Teoria dos Números e Teoria dos Conjuntos

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Álvaro Emílio Leite 
Nelson Pereira Castanheiro
Teoria dos A Teoria dos 
números ** conjuntos
Teoria dos 
números e teoria 
dos conjuntos
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E D I T O R A
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leitor por meio de recursos textuais e visuais, 
o que torna o conteúdo muito mais d inâmico. 
São livros que criam um ambiente de Inte­
ração com o leitor - seu universo cultural, 
social e de elaboração de conhecimentos 
possibilitando um real processo de interto- 
cuçào para que a comunicação se efetive.
Teoria dos 
números e teoria 
dos conjuntos
Álvaro Emílio Leite 
Nelson Pereira Castanheira
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intersaberes
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l J cd ;ác, 2014. 
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ceite, Álvaro Emi io
Teoria do;, números b teoria dos conjunto* [u-o i-totró-xo]/ 
Álvaro Emílio .cite. Nelsc-. ?çrr -a Casta nhei-a. - Cvrtiba: 
1-terSac-eres. 2014 (Cdeçao üesmistíftcandc a Matemétca; 
v. 1).
2 MO : PDF 
Bibliografia
ISSN 978-85-B212 882-4
I . Mate-nitica Estudo e c*síno 2. Números Teoria 3.
Teoria des conjuntos :. Cascsntwi-a, Nelson Pereira. II. Titule. III. 
Serio.
13073SS CDD-510.7
índices para catálogo sistemático:
1. Motcmát-ta: Estudo c ensino 510.7
Sumário
Dedicatória..------------- --------------------------- 9
Agracecimenios___________________________________ 1
Epígrafe___________________________________________'3
Apresentação da coíeção.-------- ------------------- '5
Apresentação da cfcra — ----------- --------------- ’ 7
Como aproveitar ao máximo este vro----------------*3
1. Teoria dos nú meros................~...............................21
1.1 Os números.-- --------- -- -------- ---------------— ...- ..— 23
1.2 Valor posicionai dos números inteiros-- ------------------ 26
2. Teoria des conjuntos......... ......................................31
2.1 Noções gerais— ...— ---------------- ----—... — ...— ...— 33
2.2 Notaçàoe representação.».... _...-...— ....— ..~ ...-....33
2.3 Relação de pertinência.. ...... - .... -...- ..... — ...- ...—... 34
2.4 Relaçáode inclusào... ... -...—...... — - .... —...35
2.5 Subconjuntos.— ...— .. ......- ....-...- .....— ...- ...—••• 35
2.6 Conjuntos iguais------------- 36
2.7 Conjunto unitário----------------------------- 36
2.8 Conjunto vazio... ------------- — ------------— 36
2.9 Conjunto finito-------------------- 37
2.10 Conjunto Infinito....— ----------- — 37
2.11 Conjunto das partes-....— ........-... — ..— ...—... -....38
2.12 Uniàoou reunião de conjuntos.... -...- ..... — ... - ...-...38
2.13 Interseção de conjuntos— .... - ...-...— ....— ... -...— 39
2.14 Diferença de conjuntos----------------------- 41
2.14.1 Diferença simétrica---------------------------------------- 42
2.15 Conjunto complementar— ------------------------------------ 43
2.16 Leis de Augustus de Morgan ........- ...- ...— ... -.... -... 43
3. Conjuntos numéricos........................................... 47
3.1 Conjunto dos números naturais (N)—.............. - -....49
3.1.1 Adição de númeios naturais------------------------ --— 49
3.1.2 Subtração de números naturais---------------------------- 52
3.1.3 Multiplicação de números natural............... ............. ............ 5*1
3.1.4 Divisão (ou quociente) de números naturais ..........................58
3.1.5 Potenciaçãode números naturais-..............- ....... ........... ......62
3.1.6 Radiciação ce números naturais— ................... .......... ......66
3.2 Conjunto dos números inteiros ou inteiros relativos (Z)— 69
3.2.1 Adição de números inte ros-......— .............. - .....—........ .....70
3.2.2 Subtração de números inteiros............................ —... ...7*
3.2.3 Multiplicação de números inteiros-................. ........—......—....7'.
3.2/1 Divisão de números inteiros-..-..— ...—......— ............. ........72
3.2 5 Potenciação de números inteiros—............................ ...............73
3.2.6 Radicai de números inteires.......................... ..........................73
3.3 Números racionais (Q).................. .........-...... -.................... -........-.... 74
3.3.1 frações-------------—------------------------------—....75
3-3.2 Frações equ valentes— .................... - ....— ........— .— 76
3.3.3 Múltiplos tíe um número natural—..................... —...... 78
3.3.4 Mínimo múltiplo comum (MMC)—...............— ....—........ ....78
3.3.5 Números pnmosc números compostos........—........ ......- .....79
3.3.6 Método da decomposição cm fato-es primos
(ou fato ração)............ ...........— ....— ..............— ......................79
3.3.7 Adição e subtração de frações......- ............................................ 80
3.3.8 Números mistos .. ...... —-------------- --—........ - ..............81
3.3.9 Multiplicação de frações----------- - ...— ......... .... - .....82
3.310 Divisão de frações.----- -- -------- —...— .........—-....—...84
3.3.11 Divisores de um número natural—................—....- .... - ......86
3.3.12 Máximo divisor comum (ViDC)....—................... — .. ...87
3.3.13 Potenciação do fraçúos.....—......— ................—....—.....- ...... 88
3.3.14 Fração irracional— ....—-- -------- -- --- -------- -- ---- 89
3.4 Conjunto dos números irracionais (I).............................. .......-....90
3.4.1 O número pi.......- ......— — .....— ...........................................9'
3.4.2 Radicais semelhantes— ..................... -.......... ........ ..........-.....92
3.4.3 Somae subtração de radicais semelhantes— ...... ........—....92
3.4.4 Multiplicação e divisão de radicais- ------------ ,— — 92
3.4 5 Introdução e retirada de fatores em um radical....................93
3.4.6 Radiciaçâotíe racfccals— ..............................— ......................93
3.4.7 Potenciação do radicais —.......—..............—......—........- 93
3.4.8 Transformação de expoente fracionárioem radicai-........ 94
3.5 Conjunto dos números reais (R)
3.5.1 Números decimais.....—........
94
95
3.5.2 Soma e subtração de números decimais...... .... _ ....- .....97
3.53 Multiplicação de números decimais------------- ------97
3.5.4 Divisão de números decimais-------------------------- 10O
3.5.5 Potências de números decimais— .....-....... —....—... .... 102
3.5.6 Potenciação de 10 - ---------------------------- 102
3.5.7 Dfel ma periódica............................... .......................... ....— 103
3.6 Conjunto dos números complexos (C) ....„.................-... ... 103
A. Reta nu mérica...................... ...........113
4.1 Intervalos—-- ------------ - ..... -......- .......... - .......-.....-....115
5. Construção de gráf ccs.........................121
5.1 Par ordenado....- ---------- - -- ------- --—.......- ...— 124
5.2 Produto cartesiano..........—........-....-......- .........—.......-..... 125
5.3 Gráfico de colunas--------- ------- --------—.......- ...— . 125
6. Exercícios de revisão..... .... ................. 131
Para conduir._________________________________________ 143
Referências...-__________- ....—........... - .... ............... ...... ...*44
Respostas -.... ........ — .... - ------ ------------- ------ '45
Sobre os autores..--------------- ------------- -------- ' 55
Dedicatória
Dedico este livro à minha filha, Gabriela, a quem amo muito e agradeço pela compreensão e pela 
colaboração durante a execução desta obra.
Álvaro Emílio Leite
Dedico este livro aos meus filhos, Kendric, Marcei e Marcella, a quem agradeço pelos momentos de 
alegria que dividimos e pela compreensão nos momentos em que estive ausente para escrevê-lo.
Nelson Pereira Castanheira
Agradecimentos
Primeira mente, agradecemos a Deus por nos permitir, durante tantos anos, transmitir nossos 
conhecimentos aos estudantes dos mais diversos locais do país.
Agradecemos aos amigos que sempre nos incentivaram a permanecer na docência, levando 
o conhecimento àqueles que desejam crescer intelectual e profissionalmente.
Em especial, agradecemos aos nossos filhos, que são inquestionavelmente nossa alegria de viver 
e dos quais estivemos afastados durante a realização desta obra.
Epígrafe
"Eu creio em mim mesmo. Creio nos que trabalham comigo, creio nos meus amigos e creio na minha 
família. Creio que Deus me emprestará tudo que necessito para triunfar, contanto que eu me esforce 
para alcançar com meios lícitos e honestos. Creio nas orações e nunca fecharei meus olhos para 
dormir, sem pedir antes a devida orientação a fim de ser paciente com os outros e tolerante com 
os que não acreditam no que eu acredito. Creio que o triunfo é resultado de esforço inteligente, 
que não depende da sorte, da magia, de amigos, companheiros duvidosos ou de meu chefe. Creio 
que tirarei da vida exatamente o que nela colocar. Serei cauteloso quando tratar os outros, como 
quero que eles sejam comigo. Não caluniarei aqueles que não gosto. Não diminuirei meu trabalho 
por ver que os outros o fazem. Prestarei o melhor serviço de que sou capaz, porque jurei a mim 
mesmo triunfar na vida, e sei que o triunfo é sempre resultado do esforço consciente e eficaz. 
Finalmente, perdoarei os que me ofendem, porque compreendo que às vezes ofendo os outros e 
necessito de perdão."
Mahatma Gandhi
Apresentação da coleção
Durante toda a elaboração desta coleção, estivemos atentos à necessidade que as pessoas têm 
de compreender a matemática e à dificuldade que sentem para interpretar textos que sào excessi­
vamente complexos, com linguajar rebuscado e totalmente diferente daquele que utilizam no seu 
cotidiano.
Procuramos empregar, então, uma linguagem fácil e dialógica, para que o leitor não precise con­
tar permanentemente com a presença de um professor, de um tutorou de um profissional da área.
Especial atenção foi dada, também, à necessidade do estudante em desempenhar com sucesso 
outras disciplinas que tenham a Matemática como pré-requisito e à importância de o docente poder 
dispor de um livro-texto que facilite o seu papel de educador.
Nossa experiência mostrou, ainda, que, para o total aprendizado da matemática, é de suma 
importância a apresentação de exemplos resolvidos passo a passo e que deem o suporte necessário 
ao estudante para a resolução de outros exercícios similares sem dificuldade.
Os autores
Apresentação da obra
Escrito em linguagem dialógica, ou seja, de fácil compreensão, este livro foi elaborado em capí­
tulos e estruturado para permitir sua aplicação tanto em cursos presenciais quanto em cursos de 
educação a distância.
O Capítulo 1 conta um pouco da história do surgimento dos números e como diferentes povos 
os utilizavam e os representavam, além de expor a organização dos números em ordens e classes. 
No Capítulo 2, são apresentadas a teoria dos conjuntos e as aplicações práticas desse conhecimento. 
No Capítulo 3 os conjuntos numéricos são examinados minuciosamente, desde os números 
naturais até os números complexos.
O Capítulo 4 trata da reta numérica e, como importante aplicação desse estudo, é abordada, no 
Capitulo 5, a construção de gráficos.
Finalmente, o Capítulo 6 contempla uma série de exercícios de revisão, que ajudarão o leitor a 
fixar todos os conceitos destacados nesta obra.
Boa leitura.
17
Como aproveitar 
ao máximo este livro
Este livro traz alguns recursos que visam enriquecer o seu aprendizado, facilitar a compreensão dos 
conteúdos e tornar a leitura mais dinâmica. São ferramentas projetadas de acordo com a natureza 
dos temas que vamos examinar. Veja a seguir como esses recursos se encontram distribuídos no 
projeto gráfico da obra.
Conteúdos do capítulo
Logo na abertura do capítulo, você fica 
conhecendo os conteúdos que nele serão 
abordados.
Após o estudo deste capítulo, 
você será capaz de:
Você também é informado a respeito das 
competências que irá desenvolver e dos 
conhecimentos que irá adquirir com o estudo 
do capítulo.
Tiportante!
Nesta seção, ganham destaque algumas 
informações fundamentais para a compreensão 
do conteúdo abordado.
Regra!
Esta seção sintetiza as regras que podem 
ser estabelecidas com base nos conceitos 
demonstrados.
Síntese
Você dispõe, ao final do capítulo, de uma síntese 
que traz os principais conceitos nele abordados.
Questões para revisão
Com estas atividades, você tem a possibilidade de 
rever os principais conceitos analisados. Ao final 
do livro, os autores disponibilizam as respostas às 
questões, a fim de que você possa verificar como 
está sua aprendizagem.
Teoria dos números
Conteúdos do capítulo:
■ Noçáo de número.
• Símbolos egípcios.
• Símbolos maias.
• Símbolos romanos.
• Sistema decimal.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. descrever ccmo surgiram os números:
2. representar um número com símbolos egípcios:
3. representar um número com símbolos malas:
4. representar um número com simoolos romanos;
5. representar qualquer número no sistema decimal.
6. identifica a ordem e a classe de um número no sistema ceei mal.
Cr
ed
ito
 F
ot
ol
ra
Capítulo 1 • Teoria dos números
Você já percebeu como os números sâo importantes em nossa vida? Diariamente, e a todo momento, 
estamos pensando em quantidades numéricas, seja para fazer uma medida, seja para fazer um 
pagamento, seja, até mesmo, para ver as horas. Este capítulo conta um pouco da história dos 
números. Faça uma leitura atenta e comece a entender de que maneira diversos povos criaram 
seus símbolos para representar as quantidades.
1.1 Os números
Você já parou para pensar em como surgiram os números? Em algum momento da história antiga, 
quando os seres humanos perceberam a necessidade de organizar seu dia a dia, surgiu também a 
necessidade de contar. Acredita-se que, bem antes da criação dos números, essa contagem era feita 
de forma rudimentar, com a utilização de objetos, como pedras. Conta a história que, no pastoreio, 
cada ovelha era representada por uma pedrinha que seu dono guardava em um recipiente, tal qual 
um saco de couro. Assim, ao final de um dia, o pastor conseguia identificar se estava faltando ou 
até mesmo sobrando alguma ovelha no seu rebanho, fazendo uma relação de um para um: cada 
pedrinharepresentava uma ovelha. A essa relação de um para um damos o nome de correspon­
dência biunívoca. Caso houvesse uma ovelha a mais no rebanho, bastava acrescentar uma pedri­
nha no saco; quando uma ovelha morria, bastava retirar uma pedrinha do saco. Veja a Figura 1.1.
Figura 1.1 - Relação biunívoca entre as ovelhas e as pedras
Outros tipos de marcação, entretanto, sugerem essa noção de relação biunívoca, como no caso 
de desenhos em cavernas, cortes em pedaços de madeira ou ossos e mesmo nós em cordas, os 
quais indicam a marcação de quantidades.
O homem jam ais parou de evoluir. No início, sua sobrevivência era garantida por aquilo que a 
natureza oferecia em quantidade e abundância, como frutas, peixes e caça. Levava, portanto, vida 
nômade. Depois, sentindo a necessidade de v iverem sociedade, passou à vida sedentária e, tendo 
local fixo de moradia, percebeu que precisava produzir a própria alimentação. Surgiram, assim, 
os primeiros povoados e, com eles, a necessidade de registrar as quantidades de pessoas, de ani­
mais, de alimentos, entre outras.
23
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
Cada povo passou, então, a representar essas quantidades com símbolos próprios, dando origem 
à escrita numérica e aos diferentes sistemas de numeração.
Os egípcios, por exemplo, representavam os algarismos de 1 a 9 por traços verticais, com uma 
lógica representativa, conforme ilustrado na Figura 1.2.
Figura 1.2 - Representação dos algarismos de 1 a 9 pelos egípcios
1 2 3 4 S 6 7 8 9
1 I I I I I m i m u m m m i m m m i i i i i i i i i i i
A partir do número 10, as representações eram diferentes. Para representar o número 10, os 
egípcios utilizavam o símbolo n . Esse símbolo representava um calcanhar. Dez calcanhares, que 
valem 100, eram representados por uma espiral (<?), que significava um rolo de corda. Dez espirais, 
que valem 1000, eram representadas por um novo símbolo, que era a figura da flor de lótus ( ] |) .
Resumidamente, os símbolos utilizados pelos egípcios para compor seu sistema de numeração 
estão indicados no quadro a seguir.
Quadro 1.1 - Símbolos egípcios
Cada sistema de numeração tem regras próprias, que permitem a representação de qualquer 
número. Para compreender melhor a numeração no sistema egípcio, veja alguns exemplos:
123 - *? n n I I I
564 - ? ? ^ ? n n n n n n | | | |
100234 - o 1! ? n n n 1111
Os maias, por sua vez, tinham o ponto e o traço para a representação dos números de 1 a 19. 
Trata-se de um sistema de numeração vigesimal, ou seja, sua base é 20. O zero, entretanto, é 
representado por uma concha, como você pode ver na Figura 1.3.
2 4
AIvaío • N tlíO nfVe iliC ííU nh# u
Capítulo 1 • Teoria dos números
Figura 1 .3 - Representação dos algarismos de 0 a 19 pelos maias
3 4
• • • • • • • • • •
5 6 7 3 O
• • • • • • • • • •
TÚ. 11 12 3 14
• • • • • • • • • •
IS 15 17 19
• • • • • • • • • •
Do 20 em diante, os números têm seus algarismos escritos na vertical e são lidos de cima para 
baixo. Então, o número 20 se escreve do seguinte modo:
• 1 • 20‘ = 201
20 + 0 = 20
® 0 • 20° = 0 |
O número 3 345 é assim representado:
U I 8 • 20J = 8 • 400 = 3 200
7 • 20' = 140 
5 • 20° = 5 • 1 = 5
3200 + 140 + 5 = 3 345
Os romanos, por sua vez, utilizavam combinações de diferentes símbolos para a representação 
de seu sistema de numeração. Veja o Quadro 1.2.
Quadro 1.2 - Representação dos algarismos de 1 a 10 pelos romanos
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 III IV V VI VII VIII IX X
O sistema de numeração romano, mais sofisticado, é composto pelas letras I , V, X , L, C, D, M, 
todas maiusculas. O valor que cada uma das letras representa está indicado a seguir:
■ I ........... .......... 1
• V .......... ......... 5
• X .......... .......... 10
• L .......... ......... 50
• C .......... .......... 100
• O ......... ......... 500
• M ......... ......... 1000
25
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
Para a representação de números romanos, é necessário conhecer algumas regras:
a. A letra que está à direita de outra de maior valor é somada.
Exemplo: LX = 60
b. A letra que está à esquerda de outra de maior valor é subtraída.
Exemplo: XL = 40
c. Somente três letras podem se repetir e no máximo três vezes. São elas: I, X, C.
Exemplo: XXX - 30
d. As letras X, l , C, D, M sáo somadas quando colocadas lado a lado.
Exemplo: MDCL ■ 1 000 + 500 + 100 + 50 - 1 650
e. A letra que está entre duas de maior valor tem o seu valor subtraído da letra que está à direita.
Exemplo: CXL = 140
f. Quando há um traço acima de uma ou mais letras, o valor destas é multiplicado por mil.
Exemplos: LX - 60000
M = 1000 000
Vejamos, então, como sâo representados, no sistema romano, os números abaixo:
123 = CXXIII 
564 - DLXIV
E nós, brasileiros, que sistema de numeração utilizamos?
Nós representamos os números com a utilização do sistema indo-arábico.
Por que tem esse nome?
Porque foi um sistem a inventado pelos hindus, no século V, com apenas nove símbo­
los: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Somente no hnal do século VI foi introduzido o décimo símbolo, o zero. 
Mais tarde, no século V III , os árabes adotaram esse sistema e o difundiram pelo mundo, a partir 
da sua utilização pelos povos que dominaram (Ifrah , 1985). O sistema de numeração indo-arábico 
é também conhecido como sistema decimal de numeração, por constituir-se de dez símbolos para 
a representação de qualquer número. São eles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Há relatos de que a designação de decimal se dá pelo fato de nossas duas mãos, juntas, apre­
sentarem dez dedos e as pessoas fazerem uso deles para pequenas contagens.
Lembra-se do sistema maia, com base 20? Acredita-se que a base dos maias era vigesimal pelo 
fato de utilizarem os dedos dos pés e os dedos das mãos para a contagem.
1.2 Valor posicionai dos números inteiros
O sistema de numeração usado no Brasil, o sistema decimal, é posicionai. Isso significa que um 
mesmo algarismo pode assumir diferentes valores, dependendo da posição que ele ocupa no nume­
ral. Cada posição ocupada por um algarismo é chamada de ordem.
26
AIvaío • .'ickonPc-olii Castanho i*
Capítulo 1 • Teoria dos números
Assim, dizemos que o algarismo de primeira ordem denomina-se unidade simples, o de segunda, 
dezena sim ples e o de terceira, centena simples. Observe a representação dessas ordens no 
Quadro 1.3.
Quadro 1.3 - Organização dos algarismos em ordens
3a ordem 2a ordem I a ordem
centenas simples dezenas simples unidades simples
Preste bastante atenção: a primeira ordem é representada na posição mais à direita do número. 
Por exemplo, o número 839 tem 9 unidades simples, 3 dezenas simples e 8 centenas simples. 
Cada dezena é composta por 10 unidades, e cada centena é composta por 10 dezenas, ou seja, 
por 100 unidades.
Assim , o número 839 é igual a 800 + 30 + 9, que é o resultado das seguintes operações: 
8 • 100 + 3 • 10 + 9.
A cada três ordens, temos o que chamamos de classe. Assim, quando um número tem mais de 
três algarismos, temos mais de uma classe. A primeira classe é a das unidades simples, a segunda 
classe é a dos milhares, a terceira classe é a dos milhões, a quarta classe é a dos bilhões, a quinta 
classe é a dos trilhões e assim sucessivamente. Veja o Quadro 1.4.
Quadro 1.4 Organização dos algarismos em classes e ordens
3* daste 
(milhões)
2* dasse 
(milharas)
; 1* dasse 
(unidades simples)
9a ordem 8a ordem 7a ordem 6a ordem 5a ordem 4a ordem 3a ordem 26 ordem I a ordem
centenas do dezenas de unidades de centonas de dezenas de unidades de centenas dezenas unidades
milhão milhão milhão milhar milhar milhar simples simples simples
Como exemplo, analisemos o número 47 321108 (lê-se "quarenta e sete milhões, trezentose 
vinte e um mil cento e oito"). Esse número tem 3 classes e 8 ordens.
Síntese
Ao ingressar no estudo da história dos números, percebemos a importância dessa invenção humana 
para todas as civilizações. Em algum momento da história antiga, quando os seres humanos perce­
beram a necessidade de organizar seu dia a dia, surgiu a necessidade de contar. Ao se constituírem 
os primeiros povoados e com eles a necessidade de registrar as quantidades de pessoas, de ani­
mais, de alimentos, entre outras, cada povo passou, então, a representar essas quantidades com 
símbolos próprios, dando origem à escrita numérica e aos diferentes sistemas de numeração. Cada 
sistema de numeração tem regras próprias, que permitem a representação de qualquer número. 
Nós, brasileiros, representamos os números com a utilização do sistema indo-arábico - um sistema
27
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
inventado pelos hindus, no século V, com apenas nove símbolos: 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 . Somente 
no final do século V I foi introduzido o décimo símbolo, o zero.
Questões para revisão
1. O número decimal 23 457 908 tem classes e ordens.
2. Escreva em algarismos romanos os números decimais a seguir:
a) 57
b) 108
c) 2 349
3. Escreva o número decimal 444 no sistema egípcio.
4. Escreva no sistem a decimal o número romano MMDCCLVIl.
5. Responda o que se pede, considerando os algarism os do sistem a decimal de numeração:
a) Qual é o maior número com 4 algarismos diferentes?
b) Qual é o menor número de 3 algarismos?
c) Qual é o maior número com 5 algarismos?
2 8
AIvaío • .'ickonPc-oiii Castanho ta
Teoria dos conjuntos
Conteúdos do capítulo:
■ Noçáo dc conju nto.
• Relações de pertinência e c e inclusão.
• Subconjuntos e tipos de conjuntos.
■ União e interseção de conjuntos.
• Diferença de conjuntos e conjunto complementar.
• Leis de Augustus de Morgan.
Após o estudo deste capítulo, você será capaz de:
1. definir o que se entende por conjvnta.
2. utilizar a teoria dos conjuntos para a solução de problemas cotidianos;
3. desdobrar um conjunto em seus diferentes suoconjuntos;
4. rea'izar a união e a interseção de conjuntos.
5. realizar a diferença de conjuntos e determinar c comoiementar de um conjunto dado:
6 . apücar as teis de Augustus ce Morgan na solução de prob emas práticos.
Capítulo 2 • Teoria dos conjuntos
Quando você ouve, no seu dia a dia, a palavra conjunto, o que vem a sua cabeça? Certamente, um 
grupo de pessoas tocando instrumentos musicais, não é mesmo? Essa noção será expandida com 
os conteúdos matemáticos que você estudará a seguir.
2.1 Noções gerais
Conjunto é todo agrupamento de objetos, flores, animais ou mesmo pessoas, desde que seus com­
ponentes tenham características semelhantes. Conjunto é, portanto, um aglomerado num todo de 
objetos determinados, os quais são chamados elementos do conjunto. Por exemplo, cada um de nós é 
um elemento do conjunto de moradores de determinada cidade.
Os conjuntos numéricos, que estudaremos adiante, são compostos por números.
2.2 Notação e representação
A notação de um conjunto é normalmente feita por uma letra maiuscula do nosso alfabeto. Assim, 
por exemplo, podemos definir como "A" o conjunto das vogais do nosso alfabeto. Há três maneiras 
de representar esse conjunto:
1. Nomear seus elementos, dentro de chaves, separados por vírgulas; trata-se de linguagem 
matemática.
Exemplos:
a) A = {a , e, i, o, u>, ou seja, A é o conjunto das vogais do nosso alfabeto.
b) B = {verde, amarelo, azul, branco), ou seja, B é o conjunto das cores da bandeira 
brasileira.
c) C = {4 , 6, 8, 10, 12, 14), ou seja, C é o conjunto dos números pares maiores que 2 e 
menores que 16.
Observe que, quando os elementos de um conjunto são letras, elas são denotadas por letras 
minúsculas.
2. Indicar uma propriedade característica dos seus elementos; também se trata de 
linguagem matemática.
Exemplos:
a) D = { x / x é u m número impar positivo e maior que 7>, ou seja, D = <9, 11, 13, 15, . . . ) ; as 
reticências indicam que o conjunto é infinito.
b) E = { x / x é uma letra do nosso alfabeto diferente de vogal), ou seja, E = {b , c , d, f, g, h, j , 
k, I, m, n, p, q, r, s, t , v, w, x , y, z).
c) F = {conjunto dos estados do norte do Brasil que começam com a letra A ), ou seja,
F = {Amapá, Amazonas, Acre).
33
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
3. Usar o chamado diagrama de Venn; trata-se de linguagem gráfica. 
Exemplos:
a) Sendo G o conjunto das letras que formam a palavra apartamento:
b) Sendo H o conjunto dos meses do ano que começam com letra diferente de "a":
CícStímo
'ftúverrb-c nraic J5f 
.dhc
ouxbic na’Ço i 
seternbc
c) Sendo I o conjunto dos números primos menores que 20:
£ 3 13
? 17
1 2
*5
2.3 Relação de pertinência
A palavra pertinência nos transmite a ideia de pertencer, ou seja, quando dizemos que um ele­
mento faz parte de um conjunto, podemos dizer que tal elemento pertence ao conjunto. Por exemplo, 
podemos dizer que o número 5 pertence ao conjunto dos números naturais; podemos dizer que 
a rosa pertence ao conjunto de flores que florescem no Brasil, e assim por diante. O símbolo e é 
uma versào da letra grega épsiion e significa, na matemática, "pertence".
Quando queremos indicar que um elemento x pertence a um conjunto A, utilizamos a seguinte 
notação:
x c A {que se lê "x pertence a A")
Em contrapartida, quando queremos representar que um elemento x não pertence ao conjunto A, 
representamos da seguinte forma:
x A {que se lê "x não pertence a A")
34
Alvwotrrulio^M« • .’toltonPcrfrlM Castanho <»
Capítulo 2 • Teoria dos conjuntos
Exemplos:
a) Seja B = {conjunto das cores da bandeira brasileira). Então, vermelho <2 B.
b) Seja V = {conjunto das vogais do alfabeto brasileiro). Então, i € V.
c) Seja Y = {conjunto dos algarismos ímpares menores que 59). Então, 77 € Y.
d) Seja M = {conjunto dos estados brasileiros). Então, Bahia s M.
2.4 Relação de inclusão
A noção mais simples de inclusão, quando estudamos a teoria dos conjuntos, refere-se ao fato de 
um conjunto conter ou não conter outro conjunto. É, portanto, errado nos referirmos ao fato de um 
elemento estar contido em um conjunto ou um conjunto conter determinado elemento.
Resumindo, enquanto a relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto, a relação 
de inclusão relaciona um conjunto a outro conjunto.
Suponhamos, então, os seguintes conjuntos A e B:
A = {2 , 4, 6, 8 >
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
Dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B ou, ainda, que o conjunto B contém o 
conjunto A.
Para representarmos matematicamente essa noção de inclusão, precisamos conhecer os símbolos:
■ c (que significa "está contido em");
■ <t (que significa "não está contido em");
• d (que significa "contém");
• Z> (que significa "não contém").
Assim, no exemplo anterior, temos:
A c B (que se lê A "está contido em B") 
ou
B d A (que se lê B "contém A").
2.5 Subconjuntos
Da relação de inclusão surge a noção de subconjunto. Se o conjunto B contém o conjunto A, então 
o conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Como todo elemento do conjunto A pertence ao 
conjunto A, deduzimos que todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
35
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
Pelo diagrama de Venn, representamos assim os conjuntos A e B anteriormente citados:
2.6 Conjuntos iguais
Dois ou mais conjuntos são iguais quando têm exatamente os mesmos elementos. Assim, se os 
conjuntos C e D são iguais, deduzimos que todo elemento do conjunto C pertence ao conjunto D e 
todo elemento do conjunto D pertence ao conjunto C. Dizemos que:
C = D (que se lê "C é igual a D")
Nesse caso, podemos ainda deduzirque C é um subconjunto de D e, simultaneamente, D é um 
subconjunto de C. Logo:
C c D (que se lê "C está contido em D") 
e
D c C (que se lê "D está contido em C")
2.7 Conjunto unitário
Um conjunto unitário é aquele que contém um único elemento. Por exemplo, representemos o 
conjunto K dos meses que iniciam pela letra *f". Temos que:
K = {fevereiro}
2.8 Conjunto vazio
Um conjunto vazio é aquele que não tem elementos. Nós o representamos ou pelo símbolo { } ou 
pelo símbolo ó, que é a letra grega phi.
Um conjunto vazio está contido em todos os conjuntos. É, portanto, um subconjunto de qual­
quer conjunto.
3 6
AIva ío • . 'ickonPc-olii Castanho i*
Capítulo 2 • Teoria dos conjuntos
2.9 Conjunto finito
Conjunto finito é aquele que tem uma quantidade limitada de elementos. Por exemplo, o conjunto 
das letras do nosso alfabeto é um conjunto finito porque podemos determinar facilmente a quan­
tidade dos seus elementos.
O conjunto finito pode ter todos os seus elementos escritos. Entretanto, nem sempre é fácil a 
representação de todos os elementos de um conjunto numérico, em razão da grande quantidade 
de elementos que ele tem. Por exemplo, como representar o conjunto R dos números inteiros 
positivos de 1 a 1 000?
Para facilitar a representação, utiliza-se o recurso das reticências, como apresentado a seguir:
R = <1, 2, 3, 4, 5........999, 1 000}
Já estudamos que os elementos de um conjunto, quando se utiliza a linguagem matemática, são 
separados por vírgulas. Mas precisamos redobrar a atenção com essa representação quando os 
elementos são números não inteiros. Por exemplo, seja o conjunto S representado pelo diagrama 
de Venn:
Como podemos representar esse conjunto S em linguagem matemática? Nesse caso, os ele­
mentos devem ser separados por ponto e vírgula, como a seguir:
S = {1 ,7 ; 2,5; 3,4; 4 ,0 ; 5,3}
É correta, entretanto, a separação dos elementos por vírgulas, como a seguir:
S = {1,7, 2 ,5 , 3,4, 4,0, 5,3}
2.10 Conjunto infinito
Conjunto infinito é aquele que tem uma quantidade ilimitada de elementos, como o conjunto de 
todos os números pares e inteiros. Nesse caso, empregamos o símbolo « j para representar a ideia 
de infinito, quando utilizamos o diagrama de Venn, e as reticências, quando utilizamos a linguagem 
matemática.
Esse símbolo (oo) foi utilizado pela primeira vez em 1655 pelo matemático inglês John Wallis.
37
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
O conjunto P dos números inteiros e pares seria assim representado: 
p = {2 , 4, 6, 8, 10, 12, ...}
:
8
10
2.11 Conjunto das partes
Consideremos um conjunto T. O conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto T é 
o conjunto das partes de T. Representamos por P(T). Lembre-se de que o conjunto vazio é um 
subconjunto de qualquer conjunto.
Então, se tivermos o conjunto T = {a , b, c>, o conjunto das partes de T será:
P(T) = {4>, {a }, {b }, {c>, {a , b>, {a , c>, <b, c>, {a, b, c »
2.12 União ou reunião de conjuntos
A união ou reunião de dois ou mais conjuntos é representada pelo símbolo o. Assim, se tivermos 
os conjuntos Q = {1 , 2, 3, 4 } e R = {2 , 4, 6, 8, 10), representamos a união ou reunião dos con­
juntos Q e R como:
Q j R = {1 , 2, 3, 4, 6, 8, 10}
Perceba que os elementos do conjunto Q c. R (que se lê "Q união R") pertencem ou ao conjunto 
Q ou ao conjunto R.
Observe que, quando um elemento existe em mais de um dos conjuntos a ser unido, ele é repre­
sentado uma única vez em uma região comum (região de interseção) entre os conjuntos. 
Representando esse exemplo por meio do diagrama de Venn, temos:
Em qualquer caso, Q j R = { x / x e Q o u x e R > .
3 8
AIvaío • .'ickonPc-oiii Castanho ta
Capítulo 2 • Teoria dos conjuntos
Suponhamos agora três conjuntos: A, B e C. As seguintes propriedades sào verdadeiras:
a. Reflexiva: A união de um conjunto com ele mesmo é igual ao própno conjunto.
A u A = A
b. Comutativa: A união de um conjunto A com um conjunto B é equivalente à união do conjunto B com o 
conjunto A.
A B = B ' A
Elemento neutro para a união: A união de um conjunto qualquer com o conjunto vazio resulta no próprio 
conjunto.
A J ♦ = A
d Inclusão relacionada: Se um conjunto A está contido em um conjunto 8, então, necessariamente, a união 
de A com B é equivalente a B.
A c B, então A B = B
e. Distributiva: A operação de unir A com B para, em seguida, unir o resultado com C é equivalente à 
operação de unir A com o resultado da união de B com C.
(A ' B) " C = A (B i C)
2.13 Interseção de conjuntos
A interseção de dois ou mais conjuntos dados é o conjunto cujos elementos pertencem simultanea­
mente a cada um dos conjuntos dados. Representamos a interseção pelo símbolo n.
Como exemplo, suponhamos os conjuntos A = {a , d, g, m>, B = {c , d, f, m, p> e C = {b , d, e, m, n}. 
O conjunto interseção de A, B e C é:
A n B n C = {d ,m >, pois apenas os elementos "d" e "m" pertencem simultaneamente aos três 
conjuntos dados.
39
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
Representando esse exemplo por meio do diagrama de Venn, temos:
A
c
A r i ' ! :
B
Em qualquer caso, A n B = { x / x e A e x e B>.
Suponhamos agora três conjuntos: A, B e C . As seguintes propriedades são verdadeiras:
a. Reflexiva: A interseção de um conjunto com ele mesmo é igual ao próprio conjunto.
A n A = A
b. Comutativa: A interseção de um conjunto A com um conjunto B é equivalente à interseção do conjunto 
B com o conjunto A.
A B = B n A
c. Elemento neutro para a união: A união ou interseção de um conjunto qualquer com o conjunto vazio 
resulta no próprio conjunto.
A r ♦ = A
c. Inclusão relacionada: Se um conjunto A está contido em um conjunto B, então, necessariamente, 
a interseção de A com B c igual a A.
A c B, então A n B = A
Distributiva: A operação de intersecionar A com B para, em seguida, intersedonar o resultado com C é 
equivalente à operação de intersecionar A com o resultado da interseção de B com C.
(A r B) r. C = A (8 n Q
4 0
AIvaío • .'ickonPc-olii Castanho i*
Capítulo 2 • Teoria dos conjuntos
É importante que você saiba que, quando a interseção de dois conjuntos quaisquer é igual a um 
conjunto vazio, ou seja, não há qualquer elemento comum aos dois conjuntos, eles se denominam 
conjuntos disjuntos.
2.14 Diferença de conjuntos
Quando temos dois conjuntos, representamos a diferença entre eles com o sinal de menos, sendo 
que os elementos pertencem a um conjunto, mas não pertencem ao outro. Como exemplo, supondo 
os conjuntos E = {1, 3, 5, 7 } e F = {1 , 2, 3, 4, 5, 6>, temos que a diferença entre E e F é:
E - F = {7>, ou seja, dos elementos de E excluímos os elementos comuns que pertencem ao 
conjunto F.
Analogamente, teríamos que a diferença entre F e E é igual a:
F - E = {2 , 4, 6 }
Em qualquer caso, A - B = { x / x e A e x e B > .
Suponhamos agora dois conjuntos: A e B. As seguintes propriedades são verdadeiras: 
ô. A diferença entre o conjunto A e o próprio conjunto A resulta no conjunto vazio, ou seja:
A - A = ó
b. A diferença entre o conjunto A e o conjunto vazio resulta no conjunto A, ou seja:
A - 4» = A
c. A diferença entre o conjunto A e o conjunto vazio resulta no conjunto vazio, ou seja:
ó - A = ó
c Se o conjunto A está contido no conjunto B, entáo a diferença entre A e B resulta no conjunto vazio, ou seja:
Se A c B, então A - B = 4
4 1
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
2.14.1 Diferença simétrica
A diferença simétrica entre dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que pertencem à união 
de A e B, mas não pertencem à interseção de A e B. Representamos a diferença simétrica de dois 
conjuntos pelo símbolo A.
Em qualquer caso, Q u R = {x / x e A u B e x $ A n B>.
Assim, A A B= (A u B) - (A n B).
Suponhamos agora três conjuntos: A, B e C. As seguintes propriedades são verdadeiras:
a. O conjunto A é um conjunto vazio se, e somente se, a diferença simétrica entre A e B for igual a B, ou seja:
A = $ se, e somente se, B = A A B
b. A diferença simétrica entre um dado conjunto e ele mesmo é igual ao conjunto vazio, ou seja:
A A A = é
c. Comutativa: A diferença simétrica entre A e B é equivalente à diferença simétrica entre B e A.
AA B = B AA
d. Distributiva: A interseção de A com a diferença simétrica entre B e C é equivalente à diferença simétrica 
da interseção entre A e B e a interseção entre A e C.
A (B A C) = (A n B) A (A C)
Associativa: A diferença simétrica entre Ae Bc , em seguida, com Cé equivalente à diferença simétrica 
de A com a diferença simétrica entre B e C.
(A A B) A C = A A (B A C)
f. A diferença simétrica entre A e B está contida na diferença simétrica entre A e C união com a diferença 
simétrica entre B e C, ou seja:
A A B c (A A C) U (B A C)
42
AIvaío • NtlíOnfVeiliCííUnh# i*
Capítulo 2 • Teoria dos conjuntos
Representando a diferença simétrica entre dois conjuntos A e B por meio do diagrama de Venn, 
temos:
i I
AAB
Como exemplo, suponhamos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4 ,10} e B » {1, 3 ,4 , 5, 6, 7, 10}. Temos 
que:
A A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10} - {1, 3, 4, 10} = <2, 5, 6, 7}
2.15 Conjunto complementar
Dados dois conjuntos A e B tais que B c A, chamamos complementar de B em A o conjunto B 
constituído pelos elementos do conjunto A que nào pertencem ao conjunto B. Em outras palavras, 
B = A - B.
Como exemplo, suponhamos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } e B = {1, 3, 6}. O comple­
mentar de B em A é:
B - {2 , 4, 5, 7}
Em qualquer caso, B = A - B = { x / x € A e x < z B } .
Representando esse exemplo por meio do diagrama de Venn, temos:
2.16 Leis de Augustus de Morgan
Augustus de Morgan foi um indiano que nasceu no início do século XIX. Ficou famoso por criar as 
leis que levam seu nome.
43
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
• Primeira lei: O complementar da união de dois conjuntos A e B é a interseção dos 
complementares desses conjuntos.
(A B) = Ã r B
« Segunda lei: O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção 
dos complementares desses conjuntos.
(A, u A , j A j j ... u \ ) = Ã j n Â2 n A 3 n ... n A n
• Terceira lei: O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a união dos 
complementares desses conjuntos.
(A B) = A u B
• Quarta lei: O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a união dos 
complementares desses conjuntos.
Tabela 2.1
(A, i A, i Aj i ... n An) = Àj j Aj A3
- Resumo dos símbolos utilizados na teoria dos conjuntos
•• u An
Símbolo Significado Símbolo Significado
e Perterce OO Infinito
« Náo pertence - Igual
c Está contido * Diferente
a Nào está contido > Maior que
D Contém < Menor que
A Náo contém £ Menor ou igual
u União Maior ou igual
n Interseção / Tal que
♦ Conjunto vazio -» Implica que (entào)
Síntese
Dando inicio ao estudo da teoria dos conjuntos, conceituamos e ilustramos neste capítulo a notação e 
a representação de um conjunto qualquer, bem como definimos as noções de pertinência e de inclusão 
de um elemento em um conjunto, o que nos permitiu examinar os diversos tipos de conjuntos. Com 
base nesses conceitos, você pôde compreender como realizar a união, a interseção e a diferença de 
conjuntos, com aplicações práticas nas mais diversas áreas do conhecimento.
4 4
AIvaío tiruJiOlM« • N tlíO n fVô luC ííU nh# <*
Capítulo 2 • Teoria dos conjuntos
Questões para revisão
1. Represente o conjunto A = {pera, banana, abacaxi, maçã) pelo diagrama de Venn.
2. Represente entre chaves o conjunto B a seguir:
B
3. Represente entre chaves o conjunto C = {x / x é um número par positivo e menor que 12}.
4. Utilizando os símbolos da relação de pertinência, complete as lacunas.
Seja o conjunto A ® {a, e, i, o, u}:
a) a A
b) A u
c) d A
5. Utilizando os símbolos da relação de inclusão, complete as lacunas.
Seja o conjunto B = {1, 2, 5, 10, 11} e o conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}:
a) B C
b) C B
c) {7 ,8 } C
d) B {1,11}
6. Dados os conjuntos E = {2, 4, 6, 8, 10} e F = { 1, 2, 3, 5, 7, 8, 10}:
a) Represente o conjunto E 1J F entre chaves.
b) Represente o conjunto E n F entre chaves.
c) Represente o conjunto F - E entre chaves.
7. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {5, 6, 7}, qual é o conjunto 
complementar de B em A?
8. Dados os conjuntos G = {a, b, c, d, e} e H = {a, e, i, o, u}, represente, pelo diagrama de 
Venn, o conjunto G u H.
9. Dados os conjuntos G = {a, b, c, d, e} e H = {a, e, i, o, u}, represente, pelo diagrama de 
Venn, o conjunto G n H.
10. Dados os conjuntos M = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e N = <2, 4, 5}, represente, pelo diagrama de 
Venn, o conjunto complementar de N em M.
45
Conjuntos numéricos
Conteúdos do capítulo:
• Conjunto dos números naturais.
• Conjunto des números inteiros.
• Conjunto dos números racionais.
• Conjunto des números irracionais
• Conjunto dos números reais.
• Conjunto dos números complexos.
Após o estudo deste capítulo,
1. realizar operações com os números naturais;
2 . reaüzar operações com os números inteiros:
3. reaüzar operações com os números raciona s;
4. reaüzar operações com os números irracionais:
5. realizar ooeraçõescom os números rea s.
ocê será capaz de
Cr
éd
ito
: C
le
vc
rs
on
 B
es
te
!
Capítulo 3 • Conjuntos numéricos
Os conjuntos numéricos são, sem dúvida, os mais importantes para a matemática. Estudaremos, 
a seguir, os principais conjuntos formados por números e suas propriedades. São os conjuntos dos 
números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.
3.1 Conjunto dos números naturais (N)
Os números naturais, os quais são representados por N, surgiram em decorrência da necessidade 
de contar objetos. Iniciando pelo zero e acrescentando, indefinidamente, uma unidade, obtemos 
os elementos desse conjunto, ou seja:
N = {0 , 1, 2, 3, 4, 5, . . . }
Caso excluamos do conjunto N o número zero, o conjunto é representado por N*. Assim:
N* = {1 , 2, 3, 4, 5, . ..}
3.1.1 Adição de números naturais
A operação de adição é utilizada quando desejamos juntar duas ou mais quantidades ou quando 
desejamos acrescentar uma dada quantidade a outra. Vejamos o exemplo a seguir.
4 9
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
3.1.1.1 Algoritmo da soma
Um algoritmo é uma sequência finita de instruções bem definidas.
Para que você entenda esse conceito, vamos fazer a seguinte soma:
1 584 + 457 + 793 =
1 584 A soma de 3 mais 7 mais 4 é igual a 14. Então, escrevemos 4 e vai 1.
457 A soma de 9 mais 5 mais 8 mais 1 é igual a 23. Então, escrevemos 3 e vai 2.
+ 793 A soma de 7 mais 4 mais 5 mais 2 é igual a 18. Então, escrevemos 8 e vai 1.
2 834 Assim, 1 mais 1 é igual a 2.
Vai 1 ou vai 2 para onde, afinal de contas?
Vamos refazer a conta considerando o valor posicionai dos algarismos.
«O $ S $o fO
e i I co
i 5 8 A
4 5 7
7 9 3
2 8 3 4
Na primeira posição, ou posição das unidades, só cabe um algarismo, mas a soma de 3 unidades 
mais 7 unidades mais 4 unidades é igual a 14 unidades. Por isso, temos de transformar 14 unidades 
em 1 dezena e 4 unidades. As 4 unidades mantivemos na posição das unidades e a dezena man­
damos para a segunda posição, ou posição das dezenas.
A segunda posição é a das dezenas. Temos nessa posição 23 dezenas, ou seja, 9 + 5 + 8 + 1 = 23 
dezenas. Nessa posição também só cabe um algarismo. Por isso, temos de transformar 23 dezenas 
em 2 centenas e 3 dezenas. As 3 dezenas mantivemosna posição das dezenas e as 2 centenas 
mandamos para a posição das centenas.
Na terceira posição, temos o total de 18 centenas, ou seja, 7 + 4 + 5 + 2 = 18 centenas. 
As 8 centenas mantivemos na posição das centenas e o milhar mandamos para a casa dos milhares. 
Por fim, na quarta posição, temos 2 milhares, ou seja, 1 + 1 = 2 milhares.
O resultado encontrado é lido assim: "dois milhares, oito centenas, três dezenas e quatro uni­
dades" ou, simplesmente, "duas mil oitocentas e trinta e quatro unidades".
3.1.1.2 Propriedades da adição
Apresentamos, a seguir, as principais propriedades da adição.
. Propriedade comutativa: Na adição de dois números naturais, a ordem das parcelas 
não altera a soma. Então, se a e b são dois números naturais quaisquer, temos que 
a + b = b + a.
50
AIvaío tiruJiOiM« • .'ickonPc-oiii Castanho ta
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Capítulo 3 • Conjuntos numéricos
Exemplo:
4 + 5 = 9
■ Propriedade associativa: Na adição de três ou mais números, podemos associar as parcelas 
de ordens diferentes. Então, se a, b e c são três números naturais quaisquer, temos que 
(a + b) + c = a + (b + c).
Exemplo:
(2 + 1) + 4 = ou 2 + (1 + 4) =
3 + 4 = 7 2 + 5 - 7
• Elemento neutro da adição: Na adição de um número natural com o zero, a soma 
é sempre igual ao primeiro. Então, se a é um número natural qualquer, temos que 
a + 0 = 0 + a = a. Portanto, o número zero é chamado de elem ento neutro da adição.
Exemplo:
3 + 0 = 3 ou 0 + 3 = 3
51
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
3.1.2 Subtração de números naturais
A operação de subtração é utilizada quando desejamos tirar uma quantidade de outra, ou, então, 
saber quanto uma quantidade tem a mais que outra, ou, ainda, saber quanto falta para que uma 
quantidade seja igual a outra. Vejamos os exemplos a seguir.
Um carro custa R$ 31000,00, enquanto outro custa RS 19 000,00. Qual é a diferença de preço entre os dois?
31000 - 19000 = 12 000
31 000 —> Tt JúTdü
- 19000 -* ■ •!.!• ■ I' ■
12 000 - * o fersnça ou ic í i
Kendric está lendo um livro que tem 134 páginas. Ele já leu 47 páginas. Quantas páginas faltam ser lidas 
por ele?
Portanto, Kendric ainda tem 134 - 47 = 87 páginas do livro a serem lidas.
3.1.2.1 Algoritmo da subtração
Como mencionamos ao tratar do algoritmo da adição, um algoritmo é uma sequência finita de ins 
truções bem definidas.
52
AIvaío tirnliOi.M« • NtlíO nfVeiliCííUnh# i*
Capítulo 3 • Conjuntos numéricos
Para que você entenda esse conceito, vamos fazer a seguinte subtração:
26 49- 1897 =
Temos 9 menos 7, o que é igual a 2.
Temos 4, que é menor do que 9. Por isso, emprestamos 1 do vizinho e ficamos com 14. 
2 649 Em seguida, temos que 14 menos 9 é igual a 5.
- 1 897 Observe que 5 é menor que 8. Novamente emprestamos 1 do vizinho.
0752 Ficamos agora com 15.
E 15 menos 8 é igual a 7.
Finalmente, 1 menos 1 é igual a zero.
O que em prestam os do vizinho? Vam os refazer a conta considerando o valor posicionai dos 
algarismos.
- 1
0 7
3
f* 9
9 7 
5 2
De 9 unidades tiramos 7 unidades; restaram 2 unidades. De 4 dezenas não podemos tirar 9 dezenas, 
pois 9 é maior que 4. Precisamos em prestar 1 centena da casa das centenas; 1 centena é igual 
a 10 dezenas, e a soma de 10 dezenas mais 4 dezenas é igual a 14 dezenas. Portanto, sub­
traindo 9 dezenas de 14 dezenas, obtemos 5 dezenas.
Na casa das centenas temos outra operação que, em princípio, não pode ser realizada com 
números naturais. Tínhamos 6 centenas. Como emprestamos 1 centena, só ficamos com 5 centenas. 
De 5 centenas não podemos tirar 8 centenas, pois 8 é maior que 5. Precisamos em prestar 1 milhar 
da casa dos m ilhares; 1 milhar é igual a 10 centenas, e a soma de 10 centenas m ais 5 centenas é 
igual a 15 centenas. Portanto, subtraindo 8 centenas de 15 centenas, obtemos 7 centenas.
Por fim, 1 milhar menos 1 milhar é igual a zero. Logo, o resultado da subtração é 752.
Observe que, para saber se a subtração está correta, podemos utilizar a operação inversa. Então:
Diferença ou resto + Subtraendo = Minuendo
No exemplo anterior:
752 ♦ 1897 = 2 649
53
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
3.1.2.2 Propriedades da subtração
Quanto às propriedades da subtração, devemos considerar as seguintes:
- Propriedade comutativa: A subtração não apresenta a propriedade comutativa, pois, dados 
dois números naturais a e b, temos que a - b * b - a.
- Propriedade associativa: A subtração não apresenta a propriedade associativa, pois, dados 
os números naturais a, b e c, temos que (a - b) - c * a - (b - c).
■ Elemento neutro da subtração: A subtração de números naturais não tem elemento neutro, 
uma vez que a - 0 = a, mas 0 - a = -a (-a não pertence ao conjunto dos números 
naturais).
3.1.3 Multiplicação de números naturais
A operação de multiplicação está associada a situações em que desejamos adicionar determinado 
número de parcelas iguais, ou, então, saber o modo como podemos dividir essas parcelas, ou, ainda, 
saber a proporção entre duas grandezas. Vejamos o exemplo a seguir.
6o andar = 4 apartamentos 
5o andar = 4 apartamentos 
4o andar = 4 apartamentos 
3o andar = 4 apartamentos 
2o andar = 4 apartamentos 
I o andar = 4 apartamentos
Cada andar de um prédio tem 4 apartamentos. Se o prédio tem 6 andares, qual é o número total de 
apartamentos?
4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 apartamentos 
ou
6 • 4 o 24 apartamentos
5 4
AlvAiotiTulioUf+j • N tlíO nfVe iliC ííU nh# i*
Capítulo 3 • Conjuntos numéricos
Perceba que uma multiplicação é uma soma de parcelas iguais. 
Vejamos agora mais um exemplo.
Quantas casas apresenta, no total, um tabuleiro de xadrez?
Observe que sào 8 linhas e em cada linha há 8 colunas. Portanto: 
8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 64 casas 
ou
8 • 8 = 64 casas no tabuleiro
3.1.3.1 Propriedades da multiplicação
Apresentamos, a seguir, as principais propriedades da multiplicação.
■ Propriedade comutativa: Na multiplicação de dois números naturais quaisquer, a ordem 
dos fatores não altera o valor do produto. Então, dados dois números naturais a e b, temos 
que a • b = b • a.
Exemplo:
3 • 5 = 15 ou 5 • 3 = 15
[ • • • • • • • •
■ ;{••••• • • •
iii
3 •
• Propriedade associativa: Na multiplicação, podemos associar os fatores de formas 
diferentes, pois o produto não se altera. Então, dados três números naturais a, b e c, 
temos que (a • b) • c = a (b • c).
Exemplo:
3 • 2 • 4 = ou 3 • 2 • 4 =
6 • 4 = 24 3 • 8 = 24
55
• Elemento neutro da multiplicação: Na multiplicação de qualquer número natural por 1, 
o produto é sempre igual a esse número. Então, se a é um número natural qualquer, 
temos que a • 1 = 1 • a = a.
Exemplo:
17 • 1 = 17 ou 1 • 17 = 17
• Propriedade distributiva: O produto de um número natural por uma soma é igual à soma 
dos produtos desse número por cada uma das parcelas. Então, dados três números 
naturais a, b e c, temos que a • (b + c) = a • b + a • c.
Exemplo:
3 • (2 + 4 ) = ou 3 • (2 + 4) =
3 - 6 = 18 3 • 2 + 3 • 4 =
6 + 12 = 18
Teoria dos números e dos
Regra!
Resolva primeiro o qje está oen.ro dos parênteses e somente depcis eíetje a mUt;p cação.
3.1.3.2 Algoritmo da multiplicação
Para que você entenda o algoritmo da multiplicação, vamos efetuar a seguinte operação:
27 • 12 = 324
27 -* 'ò:c 
x 12 -*
54 
4- 27
324 -» prodcto
Multiplicando 2 por 7, obtemos 14. Escrevemos o 4 e vai 1.
Multiplicando 2 por 2, obtemos 4. Esse 4 mais 1 é Igual a 5.
Observe que colocamos o resultado da primeira multiplicação ( 1 - 7 ) abaixo do 
penúltimo algarismo.
Assim, 1 vezes 7 é igual a 7. Colocamos o 7 abaixo do 5.
E 1 vezes 2é igual a 2.
Agora, passamos o traço e fazemos a soma.
Somando 4 mais nada, obtemos 4. Somando 5 mais 7, obtemos 12. Escrevemos 
o 2 e vai 1. Nada mais 2 é igual a 2. Esse 2 mais 1 é igual a 3.
Outra forma de representar a multiplicação de 12 por 27 é por meio da representação gráfica. 
Vamos utilizar os quadradinhos a seguir para visualizar a multiplicação anterior.
5 6
AlvAiofcird'OlM« • .'ickonPc-olii Castanho i*
Capítulo 3 • Conjuntos numéricos
o>
Na horizontal, temos 27 quadradinhos.
Observe que 12 multiplicado por 27 é igual a 324 quadradinhos.
Vamos decompor o número 12 em dezenas e unidades e verificar o que acontece com o desenho. 
Assim , temos 12 = 10 + 2, ou seja, 1 dezena mais 2 unidades.
54 + 270 = 324
Agora, vam os refazer a multiplicação levando em conta o valor posicionai dos algarismos. 
Vamos fazer a seguinte multiplicação: 27 • 12 = 324.
57
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
2 7 
x 1 2 
5 4
4 - 2 7 0
3 2 4
Temos 2 unidades vezes 7 unidades, o que é igual a 14 unidades.
14 unidades correspondem a 1 dezena mais 4 unidades. Por isso, deixamos 4 unidades na casa 
das unidades e colocamos 1 dezena a ser somada com as demais dezenas.
Em seguida, 2 unidades vezes 2 dezenas sào 4 dezenas, e 4 dezenas mais 1 dezena sào 5 dezenas.
O resultado de 1 dezena vezes 7 unidades são 7 dezenas, e o resultado de 1 dezena vezes 2 dezenas 
são 2 centenas.
Como na segunda linha não temos nenhuma unidade, completamos com zeros a casa corres­
pondente à unidade. Então, passamos o traço e fazemos a soma.
Somando 0 mais 4, obtemos 4. Somando 7 mais 5, obtemos 12. Escrevemos 2 e vai 1. Por fim, 2 
mais 1 é igual a 3.
A operação de divisão está associada a situações em que desejamos dividir quantidades em partes 
iguais ou, então, saber quantas vezes uma quantidade cabe na outra. Vejamos o exemplo a seguir.
Vamos dividir 30 balas entre 6 crianças, em partes iguais.
3.1.4 Divisão (ou quociente) de números naturais
30 -r 6 - 5
Essa divisão pode ainda ser representada com a utilização de um traço de fração:
58
AlvtfOEmbolou • NtlíOnfVeiliCííUnh# u
C 
Oe
vri
vy
ri
Capítulo 3 • Conjuntos numéricos
3.1.4.1 Algoritmo da divisão
Para que você entenda o algoritmo da divisão, vamos efetuar a seguinte operação: 
474 7 3 =
D vWerxk:
\
474
17
24
0
\
Divise
/
158
\
;jcciexs
Dividindo 4 por 3, obtemos 1.
1 vezes 3 é igual a 3 e para 4 falta 1. 
Abaixo o 7.
Dividindo 17 por 3, obtemos 5.
5 vezes 3 é igual a 15 e para 17 faltam 2. 
Abaixo o 4.
Dividindo 24 por 3, obtemos 8.
8 vezes 3 é igual a 24 e para 24 falta zero.
Para você entender os passos do exemplo anterior, vamos representar o número 474 por cen­
tenas, dezenas e unidades. Considere que:
I
□
É igual a uma centena
É igual a uma dezena 
É igual a uma unidade
Assim :
474 =
□ □
□ □
Como a divisão é por 3, vamos form ar três grupos:
5 9
Teoria dos núm eros e teoria dos conjuntos
Assim , tem os 4 centenas divid idas por 3, o que é igual a l e ainda sobra 1 centena.
5 •A2 jk3M ,X
4 7 4 |3
1 1
A centena que sobrou vam os transfo rm ar em 10 dezenas. Tem os agora 17 dezenas:
Vam os d istribuir a s dezenas entre os trê s grupos:
I I 3 B
2 1
| £
5
cp
4 7 4 |3
1 7 1 5
2
6 0
Álvaro Emál o ic ta • ’<«lson P w M Castanho i»
Capítulo 3 • Conjuntos numéricos
Temos 17 dezenas divididas por 3, o que é igual a 5 e sobram 2. Vamos transformar as dezenas 
que sobraram em 20 unidades. Temos, então, no total, 24 unidades.
Por fim, temos 24 unidades divididas por 3, o que é igual a 8. Não sobra resto.
□ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □ □
□ □ □ □ □ □ □ □ C D □ □
3.1.4.2 Propriedades da divisão
Quanto às propriedades da divisão, devemos considerar as seguintes:
- Propriedade comutativa: A divisão não apresenta a propriedade comutativa, pois, dados
dois números naturais a e b, sendo a diferente de b, temos que ã * £ .
b a
Exemplo:
(10 -r 5) * (5 -r 10)
• Propriedade associativa: A divisão não apresenta a propriedade associativa, pois, dados os 
números naturais a, b e c, temos que (a r b) r c í a t (b t c).
Exemplo:
(10 -r 5) V 2 * 10 «r (5 -T 2)
61
Teoria dos núm eros e te o ria dos con jun tos
• Elemento neutro da divisão: A divisão de números naturais nào tem elemento neutro, uma 
vez que 2 dividido por 1 é igual a 2, mas 1 dividido por 2 não pertence ao conjunto dos 
números naturais.
3.1.4.3 Critérios de divisibilidade
Há regras que nos permitem saber se um número é divisível ou não por outro número, sem a 
necessidade de efetuarmos a divisão.
Quadro 3.1 - Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por Critério: se Exemplos
2 o algarismo das urklades for par (o número termina em 0, 2, 4, 6, 8) 342
800
646
3 a soma dos açarismos do número for divisível por 3 333
573
135
4 os dois últimos aiçarismos do número forem divisíveis por 4 ou o número 
terminar cm 00
1144 
7 004 
2 500
5 o número terminar em 5 ou em 0 565
1350
1675
6 o número for simultaneamente divisível por 2 e por 3 222
1290
660
8 os três últimos algarismos do número forem divisíveis por 8 ou o número 
terminar cm 000
4 016 
9000 
2888
9 a soma dos a çarismos do número for divisível por 9 1422
801
909
10 o número terminar em 0 100 
47 300 
89 560
3.1.5 Potenciação de números naturais
A potência de um número natural é a multiplicação desse número por ele mesmo. O número natural 
é a base da potência, e a quantidade de vezes que ele será multiplicado por ele mesmo é o expoente 
da potência. Representamos assim:
N* = N • N^N . . . N
"a" vezes
O número N é multiplicado por ele mesmo a vezes.
6 2
Alvi/oEirm ot-rta • •<«lionl>«rm C»sunhc u
Capítulo 3 • Conjuntos numéricos
Expõe r s » S 
^ Base « 2
O expoente Indica quantas vezes precisamos multiplicar a base por ela mesma. Assim: 
23 = 2 • 2 - 2 = 8
3.1.5.1 0 quadrado de um número
Quando um número N está elevado ao expoente 2, lemos "N ao quadrado", ou seja, no caso de 102, 
por exemplo, lemos "dez ao quadrado". Como 10* = 10 • 10, temos que 10? = 100.
Analisemos as figuras a seguir para o completo entendimento do quadrado de um número natural.
1 l 2 = 1 * 1 = 1 Temos apenas 1 quadradinho.
2 22 = 2 • 2 = 4 Temos um total e 4 quadradinhos.
2
3 32 = 3 • 3 = 9 Temos um total de 9 quadradinhos.
3
4
4
42 = 4 • 4 = 16 Temos um total de 16 quadradinhos.
5 52 = 5 • 5 = 25 Temos um total de 25 quadradinhos.
5
Observe que temos igual quantidade de quadradinhos tanto na base quanto na altura dos 
desenhos.
6 3
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
3.1.5.20 cubo de um número
Quando um número N está elevado ao expoente 3, lemos "N ao cubo". Assim, no caso de IO3, por 
exemplo, lemos "10 ao cubo". Como 103 = 10 • 10 • 10, temos que 103 = 1000.
Analisemos as figuras a seguir para o completo entendimento do cubo de um número natural.
GJli 1
í 3 = i ■ i • i = i 
Temos um único cubinho.
/ r - y
/
/ / 3
23 = 2 • 2 • 2 = 8 
Temos 8 cubinhos.
33 = 3 • 3 ■ 3 = 27 
Temos 27 cubinhos.
/ / / 7 — / /
/
\ \
y
4
43 = 4 • 4 • 4 = 64 
Temos 64 cubinhos.
Vejamos o exemplo a seguir:
Um prédio tem 4 andares. Cada andar tem A apartamentos. Em cada apartamento residem 4 pessoas. Como 
podemos representar o número de pessoas que moram no prédio?
Basta fazer a conta: 45 = 4 • 4 • 4 = 64 pessoas.
3.1.5.3 Definições importantes
Em operações de potenciação, é necessário atentar para os seguintes aspectos:
a. Qualquer número natural diferente de zero que seja elevado a zero é igual a 1.
Exemplos:
45° = 1 3 789° = 1 2° = 1
6 4
AlvAiofcird'OlM« • .'iclMMtPc-oliiCasUriho
Capítulo 3 • Conjuntos numéricos
b. Todonúmero natural elevado à unidade 1 é igual a ele mesmo. 
Exemplos:
45l = 45 3 789'= 3 789 2: = 2
c. Zero elevado a qualquer expoente diferente de zero é igual a zero. 
Exemplos:
04S = 0 03?w = 0 O2 = 0
d. Zero elevado a zero é indeterminado. Entào:
0o = ?
3.1.5.4 Propriedades das potências
Apresentamos, a seguir, as principais propriedades da potenciação.
■ Primeira propriedade: Em um produto de potências de mesma base, conserva-se a base e 
somam-se os expoentes. Resumidamente, am* * a" = 3""".
Como exemplo, considere o produto 3? • 3S. Vamos escrever essas potências na forma de 
multiplicação:
3 - 3 ; 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 37 
32 + 3S
. Segunda propriedade: Em um quociente de potências de mesma base, conserva-se a base 
e subtraem-se os expoentes. Resumidamente, a"' -5* a" = a", ‘ ".
Como exemplo, considere agora a divisão 25 * 2J.
Vamos escrever essas potências na forma de divisão:
2 - 2 - 2 - 2 - 2 -r 2 - 2 - 2 =~
25 + 2'
2 • 2 - 2 • 2 _
2 2 2
• Terceira propriedade: A potência de uma potência pode ser escrita na forma de uma 
potência única, conservando-se a base e multiplicando-se os expoentes. Resumidamente,
(a")n = am
Como exemplo, considere as potências (23) \ Vamos escrever essas potências na forma de 
multiplicação:
(23)2 = (23) • (23) = 23 * 3 = 23 • 2 = 2* = 64
6 5
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
• Quarta propriedade: A potência de um produto é igual ao produto das potências, 
conservando-se o expoente. Resumidamente, (a - b)m=am- b"
Como exemplo, considere a potência (2 • 5)2. Vamos escrever essa potência na forma de 
multiplicação:
(2 • 5) • (2 • 5) = 2 • 5 • 2 • 5 = 22 • 52
Como o expoente indica quantas vezes devemos multiplicar a base por ela mesma, temos que 
a1 = a. Ou seja, qualquer número elevado a 1 (um) é igual a ele mesmo, como vimos no segundo 
caso da seção anterior.
No terceiro caso apresentado na mesma seção, vimos que qualquer número diferente de zero 
que seja elevado a zero é igual a 1 (um). Isso é facilmente demonstrado da seguinte forma:
•*=«’ a , = », . J r = l 
a
3.1.6 Radiciação de números naturais
A radiciação é a operação inversa da potenciação. Por exemplo, a operação inversa de elevar um 
número ao quadrado é extrair sua raiz quadrada; a operação inversa de elevar um número ao cubo 
é extrair sua raiz cúbica, e assim por diante.
O símbolo da radiciação é v e nós o chamamos de radical. Vejamos os elementos que figuram 
nos radicais:
írdke
v tol ca>do
Contudo, quando o índice é 2, não é comum representá-lo. Assim, a raiz quadrada de 16 pode ser escrita 
da saguinte forma: v'16.
Vejamos outros exemplos:
a) ‘^27 (lê-se "raiz cúbica de 27"): 3 é o índice da raiz e 27 é o radicando.
b) n/16 (lê-se "raiz quarta de 16"): 4 è o índice da raiz e 16 é o radicando.
A raiz enésima de um número natural N é um número que, multiplicado por ele mesmo n vezes, 
resulta em N. Assim, a raiz quadrada de 16 é 4, porque 4 • 4 = 16. A raiz cúbica de 27 é 3, por­
que 3 • 3 • 3 = 27. A raiz quarta de 16 é 2, porque 2 • 2 • 2 • 2 = 16. Como último exemplo, a raiz
quarta de 625 é 5, porque 5 • 5 • 5 • 5 = 625.
6 6
AIvaío • .'ickonPc-olii Castanho i*
Capítulo 3 • Conjuntos numéricos
3.1.6.1 Propriedades dos radicais
As propriedades dos radicais são utilizadas para auxiliar nas operações que envolvem raízes. Para 
seu correto entendimento, precisamos compreender que radicais semelhantes são aqueles em que 
tanto os índices quanto os radicandos são semelhantes, ou seja, têm o mesmo valor (índice n e 
radicando Am) ou quando esses valores são múltiplos (índice Kn e radicando A1"").
■ Primeira propriedade: A soma de radicais semelhantes é um radical semelhante cujo
coeficiente (fator fora do radical) é a soma dos coeficientes dos radicais dados. Quando um 
radical não tem o seu coeficiente expresso, subentende-se que ele é igual à unidade.
Exemplos:
a) ^9 + 2\/9 = 3\'9
b) 2v'37 + 4v/37 - 6v37
- Segunda propriedade: A diferença entre dois radicais semelhantes é um radical semelhante 
cujo coeficiente é a diferença entre os coeficientes dos radicais dados.
Exemplos:
a) 7V22 - 5n/22 = 2V22
b) 4^/21 - SÍ2Í = 3^21
• Terceira propriedade: O produto de radicais de mesmo índice é um radical de índice igual 
que tem por radicando o produto dos radicandos dados.
Exemplos:
a) 3yfÍ • 2n'6 = 6v’30 
b> yjl7^9 = V Í7 • >J9
Quarta propriedade: O quociente de dois radicais de mesmo índice é um radical de índice 
igual que tem como radicando o quociente dos radicandos dados.
Exemplos:
. </Iãa) - = >/3
\/õ
L4 36 S/Ã8
b) 9 H e
4 • V8
67
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
• Quinta propriedade: Para introduzir um fator em um radical, elevamos esse fator a uma 
potência igual à do índice desse radical.
Exemplos:
a) 2 • Í S - • \j3
b) 5 • V ÍÕ - v'57 • VÍÕ
■ Sexta propriedade: A raiz enésima de um radical é equivalente à de outro radical de índice 
igual ao produto dos índices dos radicais dados.
Exemplos:
a) = ç/48
b) \jyfij74 =^ 74
• Sétima propriedade: Para elevar um radical a uma potência, elevamos o radicando a essa 
potência.
Exemplos:
a) (>/?)3 = >/? = nÍL5625
b) ( « y - V F - V S I
• Oitava propriedade: Toda potência de expoente fracionário pode ser transformada em uma 
raiz em que 0 numerador da fração é 0 expoente do radicando e 0 denominador da fração 
é o índice da raiz.
Exemplos:
2
a) (4)S =ÍÍ4T
I
1 Importante!
■ n/A' e s ã o semelhantes.
6 8
AIvaío • .'ickonPc-olii Castanho i*
Capítulo 3 • Conjuntos numéricos
3.2 Conjunto dos números inteiros 
ou inteiros relativos (Z)
Os números inteiros, ou inteiros relativos, são os números naturais aos quais acrescentam os o sinal 
positivo ou negativo, mais o número zero. Representamos por:
Podemos ainda definir os números inteiros como o conjunto dos números naturais mais os seus 
opostos (ou simétricos) e o zero.
11 Importante!
a. Note que i —+1,2 « +2. e assim sucessiva ti ente. c eue nos permite afirmar q je todo número natural 
é número inteiro
b. O número +S é chamado de o ço sic oj simétrico ce 5. o número -5 é chamado de oposrcoj 
sim étricode +S. _cgc. +n -n sãc opostos cu simétricos
c. Módulo ou valo' aoscl Jto de um número nteirc é c oróprio rúmsrc desp'ovido de sinal. Por exemp o.
o módulo o j valor abso uto ce +5 é 5:o na S d u b o j valo- = lutodr i ; r< h ia e o módulo
de um número n per |n|
d. Z. são os r úmeros interos não negativos.
e. Z. são os núme-os nteires nác pes : ves.
1 ' são os números interos estriiarrer.e positivos (sen c ze-cj 
g. Z * sãoos números interos esintamere negativos (ser. c ze'Cj.
i - ritos ser iinai à sua frente Então, +3 ■ 3, +5 * 5. e assim por
d'ante.
Z = {..., -3 , -2 , -1, 0, +1, +2, +3, ...}
Observe que N é um subconjunto de Z . Logo, todo número natural é um número inteiro.
6 9
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
3.2.1 Adição de números inteiros
Quando somamos dois números inteiros, se as parcelas tiverem sinais diferentes, devemos subtrair 
a menor parcela da maior e conservar o sinal da parcela de maior módulo. Caso as parcelas tenham 
sinais iguais, somamos as parcelas e conservamos o sinal.
Importante!
nted< ' I • lv<f jn >'na positiv t re rá n >s >sparêr t rvandooána
dos números cc seu hte- or. Se na 'rente ccs parênteses, ertretsntc, houver j r r sinal negativo, ao retirar- 
mos os parênteses, devemos/ccarosira dos rúnne^cs coseu nterior
Vejamos alguns exemplos a seguir.
Quando os números têm o mesmo sinal, somam-se os módulos e atribui-se o sinal comum.
a) (+2) + (+5) = +7
b) (-2 ) + (-5 ) = -7
Quando os números têm sinais contrários, subtraem-se os módulos e atribui-se o sinal do número 
de maiormódulo.
a) (-2 ) + (+5) = +3
b) (+2) + (-5) = -3
A seguir, apresentamos mais alguns exemplos para assegurar que você entenda bem a regra.
a) 72 + 15 - 87
b) (-34) + (-15) = -34 - 15 = -49
0 63 + (-34) = 63 - 34 = 29
d) 83 + (-15) = 8 3 - 1 5 = 68
e) (-20) + (-12) = -20 - 12 = -32
70
AIvaío • .'icUonPc-oiii Castanho u
Capítulo 3 • Conjuntos numéricos
3.2.2 Subtração de números inteiros
Na subtração de dois números inteiros, devemos retirar os números dos parênteses e subtrair o 
número de menor módulo do número de maior módulo. O sinal do resultado deverá ser igual ao 
do número de maior módulo.
Exemplos:
a) 77 - 37 = 40
b) (-35) - (+8) -= -35 - 8 = -43
c) (-123) - 70 =* -123 - 70 = -■193
d) 91 - ( -38) = 91 + 38 = 129
e) (-20) ■- (-12) = -20 + 12 = -8
f) (+ 5 )- (+3) = (+5) + (-3 ) = +2
g) (+ 5 )- (-3 ) = (+5) + (+3) = +8
h) ( - 5 ) - (-3 ) = (-5 ) + (+3) = -2
i) ( - 5 ) - (+3) = (-5) + (-3 ) = -8
3.2.3 Multiplicação de números inteiros
A multiplicação de números inteiros é efetuada seguindo-se o mesmo algoritmo que mostramos 
na multiplicação de números naturais. Devemos, porém, prestar atenção ao sinal das parcelas que 
estão sendo multiplicadas.
Para a multiplicação ou produto de dois números inteiros, multiplica-se o primeiro número pelo 
segundo e atribui-se ao resultado o sinal (+) se os dois números tiverem sinais iguais e o sinal (-) 
se os dois números tiverem sinais contrários.
Exemplos:
a) (+5) • (+3) = +15 
b> (+5) • (-3 ) = -15
c) (-5 ) • (-3 ) = +15
d) (-5 ) • (+3) = -15
71
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
Regra!
Ao multiplicarmos íeis númeios ir:ei cs qte tenham o mesmo sinal, o resultado seré positivo.
Ao multiplicarmos deis números irtei os qte tenham sinais diferentes, o resu tado será negativo.
Exemplos:
a) (+12) • (+4) = +48
b) (+12) • (-8 ) = -96
c) (-5 ) - (+10) = -50
d) (-6 ) • (-4 ) = +24
e) (-15) - 0 = 0
3.2.4 Divisão de números inteiros
A divisão de números inteiros é efetuada seguindo-se o mesmo algoritmo que utilizamos na divisão 
de números naturais e levando-se em consideração a regra de sinais utilizada na multiplicação de 
números inteiros.
Exemplos:
a) (+100) -f (+25) = +4
b) (+64) + (-8 ) = -8
c) (-120) A (+6) = -20
d) (-55 ) + (-11) = +5
e) (-137) + (-1) = +137
Para o quociente ou divisão de dois números inteiros, divide-se o primeiro número pelo segundo 
e atribui-se ao resultado o sinal (+) se os dois números tiverem sinais iguais e o sinal (- ) se os dois 
números tiverem sinais contrários.
Regra!
O d viscr necessariamente orecisa í2 ' drerercece zerc. c-c s rãc : ò z santicc dívidirqua! qjer quanidade 
po* zero.
7 2
AIvaío tiruJiOlM« • .'ickonPc-olii Castanho i*
Capítulo 3 • Conjuntos numéricos
Vejamos mais alguns exemplos que evidenciam a importância de considerarmos os sinais dos 
números envolvidos na divisão.
a) (+6) -r (+3) = +2
b) (+6) * (-3 ) = -2
c) (~6) t (-3 ) = +2
d) (-6 ) + (+3) = -2
3.2.5 Potenciação de números inteiros
Já vimos que a potenciação é a operação que substitui a multiplicação de fatores iguais e já apren­
demos a calcular as potências cujas bases são positivas. Agora, vamos incluir cálculos de potências 
cujas bases são negativas.
Suponhamos que queremos calcular (-2)4.
Sabemos que (-2)^ = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) =
= (+4) • (+4) = +16
Assim, podemos enunciar as seguintes regras para as operações de potenciação de números 
inteiros:
Regra!
Potência de base negativa e expoente pai tem co n c resu ;aco jnr número positivo. 
Suponhamos agora que queremos calcular (-2)5.
Sabemos que (-2)5 = (-2) • (-2) • (-2) • (-2) • (-2) =
= (+4) • (+4) • (-2) =
= (+16) -(-2 ) = -32
Regra!
Potência de base negativa e expoente írr p3r tem conc resu :acc j r r número negativo.
3.2.6 Radicais de números inteiros
Quando estudamos os números naturais, vimos que a radiciação é a operação inversa da potencia­
ção. Assim, para calcularmos a raiz enésima de um número N, precisamos saber qual é o número
73
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
que, multiplicado por ele mesmo n vezes, é igual a N. Será que essa definição é válida também 
para números negativos?
Suponhamos que queremos determinar a raiz quadrada de -9.
Temos, então, a pergunta: Que número multiplicado por ele mesmo duas vezes resulta no 
número -9?
Sabemos que +3 não é, pois (+3) • (+3) = +9. Sabemos também que -3 não é, porque 
(-3) • (-3) = +9. Portanto, podemos dizer que v - 9 <2 R.
Regra!
Um radical cujo índice ú par e cujc rad cardo é nega: vc rá c ten -aiz rea.
Vamos, agora, determinar a raiz cúbica de -27. Temos, então, a pergunta: Qual é o número que 
multiplicado por ele mesmo três vezes resulta no número -27?
Perceba que essa pergunta tem resposta, pois (-3) • (-3) • (-3) = -27, por causa da regra dos 
sinais. Portanto, v -2 7 - -3 .
Regra!
Um radical cujo índice é ímpar e c j ío radicardo é nega: vc tem raiz rea .
3.3 Números racionais (Q)
p
Os números racionais sao os numeros na forma —, em que p e q são numeros inteiros e q * 0.
q
Representamos por:
Q = 3 , - 1 .....- 0 , 1 , 0 ......0 , 1 , 1 , . . . }
4 2 2 4
Perceba que todos os elementos do conjunto dos números inteiros (Z) pertencem ao conjunto 
dos números racionais (Q). Como N é um subconjunto de Z e Z é um subconjunto de Q, então N 
também é um subconjunto de Q.
Q
Então:
Q = {X / x = —, em que p Z e q Z*>
74
AIvaío • NtlíO nfVeiliCííUnh# i*
Capítulo 3 • Conjuntos numéricos
3.3.1 Frações
Uma fração ou número fracionário representa um número racional e é expressa da seguinte forma:
‘ OernynTidoi
a e b são números inteiros com b / 0.
O segundo número (b), o denominador, indica em 
quantas partes iguais foi dividida a unidade.
O primeiro número (a), o numerador, indica quantas 
vezes tomamos do resultado anterior.
O numerador e o denominador são os elementos que compõem uma fração.
Representemos a unidade por um círculo e dividamos esse círculo em quatro partes iguais.
A cada parte desse círculo chamaremos um quarto e representaremos por 1 . O par de números
4
naturais 1 e 4, assim representados, constituem uma fração.
Como exemplo, suponhamos que uma barra de chocolate foi dividida em 8 partes iguais;
Como o todo foi dividido em 8 partes, o denominador da fração é igual a 8.
A parte branca corresponde a uma das partes em que foi dividido o chocolate. Portanto, dizemos
que a parte branca vale 1 (lê-se "um oitavo") da barra de chocolate. A parte cinza corresponde
a 1 (lê-se "três oitavos") da barra de chocolate, e a parte preta corresponde a (lê-se "quatro 
8 8 
oitavos") da barra de chocolate.
Agora, observe, a seguir, outras frações.
Tanto a parte branca quanto a parte preta representam ^:
7 5
Teoria dos números e teoria dos conjuntos
A parte branca representa (lê-se "nove décimos") e a parte preta representa ^ (lê-se "um 
décimo"):
Frações cujos denominadores são 10 ,1 00 ,1 000 ,1 0 000 etc. são chamadas de frações decimais.
Assim , lemos a fração -=*- como "cinco centésimos", a fração 15 como "quinze milésimos", e 
100 1000
assim por diante.
Vamos, agora, analisar um problema que envolve frações.
Gabnela possui em sua biblioteca 48 livros, dos quais já leu - . Quantos livros Gabriela já leu? Quantos livros
8
ainda faltam para Gabriela ler?
Para calcularmos quantos livros Gabriela já leu, fazemos a seguinte conta:
| d e 4 8
O denominador da fração indica em quantas partes temos de dividir o todo. Nesse caso, precisamos dividir 
os livros em 8 partes iguais. Logo, cada parte terá 6 livros.
O numerador da fração indica quantas dessas partes vamos "pegar". Nesse caso, vamos utilizar 5 partes. 
Portanto, Gabriela