Matemática Atuarial aula 08

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PONTO DOS CONCURSOS 
MATEMÁTICA ATUARIAL 
DE PESSOAS 
 SUSEP 
Aula 8 
 
André Cunha 
06/04/2010 
 
 
 
Este documento contém o conteúdo programático do curso (plano de 
ensino) e aborda o seguinte tópico: Múltiplas vidas e Regimes de 
capitalização. 
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Conteúdo 
1. Introdução .......................................................................... 3 
2. Múltiplos decrementos .......................................................... 4 
2.1. O modelo ................................................................... 4 
3. Tábua de múltiplos decrementos ............................................ 6 
4. Taxa absoluta de morte ........................................................ 8 
4.1. Relações envolvendo probabilidades ............................... 7 
4.2. Relações envolvendo anuidades e seguros ...................... 7 
5. Abordagem do IBA em exercícios ........................................... 9 
6. Regimes Financeiros .......................................................... 15 
6.1. Capitalização ............................................................ 15 
6.2. Repartição simples ................................................... 16 
6.3. Repartição de capitais de cobertura .............................. 20 
 
 
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1. Introdução 
 
Falta muito pouco agora. Essa aula praticamente conclui a parte 
teórica do curso. 
Falo isso porque resolvi antecipar a parte de regimes de 
capitalização, prevista no plano de ensino inicialmente para a Aula 9. 
Faltará para a última Aula apenas a parte de riscos, que é pequena. 
Vamos complementar a Aula com um simulado de 10 questões 
resolvidas nos moldes daquilo que eu espero que a ESAF cobre. 
 Voltando para a Aula 8, de hoje, ela terá um formato diferente 
das anteriores. No lugar dos exercícios de fixação entram exercícios 
de exames anteriores ao longo da Aula explicando ou ilustrando a 
teoria. 
A ESAF nunca havia pedido múltiplos decrementos. Portanto, 
como se trata de um assunto inédito na SUSEP, e não temos muitos 
parâmetros para saber como a ESAF vai cobrar, vamos dar a matéria 
em conformidade com os bons textos do assunto e, além de treinar 
através de exemplos, vamos treinar construindo uma tábua de 
múltiplos decrementos. Inclusive, se você tiver familiaridade com 
fórmulas de Excel, seria um excelente treino a reprodução da Tábua 
2. 
Além disso, vamos nos cercar e resolver algumas questões que 
caíram no exame do IBA de 2005 e 2006, com notação diferente da 
tradicional. Decidi que a abordagem do IBA merece um item 
exclusivo. A teoria e as definições, nesse item, serão apresentadas 
junto com os exercícios. 
Bons estudos e pique total até a prova. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Múltiplos decrementos 
 
Quando estudamos as funções de sobrevivência e a construção 
de tábuas de mortalidade na Aula 2, vimos que o ponto central para a 
determinação das probabilidades era a morte de (x). No modelo 
estudado, (x) só sairia do grupo inicial das l0 pessoas quando 
morresse. 
Em muitos casos, na prática, a saída de (x) do grupo pode 
ocorrer por vários motivos. Por exemplo, se tomarmos um grupo de 
trabalhadores com carteira assinada, um participante pode sair dele 
por morte, mas também devido a demissão, invalidez e 
aposentadoria, entre outros motivos. Cada motivo que pode causar 
essa saída é chamado de decremento. 
 
2.1. O modelo 
 
No modelo que vamos estudar, consideramos a existência de m 
decrementos, e não apenas a morte de (x). 
A partir de agora, o conceito de sobrevivência será levemente 
modificado: não mais estará relacionado somente à morte, mas sim a 
todos os decrementos. Em outras palavras, a pessoa sobrevive se ela 
permanecer no grupo. 
A probabilidade de (x) sair do grupo (ou simplesmente sair) 
dentro de um ano devido à causa k, k = 1, ... ,m, será dada por 
)(k
xq , 
e a probabilidade de saída da mesma pessoa por qualquer motivo é 
)(τ
xq .1 
Vamos supor ainda, para simplificar, que a cada ano uma pessoa 
pode sair devido a um único decremento, nunca 2 ou mais. 
Exemplificando, (x) pode sair do grupo por demissão ou 
aposentadoria, nunca os dois. Desta forma os decrementos são 
mutuamente exclusivos, e podemos escrever 
(1) ∑
=
=
m
k
k
xx qq
1
)()(τ
, 
e para um intervalo de n anos, 
(2) ∑
=
=
m
k
k
xnxn qq
1
)()(τ
 
 
1 A letra grega τ se lê como (tau) 
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Definindo 
)(τ
xp como a probabilidade de (x) sobreviver um ano, 
é trivial que 
(3) 1)()( =+ ττ xx qp , 
e para um intervalo de n anos, 
 
(4) 1)()( =+ ττ xnxn qp 
 
É intuitivo que o número total de pessoas que morrem em uma 
determinada idade é igual à soma das mortes na mesma idade por 
todas as causas. Matematicamente, 
(5) ∑
=
=
m
k
k
xx dd
1
)()(τ
, 
e novamente para um intervalo de n anos, 
 
(6) ∑
=
=
m
k
k
xnxn dd
1
)()(τ
 
Há várias outras relações. Aqui vamos dar as que têm maior 
probabilidade de serem cobradas. 
A probabilidade de (x) sair em n anos pela causa k é igual ao 
número de pessoas que saíram devido a essa causa dividido pelo 
número total de pessoas na idade x, e é expressa por 
(7) )(
)(
)(
τ
x
k
xnk
xn l
dq = 
As relações (8) e (9) abaixo já são nossas conhecidas, só 
mudaram de roupa. Interprete-as. 
 
(8) )(
)(
)(
τ
τ
τ
x
xn
xn l
dq = 
 
(9) )(
)(
)(
τ
τ
τ
x
nx
xn l
lp += 
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Antes que você me pergunte: Se existe 
)(τ
xn p e 
)(τ
xl existe 
também 
)(k
xn p e 
)(k
xl ? 
Desconheço a existência de 
)(k
xn p e 
)(k
xl , até porque (x) pode 
morrer da causa k, mas não faz sentido falar em sobrevivência 
devido a uma causa. Quem sobrevive, sobrevive a tudo. Mas mantive 
a notação com o )(τ por ser padrão e poder ser cobrada em prova. 
 
3. Tábua de múltiplos decrementos 
 
Na Aula 2 estudamos todas as relações necessárias para se 
construir uma tábua de mortalidade a partir da função de 
sobrevivência S(x) ou, de forma equivalente, das probabilidades qx. 
O grupo de interesse pode começar com qualquer idade e ter 
qualquer número de decrementos m. Aqui vamos trabalhar com 50 
anos para a idade inicial e m = 2 decrementos. Os decrementos 
podem ser variados. Digamos que nesse caso são falecimento (causa 
de saída 1) e demissão (causa de saída 2). 
Os decrementos variam conforme a idade e estão expostos na 
tábua 1 abaixo 
 
x 
)1(
xq 
)2(
xq 
50 0,010 0,05 
51 0,020 0,05 
52 0,030 0,05 
53 0,040 0,05 
54 0,050 0,05 
55 0,060 0,05 
56 0,070 0,05 
57 0,080 0,05 
 
Tábua 1 
 
 
 
 
Para construir a tábua de múltiplos decrementos, vamos utilizar 
algumas das relações (1) a (9) e a Tábua 1. O resultado é a Tábua 2. 
 
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x 
)1(
xq 
)2(
xn q 
)(τ
xq 
)(τ
xp 
)(τ
xl 
)1(
xd 
)2(
xd 
)(τ
xd 
50 0,01 0,05 0,06 0,94 10000 100 500 600 
51 0,02 0,05 0,07 0,93 9400 188 470 658 
52 0,03 0,05 0,08 0,92 8742 262 437 699 
53 0,04 0,05 0,09 0,91 8043 322 402 724 
54 0,05 0,05 0,10 0,90 7319 366 366 732 
55 0,06 0,05 0,11 0,89 6587 395 329 725 
56 0,07 0,05 0,120,88 5862 410 293 703 
57 0,08 0,05 0,13 0,87 5159 413 258 671 
 
Tábua 2 
A tábua 2 foi construída da seguinte forma:2 
1 – Repetimos as 3 primeiras colunas da Tábua 1. 
2 – A raiz (radix) da tábua de mortalidade foi definida como 10.000 
pessoas de idade 50. Assim, por definição/imposição, .000.10)(50 =τl 
3 – A coluna 4, dos 
)(τ
xq , foi calculada usando-se a equação (1). 
4 – A coluna 5, dos 
)(τ
xp , foi calculada usando-se a equação (3). 
5 – A coluna 6, dos 
)(τ
xl , deriva de (9), para n = 1. 
6 – As colunas 7 e 8, dos 
)(k
xd , derivam de (7), para n = 1. 
7 – Finalmente, calculamos a coluna 9, dos 
)(τ
xd , usando (5) ou (8) 
com n = 1. 
 
Exemplo 1: 
Calcule, utilizando a Tábua 2 acima, o seguinte: 
a) 
)2(
514d 
b) 
)1(
502q 
c) 
)(
552
τp 
d) A probabilidade de (52) ser demitida nos próximos 3 anos. 
 
Solução 
 
 
 
2 A partir da tábua 1, podemos chegar na tábua 2 de várias formas, posto que algumas das fórmulas 
apresentadas são redundantes. Foi apresentada aqui apenas uma dessas formas. 
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a) É pedido o número de pessoas com 51 anos que deixam o grupo 
nos próximos 4 anos por demissão. Não elencamos a fórmula 
anteriormente por ela ser bem intuitiva. Vamos fazer isso agora. 
(10) ∑−
=
+=
1
0
)()(
n
j
k
jx
k
xn dd 
Para x= 51, n = 4 e k = 2, temos 
 
∑
=
+ =+++=+++==
3
0
)2(
54
)2(
53
)2(
52
)2(
51
)2(
51
)2(
514 1675366402437470
j
j dddddd 
 
b) Usando (7), 0288,010000
188100
)(
50
)1(
51
)1(
50
)(
50
)1(
502)1(
502 =+=+== ττ l
dd
l
dq 
 
c) Da equação (9), fazendo n = 2 e x = 55, 
7832,0
6587
5159
)(
55
)(
57)(
552 === τ
τ
τ
l
lp 
 
d) A probabilidade de uma pessoa de 52 anos ser demitida nos 
próximos 3 anos é representada por 
)2(
523q . De (7), 
1379,0
8742
366402437
)(
52
)2(
54
)2(
53
)2(
52
)(
52
)2(
523)2(
523 =++=++== ττ l
ddd
l
dq 
 
4. Taxa absoluta de morte 
 
A taxa absoluta de morte em relação ao decremento k é definida 
como a probabilidade de (x) sair do grupo dentro de n anos caso não 
houvesse outros fatores de decremento além de k. Um nome mais 
apropriado seria “taxa absoluta de saída”, posto que a morte é 
apenas um dos decrementos possíveis. 
Notação: 
)(k
xn q 
A única coisa que precisa saber para a prova é a relação abaixo: 
(11) )(
)( k
xn
k
xn qq ≥ 
 
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A equação (11) afirma que a probabilidade de uma pessoa sair 
devido ao decremento k é maior na ausência do que na presença de 
outros decrementos. 
Ilustrando, se há 10.000 vidas e dois decrementos, demissão 
(decremento 1) e aposentadoria (decremento 2), e tivermos ainda: 
05,0)1( =xq e 03,0)2( =xq 
No primeiro ano então são esperadas 500 demissões e 300 
aposentadorias. 
Caso não fossem permitidas demissões, essas 500 pessoas 
estariam “disponíveis” para se aposentar, o que elevaria o número de 
pessoas aposentadas e, consequentemente, a probabilidade de 
aposentadoria. No caso, de 
)2(
xn q para 
)2(
xn q . 
Vamos parar por aqui. Se a ESAF cobrar esse tópico, muito 
provavelmente será de forma conceitual envolvendo a relação (11). 
Nota 1: Essa teoria é conhecida como “Theory of Competing 
Risks”. 
Nota 2: Outros nomes para a taxa absoluta de morte: taxa 
absoluta de decremento ou taxa independente de decremento. 
Nota 3 (Importante): Quando nada for falado, as 
probabilidades serão sempre as tratadas nas equações (1) a (9). O 
problema terá de ser explícito quando se referir à taxa absoluta de 
morte. 
 
5. Abordagem do IBA em exercícios 
 
 
1. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) A partir de 
100 ativos com 30 anos, encontre o número provável de ativos que 
tornar-se-ão inválidos entre as idades de 35 e 36 anos. 
 
A) 36305100 ip ⋅⋅ 
B) 3635100 ip ⋅ 
C) 3630100 ip ⋅ 
D) 35305100 ip ⋅⋅ 
E) 3530100 ip ⋅ 
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Resolução 
 
A probabilidade de (x) se tornar inválido dentro de um ano é 
definida como taxa anual de invalidez, ou taxa de entrada em 
invalidez xi . 
 Dos 100 ativos com 30 anos, espera-se que 305100 p⋅ atinjam a 
idade de 35 anos. Com 35 anos a probabilidade de se tornar inválido 
entre as idades de 35 e 36 é 35i . 
 Logo, espera-se que 35305100 ip ⋅⋅ ativos com 30 anos se 
tornarão inválidos entre as idades de 35 e 36 anos. 
 
Gabarito: D 
 
2. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) A 
probabilidade de um ativo de idade “x” tornar-se inválido e morrer 
após “n+1” e antes de “n+2” anos é dada por: 
 
A) 
aaaa
nxnx
qp
11 ++++ ⋅ 
 
B) 
aaaa
n nxx
qp
11 ++⋅+ 
 
C) 
aaaa
n nxx
qp
11 +++ ⋅ 
 
D) 
aa
n
aa
xnx
qp /11 +⋅++ 
 
E) 
aa
n
aa
n xx
qp /11 +⋅+ 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Definições: 
aa
n x
p : Probabilidade de um ativo de idade x permanecer ativo após n 
anos. 
aa
n x
q : Probabilidade de um ativo de idade x morrer ativo em até n 
anos. 
ai
n x
p : Probabilidade de um ativo de idade x estar inválido3 após n 
anos. 
ai
n x
q : Probabilidade de um ativo de idade x morrer inválido em até n 
anos. 
 
O enunciado do problema requer duas coisas: 
 
1 – Que (x) permaneça ativa após n+1 anos. Isso ocorre com 
probabilidade 
aa
n x
p1+ . 
2 – Que, após n+1 anos, (x+n+1) morra inválido dentro de 1 ano. A 
probabilidade de isso ocorrer é 
ai
nx
q
1++ . 
Assim, a probabilidade de (x) morrer entre n+1 e n+2 anos, 
tornando-se inválida nesse intervalo, é 
aiaa
n nxx
qp
11 ++⋅+ . 
A opção mais próxima disso, e a que eu marcaria na prova, é a B. 
 
Gabarito: B 
 
3. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Tendo como 
base 70 ativos com 37 anos, determine o número provável de ativos 
que entrarão em invalidez na idade de 45 anos e que irão sobreviver. 
 
A) 
aiaa pp
3745 8
70 ⋅⋅ 
B) 
iaa qp
3737 /88
70 ⋅⋅ 
 
3 Apesar de várias evidências do contrário, morto não é inválido! 
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C) 
aiaa pp
4545
70 ⋅⋅ 
D) 
aiaa pp
45378
70 ⋅⋅ 
E) 
iaa qp
45378
70 ⋅⋅ 
 
Resolução 
 
Mais duas definições: 
i
mn x
q/ : Probabilidade de um inválido de idade x morrer entre as 
idades de x+n e x+n+m anos. 
i
n x
q : Probabilidade de um inválido de idade x morrer em até n anos. 
É caso particular da anterior. 
A probabilidade de um ativo se tornar inválido na idade exata de 45 
anos é zero, posto ser o tempo para a entrada em invalidez uma 
variável contínua. Dessa forma, vou reescrever o enunciado para ficar 
de acordo com a intenção da banca. 
Tendo como base 70 ativos com 37 anos, determine o número 
esperado de ativos que entrarão em invalidez depois de 
completarem 45 anos e que chegarão aos 46 anos inválidos. 
Probabilidade de um ativo de 37 anos completar 45 ativo:
aap
378 
Probabilidade de um ativo de 45 anos chegar aos 46 inválido: 
aip
45 
Assim, a probabilidade requerida para um ativo é de 
aiaa pp
45378
⋅ . 
Para 70 ativos, o valor esperado para o númerode ativos (número 
provável) é de 
aiaa pp
45378
70 ⋅⋅ 
 
Gabarito: D 
 
 
 
 
 
 
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4. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2005) Indique qual 
das expressões abaixo é verdadeira: 
 
A) aix
a
x
aa
x pqq += 
B) aix
a
x
aa
x ppp += 
C) x
aa
x
aa
x iqp −−=1 
D) aax
aa
x pq −=1 
E) x
aa
x
aa
x iqp ++=1 
 
Resolução 
 
As últimas definições: 
a
n x
p : Probabilidade de um ativo de idade x sobreviver n anos, 
podendo estar ativo ou inativo após esse período. 
a
n x
q : Probabilidade de um ativo de idade x morrer em qualquer 
condição em até n anos. 
 
Item A: De acordo com essa opção, a probabilidade de um ativo 
morrer ativo é igual à probabilidade de um ativo morrer em qualquer 
condição mais a probabilidade de um ativo estar inválido, tudo após 1 
ano. Não faz o menor sentido. Falso. 
Item B: A probabilidade de um ativo sobreviver em qualquer condição 
é igual à probabilidade de um ativo sobreviver inválido mais a 
probabilidade de um ativo sobreviver ativo. Assim, aix
aa
x
a
x ppp += . 
Falso. 
Item C: Um ativo de idade x pode, no final do ano: 
Se manter ativo, com probabilidade 
aa
xp . 
Morrer na ativa, com probabilidade 
aa
xq . 
Ter se tornado inválido ao longo do ano (independente de estar vivo 
ou não), com probabilidade xi . 
Como os três eventos são mutuamente exclusivos, e compreendem a 
totalidade das possibilidades, sua soma é 1. 
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Logo, 1=++ xaaxaax iqp ou ainda xaaxaax iqp −−=1 . Verdadeiro. 
 
Itens D e E são falsos, caso contrário C seria falso também. 
 
Nota: não foi utilizado nos exercícios acima, mas também é verdade 
que 
ai
x
ai
xx qpi += . Verifique! 
 
Gabarito: C 
 
 
5. (INSTITUTO BRASILEIRO DE ATUÁRIA – 2006) 
 
Calcule a taxa de entrada em invalidez para a idade de 35 anos, 
sabendo que: 
 
081,035 =aip 0109,035 =aaq 989,035 =ap 
 
A) 0,0811 
B) 0,0908 
C) 0,0919 
D) 0,1008 
E) 0,1120 
 
Resolução 
 
O enunciado pede 35i 
Sabemos que 
ai
x
aa
x
a
x ppp += . 
Assim, .908,0081,0989,0353535 =−=−= aiaaa ppp 
Vimos também que 1=++ xaaxaax iqp 
0811,00109,0908,011 353535 =−−=−−= aaaa qpi 
 
Gabarito: A 
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6. Regimes Financeiros 
 
Os regimes de financiamento definem a forma como os 
benefícios serão custeados. Se benefícios têm de ser pagos, o 
dinheiro tem de vir de alguma forma e de algum lugar4. 
A atuária não se importa com quem paga, e sim como será 
pago. Os benefícios podem ser variados, como pensões, seguros, 
auxílio-doença e assistência a saúde. 
Há três regimes financeiros que precisamos saber: capitalização, 
repartição simples e repartição de capitais de cobertura. 
 
6.1. Capitalização 
 
É o que vimos aqui na Aula 6, sobre prêmios e reservas. O 
financiamento dos benefícios é feito com o pagamento de prêmios 
periódicos (normalmente mensais ou anuais) mais os juros sobre as 
reservas, daí o nome do regime. O equilíbrio atuarial é alcançado 
quando o dinheiro guardado para pagamento dos benefícios (ativos) 
é igual à reserva matemática (as calculadas na Aula 6) necessária 
para pagá-los. 
Na prática, a reserva matemática dificilmente é igual aos ativos. 
Quando os ativos superam a reserva matemática, dizemos que há um 
superávit igual à diferença entre os dois. Caso contrário, essa 
diferença representa um déficit atuarial, ou passivo atuarial. 
O superávit ou o déficit podem ter várias origens, todas 
baseadas em discrepâncias entre o previsto e o observado. Sem 
pretensão de sermos exaustivos, podemos citar algumas diferenças e 
seus efeitos prováveis5 (superávit ou déficit): 
• Taxa de retorno nos investimentos maior que a prevista 
(superávit); 
• Mortalidade maior que a prevista em seguros de vida 
(déficit); 
• Mortalidade maior que a prevista em pensões (superávit); 
• Lei aumentando a idade de aposentadoria (superávit). 
 
O regime de capitalização é o melhor de todos, pois apesar de 
não evitar o famigerado passivo atuarial, o mantém sob relativo 
controle. Em um plano de pensão patrocinado por uma empresa, por 
 
4 Parece óbvio, mas os deputados não sabem disso. 
5 Os efeitos são prováveis, e não certos, pois há sempre múltiplos fatores influenciando o equilíbrio 
atuarial. Seriam certos se todas as outras hipóteses previstas fossem idênticas às observadas. 
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exemplo, se em determinado momento houver um passivo atuarial, 
ela pode aumentar sua contribuição para reduzir o passivo 
gradativamente ou fazer um aporte único e zerar o déficit. O fato é 
que nesse regime, na pior das hipóteses, sabemos o valor do passivo 
atuarial pelo menos uma vez ao ano, por ocasião das avaliações 
atuariais, quando, entre outras coisas, se calcula esse passivo. 
Características do regime de capitalização: 
• Prêmios constantes;6 
• Constituição de reserva matemática de benefícios a 
concedidos e a conceder. 
 
6.2. Repartição simples 
 
É a pirâmide legalizada. Mais que legalizada, é o regime adotado 
pelo próprio governo federal para pagamento das aposentadorias de 
seus servidores. 
Uma pirâmide no melhor estilo Madoff funciona da seguinte 
forma. Algumas pessoas começam colocando um dinheiro. Outras 
pessoas entram, pagando rendimento aos que entraram antes. E 
assim outras pessoas vão entrando e o bolo aumenta. 
E somente enquanto tiver otário para entrar (pois os espertos 
serão os primeiros a sair) a pirâmide funciona bem, já que o 
fenômeno da geração espontânea de riqueza é apenas um mito. 
Num determinado momento, a massa está tão grande, que o 
dinheiro dos que entram não é suficiente para pagar o rendimento 
dos que já estão. Aí desmorona a pirâmide e quase todos quebram 
(menos os que saíram antes). 
Pode parecer muito primário por parte dos entrantes, mas as 
pirâmides se renovam (boi, avestruz, ações de tecnologia americanas 
em 1999, subprime). 
Voltando para o regime de repartição simples. Como funciona? 
Os 11% que vão ser descontados do seu salário da SUSEP não vão 
para você, e sim para uma pessoa que já está aposentada7. Quando 
você se aposentar, o ciclo se renova, e será a sua vez de receber. 
Mas lembram que para a atuária só importa como é financiado, 
e não quem paga? 
No regime de repartição, independente de quem paga, não são 
constituídas reservas, pois o que é pago vai integralmente para o 
pagamento de benefícios, ou seja o pagamento do risco. Este regime 
 
6 Apesar de os prêmios não terem de ser constantes do ponto de vista matemático, em grande parte dos 
casos são, e a ESAF assim considera. 
7 Na verdade vão para o caixa geral do governo, de onde sai o pagamento dos benefícios. 
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é indicado para custear benefícios de curta duração e cujas despesas 
mostrem certa estabilidade, como auxílio-doença. 
No Brasil de muitos anos atrás, no âmbito do regime geral do 
INSS, havia muitos jovens e pouquíssimos aposentados. Dessa 
forma, muitos pagavam para poucos e a contribuição per capita era 
muito pequena. Essa realidade não é mais atual, e o problema do 
envelhecimento da população só agrava a situação. Na verdade, os 
sistemas de aposentadorias no mundo todo passam por sérios 
desafios em consequência desseenvelhecimento. Isso não 
aconteceria se, desde o começo, fosse adotado o regime de 
capitalização. 
Solução para o problema: os governos calcularem o passivo 
atuarial, ou seja, o VPA dos benefícios a pagar menos o VPA das 
contribuições a receber, e aportarem o valor desse passivo. Uma vez 
feito isso, cada trabalhador e aposentado teria sua própria conta 
individual com a sua reserva. No caso dos trabalhadores, suas 
contribuições acumulariam com as reservas até o momento da 
aposentadoria, quando os benefícios seriam pagos dessa reserva. 
Parece simples do ponto de vista matemático, mas para os 
governantes é mais fácil empurrar o problema para o governo 
seguinte. 
Características do regime de repartição simples: 
• Prêmios (pagamentos) variáveis; 
• Não há constituição de reserva matemática. 
 
6. (Analista Técnico – SUSEP – 2001 – ESAF) 
Sob o prisma atuarial, um Seguro contra o risco de morte, elaborado 
segundo o Regime de Capitalização e com prêmio parcelado 
(fracionado), terá a seguinte evolução: 
A) Prêmio inicialmente previsto como constante ao longo do tempo; 
Com constituição de Reserva ou Provisão Matemática de Benefícios 
Concedidos; Prêmio mais baixo em relação aos Seguros elaborados 
em outros regimes financeiros – Repartição. 
B) Prêmio inicialmente previsto como progressivamente decrescente 
ao longo do tempo; Sem constituição de Reserva ou Provisão 
Matemática de Benefícios a Conceder; Prêmio mais baixo em relação 
aos Seguros elaborados em outros regimes financeiros – Repartição. 
C) Prêmio inicialmente previsto como constante ao longo do tempo; 
Com constituição de Reserva ou Provisão Matemática de Benefícios a 
Conceder; Prêmio mais elevado em relação aos Seguros elaborados 
em outros regimes financeiros – Repartição. 
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D) Prêmio inicialmente previsto como progressivamente crescente ao 
longo do tempo; Sem constituição de Reserva ou Provisão 
Matemática de Benefícios Concedidos ou a Conceder; Prêmio mais 
elevado em relação aos Seguros elaborados em outros regimes 
financeiros – Repartição. 
E) Prêmio inicialmente previsto como progressivamente crescente ao 
longo do tempo; Com constituição de Reserva ou Provisão 
Matemática de Benefícios a Conceder; Prêmio mais elevado em 
relação aos Seguros elaborados em outros regimes financeiros – 
Repartição. 
 
Resolução 
 
O problema compara o regime de capitalização com o de 
repartição simples. 
 O enunciado fala em prêmio fracionado, mas entendemos como 
em oposição ao prêmio único. Sendo anual ou pago k vezes ao ano, a 
análise será idêntica. 
O seguro é contra o risco de morte. Seria da família do Ax. 
Vimos que os prêmios para esse seguro são constantes ao longo do 
tempo. Eliminamos as opções B, D e E. 
 No regime de capitalização sempre são constituídas reservas. 
Como este caso se trata de seguro de vida, a reserva é de benefícios 
a conceder.8 Dessa forma sobrou só a letra C. Mas vamos analisar a 
última informação. 
 Como no regime de capitalização são constituídas reservas, os 
prêmios pagos inicialmente servem para cobrir o risco de morte e 
para formar a reserva. Já no regime de repartição simples, como não 
há constituição de reservas, o prêmio sempre pagará somente o risco 
de morte. Dessa forma, os prêmios no regime de capitalização são, 
inicialmente, mais elevados que os do regime de repartição simples. 
 Posteriormente essa situação se inverte: os prêmios pagos no 
regime de capitalização vão ser somados às reservas para o 
pagamento dos benefícios. Assim, numa fase posterior, os prêmios no 
regime de capitalização são mais baixos que os do regime de 
repartição simples. 
 Podemos tentar entender o IBA como tendo associado a palavra 
“evolução” ao período inicial de pagamentos. Pode até ser. 
Objetivamente falando, a opção C já estava definida. Faltam 10 dias 
 
8 Caso se tratasse de um benefício de pensão que está sendo pago, a reserva seria de benefícios 
concedidos. 
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para a prova. Não devemos perder nosso tempo com questões mal 
formuladas. O negócio é chegar na resposta. 
 
GABARITO: C 
 
7. (Analista Técnico – SUSEP – 2002 – ESAF) 
Sob o enfoque atuarial, um seguro contra o risco de morte, para uma 
pessoa de idade x, elaborado à taxa de risco e com prêmios anuais, 
terá seu prêmio previsto evoluindo de forma: 
A) constante ao longo do tempo; com constituição de Reserva ou 
Provisão Matemática de Benefícios a Conceder; e Prêmio inicialmente 
mais baixo em relação aos Seguros elaborados em outros regimes 
financeiros – Capitalização. 
B) progressivamente decrescente ao longo do tempo; com 
constituição de Reserva ou Provisão de Riscos Não Expirados; Prêmio 
inicialmente mais alto em relação aos Seguros elaborados em outros 
regimes financeiros – Capitalização. 
C) constante ao longo do tempo; com constituição de Reserva ou 
Provisão de Riscos Não-Expirados; Prêmio aos mesmos níveis dos 
Seguros elaborados em outros regimes financeiros – Capitalização. 
D) progressivamente crescente ao longo do tempo; com constituição 
de Reserva ou Provisão Matemática de Benefícios a Conceder; Prêmio 
inicialmente mais baixo em relação aos Seguros elaborados em 
outros regimes financeiros – Capitalização. 
E) progressivamente crescente ao longo do tempo; sem constituição 
de Reserva ou Provisão Matemática de Benefícios Concedidos ou a 
Conceder; Prêmio inicialmente mais baixo em relação aos Seguros 
elaborados em outros regimes financeiros – Capitalização. 
 
Resolução 
 
 A chave para resolver a questão é a expressão do enunciado 
“elaborado à taxa de risco”. Isso significa que os prêmios são 
pagos pelo regime de repartição simples, que ele compara com o 
regime de capitalização. 
 Essa questão então é o espelho da anterior. Assim, os prêmios 
no regime de repartição simples serão: 
• Crescentes ao longo do tempo, pois paga exatamente o risco do 
ano e o risco de morte só aumenta com o tempo; 
• Sem constituição de reserva; 
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• Prêmios mais baixos, inicialmente, em relação aos pagos no 
regime de capitalização. 
 
GABARITO: E 
 
6.3. Repartição de capitais de cobertura 
 
Este regime é muito parecido com o regime de repartição 
simples. 
A única diferença é que no regime de repartição de capitais de 
cobertura (RCC) é constituída reserva. Esta reserva, a cada período, 
deve ser suficiente para pagar os benefícios que são concedidos no 
próprio período. 
Exemplificando, quando uma pessoa se aposenta, é montada 
uma reserva para o pagamento de todos os seus benefícios. 
 
8. (Analista Técnico – SUSEP – 2006 – ESAF) 
Uma pessoa de idade x deseja contratar um Plano Individual de 
Pensão Anual para seu cônjuge e filhos; a formulação para 
determinação do xP da idade de contratação, no regime de 
Repartição de Capitais de Cobertura, é dado por: 
A) )12(11/11/ )( Raaq znyx +−+ + &&&& 
B) Raaq zzyx )( 124/11/ +−+ + 
C) Raaq zzyzx )( 24//24 −− + 
D) xzyx ERaaq 11124/ )( ×+ +− &&&& 
E) )12(24/ )( Raaq zzyx &&&& −+ 
 
Resolução 
 
Na Aula passada resolvemos uma questão da ESAF (CGU-2008, 
exercício de fixação n. 3), e eu julgava que a banca não poderia fazer 
pior. Ledo engano. 
 Mais uma vez, nada é definido. O enunciado deveria definir: 
• Se os pagamentos são antecipados ou postecipados; 
• Quem são (y) e (z); 
• Quantos filhos; 
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• Em que período serão pagos os benefícios (se até os 24 anos do 
filho, por exemplo).Entendemos que a questão pede o valor da reserva a ser 
constituída imediatamente. 
O importante é chegar na letrinha que a ESAF quer, OK? Como 
nada foi definido, vou usar uma dose de bom senso para chegar na 
resposta mais provável. Isso não é matemática, é sobrevivência. 
 Primeiro ponto: No RCC, a reserva constituída deve ser 
suficiente para pagar os benefícios que são concedidos no próprio 
período. Mas não sabemos se no período de um ano esse benefício 
será concedido. Isso só ocorrerá se (x) morrer, com probabilidade qx. 
Somente se ele morrer é que será montada a reserva, e não antes, 
como disse o problema. Entretanto, isso não nos prejudica, pois todas 
as opções contêm qx na resposta. 
 Num caso como esse, não tem jeito: tem de analisar opção por 
opção e procurar algum sentido em alguma delas. 
A) VPA de duas anuidades, uma paga durante um ano e outra 
durante n-1 anos. Não faz muito sentido para cônjuge e filho(s). 
B) VPA de duas anuidades, uma paga durante um ano e outra até 
uma pessoa de idade z+1 completar 25 anos. Continua Mandrake. 
C) VPA de duas anuidades, uma paga a (z) até ela completar 24 anos 
( zz a−24/ ) e outra paga a (y) após (z) completar 24 anos )( /24 yz a− . 
Bom, isso faz sentido. Uma pensão paga ao filho (z) até seus 
24 anos, quando o benefício reverte para a mãe (y). Tudo isso 
multiplicado por R, que no caso é a renda anual paga. 
D) VPA de renda imediata multiplicado por 1Ex? Isso não faz sentido. 
E) VPA de duas anuidades, uma paga a (z) até ela completar 24 anos 
( zz a&&−24/ ) e outra paga a (y) vitaliciamente. Também faz sentido. O 
que não faz sentido é a multiplicação por um fator )12(R , normalmente 
usado pela ESAF para designar rendas mensais, quando o enunciado 
diz que a pensão é anual. 
 
Do exposto, eu marcaria o item C, que também é o que consta 
do gabarito oficial. Não discuta com a banca, é o princípio básico. A 
questão pode ser mal formulada, mas o que queremos é só ganhar os 
pontos. 
 
GABARITO: C