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PONTO DOS CONCURSOS MATEMÁTICA ATUARIAL DE PESSOAS SUSEP Aula 6 André Cunha 23/03/2010 Este documento contém o conteúdo programático do curso (plano de ensino) e aborda o seguinte tópico: Prêmios e Reservas. Página 2 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Conteúdo 1. Introdução .......................................................................... 3 2. Prêmio único puro (PUP) ....................................................... 3 3. Prêmio anual puro (PAP) ....................................................... 3 3.1. Seguro de sobrevivência ............................................... 4 3.2. Vida inteira, ou vitalício imediato ................................... 6 3.3. Temporário imediato .................................................... 6 3.4. Vitalício diferido .......................................................... 6 4. Prêmios anuais para benefícios contínuos ................................ 7 5. Prêmios contínuos ............................................................... 8 6. Prêmios anuais pagáveis em mais de uma vez ao ano ............... 8 7. Prêmios comerciais (PC) ....................................................... 9 7.1. Prêmio único comercial.............. ................................... 9 7.2. Prêmio anual comercial.............. ................................ 11 8. Reservas .......................................................................... 13 8.1. Método prospectivo .................................................... 13 8.1.1. Seguro vida inteira .................................................... 14 8.1.2. Temporário imediato .................................................. 15 8.2. Método retrospectivo ................................................. 16 8.2.1. Seguro vida inteira .................................................... 17 8.3. Método de recorrência ................................................ 18 9. Exercícios de Fixação ......................................................... 20 10. GABARITO ........................................................................ 24 11. Resolução dos Exercícios de Fixação ..................................... 25 Página 3 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 1. Introdução Estamos na reta final, faltando menos de um mês para a prova. Hoje a Aula é sobre prêmios e reservas matemáticas (ou provisões). Cálculo de prêmios é um assunto que é cobrado com mais freqüência, mas podemos esperar uma questão sobre reservas na prova. Bons estudos! 2. Prêmio único puro (PUP) É o VPA de um seguro ou anuidade. É pago de uma só tacada, e serve para cobrir o valor esperado dos benefícios pagos, e nós o estudamos exaustivamente nas Aulas 4 e 5. 3. Prêmio anual puro (PAP) O prêmio anual puro (PAP, na nossa notação) também serve para cobrir o valor esperado dos benefícios pagos. A única diferença em relação ao PUP é que é pago em parcelas anuais. Para se calcular os valores dos prêmios anuais, deve-se atingir um equilíbrio entre as obrigações da seguradora (seguros e anuidades pagas) e do segurado (prêmios pagos), através da seguinte equação, em letras garrafais, fundamental para a prova. (1) VPA Prêmios = VPA Obrigações Mas o VPA das obrigações da seguradora já foi estudado nas Aulas anteriores. Ele é exatamente o PUP. Em outras palavras, é o Ax, ax, (IA)x os diferidos, temporários, etc. Podemos reescrever (1) como (2) VPA Prêmios = PUP O nosso objetivo então é calcular o valor de cada prêmio anual. Antes de começar é importante ressaltar que a ESAF não tem se preocupado com notações específicas para prêmios. Nas questões aparecem muito expressões como “P” ou “Px” para denotar o prêmio Página 4 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 anual, e nas vezes em que aparece a notação correta, seu conhecimento prévio não é cobrado. Por isso vamos dar a notação correta sim, mas já inclusa na equação de interesse. Outra consideração importante é que usaremos a letra m para designar um seguro ou anuidade temporária de m anos, como fizemos na aula 5 e ao contrário do que fizemos na Aula 4. 3.1. Seguro de sobrevivência Este seguro paga uma u.m. a uma pessoa de idade x, caso ela sobreviva m anos. Seu PUP é dado por xm E ou mxA ˆ: . 1 O lado direito da equação já está calculado. Para calcular o PAP, precisamos definir como esse prêmio será pago. Esse prêmio pode ser pago durante todo o período de m anos (enquanto a pessoa estiver viva) ou ser limitado a t anos (t < m), também condicionado à sobrevivência desta pessoa. Se este prêmio for pago no começo de cada ano, até o m-ésimo ano, teremos graficamente: Se o VPA de uma u.m. paga no começo de cada ano durante m anos é dado por xm a&&/ , então o VPA de mxP ˆ: u.m. pagas no começo de cada ano durante m anos é dado por xmmx aP &&/ˆ: × . ` 1 Lembrando que o que está em cima do m é o número 1. Tempo xmmx aP &&/ˆ: × 0 1 mx P ˆ: 2 m ... ... mx P ˆ:mxP ˆ: mxP ˆ: m-1 Página 5 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Resumindo: VPA dos Prêmios = xmmx aP &&/ˆ: × VPA das Obrigações = mxA ˆ: Das equações de equilíbrio (1) ou (2), concluímos que mxxmmx AaP ˆ:/ˆ: =× && , ou (3) xm mx mx a A P &&/ ˆ: ˆ: = A equação (3) mostra que o PAP é dado pelo PUP dividido por uma anuidade. Pelo raciocínio empregado na sua derivação, podemos concluir que isso sempre ocorrerá para prêmios anuais, e finalmente temos a equação (4): (4) anuidade PUPPAP = A equação (4) vale para qualquer caso estudado. Pode se tratar de seguro ou anuidade (no numerador). No denominador será sempre uma anuidade. Por exemplo, o mesmo seguro de sobrevivência mxA ˆ: , se o pagamento de prêmios for limitado a t anos, t < n, o valor do PAP será de (5) xt mx mxt a A P &&/ ˆ: ˆ: = Compare as equações (3) e (5). Elas só diferem no denominador. Isso ocorre porque o prazo de pagamento entre elas diferiu. Seus numeradores ficaram iguais porque se tratam de um mesmo benefício. Nota: Por serem mais utilizados, quando se tratar de seguros, a menos que a questão estabeleça o contrário, vamos utilizar prêmios antecipados. Isso decorre do fato de ser bem estranho, na prática, uma parcela do prêmio ter de ser paga após a morte do segurado. Página 6 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 3.2. Vida inteira, ou vitalício imediato O PUP é dado por xA . Se este seguro for pago (financiado) através de prestações mensais, no começo de cada ano, há dois casos possíveis. • Prêmios também vitalícios (6) x x x a AP &&= • Prêmios limitados a t anos (7) xt x xt a AP &&/ = 3.3. Temporário imediato O PUP é dado por xm A/ . Se este seguro for pago (financiado) através de prestações mensais, no começo de cada ano, há dois casos possíveis. • Prêmios limitados a m anos (8) xm xm mx a AP &&/ / :ˆ = • Prêmios limitados a t anos (9) xt xm mxt a AP &&/ / :ˆ = 3.4. Vitalício diferido O PUP é dado por xn A/ . Para um seguro diferido normalmente os prêmios são pagos durante o período de diferimento de n anos. Assim, o PAP a pagar será de (10) xn xn xn a AAP &&/ / / )( = Página 7 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.brSUSEP 2010 Se os prêmios forem pagos vitaliciamente, teremos (11) ,)( / / x xn xn a AAP &&= e se forem até o ano t, (12) xt xn xn a AAP &&/ / / )( = Consideramos o número de exemplos adequado para a compreensão da matéria. Não muda nunca. É sempre dividir o PUP pela anuidade correspondente ao prêmio que pagamos. Exemplificando, o PAP pago por até t anos, t ≤ n para financiar uma anuidade do tipo mxn aI :/ )( && será de xt mxn mxn a aI aIP && && && / :/ :/ )( ))(( = A fórmula acima não foi numerada propositalmente, porque não é para decorar. Tampouco é para decorar as anteriores. O importante é entender o raciocínio comum por trás das equações (1), (2) e (4). 4. Prêmios anuais para benefícios contínuos2 Aqui ainda se trata de prêmios pagos uma vez ao ano. As rendas ou seguros é que são pagos de forma contínua. Como os prêmios são pagos no início de cada ano, os denominadores das expressões para cada PAP serão: • xa&& se os prêmios forem vitalícios • xt a&&/ se os prêmios forem pagos até a data t Dessa forma, para uma anuidade contínua, diferida de n anos e temporária de m anos, o PAP pago durante o período de diferimento é dado por xn xmn xmn a aaP &&/ / / )( = . 2 Entende-se por benefícios contínuos anuidades contínuas ou seguros pagos no momento da morte. Página 8 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 5. Prêmios contínuos No item 4, os benefícios eram contínuos. Agora veremos como derivar expressões que envolvem o pagamento contínuo de prêmios. Os benefícios podem ser contínuos ou não. O raciocínio permanece o mesmo. Como os prêmios são pagos continuamente, os denominadores das expressões para cada prêmio serão: • xa se os prêmios forem vitalícios • xt a/ se os prêmios forem pagos até a data t Assim, para um seguro pago no momento da morte, imediato e vitalício, o prêmio pago continuamente, limitado a 5 anos, será .)( 5/ x x x a AAP = O prêmio é pago continuamente, de forma que por ano se paga . 5/ x x a A Repare na barra em cima do P na expressão acima, que caracteriza os prêmios pagos de forma contínua. 6. Prêmios anuais pagáveis em mais de uma vez ao ano Em muitos casos os prêmios são pagos em intervalos inferiores a um ano, sendo muito comum o pagamento mensal. Primeiro, vamos nos lembrar das rendas, que estudamos na Aula 5, que consistem de pagamentos de 1 u.m. ao ano, divididos em k vezes de 1/k. A notação genérica deste tipo de renda é )(ka&& . Agora copiamos a equação (4) desta aula. anuidade PUPPAP = . Com o mesmo raciocínio usado até aqui, podemos reescrever (4) da seguinte forma: (13) )( )( k k a PUPPAP &&= Página 9 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Importante: )(kPAP é um prêmio anual, pago k vezes ao ano. Para calcular a parcela paga em cada período k, temos de dividir esse prêmio por k. Assim, paga-se k parcelas de k PAP k )( por ano. O restante do procedimento para se chegar aos prêmios para cada caso específico é idêntico ao estudado até aqui. Por exemplo, para um seguro vitalício, diferido de n anos, cujos prêmios são pagos no início de cada período, durante no máximo t anos, o )(kPAP é dado por (14) )( / / / )( )( k xt xn xn k a AAP &&= Repare a semelhança entre (12) e (14). Na prática, basta acrescentar o “expoente” (k) à anuidade no denominador. A ESAF adora pagamentos mensais. Neste caso, k = 12. Veremos nos exercícios de fixação como a ESAF cobra. 7. Prêmios comerciais (PC) Nesta Aula, até agora, e nas Aulas 5 e 6, só vimos prêmios puros, ou seja, sem os gastos que a seguradora tem (custos fixos + variáveis + custo por apólice), nem seus lucros. Mas os custos e lucros, também chamados de carregamentos, claramente compõem o custo do seguro (ou da renda), caso contrário seguros não seriam vendidos. O prêmio único, quando somado aos carregamentos, é chamado de prêmio comercial (PC), e é o valor efetivamente pago pelo segurado à seguradora. 7.1. Prêmio único comercial (PUC) O prêmio único comercial é a soma do prêmio único puro com os carregamentos. (15) tosCarregamenPUPPUC += Os carregamentos podem ser de duas formas: um valor dado em u.m. (vamos chamar de valor fixo) ou um percentual do prêmio comercial. Página 10 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Sejam VF o valor fixo e α o percentual do prêmio comercial. Assim, PUCVFPUPtosCarregamenPUPPUC ⋅++=+= α Donde (16) α− += 1 VFPUPPUC Exemplo 1: (Analista – IRB – 2006 – ESAF) Um seguro contra morte, imediato e vitalício, tem o prêmio puro e único de R$ 12.000,00, para uma pessoa de idade “x”. Sabendo que incidirão os carregamentos de R$ 1.000,00 como despesa única de cadastramento por segurado, 20% de comissão de corretagem e 30% de despesa administrativa, ambas sobre o prêmio comercial correspondente, pode-se afirmar que: A) O prêmio comercial anual será de R$ 26.000,00, para o benefício de R$ 1.000.000,00. B) O prêmio comercial único será de R$ 26.000,00, para o benefício de R$ 1.000.000,00. C) O prêmio comercial anual será de R$ 26.000,00. D) O prêmio comercial único será de R$ 26.000,00. E) O prêmio comercial anual será de R$ 6.000,00, para o benefício de R$ 100.000,00. Resolução Do enunciado temos: PUP = 12.000 VF = 1.000, pois foi dado em u.m. 5,0%50%30%20 ou=+=α Usando (16), 000.265,01 000.1000.12 1 =− +=− += α VFPUPPUC Página 11 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Nota: Como não sabemos nada sobre a taxa de juros ou sobre a tábua de mortalidade utilizada, nada podemos afirmar sobre o prêmio comercial anual, o que eliminaria as opções A, C, e E. A opção B também é absurda, pois o benefício de um milhão só pode ter sido tirado da cartola de um mágico mal sucedido. Gabarito: D 7.2. Prêmio anual comercial (PAC) Assim como estudamos para prêmios únicos, o prêmio anual comercial também é composto pela soma do prêmio anual puro com os carregamentos. (17) tosCarregamenPAPPAC += A ESAF tem cobrado com freqüência o cálculo dos carregamentos anuais. Algumas despesas em que a seguradora incorre são imediatas, mas ela prefere cobrar junto com os prêmios, de forma que estes fiquem nivelados (constantes). Veremos como ela deve proceder. Usando a notação adotada pela ESAF em suas provas, seja βu (CA também é usado) o custo de angariação desembolsado pela seguradora na data da contratação. Se os prêmios forem pagos em até t anos, para dividir esse custo βu em t parcelas anuais iguais, basta dividi-lo por uma anuidade temporária de t anos, ou seja, xt a&&/ ou xt a/ , conforme os prêmios sejam pagos no começo ou no final de cada ano. Dessa forma temos o carregamento anual dado por (18) . // xt u xt u a ou a ββ && Repare que o raciocínio empregado em (18) foi idêntico ao utilizado para o cálculo de qualquer PAP. Caso os prêmios sejam pagos k vezes ao ano, no início ou no final de cada período, o fracionamento do carregamento é dado por Página 12 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 (19) ⋅)( / )( / k xt u k xt u a ou a ββ && Não confundir (19) com o pagamento periódico. A expressão )( / k xt u a&& β é o que se paga por ano, em k pagamentos de . 1 )( / k xt u ak&& β⋅ Exemplo 2: (Analista Técnico – SUSEP – 2006 – ESAF) Tomando por base uma pessoa de 25 anos para um Seguro de Sobrevivência, que terá um custo de angariação representado por βu, desembolsado na data da contratação. Sendo os prêmios pagos no início de cada mês, de forma imediata e dentro dos próximos 3 (três) anos, o fracionamento deste carregamento será expresso por: A) xn x u x E a a ⋅×12)12(3/ )12( && && β B) 12)12(3/ )12( 3/ ×x u x a a && β C) )12( 3/ x u a&& β D) xn nx u E a )12(3/ +&& β E) 12)12(3/ ×x u a β Resolução A primeira consideração a ser feita é que a idade da pessoa em questão não faz diferença para nós, pois as opções consideram uma pessoa de idade x. Do enunciado, k = 12, pois se trata de prêmios mensais. Como os prêmios são pagos de forma antecipada, imediata e durante 3 anos, a anuidade em questão é )12(3/ xa&& , e o fracionamento do custo de angariação é dado por )12( 3/ x u a&& β . GABARITO: C Página 13 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 8. Reservas Reserva, ou provisão, é o quanto a seguradora tem de separar para pagar seus compromissos futuros. Considere, por exemplo, o seguro de vida inteira. Vimos que o prêmio anual nivelado que o financia é dado por x x x a AP &&= . Entretanto, o prêmio nivelado não é a única forma de financiá- lo. Poderíamos financiar esse seguro repactuando anualmente os prêmios. Assim, a cada ano o segurado pagaria um prêmio compatível com o risco incorrido pela seguradora, e não seria necessária a constituição de reservas. Com o prêmio nivelado, a seguradora recebe um prêmio maior mais cedo, mas tem de constituir reservas3, pois esse mesmo prêmio é insuficiente para cobrir seu risco nas idades mais avançadas. Há dois métodos para se calcular reservas. O prospectivo e o retrospectivo. 8.1. Método prospectivo Nós somos agora uma seguradora e temos uma vida segurada t anos após a aceitação do risco. Nossa obrigação é o pagamento de benefícios ao segurado, e essa obrigação pode ser expressa pelo VPA dos benefícios a serem pagos a ele (futuros), VPABF. A obrigação do segurado é pagar os prêmios restantes, e essa obrigação por sua vez pode ser expressa pelo VPA desses prêmios a serem pagos por ele (também no futuro), VPAPF. Os benefícios a serem pagos são financiados por duas fontes: os prêmios restantes e as reservas no momento t, tV. Dessa forma, VVPAVPA tPFBF += . Isolando tV temos (20) ,PFBFt VPAVPAV −= a equação básica do método prospectivo. O método é dito prospectivo porque seu cálculo é baseado em compromissos futuros tanto do segurado quanto da seguradora. Para todos os seguros e anuidades vistos (e os não vistos também) pode-se calcular a reserva no instante t. Não podemos ver todos os casos. Veremos os mais comuns e prováveis de serem 3 Ou esperar pela ajuda do governo americano! Página 14 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 cobrados. Ainda assim, usando (20) podemos calcular as reservas de todos os casos possíveis. 8.1.1. Seguro vida inteira Graficamente: No instante t, se o segurado já morreu, 0=xtV , pois o seguro já foi pago. Toda a análise daqui em diante pressupõe a sobrevivência do indivíduo à idade x + t. • Cálculo do BFVPA No instante t, a seguradora tem de pagar uma u.m. enquanto a pessoa estiver viva. Assim, .txBF AVPA += • Cálculo do PFVPA No instante t, a seguradora tem a receber P u.m. enquanto a pessoa estiver viva. Assim, .txPF aPVPA +⋅= && Assim, txtxPFBFt aPAVPAVPAV ++ ⋅−=−= && ou (21) txtxt aPAV ++ ⋅−= && Onde P é dado por (6) x x x a AP &&= Tempo 0 t+1 ... ... P ... t xtV P Página 15 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 8.1.2. Temporário imediato Graficamente: Lembrando que este seguro paga uma u.m. a uma pessoa de idade x no final do ano de sua morte, caso ela ocorra em até m anos. Se t ≥ m, 0:ˆ =mxtV , pois não há mais obrigações da seguradora para com o segurado. Para t < m temos: • Cálculo do BFVPA No instante t, a seguradora já pagou t das m parcelas, faltando m – t parcelas a pagar para uma pessoa de idade x + t. Assim, ._____1 : tmtx BF AVPA −+ = 4 • Cálculo do PFVPA No instante t, a seguradora tem a receber P u.m. durante m – t anos. Assim, ._____1 : tmtx PF aPVPA −+ ⋅= && Assim, _____1_____11 ::: . tmtxtmtx PFBF mx t aPAVPAVPAV −+−+ ⋅−=−= && ou (22) _____1_____11 ::: . tmtxtmtxmx t aPAV −+−+ ⋅−= && 4 Neste exato momento eu descobri como colocar o número 1 no lugar correto. Tempo 0 t+1 P m-1 m... ... P ... t mxtV :ˆ P Página 16 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Onde P é dado por (8) xm xm mx a AP &&/ / : 1 = 8.2. Método retrospectivo Vimos que o método prospectivo determina que a reserva matemática, em qualquer instante t, representa o valor atual das obrigações futuras do segurador menos o valor atual das obrigações futuras do segurado. Poderíamos ter raciocinado de maneira diferente, olhando para o passado. Os prêmios já pagos pelo segurado têm de suprir duas demandas: • O custo da cobertura para o período que passou, ou seja, no intervalo (0,t). • As reservas para a cobertura no futuro. Dessa forma, o VPA dos prêmios pagos, PPVPA , tem de ser igual à soma do custo da cobertura recebida (podemos chamar de benefícios passados, pois houve a cobertura), BPVPA , com as reservas. Tudo no momento t. Assim, VVPAVPA tBPPP += . Isolando tV temos (23) ,BPPPt VPAVPAV −= a equação básica do método retrospectivo. Como os métodos prospectivo e retrospectivo servem para calcular a mesma reserva matemática, comparando (20) e (23) temos: BPPPPFBFt VPAVPAVPAVPAV −=−= , ou ainda (24) PFPPBPBF VPAVPAVPAVPA +=+ A equação (24) nos diz que o valor presente das obrigações da seguradora, a qualquer tempo, é igual ao valor presente das obrigações do segurado. Vamos ilustrar o método retrospectivo com o seguro de vida inteira. Página 17 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 8.2.1. Seguro vida inteira Graficamente: • Cálculo do PPVPA No instante t, o segurado já pagou t parcelas antecipadas de valor P. O VPA na data 0 (idade x) é dado por __ :tx aP &&⋅ (ou xt aP &&/⋅ ). Mas queremos o VPA na data t. Se para levar um fluxo da data t para a data 0 multiplicamos por xt E , para fazer o caminho inverso dividimos por xt E . Dessa forma, xttx PP E aPVPA 1__ : ⋅⋅= && • Cálculo do BPVPA No instante t, o segurado já obteve cobertura de uma u.m. por t anos. O VPA na data 0 (idade x) é dado por __1 : tx A , e na data t, xttx BP E AVPA 1__1 : ⋅= Assim, ,BPPPt VPAVPAV −= ou (25) xttxxttx t E A E aPV 11 __1__ :: ⋅−⋅⋅= && Tempo xtV 0 1 P 2 t ... ... P P P t-1 Página 18 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Onde P é dado por (6) x x x a AP &&= 8.3. Método de recorrência O método de recorrência é mais um método pararelacionar valores de reservas em anos consecutivos que para cálculo das mesmas. Não há muito o que inventar aqui. Vamos ver duas fórmulas para seguros de vida. Pode ser que caia? Pode. Provável? Não. Compensa estudar? Sim, mas pouco. Derivação da 1ª fórmula: Seja um seguro de vida que paga uma u.m. no final de cada ano, podendo ser vitalício ou temporário. Em um determinado instante t, t inteiro, temos a reserva Vt . Esta reserva não inclui o prêmio pago no instante t. Se somarmos esse prêmio P à reserva, teremos PVt + no instante t. Esse dinheiro pode ser usado para 2 coisas: Uso Valor em t +1 VPA em t 1 – Pagar benefício 1 txtx qvqv ++ ⋅=⋅⋅1 2 – Formar reserva em t +1 Vt 1+ txt pvV ++ ⋅⋅1 Dessa forma, temos que: (26) VpvqvPV ttxtxt 1+++ ⋅⋅+⋅=+ De (26), prova-se facilmente (27), (27) ( )( ) ( )VqiPVV ttxtt 11 11 +++ −−++= que tem uma interpretação interessante: a reserva no ano seguinte, caso não houvesse risco de morte do segurado, seria a reserva do ano anterior somada ao prêmio anual, capitalizada à taxa anual i. Como existe a possibilidade de a pessoa morrer, devemos tirar a perda que a seguradora terá neste caso, dada pela diferença entre o Página 19 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 benefício e a reserva em t + 1 ( )Vt 11 +− , multiplicada pela probabilidade de isso acontecer, txq + . Página 20 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 9. Exercícios de Fixação 1. (Analista Técnico – SUSEP – 2001 – ESAF) Segundo o Método Prospectivo, a reserva matemática representa na data do cálculo: A) O valor atual dos compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos compromissos futuros do(s) segurado(s). B) O valor atual dos compromissos passados do segurador menos o valor atual dos compromissos futuros do(s) segurado(s). C) O valor atual dos compromissos passados do segurador menos o valor atual dos compromissos passados do(s) segurado(s). D) O valor atual dos compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos compromissos passados do(s) segurado(s). E) O valor atual dos sinistros a liquidar. 2. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) A formulação do Px a ser pago em parcelas anuais no final de cada ano, e durante o período de diferimento – até o penúltimo ano inclusive, para o benefício a ser recebido de uma única vez, caso a pessoa atinja a idade “x+n”, é igual a: A) {[(lx+n / lx) x (1+i)–n] / [(Nx+1 + Nx+n) / Dx ]} x Q B) {[(lx+n / lx) x (1+i)–n] / [(Nx+1 - Nx+n) / Dx ]} x Q C) {[(lx+n / lx) x (1+i)n-1] / [(Nx+1 - Nx+n+1) / Dx ]} x Q D) {[(lx+n / lx) x (1+i)–n+1] / [(lx - lx+n-1) / Dx ]} x Q E) {[(lx+n / lx) x (1+i)–n+1] / [(lx+n+1 - lx-1) / Dx ]} x Q 3. (Analista Técnico – SUSEP – 2001 – ESAF) Sendo C um carregamento mensal e temporário, a ocorrer no início de cada mês, durante os 5 primeiros anos, e considerando que os prêmios serão pagos no final de cada trimestre, de forma imediata e dentro dos próximos 15 anos, o seu fracionamento será expresso, segundo a formulação de Woolhouse, por: A) xnnxx EaCa ]4/[]12[ )4( 15/ )12( 5/ ×× +&&&& B) ]4/[]12[ )4(15/ )12( 5/ ×× xx aCa && C) ]4/[]12[ )4(15/ )12( 5/ ×× xx aCa D) xnnxx EaCa ]4/[]12[ )4( 15/ )12( 5/ ×× + E) ]4/[]12[ )4(15/ )12( 5/ ×× xx aCa&& Página 21 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 4. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) Um determinado Plano terá um custo de angariação, CA, desembolsado na data da contratação. Os prêmios serão pagos no final de cada mês, de forma imediata e dentro dos próximos 5 anos. Assim, segundo a formulação de Woolhouse, o seu fracionamento será expresso por: A) xnnxx EaCAa ]12/[]12[ )12( 5/ )12( 5/ ×× +&&&& B) ]12/[][ )12(5/ )12( 5/ ×× xx aCAa && C) )12(5// xaCA D) xnnxx EaCAa ]/[]12[ )12( 5/ )12( 5/ +× E) ]12/[ )12(5/ ×xaCA && 5. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) Segundo o Método Retrospectivo, a reserva matemática representa, na data do cálculo, o valor atual A) dos compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos compromissos futuros do(s) segurado(s). B) dos compromissos passados do segurado menos o valor atual dos compromissos passados do segurador. C) dos compromissos passados do segurador menos o valor atual dos compromissos futuros do(s) segurado(s). D) dos compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos compromissos passados do(s) segurado(s). E) da reserva de sinistros a liquidar. Página 22 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 6. (Analista Técnico – SUSEP – 2006 – ESAF) Usando uma tábua de comutação com funções elaboradas de forma subanual – mensal, a formulação do )12(xP , cujo fracionamento será no início de cada mês e durante o período de cobertura - n, para o benefício a ser recebido pelos beneficiários de uma única vez, caso a pessoa (segurado) não atinja a idade “x+n”, é igual a: A) Q DNN DMM xnxx xxnx ⋅− − + + /)( /)( )12()12( B) Q DNN DMM xnxx xxnx ⋅− − + + /)( /)( )12()12( )12()12( C) Q DNN DMM xnxx xnxx ⋅− − + + )12()12()12( )12()12()12( /)( /)( D) Q DNN DMM xnxx xnxx ⋅− − + + )12()12()12( /)( /)( E) Q NN MM nxx nxx ⋅− − + + )12()12( 7. (Analista Técnico – SUSEP – 2006 – ESAF) Utilizando o método prospectivo, a reserva matemática de um seguro contra morte imediato e vitalício para a pessoa de idade x, com prêmio parcelado de forma mensal, antecipada, imediata e vitalícia, após t anos de vigência, pode ser indicado por: A) ⋅×−= + )12(/)12( xtxtxxt aPAV && B) ⋅×−= ++ )12(/)12( xttxtxxt aPAV && C) ⋅×−= +++ )12()12( txtxtxxt aPAV && D) ⋅×−= ++ )12()12( txxtxxt aPAV && E) ⋅×−= )12()12( xxxxt aPAV && Página 23 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 8. (AFC – CGU – 2008 – ESAF) Assinale a opção correta. O prêmio puro periódico de um seguro de Sobrevivência Capital (ou também denominado Dotal Puro) é de R$ 1.000,00. A seguradora trabalha com uma DA – Despesa Administrativa de 18% e MLE – Margem de Lucro Esperada de 12%, ambas sobre o prêmio comercial. Para conceder uma comissão de corretagem de 20%, qual deve ser o prêmio comercial correspondente? A) R$ 1.200,00. B) R$ 1.300,00. C) R$ 1.500,00. D) R$ 1.600,00. E) R$ 2.000,00. 9. (Analista – IRB – 2006 – ESAF) Segundo o método retrospectivo, a formulação em funções de comutação para determinação da tVx de um seguro OV – Ordinário de Vida é dado por A) tVx = [(Mx+t / Dx+t ) – (Mx / Nx * Nx+t / Dx+t)] * Q B) tVx ={[Mx / Nx * (Nx – Nx+t) / Dx]– [(Mx-Mx+t)/Dx ]} / (Dx+t /Dx) *Q C) tVx = [(Mx+n / Dx ) – (Mx / Nx * Nx+t / Dx+t)] * Q D) tVx = (Mx+t / Nx+t) * Q E) tVx = (Mx+t / Dx+t ) * Q Página 24 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 10. GABARITO 1 – A 2 – B 3 – E 4 – C 5 – B 6 – E 7 – D 8 – E 9 – B Página 25 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 11. Resolução dos Exercícios de Fixação 1. (Analista Técnico – SUSEP – 2001 – ESAF) Segundo o Método Prospectivo, a reserva matemática representana data do cálculo: A) O valor atual dos compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos compromissos futuros do(s) segurado(s). B) O valor atual dos compromissos passados do segurador menos o valor atual dos compromissos futuros do(s) segurado(s). C) O valor atual dos compromissos passados do segurador menos o valor atual dos compromissos passados do(s) segurado(s). D) O valor atual dos compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos compromissos passados do(s) segurado(s). E) O valor atual dos sinistros a liquidar. Resolução De (20), ,PFBFt VPAVPAV −= ou seja, a reserva matemática, pelo método prospectivo, é a diferença entre o VPA dos benefícios futuros (compromissos futuros do segurador) e o VPA dos prêmios futuros (compromissos futuros do segurado). GABARITO: A 2. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) A formulação do Px a ser pago em parcelas anuais no final de cada ano, e durante o período de diferimento – até o penúltimo ano inclusive, para o benefício a ser recebido de uma única vez, caso a pessoa atinja a idade “x+n”, é igual a: A) {[(lx+n / lx) x (1+i)–n] / [(Nx+1 + Nx+n) / Dx ]} x Q B) {[(lx+n / lx) x (1+i)–n] / [(Nx+1 - Nx+n) / Dx ]} x Q C) {[(lx+n / lx) x (1+i)n-1] / [(Nx+1 - Nx+n+1) / Dx ]} x Q D) {[(lx+n / lx) x (1+i)–n+1] / [(lx - lx+n-1) / Dx ]} x Q E) {[(lx+n / lx) x (1+i)–n+1] / [(lx+n+1 - lx-1) / Dx ]} x Q Página 26 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Resolução A questão pede o PAP. Sempre, em toda questão envolvendo prêmios anuais, vale a relação (4), anuidade PUPPAP = Mas o PUP = xn E , pois se trata de um seguro de sobrevivência que paga uma u.m.5 a uma pessoa de idade x, caso ela sobreviva n anos. Assim, x nxn xn n xn l lipvEPUP +− ⋅+=== )1( (a) A anuidade no denominador é uma imediata, postecipada e temporária de (n–1) anos, pois os prêmios são pagos até o penúltimo ano, cujo VPA é dado por xn a1/ − Vimos na Aula 5 que uma renda imediata, postecipada e temporária de m anos é dada por x mxx xm D NNa 11/ +++ −= . Logo, x nxx x nxx xn D NN D NNa +++−++− −=−= 11111/ (b) Substituindo (a) e (b) em (4), x nxx n x nx D NN i l l anuidade PUPPAP ++ −+ − +⋅ == 1 )1( Que é a expressão do premio anual puro para o valor segurado de 1 u.m. Para o valor segurado de Q u.m., a opção correta é a B. GABARITO: B 5 O problema não informou o valor segurado, por isso o fixamos em 1 u.m. Página 27 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 3. (Analista Técnico – SUSEP – 2001 – ESAF) Sendo C um carregamento mensal e temporário, a ocorrer no início de cada mês, durante os 5 primeiros anos, e considerando que os prêmios serão pagos no final de cada trimestre, de forma imediata e dentro dos próximos 15 anos, o seu fracionamento será expresso, segundo a formulação de Woolhouse, por: A) xnnxx EaCa ]4/[]12[ )4( 15/ )12( 5/ ×× +&&&& B) ]4/[]12[ )4(15/ )12( 5/ ×× xx aCa && C) ]4/[]12[ )4(15/ )12( 5/ ×× xx aCa D) xnnxx EaCa ]4/[]12[ )4( 15/ )12( 5/ ×× + E) ]4/[]12[ )4(15/ )12( 5/ ×× xx aCa&& Resolução Para começar, primeiro temos de entender o problema. Há um custo mensal C, pagos durante os 5 primeiros anos, que temos de alocar aos prêmios trimestrais pagos durante 15 anos. Alocar um valor único nós já fizemos. Vimos no subitem 7.2 que o custo de angariação, que é desembolsado de uma só vez e dado por uβ , pode ser distribuído de forma nivelada nos prêmios de acordo com (19) .)( / k xt u a β No caso em questão, trata-se de um carregamento mensal. Para usar (19), então, temos de saber o custo único, no momento 0, equivalente ao custo C mensal. Esse custo único, que em (19) será o uβ , equivale ao VPA dos custos mensais. Como os carregamentos são mensais, antecipados e temporários de 5 anos, temos que Cax u 12)12(5/ ⋅= &&β (a) Multiplicamos por 12C acima porque são pagos 12C anualmente. Para calcular o denominador de (19), temos que os prêmios são pagos postecipadamente, trimestralmente (k = 4), e imediatamente por 15 anos. Logo, o denominador de (19) é dado por .)4(15/ xa (b) Página 28 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Assim, substituindo (a) e (b) em (19), o fracionamento dos carregamentos é expresso por )4( 15/ )12( 5/ 12 x x a Ca ⋅&& . Este resultado representa o valor do carregamento anual, distribuído trimestralmente, o que resulta em um carregamento trimestral de 4 12 )4( 15/ )12( 5/ ⋅ ⋅ x x a Ca&& . Pelas opções, a ESAF considerou carregamentos trimestrais, ao contrário do Exemplo 2 desta aula, cuja resposta foi anualizada. Na prova, tendo as duas respostas, eu colocaria a opção anualizada, por ser mais freqüente na ESAF. Não tendo as duas respostas, o melhor a se fazer é se guiar pelos termos dos VPA das anuidades. Em quase todos os casos (neste inclusive) é suficiente. GABARITO: E 4. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) Um determinado Plano terá um custo de angariação, CA, desembolsado na data da contratação. Os prêmios serão pagos no final de cada mês, de forma imediata e dentro dos próximos 5 anos. Assim, segundo a formulação de Woolhouse, o seu fracionamento será expresso por: A) xnnxx EaCAa ]12/[]12[ )12( 5/ )12( 5/ ×× +&&&& B) ]12/[][ )12(5/ )12( 5/ ×× xx aCAa && C) )12(5// xaCA D) xnnxx EaCAa ]/[]12[ )12( 5/ )12( 5/ +× E) ]12/[ )12(5/ ×xaCA && Resolução Mais uma de fracionamento, nos mesmos moldes da anterior. Dessa vez o custo de angariação foi chamado de CA. A fórmula (19) fica então )( / k xt a CA . Como t = 5 e k = 12, temos )12( 5/ xa CA . Página 29 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Repare que agora a ESAF voltou a considerar o carregamento anualizado. GABARITO: C 5. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) Segundo o Método Retrospectivo, a reserva matemática representa, na data do cálculo, o valor atual A) dos compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos compromissos futuros do(s) segurado(s). B) dos compromissos passados do segurado menos o valor atual dos compromissos passados do segurador. C) dos compromissos passados do segurador menos o valor atual dos compromissos futuros do(s) segurado(s). D) dos compromissos futuros do segurador menos o valor atual dos compromissos passados do(s) segurado(s). E) da reserva de sinistros a liquidar. Resolução 1º Modo: A questão trata de método retrospectivo. A única opção que fala somente de compromissos passados, tanto do segurado quanto da seguradora é a opção B. Sem pensar muito. 2º Modo: Da equação básica do método retrospectivo, ,BPPPt VPAVPAV −= temos que a reserva matemática, pelo método retrospectivo, é a diferença entre o VPA dos prêmios pagos (compromissos passados do segurado) e o VPA do custo da cobertura (compromissos passados do segurador). GABARITO: B Página 30 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 6. (Analista Técnico – SUSEP – 2006 – ESAF) Usando uma tábua de comutação com funções elaboradas de forma subanual – mensal, a formulação do )12(xP , cujo fracionamento será no início de cada mês e durante o período de cobertura - n, para o benefício a ser recebido pelos beneficiáriosde uma única vez, caso a pessoa (segurado) não atinja a idade “x+n”, é igual a: A) Q DNN DMM xnxx xxnx ⋅− − + + /)( /)( )12()12( B) Q DNN DMM xnxx xxnx ⋅− − + + /)( /)( )12()12( )12()12( C) Q DNN DMM xnxx xnxx ⋅− − + + )12()12()12( )12()12()12( /)( /)( D) Q DNN DMM xnxx xnxx ⋅− − + + )12()12()12( /)( /)( E) Q NN MM nxx nxx ⋅− − + + )12()12( Resolução Lamentável essa questão da ESAF. Não bastasse insistir no uso maciço de comutações, assunto completamente em desuso na moderna matemática atuarial, ainda vai a fundo pedindo comutações fracionadas. Mas como lamentar não adianta, vamos resolver. Trata-se de um seguro imediato, temporário de n anos, pagável no final do ano da morte (se o problema não fala quando será pago, assumimos ser no final do ano). Seu VPA é xn A/ . Como o prêmio é pago mensalmente, de forma antecipada e em até n anos, a anuidade no denominador é )12( / xn a&& . Logo, o )12(xP é dado por )12( / /)12( xn xn x a AP &&= (a) Mas a resposta está dada em comutações. x nxx xn D MMA +−=/ (b) Página 31 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Vimos na Aula 5 que uma renda unitária, vitalícia, antecipada e imediata, pagável k vezes no ano tem seu VPA igual a ∑∞ = ⋅= 0 )( 1 t x k t k t k x pvk a&& . Desenvolvendo, ∑∑∑∑ ∞ = +∞ = +∞ = ++∞ = ⋅=⋅=⋅⋅=⋅= 0000 )( 1111 t k tx xt x k tx t x k tx x k tx t x k t k t k x k D DD D kl l v v k pv k a&& Definia-se, muito tempo atrás, ∑∞ = += 0 )( t k tx k x k D N . E finalmente x k xk x D Na )( )( =&& (c) Partindo de (c), prova-se facilmente que x k nx k xk xn D NNa )()( )( / +−=&& . Substituindo-se (b) e (c) em (a), fazendo k = 12: ,)12()12()12()12()12( / /)12( nxx nxx x nxx x nxx xn xn x NN MM D NN D MM a AP + + + + − −=− − == && que é a expressão do premio anual puro para o valor segurado de 1 u.m., pagável mensalmente. Para o valor segurado de Q u.m., a opção correta é a E. GABARITO: E Página 32 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 7. (Analista Técnico – SUSEP – 2006 – ESAF) Utilizando o método prospectivo, a reserva matemática de um seguro contra morte imediato e vitalício para a pessoa de idade x, com prêmio parcelado de forma mensal, antecipada, imediata e vitalícia, após t anos de vigência, pode ser indicado por: A) ⋅×−= + )12(/)12( xtxtxxt aPAV && B) ⋅×−= ++ )12(/)12( xttxtxxt aPAV && C) ⋅×−= +++ )12()12( txtxtxxt aPAV && D) ⋅×−= ++ )12()12( txxtxxt aPAV && E) ⋅×−= )12()12( xxxxt aPAV && Resolução Vamos copiar aqui a equação (21), txxtxt aPAV ++ ⋅−= && . A única diferença dela para a equação )12()12( txxtxxt aPAV ++ ×−= && é o símbolo (12) indicando parcelamento mensal dos prêmios. Isto ocorre porque o txBF AVPA += permanece o mesmo, pois é a mesma cobertura, e só os pagamentos de prêmios que passaram a ser fracionados. GABARITO: D 8. (AFC – CGU – 2008 – ESAF) Assinale a opção correta. O prêmio puro periódico de um seguro de Sobrevivência Capital (ou também denominado Dotal Puro) é de R$ 1.000,00. A seguradora trabalha com uma DA – Despesa Administrativa de 18% e MLE – Margem de Lucro Esperada de 12%, ambas sobre o prêmio comercial. Para conceder uma comissão de corretagem de 20%, qual deve ser o prêmio comercial correspondente? A) R$ 1.200,00. B) R$ 1.300,00. C) R$ 1.500,00. D) R$ 1.600,00. E) R$ 2.000,00. Página 33 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 Resolução As equações (15) e (16) também valem para prêmios periódicos, pois o raciocínio é absolutamente análogo. Logo, α− += 1 VFPPPPPC Onde PPC é o prêmio periódico comercial e PPP seu análogo puro. VF = 0, e %50%20%12%18 =++=α , pois a corretagem, se nada for falado, é um percentual do prêmio comercial. Assim, 000.25,01 0000.1 =− +=PPC Gabarito: E 9. (Analista – IRB – 2006 – ESAF) Segundo o método retrospectivo, a formulação em funções de comutação para determinação da tVx de um seguro OV – Ordinário de Vida é dado por A) tVx = [(Mx+t / Dx+t ) – (Mx / Nx * Nx+t / Dx+t)] * Q B) tVx ={[Mx / Nx * (Nx – Nx+t) / Dx]– [(Mx-Mx+t)/Dx ]} / (Dx+t /Dx) *Q C) tVx = [(Mx+n / Dx ) – (Mx / Nx * Nx+t / Dx+t)] * Q D) tVx = (Mx+t / Nx+t) * Q E) tVx = (Mx+t / Dx+t ) * Q Resolução O seguro OV é o que chamamos de vida inteira. A reserva pelo método retrospectivo é dada por (25). xttxtx x xttxxttx xt E AaP E A E aPV 111 __1____1__ :::: ⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⋅=⋅−⋅⋅= &&&& Em termos de comutações: x x x x x x x x x N M D N D M a AP === && Página 34 de 34 André Cunha http://www.pontodosconcursos.com.br SUSEP 2010 x txx xt tx D NNaa +−== &&&& / : __ x txx xt tx D MMAA +−== / : __1 x tx xt D DE += Substituindo tudo, temos: x tx x txx x txx x x xt txtx x t D D D MM D NN N M E AaP V + ++ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−−⋅ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⋅ = __1__ :: && O valor da reserva acima foi calculado para uma u.m. Para Q u.m., a opção correta é a B. Gabarito: B
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