aula Variavel Aleatória Est Bas II

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Curso: Bacharelado em Estatística 
Turma: Estatística Básica II – (2° período) 
Período: 2013/02 Data: 30/01/2014 
Professora: Vania C. Mota, Msc. 
Aluno (a): 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 
 
As frequências relativas em populações infinitas são chamadas de 
probabilidades. 
Por exemplo, suponha que se esteja interessado em descrever (prever) a taxa de 
nascimento de machos ou fêmeas em mamíferos. 
 Um possível modelo não - determinístico que explica o fato de um 
mamífero nascer macho ou fêmea é aquele que estabelece que tanto um sexo 
quanto o outro possuem chances iguais de acontecer. 
Ele procura explicar a frequência relativa de nascimentos de infinitos 
mamíferos que existiram ou virão a existir, e daí se fala em probabilidade de 
nascimentos de machos ou fêmeas, que segundo esse modelo é igual a 0,5. 
 
Conceito: Probabilidade - Frequência relativa associada a uma variável 
descritora de uma população infinita. 
Portanto pode-se denominar a distribuição de frequência relativa em uma 
população infinita com uma distribuição de probabilidade. 
 
Conceito: Distribuição de probabilidade - Distribuição de frequência em uma 
população infinita. 
As variáveis descritoras de uma população infinita podem ser qualitativa ou 
quantitativa. 
 
FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA 
CAMPUS de JI - PARANÁ - RO 
 
Quando são associados valores de probabilidade às variáveis descritoras, 
como é o caso em populações infinitas, elas também são chamadas de variáveis 
aleatórias. 
 
Conceito: Variáveis Aleatórias (v.a.) - Variável descritora de populações 
infinitas, cujos os valores são associados probabilidades de ocorrência. 
Por convenção, as variáveis aleatórias são sempre quantitativas, mesmo se 
referindo a qualidades. No exemplo de nascimento em mamíferos, as categorias 
‘fêmea’ e ‘macho’ podem ser associados a 0 e 1, respectivamente. 
Conforme já visto, uma distribuição de probabilidade é a distribuição de 
frequência em uma população infinita. Ela corresponde assim a uma função que 
associa as realizações de uma variável aleatória com suas respectivas 
probabilidade de ocorrência. 
 As variáveis aleatórias (v.a) são denotadas por letras maiúsculas, e suas 
realizações por letras minúsculas, da mesma maneira como visto para variáveis 
de um modo geral. 
 
A probabilidade de que uma variável aleatória X assuma determinado valor 
é denotada por 
 P[ X = x]. As variáveis aleatórias quantitativas podem ser discretas ou 
continuas, sendo que para cada qual podem ser construídos modelos matemáticos 
não-determinísticos (aleatório) que expressem as distribuições de probabilidade 
correspondentes. 
Além disso, sendo elas quantitativas, faz sentido falar-se em medidas de posição 
e dispersão. Neste texto, serão concentradas as atenções apenas na média e 
variância de uma variável aleatória quantitativa. 
A média de uma variável aleatória X também é chamada de Esperança da 
variável aleatória X, e é denotada por E(X). 
 
Valor Esperado de uma v.a. 
Se uma v.a. x toma os valores x1, x2, x3, ...,xn, com as probabilidades 
correspondentes p1, p2, p3,...,pn, então o seu valor esperado, E [X], é 
 p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 + . . .+ pn xn 
 
Assim: 
 
 
Suponha-se que uma loja tenha compilado os seguintes dados sobre venda de 
refrigeradores: 
xi nº vendido P(x) Freq. Relativa 
0 0,20 
1 0,30 
2 0,30 
3 0,15 
4 0,05 
 1,00 
 
E(X) = 0,20 (0) + 0,30 (1) + 0,30 (2) + 0,15 (3) + 0,05 (4) = 1,55 
 
Como a empresa não pode vender 1,55 refrigeradores em nenhum dia 
(porque o número vendido é uma variável que consiste em inteiro 0, 1, 2, 3 e 4), 
a pergunta obvia é: Como interpretar aquele valor? Muito simplesmente: O valor 
esperado é uma média a longo prazo. 
 
Analogamente se jogamos um dado equilibrado, qual o valor esperado 
numa jogada? Há seis resultados igualmente possíveis, e o valor esperado é: 
1/6 (1) + 1/6 (2) + 1/6 (3) + 1/6 (4) + 1/6 (5) + 1/6 (6) = 3,5 
 
Aqui novamente, 3,5 é um evento impossível para uma única jogada, mas 
certamente razoável em termos de média calculada para um grande número de 
jogadas. 
 
 
 
Exemplo 1 
Um investidor julga que tem 0,40 de probabilidade de ganhar $ 25000 e 
0,60 de probabilidade de perder $ 15000 num investimento. Seu ganho esperado 
é: 
0,40 (25000) + 0,60 (-15000) = $1000 
Note que $15000 leva o sinal menos. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
Um empreiteiro faz as seguintes estimativas: 
O prazo esperado para a execução da obra, de acordo com essas estimativas é: 
 
Prazo de execução Probabilidade 
10 dias 0,30 
15 dias 0,20 
22 dias 0,50 
 
0,30 (10) + 0,20 (15) + 0,50 (22) = 17 dias 
Os cálculos de valor esperado podem resolver o número de ocorrências, tais 
como números de erros, números de peças defeituosas, números de acidentes, 
etc., bem como certas medidas monetárias como lucros, perdas, renda de 
investimento, etc. 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE 
Trata-se a distribuição de probabilidade associada a variáveis aleatórias 
discretas. Por exemplo, a função seguinte corresponde a uma distribuição de 
probabilidade discreta: 
X 0 1 2 3 4 
P[X=x] 1/10 2/10 5/10 1/10 1/10 
 
Observe que: 
P[S] = P [x=0] + P [x=1] + P [x=2] + P [x=3] + P [x=4] 
= 1/10 + 2/10 + 5/10 + 1/10 + 1/10 = 1 
Como era de esperar, ou seja: P[S] = 1. 
Essa característica é valida para toda distribuição discreta, em concordância 
com o axioma passado anteriormente. Ou seja, se a variável aleatória discreta 
assume k valores então: 
 
 
No exemplo acima tem–se: 
E (X) = 0. (1/10) + 1. (2/10) + 2. (5/10) + 3.(1/10) + 4.(1/10) = 1,9. 
 
O conceito de variância de uma variável aleatória também é semelhante 
àquela apresentada para dados agrupados, trocando-se o fi por P [X = xi]: 
 
No exemplo tem-se: 
Variância= (0-1,9)
2
 * 1/10 + . . . + (4 - 1,9)
 2 
* 1/10 = 10,9. 
 
Existe uma série de distribuições de probabilidade discreta em estatística. 
Duas delas serão vistas a seguir: 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
Uma situação relativamente comum em pesquisas cientifica ou 
levantamentos é aquela onde apenas dois tipos de resultados são possíveis, como 
por exemplo: 
S={macho,fêmea} 
S={árvore doente, árvore não doente} 
S={grande produtor, pequeno produtor} 
S={talhão irrigado, talhão não irrigado}. 
 
Uma distribuição de probabilidade que lida com tais situações é a chamada 
distribuição Binomial. 
 
 Em geral existe um interesse maior em um dos 2 resultados possíveis, o 
qual é denominado de sucesso, e o outro de insucesso ou fracasso. 
Para o desenvolvimento de seu modelo, considere o exemplo de uma porca 
parindo 5 leitões. 
 
Os eventos possíveis são ou o nascimento de machos ou de fêmeas. 
Considere a variável aleatória número de machos, que obviamente é discreta, 
podendo variar de 0 a 5. A probabilidade de que seja 5 machos é igual à 
probabilidade de que o primeiro leitão seja macho, e de que o segundo seja 
macho, e de que o terceiro também seja macho e assim por diante. Pela regra do 
e , tem-se que: 
P[X=5] = (0,5) . (0,5) . (0,5) . (0,5) . (0,5) = (0,5)
5
 
Considere agora o nascimento de três machos e 2 fêmeas. A probabilidade 
de uma determinada combinação, por exemplo, a de que os 3 primeiros leitões 
L1, L2, L3, sejam machos, e os dois últimos L4, L5 sejam fêmeas, é igual a: 
P[M]) * P[M]) * P[M]) * P[F]) * P[F]) = (0,5)
 5
 
 
No entanto, esta não é a única combinação possível para o nascimento de 3 
machos, mas existem várias, conformeabaixo: 
L1 L2 L3 L4 L5 PROBAB. 
M M M F F (0,5)
 5
 
M M F M F (0,5)
 5
 
M F M M F (0,5)
 5
 
F M M M F (0,5)
 5
 
M M F F M (0,5)
 5
 
M F M F M (0,5)
 5
 
F M M F M (0,5)
 5
 
M F F M M (0,5)
 5
 
F M F M M (0,5)
 5
 
F F M M M (0,5)
 5
 
 
Na realidade, ao invés de listar todas as possibilidades, como feito acima, 
pode-se calcular diretamente o número total de combinações possíveis através 
de: 
 
Dessa forma, para calcular a probabilidade de nascimento de 3 machos, sem 
importar em qual ordem, tem-se que somar o valor (0,5)
 5 
10 vezes. 
Portanto: 
P [X=3] = 10 * (0,5)
 5 
 = 31,25% 
 
Considerando agora qualquer número x de machos nascidos, em um total de 
5 leitões, tem-se que a probabilidade desse evento é: 
 
Este exemplo justamente ilustrou o desenvolvimento da distribuição 
binomial. O modelo geral fornece a probabilidade de ocorrência de x sucessos, 
na observação de n eventos: 
 
Onde, p é a probabilidade de sucesso (no exemplo, de nascimentos de 
machos) e q probabilidade de insucesso, igual a (1-p). 
 
A distribuição binomial, é definida por dois números, ou parâmetros, que 
diferenciam as mais diferentes situações, sem os quais não calculamos 
P [X=x] : p e n. 
 
Conceito: Parâmetro de Uma Distribuição de Probabilidade - Constante 
(conhecida ou desconhecida) que define uma determinada distribuição de 
probabilidades. 
 
Assim uma notação comumente empregada para denotar que determinada 
variável aleatória possui distribuição binomial com parâmetros p e n, é: 
 
 
Pode-se demonstrar que a esperança e a variância de uma variável 
aleatória que segue uma distribuição binomial são dadas por: 
Me (x ) = E (X) = n . p 
 
 
 Ou seja, se avaliássemos todas as possíveis leitegadas de 5 leitões de 
infinitas porcas, teríamos um valor médio de 5.(0,5) = 2,5 machos, com 
variância entre leitegadas igual a 5. (0,5) . (0,5) = 1,25 machos ao quadrado. 
 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
A distribuição de Poisson refere-se a uma variável também discreta, mas 
que pode assumir qualquer número inteiro positivo, ou seja: X = 0, 1, 2, ... 
 
Essa distribuição é importante para descrever fenômenos de ocorrência rara, 
como certos fenômenos meteorológicos, eclosão de ovos de insetos submetidos 
a um inseticida, porcentagem de plantas doentes em campos de produção de 
sementes, defeito em explosão de TV, etc. 
 
 A distribuição de probabilidade é dada por: 
 
 onde e = 2,718...(número neperiano), e λ é o parâmetro da distribuição, e que 
corresponde ao valor médio que X assume. 
 Como exemplo, considere o número de chuvas por ano com intensidade 
acima de 50 mm/h que ocorrem em uma região. Essa variável pode ser 
importante no dimensionamento de drenos ou barragens. A população é 
constituída por todos os anos da região, e é infinita, pois abrange os infinitos 
anos que ainda estão por vir. A variável aleatória é discreta, porque conta o 
número de chuvas acima de 50 mm/h. 
Suponha que o número médio de chuvas por ano com essa intensidade seja 
1,5. Então, se o modelo de Poisson for um bom descritor, tem-se que: 
 
= 0,2231 
 
 
 
E assim para outros valores de x: 
A probabilidade de que x seja maior do que 2 pode ser obtida pelo teorema 1 de 
probabilidades: 
X 0 1 2 Etc. 
P[X=x] 0,2231 0,3347 0,2510 etc. 
 
P [X > 2] = 1 – P [X< =2] 
pois o evento (X < = 2) é o complemento do evento (X > 2). 
Como P [X < = 2] = P [X = 0] + P [ X= 1] + P [X = 2] = 0,8088 
tem-se que: 
P [ X >2] = 1 - 0,8088 = 0,1912 
 A distribuição de Poisson tem a particularidade de que sua média e sua 
variância são ambas iguais a λ: 
 onde λ = n . p 
 
 Assim, no exemplo das chuvas, a variância associada ao número de 
precipitações com intensidades acima de 50 mm/h também é igual a 1,5. 
 
EXERCÍCIOS: 
1) Sabe-se que 5% de um rebanho bovino está com febre aftosa. Qual a 
probabilidade de que um lote de 6 animais retirados deste rebanho, tenha-
se: 
a) Nenhum animal com febre aftosa: 
b) Dois animais com febre aftosa: 
c) Mais de um animal com febre aftosa. 
 
2) Um jogador de basquete converte 90% dos lances livres. Qual a probabilidade 
de que este jogador converta 4 dos 6 lances livres de uma partida. 
 
 
3)A probabilidade de que um individuo apresente uma reação alérgica após a 
aplicação de um soro é de 0,2%. Este mesmo soro foi aplicado a um grupo de 
1800 pessoas, qual a probabilidade de que: 
a) Duas pessoas tenham reação alérgica; 
b) No máximo quatro pessoas tenham reação alérgica? 
c) Pelo menos duas pessoas apresentem reação alérgica? 
 
4) Numa lâmina verificou-se que existiam em média 3 bactérias/cm2. A lâmina 
foi subdividida em 300 quadrados de 1cm2. 
a) Em quantos destes quadrados você espera encontrar no máximo 1 bactéria? 
b) Qual é a probabilidade de se encontrar mais de 4 bactérias/cm2?