Limites Fundamentais de Funções

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Sala 514 CÁLCULO BÁSICO – AULA 14 1ºSem/2013 
Prof. M.Sc. Luiz Roberto D. de Macedo 
LIMITE DE FUNÇÕES – CONTINUAÇÃO 
 
LIMITES FUNDAMENTAIS 
 
 Estudar-se-á a seguir, importantes limites que caracterizam os limites fundamentais. 
 
1º LIMITE FUNDAMENTAL 
 
O 1º limite fundamental é o limite se sen x
x
 quando x → 0 
 
 Observe as tabelas dadas abaixo: 
 
arco 15º 10º 5º 2º 1º ... 
x (em radianos) + 0,26180 + 0,17453 + 0,08727 + 0,03491 + 0,01745 x → 0+ 
sen x + 0,25882 + 0,17365
 
+ 0,08716 + 0,03490
 
+ 0,01745
 
sen x → 0+ 
f ( x ) = 0,98862 0,99496 0,99874 0,99971 1,00000 → 1 
 
 e 
 
arco – 15º – 10º – 5º – 2º – 1º ... 
x (em radianos) – 0,26180 – 0,17453 – 0,08727 – 0,03491 – 0,01745 x → 0– 
sen x – 0,25882 – 0,17365 – 0,08716 – 0,03490 – 0,01745 sen x → 0– 
f ( x ) = 0,98862 0,99496 0,99874 0,99971 1,00000 → 1 
 
 Pela análise da sequência representada na tabela acima, pode-se perceber que: 
 
x→ 0
lim
sen x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1
 
 Uma outra maneira de se chegar à mesma conclusão é partindo-se das desigualdades entra áreas do ciclo 
trigonométrico. Observe: 
 
 Pela figura percebe-se que: OA = 1 = cos x; AT = tg x e PB = sen x. 
 É fácil perceber pela figura que as áreas, obedecem a seguinte relação, área do triângulo OAP ≤ do setor circular 
OAP ≤ do triângulo OAT 
 Se for considerado um ângulo 0º < x < 90º, tem-se: 
SΔOAP =
1 . sen x
2
≤ Ssetor OAP =
x . 1
2
≤ SΔOAT =
1 . tg x
2
. 
 Logo, 
sen x
2
≤ x
2
≤ tg x
2
 ⇒ sen x ≤ x ≤ tg x. 
 Dividindo-se esta expressão por sen x, tem-se: 	
  
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sen x
sen x
≤ x
sen x
≤ tg x
sen x
 ⇒ 1≤ x
sen x
≤
sen x
cos x
sen x 
⇒ 1≤ x
sen x
≤ sen x
cos x
 . 1
sen x 
⇒ 1≤ x
sen x
≤ 1
cos x 
 Invertendo-se a expressão: 1≤ sen x
x
≤ cos x . 
 Como 
x→ 0
lim cos x = 1 e 
x→ 0
lim 1= 1, tem-se: 
x→ 0
lim 1≤ 
x→ 0
lim
sen x
x
≤
x→ 0
lim cos x ⇒ 1≤ 
x→ 0
lim
sen x
x
≤1 . Portanto: 
 
x→ 0
lim
sen x
x
= 1 
 
 Graficamente verifica-se que os gráficos das funções y = cos x; y = e y = 1 são representados por: 
 
Exemplos 
 Calcular os limites dados abaixo: 
 1) 
x→ 0
lim
sen 2x
2x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 Fazendo a mudança de variável: 2x = t, e se x → 0, também t → 0, portanto, tem-se: 
 
x→ 0
lim
sen 2x
2x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
t→ 0
lim
sen t
t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 e como . 
 2)
 x→ 0
lim
sen 2x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 Fazendo a mudança de variável: 2x = t, tem-se que x = t
2
 e, portanto, se x → 0 também t → 0. Logo: 
 
x→ 0
lim
sen 2x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
t → 0
lim
sen t
t
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟ 
⇒ 
x→ 0
lim
sen 2x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
t → 0
lim
2 . sen t
t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
⇒ 
x→ 0
lim
sen 2x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 2 . 
t → 0
lim
 sen t
t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
⇒ 
 x→ 0
lim
sen 2x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 2 . 1
 
⇒ . 
 3)
 x→ 0
lim
sen 3x
sen 4x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 Pode-se transformar esse limite em: lim
x → 0
sen 3x
sen 4x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= lim
x → 0
sen 3x
3x
 . 3x
sen 4x
4x
 . 4x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
 ⇒ lim
x → 0
sen 3x
sen 4x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 3x
4x
 . lim
x → 0
sen 3x
3x
sen 4x
4x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
 ⇒ 
 lim
x → 0
sen 3x
sen 4x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 3
4
 . 1
1
 ⇒ lim
x → 0
sen 3x
sen 4x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 3
4
 
 4)
 x→ 0
lim
tg x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 Pode-se fazer a seguinte transformação: 
x→ 0
lim
tg x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x→ 0
lim
sen x
cos x
x
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
 ⇒ 
x→ 0
lim
tg x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x→ 0
lim
sen x
cos x
 . 1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ 
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x→ 0
lim
tg x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x→ 0
lim
sen x
x
 . 1
cos x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ 
x→ 0
lim
tg x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
x→ 0
lim
sen x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . 
x→ 0
lim
1
cos x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 ⇒ 
x→ 0
lim
tg x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1 . 1 ⇒ 
x→ 0
lim
tg x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1 
 
2º LIMITE FUNDAMENTAL 
O 2º limite fundamental é o limite da função f x( ) = 1+ 1x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
 quando x tende ao infinito. 
O número de Euler, e = 2,71828... , base dos logaritmos naturais ou neperianos é o limite da função f x( ) = 1+ 1x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
, 
quando x → + ∞ e também quando x → – ∞ . 
 Na verdade, verifica-se que existe o 
x→ + ∞
lim 1+
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
 e que este limite é um número irracional de valor 2,71828... , o 
qual se convencionou representar por “e” e se chamar de “número de Euler” em homenagem a Leonhard Euler (1707 – 1783), 
o mais importante matemático nascido na Suíça. 
 
 Para provar que 
x→ + ∞
lim 1+
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
= e , deve-se observar o comportamento da função f x( ) = 1+ 1x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
, quando x → + ∞. 
 
 Observação: Para encontrar os valores tabelados foi feito uso de uma calculadora científica. 
 
x 10 100 1000 10000 100000 x → + ∞ 
f x( ) = 1+ 1x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
 2,5937... 2,7048... 2,7169... 2,7181... 2,7182... f ( x ) → e 
 
 Pode-se observar que o gráfico da função f x( ) = 1+ 1x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
, definida para 1+ 1
x
> 0 , logo x > 0 ou x < – 1, tem o aspecto 
indicado na figura abaixo. 
 
 
 Portanto: 
x→ + ∞
lim 1+
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
= e , como também, 
x→ − ∞
lim 1+
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
= e . 
 
Exemplos 
 1) Calcular 
x→ + ∞
lim 1+
1
2x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2x
. 
 Procedendo-se a troca de variável: 2x = t. Nota-se que, quando x → +∞ , também t → +∞. Então: 
 
x→ + ∞
lim 1+
1
2x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2x
=
t → + ∞
lim 1+
1
t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
t
 
 ⇒ 
x→ + ∞
lim 1+
1
2x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2x
= e . 
 
2) Calcular 
x→ + ∞
lim 1+
1
2x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
. 
 Também faz-se uma mudança de variável: 2x = t ⇒ x = t
2
, obtém-se: 
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 x→ + ∞
lim 1+
1
2x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
=
t→ + ∞
lim 1+
1
t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
t
2
 ⇒ 
x→ + ∞
lim 1+
1
2x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
=
t→ + ∞
lim 1+
1
t
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
t⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
 1
2
 ⇒ 
x→ + ∞
lim 1+
1
2x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
= e
 1
2 ⇒
x→ + ∞
lim 1+
1
2x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
= e . 
 
3º LIMITE FUNDAMENTAL 
 
 O 3º limite fundamental é o limite da função f x( ) = a
x −1
x
 quando x tende a zero. 
 Para calcular o valor desse limite, vai-se fazer a seguinte mudança de variável: t = ax – 1 ⇒ ax = t + 1. Aplica-se, 
então, logaritmos naturais na igualdade e obtém-se: 
 ln ax = ln (t + 1) ⇒ x . ln a = ln (t + 1) ⇒ x = 
ln t +1( )
ln a
. 
 Deve-se perceber que quando x → 0, x ≠ 0, temos que t → 0, t ≠ 0 e, então, tem-se que: 
 lim
x → 0
ax −1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= lim
t → 0
t
ln t +1( )
ln a
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
 ⇒ lim
x → 0
ax −1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= lim
t → 0
t
ln t +1( ) . ln a
⎛
⎝
⎜
⎞⎠
⎟ ⇒ lim
x → 0
ax −1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ln a . lim
t → 0
t
ln t +1( )
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⇒ 
 lim
x → 0
ax −1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ln a . lim
t → 0
1
ln t +1( )
t
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
 ⇒ lim
x → 0
ax −1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ln a . 1 ⇒ lim
x → 0
ax −1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ln a 
 
Exemplos 
 1) Calcular lim
x → 0
ax −bx
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 lim
x → 0
ax −bx
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= lim
x → 0
bx . a
x
bx
−1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
 
⇒ lim
x → 0
ax −bx
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= lim
x → 0
bx . lim
x → 0
 a
b
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
−1
x
 
⇒ 
 lim
x → 0
ax −bx
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1 . ln a
b
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
⇒ lim
x → 0
ax −bx
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ln a
b
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
 2) Calcular lim
x → 1
ex − 1 − ax − 1
x2 −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
 
lim
x → 1
ex − 1 − ax − 1
x2 −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= lim
x → 1
ex − 1 −1( ) − ax − 1 −1( )
x +1( ) . x −1( )
 
⇒ 
 lim
x → 1
ex − 1 − ax − 1
x2 −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= lim
x → 1
1
x +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 . lim
x → 1
ex − 1 −1( )
x −1( ) − limx → 1
ax − 1 −1( )
x −1( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
 ⇒ 
 lim
x → 1
ex − 1 − ax − 1
x2 −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1
2
 . lim
x → 1
ex − 1 −1( )
x −1( ) − limx → 1
ax − 1 −1( )
x −1( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
 
 Vai-se fazer uma mudança de variável: t = x – 1 e, considerando que quando x → 1, x ≠ 1, tem-se que t → 0. Assim: 
 
lim
x → 1
ex − 1 − ax − 1
x2 −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1
2
 . lim
t → 0
et −1( )
t
 − lim
x → 1
at −1( )
t
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
 ⇒ lim
x → 1
ex − 1 − ax − 1
x2 −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1
2
 . ln e − ln a⎡⎣ ⎤⎦ ⇒ 
 lim
x → 1
ex − 1 − ax − 1
x2 −1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= 1
2
 . 1 − ln a⎡⎣ ⎤⎦ . 
 
EXERCÍCIOS 
 
Determine os valores dos limites dados abaixo: 
1. 
x→ 0
lim
sen 3x
3x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 2. 
x→ 0
lim
sen x
3x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 3. 
x→ 0
lim
sen 4x
4x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 4. 
x→ 0
lim
sen 4x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 5. 
x→ 0
lim
sen πx
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 6. 
x→ 0
lim
sen 2x
4x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 
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7. 
x→ π
lim
sen x
x − π
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 8. 
x→ 0
lim
tg x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 9. 
x→ 0
lim
sen2 x
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 10. 
x→ 0
lim
sen2 x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 11. 
x→ + ∞
lim 1+
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2x
. 12. 
x→ − ∞
lim 1+
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4x
. 
13.
x→ + ∞
lim 1+
1
3x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
. 14. 
x→ + ∞
lim 1+
1
2x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
. 15. 
x→ + ∞
lim 1+
2
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
. 16. 
x→ − ∞
lim 1+
4
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
. 17. 
x→ + ∞
lim 4+ 1+
1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2x⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
. 18. 
x→ +  ∞
lim
x + 4
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
. 
19. 
x→ 0
lim
sen 9x
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 20. 
x→ 0
lim
sen 4x
3x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 21. 
x→ 0
lim
sen 10x
sen 7x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 22. 
x→ 0
lim
sen ax
sen bx
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
,b ≠ 0 .23. 
x→ 0
lim
tg ax
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 24. 
x→ 0
lim
sen3 x
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
. 
25. 
x→ 0
lim
1− cos x
 x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 26. 
x→ 0
lim
1− cos x
x2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
. 27.
 n→ ∞
lim 1+
1
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n + 5
. 28. 
x → ∞
lim 1+
2
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
. 29. 
x → ∞
lim
x
1+ x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
. 30. 
x→ + ∞
lim 1+
10
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
. 
 
RESPOSTAS 
 
1) 1 2) 1
3
 3) 1 4) 4 5) π 6) 1
2
 7) – 1 8) 1 9) 1 10) 0 11) e2 12) e4 13) e3 14) e2 15) e2 16) e4 
17) e2 + 4 18) e4 19) 9 20) 4
3
 21) 10
7
 22) a
b
 23) a 24) 1
8
 25) 0 26) 1
2
 27) e 28) e2 29) 1
e 
30) e10