Matemática Atuarial aula 04

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 PONTO DOS CONCURSOS 
MATEMÁTICA ATUARIAL 
DE PESSOAS 
 SUSEP 
Aula 4 
 
André Cunha 
08/03/2010 
 
 
 
Este documento contém o conteúdo programático do curso (plano de 
ensino) e aborda o seguinte tópico: Seguros de Vida. 
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Conteúdo 
1. Introdução .......................................................................... 3 
2. Revisitando VPA e Comutações .............................................. 3 
3. Seguros de vida pagos no final do ano de morte ...................... 4 
3.1. Seguro de sobrevivência ............................................... 5 
3.2. Vida inteira, ou vitalício imediato ................................... 7 
3.3. Temporário imediato .................................................... 9 
3.4. Vitalício diferido ........................................................ 10 
3.5. Temporário diferido ................................................... 11 
4. Seguros de vida pagos no momento da morte ....................... 13 
4.1. Relações entre seguros pagos no final do ano de morte e 
pagos no momento da morte ................................................. 15 
5. Seguros de vida pagos no final do período de morte ............... 16 
5.1. Relações entre seguros pagos no final do ano de morte e 
pagos no final do período de morte ......................................... 18 
6. Seguros Dotais .................................................................. 19 
6.1. Pagamento ao final do ano de morte ............................ 19 
6.2. Pagamento imediatamente após a morte ...................... 20 
6.3. Pagamento ao final do período de morte ....................... 20 
7. Seguros Variáveis .............................................................. 21 
7.1. Valor segurado aumenta uniformemente ....................... 21 
7.2. Valor segurado diminui uniformemente ......................... 23 
8. Exercícios de Fixação ......................................................... 25 
9. GABARITO ........................................................................ 29 
10. Resolução dos Exercícios de Fixação ..................................... 30 
 
 
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1. Introdução 
 
A função principal do atuário é o cálculo do valor presente 
atuarial (VPA) de fluxos financeiros incertos. 
Nas primeiras aulas estudamos fundamentalmente a tábua de 
mortalidade e as funções de lx. 
Nesta aula vamos iniciar os estudos de como usamos as 
probabilidades extraídas das tábuas de mortalidade para o cálculo do 
VPA dos referidos fluxos. 
Antes disso, é interessante recordar a noção de Valor Presente 
Atuarial (VPA) e as fórmulas de comutação, que serão muito 
utilizadas daqui em diante. 
 
 
2. Revisitando VPA e Comutações 
 
 
Um conceito fundamental da matemática financeira é o cálculo 
do valor presente (VP)1. 
Sendo 
i = taxa de juros compostos por período 
v = 1/(1+i) 
t = número de períodos 
O valor presente de um fluxo financeiro de uma u.m. (unidade 
monetária) daqui a t períodos é dado por: 
 
tt
t vii
VP =+=+=
−)1(
)1(
1
 
Isso significa que se aplicarmos tv reais hoje, a uma taxa de i 
por período, daqui a t períodos teremos um real. 
Para M reais, MviM
i
MVP ttt =+=+=
−)1(
)1(
 
 Na matemática atuarial temos um conceito análogo, chamado 
de valor presente atuarial (VPA). 
O valor presente atuarial é o valor presente dado na matemática 
financeira multiplicado pela probabilidade deste pagamento ocorrer, 
p(t). 
 
1 Ou Valor Atual 
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Assim, para uma u.m daqui a t períodos, seu VPA será 
(1) )()()1()(
)1(
1 tpvtpitp
i
VP ttt =+=⋅+=
− 
A diferença fundamental entre as matemáticas atuarial e 
financeira é o elemento de risco do fluxo financeiro. Na matemática 
financeira os fluxos são certos2. Na atuarial não. Há várias incertezas. 
Historicamente, e para tudo que envolver a prova da SUSEP, 
todas essas incertezas estão presentes no termo p(t) em (1). 
Quanto às Comutações, apenas por conveniência vamos repetir 
as fórmulas abaixo. 
 
Comutações para Anuidades Comutações para Seguros 
x
x
x lvD = xxx dvC 1+= 
∑−
=
+=
x
t
txx DN
ω
0
 ∑−
=
+=
x
t
txx CM
ω
0
 
∑−
=
+=
x
t
txx NS
ω
0
 ∑−
=
+=
x
t
txx MR
ω
0
 
 
 
3. Seguros de vida pagos no final do ano de morte 
 
Seguros podem ser vistos como apostas. Se eu gostar de riscos, 
eu poderia fazer uma aposta com um amigo meu nos seguintes 
moldes: 
Se o carro de uma terceira pessoa for roubado no período de 1 
ano, eu recebo R$ 29.000,00. Caso contrário, pago R$ 1.000,00. 
Agora, imagine-se no lugar dessa terceira pessoa, a dona do 
carro. Se ela fizer um seguro contra roubo no valor de R$ 30.000, 
pagando um prêmio de R$1.000,00, o fluxo de caixa dela (relativo ao 
contrato de seguro) é equivalente ao meu. Faça as contas, 
considerando a taxa de juros nula.3 
Assim é também com os seguros de vida. No caso de um seguro 
temporário, a seguradora promete pagar uma importância ao 
 
2 Essa afirmação não é totalmente verdadeira. Há exceções, mas nenhuma delas corre algum risco de ser 
cobrada pela ESAF. Logo, no contexto de um curso que objetiva a prova da SUSEP, é correta a 
afirmação. Dessa vez, a didática falou mais alto que o rigor. 
3 Desculpe, mas eu estaria torcendo muito para o carro ser roubado! 
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beneficiário quando o segurado morrer até uma determinada idade. 
Nesse caso, o segurado está apostando na própria morte. 
O paralelo entre aposta e seguro é para ilustrar o seguinte 
ponto: assim como para uma aposta ser paga algum evento tem de 
ocorrer (seu time do coração ganhar, faltar luz no próximo domingo), 
para um seguro ser pago algum fato tem de acontecer. Nos seguros 
de vida esse fato é a morte do segurado. 
Há uma infinidade de seguros. Não precisamos nem podemos 
saber todos, mas vamos estudar alguns tipos de seguros de vida. Mas 
com a teoria que veremos estaremos aptos a resolver virtualmente 
todas as questões passíveis de cair na prova da SUSEP. 
Cada tipo de seguro que vamos estudar seguirá sempre um 
mesmo roteiro: 
• Definição 
• Notação do VPA, ou simplesmente Notação 
• Gráfico 
• Fórmula usando probabilidades 
• Fórmula usando comutações 
 
O VPA de um seguro (ou anuidade) é o valor esperado do 
desembolso que a seguradora efetuará em caso de morte. Para 
muitas vidas, a média do que a seguradora gastará no pagamento 
aos segurados (ou beneficiários) é a melhor estimativa desse valor 
esperado. 
Desconsiderando os gastos que a seguradora tem (custos fixos 
+ variáveis + custo por apólice), bem como seus lucros, seria 
razoável então que o segurado pagasse portanto o VPA do seu 
seguro. A esse pagamento damos o nome de Prêmio Único Puro 
(PUP). Único por se pago em uma única parcela e puro por não incluir 
os custos mencionados e o lucro da seguradora. 
Nesta Aula estudaremos somente o PUP. Mais adiante, veremos 
parcelamento de prêmios e também os prêmios comerciais, que 
incluem esses custos mais olucro. 
Seguros de vida normalmente são pagos quando ocorre a morte 
do segurado. Vamos começar pela exceção. 
 
3.1. Seguro de sobrevivência 
 
Este seguro paga uma u.m. a uma pessoa de idade x, caso ela 
sobreviva n anos. 
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Notações: xn E 
 nxA ˆ: - O acento no n não existe, troque pelo número 1. 
Usamos o acento por limitações do editor de texto. 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
Ao contrário da matemática financeira, não sabemos se o 
pagamento de 1 u.m. ocorrerá. Caso o segurado morra antes de 
completar x + n anos, nada será pago. 
Queremos calcular o VPA ou PUP deste fluxo. Neste caso é o 
xn E . 
Vimos que )(tpvVPA t= , onde p(t) é a probabilidade de este 
pagamento ocorrer. Como o pagamento só será feito caso a pessoa 
de x anos sobreviva mais n anos, xn ptp =)( . 
Dessa forma, temos: 
(2) xn
n
xn pvE = 
Em termos de comutações: 
 
x
nx
x
nx
xn
n
xn l
l
v
vpvE +
+
⋅== 
Finalmente 
 
(3) 
x
nx
xn D
DE += 
Repare que xn E é o fator que leva um fluxo financeiro da idade 
x+n para a idade x. É o análogo ao tv da matemática financeira. 
 
Exemplo 1: Determine 3020 E . 
 
Tempo x x+n 
1 
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Solução 
 
Podemos usar tanto (2) como (3). Usando a Tábua 1 do final da 
Aula, temos 
288,0
3,16506
9,4756
30
50
3020 === D
D
E 
 
Convenção: Na maioria dos casos não iremos mais, nos nossos 
gráficos, escrever x, x+n, x+m, e sim 0, n, m. Não alterará em nada 
nosso raciocínio ou o resultado das fórmulas, e os gráficos ficarão 
mais agradáveis visualmente. Além do mais, em 99% dos casos 
estaremos tratando sempre de uma vida de idade x. Exemplificando, 
o gráfico anterior ficaria 
 
 
 
 
 
 
3.2. Vida inteira, ou vitalício imediato 
 
Este seguro paga uma u.m. a uma pessoa de idade x no final do 
ano de sua morte. 
Aqui o pagamento é certo. A dúvida é quando ocorrerá. 
 
Notação: xA 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
Tempo 0 n 
Tempo 0 j-1 j ... 
1 
1 
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O segurado pode morrer no ano 1, 2, 3, ... 
Se morrer logo no 1º ano, o VP desta unidade monetária será v. 
Isso ocorrerá com probabilidade qx. 
Se morrer no 2º ano, o VP desta unidade monetária será v2. 
Isso ocorrerá com probabilidade 1/qx. 
Se morrer no 3º ano, o VP desta unidade monetária será v3. 
Isso ocorrerá com probabilidade 2/qx. 
................................................................................... 
Se morrer no jº ano, o VP desta unidade monetária será vj. 
Isso ocorrerá com probabilidade j-1/qx. 
 
O VPA deste fluxo será a soma dos VP`s multiplicados pela 
probabilidade de ocorrência, para todos os anos. 
Assim, 
(4) ∑∞
=
+=+++=
0
/
1
/2
3
/1
2 ...
j
xj
j
xxxx qvqvqvvqA 
Em termos de comutações, 
(5) 
x
x
x D
MA = 
Demonstração: 
∑∑ ∞
=
++∞
=
+ ==
0
1
0
/
1
j x
jxj
j
xj
j
x l
d
vqvA 
Aqui usamos a formula (19) da Aula 2, 
x
mnxnx
xmn l
llq +++ −=/ , 
para m = 1 (omitido por ser 1) e n = j, e o fato de jxjxjx dll ++++ =− 1 . 
Vamos multiplicar numerador e denominador por vx. 
∑ ∑∞
=
∞
=
+
++
+++ ==
0
0
1
1
j x
x
j
jx
jx
x
x
jxjx
x lv
dv
lv
d
vA 
Como :,,1 temoslvDedvC x
x
xjx
jx
jx == ++++ 
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x
x
x
j
jx
x
x
j
jx
jx
x D
M
D
C
lv
dv
A ===
∑∑ ∞
=
+
∞
=
+
++
00
1
 
Assim, 
x
x
x D
MA = . 
Essa será uma das poucas demonstrações que faremos de 
comutações. Há vários motivos para isso: não cai demonstração na 
prova, apenas o conhecimento das fórmulas; todas são muito 
parecidas, os raciocínios se repetem; agora um motivo pessoal, 
provavelmente em decorrência do motivo anterior: isso é muito 
chato!4 
 
Exemplo 1: Determine 30A , para uma taxa de juros de 6%. 
 
Solução 
 
Podemos usar (4) ou (5). O uso de (4) só é plausível com o 
auxílio de uma planilha. Usando os dados da Tábua 1, 
 
123665,0
26,16506
25,2041
30
30
30 === D
MA 
O resultado anterior acarreta que um seguro que paga R$ 
100.000,00 no final do ano de morte de um indivíduo de idade 30 
deve ser contratado por R$ 12.366,50. 
Note que 1≤xA e é uma função crescente. 
 
3.3. Temporário imediato 
 
Este seguro paga uma u.m. a uma pessoa de idade x no final do 
ano de sua morte, caso ela ocorra em até n anos. 
 
 
 
4 E eu adoro matemática! 
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Notações: xn A/ - mais moderna e que tem caído na ESAF 
 nxA :ˆ - antiga, mas ainda muito usada. Novamente, o 
acento no x não existe, troque pelo número 1. Daqui em diante, 
qualquer acento circunflexo nas fórmulas significará o número 1. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
O raciocínio aqui é idêntico ao feito no caso vitalício. 
O VPA deste fluxo será a soma dos VP`s multiplicados pela 
probabilidade de ocorrência, para todos os anos, até o n-ésimo ano. 
Assim, 
(6) ∑−
=
+
− =++++=
1
0
/
1
/1/2
3
/1
2
/ ...
n
j
xj
j
xn
n
xxxxn qvqvqvqvvqA 
Em termos de comutações, 
(7) 
x
nxx
xn D
MMA +−=/ 
 
3.4. Vitalício diferido 
 
Este seguro paga uma u.m. a uma pessoa de idade x no final do 
ano de sua morte, caso ela ocorra após m anos. 
 
 
 
 
 
 
 
Tempo 0 j-1 j ... 
1 
n 
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Notação: xm A/ 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
Nada muda novamente, exceto o período de cobertura. 
Assim, 
(8) ∑∞
=
+
+
++ =++=
mj
xj
j
xm
m
xm
m
xm qvqvqvA /
1
/1
2
/
1
/ ... 
Em termos de comutações, 
(9) 
x
mx
xm D
MA +=/ 
(9) pode ser demonstrada no braço, usando o mesmo raciocínio 
aplicado anteriormente, ou de maneira quase imediata percebendo 
que o seguro vitalício diferido de m anos é a diferença entre um 
seguro vitalício imediato e um temporário de m anos. 
(10) xmxxm AAA // −= 
O tipo de equação em (10) cai na prova! 
 
3.5. Temporário diferido 
 
Este seguro paga uma u.m. a uma pessoa de idade x no final do 
ano de sua morte, caso ela ocorra após m anos e dentro dos n anos 
seguintes. 
 
 
 
 
Tempo 0 j-1 j ... 
1 
... m 
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Notações: xnm A/ ou nxm A :ˆ/ 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
Para não ficar repetitivo, vamos direto à fórmula. A única coisa 
que muda são os limites do somatório. O resto do raciocínio já vimos. 
 
(11) ∑−+
=
+
−+
+
+
++ =++=
1
/
1
/1/1
2/
1
/ ...
nm
mj
xj
j
xnm
nm
xm
m
xm
m
xnm qvqvqvqvA 
Em termos de comutações, 
(12) 
x
nmxmx
xnm D
MMA +++ −=/ 
 
Uma rápida maneira de se chegar a (11) é perceber que: 
xnmxmxxnm AAAA /// +−−= . 
 
Com isso concluímos todos os casos de seguros pagos no final 
do ano de morte. Antes de prosseguirmos, é interessante analisarmos 
o que se pode esperar da prova e como agir nos nossos estudos. 
 Equações como (11) podem cair na prova. Mas apenas a 
formula, e não seu cálculo. Isto porque envolveria a soma de muitos 
termos. Ainda não vi uma questão assim. 
Equações usando comutações (por exemplo a (12)) caem, e 
muito, como veremos. 
Relações entre anuidades, como xnmxmxxnm AAAA /// +−−= , também 
são cobradas. 
Mas professor, não é muita coisa para decorar? É. E vai ter 
muito mais ainda. Então use um esquema de memorização que 
Tempo 0 j-1 j ... 
1 
m+n ... m 
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funcione para você. Cada cabeça trabalha de um jeito. Vou dar 
algumas opções, mas com certeza há muitas outras. 
 
Opção 1: Decorar tudo. É possível, mas tem de ter uma 
memória muito boa para fazer isso em tão pouco tempo. Parece-me a 
pior saída. 
Opção 2: Decorar somente as definições e respectivas notações 
(isso é obrigatório) dos seguros e deduzir o resto. Sempre optei por 
esse método quando as deduções não são demoradas. 
Opção 3: Decorar o número mínimo de casos que englobam 
todos os casos possíveis. Exemplificando, nos subitens 3.2 a 3.5 
vimos 4 casos de seguro de vida. Poderíamos simplesmente 
memorizar o último deles, o seguro temporário diferido, que engloba 
todos os outros. 
Em xnm A/ , se fizermos m = 0 temos um seguro imediato, e se 
fizermos xnmn
A/lim∞→ temos um seguro vitalício. 
O mais importante nessa discussão é que você escolha uma 
maneira que te deixe confortável, à qual se adapte. 
 
 
4. Seguros de vida pagos no momento da morte 
 
 
Apesar de requerer uma matemática mais simples, os seguros 
pagos no final do ano de morte não têm um apelo comercial forte. 
Imagine o beneficiário ter de esperar, digamos, 11 meses para 
receber o valor segurado! 
Isso já não ocorre com os seguros pagos no momento da 
morte.5 
Vamos analisar o seguro de vida que paga uma u.m. a uma 
pessoa de idade x no final do ano de sua morte. Podemos chamar 
(nomenclatura nossa), de seguro vitalício imediato contínuo. 
 
Notação: xA 
 
 
 
5 Na prática, obviamente, alguns dias depois. 
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Graficamente: 
 
 
 dtp txtx ⋅⋅ ++ μ 
 
 
 
No caso discreto, determinamos xA calculando as 
probabilidades, ao final de cada ano, de a u.m. ser paga, trazendo 
cada uma a valor presente, e somando todas (Equação (4)). No caso 
contínuo faremos a mesma coisa. A diferença é que cada parcela 
agora é infinitesimal, e a soma vira integração. 
No item 3.3 da Aula 2, mostramos que a probabilidade de um 
indivíduo de x anos morrer exatamente após t anos, ou seja, 
exatamente na idade x+t, é dada por dtp txxt +⋅ μ . 
Trazendo esta parcela a valor presente, multiplicamos por 
tv ou 
te δ− . Os dois valores são iguais, visto que a taxa instantânea de juros 
δ é dada por )1ln( i+=δ . 6 
Assim, o valor presente do que a seguradora teria de destinar 
para cobrir a morte deste sujeito no instante x+t é dtpv txxt
t
+⋅ μ . Para 
cobrir em todos os instantes da vida dele, integramos a expressão 
acima de 0 a infinito. Assim, 
(13) ∫∞ +⋅=
0
dtpvA txxt
t
x μ 
(14) ∫∞ +− ⋅=
0
dtpeA txxt
t
x μδ 
Acreditamos ser pequena, porém não desprezível, a 
probabilidade de a ESAF cobrar o uso de (13) ou (14). O IBA cobra 
(Ver exercício de fixação 6). 
O que é mais provável é que seja cobrado as relações entre 
seguros pagos no final do ano de morte e pagos no momento da 
morte, que veremos a seguir. 
 
6 Se o conceito de capitalização contínua não estiver firme, sugiro rever o item 4.3 da Aula 1. 
Tempo x x+t 
1 
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Não vamos colocar aqui as fórmulas para os seguros diferidos e 
temporários. Isto sobrecarregaria muito a Aula. As notações são 
iguais às dos seguros pagos ao final do ano, exceto pelo acréscimo da 
barra sobre a letra A. As fórmulas são idênticas a (13) ou (14), 
exceto pelos limites de integração. Enfim, nada novo. 
 
4.1. Relações entre seguros pagos no final do ano de morte e 
pagos no momento da morte. 
 
Assumindo a hipótese de que, para cada intervalo (x, x+1), as 
mortes são uniformemente distribuídas, prova-se que 
(15) A
iA δ= 
Onde: 
A é qualquer tipo de seguro pago no momento da morte. 
A é o seguro pago no final do ano de morte correspondente a 
A . Ou seja, para a mesma pessoa e cobrindo o mesmo período. 
i é a taxa de juros anual. 
)1ln( i+=δ é a taxa de juros instantânea. 
Repare que, como i≤δ , então AA ≥ , resultado já esperado, 
pois o pagamento feito no momento da morte será sempre anterior 
ao pagamento efetuado no final do ano. 
Para a prova, basta decorar (15), pois: 
 
(16) xx A
iA δ= 
(17) xnxn A
iA // δ= 
(18) xkxk A
iA // δ= 
(19) xnkxnk A
iA // δ= 
Exemplo 2: Determine 30A , para uma taxa de juros anual de 
6%, sabendo que as mortes são uniformemente distribuídas em cada 
intervalo (x, x+1). 
 
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Solução 
 
Do Exemplo 1, 123665,030 =A . Usando (16), 
 
123665,0
)06,1ln(
06,0
3030 ⋅== AiA δ 127339,030 =A 
 
 
5. Seguros de vida pagos após uma fração do ano. 
 
 
Se por um lado os seguros pagos ao final do ano de morte têm 
um apelo comercial relativamente fraco, os pagos no momento da 
morte parecem longe da realidade. Por mais ágil e eficiente que 
fossem os sistemas das seguradoras e o fluxo de informações, 
dificilmente um seguro poderia ser pago até 2 dias após a morte do 
segurado. 
 Os seguros pagos após uma fração do ano são análogos aos 
pagos ao final do ano. Funciona da seguinte forma: dividimos o ano 
em m pedaços iguais, de maneira que cada fração contenha 1/m do 
ano. Para ilustrar, seja m = 12 e todos os meses tendo 30 dias, o ano 
com 360. Se a pessoa morre em 12 de abril, o valor será pago em 30 
de abril. 
Esse tipo de seguro vende bem e é teoricamente viável.7 
Vejamos como ficaria um seguro imediato vitalício, que paga 
uma u.m. no final do período de morte, sendo cada período uma 
fração de 1/m do ano. 
Notação: 
)(m
x
A 
Este seguro é totalmente análogo ao pago no final do ano de 
morte, xA . 
 
 
 
 
7 Não seria viável pagar um benefício no fim do mês se o segurado morrer, digamos, na noite de 30 de 
abril. Mas isso poderia ser facilmente consertado instituindo-se que o pagamento fosse feito no final 
do mês seguinte à morte, ou em até 15 dias da morte. Neste segundo caso, só por curiosidade, 
verifique que toda a matemática envolvida seria muito parecida com o caso contínuo. 
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Graficamente:O segurado pode morrer no período 1, 2, 3, ... 
Se morrer logo no 1º período, o VP desta unidade monetária 
será mv
1
. Isso ocorrerá com probabilidade x
m
q1 . 
Se morrer no 2º período, o VP desta unidade monetária será 
mv
2
. Isso ocorrerá com probabilidade 
m
x
m
x
m
qp 111 +× . 
Se morrer no 3º período, o VP desta unidade monetária será 
mv
3
. Isso ocorrerá com probabilidade 
m
x
m
x
m
qp 212 +× . 
................................................................................... 
Se morrer no jº período, o VP desta unidade monetária será m
j
v . 
Isso ocorrerá com probabilidade 
m
jx
m
x
m
j qp 111 −+− × . 
O VPA deste fluxo será a soma dos VP`s multiplicados pela 
probabilidade de ocorrência, para todos os períodos. 
Assim, 
 
(20) ∑∞
= +
+
×=
0
1
1
)(
j m
jx
m
x
m
j
m
j
m qpvA
x 
 
Aqui cabem as mesmas considerações feitas no estudo dos 
seguros pagáveis no momento da morte sobre colocar as fórmulas 
para os seguros diferidos e temporários. Pelos motivos já expostos, 
não as colocaremos aqui. 
Tempo 0 j-1 j ... 
1 
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5.1. Relações entre seguros pagos no final do ano de morte e 
pagos no final do período de morte. 
 
Assumindo novamente a hipótese de que, para cada intervalo 
(x, x+1), as mortes são uniformemente distribuídas, prova-se que 
(21) A
i
iA m
m
)(
)( = 
Onde: 
)(mA é qualquer tipo de seguro pago ao final do período de 
morte. 
A é o seguro pago no final do ano de morte correspondente a 
)(mA . Ou seja, para a mesma pessoa e cobrindo o mesmo intervalo de 
tempo. 
i é a taxa de juros anual. 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+= 1)1(
1
)( mm imi é a taxa de juros nominal pagável m vezes por 
período. 
Repare mais uma vez que, como ii m ≤)( , então AA m ≥)( , 
resultado já esperado, pois o pagamento feito no final de um período 
do ano será quase sempre anterior ao pagamento efetuado no final 
do ano. 
Para a prova, basta decorar (21), pois: 
 
(22) xm
m A
i
iAx )(
)( = 
(23) xnm
m
n Ai
iAx /)(
)(
/ = 
(24) xnm
m
n Ai
iAx /)(
)(
/ = 
(25) xnkm
m
nk Ai
iAx /)(
)(
/ = 
 
Exemplo 3: Determine 
)12(
30A , para uma taxa de juros anual de 
6%, sabendo que as mortes são uniformemente distribuídas em cada 
intervalo (x, x+1). 
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Solução 
 
Do Exemplo 1, 123665,030 =A . Usando (22), 
 
123665.0
1)06,1(12
06.0
12
130)12(
)12(
30 ⋅
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
== A
i
iA 12703.0)12(30 =A 
Nota: As equações (15) a (19) podem ser consideradas caso 
limite das equações (21) a (25), quando o número de períodos, m, 
tende ao infinito, ou inversamente, a duração do período, 1/m, tende 
a zero, pois δ=∞→ )(lim mm i . 
 
6. Seguros Dotais 
 
 
Os seguros dotais combinam sobrevivência e falecimento. Por 
esta razão, são sempre temporários. 
Este seguro paga uma u.m. se o segurado morrer nos n anos de 
sua vigência, ou ao final dela, caso o segurado sobreviva. 
Se for pago por morte, o pagamento pode ser feito ao final do 
ano de morte, imediatamente após a morte, ou ao final do período de 
morte. 
Do exposto, este seguro será sempre a soma de 2 parcelas: 
 
• A parcela relativa à sobrevivência será invariavelmente 
xn E ; 
• A parcela relativa ao falecimento dependerá da forma de 
como é feito o pagamento. 
 
6.1. Pagamento ao final do ano de morte 
 
Notação: nxA : (sem o número 1 em cima do x) 
Temos então: 
 
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(26) xnxnnx EAA +=/: 
 
6.2. Pagamento imediatamente após a morte 
 
Notação: nxA : 
Temos então: 
(27) xnxnnx EAA +=/: 
Ou, usando (17), 
 
(28) xnxnnx EA
iA += /: δ 
Note que (28), e mais abaixo (30), só serão válidas se 
assumirmos novamente a hipótese de que, para cada intervalo 
(x, x+1), as mortes são uniformemente distribuídas. 
 
 
6.3. Pagamento ao final do período de morte 
 
Sendo o ano dividido em m períodos, temos: 
Notação: 
)(
:
m
nxA 
Segue que: 
(29) xn
m
n
m
nx EAA x += )(/)(: 
Ou, usando (23), 
 
(30) xnxnm
m
nx EAi
iA += /)()(: 
 
 
 
 
 
 
 
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7. Seguros Variáveis 
 
Seguros variáveis, como o próprio nome sugere, são aqueles 
cujo valor segurado varia de acordo com o momento da morte. 
Até agora, o capital segurado foi sempre de uma u.m. Neste 
item, o capital segurado b é uma função do tempo t decorrido desde 
a vigência do contrato. Em outras palavras, b = b(t). 
Como há infinitas funções b(t), vamos ver apenas algumas 
classes delas que acreditamos que possam ser cobradas em prova, 
não sem antes explicar a extensão do que será ensinado e a razão 
para tal. 
Primeiramente, tudo o que vimos de seguros até agora nesta 
Aula pode ser considerado um caso particular de seguros variáveis, 
para b(t) = 1.8 
Se já usamos quase 20 páginas para explicar o caso particular, 
se formos nos aprofundar agora, veremos no mínimo mais 40 
páginas. 
Além disso, com o que vimos até agora, digo para você que 
podemos resolver todas as questões de seguros variáveis que 
possam cair. Só falta dar a notação para poder saber do que se trata 
o seguro. Por exemplo, precisamos saber a definição de (IA)x. 
O lugar comum diz que quanto mais melhor. Esta tese encontra 
suporte em muitos concursandos, ansiosos para conquistar a tão 
desejada vaga no setor público. Entretanto, sou radicalmente contra 
ela. Estudar tudo o que é possível e imaginável é como comprar um 
ônibus para ir de casa para o trabalho, ou matar um mosquito com 
uma granada. Pode até funcionar, mas é muito pouco eficaz. 
Com tudo isso dito, sugiro fortemente a você voltar à Aula 1 e 
rever a questão 14, particularmente a solução 2. Apesar de se tratar 
de anuidades certas, o raciocínio empregado lá é 90% do que 
precisamos para o tópico de seguros variáveis. 
 
7.1. Valor segurado aumenta uniformemente 
 
O seguro a estudar neste subitem aumenta uniformemente da 
seguinte forma: se a pessoa morrer no j-ésimo ano de vigência, o 
seguro pagará j unidades monetárias. 
Se o seguro for vitalício, temos: 
Notação: xIA)( , de increasing 
 
 
8 Podemos chamar esse tipo de seguro de seguro nivelado. 
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Graficamente: 
 
 
 
 
 
O PUP deste seguro é dado por 
 
(31) ∑∞
=
++=+++=
0
/
1
/2
3
/1
2 )1(...32)(
j
xj
j
xxxx qvjqvqvvqIA 
Em termos de comutações, prova-se que 
(32) 
x
x
x D
RIA =)( 
Para este novo tipo de seguro, há todos os casos que vimos 
anteriormente para os seguros nivelados: diferido, temporário, pago 
no momento da morte, ao final do período. Como já expomos 
anteriormente, é contraproducente, e portanto um desserviço ao 
aluno, ver detalhadamente cada um deles. Mas conseguimos, através 
do que já vimos, chegar a qualquer equação que quisermos, com o 
raciocínio desenvolvido até aqui. 
Por exemplo, se quisermos calcular a versão temporária do 
xIA)( , nxIA :ˆ)( ,cujo valor segurado varia de 1 a n nos n anos de sua 
vigência, percebemos que 
(33) ( )nxnxxnxnx IAAnEIAIA ++ +⋅−= )()()( :ˆ . 
É dado como exercício de fixação interpretar a fórmula acima. 
 
Desenvolvendo (33), em termos de comutações: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +⋅−=
+
+
+
++
nx
nx
nx
nx
x
nx
x
x
nx D
R
D
Mn
D
D
D
RIA :ˆ)( 
Simplificando, 
(34) 
x
nxnxx
nx D
MnRRIA ++ ⋅−−=:ˆ)( 
Tempo 0 j-1 j ... 
j 
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No caso contínuo, isto é, seguros pagos no momento da morte, 
temos 
(35) ∫∞ +⋅=
0
)( dtptvAI txxt
t
x μ 
Que não esperamos que seja cobrada pela ESAF. 
Repare que, mesmo para casos “novos”, a notação atuarial é 
muito previsível. Em (35), ainda que não olhássemos para os limites 
de integração, xAI )( só poderia se tratar de um seguro crescente, 
pagável no momento da morte, imediato e vitalício. 
 
7.2. Valor segurado diminui uniformemente 
 
Este seguro é o “espelho” do anterior. Ele decresce 
uniformemente da seguinte forma: se a pessoa morrer no 1° ano, 
seu beneficiário receberá n unidades monetárias. Este valor decresce 
de uma u.m. ao ano, até que no n-ésimo e último ano será de uma 
u.m. Devido à sua natureza, este seguro nunca será vitalício. 
 
Notação: nxDA :ˆ)( , de decreasing 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
O PUP deste seguro é dado por 
 
(36) ∑−
=
+
− −=++−+=
1
0
/
1
/1/1
2
:ˆ )(1...)1()(
n
j
xj
j
xn
n
xxnx qvjnqvqvnnvqDA
 
Interessante notar que 
(37) nxnxnx AnDAIA :ˆ:ˆ:ˆ )1()()( +=+ . 
Tempo 0 j-1 j ... 
n-j+1 
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Isto ocorre porque, se comprarmos os seguros crescente e 
decrescente, sempre serão pagas n+1 u.m`s ao final do ano da 
morte. A vantagem de se notar isso é poder estudar apenas um dos 
tipos de seguros, digamos o crescente, e usar (37) para chegar nas 
fórmulas do outro. 
No caso contínuo do seguro decrescente, temos 
(38) ∫ +⋅−= n txxttnx dtpvtnAD
0
:ˆ )()( μ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8. Exercícios de Fixação 
 
 
1. (Analista Técnico – SUSEP – 2002) 
A formulação para determinação do uxP de um seguro contra morte, 
imediato e temporário por um ano, em função de um seguro de 
sobrevivência capital, é dada por: 
A) /1Ax = (1 + i)-1 - 1Ex 
B) 1/Ax = (1 + i)-1 - 1Ex 
C) /1Ax = (1 + i)-1 x 1Ex 
D) Ax+1 = (1 + i)-1 x 1Ex 
E) /1Ax = (1 + i)-1 - [Q x /n-1äx+1 ] 
 
2. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) 
Aos 40 anos, Ana compra um seguro de vida que oferece os 
seguintes benefícios: 50.000 u.m. se a morte ocorrer nos próximos 
20 anos; 100.000 u.m. se a morte ocorrer entre as idades de 60 anos 
e 70 anos; e 30.000 u.m. se a morte ocorrer depois disso. Encontre 
uma expressão para o prêmio puro único deste seguro em termos 
dos números de comutação. 
 
A) 
40
706040 000.30000.100000.50
D
MMM ++
 
B) 
40
706040 000.30000.100000.50
D
NNN ++
 
C) 
40
716141 000.70000.50000.50
D
MMM −+
 
D) 
40
706040 000.70000.50000.50
D
MMM −+
 
E) 
40
716141 000.30000.100000.50
D
NNN ++
 
 
3. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) 
Joana, hoje com 60 anos, irá se aposentar aos 65 anos. Se ela 
morrer antes de completar a idade de aposentadoria, seu beneficiário 
receberá uma quantia de 1.000 u.m. para cada ano completo de 
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serviço prestado, pagável no final do ano de morte. Expresse em 
termos dos números de comutação o valor presente deste benefício 
futuro se Joana entrou nesta empresa aos 45 anos. 
 
A) [ ]656463626160
60
000.15 CCCCCC
D
+++++⋅ 
B) [ ]656463626160
60
000.15 MMMMMM
D
+++++⋅ 
C) [ ]656463626160
60
000.15 MMMMMM
N
+++++⋅ 
D) [ ]656463626160
60
1915000.1 CCCCCC
D
−++++⋅ 
E) [ ]656463626160
60
1915000.1 MMMMMM
D
−++++⋅ 
 
4. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2006) 
Aos 45 anos, Maria compra um Seguro de Vida que oferece os 
seguintes benefícios: 
• 55.000 u.m., se a morte ocorrer nos próximos 20 anos; 
• 150.000 u.m., se a morte ocorrer entre as idades de 65 e 75 anos; 
e 
• 40.000 u.m., se a morte ocorrer depois disso. 
Encontre uma expressão para o prêmio puro único desse seguro, em 
termos das funções de comutação, 
sabendo que os benefícios são pagáveis no final do ano da morte: 
 
A) 
45
756545 000.110000.95000.55
D
MMM −+
 
B) 
45
756545 000.40000.150000.55
D
MMM ++
 
C) 
45
756545 000.110000.95000.55
D
NNN −+
 
D) 
45
756545 000.40000.150000.55
D
MNN ++
 
E) 
45
75756545 000.40)(000.150000.55
D
MMMM +−+
 
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5. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2006) 
Um cliente com 30 anos de idade tem interesse em contratar um 
Seguro Dotal Puro, com capital segurado de $ 200.000,00, para 
receber aos 60 anos. Essa pessoa fez três cotações, sendo que as 
três seguradoras calcularam o valor do prêmio único a ser pago com 
base na Tábua Biométrica AT-2000. 
Entretanto, a seguradora Alfa utilizou a taxa de juros de 0% a.a., a 
seguradora Beta utilizou a taxa de juros de 5% a.a. e a seguradora 
Gama utilizou a taxa de juros de 4% a.a.. Com base nessas 
informações, e supondo que não há qualquer diferença nos custos 
administrativos das três seguradoras, pode-se afirmar que: 
A) O valor do prêmio único cobrado pela seguradora Alfa será o 
menor. 
B) O valor do prêmio único cobrado pela seguradora Beta será o 
menor. 
C) O valor do prêmio único cobrado pela seguradora Gama será o 
maior. 
D) O valor do prêmio único cobrado pela seguradora Alfa será menor 
do que o valor do prêmio único cobrado pela seguradora Beta. 
E) O valor do prêmio único cobrado pela seguradora Beta será maior 
do que o valor do prêmio único cobrado pela seguradora Gama. 
 
6. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2009) 
Um seguro de vida inteira contínuo (pagamento do capital segurado 
feito no momento da morte) com valor de capital segurado igual a 1 
(uma unidade monetária) é subscrito por uma pessoa de idade x. 
Sabe-se que as forças de juros e de mortalidade são constantes e 
iguais, respectivamente, a δ e μ. O valor presente do benefício é igual 
a: 
A) δ
μ
; 
B) μ
δ
; 
C) δμ
δ
+ ; 
D) δμ
μ
+ ; 
E) δμ
δ
+2 . 
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7. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2009) 
Uma apólice de seguro de vida inteira subscrita por uma pessoa de 
idade x apresenta os seguintes valores de benefícios pagos no final 
do ano da morte: 
 
Ano da Morte Valor do Benefício 
1 10 
2 10 
3 9 
4 9 
5 9 
6 8 
7 8 
8 8 
9 8 
10 7 
Cada ano seguinte 7 
 
Com base nessas informações, o valor de Ax para essa apólice, 
em termos de comutações, é igual a: 
 
A) 
x
xxxx
D
MMMM 95210 +++ −−− ; 
B) 
x
xxxx
D
MMMM 106210 +++−−− ; 
C) 
x
xxxx
D
MMMM 95210 +++ +++ ; 
D) 
x
xxxx
D
MMMM 106210 +++ +++ ; 
E) 
x
xxxx
D
MMMM 106210 +++ +−− . 
 
8. Interprete a fórmula ( )nxnxxnxnx IAAnEIAIA ++ +⋅−= )()()( :ˆ . 
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9. GABARITO 
 
1 – A 
2 – D 
3 – E 
4 – A 
5 – B 
6 – D 
7 – A 
8 – Interpretação 
 
 
 
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10. Resolução dos Exercícios de Fixação 
 
 
 
1. (Analista Técnico – SUSEP – 2002) 
A formulação para determinação do uxP de um seguro contra morte, 
imediato e temporário por um ano, em função de um seguro de 
sobrevivência capital, é dada por: 
A) /1Ax = (1 + i)-1 - 1Ex 
B) 1/Ax = (1 + i)-1 - 1Ex 
C) /1Ax = (1 + i)-1 x 1Ex 
D) Ax+1 = (1 + i)-1 x 1Ex 
E) /1Ax = (1 + i)-1 - [Q x /n-1äx+1 ] 
 
Resolução 
 
Aqui aparece pela primeira vez a notação uxP para designar 
PUP. 
O enunciado pede /1Ax. Basicamente vejo duas maneiras de 
resolver a questão. 
 
1° Modo: 
Ao final de um ano, a pessoa ou morre ou sobrevive. Isso 
ocorre com probabilidade de 100%. 
Assim, uma seguradora que emite /1Ax e 1Ex, ao final do ano 
terá de desembolsar 1 u.m. E o valor presente esta u.m. é v. Desta 
forma, 
xxxx EiAvEA 1
1
1/11/ )1( −+=⇒=+ − 
 
2° Modo: 
De (6), 
xxxxx EivpvpvvqA 1
1
1/ )1()1( −+=−=−== − 
 
Gabarito: A 
 
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2. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Aos 40 anos, 
Ana compra um seguro de vida que oferece os seguintes benefícios: 
50.000 u.m. se a morte ocorrer nos próximos 20 anos; 100.000 u.m. 
se a morte ocorrer entre as idades de 60 anos e 70 anos; e 30.000 
u.m. se a morte ocorrer depois disso. Encontre uma expressão para o 
prêmio puro único deste seguro em termos dos números de 
comutação. 
 
A) 
40
706040 000.30000.100000.50
D
MMM ++
 
B) 
40
706040 000.30000.100000.50
D
NNN ++
 
C) 
40
716141 000.70000.50000.50
D
MMM −+
 
D) 
40
706040 000.70000.50000.50
D
MMM −+
 
E) 
40
716141 000.30000.100000.50
D
NNN ++
 
 
Resolução 
 
Trata-se de um seguro variável que não se encaixa em nenhum 
modelo preexistente. Isso corrobora a nossa decisão de não dar as 40 
páginas só de modelos de seguros variáveis e focar mais no raciocínio 
por trás deles. 
Graficamente podemos representar os valores segurados (VS) 
da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos tentar 3 vezes, pois há 3 períodos, e na terceira 
acertamos, OK? 
 
Idade 40 60 70 
50.000 VS 30.000 100.000 
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Vamos chamar de uP40 o PUP pedido. 
Assim, 4040 000.50 AP
u = . (a) 
A expressão (a) realmente paga 50.000 nos primeiros 20 anos, 
mas falha no segundo período, pois falta 50.000 para completar os 
100.000. 
Logo, 40/204040 000.50000.50 AAP
u += . (b) 
A expressão (b) paga 50.000 nos primeiros 20 anos, 50.000 + 
50.000 nos 10 anos seguintes, mas falha no terceiro período, pois 
permanece pagando 100.000, quando na verdade deveria pagar só 
30.000. Temos de retirar 70.000 a partir da idade 70. 
Finalmente, 40/3040/204040 000.70000.50000.50 AAAP
u −+= . (b) 
Usando (5) e (9), 
40
70
40
60
40
40
40 000.70000.50000.50 D
M
D
M
D
MPu −+= 
40
706040
40
000.70000.50000.50
D
MMMPu −+= 
Gabarito: D 
 
3. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Joana, hoje 
com 60 anos, irá se aposentar aos 65 anos. Se ela morrer antes de 
completar a idade de aposentadoria, seu beneficiário receberá uma 
quantia de 1.000 u.m. para cada ano completo de serviço prestado, 
pagável no final do ano de morte. Expresse em termos dos números 
de comutação o valor presente deste benefício futuro se Joana entrou 
nesta empresa aos 45 anos. 
 
A) [ ]656463626160
60
000.15 CCCCCC
D
+++++⋅ 
B) [ ]656463626160
60
000.15 MMMMMM
D
+++++⋅ 
C) [ ]656463626160
60
000.15 MMMMMM
N
+++++⋅ 
D) [ ]656463626160
60
1915000.1 CCCCCC
D
−++++⋅ 
E) [ ]656463626160
60
1915000.1 MMMMMM
D
−++++⋅ 
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Resolução 
 
Mais um seguro variável que não se encaixa em nenhum modelo. 
Graficamente podemos representar os valores segurados (VS) 
da seguinte forma (x 1.000 u.m.): 
 
 
 
 
 
 
 
O valor presente procurado é hoje, e hoje Joana tem 60 anos. 
Se ela morrer hoje, 15.000 já estão garantidos, pois ela entrou na 
empresa com 45 anos. 
Vamos chamar de uP o PUP pedido. O raciocínio será análogo 
ao usado na resolução do exercício anterior. 
Temos 6 períodos, pagando 15, 16, 17, 18, 19 e zero u.m`s. 
1° Período: 6015AP
u = , mas falta uma u.m. para o 2° período. 
2° Período: 60/16015 AAP
u += , mas falta uma u.m. para o 3° período. 
3° Período: 60/260/16015 AAAP
u ++= , mas falta uma u.m. para o 4° 
período. 
4° Período: 60/360/260/16015 AAAAP
u +++= , mas falta uma u.m. para o 5° 
período. 
5° Período: 60/460/360/260/16015 AAAAAP
u ++++= , mas estamos pagando 
19 u.m`s. para o 6° período. 
6° Período: 60/560/460/360/260/160 1915 AAAAAAP
u −++++= , que é o 
resultado final. 
Em comutações, 
60
65
60
64
60
63
60
62
60
61
60
60 1915
D
M
D
M
D
M
D
M
D
M
D
MPu −++++= 
( )656463626160
60
19151 MMMMMM
D
Pu −++++= 
Idade 60 61 65 
15 
VS 16 17 19 18 
63 64 62 
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Como estamos trabalhando com milhares de u.m`s, a opção correta 
é a E. 
 
Gabarito: E 
 
4. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2006) 
 
Aos 45 anos, Maria compra um Seguro de Vida que oferece os 
seguintes benefícios: 
• 55.000 u.m., se a morte ocorrer nos próximos 20 anos; 
• 150.000 u.m., se a morte ocorrer entre as idades de 65 e 75 anos; 
e 
• 40.000 u.m., se a morte ocorrer depois disso. 
Encontre uma expressão para o prêmio puro único desse seguro, em 
termos das funções de comutação, 
sabendo que os benefícios são pagáveis no final do ano da morte: 
 
A) 
45
756545 000.110000.95000.55
D
MMM −+
 
B) 
45
756545 000.40000.150000.55
D
MMM ++
 
C) 
45
756545 000.110000.95000.55
D
NNN −+
 
D) 
45
756545 000.40000.150000.55
D
MNN ++
 
E) 
45
75756545 000.40)(000.150000.55
D
MMMM +−+
 
 
Resolução 
 
Mais um exercício nos mesmos moldes dos dois anteriores. Para 
não ter mais do mesmo, vou fazer uma solução reduzida, mais 
rápida, que pode ser bem útil na hora da prova, indo direto às 
comutações. 
Graficamente podemos representar os valores segurados (VS) 
da seguinte forma: 
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 Note que os valores do gráfico, desta vez, estão escritos em 
termos incrementais, ou seja, em termos da diferença a ser paga em 
relação ao período anterior. 
 Isso já praticamente nos leva à resposta, pois somente os itens 
A e C apresentam os valores 55.000,+95.000 e -110.000 como 
respostas. 
 Mas estamos falando de seguros, e as comutações no 
numerador são sempre C, M ou R, nunca N, o que nos leva à opção A 
como correta. 
 
Gabarito: A 
 
Nota: Poderíamos, usando raciocínio idêntico ao da questão 2, 
concluir que 45/3045/2045 000.110000.95000.55 AAAP
u −+= 
 
5. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2006) 
 
Um cliente com 30 anos de idade tem interesse em contratar um 
Seguro Dotal Puro, com capital segurado de $ 200.000,00, para 
receber aos 60 anos. Essa pessoa fez três cotações, sendo que as 
três seguradoras calcularam o valor do prêmio único a ser pago com 
base na Tábua Biométrica AT-2000. 
Entretanto, a seguradora Alfa utilizou a taxa de juros de 0% a.a., a 
seguradora Beta utilizou a taxa de juros de 5% a.a. e a seguradora 
Gama utilizou a taxa de juros de 4% a.a.. Com base nessas 
informações, e supondo que não há qualquer diferença nos custos 
administrativos das três seguradoras, pode-se afirmar que: 
A) O valor do prêmio único cobrado pela seguradora Alfa será o 
menor. 
B) O valor do prêmio único cobrado pela seguradora Beta será o 
menor. 
Idade 45 65 75 
55.000 
VS -110.000 +95.000 
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C) O valor do prêmio único cobrado pela seguradora Gama será o 
maior. 
D) O valor do prêmio único cobrado pela seguradora Alfa será menor 
do que o valor do prêmio único cobrado pela seguradora Beta. 
E) O valor do prêmio único cobrado pela seguradora Beta será maior 
do que o valor do prêmio único cobrado pela seguradora Gama. 
 
Resolução 
 
Essa é uma questão que trata de prêmio comercial, e não puro, 
assunto que ainda não vimos. Entretanto, com o que já vimos 
podemos resolver rapidamente a questão. 
Os prêmios cobrados pelas seguradoras dependem da tábua de 
mortalidade empregada, dos custos administrativos, da margem de 
lucro e da taxa de juros utilizada. 
O enunciado nos fala que tanto a tábua de mortalidade quanto 
os custos administrativos para as 3 seguradoras são iguais. 
Sobre a margem de lucro não se fala nada, logo a 
desconsideramos. 
A única coisa que levamos em consideração é a taxa de juros. 
Como o PUP(i) é função decrescente da taxa de juros i, quanto maior 
essa taxa, menor o PUP. 
A maior taxa utilizada foi de 5%, pela seguradora Beta. Logo, o 
PUP cobrado por Beta será o menor de todos. 
 
Gabarito: B 
 
 
6. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2009) 
Um seguro de vida inteira contínuo (pagamento do capital segurado 
feito no momento da morte) com valor de capital segurado igual a 1 
(uma unidade monetária) é subscrito por uma pessoa de idade x. 
Sabe-se que as forças de juros e de mortalidade são constantes e 
iguais, respectivamente, a δ e μ. O valor presente do benefício é igual 
a: 
A) δ
μ
; 
B) μ
δ
; 
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C) δμ
δ
+ ; 
D) δμ
μ
+ ; 
E) δμ
δ
+2 . 
 
Resolução 
 
Pede-se xA . Questão um pouco mais complicada de se resolver 
se fosse discursiva, mas como é múltipla escolha, o IBA facilitou 
muito para nós. Há várias formas de se chegar à resposta correta, D. 
 
Solução 1: 
 
Se a taxa de juros δ for zero, para qualquer μ,o VPA será igual 
a 1. 
A única opção que gera VPA = 1 para δ = 0 é a D. 
 
Solução 2: 
 
Se a taxa instantânea de mortalidade μ tender ao infinito, para 
qualquer taxa de juros δ, o VPA será novamente igual a 1. Isto ocorre 
porque a morte é instantânea, e o pagamento é feito na idade exata 
x. 
A única opção que gera VPA = 1 quando μ tende ao infinito é a D. 
 
Solução 3: 
 
É “usar o braço”. Calcular usando (14). 
 
∫∞ +− ⋅=
0
dtpeA txxt
t
x μδ 
O enunciado afirma que a taxa instantânea de mortalidade μ é 
constante. 
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Vimos na Aula 2, subitem 4.2, que a função exponencial tem a 
propriedade de ter a taxa instantânea de mortalidade constante. 
Não é difícil provar que a recíproca é verdadeira. Como 
consequência a função exponencial é a única que apresenta taxa 
instantânea de mortalidade constante. 
 Sabemos da Aula 2 que, para a função exponencial, 
t
txxt ep
μμμ −+ ⋅= . 
 Logo, 
[ ]0)(
0
)(
0
)(
0
∞
+−
∞+−∞
+−
∞
−− ⋅+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−⋅=⋅=⋅= ∫∫ t
t
ttt
x e
edtedteeA δμ
δμ
δμμδ
δμ
μ
δμμμμ 
Como o termo entre colchetes é igual a 1, segue que 
δμ
μ
+=xA 
 
Gabarito: D 
 
7. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2009) 
Uma apólice de seguro de vida inteira subscrita por uma pessoa de 
idade x apresenta os seguintes valores de benefícios pagos no final 
do ano da morte: 
 
Ano da Morte Valor do Benefício 
1 10 
2 10 
3 9 
4 9 
5 9 
6 8 
7 8 
8 8 
9 8 
10 7 
Cada ano seguinte 7 
 
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Com base nessas informações, o valor de Ax para essa apólice, 
em termos de comutações, é igual a: 
 
A) 
x
xxxx
D
MMMM 95210 +++ −−− ; 
B) 
x
xxxx
D
MMMM 106210 +++ −−− ; 
C) 
x
xxxx
D
MMMM 95210 +++ +++ ; 
D) 
x
xxxx
D
MMMM 106210 +++ +++ ; 
E) 
x
xxxx
D
MMMM 106210 +++ +−− . 
 
Resolução 
 
Mais uma vez, o mesmo tipo de questão se repete. 
Graficamente podemos representar os valores segurados (VS) 
na forma incremental: 
 
 
 
 
 
 
 
 A resposta correta, opção A, já está no gráfico. Basta colocar M 
antes das idades e procurar a opção com os coeficientes de M iguais a 
(10, -1, -1, -1). 
 
Gabarito: A 
 
Nota: Poderíamos, usando raciocínio idêntico ao da questão ___, 
concluir que xxxx
u AAAAP /9/5/210 −−−= . 
 
Idade x x+2 x+5 
10 
VS -1 -1 
x+9 
-1 
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8. Interprete a fórmula ( )nxnxxnxnx IAAnEIAIA ++ +⋅−= )()()( :ˆ . 
 
Resolução 
 
Os valores segurados, de acordo com cada tipo de seguro, estão 
apresentados na tabela abaixo 
 
Ano 1 2 ... n n+1 n+2 n+3 ... 
VS nxIA :ˆ)( 1 2 ... n 0 0 0 ... 
VS xIA)( 1 2 ... n n+1 n+2 n+3 ... 
VS xn AI )( / 9 0 0 0 0 1 2 3 ... 
VS xn An /⋅ 0 0 0 0 n n n ... 
 
Se subtrairmos as duas últimas linhas da linha 2, teremos ( )xnxnx AIAnIA )()( // +⋅− . Repare que os valores segurados, ano a 
ano, serão exatamente iguais aos valores segurados em nxIA :ˆ)( . 
Assim, as duas expressões terão o mesmo VPA. 
Segue que ( )xnxnxnx AIAnIAIA )()()( //:ˆ +⋅−= 
Como nxxnxn AEA +⋅=/ , e nxxnxn IAEAI +⋅= )()( / , concluímos 
que 
( )nxnxxnxnx IAAnEIAIA ++ +⋅−= )()()( :ˆ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 A notação utilizada para um seguro crescente diferido foi arbitrada por mim, por não ter encontrado esse 
tipo de seguro na bibliografia. 
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x lx dx Dx Nx Sx Cx Mx Rx 
0 100000 708 100000 1685539 27201029 667,9245 4592,126 145858,2
1 99292 175 93671,7 1585539 25515490 155,5304 3924,201 141266,1
2 99117 151 88214 1491867 23929951 126,4955 3768,671 137341,9
3 98967 144 83094,26 1403653 22438083 114,4506 3642,175 133573,2
4 98822 138 78276,361320559 21034430 103,3839 3527,725 129931,1
5 98684 133 73742,24 1242283 19713871 93,917 3424,341 126403,3
6 98551 128 69474,23 1168541 18471588 85,20424 3330,424 122979
7 98422 124 65456,52 1099066 17303047 77,80681 3245,22 119648,6
8 98298 121 61673,63 1033610 16203981 71,56468 3167,413 116403,3
9 98177 119 58111,1 971936,2 15170371 66,33437 3095,848 113235,9
10 98059 119 54755,46 913825,1 14198435 62,50388 3029,514 110140,1
11 97940 120 51593,59 859069,6 13284610 59,86804 2967,01 107110,6
12 97820 123 48613,33 807476 12425540 57,78566 2907,142 104143,6
13 97696 129 45803,85 758862,7 11618064 57,03875 2849,356 101236,4
14 97567 136 43154,14 713058,9 10859202 56,58892 2792,317 98387,07
15 97432 142 40654,86 669904,7 10146143 55,99632 2735,728 95594,75
16 97289 150 38297,65 629249,8 9476238 55,63998 2679,732 92859,02
17 97140 157 36074,22 590952,2 8846988 55,13229 2624,092 90179,29
18 96982 164 33977,15 554878 8256036 54,17111 2568,96 87555,2
19 96818 168 31999,74 520900,8 7701158 52,52788 2514,789 84986,24
20 96650 173 30135,91 488901,1 7180257 50,88988 2462,261 82471,45
21 96477 177 28379,21 458765,2 6691356 48,9943 2411,371 80009,19
22 96300 179 26723,85 430386 6232591 46,89279 2362,377 77597,82
23 96121 182 25164,28 403662,1 5802205 44,86839 2315,484 75235,44
24 95940 183 23695,02 378497,8 5398543 42,69575 2270,615 72919,96
25 95756 185 22311,1 354802,8 5020045 40,62304 2227,92 70649,34
26 95572 187 21007,58 332491,7 4665242 38,84421 2187,297 68421,42
27 95384 190 19779,63 311484,1 4332750 37,13346 2148,452 66234,12
28 95194 193 18622,9 291704,5 4021266 35,6646 2111,319 64085,67
29 95001 198 17533,1 273081,6 3729562 34,40458 2075,654 61974,35
30 94804 202 16506,26 255548,5 3456480 33,16824 2041,25 59898,7
31 94602 207 15538,78 239042,3 3200932 32,1037 2008,082 57857,45
32 94394 212 14627,12 223503,5 2961889 31,04813 1975,978 55849,37
33 94182 219 13768,12 208876,4 2738386 30,134 1944,93 53873,39
34 93964 226 12958,66 195108,2 2529509 29,34036 1914,796 51928,46
35 93738 235 12195,81 182149,6 2334401 28,87876 1885,455 50013,66
36 93503 247 11476,6 169953,8 2152252 28,58323 1856,577 48128,21
37 93256 261 10798,4 158477,2 1982298 28,52407 1827,993 46271,63
38 92995 280 10158,65 147678,8 1823821 28,84672 1799,469 44443,64
39 92715 301 9554,781 137520,1 1676142 29,29532 1770,623 42644,17
40 92414 326 8984,649 127965,3 1538622 29,92058 1741,327 40873,55
41 92087 354 8446,163 118980,7 1410656 30,59742 1711,407 39132,22
42 91734 383 7937,481 110534,5 1291676 31,22575 1680,809 37420,81
43 91351 414 7456,964 102597,1 1181141 31,86797 1649,584 35740
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45 90490 484 6574,103 88137,08 983404,1 33,18061 1585,211 32472,7
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47 89481 569 5785,697 75394,18 813704 34,71418 1518,102 29335,46
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50 87623 729 4756,911 59104,05 604516,3 37,33726 1411,399 24886,14
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52 86102 858 4160,163 49896,82 491065,2 39,08983 1335,814 22100,68
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
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André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
53 85245 928 3885,592 45736,66 441168,3 39,91896 1296,724 20764,87
54 84317 1003 3625,734 41851,07 395431,7 40,70399 1256,805 19468,15
55 83313 1083 3379,8 38225,34 353580,6 41,45037 1216,101 18211,34
56 82230 1168 3147,04 34845,54 315355,3 42,18815 1174,651 16995,24
57 81062 1260 2926,717 31698,5 280509,7 42,90678 1132,463 15820,59
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63 71951 1912 1831,332 17052,62 130211,6 45,90424 866,0894 9682,16
64 70039 2034 1681,768 15221,29 113158,9 46,07409 820,1851 8816,07
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67 63559 2418 1281,391 10591,87 72399,08 45,985 681,8511 6493,805
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100 0 0 0 0 0 0 0 0
 
Tábua 1 (i = 6%)