Matemática Atuarial aula 05

Prévia do material em texto

A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
 PONTO DOS CONCURSOS 
MATEMÁTICA ATUARIAL 
DE PESSOAS 
 SUSEP 
Aula 5 
 
André Cunha 
15/03/2010 
 
 
 
Este documento contém o conteúdo programático do curso (plano de 
ensino) e aborda o seguinte tópico: Anuidades. 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 2 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
Conteúdo 
1. Introdução .......................................................................... 3 
2. Anuidades postecipadas ........................................................ 4 
2.1. Renda diferida de n anos, postecipada e temporária de m 
anos............... ...................................................................... 4 
2.2. Renda diferida de n anos, postecipada e vitalícia.............. 6 
2.3. Renda imediata, postecipada e temporária de m anos....... 6 
2.4. Renda imediata, postecipada e vitalícia...........................7 
3. Anuidades antecipadas ......................................................... 8 
3.1. Renda diferida de n anos, antecipada e temporária de m 
anos............... ...................................................................... 8 
3.2. Renda diferida de n anos, antecipada e vitalícia.............. 10 
3.3. Renda imediata, antecipada e temporária de m anos....... 10 
3.4. Renda imediata, antecipada e vitalícia...........................11 
4. Anuidades fracionadas ........................................................ 12 
5. Fórmulas de Woolhouse ...................................................... 14 
5.1. Fórmulas de Woolhouse para k = 12 ............................ 16 
6. Anuidades contínuas .......................................................... 18 
7. Relações entre anuidades e seguros de vida .......................... 20 
7.1. Relação 1 ................................................................. 21 
7.2. Relação 2 ................................................................. 22 
7.3. Relação 3 ................................................................. 23 
8. Anuidades Variáveis ........................................................... 23 
8.1. Valor pago aumenta uniformemente ............................ 23 
8.2. Valor pago diminui uniformemente ............................... 25 
9. Exercícios de Fixação ......................................................... 27 
10. GABARITO ........................................................................ 30 
11. Resolução dos Exercícios de Fixação ..................................... 31 
 
 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 3 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
1. Introdução 
 
Na Aula de hoje veremos anuidades, e as relações destas com 
seguros de vida, estudados na Aula 4. 
A Aula de hoje não deverá apresentar muita dificuldade para 
quem fixou bem a linha de raciocínio da Aula anterior, pois este se 
repete agora, com exceção do item 7. Relações entre anuidades e 
seguros de vida. Inclusive sugiro que você estude a Aula 5 com a 
Aula 4 do lado. 
Bons estudos! 
 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 4 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
2. Anuidades postecipadas 
 
São anuidades (ou rendas) que fazem pagamentos de 1 u.m., ao 
final do ano, condicionados à sobrevivência da pessoa. São divididas 
em vitalícias ou temporárias, diferidas ou imediatas. Há portanto 4 
casos possíveis. 
Notação comum aos 4 casos: a 
Para relembrar, na Aula anterior, vimos primeiro o caso mais 
simples (seguro vitalício imediato), para depois ampliarmos para os 
casos temporário e diferido. 
É a abordagem padrão dos livros. Até faz sentido, mas não vejo 
lucro para você, aluno, rever tudo igualzinho, com o mesmo 
raciocínio. 
Desta vez faremos diferente em relação ao que fizemos na Aula 
4. Começaremos com o caso mais genérico, anuidade temporária e 
diferida, para então chegarmos aos casos particulares. 
Além da já citada vantagem de estudar sob um ângulo diferente, 
acredito que vamos ganhar tempo, e tempo aqui significa maior 
probabilidade de aprovação. 
 
2.1. Renda diferida de n anos, postecipada e temporária de m 
anos 
 
Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. a partir do 
n-ésimo ano (diferida), no final de cada ano (postecipada), durante m 
anos (temporária), condicionada à sobrevivência do indivíduo. 
 
Notação: xmn a/ 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
Tempo 
xmn a/ 
0 n+1 
1 
 
n+2 n+m ... 
... 
1 
 
1 
... 
... n 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 5 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
Para receber a renda no momento n+1, o indivíduo terá de estar 
vivo, e isto acontece com probabilidade xn p1+ . O VP desta unidade 
monetária será vn+1. 
Para receber a renda no momento n+2, o indivíduo terá de estar 
vivo, e isto acontece com probabilidade xn p2+ . O VP desta unidade 
monetária será vn+2. 
................................................................................................ 
Para receber a renda no momento n+m, o indivíduo terá de 
estar vivo, e isto acontece com probabilidade xmn p+ . O VP desta 
unidade monetária será vn+m. 
 
O VPA deste fluxo será a soma dos VP`s multiplicados pela 
probabilidade de ocorrência, para todos os anos. 
Assim, 
(1) ∑−
=
++
++
+
+
+
+
+
+ =+++=
1
0
1
1
2
2
1
1
/ ...
m
j
xjn
jn
xmn
mn
xn
n
xn
n
xmn pvpvpvpva
 
Em termos de comutações, 
(2) 
x
mnxnx
xmn D
NNa 11/ +++++
−= 
Demonstração: 
∑∑ −
=
++++++−
=
++
++ ⋅==
1
0
1
11
0
1
1
/
m
j x
jnx
x
jnxm
j
xjn
jn
xmn l
l
v
vpva 
Como x
x
x lvD = , temos: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −== ∑∑∑ ∞
=
+++
∞
=
+++
−
=
+++
mj
jnx
j
jnx
x
m
j
jnx
x
xmn DDD
D
D
a 1
0
1
1
0
1/
11
 
E como ∑∞
=
+=
0t
txx DN , segue finalmente que 
x
mnxnx
xmn D
NNa 11/ +++++
−= 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 6 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
E com isso estudamos todos os casos de rendas postecipadas, 
pois todas as outras são casos particulares de (2), como veremos 
agora. 
 
2.2. Renda diferida de n anos, postecipada e vitalícia 
 
Notação: xn a/ 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
Para chegarmos às fórmulas, basta notar que xmnmxn
aa // lim∞→= . 
Em (1), basta mudar o limite superior do somatório; em (2), 
x
nx
x
mnxnx
mxn D
N
D
NNa 111/ lim +++++++∞→ =
−= 
Resumindo, 
(3) 
x
nx
xn D
Na 1/ ++= 
 
2.3. Renda imediata, postecipada e temporária de m anos 
 
Notação: xm a/ 
 
Graficamente: 
 
 
 
Tempo 
xn a/ 
0 n+1 
1 
 
n+2 ... 
... 
1 
... 
... n 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 7 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
 
 
 
 
 
 
Uma renda imediata é equivalente a uma renda diferida de 0 
anos. Assim, fazendo n = 0 em (2), temos: 
(4) 
x
mxx
xm D
NNa 11/ +++
−= 
 
2.4. Renda imediata, postecipada e vitalícia 
 
Notação: xa 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
Esta renda é caso particular de todas as anteriores. Fazendo 
n = 0 em (3), temos: 
(5) 
x
x
x D
Na 1+= 
 
Com isso encerramos o estudo deanuidades postecipadas. 
Vamos agora às anuidades antecipadas. 
Tempo 
xm a/ 
0 1 
1 
 
2 m ... 
... 
1 
 
1 
Tempo 
xa 
0 1 
1 
 
2 ... 
... 
1 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 8 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
3. Anuidades antecipadas 
 
São anuidades (ou rendas) que fazem pagamentos de 1 u.m. no 
começo do ano, condicionados à sobrevivência da pessoa. Também 
são divididas em vitalícias ou temporárias, diferidas ou imediatas. Há, 
novamente, 4 casos possíveis. 
Notação comum aos 4 casos: a&& 
Se o conceito de anuidades postecipadas ficou bem entendido, 
este também ficará. 
Poderíamos explicar as anuidades antecipadas da mesma forma 
que fizemos no item anterior, mas, mais uma vez, pouco serviria para 
o aluno ter a mesma explicação repetida. 
Vamos estudar rendas postecipadas a partir das antecipadas. É 
uma forma diferente de tratar a matéria, mais fácil, e o raciocínio 
utilizado ainda poderá cair na prova. 
 
3.1. Renda diferida de n anos, antecipada e temporária de m 
anos 
 
Esta renda consiste de pagamentos de 1 u.m. a partir do 
n-ésimo ano (diferida), no começo de cada ano (antecipada), durante 
m anos (temporária), condicionada à sobrevivência do indivíduo. 
 
Notação: xmn a&&/ 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tempo 
xmn a&&/ 
0 n+1 
1 
 
n+m-1 n+m ... 
... 
1 
... 
... n 
 1 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 9 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
Importante: Toda renda antecipada é igual a uma postecipada 
se retiramos o primeiro pagamento. Isto ocorre porque um 
pagamento feito no final de um ano é igual a um pagamento feito no 
começo do ano seguinte. 
No gráfico acima, visualizamos xmn a&&/ como a soma de duas 
parcelas: 
• Um pagamento de uma u.m no momento n, cujo VPA é 
xn
n
xn pvE = . 
• Uma renda diferida de n anos, postecipada, e temporária 
de m – 1 anos, cujo VPA é xmn a1/ − 
Desta forma, temos: 
 
(6) xmnxn
n
xmn apva 1// −+=&& 
 
Desenvolvendo (6), e usando (1), temos: 
 
∑∑ −
=
+
+−
=
++
++ +=+=
1
1
2
0
1
1
/
m
j
xjn
jn
xn
n
m
j
xjn
jn
xn
n
xmn pvpvpvpva&& 
Onde na segunda passagem foi feita uma alteração dos limites 
do somatório. 
Finalmente, 
(7) ∑−
=
+
+=
1
0
/
m
j
xjn
jn
xmn pva&& 
 
Prova-se facilmente, usando (6) e (2), que: 
 
(8) 
x
mnxnx
xmn D
NNa +++ −=&&/ 
 
E com isso, assim como no caso de rendas postecipadas, 
estudamos todos os tipos de rendas antecipadas, pois todas as outras 
são casos particulares de (8), como veremos agora. 
Antes de prosseguirmos, um bom macete para decorar as 
comutações é reparar nos numeradores das equações (8) e (2), e 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 10 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
perceber que eles só diferem em um ponto: Nas rendas postecipadas 
os índices das comutações “N” têm uma unidade a mais. Em outras 
palavras, basta decorar a fórmula (8) para as antecipadas e somar 
uma unidade aos Nx`s para chegar às postecipadas. 
 
3.2. Renda diferida de n anos, antecipada e vitalícia 
 
Notação: xn a&&/ 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
Para chegarmos às fórmulas, basta notar que xmnmxn
aa &&&& // lim∞→= . 
Em (7), basta mudar o limite superior do somatório. Para a 
fórmula em comutações, podemos usar a equação (3) da postecipada 
correspondente e tirar o (+1) do índice do numerador. 
Resumindo, 
(9) 
x
nx
xn D
Na +=&&/ 
 
3.3. Renda imediata, antecipada e temporária de m anos 
 
Notação: xm a&&/ 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
Tempo 
xn a&&/ 
0 n+1 
1 
 
n+2 ... 
... 
1 
... 
... n 
1 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 11 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos fazer: 
• n = 0 em (8) ou 
• diminuir os índices dos Nx em uma unidade em (4). 
O resultado será a equação (10) 
(10) 
x
mxx
xm D
NNa +−=&&/ 
 
3.4. Renda imediata, antecipada e vitalícia 
 
Notação: xa&& 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
Esta renda é caso particular de todas as anteriores. 
Podemos fazer: 
• n = 0 em (9) ou 
• diminuir o índice do Nx em uma unidade em (5) ou 
• xmm a&&/lim∞→ em (10) 
Tempo 
xa&& 
0 1 
1 
 
2 ... 
... 
1 
Tempo 
xm a&&/ 
0 1 
1 
 
2 m ... 
... 
1 
 
1 1 
m-1 
1 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 12 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
Todas essas opções levarão a 
(11) 
x
x
x D
Na =&& 
 
4. Anuidades fracionadas 
 
Até agora as rendas estudadas foram de uma u.m. paga uma 
vez ao ano. 
Entretanto, em muitos casos as rendas são pagas em intervalos 
inferiores a um ano, sendo muito comum o pagamento mensal. 
Todas as rendas que vamos estudar neste item consistem de 
pagamentos de 1 u.m. ao ano, divididos em k vezes de 1/k. Não 
usamos a letra m para fracionamento desta vez porque a usaremos 
para designar uma anuidade temporária de m anos. 
Aqui vamos inverter a notação usada para seguros de vida. Em 
anuidades, usaremos n como período de diferimento e m como 
período de pagamento. Esta mudança foi feita para alinhar a nossa 
notação à notação usada pela ESAF para anuidades. 
O raciocínio utilizado será o mesmo usado nas rendas pagas 
anualmente, e a notação praticamente a mesma, a única diferença é 
o acréscimo do termo (k) para indicar fracionamento. 
 
Rendas Antecipada Postecipada 
Anual a&& a 
Fracionária )(ka&& )(ka 
 
Vamos ver agora como se calcula o VPA, ou PUP, de uma renda 
que paga anualmente uma u.m. dividida em k parcelas de 1/k, 
sempre no final do k-ésimo período, enquanto o segurado estiver 
vivo. 
 
Notação: 
)(k
xa 
 
 
 
 
 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 13 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
Esta renda segue o seguinte esquema gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para receber a renda no momento 1/k, o indivíduo terá de estar 
vivo, e isto acontece com probabilidade x
k
p1 . O VP desta fração será 
kv
k
11 ⋅ . 
Para receber a renda no momento 2/k, o indivíduo terá de estar 
vivo, e isto acontece com probabilidade x
k
p2 . O VP desta unidade 
monetária será 
kv
k
21 ⋅ . 
................................................................................................ 
Para receber a renda no momento t/k, o indivíduo terá de estar 
vivo, e isto acontece com probabilidade x
k
t p . O VP desta unidade 
monetária será 
k
t
v
k
⋅1 . 
Dessa forma, o PUP desse fluxo é dado por 
 
(12) ∑∞
=
⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++⋅=
1
2
2
1
1
)( 1...1
t
x
k
t
k
t
x
k
k
x
k
kk
x pvk
pvpv
k
a 
A mesma renda vitalícia, fracionada, antecipada é dada por 
 
Tempo 
)(k
xa 
0 1/k 
1/k 
 
2/k ... 
... 
1/k 
 
1/k 
k/k=1 
... 
... 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 14 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
(13) ∑∞
=
⋅=
0
)( 1
t
x
k
t
k
t
k
x pvk
a&& 
 
Todos os casos que vimos de pagamentosanuais têm seu 
correspondente no caso fracionário. Não vamos ver detalhadamente 
cada um deles, pois seria um desperdício de tempo para a prova. 
A notação é absolutamente análoga, acrescendo-se somente o 
“expoente” (k). 
Exemplificando, uma renda imediata, antecipada e temporária 
de m anos, que paga 1/k a cada 1/k do ano tem como notação 
)(
/
k
xm a&& . 
Além disso, a única diferença da fórmula do seu VPA para (13) 
são seus limites do somatório. 
(14) ∑−
=
⋅=
1
0
)(
/
1 mk
t
x
k
t
k
t
k
xm pvk
a&& 
O que é realmente importante para a prova, em termos de 
fracionamento, são as fórmulas de Woolhouse. 
 
VAI CAIR NA PROVA. 
 
É tão importante que merece um tópico específico. 
 
5. Fórmulas de Woolhouse 
 
As fórmulas de Woolhouse são expressões que relacionam os 
PUP`s de rendas fracionadas com os de rendas pagas anualmente. 
Suas demonstrações não caem na prova, apenas seu uso. 
Decorem/entendam/memorizem, façam qualquer coisa, só não 
podem errar a questão que vai cair na prova. É questão ganha. 
Há basicamente duas fórmulas de Woolhouse: Uma envolve 
anuidades antecipadas, e a outra, anuidades postecipadas. Todas as 
outras fórmulas derivam dessas duas.1 
Repetindo, é para decorar: 
 
1 Na verdade, poder-se-ia usar uma só, pois partindo de uma chegamos à outra. Mas é muito trabalhoso e 
não temos tempo para isso na prova. 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 15 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
(15) ( )xmnxnxmnkxmn EEk
kaa +−⋅−−= 2
1
/
)(
/ &&&& 
(16) ( )xmnxnxmnkxmn EEk
kaa +−⋅−+= 2
1
/
)(
/ 
 
As duas fórmulas diferem basicamente pelo sinal que antecede a 
expressão ( )xmnxn EEk
k
+−⋅−2
1
. Na antecipada ele é negativo e na 
postecipada, positivo. 
Vamos resolver um exercício que nos ajudará a lembrar qual 
sinal devemos usar em cada caso. 
 
Exercício Resolvido 1 (Analista Técnico – SUSEP – 2001) 
Considerando uma renda atuarial (aleatória) unitária a ser recebida 
uma vez por ano, a partir de certa idade, se transformada numa 
renda mensal de valor igual a 1/12 da renda anual, o )12(xP em relação 
ao xP , para um mesmo tipo de fracionamento, seria: 
A) Igual, tanto no caso de uma Renda Postecipada, quanto no caso 
de uma Renda Antecipada. 
B) Igual no caso de uma Renda Postecipada e maior no caso de uma 
Renda Antecipada. 
C) Menor no caso de uma Renda Postecipada e igual no caso de uma 
Renda Antecipada. 
D) Menor no caso de uma Renda Postecipada e maior no caso de uma 
Renda Antecipada. 
E) Maior no caso de uma Renda Postecipada e menor no caso de uma 
Renda Antecipada. 
 
Solução 
 
O problema nos pede para comparar 
)(k
xa&& com xa&& e )(kxa com 
xa . Usamos, por simplificação, as notações de rendas imediatas 
vitalícias, sem perda de rigor, pois o raciocínio vale igualmente para 
os outros tipos de renda. 
 Para dois montantes iguais, o de maior VPA será o que for pago 
antes. 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 16 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
A renda postecipada anual paga 1 u.m. ao final do ano. Já a 
renda postecipada fracionada paga (k-1) parcelas dessa mesma u.m. 
mais cedo, pois pagará ao final de cada fração 1/k do ano. E a renda 
que paga mais cedo tem maior VPA. Logo, sem fazer contas, 
podemos garantir que, para todo k > 1, x
k
x aa >)( . 
A renda antecipada anual paga 1 u.m. no começo do ano. Já a 
renda antecipada fracionada paga (k-1) parcelas dessa mesma u.m. 
mais tarde, pois pagará no começo de cada fração 1/k do ano. E a 
renda que paga mais tarde tem menor VPA. Logo, sem fazer contas, 
podemos garantir que, para todo k > 1, x
k
x aa &&&& <)( . 
Assim, o PUP da renda fracionada será maior no caso de uma 
renda postecipada e menor no caso de uma renda antecipada. O k 
ser 12 é irrelevante no problema. 
 
GABARITO: E 
 
Voltando para Woolhouse, agora fica claro porque o sinal de (15) 
é negativo e o sinal de (16) é positivo. 
 
5.1. Fórmulas de Woolhouse para k = 12 
 
O motivo deste subitem é não perder os dois pontos (Peso 2) 
certos na prova. 
As fórmulas (15) e (16) servem para fracionamentos de renda 
semestrais (k = 2), quadrimestrais (k = 3), e infinitos outros. 
Entretanto, a ESAF só pediu até hoje rendas fracionadas 
mensalmente (k = 12). Reescrevendo (15) e (16) para k = 12, 
temos: 
(17) ( )xmnxnxmnxmn EEaa +−⋅−= 24
11
/
)12(
/ &&&& 
(18) ( )xmnxnxmnxmn EEaa +−⋅+= 24
11
/
)12(
/ 
 
Mais um exercício de prova como exemplo 
 
Exercício Resolvido 2 (Analista Técnico – SUSEP – 2001) 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 17 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
Segundo a fórmula de Woolhouse, o cálculo da aproximação do )12(uxP , 
para o benefício de uma renda unitária, mensal, postecipada, 
imediata e temporária, será obtida pela equação: 
A) )12(/
)12(
/ ))]1(24/11([ REaa xmxmxm ×−×+= 
B) )12(/
)12(
/ ))]1(24/13([ REaa xmxmxm ×−×−= &&&& 
C) )12(/
)12(
/ 12))]1(24/11([ REaa xmxmxm ×−×−= &&&& 
D) )12(/
)12(
/ 12))]1(24/11([ REaa xmxmxm ×−×+= 
E) )12(/
)12(
/ 12))]1(24/13([ REaa xmxmxm ×−×−= &&&& 
 
Solução 
 
 Esse tipo de problema vamos resolver em 3 etapas: 
 
Etapa 1: Notação 
 Só pela notação, já eliminamos as opções B, C e E, por se 
tratarem de rendas antecipadas. 
 
Etapa 2: Expressão entre colchetes: 
 É o que vimos nas fórmulas (15) a (18) 
 No caso do exercício, as opções possíveis, A e D, têm a mesma 
expressão entre colchetes. Numa prova, passaríamos direto para a 
Etapa 3. Aqui, chegamos a ))]1(24/11([ / xmxm Ea −×+ fazendo n = 0 em 
(18), por se tratar de uma renda imediata. Repare que 10 =xE . 
 
Etapa 3: Ajustar o valor 
As fórmulas (17) e (18) tratam de valores presentes de uma 
u.m. dividida em 12 parcelas iguais de 0,083333 = 1/12 u.m. por 
mês. Pelo enunciado, ele recebe uma renda mensal unitária, ou seja, 
uma u.m. por mês. Assim, a resposta certa seria 
12))]1(24/11([12 /
)12(
/ ×−×+=× xmxmxm Eaa 
 O gabarito é D. Veremos outros exercícios muito parecidos mais 
adiante. Nesse tipo de questão, a ESAF peca muito no rigor. )12(R não 
foi definido. Mas não podemos discutir com a banca. Caso se trate de 
renda mensal e unitária, escolha sempre a opção que multiplica por 
12. 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 18 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
GABARITO: D 
 
6. Anuidades contínuas 
 
Primeira vez que o tópico de anuidades contínuas consta do 
edital da SUSEP. Desta forma, como não podemos nos basear em 
questões de provas anteriores, a abordagem adotada aqui será a 
mais simples e ao mesmo tempo mais abrangente de todas: baseada 
na definição. Com a definição podemos teoricamente resolver todos 
os exercícios possíveis de serem cobrados. 
Notação: Neste campo, felizmente, não há muita criatividade 
dos atuários: A notação é praticamente igual à do caso discreto, 
apenas acrescendo-se uma barra sobre a letra a. 
Notação: a 
No caso discreto, o VPA de uma anuidade é sempre um 
somatório de xj
j pv . 
O caso contínuo é muito parecido. Continua se pagando uma 
u.m. anualmente, mas agora somamos parcelas infinitesimais 
dtpv xt
t
. Os limites de integração dependem do tipo de anuidade. 
Por exemplo, para uma anuidade contínua diferida de n anos, 
temporária de m anos, paga a uma pessoa de idade x, somamos 
(integramos) as parcelas dtpv xt
t
 entre os anos n e n+m.Temos 
então 
 
(19) ∫+= mn
n
xt
t
xmn dtpva/ ou 
(20) ∫+ −= mn
n
xt
t
xmn dtpea
δ
/ 
 
Que é o caso mais genérico de todos. 
As expressões (19) e (20) são equivalentes, pois )1ln( i+=δ . 
Para transformar (19) ou (20) em uma renda vitalícia, basta 
fazer m = ∞. Para obter uma renda imediata, fazemos n = 0. 
Desta forma, já vimos todos os casos apenas com (19) ou (20). 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 19 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
Exercício Resolvido 3: Determine xa sabendo que xt p tem 
distribuição exponencial. 
 
Solução 
 
1° Modo: 
Trata-se de um seguro vitalício e imediato. Logo, n = 0 e 
m = ∞. 
Assim, ∫∞ −=
0
dtpea xt
t
x
δ
 
Vimos anteriormente que, para a distribuição exponencial, 
t
xt ep
μ−= . 
Assim, 
[ ] 0)(
0
)(
0
)(
0
1
∞
+−
∞+−∞
+−
∞
−− ⋅+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−=== ∫∫ t
t
ttt
x e
edtedteea δμ
δμ
δμμδ
δμδμ 
 
Como o termo entre colchetes é igual a 1, segue que 
δμ +=
1
xa 
2° Modo: 
 
Suponha uma unidade na mão de uma pessoa hoje: Seu VPA é 
igual a 1. 
Se essa pessoa investir essa unidade a uma taxa de 
capitalização contínua δ , ela produzirá juros anuais de δ pagos 
continuamente, enquanto ela viver. O VPA dessa renda é xa⋅δ . 
Separando só os juros, a u.m. permanece intacta. Assim, 
quando essa pessoa morrer, a u.m. irá para seus herdeiros. Mas o 
pagamento de uma u.m. no momento da morte de uma pessoa tem 
exatamente o VPA dado por xA . 
Assim a unidade monetária equivale à soma dos dois VPA`s, ou 
seja, 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 20 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
(21) xx Aa +⋅= δ1 
 
Ou, equivalentemente, δ
x
x
Aa −= 1 
 Do exercício de fixação 6 da Aula 4, vimos que δμ
μ
+=xA 
quando se trata de distribuição exponencial. 
Assim, δμδ
δμ
μ
δ +=
+−=−= 1
1
1 x
x
Aa . 
 
E com este 2° modo já iniciamos o próximo assunto. 
 
7. Relações entre anuidades e seguros de vida 
 
Antes de estudarmos essas relações, cabe aqui rever a notação 
dos seguros de vida, para não fazermos confusão. 
Notação do seguro temporário imediato: mxA :ˆ , lembrando que 
na prova aparecerá o número 1 no lugar do acento circunflexo. 
 Notação do seguro dotal: mxA : (sem o número 1 em cima do x) 
Assim, reescrevendo a equação (27) da Aula (4), temos que: 
 
(22) xmmxmx EAA += :ˆ: 
Mais um lembrete, agora da Aula 1. 
i
id += 1 e 1=+ dv 
No exercício resolvido 3, vimos que xx Aa +⋅= δ1 é uma equação 
que relaciona uma anuidade a um seguro de vida. 
Existem virtualmente infinitas equações desse tipo, e seria 
impossível estudar todas. Entretanto, podemos estudar as mais 
importantes e, acima de tudo, verificar o raciocínio por trás delas, o 
que nos permitirá verificar a validade de outras equações que não 
veremos. 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 21 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
7.1. Relação 1 
 
(23) mxmx Aiai :: )1(1 ⋅++⋅= 
Interpretação: 
Suponha uma unidade na mão de uma pessoa hoje: Seu VPA é 
igual a 1. 
Se essa pessoa investir essa unidade a uma taxa de juros i, ela 
obterá juros anuais de i pagos anualmente, durante m anos. O VPA 
dessa renda é mxai :⋅ . 
Separando só os juros, a u.m. permanece intacta. Se esta 
pessoa morrer em até m anos, seus herdeiros receberão no final do 
ano de morte o valor de (1+i). Caso esta pessoa viva mais que m 
anos, ela receberá, no final do m-ésimo ano, o valor de (1+i). Ora, 
este fluxo é o mesmo de um seguro dotal que paga (1+i) u.m. Seu 
VPA é mxAi :)1( ⋅+ 
 Assim, a unidade monetária equivale à soma dos dois VPA`s, 
ou seja, 
mxmx Aiai :: )1(1 ⋅++⋅= 
Uma possível questão de prova poderia pedir para marcar a 
alternativa correta, e ter várias relações parecidas com (23). 
Exemplificando: 
(Analista Técnico – SUSEP – 2010 – ESAF) 
Assinale a alternativa correta: 
A) 
B) 
C) 
D) mxmx advA :: ⋅−= 
E) 
 
A alternativa correta é a D. 
Vamos dividir ambos os membros de (23) por (1+i). 
mxmxmxmx AadvAai
i
i ::::)1()1(
1 +⋅=⇒+⋅+=+ , donde mxmx advA :: ⋅−= 
 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 22 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
Nota 1: Ao interpretar as relações, procure perceber a u.m. na 
fórmula. Ao ver mxmx advA :: ⋅−= a u.m. é encontrada isolando v 
( mxmx Aadv :: +⋅= ) e dividindo o resultado por v 
( mxmx Aiai :: )1(1 ⋅++⋅= ). Assim fica muito melhor de interpretar. Se 
esta última for verdadeira, também será a original. 
Nota 2: Repare que, quando fazemos m tender ao infinito em (23), 
temos xx Aiai ⋅++⋅= )1(1 , outra relação possível de ser cobrada. 
Nota 3: A relação (23), assim como todas as que virmos neste item 
7, pode ser demonstrada algebricamente, substituindo no seu 
segundo membro o seguro e a anuidade por suas fórmulas já vistas, 
mas é algo extremamente demorado para se fazer em uma prova. 
 
7.2. Relação 2 
 
(24) mxmx Aad ::1 +⋅= && 
Interpretação: 
Suponha novamente uma unidade na mão de uma pessoa (de 
idade x) hoje: Seu VPA é igual a 1. 
Se dessa unidade for retirado o valor 
i
id += 1 antecipadamente, 
ou seja, no instante x, sobrará (1-d) u.m. Ao final do ano, a uma 
taxa de juros i, o valor de 1 u.m. será recomposto, pois 
1)1)(1( =+− id . Verifique! 
Até o m-ésimo ano, esse processo se repete. Nesse período, 
enquanto ele estiver vivo, recebe d u.m. no começo de cada ano. O 
VPA dessa renda é mxad :&&⋅ . 
Se morrer nesse período, seus herdeiros receberão 1 u.m. no 
final do ano de morte. Caso sobreviva m anos, ele receberá 1 u.m. 
na idade x+m. Este fluxo é o mesmo de um seguro dotal, cujo VPA é 
mxA : . 
 Assim a unidade monetária equivale à soma dos dois VPA`s, ou 
seja, 
mxmx Aad ::1 +⋅= && 
Nota: Repare que, quando fazemos m tender ao infinito em (24), 
temos xx Aad +⋅= &&1 , outra relação possível de ser cobrada. 
 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 23 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
7.3. Relação 3 
 
(25) mxmx Aa ::1 +⋅= δ 
A interpretação de (25) é absolutamente análoga às anteriores e 
deixada para você fazer. 
Já tinha sido feita a interpretação do caso limite, quando m 
tende ao infinito em (25), gerando (21): xx Aa +⋅= δ1 . 
 
8. Anuidades Variáveis 
 
Releia o item 7. Seguros Variáveis da Aula 4. Poderia 
tranquilamente aqui fazer um Copy/Paste daquele item, trocar a 
palavra “seguros” por “anuidades”, e a expressão “valor segurado” 
por “valor pago”. Prefiro não fazer isso e ir direto às definições. 
 
8.1. Valor pago aumenta uniformemente 
 
Esta renda consiste de pagamentos que começam em 1 u.m, 
aumentando de 1 u.m. a cada ano. 
 
Notação: )(Ia ou )( aI && , de increasing. 
 
Assim como as anuidades que pagam uma quantia fixa por ano 
(que chamaremos de niveladas), as anuidades variáveis podem ser 
imediatas ou diferidas, antecipadas ou postecipadas, temporárias ou 
vitalícias, discretas ou contínuas. No caso de rendas contínuas, 
entretanto, não faz sentido em se falar de antecipação ou 
postecipação. 
Por exemplo, uma renda do tipo Increasing Annuity imediata, 
antecipada e vitalícia, contratada por uma pessoa de idade x, teria 
seu PUP ou VPA dado por 
(26) ∑∞
=
+=+++=
0
2
2
1
1 )1(...321)(
j
xj
j
xxx pvjpvpvaI && 
 
 
Graficamente: 
 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 99 1
Página 24 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
 
 
 
 
 
 
 
Usando comutações, não é difícil provar que 
(27) 
x
x
x D
SaI =)( && 
 
Com tudo o que já vimos, acredito que poderia até parar por 
aqui, pois não há nada de novo. 
Ilustrando a afirmação acima, no exercício de fixação 8 da Aula 
4 provamos que ( )mxmxxmxmx IAAmEIAIA ++ +⋅−= )()()( : . 
As demonstrações de ( )mxmxxmxmx IaamEIaIa ++ +⋅−= )()()( : e 
( )mxmxxmxmx aIamEaIaI ++ +⋅−= )()()( : &&&&&&&& são completamente análogas, e 
assim teríamos as fórmulas das anuidades crescentes temporárias. 
As diferidas podem ser calculadas como diferenças entre 
vitalícias e temporárias, como já fizemos anteriormente. 
É interessante saber o caso mais genérico de todos, uma renda 
do tipo Increasing Annuity diferida de n anos e temporária de m 
anos, contratada por uma pessoa de idade x. Esta renda pode ser 
antecipada ou postecipada. 
 
• Antecipada 
 
(28) ∑−
=
+
+
−+
−+
+
+ +=+++=
1
0
1
1
1
1
:/ )1(...21)(
m
j
xjn
jn
xmn
mn
xn
n
xn
n
mxn pvjpmvpvpvaI &&
 
Em comutações: 
 
Tempo 
xaI )( && 
0 1 
3 
 
2 ... 
... 
2 1 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 25 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
(29) 
x
mnxmnxnx
mxn D
NmSSaI +++++ ⋅−−=:/ )( && 
 
• Postecipada 
 
(30) ∑
=
+
+
+
+
+
+
+
+ ⋅=+++=
m
j
xjn
jn
xmn
mn
xn
n
xn
n
mxn pvjpmvpvpvaI
1
2
2
1
1
:/ ...21)(
 
Em comutações: 
 
(31) 
x
mnxmnxnx
mxn D
NmSSaI 111:/ )(
++++++++ ⋅−−= 
 
Para obtermos rendas imediatas, basta fazer n = 0 nas equações 
(28) a (31). Para rendas vitalícias, basta fazer m tender ao infinito. 
No caso de anuidade paga continuamente, temos 
(32) ∫= m xttmx dtptvaI
0
:)( 
 
8.2. Valor pago diminui uniformemente 
 
Esta renda é o “espelho” da anterior. Ela decresce 
uniformemente da seguinte forma: paga no 1° ano m unidades 
monetárias. Este valor decresce de uma u.m. ao ano, até que no m-
ésimo e último ano será de uma u.m. Devido à sua natureza, esta 
anuidade nunca será vitalícia. 
 
Notação: )(Da ou )( aD && , de decreasing. 
 
Não vamos nos aprofundar nesse tipo de renda. De todas as que 
estudamos, acreditamos que essa é a que tem a menor probabilidade 
de ser cobrada. 
Além do mais, podemos chegar facilmente a qualquer fórmula de 
decreasing annuity através das relações 
 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 26 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
(33) mxnmxnmxn amaDaI :/:/:/ )1()()( ⋅+=+ 
 
(34) mxnmxnmxn amaDaI :/:/:/ )1()()( &&&&&& ⋅+=+ 
 
No caso de anuidade paga continuamente, temos 
(35) ∫ −=
m
xt
t
mx dtpvtmaD
0
: )()( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 27 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
9. Exercícios de Fixação 
 
1. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) 
Transformando-se um Benefício relativo a uma renda atuarial 
(aleatória) unitária a ser recebida no final de cada mês, a partir de 
certa idade, numa renda anual de valor igual a 12 vezes a renda 
mensal, o xP em relação ao 
)12(
xP , para um mesmo tipo de 
fracionamento do prêmio, será 
A) igual, tanto no caso de uma Renda Postecipada, quanto no caso de 
uma Renda Antecipada. 
B) igual no caso de uma Renda Postecipada e maior no caso de uma 
Renda Antecipada. 
C) menor no caso de uma Renda Postecipada e igual no caso de uma 
Renda Antecipada. 
D) maior no caso de uma Renda Postecipada e menor no caso de 
uma Renda Antecipada. 
E) menor no caso de uma Renda Postecipada e maior no caso de uma 
Renda Antecipada. 
 
2. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) 
Segundo a fórmula de Woolhouse, o cálculo da aproximação do )12(uxP , 
para o benefício de uma renda unitária mensal, postecipada, diferida 
de “n” anos e vitalícia, será obtida pela equação: 
A) )12(/
)12(
/ )]24/11([ REaa xnxnxn ××+= 
B) )12(/
)12(
/ )]24/13([ REaa xnxnxn ××−= &&&& 
C) )12(/
)12(
/ 12))]1(24/11([ REaa xnxnxn ×−×−= &&&& 
D) )12(/
)12(
/ 12)]24/11([ REaa xnxnxn ××+= 
E) )12(/
)12(
/ 12))]1(24/13([ REaa xnxnxn ×−×−= && 
 
3. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2008) 
Segundo a fórmula de Woolhouse, o cálculo da aproximação do )12(uxP , 
para o benefício de uma renda unitária mensal, postecipada, imediata 
e temporária - m, será obtida pela equação: 
A) 12*]24/11/)[( 11
)12(
/ +−= +++ xmxxxm DNNa 
B) 12*)]/1(*24/11/)[( 11
)12(
/ xmxxmxxxm DDDNNa ++++ −+−= 
C) )]/1(*24/11/)[( 11
)12(
/ xmxxmxxxm DDDNNa ++++ −+−= 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 28 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
D) ]24/11/)[( 11
)12(
/ +−= +++ xmxxxm DNNa 
E) 12*)]/(*24/13/)[( 11
)12(
/ xmxxmxxxm DDDNNa ++++ −−= 
 
4. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Maria tem 27 
anos. A partir do próximo ano, ela receberá 10.000 u.m. (unidade 
monetária) anualmente enquanto estiver viva. Encontre uma 
expressão para o valor presente desta série de pagamentos, supondo 
que a taxa de juros anual é de 9%. 
 
A) 
27
27000.10
D
N
 
B) 
27
28000.10
D
N
 
C) 
27
27000.10
D
M
 
D) 
27
28000.10
D
M
 
E) 
27
28000.10
M
N
 
 
5. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) João, de 45 
anos, trabalha em uma grande companhia de petróleo. Aos 65 anos, 
ele irá se aposentar e começará a receber uma renda de 20.000 u.m. 
por ano. Da tábua de mortalidade, sabemos que N65 = 6300, N66 = 
5400 e D45 = 1800. Encontre o valor presente atuarial dos benefícios 
futuros de João nos seguintes casos, respectivamente (desconsidere 
os centavos): 
 
(I) o 1° pagamento ocorre um ano depois de sua aposentadoria; 
 
(II) o 1° pagamento ocorre no ano de sua aposentadoria. 
 
A) 60.000 u.m. e 70.000 u.m. 
B) 65.000 u.m. e 75.000 u.m. 
C) 70.000 u.m. e 60.000 u.m. 
D) 100.285 u.m. e 136.500 u.m. 
E) 136.500 u.m. e 100.285 u.m. 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 29 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
 
6. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Uma pessoa 
de 47 anos compra uma renda aleatória de pagamentos anuais no 
valor de 1.000 u.m. cada a começarem no próximo ano. Se os 
pagamentos duram somente 20 anos e se N68 = 1400, N48 = 6000 e 
D47 = 500, calcule o prêmio puro único para esta anuidade. 
 
A) $ 2.800 
B) $ 9.200 
C) $ 12.000 
D) $ 20.000 
E) $ 24.000 
 
7. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) O resultado 
da expressão nEx - n+mEx + n|max representa o valor atual de 
uma anuidade vitalícia: 
A) postecipada diferida por “n” anos e temporária por “m” anos 
B) postecipada diferida por “n” anos 
C) antecipada diferida por “n” anos e temporária por “m” anos 
D) antecipada diferida por “n” anos” 
E) postecipada temporária por “n” anos 
 
 
8. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2006) 
 
João, de 50 anos, trabalha em uma grande companhia de petróleo. 
Daqui a 15 anos, ele irá se aposentar e começará a receber uma 
renda de 20.000 u.m. por ano. Da Tábua de Mortalidade, sabemos 
que M65 = 2700, M66 = 2160, N65 = 6300, N66 = 5760 e D50=1800. 
Encontre o valor presente de benefícios futuros de João, sabendo queo primeiro pagamento ocorre no ano de sua aposentadoria: 
A) 24.000 u.m. 
B) 30.000 u.m. 
C) 64.000 u.m. 
D) 70.000 u.m. 
E) 100.000 u.m. 
 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 30 de 40 
 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
10. GABARITO 
 
1 – E 
2 – D 
3 – B 
4 – B 
5 – A 
6 – B 
7 – C 
8 – D 
 
 
 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 31 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
 
11. Resolução dos Exercícios de Fixação 
 
 
1. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) 
Transformando-se um Benefício relativo a uma renda atuarial 
(aleatória) unitária a ser recebida no final de cada mês, a partir de 
certa idade, numa renda anual de valor igual a 12 vezes a renda 
mensal, o xP em relação ao 
)12(
xP , para um mesmo tipo de 
fracionamento do prêmio, será 
A) igual, tanto no caso de uma Renda Postecipada, quanto no caso de 
uma Renda Antecipada. 
B) igual no caso de uma Renda Postecipada e maior no caso de uma 
Renda Antecipada. 
C) menor no caso de uma Renda Postecipada e igual no caso de uma 
Renda Antecipada. 
D) maior no caso de uma Renda Postecipada e menor no caso de 
uma Renda Antecipada. 
E) menor no caso de uma Renda Postecipada e maior no caso de uma 
Renda Antecipada. 
 
Resolução 
 
 No exercício resolvido 1 vimos que o PUP da renda fracionada é 
maior no caso de uma renda postecipada e menor no caso de uma 
renda antecipada. 
 Isso equivale a dizer que o PUP da renda anual é menor no caso 
de uma renda postecipada e maior no caso de uma renda antecipada. 
 
GABARITO: E 
 
 
 
 
 
 
 
 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 32 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
2. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) 
Segundo a fórmula de Woolhouse, o cálculo da aproximação do )12(uxP , 
para o benefício de uma renda unitária mensal, postecipada, diferida 
de “n” anos e vitalícia, será obtida pela equação: 
A) )12(/
)12(
/ )]24/11([ REaa xnxnxn ××+= 
B) )12(/
)12(
/ )]24/13([ REaa xnxnxn ××−= &&&& 
C) )12(/
)12(
/ 12))]1(24/11([ REaa xnxnxn ×−×−= &&&& 
D) )12(/
)12(
/ 12)]24/11([ REaa xnxnxn ××+= 
E) )12(/
)12(
/ 12))]1(24/13([ REaa xnxnxn ×−×−= && 
 
Resolução 
 
 Questão muito parecida com o exercício resolvido 2. Vamos 
resolvê-lo da mesma forma. 
 
Etapa 1: Notação 
 Só pela notação, já eliminamos as opções B, C, por se tratarem 
de rendas antecipadas, e E, por se tratar de renda imediata. 
 
Etapa 2: Expressão entre colchetes: 
 As opções possíveis, A e D, têm a mesma expressão entre 
colchetes. Numa prova, passaríamos direto para a Etapa 3. Aqui, 
chegamos a )]24/11([ / xnxn Ea ×+ fazendo m tender ao infinito em (18), 
por se tratar de uma renda vitalícia. Repare que 0lim =+∞→ xmnm E . 
Etapa 3: Ajustar o valor 
 Como a renda é unitária mensal, a renda anual é de 12 u.m., e 
precisamos multiplicar a expressão entre colchetes por 12. 
 
Nota: O termo )12(/ xn a denota uma renda unitária, dividida em 12 
meses. Para ser rigoroso, a resposta teria de ser )12(/12 xn a⋅ . 
 
GABARITO: D 
 
 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 33 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
3. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2008) 
Segundo a fórmula de Woolhouse, o cálculo da aproximação do )12(uxP , 
para o benefício de uma renda unitária mensal, postecipada, imediata 
e temporária - m, será obtida pela equação: 
A) 12*]24/11/)[( 11
)12(
/ +−= +++ xmxxxm DNNa 
B) 12*)]/1(*24/11/)[( 11
)12(
/ xmxxmxxxm DDDNNa ++++ −+−= 
C) )]/1(*24/11/)[( 11
)12(
/ xmxxmxxxm DDDNNa ++++ −+−= 
D) ]24/11/)[( 11
)12(
/ +−= +++ xmxxxm DNNa 
E) 12*)]/(*24/13/)[( 11
)12(
/ xmxxmxxxm DDDNNa ++++ −−= 
 
Resolução 
 
Variações de um mesmo tema. Só o que mudou foi ter escrito a 
anuidade como função de comutações. 
Etapa 1: Notação 
 Todas são iguais. 
 
Etapa 2: Expressão entre colchetes: 
 Chegamos a ))]1(24/11([ / xmxm Ea −×+ fazendo n = 0 em (18), 
por se tratar de uma renda imediata. Repare que 10 =xE . 
 Usando (4), 
x
mxx
xm D
NNa 11/ +++
−= , o que não diferencia nenhuma 
das 5 opções. 
Usando 
x
mx
xm D
D
E += , temos que a expressão entre colchetes é 
)]/1(*24/11/)[( 11 xmxxmxx DDDNN ++++ −+− 
 
Etapa 3: Ajustar o valor 
 Basta multiplicar por 12. 
Assim, 12*)]/1(*24/11/)[(12 11
)12(
/ xmxxmxxxm DDDNNa ++++ −+−=⋅ 
A opção B é a que mais se aproxima da resposta. 
 
Gabarito: B 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 34 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
4. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Maria tem 27 
anos. A partir do próximo ano, ela receberá 10.000 u.m. (unidade 
monetária) anualmente enquanto estiver viva. Encontre uma 
expressão para o valor presente desta série de pagamentos, supondo 
que a taxa de juros anual é de 9%. 
 
A) 
27
27000.10
D
N
 
B) 
27
28000.10
D
N
 
C) 
27
27000.10
D
M
 
D) 
27
28000.10
D
M
 
E) 
27
28000.10
M
N
 
 
Resolução 
 
A taxa de juros anual já está embutida nas comutações. Para 
nós, é uma informação irrelevante. 
 Maria começa a receber a partir do próximo ano. Há 2 casos 
possíveis. 
• Se for no começo do ano, trata-se hoje de uma renda 
imediata, postecipada, vitalícia, cuja expressão é dada 
por (5). 
Assim, 
27
28
27 000.10000.10 D
Na = 
• Se for no final do ano, trata-se hoje de uma renda diferida 
de 1 ano, postecipada, vitalícia, cuja expressão é dada 
por (3). 
Assim, 
27
29
27/1 000.10000.10 D
Na = 
 Das opções, a única possível é a B. 
 
Gabarito: B 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 35 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
5. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) João, de 45 
anos, trabalha em uma grande companhia de petróleo. Aos 65 anos, 
ele irá se aposentar e começará a receber uma renda de 20.000 u.m. 
por ano. Da tábua de mortalidade, sabemos que N65 = 6300, N66 = 
5400 e D45 = 1800. Encontre o valor presente atuarial dos benefícios 
futuros de João nos seguintes casos, respectivamente (desconsidere 
os centavos): 
 
(I) o 1° pagamento ocorre um ano depois de sua aposentadoria; 
 
(II) o 1° pagamento ocorre no ano de sua aposentadoria. 
 
A) 60.000 u.m. e 70.000 u.m. 
B) 65.000 u.m. e 75.000 u.m. 
C) 70.000 u.m. e 60.000 u.m. 
D) 100.285 u.m. e 136.500 u.m. 
E) 136.500 u.m. e 100.285 u.m. 
 
Resolução 
 
Situação (I): o 1° pagamento ocorre um ano depois de sua 
aposentadoria. 
Esse pagamento ocorrerá exatamente quando ele completar 66 
anos. Hoje ele tem 45. Trata-se então de uma renda de 20.000 u.m., 
diferida de 20 anos e postecipada. De (3), 
 
000.60
1800
5400000.20000.20000.20
45
66
45/20 =⋅=⋅== D
NaVPA 
A única opção possível é a A, e não precisaríamos calcular (II), 
mas o faremos só para treinar. 
 
Situação (II): o 1° pagamento ocorre no ano de sua aposentadoria. 
 Aqui cuidado. O 1° pagamento ocorre no começo, no meio ou 
no final do ano? Não está claro. Vamos supor que seja no começo do 
ano. 
Esse pagamento ocorrerá exatamente quando ele completar 65 
anos. Hoje ele tem 45. Trata-se de uma renda de 20.000 u.m., 
diferida de 20 anos e antecipada. De (9), 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 36 de 40 
André Cunhahttp://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
000.70
1800
6300000.20000.20000.20
45
65
45/20 =⋅=⋅== D
NaVPA && 
 
Gabarito: A 
 
6. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Uma pessoa 
de 47 anos compra uma renda aleatória de pagamentos anuais no 
valor de 1.000 u.m. cada a começarem no próximo ano. Se os 
pagamentos duram somente 20 anos e se N68 = 1400, N48 = 6000 e 
D47 = 500, calcule o prêmio puro único para esta anuidade. 
 
A) $ 2.800 
B) $ 9.200 
C) $ 12.000 
D) $ 20.000 
E) $ 24.000 
 
Resolução 
 
O problema trata de uma renda de 1.000 u.m. imediata, postecipada, 
temporária de 20 anos. Usando (4), 
 
200.9
500
14006000000.1000.1000.1
47
6848
4720/ =−⋅=−⋅== D
NNaVPA 
 
Gabarito: B 
 
7. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) O resultado 
da expressão nEx - n+mEx + n|max representa o valor atual de 
uma anuidade vitalícia: 
A) postecipada diferida por “n” anos e temporária por “m” anos 
B) postecipada diferida por “n” anos 
C) antecipada diferida por “n” anos e temporária por “m” anos 
D) antecipada diferida por “n” anos” 
E) postecipada temporária por “n” anos 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 37 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
Resolução 
 
Vamos começar a montar a expressão dada pelo seu último 
termo, xmn a/ . 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembre que xn E é o fator que leva um fluxo financeiro da idade 
x+n para a idade x. Ou seja, é o VPA de uma u.m. paga daqui a n 
anos a uma pessoa de idade x. 
Logo a expressão nEx - n+mEx + n|max apresenta o seguinte 
gráfico de pagamentos. 
 
 
 
 
 
 
 Mas o gráfico acima representa exatamente uma renda 
antecipada, diferida por “n” anos e temporária por “m” anos, xmn a&&/ . 
 
Gabarito: C 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tempo 
xmn a/ 
0 n+1 
1 
 
n+2 n+m ... 
... 
1 
 
1 
... 
... n 
1 
 
n+m-1
Tempo 
0 n+1 
1 
 
n+2 n+m ... 
... 
1 
 
1 
... 
... n 
1 
 
n+m-1
1 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 38 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
8. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2006) 
 
João, de 50 anos, trabalha em uma grande companhia de petróleo. 
Daqui a 15 anos, ele irá se aposentar e começará a receber uma 
renda de 20.000 u.m. por ano. Da Tábua de Mortalidade, sabemos 
que M65 = 2700, M66 = 2160, N65 = 6300, N66 = 5760 e D50=1800. 
Encontre o valor presente de benefícios futuros de João, sabendo que 
o primeiro pagamento ocorre no ano de sua aposentadoria: 
A) 24.000 u.m. 
B) 30.000 u.m. 
C) 64.000 u.m. 
D) 70.000 u.m. 
E) 100.000 u.m. 
 
Resolução 
 
Quando o IBA afirma que o pagamento ocorre no ano de 
aposentadoria, ele quer dizer que ocorre no começo do ano de 
aposentadoria. 
Dessa forma, João receberá uma renda de 20.000, diferida de 
15 anos, antecipada e vitalícia. 
Assim, usando (9), 
000.70
1800
6300000.20000.20000.20
50
65
50/15 =⋅=⋅== D
NaVPA && 
Gabarito: D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 39 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
x lx dx Dx Nx Sx Cx Mx Rx 
0 100000 708 100000 1685539 27201029 667,9245 4592,126 145858,2
1 99292 175 93671,7 1585539 25515490 155,5304 3924,201 141266,1
2 99117 151 88214 1491867 23929951 126,4955 3768,671 137341,9
3 98967 144 83094,26 1403653 22438083 114,4506 3642,175 133573,2
4 98822 138 78276,36 1320559 21034430 103,3839 3527,725 129931,1
5 98684 133 73742,24 1242283 19713871 93,917 3424,341 126403,3
6 98551 128 69474,23 1168541 18471588 85,20424 3330,424 122979
7 98422 124 65456,52 1099066 17303047 77,80681 3245,22 119648,6
8 98298 121 61673,63 1033610 16203981 71,56468 3167,413 116403,3
9 98177 119 58111,1 971936,2 15170371 66,33437 3095,848 113235,9
10 98059 119 54755,46 913825,1 14198435 62,50388 3029,514 110140,1
11 97940 120 51593,59 859069,6 13284610 59,86804 2967,01 107110,6
12 97820 123 48613,33 807476 12425540 57,78566 2907,142 104143,6
13 97696 129 45803,85 758862,7 11618064 57,03875 2849,356 101236,4
14 97567 136 43154,14 713058,9 10859202 56,58892 2792,317 98387,07
15 97432 142 40654,86 669904,7 10146143 55,99632 2735,728 95594,75
16 97289 150 38297,65 629249,8 9476238 55,63998 2679,732 92859,02
17 97140 157 36074,22 590952,2 8846988 55,13229 2624,092 90179,29
18 96982 164 33977,15 554878 8256036 54,17111 2568,96 87555,2
19 96818 168 31999,74 520900,8 7701158 52,52788 2514,789 84986,24
20 96650 173 30135,91 488901,1 7180257 50,88988 2462,261 82471,45
21 96477 177 28379,21 458765,2 6691356 48,9943 2411,371 80009,19
22 96300 179 26723,85 430386 6232591 46,89279 2362,377 77597,82
23 96121 182 25164,28 403662,1 5802205 44,86839 2315,484 75235,44
24 95940 183 23695,02 378497,8 5398543 42,69575 2270,615 72919,96
25 95756 185 22311,1 354802,8 5020045 40,62304 2227,92 70649,34
26 95572 187 21007,58 332491,7 4665242 38,84421 2187,297 68421,42
27 95384 190 19779,63 311484,1 4332750 37,13346 2148,452 66234,12
28 95194 193 18622,9 291704,5 4021266 35,6646 2111,319 64085,67
29 95001 198 17533,1 273081,6 3729562 34,40458 2075,654 61974,35
30 94804 202 16506,26 255548,5 3456480 33,16824 2041,25 59898,7
31 94602 207 15538,78 239042,3 3200932 32,1037 2008,082 57857,45
32 94394 212 14627,12 223503,5 2961889 31,04813 1975,978 55849,37
33 94182 219 13768,12 208876,4 2738386 30,134 1944,93 53873,39
34 93964 226 12958,66 195108,2 2529509 29,34036 1914,796 51928,46
35 93738 235 12195,81 182149,6 2334401 28,87876 1885,455 50013,66
36 93503 247 11476,6 169953,8 2152252 28,58323 1856,577 48128,21
37 93256 261 10798,4 158477,2 1982298 28,52407 1827,993 46271,63
38 92995 280 10158,65 147678,8 1823821 28,84672 1799,469 44443,64
39 92715 301 9554,781 137520,1 1676142 29,29532 1770,623 42644,17
40 92414 326 8984,649 127965,3 1538622 29,92058 1741,327 40873,55
41 92087 354 8446,163 118980,7 1410656 30,59742 1711,407 39132,22
42 91734 383 7937,481 110534,5 1291676 31,22575 1680,809 37420,81
43 91351 414 7456,964 102597,1 1181141 31,86797 1649,584 35740
44 90937 447 7003,004 95140,09 1078544 32,50451 1617,716 34090,42
45 90490 484 6574,103 88137,08 983404,1 33,18061 1585,211 32472,7
46 90006 525 6168,803 81562,98 895267 33,92842 1552,03 30887,49
47 89481 569 5785,697 75394,18 813704 34,71418 1518,102 29335,46
48 88912 618 5423,491 69608,48 738309,8 35,55968 1483,388 27817,36
49 88294 671 5080,941 64184,99 668701,3 36,42939 1447,828 26333,97
50 87623 729 4756,911 59104,05 604516,3 37,33726 1411,399 24886,14
51 86894 792 4450,315 54347,14 545412,3 38,24752 1374,062 23474,75
52 86102 858 4160,163 49896,82 491065,2 39,08983 1335,814 22100,68
A n a C l a u d i a C a r d o s o , C P F : 9 3 6 8 0 0 8 2 9 9 1
Página 40 de 40 
André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 
53 85245 928 3885,592 45736,66 441168,3 39,91896 1296,724 20764,87
54 84317 1003 3625,734 41851,07 395431,7 40,70399 1256,805 19468,15
55 83313 1083 3379,8 38225,34 353580,6 41,45037 1216,101 18211,34
56 82230 1168 3147,04 34845,54 315355,3 42,18815 1174,651 16995,24
57 81062 1260 2926,717 31698,5 280509,7 42,90678 1132,463 15820,59
58 79802 1357 2718,147 28771,78 248811,2 43,59293 1089,556 14688,13
59 78445 1458 2520,697 26053,63 220039,4 44,20732 1045,963 13598,57
60 76987 1566 2333,809 23532,94 193985,8 44,78271 1001,756 12552,61
61 75421 1677 2156,924 21199,13 170452,9 45,2547 956,973 11550,85
62 73744 1793 1989,579 19042,2 149253,8 45,62893 911,7183 10593,88
63 71951 1912 1831,332 17052,62 130211,6 45,90424 866,0894 9682,16
64 70039 2034 1681,768 15221,29 113158,9 46,07409820,1851 8816,07
65 68005 2159 1540,499 13539,52 97937,63 46,14231 774,111 7995,885
66 65846 2287 1407,159 11999,03 84398,11 46,11764 727,9687 7221,774
67 63559 2418 1281,391 10591,87 72399,08 45,985 681,8511 6493,805
68 61141 2548 1162,874 9310,476 61807,22 45,72509 635,8661 5811,954
69 58593 2672 1051,326 8147,602 52496,74 45,23677 590,141 5176,088
70 55920 2784 946,5802 7096,276 44349,14 44,46248 544,9042 4585,947
71 53136 2877 848,5377 6149,696 37252,86 43,34747 500,4417 4041,043
72 50259 2948 757,1598 5301,158 31103,17 41,8938 457,0943 3540,601
73 47311 2993 672,4079 4543,998 25802,01 40,1288 415,2005 3083,507
74 44318 3019 594,2183 3871,59 21258,01 38,18693 375,0717 2668,306
75 41299 3030 522,3964 3277,372 17386,42 36,1587 336,8847 2293,235
76 38269 3030 456,6681 2754,975 14109,05 34,11224 300,726 1956,35
77 35239 3020 396,7067 2298,307 11354,07 32,07336 266,6138 1655,624
78 32219 2998 342,1782 1901,601 9055,767 30,04067 234,5404 1389,01
79 29221 2957 292,769 1559,423 7154,166 27,94839 204,4998 1154,47
80 26264 2888 248,2488 1266,654 5594,743 25,75698 176,5514 949,97
81 23375 2790 208,44 1018,405 4328,09 23,46916 150,7944 773,4186
82 20585 2659 173,1723 809,9648 3309,685 21,10252 127,3252 622,6242
83 17926 2499 142,2676 636,7925 2499,72 18,70685 106,2227 495,2989
84 15428 2314 115,5079 494,5249 1862,928 16,34654 87,51589 389,0762
85 13113 2113 92,62314 379,0171 1368,403 14,08046 71,16934 301,5603
86 11000 1901 73,29986 286,3939 989,3858 11,95064 57,08888 230,3909
87 9099 1685 57,20016 213,0941 702,9919 9,990063 45,13824 173,3021
88 7415 1470 43,97236 155,8939 489,8979 8,224075 35,14817 128,1638
89 5945 1263 33,25928 111,9215 334,004 6,666289 26,9241 93,01565
90 4682 1068 24,71039 78,66226 222,0824 5,318329 20,25781 66,09155
91 3614 888 17,99336 53,95186 143,4202 4,171913 14,93948 45,83374
92 2726 725 12,80295 35,9585 89,46831 3,211971 10,76757 30,89426
93 2001 579 8,866288 23,15555 53,50981 2,419827 7,555596 20,12669
94 1422 450 5,944595 14,28926 30,35426 1,775864 5,135769 12,5711
95 972 341 3,832245 8,344667 16,065 1,269847 3,359905 7,435328
96 630 253 2,345478 4,512423 7,720328 0,886325 2,090058 4,075423
97 378 185 1,32639 2,166944 3,207906 0,611166 1,203733 1,985365
98 193 129 0,640146 0,840554 1,040962 0,403503 0,592567 0,781632
99 64 64 0,200408 0,200408 0,200408 0,189064 0,189064 0,189064
100 0 0 0 0 0 0 0 0
 
Tábua 1 (i = 6%)