lista de exercícios stewart funções vetoriais

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Universidade Federal de Pernambuco
CCEN - Departamento de Matemática
Disciplina: Cálculo 3
Prof: Everton Lima
UNIDADE II - 1
a
Lista
1. Encontre uma equação do plano tangente à superfície x = uv, y = u, z = v2, no ponto em
que u = 1 e v = −1. Essa superfície, denominada guarda-chuva de Whitney, é um exemplo
de superfície paramétrica que se auto-intersecta (Veja a Figura 1). [Resposta: x+ y+ z = 1]
Figura 1: Guarda-chuva de Whitney
2. Seja S a superfície de uma bola de futebol americano formada girando a curva x = cos z,
y = 0, −pi/2 ≤ z ≤ pi/2, ao redor do eixo z.
a) Parametrize a superfície S.
b) Calcule a área de S. [Resposta: 2pi[
√
2 + ln(1 +
√
2)]
c) Integre f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 sobre S. [Resposta: 4pi(2
√
2− 1)/3]
1
Dica item (b):
∫ √
1 + w2 dw =
w
2
√
1 + w2 +
1
2
ln(
√
1 + w2).
3. Seja S a porção do paraboloide z = x2 + y2 entre o plano z = 1 e z = 2. Encontre a área
da superfície de S. [Resposta: pi(17
√
17− 5
√
5)/6]
4. Considere que S é a parte do cone r(u, v) = u cos v i+u sin v j+uk para a qual 0 ≤ u ≤ 2v,
0 ≤ v ≤ pi/2.
a) Calcule a área da superfície de S. [Resposta:
√
2pi3/12]
b) Agora, considere que os parâmetros da equação vetorial de S são definidos por 0 ≤ u ≤ 1
e 0 ≤ v ≤ 2pi. Integre g(x, y, z) = x2 sobre S neste caso. [Resposta:
√
2pi/2]
5. Encontre a área da parte da superfície z =
h
a
√
x2 + y2 (a, h > 0) entre o plano xy e o
plano z = h. A superfície com essa equação é um cone circular reto de altura h e raio a.
[Resposta: pia
√
a2 + h2 ]
Figura 2: S: x+ y + z = 1 no primeiro octante.
6. Calcule a integral de superfície da função escalar f(x, y, z) = xz onde S é a parte do plano
x+ y + z = 1 que fica no primeiro octante, como mostrado na Figura 2. [Resposta:
√
3/24]
7. Seja S a parte do cone z =
√
x2 + y2 entre os planos z = 1 e z = 2.
a) Calcule a integral de superfície da função escalar f(x, y, z) = y2z2. [Resposta: 21pi
√
2]
b) Encontre o centro de massa se a superfície representa uma casca fina de densidade
δ(x, y, z) = 1/z2. [Resposta: (0, 0, 1/ ln 2)]
2
8. Integre f(x, y, z) = xyz sobre a superfície do cubo cortado a partir do primeiro octante
pelos planos x = 1, y = 1 e z = 1. [Resposta: 3/4 ]
Figura 3: Superfície S é igual a S1 ∪ S2 ∪ S3
9. Calcule ∫∫
S
z dS,
onde S é a superfície cujo lado S1 é dada pelo cilindro x
2 + y2 = 1, cujo fundo S2 é o circulo
x2 + y2 ≤ 1 no plano z = 0, e cujo topo S3 é a parte do plano z = 1 + x que está acima de
S2. A superfície S é mostrada na Figura 3. [Resposta: (3/2 +
√
2)pi ]
10. Calcule a integral de superfície da função escalar f(x, y, z) = x2yz onde S é a parte do
plano z = 1 + 2x+ 3y que está acima do retângulo [0, 3]× [0, 2].[Resposta: 171
√
14 ]
11. Encontre o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = z k através da esfera x2 + y2 + z2 = a2
orientada para fora. [Resposta: 4pia3/3]
12. Seja S a porção da superfície z = 1 − x2 − y2 acima do plano xy e suponha que S seja
orientada para cima, como mostrado na Figura 4. Determine o fluxo para o campo vetorial
dado:
a) F(x, y, z) = x i+ y j+ z k através de S. [Resposta: 3pi/2]
b) F(x, y, z) = y i+ x j+ z k através de S. [Resposta: pi/2]
c) Considere a superfície fechada S ′ formada por S e pelo plano z = 0. Qual é o valor do
fluxo em S ′ para os itens anteriores? Justifique os resultados!
3
Figura 4: S: z = 1− x2 − y2 acima do plano xy
13. Encontre o fluxo exterior de F(x, y, z) = yz j++z2 k através da superfície S cortada do
cilindro y2 + z2 = 1, 0 ≤ z, pelos planos x = 0 e x = 1. [Resposta: 2]
14. Seja S a superfície de uma esfera unitária.
a) Calcule a área do hemisfério superior de S. [Resposta: 2pi]
b) Calcule a massa e o centro de massa do hemisfério superior de S se sua densidade é
constante. [Resposta: 2pi × (constante) e (0, 0, 1/2)]
c) Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = z i+y j+xk através de S. [Resposta:
4pi/3]
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