1 Noções gerais

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA III 1 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO ..................................................................................... 2 
NOÇÕES BÁSICAS ............................................................................. 2 
POSIÇÃO DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA ................... 3 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ................................................... 5 
RAZÃO DE SECÇÃO ......................................................................... 13 
DIVISÃO DE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA ....................... 14 
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO ................................................ 15 
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS ....................... 18 
EQUAÇÃO GERAL DA RETA ............................................................ 22 
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA ...................................................... 28 
EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA .............................................. 33 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICA............................................................... 34 
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO ................... 37 
CONDIÇÃO DE PARALELISMO ........................................................ 45 
CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO ......................................... 48 
ÂNGULO FORMADO POR DUAS RETAS ........................................ 52 
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA ............................................... 53 
ÁREA DA REGIÃO TRIANGULAR ..................................................... 58 
RESPOSTAS ..................................................................................... 61 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ........................................................ 67 
No final das séries de exercícios podem aparecer 
sugestões de atividades complementares. Estas 
sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” 
de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo 
IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017. 
 
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se 
referem ao volume 3. 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
INTRODUÇÃO 
 
Em 1637, o matemático e filósofo 
francês Renée Descartes publicou seu grande 
trabalho O Discurso sobre o Método, em que 
são estabelecidas as bases filosóficas de seu 
método para o estudo das ciências, o chamado 
método cartesiano, até hoje presente na 
organização do conhecimento em muitas 
áreas. No apêndice, Descartes ilustra o seu 
método apresentando a “Géométrie”, que foi o 
passo inicial no estabelecimento de relações 
mais estreitas entre a Álgebra e a Geometria. 
O trabalho contém uma teoria para equações 
algébricas associadas a curvas planas – por 
exemplo, equações de segundo grau 
associadas a parábolas. 
 
Alguns anos mais tarde, um outro 
matemático francês, Pierre Fermat, publicou 
um trabalho onde também relacionou 
equações a retas, às curvas que chamamos 
cônicas e a outras curvas até então pouco 
conhecidas. Tem-se registros de que as idéias 
iniciais de Fermat sobre a Geometria Analítica 
são, na verdade, anteriores ao trabalho de 
Descartes, mas esses registros só foram 
encontrados e publicados em 1769, após a sua 
morte. 
 
A Geometria Analítica, trata, portanto, 
desde a sua origem, das relações entre as 
equações algébricas e os objetos geométricos, 
buscando 
a simplificação técnica dos problemas 
geométricos e a interpretação geométrica dos 
resultados obtidos nos cálculos algébricos. Os 
cálculos e a descrição dos objetos geométricos 
ficam mais simples com os recursos algébricos 
da teoria das matrizes associados aos 
processos de resolução de equações. 
 
As técnicas da Geometria Analítica 
desempenham um papel fundamental ainda 
hoje, por exemplo, no desenvolvimento da 
Computação Gráfica. As telas dos nossos 
computadores são modelos da estrutura do 
plano cartesiano com um número finito de 
pontos, que é sempre mencionado quando 
escolhemos a configuração da tela. 
Aumentando o número de pontos, melhoramos 
a qualidade da imagem do monitor ou da 
impressão dessa imagem. Nas muitas 
utilizações de recursos de imagens, como na 
tomografia ou na localização por satélite, essa 
organização é fundamental para uma 
interpretação precisa dos resultados obtidos. 
 
 A nomenclatura da Geometria Analítica 
(coordenadas, abscissas, ordenadas, etc.) foi 
introduzida por Leibniz, que e inspirou na 
terminologia adotada pelos gregos em seus 
cálculos geométricos. As bases da Geometria 
Analítica estão, portanto, contidas nos 
trabalhos desses três grandes matemáticos - 
Descartes, Fermat e Leibniz - e foram 
posteriormente adotadas por Euler ao 
formalizar o conceito de função. 
 
NOÇÕES BÁSICAS 
 
 Consideremos dois eixos x e y 
perpendiculares em O, os quais 
determinam um plano . 
 
 Dado um ponto P qualquer tal que P  
, conduzamos por eles retas x’ e y’ tais que: 
x' // x e y’ // y. 
 
 Denominemos P1 a intersecção de x 
com y’ e P2 a intersecção de y com x’. 
 
 
 
MATEMÁTICA III 3 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
Nestas condições, definimos: 
a) abscissa de P é o número real 
xp = OP1. 
 
b) ordenada de P é o número real 
yp = OP2. 
 
c) coordenadas de P são os números reais xp 
e yp geralmente indicados na forma de um par 
ordenado (xp, yp) onde xp é o primeiro termo. 
 
d) o eixo das abscissas é o eixo Ox . 
 
e) o eixo das ordenadas é o eixo Oy. 
 
f) sistema de eixos cartesianos ortogonais (ou 
sistema ortonormal ou sistema retangular) é o 
sistema xOy. 
 
g) a origem do sistema é o ponto O. 
 
h) plano cartesiano é o plano . 
 
 
 
Ex.: Vamos localizar no plano cartesiano os 
pontos A(2, 0); B(0, 3), C(2, 5), 
D(-3, 4), E(-7, -3), F(4, -5), G(
2
5
, 
2
9
), 
H(
2
5
 , 
2
9
 ); 
 
 Entre o conjunto de pontos do plano e 
o conjunto de pares ordenados (x, y), existe 
uma correspondência biunívoca, ou seja, para 
cada ponto do plano existe um único par 
ordenado e para cada par ordenado existe um 
único ponto no plano. 
 
 A principal consequência desta 
propriedade é o fato de: 
 
 “dar um ponto” significa dar um par 
ordenado (xp, yp); 
 “pedir um ponto” significa pedir um par 
de coordenadas (xp, yp); 
 Todo ponto P procurado representa 
duas incógnitas: xp e yp. 
 
 Notemos que os pares ordenados 
A1(3, 5) e A2(5, 3) são diferentes visto que a 
ordem em que os termos são apresentados 
difere dois pares ordenados. Na figura abaixo 
você pode ver a representação destes dois 
pontos no plano. 
 
 
 
 De forma geral, se a  b então 
(a, b)  (b, a). 
 
 
POSIÇÃO DE UM PONTO EM 
RELAÇÃO AO SISTEMA 
 
 Os eixos x e y dividem o plano 
cartesiano em quatro regiões chamadas 
QUADRANTES que recebem os nomes 
indicados na figura: 
 
CASSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
 
Sendo P um ponto qualquer do plano 
cartesiano temos que: 
00.  pp yexQuadIP 
00.  pp yexQuadIIP 
00.  pp yexQuadIIIP 
00.  pp yexQuadIVP 
 Existem ainda os pontos que estão 
sobre os eixos, assim: 
 
 P pertence ao eixo das abscissas se a 
ordenada é nula: 
0 pyOxP 
 
 P pertence ao eixo das ordenadas se a 
abscissa é nula: 
0 pxOyP 
Destas propriedades temos que os pontos 
que estão no eixo vertical são do tipo (0, a) e 
os pontos do eixo horizontal são do tipo (a, 0). 
 
 O pontos do tipo (a, a) formam um 
conjunto de pontos chamado de bissetriz dos 
quadrantes ímpares. Observe a figura: 
 
 
 
Assim, temos que pp yxbP  13 
Os pontos do tipo (a, -a) formam um 
conjunto de pontos chamado de bissetriz dos 
quadrantes pares. Observe a figura: 
 
 
 
Assim, temos que 
pp yxbP  24 
 
 Se uma reta é paralela ao eixo das 
abscissas, então todos os seus pontos 
possuem a mesma ordenada. 
 
 Se uma reta é paralela ao eixo das 
ordenadas, então todos os seus pontos 
possuem a mesma abscissa. 
 
 Também valem as recíprocas das duas 
propriedades acima. 
 
01) Dados os pontos  5;5A ,  6;6 B , 
 5,2;5,2 C ,  1,9;1,9D ,  0;0E ,  0;2,7F , 
 5;0 G ,  0;3H,  2;0I ,  3; J , 
 2;2 K e 





4
18
;
2
9
L , pergunta-se: quais 
pontos são pertencentes: 
a) ao primeiro quadrante? 
 
 
 
 
b) ao segundo quadrante? 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 5 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
c) ao terceiro quadrante? 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) ao quarto quadrante? 
 
 
 
 
 
 
 
e) ao eixo das abscissas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) ao eixo das ordenadas? 
 
 
 
 
 
 
g) à bissetriz dos quadrantes ímpares? 
 
 
 
 
 
 
h) à bissetriz dos quadrantes pares? 
 
 
 
 
 
 
02) Localize no plano cartesiano, os 12 pontos 
dados na questão anterior: 
 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 
 Dados os pontos A(x1; y1) e 
B(x2; y2), calculemos a distância d entre eles: 
 
1º caso: AB é horizontal: 
 
12 xxd AB  
 
 
2º caso: AB é vertical: 
 
12 yydAB  
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 3º caso: AB é oblíqua: 
 
   212
2
12 yyxxdAB  
 
Demonstração: 
 O triângulo ABC é retângulo em C, 
assim, pelo teorema de Pitágoras temos que: 
 
222
BCACAB ddd  
 
Como  11, yxA ,  22 , yxB e  12 , yxC , 
então: 
 
   212
2
12
2
12
2
12
2
yyxxd
yyxxd
AB
AB


 
 
Observação: a notação de módulo em 12 xx  
e 12 yy  foi desconsiderada pois, ao elevar 
ao quadrado o resultado é positivo ou nulo. 
 
 
Ex.(1): Calcule a distância entre os pontos A(-
3, 6) e B(3, -2). 
 
 
   
    
 
10
100
6436
86
2633
22
22
2
12
2
12






AB
AB
AB
AB
AB
AB
d
d
d
d
d
yyxxd
 
Observação: Convém destacar que a ordem 
dos termos nas diferenças das abscissas ou 
das ordenadas não influi no cálculo de d já que 
inverteria apenas o sinal das diferenças e, 
quando elevado ao quadrado, esse sinal é 
desconsiderado. 
 
 
 
Ex. (2): A distância entre os pontos 
A(a – 1, 1) e B(-1, 2) é 3. Determine a. 
 
   
    
22
8
8
19
21113
2
2
22
2
12
2
12






a
a
a
a
a
yyxxdAB
 
 
 
MATEMÁTICA III 7 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
 
03) Calcule a distância entre os pontos dados: 
a)  7,3A e  4,1B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)  1,3 E e  5,3F 
 
 
 
 
 
 
 
 
c)  5,2 H e  0,0O 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d)  2,0 M e  2,5 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e)  3,3 P e  3,3Q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f)  0,4C e  3,0D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g)  3,1K e  4,1L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04) Qual a distância do ponto (10, -24) à 
origem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
05) Calcular a distância entre os pontos A(a-3, 
b+4) e B(a+2, b-8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06) Calcular o perímetro do triângulo ABC 
sendo dados A(2, 1), B(-1, 3) e 
 C(4, -2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
07) Mostre que o triângulo de vértices A(2, 2), 
B(-4, -6) e C(4, -12) é retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08) Qual vértice o triângulo ABC citado na 
questão anterior determina o ângulo reto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 9 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
09) Dados A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4), determine 
x de forma que o triângulo ABC seja retângulo 
em B. 
 
10) Dados A(x, 5), B(-2, 3) e C(4, 1), obter x 
forma que A seja equidistante de B e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
11) Obter P pertencente ao eixo das abscissas 
de forma que o ponto P seja equidistante de 
A(1, 3) e B(-3, 5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Determinar o ponto P da bissetriz dos 
quadrantes pares que equidista dos pontos 
A(8, -8) e B(12, -2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Dados os pontos A(8, 11), B(-4, -5) e C(-6, 
9), obter o circuncentro do triângulo ABC. 
(A resolução desta questão encontra-se na secção de respostas) 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 11 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
14) Dados os pontos M(a, 0) e N(0, a), 
determinar P de modo que o triângulo MNP 
seja equilátero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Dados os pontos B(2, 3) e C(-4,1), 
determinar o vértice A pertencente ao eixo das 
ordenadas sabendo que ABC é retângulo em 
A. 
 
 
CASSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
16) Dados A(-2, 4) e B(3, -1) vértices de um 
quadrado, determinar os outros dois vértices. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) Dados A(8, 7) e C(-2, -3), extremidades da 
diagonal de um quadrado, calcular as 
coordenadas dos outros dois vértices. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 38 – Exercício R.2 
Pág. 39 – Exercícios 1 a 6 
______________________ 
 
 
MATEMÁTICA III 13 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
RAZÃO DE SECÇÃO 
 Dados três pontos distintos e 
COLINEARES A, B e C, chama-se razão de 
secção do segmento AB pelo ponto C o 
número real r tal que: 
 
CB
AC
d
d
r  
 
 Existem duas formas de se determinar 
este r. A primeira forma é através da fórmula 
da distância como apresentado na definição 
acima, assim, sendo A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, 
y3), temos: 
 
   
   223
2
23
2
31
2
31
yyxx
yyxx
r


 
 
 A segunda forma, é por meio do 
Teorema de Talles. Observe agora a 
ilustração: 
 
 
 
Pelo teorema de Talles, podemos 
escrever: 
 
23
31
23
31
yy
yy
xx
xx
r





 
 
 Devemos ficar atentos apenas quando o 
segmento considerado for paralelo a um dos 
eixos coordenados. Note que, caso o 
segmento seja vertical, temos x1 = x2 = x3. 
Desta forma, 31 xx  e 23 xx  são, ambos 
iguais a zero e a fração 
23
31
xx
xx


 fica 
indeterminada, assim, usamos 
23
31
yy
yy
r


 . 
Situação semelhante ocorre quando o 
segmento for horizontal. Pelo mesmo motivo, 
faremos 
23
31
xx
xx
r


 . 
 
 
Ex.:Dados A(3, 7), B(5, 11) e C(6, 13), 
determine a razão entre os comprimentos dos 
segmentos AC e BC. 
 
Resolução: 
A partir das abscissas, temos: 
 
3
1
3
56
63
23
31







xx
xx
r 
 
A partir das ordenadas, temos: 
 
3
2
6
1113
137
23
31







yy
yy
r 
 
 Era natural que em ambas as situações, 
encontrássemos o mesmo resultado e, daí, 
concluímos que um segmento tem o triplo do 
comprimento do outro. 
 
 Desconsiderando o módulo na 
expressão apresentada acima, é possível, a 
partir do sinal de r, determinar a posição de C 
em relação ao segmento AB, assim, 
considerando A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), e 
fazendo 
23
31
23
31
yy
yy
xx
xx
r





 temos que: 
 
i) Cr 0 é interior a AB 
ii) Cr 0 é exterior a AB 
iii) ACr 0 
iv) Cr 1 é médio de AB 
v) 1,  rC 
 
CASSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
18) Tome três pontos quaisquer da reta abaixo 
e verifique, com números, a validade das 
afirmações do final da página anterior: 
 
 
DIVISÃO DE UM SEGMENTO NUMA 
RAZÃO DADA 
 Dados A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), 
calculemos as coordenadas (x3, y3) do ponto C 
que divide o segmento AB numa razão r 
( 1r ). Temos: 
 
 
  213
2133
3123
3123
23
31
1 xrxrx
xrxxxr
xxxrxr
xxxxr
xx
xx
r







 
 
 
 
 
 
 
  213
2133
3123
3123
23
31
1 yryry
yryyyr
yyyryr
yyyyr
yy
yy
r







 
 
 
 
 
 
 
Ex.1: Obter as coordenadas do ponto C que 
divide AB na razão 2 sendo A(1, 5) e B(4, 17). 
 
Resolução: 
13
3
39
12
1725
1
3
3
9
12
421
1
21
3
21
3














r
yry
y
r
xrx
x
 
 
Assim, temos que C(3, 13) 
1
21
3



r
xrx
x 
1
21
3



r
yry
y 
 
 
MATEMÁTICA III 15 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
Ex.2: Obter as coordenadas do ponto C que 
divide BA na razão 2 sendo A(1, 5) e B(4, 17). 
 
Resolução: 
9
3
27
12
5217
1
23
6
12
124
1
21
3
21
3














r
yry
y
r
xrx
x
 
 
Assim, temos que C(2, 9) 
 
Observe que o ponto que divide o 
segmento AB na razão 2 é diferente do ponto 
que divide o segmento BA na mesma razão 2. 
 
19) No plano cartesiano , localize os pontos 
A(1, 5) e B(4, 17) dados no exemplo anterior e 
a seguir interprete os pontos C1 e C2 que 
dividem, respectivamente, os segmentos AB e 
BA na razão 2, 
 
 
 
PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO 
 
 O ponto médio de um segmento é, como 
o próprio nome diz, o ponto que divide um 
segmento em duas partes iguais, ou seja, cuja 
razão entre seus comprimentos seja r = 1. 
Substituindo na fórmula que já temos fazendo 
x3 = xm, y3 = ym e r = 1, temos: 
11
1
1
21
21
3






xx
x
r
xrx
x
m
 
2
21 xxxm

 
11
1
1
21
21
3






yy
y
r
yry
y
m
 
2
21 yyym

 
 
 
Ex.: Obter o ponto médio do segmento AB 
sendo A(7, -2) e B(-3, 14). 
 
Resolução: 
 
2
2
37


mx e 6
2
142


my 
 
Logo, M(2, 6) 
 
20) Sendo  3,2A ,  2,1 B e 






3
1
,
3
4
C , 
determine a razão entre os segmentos AC e 
BC. 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
21) Determinar as coordenadas dos pontos 
que dividem o segmento AB em três partes 
iguais sendo A = (-1, 7) e B = (11, -8). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) Determinar os pontos que dividem AB em 
quatro partes iguais quando A = (-1, -3) e 
B = (23, 33). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Mediana de um triângulo é o segmento de reta cujas 
extremidades são um vértice do triângulo e o ponto 
médio do lado oposto. 
23) Até que ponto o segmento de extremos 
A(1, -1) e B(4, 5) deve ser prolongado para que 
seu comprimento triplique? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24) Calcular o comprimento da mediana1 AM 
do triângulo ABC cujos vértices são os pontos 
A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 17 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
25) De um triângulo ABC são conhecidos o 
vértice A = (2, 4), o ponto M(1, 2) médio do lado 
AB e o ponto N(-1, 1) médio do lado BC. 
Determine o perímetro deste triângulo. 
(A resolução desta questão encontra-se na secção de respostas) 
 
 
 
26) Sendo M(2, 1), N(3, 3) e P(6, 2) os pontos 
médios, respectivamente, dos lados AB, BC e 
CA, determine as coordenadas dos vértices A, 
B e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
27) Num triângulo ABC são dados: 
i) A(2, 0) 
ii) M(-1, 4) ponto médio de AB 
iii) dAC = 10 
iv) dBC = 210 
Obtenha o vértice C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 40 – Exercício R.4 
Pág. 41 – Exercícios 7 a 11 
______________________ 
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE 
TRÊS PONTOS 
 Observe a figura: 
 
 
Se os três pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e 
C(x3, y3), estão alinhados, então satisfazem à 
seguinte condição: 
 
32
21
32
21
yy
yy
xx
xx





. 
 
Note que 
     
1 2 1 2
2 3 2 3
1 2 2 3 2 3 1 2
1 2 1 3 2 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2
1 2 1 3 2 3 2 1 3 1 3 2
1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
x x y y
x x y y
x x y y x x y y
x y x y x y x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y 0
 

 
    
      
    
     
 
Por outro lado, sabemos que: 
 
1 1
2 2
3 3
1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
x y 1
D x y 1
x y 1
x y x y x y x y x y x y
 
     
 
 
 
Assim, podemos dizer que os três 
pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), estão 
alinhados quando: 
 
1 1
2 2
3 3
x y 1
D x y 1 0
x y 1
  
 
 
 
MATEMÁTICA III 19 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
 Observação: Este determinante acima fica 
facilmente verificado também em duas 
situações específicas: 
1º Se dois dos pontos coincidirem, teremos 
duas linhas iguais e consequentemente, D = 0. 
2º Se a reta for vertical (ou horizontal) as três 
ordenadas (ou abscissas) serão iguais. Como 
já temos uma coluna onde os três termos são 
iguais a 1, passaremos a ter duas colunas 
onde uma é combinação linear da outra, e 
assim, mais uma vez, D = 0. 
 
 
Ex.1: Mostrar que os pontos A(-1, 1), B(1, 3) e 
C(7, 9) estão alinhados. 
 
Resolução: 
 
1 1 1
1 3 1
7 9 1
1 3 1 1 1 7 1 1 9
1 3 7 1 9 ( 1) 1 1 1
3 7 9 21 9 1


          
          
      
 
 
Logo, A, B e C estão alinhados. 
 
 
Ex.2: Determine k pra que os pontos 
A(k, k), B(3, 1) e C(7, -3) estejam alinhados. 
 
Resolução: 
 
k k 1
3 1 1 0
7 3 1
k 7k 9 7 3k 3k 0
8k 16 0
8k 16
k 2


     
 


 
 
 
Resposta: k = 2 
 
 
 
28) Os pontos A(1; 3), B(2; 5) e C(49; 100) são 
colineares? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29) Determinar y para que os pontos A(3; 5), 
B(-3, 8) e C(4, y) estejam alinhados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
30) Mostrar que A(a; 2a – 1), B(a + 1; 2a + 1) e 
C(a + 2; 2a + 3) são colineares para qualquer 
valor de a real. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31) Para que valores de a existe o triângulo 
MNP onde M(0, a), N(a, -4) e P(1, 2)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32) Dados A(1, 1) e B(10, -2), obter o ponto da 
reta AB que intercepta o eixo das abscissas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33) Dados os pontos A(3, 1) e B(5, 5), 
determinar o ponto do eixo OY que também 
pertence à reta AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 21 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
34) Dados A(2, -3) e B(8, 1) determinar o ponto 
em que a reta que passa por A e B intercepta 
a bissetriz dos quadrantes ímpares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35) Sendo A(7, 4) e B(-4, 2), determinar o ponto 
de intersecção entre a reta que passa por A e 
B e a bissetriz dos quadrantes pares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36) Dados A(-3, 4), B(2, 9), C(2, 7) e D(4, 5), 
determinar a intersecção entre as retas AB e 
CD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37) Determinar m e n de tal forma que P(m, n) 
seja colinear, simultaneamente, com A(-1, -2) 
e B(2, 1) e com C(-2, 1) e D(1, -4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
38) Determinar o ponto P da reta AB que está 
à distância 5 da origem onde A(0, -25) e 
B(-2, -11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 46 – Exercícios 20 a 23 
______________________ 
EQUAÇÃO GERAL DA RETA 
 A toda reta r do plano está associada 
uma equação na forma 
ax + by + c = 0 onde a, b e c são números reais 
e a e b não são simultaneamente nulos. 
Qualquer par ordenado (x, y) que satisfaz a 
equação citada representa um ponto de r. 
 
 
 
 Dados os pontos A(x1, y1) e 
B(x2, y2), consideremos um ponto genérico 
G(x, y) pertencente à reta determinada por A e 
B, então podem os escrever que: 
 
0
1
1
1
22
11

yx
yx
yx
 
 
e, desenvolvendo o determinante, temos 
 
012122121  yxyxxyyxxyyx 
 
    012211221  yxyxxxyyyx 
 
e, por fim, fazendo ayy  21 , bxx  12 e 
cyxyx  1221 , temos: 
 
    012211221  
cba
yxyxxxyyyx 
 
 
0 cbyax 
 
 
que é chamada de EQUAÇÃO GERAL da reta. 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 23 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
 É importante destacar, que, a partir do 
que vimos, qualquer reta possui uma equação 
geral e esta pode ser encontrada a partir de 
dois de seus pontos. 
 Vale ressaltar também que uma mesma 
reta pode assumir equações diferentes visto 
que a equação encontrada depende dos 
pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) considerados. 
Entretanto, independente dos pontos 
escolhidos, as diferentes equações de uma 
mesma reta são equivalentes, daí concluímos 
que uma reta r do planoestá associada à um 
conjunto de equações equivalentes e que um 
conjunto de equações equivalentes está 
associado à uma reta. 
 O coeficientes a e b não serão 
simultaneamente nulos se os pontos A(x1, y1) e 
B(x2, y2), forem distintos, observe: 
 
BA
xxxxb
yyyya






2112
2121
00
00
 
 
Ex.1: Escrever a equação da reta que passa 
pelos pontos A(5, -1) e B(2, 3). 
 
Resolução: 
0
1
132
115


yx
 
0253215  yxyx 
01734  yx 
 
Logo, a equação procurada é 
01734  yx . 
 
Observações: 
1. Note que não é necessário fazer o esboço 
da reta em questão para encontrar sua 
equação. 
2. É possível verificar se a resposta está 
correta substituindo as coordenadas dos 
dois pontos A e B dados na equação 
encontrada, veja: 
 
Para A(5, -1): 
 
00
017320
0171354
01734



 yx
 
 
Para B(2, 3) 
00
01798
0173324
01734



 yx
 
 
Como, em ambos os casos, 
encontramos igualdades verdadeiras, 
podemos afirmar que a resposta está correta. 
 
 O que acabamos de fazer é, na verdade, 
uma forma de verificar se um ponto A pertence 
a uma reta r. 
 
 Vale ainda ressaltar que podemos 
multiplicar ambos os termos da equação 
encontrada por um número real qualquer 
diferente de zero. Isto apenas nos entregará 
uma outra equação da mesma reta. Assim, 
multiplicando os dois termos por -1, 
encontramos: 
 
 
01734
101734


yx
yx
 
 
Ex.2: Encontre a equação da reta da figura 
abaixo: 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Resolução: 
 Para escrever a equação devemos 
escolher dois pontos da reta, vamos tomar, 
neste exemplo, os pontos B(-2, 1) e E(6, 5). 
0
1
156
112


yx
 
 
0625610  yxyx 
01684  yx 
Vamos, agora, escolher outro par de 
pontos: faremos com os pontos 
A(-6, -1) e D(4, 4). 
0
1
144
116


yx
 
0464424  yxyx 
020105  yx 
Note que a equação encontrada foi 
diferente mas as duas são equivalentes, veja: 
 
 
042
5020105
401684






yx
yx
yx
 
 Logo, a equação da reta da figura e 
042  yx . 
___________________________ 
Nesta vídeo-aula, podemos ver uma forma 
diferente de se encontrar a equação geral de 
uma reta a partir de dois pontos conhecidos. 
 
 
39) Determinar as equações das retas suporte 
dos lados do triângulo ABC determinado pelos 
pontos A(0, 0), B(1, 3) e C(4, 0). 
 
 
 
MATEMÁTICA III 25 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
40) Determinar a equação da reta definida 
pelos pontos 





2
5
,
2
7
A e 






2
7
,
2
5
B . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41) A reta determinada por A(a, 0) e B(0, b) 
passa por C(3, 4). Qual a relação entre a e b? 
 
 
CASSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
42) A reta determinada por A(p, q) e 
B(3, -2) passa pela origem. Qual a relação 
entre p e q? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43) Prove que os pontos A(a; b+c), 
B(b; a+c) e C(c; a+b) são colineares e 
determine a equação de reta que os contém. 
 
 
MATEMÁTICA III 27 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
44) Dados A(-5, -5), B(1, 5), C(19, 0) e r:5x – 
3y = 0, verificar se r passa pelo baricentro do 
triângulo ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 60 – Exercício 06 
______________________ 
45) Desenhar no plano cartesiano as retas 
cujas equações são dadas a seguir: 
 
r: y = 2x 
s: x + y = 5 
t: x – y + 5 = 0 
u: x + y + 3 = 0 
v: 2y + x = 0 
w: x – y – 4 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA 
 Dada a equação geral de uma reta não 
vertical r: ax + by + c = 0 como a apresentada 
na página 2 desta mesma apostila, vamos 
isolar y: 
b
c
x
b
a
y
caxby
cbyax


 0
 
Fazendo 
b
a
m  e 
b
c
n  , temos 
 nmxyr : 
denominada equação reduzida da reta. 
 Os dois coeficientes que apareceram na 
equação reduzida merecem um estudo 
especial. Acompanhe: 
 Sejam A(x1; y1) e B(x2; y2) dois pontos 
de uma reta r: ax + by + c = 0 e  o ângulo 
formado entre r e o eixo das abscissas no 
sentido positivo. 
 
temos que: 
 
12
12
xx
yy
AC
BC
tg


 
pelo que foi definido na página 2, temos que 
12 yya  e 12 xxb  . Assim, podemos 
reescrever a expressão acima substituindo, em 
seguida, a e b: 
 
 
1 22 1
2 1 2 1
y yy y a
x x x x b
 
  
 
 
como está definido acima, 
b
a
m  , assim, 
concluímos que: 
 
tgm  
 
daí m ser chamado de coeficiente angular da 
reta ou simplesmente de declividade. 
 Para r vertical, temos x = 0 logo não há 
como representar esta reta por meio de uma 
equação reduzida visto que, inclusive, m não é 
definido para este tipo de reta. 
 Falando ainda da equação y = mx + n, 
fazendo x = 0, temos y = n, assim podemos 
concluir que a reta cruza o eixo das ordenadas 
no ponto (0, n) daí n ser chamado de 
coeficiente linear da reta. 
 A interpretação correta destes dois 
coeficientes é de suma importância para a 
perfeita localização de uma reta no plano. 
 
 
Ex.1: Reescrever na forma reduzida a equação 
da reta r dada por 0623:  yxr . 
Resolução: 
3
2
3
632
0623



xy
xy
yx
 
 
Logo, 3
2
3
:  xyr 
 
Ex.2: Escrever a equação reduzida da reta que 
passa por A(0, 3) e B(-1, 0). 
Resolução: 
 
 
 Como a reta 
passa pelo ponto 
(0, 3) já sabemos que n = 
3. Falta determinar o 
valor de m que pode ser 
encontrado fazendo-se 
x
y


: 
 
 
3
10
03










ba
ba
xx
yy
x
y
m 
 
Assim, a equação procurada é y = 3x+3 
 
 
MATEMÁTICA III 29 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
Ex.3: Obter a equação reduzida da reta que 
passa pelo ponto K(3, -1) e forma 45º com o 
eixo OX. 
 
Resolução: 
 
 
 
1
º45



m
tgm
tgm 
 
Já sabemos que m = 1, agora, tomando um 
ponto genérico (x, y) podemos escrever: 
 
 
4
31
1
3
1





xy
yx
x
y
 
Assim, a equação procurada é y = x + 4. 
 
 
Ex.4: Escrever a equação reduzida da reta que 
passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, -4). 
 
Resolução: 
 
 
 
Podemos substituir as coordenadas dos 
pontos em y = mx + n e resolver um sistema, 
veja: 
 
Para A(-3, 2), temos 2 = -3m + n. 
Para B(5, -4) temos -4 = 5m + n. 
 
4
3
68
45
23
45
23












mm
nm
nm
nm
nm
 
4
1
2
4
3
323 





 nnnm
Logo, 
4
1
4
3
 xy 
 
Observação: Os 4 exemplos acima 
podem ser resolvidos de várias outras formas 
mas o objetivo foi mostrar apenas algumas 
soluções. 
 
Nesta vídeo-aula, podemos ver uma 
forma diferente de se encontrar a equação 
reduzida de uma reta a partir de dois pontos 
conhecidos. 
 
 
CASSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
46) Determine o coeficiente angular da reta 
que passa por (0, 2) e (5, 1) e a seguir escreva 
sua equação reduzida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47) Obtenha a equação reduzida da reta que 
possui coeficiente linear -2 e coeficiente 
angular -3. 
48) Dentre os pontos A(5; -1), B(1; -5), C






 3;
3
1
 e D 





 2;
2
1
 quais pertencem à reta 
da questão anterior? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49) Escreva a equação reduzida da reta que 
passa pelo ponto  3;5 e forma, com o eixo 
das abscissas um ângulo de 60º no sentido 
positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 31 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
50) Determine as equações reduzida e geral de 
uma reta que passa pela origem e pelo ponto 






1;
2
7
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51) Determine os coeficientes angular e linear 
da reta de equação 3x + 4y – 12 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52) Encontre a tangente do ângulo indicado 
na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53) Qual a equação da reta mostrada na 
figura abaixo? 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 32 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
54) Determine a equação da reta que passa 
por P(2, 3) e pelo ponto Q simétrico de P em 
relação à origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55) Dados B(-3, -9) e C(-4, 2), determine a 
equação da reta que passa pelo ponto médio 
de BC e tem declividade 
2
3
. 
 
 
MATEMÁTICA III 33 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
56) Na figura, OABC é um quadrado. 
Determine as equações das retas AB e BC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57) Qual a área do quadrado OABC da 
questão anterior? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA 
 Consideremos uma reta que intercepta 
os eixos cartesianos nos pontos P(p, 0) e Q(0, 
q) distintos, como na figura: 
 
 
 A equação da reta é: 
 
0
10
10
1

p
q
yx
 → 0 pqpyqx → 
 → pqpyqx  → 
pq
pq
pq
pyqx


 
 
 
1
q
y
p
x
 
 
Esta equação é denominada equação 
segmentaria. 
 
Ex.1: Obter a equação geral da reta que 
intercepta o eixo Ox no ponto P(2, 0) e o eixo 
Oy no ponto Q(0, -3). 
Resolução: 
Como temos os pontos de interseção da reta 
com os eixos, podemos partir da ideia de 
equação segmentária. 
1
2 3
3 2 6
6 6
3 2 6
3 2 6 0
x y
x y
x y
x y
 



 
  
 
Assim, a equação procurada é 
3x – 2y – 6 = 0. 
 
 
CASSIO VIDIGAL 34 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Ex.2: Sendo P(p, 0) e Q(0, q) os pontos de 
intersecção da reta 0ax by c   onde 
0a b c   com cada um dos eixos 
coordenados, escreva p e q em função e a, b e 
c. 
Resolução: 
Se P e Q pertencem à reta, então: 
0 0 ...
c
a p b c p
a
         
0 0 ...
c
a b q c p
b
         
Ex.3: Qual a equação segmentaria da reta de 
equação geral 4x – 9y + 5 = 0? 
Resolução: 
 
4 9 5 0
4 9 5
4 9 5
5 5 5
1
5 5
4 9
x y
x y
x y
x y
  
  
 
 
  
 

 
 
Esta é a equação que estamos procurando e 
concluímos que a reta intercepta os eixos nos 
pontos 
5
,0
4
P
 
 
 
 e 
5
0,
9
Q
 
 
 
 . 
 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICA 
 As equações geral, reduzida e 
segmentária relacionam diretamente entre si 
as coordenadas (x, y) de um ponto genérico da 
reta. As equações paramétricas dão as 
coordenadas (x, y) de um ponto qualquer da 
reta em função [geralmente linear] de uma 
terceira variável t chamada de parâmetro. 
 
 Assim, temos que: 
 
   1 2x f t e y f t  
 
 A partir destas equações paramétricas, 
encontramos a equação geral isolando e 
eliminando o parâmetro t. 
 
Ex.1: Qual a equação geral da reta onde 
2
5
t
x

 e 3 1y t  ? 
Resolução: 
Isolando o parâmetro t em ambas as 
equações, temos: 
2
2 5 5 2
5
1
3 1 3 1
3
t
x t x t x
y
y t t y t

      

      
 
Comparando as equações, obtemos: 
1
5 2
3
15 6 1
15 5 0
y
x
x y
y

 
  
  
 
Assim, a equação procurada é 15 5 0y   . 
 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE 
 Como forma geral, no caso em que é 
dada a equação de uma reta numa 
determinada forma e pedida em outra, tal 
mudança deve ser feita passando pela forma 
geral. Veja este exemplo: 
 
 
Ex. Determine a equação reduzida da reta 
1
2
:
2
4
t
x
r
t
y



 

. 
Resolução: 
Vamos em princípio escrever a equação geral 
de r: 
1
1 2 1 2
2
2
4 2 4 2
4
4 2 1 2
2 4 3 0
t
x t x t x
t
y y t t y
y x
x y

      

      
  
  
 
 
 
MATEMÁTICA III 35 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
Agora vamos passar para a forma 
segmentária: 
2 4 3 0
2 4 3
2 4 3
3 3 3
1
3 3
2 4
x y
x y
x y
x y
  
 
 
 
 
Aí está, então, a equação segmentária de r. 
 
DICA: Compare a forma paramétrica e a 
segmentária de reta r e tira algumas 
conclusões. 
 
 
58) Determinar a equação reduzida da reta AB 
quando A = (-1, 1) e B = (7, 25). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59) Dados A(3, 10) e B(-6, -5), determinar a 
equação segmentária da reta AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60) Determinar a equação geral das retas 
abaixo: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 36 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61) Quais as coordenadas do ponto de 
intersecção com o eixo horizontal da reta do 
item c) acima? 
 
 
MATEMÁTICA III 37 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
62) Dadas as equações paramétricas de uma 
reta 
5 3
:
2 4
 

 
x t
r
y t
 , determinar a equação 
segmentária de r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63) Achar as coordenadas do ponto de 
intersecção entre as retas r e s onde: 
` 3 ` 3
: :
2 2
x t x u
r t e s u
y t y u
   
  
   
 
 
 
 
 
 
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS 
RETAS NO PLANO 
 Dadas duas retas r e s cujas equações 
são: 
1 1 1
2 2 2
:
:
 

 
r a x by c
s a x b y c
 
elas podem ocupar três posições relativas no 
plano cartesiano. Essas posições podem ser 
definidas com base na quantidade de pontos 
em comum entre as retas, isto é: 
 
r e s concorrentes 
↕ 
 um ponto em comum 
 
r s 
 
r e s paralelas distintas 
↕ 
nenhum ponto em comum 
 
r s   
 
r e s coincidentes 
↕ 
Infinitos pontos em comum 
 
r s 
 
Obs: Com o símbolo r s indicaremos 
que as retas r e s são concorrentes, com o 
símbolo r s   indicaremos que r e s são 
paralelas e distintas e com r s , indicaremos 
que r e s são coincidentes. É importante 
destacar ainda que r // s indica r s   ou 
r s . 
 
CASSIO VIDIGAL 38 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 Todo ponto comum a r e s é solução de 
um sistema linear formado pelas equações das 
retas r e s: 
1 1 1
2 2 2
:
:
 

 
r a x b y c
s a x b y c
 
 
 Se o sistema é possível e determinado, 
a única solução será o ponto de intersecção 
das retas r e s. Caso o sistema não apresente 
solução, podemos concluir que as retas são 
paralelas e distintas e, por fim, se o sistema for 
indeterminado, as retas r e s são coincidentes. 
 Vamos “resolver” o sistema acima a fim 
de entender a caracterização da posição 
relativa entre duas retas a partir dos 
coeficientes a, b e c de suas equações gerais: 
1 1 1
2 2 2
: 1
: 2
  

 
r a x b y c
s a x b y c
 
fazendo 21 b e  12  b , temos: 
 
1 2 1 2 2 1
2 1 1 2 1 2
1 2 2 1 2 1 1 2 3
  

    
  
a b x bb y b c
a b x bb y b c
x a b a b b c b c
 
 
agora, fazendo  21  a e 12 a , obtemos: 
 
 
1 2 2 1 2 1
1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 1 2 2 1 4
    

  
  
a a x a b y a c
a a x a b y a c
y a b a b a c a c
 
 
e, assim, temos que: 
2 1 1 2
1 2 2 1
3 :



b c b c
de x
a b a b
 
e 
1 2 2 1
1 2 2 1
4 :



a c a c
de y
a b a b
 
Assim, se 1 2 2 1 0 a b a b podemos 
afirmar que x e y são únicos, logo r e s são 
concorrentes: 
1 1
1 2 2 1 1 2 2 1
2 2
0     
a b
a b a b a b a b
a b
 
Por outro lado, se 1 2 2 1 0 a b a b o 
sistema será indeterminado ou impossível: se 
2 1 1 2 0 b c b c e 1 2 2 1 0 a c a c o sistema será 
indeterminado e r e s serão coincidentes; se 
2 1 1 2 0 b c b c ou 1 2 2 1 0 a c a c então o sistema 
é impossível e as retas r e s são paralelas 
distintas: 
 
1 1 1
2 1 1 2 1 2 2 1
2 2 2
0 0      
a b c
b c b c e a c a c
a b c
1 1 1
2 1 1 2 1 2 2 1
2 2 2
0 0      
a b c
b c b c ou a c a c
a b c
 
e, desta forma, podemos resumir: 
 
r s  
1 1
2 2

a b
a b
 
 r s  
1 1 1
2 2 2
 
a b c
a b c
 
r s  
1 1 1
2 2 2
 
a b c
a b c
 
 
 
Ex.1: Verificar a posição relativa das retas r e 
s em cada caso: 
a) r: x + 2y + 3 = 0 e s: 2x + 3y + 4 = 0 
Resolução: 
1 1
2 2
1 2
2 3
   
a b
a b
 r e s são concorrentes 
 
b) r: x + 2y + 3 = 0 e s: 3x + 6y + 1 = 0 
Resolução: 
1 1 1
2 2 2
1 2 3
3 6 1
    
a b c
a b c
 
r e s paralelas distintas 
 
c) r: x + 2y +3 = 0 e s: 2x + 3y + 4 = 0 
Resolução: 
 
1 1 1
2 2 2
1 2 3
2 4 6
    
a b c
a b c
 
r e s paralelas coincidentes 
 
 
MATEMÁTICA III 39 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
Ex.2: Verificar a posição relativa das retas r: x 
+ y + m = 0 e s: x + y + 2 = 0. 
Resolução: 
1 1
2 2
1 1
1 1
   
a b
a b
r e s são paralelas 
Para m = 2 temos r s (coincidentes) 
Para m ≠2 temos  r s (paralelas distintas) 
 
64) Achar a intersecção entre as retas 
: 2 3 0  r x y e : 2 3 5 0  s x y . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65) As retas suportes dos lados do triângulo 
ABC são :3 4 0 AB x y , : 4 3 0 AC x y e 
: 7 0  BC x y . Encontre os vértices deste 
triângulo. 
 
 
66) Mostre que as retas : 2 3 1 0  r x y , 
: 0 s x y e : 3 4 1 0  t x y concorrem num 
mesmo ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 40 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
68) Mostre que as retas : 2 0 r x y , 
: 2 8 0  s x y e    : 1 2 1 8 0    t k x k y 
concorrem num mesmo ponto P, ∀ k ∈ ℝ 
 
68) Determine k para que as retas de equações 
x + 2y – 2k = 0, kx – y – 3 = 0 e 2x – 2y – k = 0 
sejam concorrentes no mesmo ponto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 41 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
69) Mostre que as retas : 2 3 0r x y  , 
   : 2 1 3 2 5 0s m x m y     e
: 2 5 0t x y   são concorrentes num mesmo 
ponto, qualquer que seja m. 
 
70) Determine a de modo que as retas 
: 3 0r x y a   , : 3 1 0s x y   e 
5 1 0x y   sejam suportes para os lados de 
um triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 42 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
71) Em cada caso, determine a equação da 
reta que passa pelo ponto P e é paralela à 
reta r: 
a) P(1, 2) e :8 2 1 0  r x y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) P(2, 5) e : 1
2 3
 
x y
r 
c) P(4, -4) e : 5 0  r x y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) P(-1, 3) e : 2 5 7 0  r x y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 43 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
e) P(-4, 2) e : 2 0 r y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) P(2, -5) e : 2r x 
72) Determine o perímetro do triângulo ABC 
que verifica as seguintes condições: 
 O vértice A pertence ao eixo OX 
 O vértice B pertence ao eixo OU 
 A reta BC tem equação 0x y  
 A reta AC tem equação 2 3 0x y   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 44 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
73) Dadas as retas: 
: 2 3 0
: 2 3 0
: 2 5 0
: 2 4 3 0
: 3 6 3
: 4 2 6
r x y
s x y
t x y
u x y
v x y
z x y
  
  
  
  
  
  
 
Determine a posição relativa entre: 
r e s 
r e t 
r e u 
r e v 
r e z 
s e t 
s e u 
s e v 
s e z 
t e u 
t e v 
t e z 
u e v 
u e z 
v e z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74) Quando nos deparamos com a equação 
2x + 6y – 10 = 0 temos o hábito de dividir todos 
os coeficientes por 2 a fim de simplificar os 
coeficientes. Neste caso, obtemos a equação x 
+ 3y – 5 = 0. Verifique se as duas equações 
representam ou não a mesma reta. 
 
 
 
MATEMÁTICA III 45 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
CONDIÇÃO DE PARALELISMO 
 Dadas duas retas r e s, não verticais, 
são paralelas se, e somente se, seus 
coeficientes angulares são iguais. 
 
 
/ / r sr s m m  
 
Demonstração: 
 
 
 
1 2
1 2
/ /
r s
r s
tg tg
m m
 
 



 
 
 
Ex.1: Verificar se as retas : 3 6 1 0r x y   e 
: 2 4 7 0s x y   são paralelas. 
Resolução: Vamos escrever as duas equações 
na forma reduzida: 
Reta r: 
3 6 1 0
6 3 1
3 1
6
1 1
2 6
x y
y x
x
y
y x
  
  
 

  
 
 
1
2
rm   
Reta s: 
2 4 7 0
4 2 7
2 7
4
1 7
2 4
x y
y x
x
y
y x
  
  
 

  
 
 
1
2
sm   
 
Como mr=ms, podemos afirmar que r//s. 
 
 
Ex.2: Escrever a equação da reta s que passa 
pelo ponto (3, -1) e é paralela á reta 
: 2 3 6 0r x y   . 
 
Resolução: 
Vamos, em princípio, encontrar a inclinação da 
reta r escrevendo sua equação reduzida: 
2 3 6 0
3 2 6
3 2 6
2 6
3
2
2
3
x y
y x
y x
x
y
y x
  
   
 


 
 
assim, concluímos que 
2
3
rm  . Como r sm m 
pois s deve ser paralela a r, já conhecemos a 
inclinação de s e um de seus pontos. 
Usaremos agora o mesmo princípio visto nos 
exemplos 3 e 4 das páginas 145 e 146: 
 
 12
3 3
2 6 3 3
2 3 9 0
p
s
p
y y
m
x x
y
x
x y
x y



 


  
  
 
 
daí, a equação procurada é : 2 3 9 0s x y   . 
 
Obs.: Existe uma outra forma de resolver esta 
questão e partiremos da ideia de que duas 
retas paralelas, quando escritas na forma geral 
( 0ax by c   ) possuem os coeficientes a e b 
iguais diferenciando apenas o coeficiente c 
caso não sejam coincidentes. Daí substituímos 
as coordenadas do ponto P em r deixando c 
como incógnita, observe: 
 
2 3 0
2 3 3 1 0
6 3 0
9 0
9
x y c
c
c
c
c
  
     
  
 
 
 
 
por fim, substituímos 9c   na primeira linha 
a fim de encontrarmos a equação e fica 
: 2 3 9 0s x y   . 
 
 
CASSIO VIDIGAL 46 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
75) Determinar a equação da reta s que 
contém P(-5, 4) e é paralela à reta de equações 
paramétricas 
3
:
2 5
x t
r
y t


 
 
76) Determinar a equação da reta que passa 
por P(-5, 2) e é paralela à reta definida por 
1 6
,
2 5
A
 
 
 
 e 
3 4
,
2 5
B
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 47 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
77) Determinar a equação da reta que passa 
pelo ponto de intersecção das retas r e t e é 
paralela à reta s. Dados: 
: 1
2 2
x y
r   , 
3
:
2 3
x t
s
y t


 
 e : 3 4 0t x y  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
78) Dois lados de um paralelogramo ABCD 
estão contidos nas retas : 2r y x e : 2s x y
. Dado o vértice (5, 4)A , determine os vértices 
B, C e D. 
 
 
CASSIO VIDIGAL 48 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
CONDIÇÃO DE 
PERPENDICULARISMO 
 
 Duas retas r e s são perpendiculares 
entre si se, e somente se, o produto de seus 
coeficientes angulares for igual a -1. 
 
 
1r sr s m m     
 
Demonstração: 
 
Conforme o caso, das figuras acima, tiramos: 
2 1
2

   ou 1 2
2

   
Pois o ângulo externo é igual a soma dos 
ângulos externos não adjacentes, lembra-se? 
 
Então: 
 
2 1
2 1
2 1
2
1
2 1
2
2
cot
1
1
1r s
tg tg
tg g
tg
tg
tg tg
m m r s

 

 
 


 
 
 
  
 
 
 
  
    
 
 
Observação: 
Existem duas formas práticas de 
determinar se duas retas são perpendiculares: 
1. A partir de suas equações reduzidas 
: r rr y m x b  e : s ss y m x b  , as retas r e 
s serão perpendiculares se: 
 
 1
r
s
m
m
  
 
 
2. A partir de suas equações gerais 
: 0r r rr a x b y c   e : 0s s ss a x b y c   , 
as retas r e s serão perpendiculares se: 
 
 
0r s r sa a b b  
 
 
 
Ex.1: Verificar se as retas : 3 2 1 0r x y   e 
: 4 6 3 0s x y   são perpendiculares. 
Resolução: 
 
3
2 3 2
1
2 34 2
6 3
r
r
r
s
s
s
a
m
b
a
m
b

    

    
    
 
 
logo, as retas r e s são perpendiculares. 
 
Ex.2: Escreva a equação da reta s que passa 
pelo ponto (6, -1) e é perpendicular à reta 
: 3 2 1 0r x y   . 
Resolução: 
3
2
3
2
1
1 2
3
r
r
r
s
r
s
a
m
b
m
m
m

   
 
  
 
1 2
6 3
3 3 2 12
2 3 15 0
s
y
m
x
y x
x y

 

  
  
 
Assim, a equação procurada é 
: 2 3 15 0s x y   
 
Ex.3:Qual a equação da reta mediatriz do 
segmento AB onde A = (3, 2) e 
B = (-4, 6)? 
Resolução:Primeiramente vamos encontrar o ponto 
médio do segmento AB. 
 3 4 1
2 2
Mx
 
   
2 6
4
2
My

  
1
, 4
2
M
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 49 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
Agora calculamos a inclinação da reta 
que passa por A e B. 
 
2 6 4 4
3 4 7 7
AB ABm m
 
    
 
 
 
 A inclinação da reta r, perpendicular 
àquela determinada por A e B pode ser 
encontrada a partir de 
1
r
AB
m
m
  , assim: 
4
7
1 7
4
rm 
   
Por fim, vamos escrever a equação da 
reta r que passa por 
1
, 4
2
M
 
 
 
 e tem 
inclinação 
7
4
rm  : 
7 4
14
2
7
7 4 16
2
49
7 4 0
2
y
x
x y
x y


 
  
 
  
  
 
 
14 8 49 0x y   
 
 
 
79) Mostre que as retas : 1
7 9
x y
r   e 
:
9 7
x y
s  são perpendiculares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80) Determinar a equação da reta que passa 
pelo ponto P e é perpendicular à reta r em cada 
caso: 
a) P(-3, 2) e : 3 4 4 0r x y   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) P(2, 6) e : 2 3 0r x y   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) P(1, 4) e : 1 0r x y   
 
 
CASSIO VIDIGAL 50 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
d) P(3, 5) e : 4 0r y   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
81) Dadas as retas 
2: 0r p x py p   e 
 : 3 1 7 0s x p y    , determine p de forma 
que r e s sejam perpendiculares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
82) Determinar a projeção ortogonal do ponto 
P(-7, 15) sobre a reta 
2
:
3
x t
r
y t



. 
 
 
 
MATEMÁTICA III 51 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
83) Determinar a projeção do ponto 
P(3, 2) sobre a reta : 1 0r x y   . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
84) Determinar o ponto Q, simétrico de 
 3, 2P  em relação á reta 
r: x + y – 1 = 0. 
 
 
CASSIO VIDIGAL 52 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
ÂNGULO FORMADO POR DUAS 
RETAS 
 Consideremos duas retas concorrentes 
r e s, oblíquas aos eixos coordenados e não 
perpendiculares entre si, de coeficientes mr e 
ms respectivamente. A tangente do ângulo  
formado entre elas pode ser encontrada a 
partir de mr e ms. 
 
 
1
tg tg
tg tg
tg
tg tg
  
  
  
 

 
 
 
 


 
 
 
1
r s
r s
m m
tg
m m



 
 
Observações: 
1. Se r e s forem paralelas, mr = ms e  = 
0. 
2. Se r e s são perpendiculares, mrms = -1 
e  = 90º. 
3. Se uma das retas for vertical, temos: 
 
 
 
90º
90º
90º
cotg
1
tg tg
tg
tg
tg
 
 
 
 


 
 
 


 
 1
s
tg
m
  
 
Ex.: Determinar o ângulo agudo formado entre 
as retas  : 4 3 5r y x   e : 2 7 0s x y   . 
Resolução 
 : 4 3 5
4 3 15
3 11
3r
r y x
y x
y x
m
  
  
 

 
: 2 7 0
2 7
2s
s x y
y x
m
  
  
 
 
 
 
3 2 5
1 3 2 5
1 45º
tg
tg

 
 
 
   
  
 
Observação: As retas r e s deste exemplo 
formam dois ângulos: um de 45 e outro de 
135º. Pense nisso e justifique a presença 
do módulo na fórmula a que chegamos na 
coluna ao lado. 
 
85) Determinar o ângulo agudo formado entre 
as retas : 4 6r y x  e  
1
: 3 5
4
s y x    . 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 53 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
86) Determinar a tangente do ângulo agudo 
formado pelas retas r: y = 7 e 
s:2x – 3y + 5 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
87) Determinar a equação da reta que passa 
pelo ponto P(2, 1) e forma um ângulo de 45º 
com a reta de equação y = 5x + 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA 
 Sabemos que calcular a distância entre 
um ponto P e uma reta r é, na verdade, 
encontrar a MENOR distância entre P e r e isto 
pode ser feito encontrando-se a distância de P 
até sua projeção ortogonal P’ em r. 
 Uma outra forma de encontrar tal 
distância é aplicando uma fórmula de 
demonstração não tão simples a ponto de não 
caber neste curso mas que pode ficar como 
pesquisa para interessados. 
 Dados um ponto P(xP, yP) e uma reta r: 
ax + by + c = 0, a distância entre P e r pode ser 
encontrada a partir de: 
 
Pr
2 2
P Pax by c
d
a b
 


 
 
 
Ex.1: Determinar a distância entre o ponto P(3, 
-1) e a reta : 2 4 0r x y   . 
Resolução: 
 
Pr
2 2
3 2 1 4 3 3 5
551 2
d
   
  

 
 
Assim, a distância procurada é 
3 5
5
u. c. 
 
Ex.2: Encontrar a distância ente as retas 
: 2 3 10 0r x y   e : 2 3 6 0s x y   . 
Resolução: 
Se r e s são duas retas paralelas, então 
a distância entre elas é igual à distância entre 
um ponto e r e a reta s, assim, vamos encontrar 
um ponto qualquer de r e achar a distância 
deste ponto até s. 
Determinando um ponto de r: 
Fazendo, arbitrariamente, x = -1, temos 
 2 1 3 10 0
3 12 0
3 12
4
( 1, 4)
y
y
y
y
P
    
 



 
 
CASSIO VIDIGAL 54 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Agora vamos, aplicando a fórmula, calcular a 
distância de ( 1, 4)P  à reta : 2 3 6 0s x y   : 
 
Pr
2 2
2 1 3 4 6 4 4 13
13132 3
d
    
  

 
 
Logo, a distância procurada é 
4 13
13
u. c. 
 
 
88) Nos seguintes casos, calcule a distância de 
P e r: 
a) P(0, 3) e r: 4x + 3y + 1 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) P(1, -5) e r: 3x – 4y – 2 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) P(3, -2) e r: 2x + y + 6 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) P(6, 4) e r: y – 2 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
89) Sendo P a intersecção a reta 
r: x + y – 4 = 0 e o eixo das abscissas e s a reta 
de equação 3x – 4y + 10 = 0, determine a 
distância entre P e s. 
 
 
MATEMÁTICA III 55 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
90) Determine a distância entre as retas 
paralelas : 4 3 9 0r x y   e 
: 4 3 6 0s x y   . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
91) Determine k sabendo que a distância entre 
o ponto P(0, k) e a reta : 4 3 2 0r x y   é 2, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
92) Se a distância de P(k, 2) à reta 
: 3 4 40 0r x y   é 4 unidades, qual o valor 
de k? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 56 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
93) Qual a distância do ponto A(8, 7) à reta 
determinada pelos pontos B(7, -2) e C(-2, 3)? 
 
94) Os pontos A(1, -2), B(9, 3) e C(-1, 4) são 
vértices de um triângulo. Quanto mede a altura 
relativa ao lado BC? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 57 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
95) As retas : 5 3 7 0r x y   , 
: 4 17 0s x y   e : 3 11 23 0t x y   são 
suportes dos lados de um triângulo. 
Determine a altura relativa ao lado definido 
pela reta t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
96) Calcule a área do ABC definido pelos 
pontos A(1, -2), B(9, 3) e C(-1, 4). (Dica: chame o 
lado BC de base e a distância do ponto A à reta BC de altura 
e, a seguir, faça S = b x h) 
 
CASSIO VIDIGAL 58 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
ÁREA DA REGIÃO TRIANGULAR 
 No último tópico da apostila anterior 
vimos que o determinante 
1 1
2 2
3 3
x y 1
x y 1
x y 1
 é igual a 
zero se, e somente se, os pontos 1 1A(x , y ) , 
2 2B(x , y ) e 3 3C(x , y ) estão alinhados. Caso 
estes pontos não estejam alinhados, eles 
formarão os vértices de um triângulo e esse 
mesmo determinante ajudará a encontrar a 
área deste triângulo. 
 Chamando de D o determinante acima e 
de S a área do triângulos de vértices A, B e C 
temos que: 
 
1 1
2 2
3 3
x y 1
D x y 1
x y 1
 e 
1
S D
2
 
 
Ex.: Calcule a área do ABC definido pelos 
pontos A(1, -2), B(9, 3) e C(-1, 4). 
Resolução: 
1 2 1
D 9 3 1 58
1 4 1

  

 
1
S 58 29
2
   
Assim, a área do ABC é 29 u. a. 
 
97) Calcule a área do triângulo que tem como 
vértices, os pontos A(4, 0), B(-1, 1) e C(-3, 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
98) Um triângulo com vértices nos pontos A(5, 
3), B(4, 2) e C(2, k) tem área igual a 8. Calcule 
k.MATEMÁTICA III 59 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
99) As retas suporte dos lados de um triângulo, 
tem como equações r : y 5 0  , 
s : x 2y 1 0   e t : x 2y 7 0   . Calcule a 
área deste triângulo. 
 
100) Sabendo que os pontos A(m, m), 
B(m, -m) e C(0, 0) são vértices de um triângulo, 
determine sua área em função de m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 60 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
101) Calcule a área do quadrilátero definido 
pelos pontos A(-2, -1), B(2, -2) C(-1, 4) e 
D(11, 5). 
 
102) Mostre que o segmento que une os 
pontos médios de dois lados de um triângulo: 
a) é paralelo ao terceiro lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) tem comprimento igual à metade do 
comprimento do terceiro lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 61 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
103) Sendo A, B e C os vértices que um 
triângulo e M, N e P os pontos médios de cada 
lado, determine a razão entre as áreas dos 
triângulos ABC e MNP. 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
01) a) A, J e L b) D 
 c) B d) C, e K 
 e) E, F, H f) E, G, I 
 g) A, B, E, L h) C, D, E, K 
 
02) 
 
 
03) a) 13 b) 6 
 c) 29 d) 5 
 e) 26 f) 5 
 g) 5 
 
04) 26 05) 13 
 
06) 25132  07) demonstração 
 
08) B 
 
09) Resolução 
 
Dados A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4), determine x 
de forma que o triângulo ABC seja retângulo 
em B 
Se é retângulo em B, então AC é hipotenusa 
e AB e BC são catetos. Assim: 
𝑑𝐴𝐶
2 = 𝑑𝐵𝐶
2 + 𝑑𝐴𝐵
2
 
(√(4 − 𝑥)2 + (5 − 4)2)
2
= 
(√(1 − 𝑥)
2
+ (1 − 4)2)
2
+ (√(4 − 1)
2
+ (5 − 1)2)
2
 
(4 − 𝑥)2 + (5 − 4)2
= (1 − 𝑥)2 + (1 − 4)2 + (4 − 1)2
+ (5 − 1)2 
16 − 8𝑥 + 𝑥2 + 1 = 1 − 2𝑥 + 𝑥2 + 9 + 9 + 16 
−6𝑥 = 18 
𝑥 = 3 
 
CASSIO VIDIGAL 62 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
10) Resolução 
 
Dados A(x, 5), B(-2, 3) e C(4, 1), obter x 
forma que A seja equidistante de B e C. 
Resolução 
Equidistante significa MESMA DISTÂNCIA. 
Isso quer dizer que 𝐷𝐴𝐵 = 𝐷𝐴𝐶 então: 
√(𝑥 + 2)2 + (5 − 3)2 = √(𝑥 − 4)2 + (5 − 1)2 
Elevando os dois lados ao quadrado 
(podemos fazer isso porque como estamos 
trabalhando com distâncias, sabemos que 
só estamos lidando com números positivos) 
(𝑥 + 2)2 + (5 − 3)2 = (𝑥 − 4)2 + (5 − 1)2 
𝑥2 + 4𝑥 + 4 + 4 = 𝑥2 − 8𝑥 + 16 + 16 
12𝑥 = 24 
𝑥 = 2 
11) Resolução 
 
Se P pertence ao eixo das abscissas, então 
ele é o tipo (x, 0) 
Se é P equidistante de A e B, então 
√(1 − 𝑥)2 + (3 − 0)2 = √(−3 − 𝑥)2 + (5 − 0)2 
(1 − 𝑥)2 + (3 − 0)2 = (−3 − 𝑥)2 + (5 − 0)2 
1 − 2𝑥 + 𝑥2 + 9 = 9 + 6𝑥 + 𝑥2 + 25 
−8𝑥 = 24 
𝑥 = −3 
12) P(-5, 5) 
 
13) Resolução 
 
O circuncentro (Centro da 
circunferência circunscrita ao triângulo) é um 
ponto equidistante dos três vértices. 
 
 
 
Tomando P(x, y) e fazendo 
dPA = dPB, temos 
 
     22 118 yx 
   22 54  yx 
 
       2222 54118  yxyx 
 121226416 22 yyxx 
2510168 22  yyxx 
 
411081852216  yxyx 
 
01443224  yx 
 
01843  yx 
 Fazendo agora dPB = dPC, temos: 
 
     22 54 yx 
   22 96  yx 
 
       2222 9654  yxyx 
 
 2510168 22 yyxx 
81183612 22  yyxx 
 
117181241108  yxyx 
 
076284  yx 
 
0197  yx 
 
 
Montando um sistema com as duas 
equações lineares encontradas temos: 
 
 











197
1843
0197
01843
yx
yx
yx
yx
 
  
 x = 2 e y = 3 
 Assim, temos P(2, 3) 
 
14) Resolução 
 
Chamaremos P de (x, y). 
Se o triangulo é equilátero, então 𝑑𝑀𝑁 =
𝑑𝑀𝑃 = 𝑑𝑁𝑃, assim: 
√(𝑎 − 0)2 + (0 − 𝑎)2
= √(𝑎 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2
= √(0 − 𝑥)2 + (𝑎 − 𝑦)2 
 
Da segunda igualdade: 
√(𝑎 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2
= √(0 − 𝑥)2 + (𝑎 − 𝑦)2 
(𝑎 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2 = (0 − 𝑥)2 + (𝑎 − 𝑦)2 
𝑎2 − 2𝑎𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑎2 − 2𝑎𝑦 + 𝑦2 
2𝑎𝑥 = 2𝑎𝑦 
𝑥 = 𝑦 
 
 
MATEMÁTICA III 63 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
Agora trabalharemos com a primeira 
igualdade: 
√(𝑎 − 0)2 + (0 − 𝑎)2
= √(𝑎 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2 
(𝑎 − 0)2 + (0 − 𝑎)2 = (𝑎 − 𝑥)2 + (0 − 𝑦)2 
𝑎2 + 𝑎2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑥 + 𝑥2 + 𝑦2 
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑎𝑥 − 𝑎2 = 0 
 
Como 𝑥 = 𝑦, 
𝑥2 + 𝑥2 − 2𝑎𝑥 − 𝑎2 = 0 
2𝑥2 − 2𝑎𝑥 − 𝑎2 = 0 
Δ = (−2𝑎)2 − 4 ∙ 2 ∙ (−𝑎2) = 4𝑎2 + 8𝑎2
= 12𝑎2 
𝑥 =
2𝑎 ± √12𝑎2
2 ∙ 2
=
2𝑎 ± 4𝑎√3
4
=
𝑎 ± 2𝑎√3
2
 
𝑥1 =
𝑎 + 2𝑎√3
2
 𝑒 𝑥2 =
𝑎 − 2𝑎√3
2
 
 
Assim, o ponto P pode ser dado por 
(
𝑎+2𝑎√3
2
,
𝑎+2𝑎√3
2
) ou (
𝑎−2𝑎√3
2
,
𝑎−2𝑎√3
2
) 
 
15) Resolução 
 
Se é retângulo em A, então 
𝑑𝐵𝐶
2 = 𝑑𝐴𝐵
2 + 𝑑𝐴𝐶
2
 
Vamos chamar A de (x, y), assim: 
(√(2 + 4)2 + (3 − 1)2)
2
= (√(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2)
2
+ (√(𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 1)2)
2
 
(2 + 4)2 + (3 − 1)2
= (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 3)2
+ (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 1)2 
36 + 4 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 − 6𝑦 + 9 + 𝑥2
+ 8𝑥 + 16 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 
2𝑥2 + 2𝑦2 + 4𝑥 − 8𝑦 − 10 = 0 
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 4𝑦 − 5 = 0 
Se A pertence ao eixo das ordenadas, 
então 𝑥𝐴 = 0, logo: 
02 + 𝑦2 + 2 ∙ 0𝑥 − 4𝑦 − 5 = 0 
𝑦2 − 4𝑦 − 5 = 0 
𝑦1 = −1 𝑒 𝑦2 = 5 
Assim, 𝐴 = (0, −1) ou 𝐴 = (0, 5) 
 
16)    9,34,8 DeC ou 
    1,76,2  DeC 
 
17)  3,8 e  7,2 
 
18) Questão aberta. 
 
19) Questão aberta. 
 
20) 2 
 
21) Resolução 
 
Observe a figura que ilustra a questão 
 
 
Assim, podemos afirmar que C é ponto 
médio de AD e D é ponto médio de CB. 
Baseado nisso, podemos escrever que: 
(primeiro trabalharemos com as 
abscissas) 
𝑥𝐴 + 𝑥𝐷
2
= 𝑥𝐶 → −1 + 𝑥𝐷 = 2𝑥𝐶
→ −2𝑥𝐶 + 𝑥𝐷 = 1 
𝑥𝐶 + 𝑥𝐵
2
= 𝑥𝐷 → 𝑥𝐶 + 11 = 2𝑥𝐷
→ 𝑥𝐶 − 2𝑥𝐷 = −11 
Montando um sistema com as equações 
encontradas: 
{
−2𝑥𝐶 + 𝑥𝐷 = 1
𝑥𝐶 − 2𝑥𝐷 = −11
→ ⋯ → 𝑥𝐶 = 3 𝑒 𝑥𝐷 = 7 
Agora seguiremos o mesmo 
procedimento em termos das ordenadas 
𝑦𝐴 + 𝑦𝐷
2
= 𝑦𝐶 → 7 + 𝑦𝐷 = 2𝑦𝐶
→ −2𝑦𝐶 + 𝑦𝐷 = −7 
𝑦𝐶 + 𝑦𝐵
2
= 𝑦𝐷 → 𝑦𝐶 − 8 = 2𝑦𝐷 → 𝑦𝐶 − 2𝑦𝐷
= 8 
Montando um sistema com as equações 
encontradas: 
{
−2𝑦𝐶 + 𝑦𝐷 = −7
𝑦𝐶 − 2𝑦𝐷 = 8
→ ⋯ → 𝑦𝐶 = 2 𝑒 𝑦𝐷
= −3 
 
 
CASSIO VIDIGAL 64 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Assim, os pontos C e D possuem 
coordenadas (3, 2) e (7, -3) 
respectivamente 
 
22) (5, 6), (11, 15) e (17, 24) 
 
23) Observemos a figura que ilustra a 
questão: 
 
Na figura, B é médio de AC e C é médio 
de BD. Se estender o segmento AB até 
C, o segmento dobra de tamanho. 
Estendendo até D, o segmento triplica 
de tamanho (na direção de B). 
Se B é médio de AC, então 
1 + 𝑥𝐶
2
= 4 → ⋯ → 𝑥𝐶 = 7 𝑒 
−1 + 𝑦𝐶
2
= 5
→ ⋯ → 𝑦𝐶 = 11 
Logo 𝐶 = (7, 11) 
Se C é médio de BD, então 
4 + 𝑥𝐷
2
= 7 → ⋯ → 𝑥𝐷 = 10 𝑒 
4 + 𝑦𝐷
2
= 11
→ ⋯ → 𝑦𝐷 = 18 
Assim, as coordenadas do ponto D são 
(10, 18). 
Observação: este problema possui 
outras respostas e outras formas de 
resolver. Esta é UMA DAS possíveis 
respostas pois existem infinitas formas 
de estender o segmento e ele triplicar 
de tamanho. 
 
24) Resolução: 
 
A mediana AM liga o vértice A ao ponto 
médio do lado BC. 
 
Médio de BC: 
𝑥𝑚 =
𝑥𝐵 + 𝑥𝐶
2
→ 𝑥𝑚 =
3 + 5
2
→ 𝑥𝑚 = 4 
𝑦𝑚 =
𝑦𝐵 + 𝑦𝐶
2
→ 𝑦𝑚 =
7 − 1
2
→ 𝑦𝑚 = 3 
 
Logo o ponto M tem coordenadas (4, 3) 
 
Agora vamos determinar a distância 
entre A e M para encontrar o 
comprimento da mediana em questão 
𝑑𝐴𝑀 = √(0 − 4)
2 + (0 − 3)2 = ⋯ = 5 
 
Resposta: 5 
 
25) Resolução: 
 Se M é ponto médio de AB, então: 
 
0
2
4
2
2
0
2
2
1
2










B
BBA
m
B
BBA
m
y
yyy
y
x
xxx
x
 
Assim, temos B = (0, 0) 
 
 Se N é ponto médio de BC, então: 
 
2
2
0
1
2
2
2
0
1
2










C
CCB
m
C
CCB
m
y
yyy
y
x
xxx
x
 
Assim, temos c= (-2, 2) 
 
 Perímetro = dAB + dAC + dBC 
 
   
   
    52202422
2282020
52200402
22
22
22



BC
AC
AB
d
d
d
 
 
 
 25222254
522252

 BCACAB ddd 
 
 Resposta:  2522  
 
26) A(5; 0), B(-1; 2) e C(7; 4) 
 
27) C(10; 6) ou C(-6, -6) 
 
28) Não 29) 
9
y
2 
 
30) (Demonstração) 
 
31) a  -1 e a  4 
 
32) (4, 0) 33) (0, -5) 
 
34) (-13, -13) 35) 
30 30
,
13 13
 
  
 
 
 
36) Resolução 
 
Consideremos o ponto P (x, y) como 
sendo a interseção entre as retas. Assim, 
 
 
MATEMÁTICA III 65 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
P está alinhado com AB e também com 
CD. Desta forma: 
1) Considerando os pontos A, B e P 
|
−3 4 1
2 9 1
𝑥 𝑦 1
| = 0 → ⋯ → −5𝑥 + 5𝑦 − 35
= 0 → −𝑥 + 𝑦 − 7 = 0 
 
 
2) Considerando os pontos C, D e P 
|
2 7 1
4 5 1
𝑥 𝑦 1
| = 0 → ⋯ → 2𝑥 + 2𝑦 − 18 = 0 
→ 𝑥 + 𝑦 − 9 = 0 
 
Vamos, agora, montar um sistema com 
as duas equações encontradas: 
{
−𝑥 + 𝑦 − 7 = 0
𝑥 + 𝑦 − 9 = 0
→ ⋯ → 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 8 
 
Logo o ponto de intersecção entre as 
retas é 𝑃(1, 8) 
37) 
1
m
2
  e 
3
n
2
  
 
38) Resolução 
 
O ponto P tem coordenadas (x, y). 
1) Se pertence à reta AB, está alinhado 
com A e B, então |
0 −25 1
−2 −11 1
𝑥 𝑦 1
| = 0 
logo, −14𝑥 − 2𝑦 − 50 = 0 e, 
consequentemente, 7𝑥 + 𝑦 = −25 
 
 
2) Se está a uma distância 5 da origem, 
então 𝑑𝑂𝐴 = √(𝑥 − 0)
2 + (𝑦 − 0)2 = 5 e, 
daí, tiramos que 𝑥2 + 𝑦2 = 25. 
 
Montando, agora, um sistema com as 
equações de 1) e 2), temos: 
{
7𝑥 + 𝑦 = −25
𝑥2 + 𝑦2 = 25
→ ⋯ → 𝑥 = −4 𝑒 𝑦 =
3 𝑜𝑢 𝑥 = −3 𝑒 𝑦 = 4, 
 
Assim, o problema tem duas respostas: 
𝑃1 = (−4, 3) e 𝑃1 = (−3, 4). 
 
39) AB: 3x – y = 0; BC: x + y – 4 = 0; e 
AC: y = 0 
 
40) x – y – 1 = 0 41) 3b + 4a – ab = 0 
 
42) 2p + 3q = 0 
 
43) x + y – (a + b + c) = 0 
 
44) G  r 
 
45) 
 
 
46) 
5
1
m ; 2
5

x
y 
 
47) 23  xy 48) B e C 
 
49) 363  xy 
 
50) xy
7
2
 e 072  yx 
 
51) Coef. Angular 
4
3
 e Coef. Linear: 3 
 
52) 
5
3
 53) 2x + y + 2 = 0 
 
54) xy
2
3
 55) 6x – 4y + 7 = 0 
 
56) AB: y = x + 6 BC: y = –x – 6 
 
57) 18 u. a. 58) y=3x+4 
 
 
CASSIO VIDIGAL 66 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
59) 1
3 5
x y
 

 
 
60) a)3x – 3y + 6 = 0 b) x – 2y – 2 = 0 
 c) 3x + 2y + 4 = 0 
 
61) 
4
0,
3
 
 
 
 62) 12613
5
x y
 

 
 
63) (3, 2) 64) (1, 1) 
 
65) A(0, 0); B(4, 3); e C(3, 4) 
 
66) (demonstração) 
 
67) Resolução: 
Em princípio vamos obter a 
intersecção entre r e s: 
2 0
4 2
2 8 0
 
   
  
x y
x e y
x y
 
 
Vamos agora verificar se P(4, 2) 
pertence à reta t: 
   
   
1 2 1 8 0
1 4 2 1 2 8 0
4 4 4 4 8 0
0 0,
    
      
    
  
k x k y
k k
k k
k
 
68) 2k  ou 
3
2
k   
 
69) (Demonstração) 
 
70) 7a  e a 
 
71) a) 4 6  y x b) 
3
8
2
  y x 
 c)  y x d) 
2 17
5 5
 y x 
 e) 2y f) 2x 
 
72) Resolução: 
 
   
0
,
2 3 0
, 3,0
A
A A
A A
A A
A OX y
A x y
A AC x y
A x y A
  
 
    

 
 
   
0
,
0
, 0,0
B
B B
B B
B B
B OY x
B x y
B BC x y
B x y B
  
 
   

 
 
   
2 3 0
,
0
, 1,1
C C
C C
C C
C C
C AC x y
C x y
C BC x y
C x y C
    
 
   

 
 Perímetro: 
2 2 2 2 2 23 0 2 1 1 1
3 2 5
AB AC BCd d d  
      
  
 
 
73) r e s → Concorrentes 
 r e t → Paralelas distintas 
 r e u → Concorrentes 
 r e v → Concorrentes 
 r e z → Paralelas coincidentes 
 s e t → Concorrentes 
 s e u → Concorrentes 
 s e v → Paralelas distintas 
 s e z → Concorrentes 
 t e u → Concorrentes 
 t e v → Concorrentes 
 t e z → Paralelas distintas 
 u e v → Concorrentes 
 u e z → Concorrentes 
 v e z → Concorrentes 
 
74) Você deve vericar que as retas são 
coincidentes. 
 
75) s: 5x + 3y + 13 = 0 
 
76) 2x + y + 8 = 0 
 
77) x – y – 14 = 0 
 
78) (4, 2)B , (0, 0)C e (1, 2)D 
 
79 Demonstração 
 
80) a) 4 3 15 0x y   
 b) 2 14 0x y   
 c) 5 0x y   
 d) 3 0x   
 
 
MATEMÁTICA III 67 GEOM. ANALÍTICA – PONTO E RETA 
 
81) 
1
4
p   82) 
62 93
' ,
13 13
P
 
 
 
 
 
83)  ' 2, 3P 84)  1, 4Q  
 
85) 90º 86) 
2
3
 
 
87) 
3
4
2
y x   e 
2 1
3 3
y x  
 
88) 
4
3
 
 
89) a) 2 c) 2 5 
 b) 
21
5
 d) 2 
 
90) 
22
5
 91) 4 ou 
8
3
 
 
92) 
52
3
 ou 4 93) 
43 106
53
 
 
94) 
58 89
89
 95) 
23 130
65
 
 
96) 29 97) 4 
 
98) -16 ou 16 99) 84,5 
 
100) m2 101) 48 
 
102) Demonstração 
 
103) Demostração 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
DANTE, Luiz Roberto; Matemática, 
Volume dois. São Paulo, Atica, 2005. 
IEZZI, Gelson e outros; Fundamentos 
da Matemática Elementar, Volume 4. São 
Paulo, Atual, 5ª edição, 1977. 
 
 
Links dos vídeos sugeridos nesta apostila: 
 
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/distancia-
entre-dois-pontos 
 
vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/alinhamento-de-
tres-pontos