Primeira Lista de Exercícios Funções Vetoriais Matemática

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO - UFPE 
Centro Acadêmico do Agreste - CAA 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
Primeira Lista de Exercício 
 
1. Determine o domínio das funções vetoriais. 
 
a) 𝑟(𝑡) = 〈𝑡2 , √𝑡 − 1, √5 − 𝑡〉 b) 𝑟(𝑡) =
𝑡−2
𝑡+2
𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑗 + ln(9 − 𝑡2) �⃗⃗� 
 
2. Calcule os limites. 
 
a) lim𝑡→0+〈cos 𝑡, 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑡 𝑙𝑛 𝑡〉 b) lim𝑡→0 〈
𝑒𝑡−1
𝑡
,
√1+𝑡−1
𝑡
,
3
𝑡+1
〉 
 
3. Encontre uma equação vetorial e equação paramétrica para o segmento de reta que liga 𝑃 e 𝑄. 
 
a) 𝑃(0, 0, 0), 𝑄(1, 2, 3) b) 𝑃(−2, 4, 0), 𝑄(6, −1, 2) 
 
4. Mostre que a curva com equações paramétricas 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑦 = cos 𝑡, 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛2𝑡 é a curva de 
interseção das superfícies 𝑧 = 𝑥2 e 𝑥2 + 𝑦2 = 1. 
 
5. Em quais pontos a hélice 𝑟(𝑡) = 〈𝑠𝑒𝑛 𝑡, cos 𝑡, 𝑡〉 intercepta a esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 5? 
 
6. Mostre que a curva com equações paramétricas 𝑥 = 𝑡2 , 𝑦 = 1 − 3𝑡, 𝑧 = 1 + 𝑡3 passa pelos 
pontos (1, 4, 0) e (9, −8, 28), mas não passa pelo ponto (4, 7, −6). 
 
7. Se dois objetos viajam pelo espaço ao longo de duas curvas diferentes, é sempre importante 
saber se eles vão colidir. (Um míssil vai atingir seu alvo móvel? Duas aeronaves vão colidir?) 
As curvas podem se interceptar, mas precisamos saber se os objetos estarão na mesma posição 
no mesmo instante. Suponha que as trajetórias de duas partículas sejam dadas pelas seguintes 
funções vetoriais 
𝑟1(𝑡) = 〈𝑡
2, 7𝑡 − 12, 𝑡2〉 𝑟2(𝑡) = 〈4𝑡 − 3, 𝑡
2, 5𝑡 − 6〉 
para 𝑡 ≥ 0. As partículas colidem? 
 
8. a) Faça um esboço grande da curva descrita pela função vetorial 𝑟(𝑡) = 〈𝑡2 , 𝑡〉, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2, 
desenhe os vetores 𝑟(1), 𝑟(1,1) e 𝑟(1, 1) − 𝑟(1). 
b) Desenhe o vetor 𝑟′(1) começando em (1, 1) e o compare com o vetor 
𝑟(1, 1) − 𝑟(1)
0,1
 
Explique por que esses vetores estão tão próximos um do outro tanto em módulo quanto em 
direção e sentido. 
 
9. I) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada. 
II) Determine 𝑟′(𝑡). 
III) Esboce o vetor posição 𝑟(𝑡) e o vetor tangente 𝑟′(𝑡) para o valor dado por 𝑡. 
 
a) 𝑟(𝑡) = 〈𝑡 − 2, 𝑡2 + 1〉 𝑡 = 1 b) 𝑟(𝑡) = 〈𝑠𝑒𝑛𝑡, 2 cos 𝑡〉 𝑡 =
𝜋
4
 
c) 𝑟(𝑡) = 〈𝑒𝑡 , 𝑒3𝑡〉 𝑡 = 0 
 
10. Determine a derivada da função vetorial. 
 
a) 𝑟(𝑡) = 〈𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑡2 , 𝑡 cos 2𝑡〉 b) 𝑟(𝑡) = 〈𝑠𝑒𝑛−1𝑡, √1 − 𝑡2, 1〉 
c) 𝑟(𝑡) = 𝑒𝑡
2
𝑖 − 𝑗ln (1 + 3𝑡)�⃗⃗� d) 𝑟(𝑡) = 𝑡�⃗� × (�⃗⃗� + 𝑡𝑐) 
 
11. Se 𝑟(𝑡) = 〈𝑡, 𝑡2, 𝑡3〉, encontre 𝑟′(𝑡), �⃗⃗�(1), 𝑟′′(𝑡) e 𝑟′(𝑡) × 𝑟′′(𝑡). 
 
12. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pleas equações 
paramétricas, no ponto especificado. 
 
a) 𝑥 = 𝑡2 − 1, 𝑦 = 𝑡2 − 1, 𝑧 = 𝑡 + 1; (−1, 1, 1) 
b) 𝑥 = 𝑒−𝑡 cos 𝑡, 𝑦 = 𝑒−𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑧 = 𝑒−𝑡; (1, 0, 1) 
 
13. Determine o ponto de interseção das retas tangentes à curva 
𝑟(𝑡) = 〈𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡, 2 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡, cos 𝜋𝑡〉 nos pontos 𝑡 = 0 e 𝑡 = 0,5. 
 
14. Calcule a integral. 
 
a) ∫ (16𝑡𝑖 − 9𝑡2𝑗 + 25𝑡4�⃗⃗�)𝑑𝑡
1
0
 b) ∫ (𝑡2𝑖 + 𝑡√𝑡 − 1𝑗 + 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡 �⃗⃗�)𝑑𝑡
2
1
 
c) ∫(𝑒𝑡𝑖 + 2𝑡𝑗 + ln 𝑡 �⃗⃗�)𝑑𝑡 
 
15. Encontre 𝑟(𝑡) se 𝑟′(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑒𝑡𝑗 + 𝑡𝑒𝑡 �⃗⃗� e 𝑟(0) = 𝑖 + 𝑗 + �⃗⃗�. 
 
16. Determine o comprimento da curva dada. 
 
a) 𝑟(𝑡) = 〈𝑡2 , 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑡 cos 𝑡 , cos 𝑡 + 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡〉, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 
b) 𝑟(𝑡) = √2𝑡𝑖 + 𝑒𝑡𝑗 + 𝑒−𝑡 �⃗⃗�, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
c) 𝑟(𝑡) = 𝑖 + 𝑡2𝑗 + 𝑡3 �⃗⃗�, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
 
17. Seja 𝐶 a curva de interseção do cilindro parabólico 𝑥2 = 2𝑦 e da superfície 3𝑧 = 𝑥𝑦. 
Encontre o comprimento exato de 𝐶 da origem até o ponto (6, 18, 36). 
 
18. Reparametrize a curva com relação ao comprimento de arco medido a partir do ponto onde 
𝑡 = 0 na direção crescente de 𝑡. 
 
a) 𝑟(𝑡) = 2𝑡𝑖 + (1 − 3𝑡)𝑗 + (5 + 4𝑡)�⃗⃗� b) 𝑟(𝑡) = 𝑒2𝑡 cos 2𝑡 𝑖 + 2𝑗 + 𝑒2𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑡�⃗⃗� 
 
19. Suponha que você comece no ponto (0, 0, 3) e se mova 5 unidades ao longo da curva 
𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛 𝑡, 𝑦 = 4𝑡, 𝑧 = 3 cos 𝑡 na direção positiva. Onde você está gora? 
 
20. Encontre a curvatura. 
 
a) 𝑟(𝑡) = 𝑡2𝑖 + 𝑡�⃗⃗� 
b) 𝑟(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑡𝑗 + (1 + 𝑡2)�⃗⃗� 
c) 𝑟(𝑡) = 3𝑡𝑖 + 4𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑗 + 4 cos 𝑡 �⃗⃗� 
 
21. Em que ponto a curva 𝑦 = ln 𝑥 tem curvatura máxima? O que acontece quando 𝑥 → ∞? 
 
22. Dado o vetor tangente unitário �⃗⃗�(𝑡) a uma curva lisa 𝑟(𝑡), dentre os infinitos vetores 
ortogonais a ele, definimos 
�⃗⃗�′(𝑡)
‖�⃗⃗�′(𝑡)‖
 como o vetor normal principal unitário �⃗⃗⃗�(𝑡), comumente 
chamado de vetor normal. Esse vetor indica a direção para a qual a curva está se virando ponto 
a ponto. Encontre o vetor normal a 𝑟 no ponto indicado. 
 
a) 𝑟(𝑡) = 〈𝑡2 ,
2
3
𝑡3 , 𝑡〉 (1,
2
3
, 1) b) 𝑟(𝑡) = 〈cos 𝑡, 𝑠𝑒𝑛 𝑡, ln cos 𝑡〉 (1, 0, 0) 
 
23. Dados os versores tangente �⃗⃗� e normal �⃗⃗⃗� a uma curva 𝑟 definimos o vetor binormal 
�⃗⃗�(𝑡) = �⃗⃗�(𝑡) × �⃗⃗⃗�(𝑡). 
 
a) Explique por que podemos afirmar que estes três vetores são perpendiculares entre si. 
b) Mostre que o vetor binormal é sempre um versor. 
 
24. Suponha que a posição de uma partícula no tempo 𝑡 é dada pela função vetorial 𝑟. O vetor 
𝑟(𝑡 + ℎ) − 𝑟(𝑡)
ℎ
 
fornece a velocidade média num intervalo de tempo de comprimento ℎ. Seu limite 
�⃗�(𝑡) = lim
ℎ→0
𝑟(𝑡 + ℎ) − 𝑟(𝑡)
ℎ
= 𝑟′(𝑡) 
nos dá a velocidade instantânea em 𝑡. Com �⃗�(𝑡) = �⃗�′(𝑡) temos a aceleração da partícula. 
Suponha que um projétil em 𝑡 = 0 tem posição (0,1, −1) e velocidade 〈1, 0, 0〉. Se sua 
aceleração é dada por �⃗�(𝑡) = 〈2, 6𝑡, 12𝑡2〉 estabeleça a velocidade e a posição em 𝑡. 
 
25. Suponha que �⃗⃗� e �⃗� sejam funções vetoriais que possuem limites quando 𝑡 → 𝑎 e seja 𝑐 uma 
constante. Demonstre as seguintes propriedades dos limites. 
 
a) lim𝑡→𝑎[�⃗⃗�(𝑡) + �⃗�(𝑡)] = lim𝑡→𝑎 �⃗⃗�(𝑡) + lim𝑡→𝑎 �⃗�(𝑡) 
b) lim𝑡→𝑎 𝑐�⃗⃗�(𝑡) = 𝑐 lim𝑡→𝑎 �⃗⃗�(𝑡) 
c) lim𝑡→𝑎[�⃗⃗�(𝑡) ∙ �⃗�(𝑡)] = lim𝑡→𝑎 �⃗⃗�(𝑡) ∙ lim𝑡→𝑎 �⃗�(𝑡) 
d) lim𝑡→𝑎[�⃗⃗�(𝑡) × �⃗�(𝑡)] = lim𝑡→𝑎 �⃗⃗�(𝑡) × lim𝑡→𝑎 �⃗�(𝑡) 
 
26. Mostre que se 𝑟 é uma função vetorial tal que existe 𝑟′′, então 
𝑑
𝑑𝑡
[𝑟(𝑡) × 𝑟′(𝑡)] = 𝑟(𝑡) × 𝑟′′(𝑡). 
 
27. Mostre que a curvatura 𝜅 está relacionada com os vetores tangente e normal pela equação 
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑠
= 𝜅�⃗⃗⃗�. 
 
 
Bons Estudos!