Elemat(Lista 2) (2013)

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Universidade Federal de Goia´s Professor: Maxwell
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica Turma: Elemat
Lista 2 (Equac¸a˜o da reta)
Sejam A = (xo, yo) e B = (x1, y1) dois pontos do plano. Sabemos que existe uma u´nica reta que passa por A e B. Ale´m disso, pelo que vimos
em sala, a equac¸a˜o de tal reta e´ dada por
y − yo = m(x− xo), onde m =
y1 − yo
x1 − xo
.
PERGUNTA:Qual o significado da equac¸a˜o acima?
RESPOSTA:
A equac¸a˜o acima diz que: um terceiro ponto C = (x, y) pertence a mesma reta que passa por pelos pontos A e B, SE, E SOMENTE SE,
y − yo = m(x− xo)
[EXEMPLO]Considere r a reta que passa pelos pontos A = (−1,−7) e B = (2, 5).
a) Encontre a equac¸a˜o da reta r. b) o ponto C = (2,−10) pertence a r? c) Em quais pontos r cruza os eixos X e Y ?
[Soluc¸a˜o da letra a)]: Pelo que vimos acima m = y1−yo
x1−xo
= 5−(−7)
(2)−(−1)
= 5+7
2+1
= 12
3
= 4. Ou seja, a inclinac¸a˜o de tal reta e´ m = 4. Portanto sua
equac¸a˜o e´ [y − (−7)] = 4[x− (−1)]. Isto e´, y + 7 = 4(x+ 1). Note que esta equac¸a˜o pode ser escrita como y = 4x− 3.
[Soluc¸a˜o da letra b)]: Ja´ sabemos que a equac¸a˜o de r e´ dada poro y = 4x − 3. Para saber se C = (2,−10) pertence a r, basta substituir os
valores x = 2 e y = −10 na equac¸a˜o da reta e VERIFICAR SE OBTEMOS UMA IDENTIDADE. Mas −10 = 4 · 2 − 3 ⇐⇒ −10 = 8− 3 ⇐⇒
−10 = 5 (ABSURDO!!!). Isso mostra que C = (2,−10) NA˜O pertence a reta y = 4x− 3.
[Soluc¸a˜o da letra c)]:
i) SE a reta r cruzar o eixo X, enta˜o o ponto C = (x, 0) DEVE pertencer a r!!! Logo, basta fazer y = 0 na equac¸a˜o y = 4x− 3. Ou seja, TEMOS
QUE TER 0 = 4x− 3. Portanto x = 3
4
. Ou seja, a reta r cruza o eixo X no ponto C =
(
3
4
, 0
)
.
ii) SE a reta r cruzar o eixo Y, enta˜o o ponto C = (0, y) DEVE pertencer a r!!! Logo, basta fazer x = 0 na equac¸a˜o y = 4x− 3. Ou seja, TEMOS
QUE TER y = 4 · 0− 3. Portanto y = −3. Ou seja, a reta r cruza o eixo Y no ponto C = (0,−3) .
1) Um avia˜o, em combate, realiza um o voˆo hiperbo´lico rasante (y = 1√
x
). Sabendo que, ao se efetuar um disparo, as balas
percorrem um caminho que e´ tangente a trajeto´ria do avia˜o, responda:
a) Obtenha a a equac¸ao da reta, que e´ a trajeto´ria das balas, sabendo que o
disparo foi feito do ponto Pa =
(
a,
1√
a
)
e que a inclinac¸a˜o da reta e´ ma =
1
2
√
a
.
b) Verifique em que ponto as balas atingem o solo.
c) Determine de qual ponto, (x0, y0), devemos atirar a fim de acertar um alvo
no ponto (6,0).
Pa
Qa
O Ra
2) Considere a func¸a˜o f : (0,∞) → R dada por f(x) = 1/√x. Pode-se mostrar que a inclinac¸a˜o da reta La, que e´ tangente
ao gra´fico de f(x) no ponto Pa = (a, f(a)), e´ dada por
−1
2a
√
a
. A figura abaixo ilustra o gra´fico da func¸a˜o, a reta La e os
pontos Qa e Ra em que a reta intercepta os eixos coordenados.
a) Qual e´ a Equac¸a˜o da reta La ?
b) Calcule as coordenadas do ponto Ra.
c) Qual e´ a a´rea do triaˆngulo OPaRa ?
d) Calcule a a´rea do triaˆngulo O Pa Qa
e) Para cada a > 0, Qual e´ a relac¸a˜o entre as a´reas dos
trinaˆngulos OPaQa e O Pa Ra?
Pa
Qa
O Ra
3) Esboc¸e o gra´fico de f(x) = |3x− 6|+ |x− 1|+x. (DICA: encontre uma lei de formac¸a˜o para f(x) que NA˜O envolva os mo´dulos!)