Limite de uma função 2016 (2)

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LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Pois não há limite para o homem 
que reconhece Deus como Senhor da sua vida!
Samuel Oliveira de Jesus
	Faculdade de Tecnologia SENAI - CIMATEC
Cursos de Engenharia	
	
2015
Cálculo A – FTSC / Samuel Oliveira de Jesus / Revisado em março de 2015	Página 17
LIMITE DE UMA FUNÇÃO
“O conceito de limite é o alicerce sobre o qual estão baseados todos os demais conceitos de cálculo”.
Assista Ao vídeo em: http://ambiente.educacao.ba.gov.br/conteudos-digitais/conteudo/exibir/id/791 
1. NOÇÕES DE LIMITE E LIMITES LATERAIS
e o denominador por , para obtemos .
Vamos estudar os valores da função f quando assume valores próximos de 2 mas, diferente de 2.
Atribuindo a valores que se aproximem de 2, pela esquerda e pela direita, temos: 
	
	1,5
	1,75
	1,99
	1,999
	2
	2,001
	2,01
	2,1
	2,5
	
	2,5
	2,75
	2,9
	2,999
	
	3,001
	3,01
	3,1
	3,25
Observamos na tabela que, quando se aproxima cada vez mais de 2, se aproxima cada vez mais de 3, isto é, quanto mais próximo de 2 estiver , tanto mais próximo de 3 estará .
Observe que podemos tornar tão próximo de 3 quanto desejarmos, bastando para isso tornarmos suficientemente próximos de 2. Assim escrevemos:
Os dois primeiros limites são chamados limites laterais e lê-se: o limite de , quando tende a 2 pela esquerda é igual a 3 ou o limite de , quando tende a 2 pela direita é igual a 3. O último é chamado limite bilateral ou simplesmente limite – lê-se: o limite de , quando tende a 2 é igual a 3.
EXISTÊNCIA DE UM LIMITE: O limite de uma função existe em um ponto a se, e somente se existirem os limites laterais nesse mesmo ponto e forem iguais; isto é:
OBS.: O sinal + ou – acima de a, indica apenas “direita” ou “esquerda”.
2. DEFINIÇÃO
Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a. Seja uma função definida para I – {a}. Dizemos que o limite de f(x), quando tende a a, é L e escrevemos , se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se 0 < |x – a| < δ então | f(x) – L| < ε.
Em símbolo temos:
3. UNICIDADE DO LIMITE
Se o limite de uma função num ponto existe, então ele é único.
Exemplo:
Note que se tratam de limites da mesma função e no mesmo ponto, logo devem ser iguais, pela definição da unicidade do limite. Assim, temos:
4. CÁLCULO DE LIMITES DE FUNÇÕES
· LIMITE DA FUNÇÃO CONSTANTE
(O limite de uma função constante é a própria constante)
SOFTWARE WINPLOT: http://ambiente.educacao.ba.gov.br/conteudos-digitais/conteudo/exibir/id/1965
Exemplos: 
PROPRIEDADE DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Essas propriedades valem, também, para os limites laterais quando ou .
Exemplos:
· LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL (Propriedade da Substituição direta)
(O limite de uma função polinomial com tendendo a um número real a, é o valor numérico da função para igual a a).
Essa propriedade pode ser estendida para funções racionais: 
Quando o limite de uma função com é igual ao valor numérico da função quando dizemos que a função goza da propriedade da substituição direta e é denominada função contínua, de grande importância no cálculo e que será estudada mais adiante.
Exemplos:
E X E R C Í C I O S
1. Calcule os seguintes limites: 
LIMITE DE UMA FUNÇÃO RACIONAL
TEOREMA 1: Do limite de uma função racional
Vamos estudar cada uma delas: 
(SITUAÇÃO 1): O limite do denominador não é iguais a zero 
Neste caso, o limite é dado calculando-se o valor numérico da função quando , método utilizado até aqui. 
Todavia, o método utilizado até aqui não funciona com funções racionais em que o limite do denominador é nulo. Vejamos, então a situação seguinte:
(SITUAÇÃO 2): Ambos os limites, (o do denominador e o do numerador), são iguais a zero 
Note que, na verdade, temos uma falsa indeterminação, uma vez que é obtido quando substituímos por e no limite nunca assume o valor . Esse procedimento visa apenas, ter uma ideia da direção que devemos tomar a fim de determinarmos o limite da função.
Neste caso, devemos simplificar a expressão utilizando fatoração, racionalização, dispositivo prático de Briot – Ruffini para dividir polinômios, etc., visando eliminar a indeterminação e, assim, calcular o limite por substituição direta, isto é, REVISANDO!
Teorema do Resto: O resto da divisão de um polinômio por é o valor numérico do polinômio para , ou seja, .
Teorema de D’Alambert: Um polinômio é divisível por se, e somente se, é a raiz de . Ou seja, . Neste caso é um fator de .
Experimente verificando se o polinômio é divisível por e, em caso afirmativo, fatore.
Note, inicialmente, que calculando o limite por substituição direta, concluímos que temos uma indeterminação do tipo . Assim, fatorando o polinômio do numerador, teremos:
E X E R C Í C I O S
2. Calcule os seguintes limites
Considerando ainda a segunda situação, pode ocorrer de a expressão apresentar radicais:
Neste caso, calculamos o limite da função, multiplicando os termos da fração pelo conjugado do denominador ou do numerador ou de ambos: Se o radical aparece no denominador, multiplicamos a fração pelo conjugado do denominador. Se o radical aparece no numerador, multiplicamos a fração pelo conjugado do numerador. Se por outro lado, o radical aparece tanto no numerador como no denominador, multiplicamos a fração pelo produto do conjugado de ambos. REVISANDO!
De modo geral, o conjugado de um número é e vice-versa. Logo:
O conjugado de e vice – versa;
O conjugado de 
O conjugado de pois e portanto seu conjugado é 
Vejamos o cálculo de expressões do tipo em questão: 
E X E R C Í C I O S
3. Calcule os seguintes limites:
4. Calcule os seguintes limites:
OBS.: Use os casos de fatoração: 
5. Calcule os seguintes limites:
OBSERVAÇÃO: No cálculo do limite de uma função, quando tende a , interessa o comportamento da função nas proximidades de e não o que ocorre no ponto .
Limites de funções definidas por partes
No cálculo do limite de uma função definida por partes, quando tende a , devemos obter o limite bilateral em um ponto no qual a fórmula muda encontrando primeiro os limites laterais no ponto.
Qualquer uma das situações já estudadas pode ocorrer na resolução desses limites!
a) Note que, para valores de menores que , ou seja, à esquerda de usaremos a função , logo:
Para valores de maiores que 2, ou seja, à direita de 2 usaremos a função , logo:
b) Sem qualquer dificuldade calculamos uma vez que a fórmula (parte) aplicável a ambos os lados de zero é , assim concluímos que:
 
E X E R C Í C I O S
6. Dadas as funções f, calcule os limites indicados, se existirem; se o(s) limite(s) bilaterais não existir(em), especifique a razão.
5. LIMITES INFINITOS
 (SITUAÇÃO 3): O limite do denominador é zero e o do numerador não é zero
Neste caso, devemos estudar o comportamento da função nas proximidades do ponto . Para tanto, devemos aplicar conhecimentos de inequações quocientes associando o sinal a e a (. Assim, a situação comportamental da função pode ocorrer de:
DEFINIÇÃO: A reta é chamada ASSÍNTOTA VERTICAL da curva se uma das condições acima estiver satisfeita.
Devemos estudar o sinal de cada função separadamente e depois construir o quadro quociente para, enfim, determinar o que ocorre nas proximidades do ponto 1, isto é, determinarmos os limites laterais:
Estudando o sinal de . 
Estudando o sinal de . 
Construindo o quadro – quociente:
Pela Relação entre limites laterais e bilaterais, se os limites laterais fossem iguais, por exemplo, o limite bilateral seria .
Veja a representação gráfica da situação estudada:
	
Para saber mais sobre ‘infinito’, você pode acessar vídeos e áudios, começando pelo do link abaixo: 
http://ambiente.educacao.ba.gov.br/conteudos-digitais/conteudo/exibir/id/770
Depois, troque o número 770 no final do link por: 772, 2175, 693, 694, 958, e acesse outros OEs. 
De modo geral
Quando tentamos resolvemos um limite e nos deparamos com uma expressão impossível,dizemos então que o limite não existe, ou ainda que estamos diante de um limite infinito e:Os símbolos “” e “” não representa nenhum número real, mas, indica o que ocorre com a função quando se aproxima de .
Os teoremas a seguir, nos ajudarão a resolver algumas situações que poderão ocorrer:
TEOREMA 2: 
Se o denominador tende ao infinito com numerador constante, a razão se aproxima de zero. Como veremos. Esse tipo de limite não se calcula. Temos que raciocinar!
E X E R C Í C I O S
7. Ache os limites abaixo, se existirem:
8. Calcule os seguintes limites: 
SOMA E PRODUTO ENVOLVENDO LIMITES INFINITOS
Veja as situações de soma e produto de infinitos que usaremos com frequência
 *
 **Não podemos estabelecer uma lei para este caso.
 *
Até aqui trabalhamos com limites que descrevem o comportamento de uma função quando tende a algum número real (). A partir de agora, vamos estudar o comportamento de função quando tende ao infinito, isto é, quando cresce ou decresce sem parar.
6. LIMITES NO INFINITO
O limite no qual a variável tende a “” ou “” denominamos LIMITE NO INFINITO.
DEFINIÇÃO: Seja uma função definida em um intervalo aberto . Dizemos que, quando cresce ilimitadamente, se aproxima de L e escrevemos:
DEFINIÇÃO: A reta é chamada ASSÍNTOTA HORIZONTAL da curva se:
OBSERVAÇÕES acerca das assíntotas horizontais de funções racionais:
1. Se o grau do numerador for menor que o grau do denominador, então é uma assíntota horizontal do gráfico de (para a esquerda e para a direita)
2. Se o grau do numerador for igual ao grau do denominador, então é uma assíntota horizontal do gráfico de (para a esquerda e para a direita), onde e são os coeficientes dominantes de e , respectivamente.
TEOREMA 3: 
SOMA E PRODUTO ENVOLVENDO LIMITES NO INFINITOVide regra anterior
TEOREMA 4: 
Exemplos:
A multiplicação por um número real positivo, não afeta o limite, mas a multiplicação por um número real negativo inverte o sinal.
Exemplos:
TEOREMA 5: 
Exemplos:
Note que esse teorema pode ser generalizado para numeradores reais diferentes de zero:
 
LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL QUANDO 
Podemos nos utilizar do Teorema 5, visto acima, para determinar o limite de uma função polinomial quando . Para tanto, utilizamos uma técnica de colocarmos a potência mais alta do polinômio em evidência e examinarmos o limite da expressão obtida. Vejamos:
Exemplos:
Note que, na prática, o resultado foi obtido, calculando-se o limite do termo do polinômio de maior grau, uma vez que ‘o comportamento final de um polinômio coincide com o comportamento final de seu termo de maior grau, para’. Essa observação, leva ao seguinte teorema:
TEOREMA 6: Se é uma função polinomial, então: 
Demonstração:
Considere 
Exemplos:
LIMITE DE UMA FUNÇÃO RACIONAL QUANDO 
Uma técnica para determinar o comportamento final de uma função racional consiste em dividir cada termo do numerador e do denominador pela respectiva maior potência de , depois desse procedimento o comportamento final pode ser determinado utilizando os teoremas estudados para o caso de . 
Exemplos:
Neste caso é uma assíntota horizontal
Como o limite do quociente é igual ao quociente dos limites, o comportamento final de uma função racional coincide com o comportamento final do quociente do termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador, somente se.
TEOREMA 7: Se , são funções polinomiais, então: 
(O limite de funções racionais é dado pela razão dos termos de maior grau do polinômio do numerador e do denominador). Após simplificações e devida análise, conclui-se o exposto acima.
Demonstração:
Considere e 
Exemplos:
Nos exemplos a seguir, faremos ampla utilização do Teorema estudado anteriormente, que repetimos abaixo e, portanto, a técnica de colocarmos a potência mais alta do polinômio em evidência e examinarmos o limite da expressão obtida.
Será útil lembrar:REVISANDO!
Uma função é modular se a cada associa 
OBSERVAÇÃO: .
Exemplos:
Neste caso, podemos aplicar o Teorema acima para resolver esse tipo de limite. Veja:
 Comece colocando em evidência a variável de maior grau em cada termo da fração.
Inicialmente devemos multiplicar e dividir os termos da fração pelo conjugado da função. Observe:
 Agora coloque em evidência a variável de maior grau em cada termo da fração.
E X E R C Í C I O S
9. Encontre:
10. Encontre os limites: (CÁLCULO – Vol.1, 8. ed. de Howard Anton, Irl Bivers e Stephen Davis)
11. Encontre:
Resolva os problemas de 12 a 15
12. RENDA PER CAPITA: Estudos mostram que, daqui a anos, a população de um certo país será milhares de pessoas e renda bruta do pais de E milhões de dólares, onde
a) Expresse a renda per capita do país em função do tempo t. (Cuidado com as unidades.)
b) O que acontecerá com a renda per capita a longo prazo(ou seja, para )?
13. PRODUÇÃO: O gerente de uma empresa observa que, meses após começar a fabricação de um novo produto, o número de unidades fabricas será milhares, onde
14. CONSCIENTIZAÇÃO DO CONSUMO: O custo C (em dólares) para fazer x cópias em uma loja de 
15. POPULAÇÃO: Um planejador urbano modela a população (em milhares de indivíduos) de um 
a) Qual é a população atual do bairro?
b) Qual é variação da população durante o terceiro ano? A população está aumentando ou diminuindo durante este período?
c) O que acontece com a população a longo prazo.
16.
LIMITES TRIGONOMÉTRICOS
Se é um número do domínio da função trigonométrica enunciada, então:
O limite trigonométrico fundamental trata de um limite cuja indeterminação é do tipo , envolvendo a função seno . Este limite é muito importante na resolução de vários problemas envolvendo funções trigonométricas.
	
	
	
	0,0174530709967...
	
	0,9983341664683...
	
	0,9999833334167...
	
	0,9999998333333...
	
	0,9999999983333...
	
	0,9999999999833...
	
	0,9999999999998...
	
	
Exemplos:
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17. Encontre os limites abaixo, aplicando o Limite Trigonométrico Fundamental: 
18. Encontre Determine usando o LTF: (GUIDORIZZI – Um Curso de Cálculo– Vol.1, Pág. 96)
LIMITES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
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19. Encontre:
LIMITE EXPONENCIAL FUNDAMENTAL
Definição do número e
TEOREMA 8:
 é uma Assíntota Horizontal da função. 
Nestes casos, temos indeterminações do tipo 
Demonstração:
Exemplos:
Note que, nestes dois casos, ocorre a indeterminações do tipo . Vejamos como resolvê-los:
TEOREMA 9:
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20. Calcule: 
21. Calcule: (IEZZI – Fundamentos de Matemática Elementar – Vol.8, 5.ed. Pág. 111 e 112)
22. Analise cuidadosamente e determine:
23. Analise cuidadosamente, considerando um número natural não nulo, e determine:
LIMITES DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
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24. Ache o limite da função logarítmica:
25. Calcule o limite (diversos)
FUNÇÃO CONTÍNUA
Dizemos que uma função f é contínua em um ponto a se as seguintes condições estiverem satisfeitas.
Se uma dessas condições falhar, dizemos que f tem uma descontinuidade no ponto a.
Em outras palavras, uma função é contínua em um ponto a, quando seu limite puder ser calculado por substituição direta.
Exemplos:
Note que, nos dois exemplos acima, que as três condições de continuidade foram atendidas!
Não foi atendida, comprova que a função não é contínua.
E X E R C Í C I O S
26. Mostre que a função é contínua no ponto .
27. Determine todos os valores de para os quais a função não é contínua.
28. Suponha que a temperatura do ar é 30°F. Nesse caso, a sensação térmica (em °F) para uma velocidade do vento (em milhas por hora) é dada por:
a) Qual é a sensação térmica para ? E para 
b) O que você diria da continuidade da função sensação térmica em 
LIMITE DA FUNÇÃO COMPOSTA
Exemplos:
E X E R C Í C I O S
29. Analisando o gráfico de , ao lado, responda, justificando;	
30. Verifique se f é contínua em , em cada uma das funções, justificando a sua respostae determine, também:
R E S P O S T A S D O S E X E R C Í C I O S
1. 
2. 
3. 
4. 5. 6. 
7. 
8. 
9. 
10.
11.
12. 15mil dólares por ano
13. 6mil unidades
14. O custo é de 10 dólares
15. a) 20mil unidades; b) 4,7mil indivíduos. População crescente; c) 70mil indivíduos.
16.
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. . b) é contínua em e , supondo que os valores de e sejam arredondados para o número inteiro mais próximo, a ligeira discrepância pode ser atribuída a uma imprecisão do modelo.
29. 
30. 
BIBLIOGRAFIAS CONSULTADAS
COELHO, Paulo M. F. Demonstrações de Integrais Indefinidas. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda., 2012.
DEMARA, WAITS, FOLEY & KENNEDY. Pré – Cálculo. São Paulo: Pearson, 2009.
GENTIL, Nelson; MARCONDES, Carlos Alberto; GRECO, Antonio Carlos; BELLOTTO, Antônio; SÉRGIO Emílio Greco. Matemática para o 2º grau. Vol. 1, 2 e 3. 6. ed. – São Paulo: Ática, 1997.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de Cálculo – Vol. 1, 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
HOWARD, Anton; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Vol. 1 e 2, 8. ed. – Porto Alegre: Bookman, 2007.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de Matemática Elementar 8 e 1 – São Paulo: Atual, 1993.
IEZZI, Gelson & Outros. Matemática – Ciências e Aplicação. Ensino Médio: Vol. 1, 2 e 3, 5. ed. São Paulo: Atual, 2010.
LARSON, Ron. Cálculo Aplicado – Curso Rápido. 1. ed. – São Paulo: Cergage Learning, 2011.
PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática. Vol. 1, 2 e 3, 1. ed. São Paulo: Moderna, 1995.
STEWART, James. Cálculo – Vol. 1. 3 ed. – São Paulo: Thomson Pioneira, 2002.
SAFIER, Fred. Pré – Cálculo. Coleção Schaum. 2. ed. – Porto Alegre: Bookman, 2011.
SEC - Secretaria da Educação do Estado da Bahia. Ambiente Educacional Web. Conteúdos Digitais. Salvador, Instituto Anísio Teixeira, 2011. <ambiente.educação.b.gov.br>. 
Todos os gráficos foram plotados utilizando o software WINPLOT que pode ser baixado de: http://ambiente.educacao.ba.gov.br/conteudos-digitais/conteudo/exibir/id/1965
Quem entre os deuses é semelhante a ti, Senhor?
Quem é semelhante a ti?
Majestoso em santidade, terrível em feitos gloriosos, autor de maravilhas?
(Êxodo 15.11)
x
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x
y
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