐⇒ Ax+B > 0⇐⇒ Ax > −B.
AGORA TEMOS QUE LEMBRAR QUE A < 0. Enta˜o, Dividindo a desigualdade Ax > −B por A < 0 tremos que x < −B
A
. Note que invertemos a
desigualdade!!! Ou seja, f(x) = Ax+B > 0 SE x < −B
A
. Analogamente, f(x) < 0 SE x > −B
A
.
−−−−−−−(contra´rio do sinal de A) −−−−−−−(sinal de A)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− • −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− > sinal de Ax+B
f(x) > 0 se x < −B
A
−
B
A
f(x) > 0 se x > −B
A
Observac¸o˜es
1) Note que x = −B
A
e´ uma raiz de f(x) = Ax+B. De fato, como f(x) = Ax+B, enta˜o
f
(
−
B
A
)
= A
(
−
B
A
)
−B = −B + B = 0. Ou seja, f
(
−
B
A
)
= 0.
2) Pelos casos I e II acima, a func¸a˜o f(x) = Ax+B troca de sinal quando passamos por x = −B
A
.
3) Os sinais de f(x) = Ax+ B pode ser resumido em
contra´rio do sinal de A sinal de A
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− • −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− > sinal de Ax+B
−
B
A
[EXEMPLO 1] Determine os sinais de f(x) = 10x− 5.
[SOLUC¸A˜O] Pelo que vimos acima, f(x) = 10x− 5 troca de sinal quendo passamos por sua ra´ız! Mas 10x− 5 = 0 ⇔ 10x = 5 ⇔ x = 1
2
. Note que
A = 10 e´ positiva! Portanto
−−−−−−−(contra´rio do sinal de A = +10) + ++ ++++(sinal de A = +10)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− • −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− > sinal de 10x− 5
10x− 5 < 0 se x < 1
2
1
2
10x− 5 > 0 se x > 1
2
[EXEMPLO 2] Determine os sinais de f(x) = −2x− 4.
[SOLUC¸A˜O] Pelo que vimos acima, f(x) = −2x− 4 troca de sinal quendo passamos por sua ra´ız! Mas −2x− 4 = 0 ⇔ −2x = 4 ⇔ x = −2. Note
que A = −2 e´ negativa! Portanto
+ + + ++++(contra´rio do sinal de A = −2) −−−−−−−(sinal de A = −2)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− • −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− > sinal de −2x− 4
−2x− 4 > 0 se x < −2 −2 −2x− 4 < 0 se x > −2