003-IntegralDefinidaEIndefinida_1oE2oTFC_

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Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas
Luís Cláudio LA
FATECS - Faculdade de Tecnologia e Ciências Sociais Aplicadas
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2 de março de 2011
Luís Cláudio LA Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas
1 Integrais Definidas e Indefinidas
Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Luís Cláudio LA Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Definição
Considere uma função y = f (x) definida em [a, b]. Suponha
que dividimos o intervalo [a, b] em um certo número n de
sub-intervalos de comprimentos iguais a ∆x = (b − a)/n, pelos
pontos
x0 = a, x1 = x0 +∆x , x2 = x1 +∆x , x3 = x2 +∆x , . . . , xn = b
Luís Cláudio LA Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Definição
Considere uma função y = f (x) definida em [a, b]. Suponha
que dividimos o intervalo [a, b] em um certo número n de
sub-intervalos de comprimentos iguais a ∆x = (b − a)/n, pelos
pontos
x0 = a, x1 = x0 +∆x , x2 = x1 +∆x , x3 = x2 +∆x , . . . , xn = b
Luís Cláudio LA Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Ilustração
e formamos a soma finita
f (x0)∆x + f (x1)∆x + f (x2)∆x + f (x3)∆x + · · ·+ f (xn−1)∆x .
Luís Cláudio LA Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Ilustração
Definição - Integral Definida
Definimos, independente da função assumir valores apenas
valores positivos ou negativos
lim
n→∞
n−1∑
i=0
f (xi) ·∆x =
∫ b
a
f (x) · dx
Luís Cláudio LA Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Ilustração
Definição - Integral Definida
Definimos, independente da função assumir valores apenas
valores positivos ou negativos
lim
n→∞
n−1∑
i=0
f (xi) ·∆x =
∫ b
a
f (x) · dx
Luís Cláudio LA Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Propriedades
Propriedades válidas para a integral definida
Vejamos algumas propriedades simples da integral, que são
intuitivamente apreendidas da própria definição.∫ b
a
[f (x) + g(x)]dx =
∫ b
a
f (x)dx +
∫ b
a
g(x)dx ; (1)∫ b
a
Cf (x)dx = C
∫ b
a
f (x)dx , C ∈ R; (2)∫ b
a
f (x)dx +
∫ c
b
f (x)dx =
∫ c
a
f (x)dx , (3)
Luís Cláudio LA Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Uma Primitiva Geral
Considere y = f (x) contínua em [a, b] e a função F (x) definida
da seguinte forma:
F (x) =
∫ x
a
f (t)dt
Afirmamos que F é uma primitiva para f , ou seja,
d
dx
F (x) =
d
dx
∫ x
a
f (t)dt = f (x)
Escrevemos
F (x) =
∫ x
a
f (t)dt ou F (x) =
∫ x
f (t)dt
Luís Cláudio LA Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Uma Primitiva Geral
Considere y = f (x) contínua em [a, b] e a função F (x) definida
da seguinte forma:
F (x) =
∫ x
a
f (t)dt
Afirmamos que F é uma primitiva para f , ou seja,
d
dx
F (x) =
d
dx
∫ x
a
f (t)dt = f (x)
Escrevemos
F (x) =
∫ x
a
f (t)dt ou F (x) =
∫ x
f (t)dt
Luís Cláudio LA Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Uma Primitiva Geral
Considere y = f (x) contínua em [a, b] e a função F (x) definida
da seguinte forma:
F (x) =
∫ x
a
f (t)dt
Afirmamos que F é uma primitiva para f , ou seja,
d
dx
F (x) =
d
dx
∫ x
a
f (t)dt = f (x)
Escrevemos
F (x) =
∫ x
a
f (t)dt ou F (x) =
∫ x
f (t)dt
Luís Cláudio LA Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Uma Primitiva Geral
ou simplesmente
F (x) =
∫
f (x)dx
Usaremos o símbolo
∫
f (x)dx para representar a primitiva de
f . Chamamos também de integral indefinida.
Eis alguns exemplos:
1
∫
cos(x)dx = sin(x) + C
2
∫
x − x2 dx = x
2
2
− x
3
3
+ C
3
∫ √
x dx =
∫
x
1
2 dx =
x3/2
3/2
=
2
3
x3/2 + C
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Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Uma Primitiva Geral
ou simplesmente
F (x) =
∫
f (x)dx
Usaremos o símbolo
∫
f (x)dx para representar a primitiva de
f . Chamamos também de integral indefinida.
Eis alguns exemplos:
1
∫
cos(x)dx = sin(x) + C
2
∫
x − x2 dx = x
2
2
− x
3
3
+ C
3
∫ √
x dx =
∫
x
1
2 dx =
x3/2
3/2
=
2
3
x3/2 + C
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Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Uma Primitiva Geral
ou simplesmente
F (x) =
∫
f (x)dx
Usaremos o símbolo
∫
f (x)dx para representar a primitiva de
f . Chamamos também de integral indefinida.
Eis alguns exemplos:
1
∫
cos(x)dx = sin(x) + C
2
∫
x − x2 dx = x
2
2
− x
3
3
+ C
3
∫ √
x dx =
∫
x
1
2 dx =
x3/2
3/2
=
2
3
x3/2 + C
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Uma Primitiva Geral
ou simplesmente
F (x) =
∫
f (x)dx
Usaremos o símbolo
∫
f (x)dx para representar a primitiva de
f . Chamamos também de integral indefinida.
Eis alguns exemplos:
1
∫
cos(x)dx = sin(x) + C
2
∫
x − x2 dx = x
2
2
− x
3
3
+ C
3
∫ √
x dx =
∫
x
1
2 dx =
x3/2
3/2
=
2
3
x3/2 + C
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Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Uma Primitiva Geral
ou simplesmente
F (x) =
∫
f (x)dx
Usaremos o símbolo
∫
f (x)dx para representar a primitiva de
f . Chamamos também de integral indefinida.
Eis alguns exemplos:
1
∫
cos(x)dx = sin(x) + C
2
∫
x − x2 dx = x
2
2
− x
3
3
+ C
3
∫ √
x dx =
∫
x
1
2 dx =
x3/2
3/2
=
2
3
x3/2 + C
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Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Demonstr. - Primeiro Teorema Fudamental do Cálculo
Famos demonstrar o Primeiro Teorema Fundamental do
Cálculo? Queremos mostrar que
d
dx
∫ x
a
f (t)dt = f (x).
Como F (x) =
∫ x
a
f (t)dt então, por definição, temos
d
dx
F (x) = lim
h→0
F (x + h)− F (x)
h
= lim
h→0
∫ x+h
a f (t)dt −
∫ x
a f (t)dt
h
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Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Demonstr. - Primeiro Teorema Fudamental do Cálculo
Daí,
d
dx
F (x) = lim
h→0
∫ x+h
x f (t)dt
h
Observe a figura ao lado.
Note que entre x e x + h
existe um número w de tal
forma que
∫ x+h
x
f (t)dt = f (w) · h
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Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Demonstr. - Primeiro Teorema Fudamental do Cálculo
Daí,
d
dx
F (x) = lim
h→0
∫ x+h
x f (t)dt
h
Observe a figura ao lado.
Note que entre x e x + h
existe um número w de tal
forma que
∫ x+h
x
f (t)dt = f (w) · h
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Demonstr. - Primeiro Teorema Fudamental do Cálculo
Daí,
d
dx
F (x) = lim
h→0
∫ x+h
x f (t)dt
h
Observe a figura ao lado.
Note que entre x e x + h
existe um número wde tal
forma que
∫ x+h
x
f (t)dt = f (w) · h
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Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Demonstr. - Primeiro Teorema Fudamental do Cálculo
Desse modo,
d
dx
F (x) = lim
h→0
f (w) · h
h
= lim
h→
f (w) = f (x)
Assim,
d
dx
F (x) =
d
dx
∫ x
a
f (t)dt = f (x)
como queríamos demonstrar. Esse resultado é conhecido
como o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo.
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Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Demonstr. - Primeiro Teorema Fudamental do Cálculo
Desse modo,
d
dx
F (x) = lim
h→0
f (w) · h
h
= lim
h→
f (w) = f (x)
Assim,
d
dx
F (x) =
d
dx
∫ x
a
f (t)dt = f (x)
como queríamos demonstrar. Esse resultado é conhecido
como o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo.
Luís Cláudio LA Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo
Vimos nos primeiros slides que
Definição - Integral Definida
Definimos, independente da função assumir apenas valores
positivos ou negativos
lim
n→∞
n−1∑
i=0
f (xi) ·∆x =
∫ b
a
f (x) · dx
Queremos encontrar uma forma de determinar o valor limite
sem a necessidade de cálculo de limite proprimente dito.
Luís Cláudio LA Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo
Vimos nos primeiros slides que
Definição - Integral Definida
Definimos, independente da função assumir apenas valores
positivos ou negativos
lim
n→∞
n−1∑
i=0
f (xi) ·∆x =
∫ b
a
f (x) · dx
Queremos encontrar uma forma de determinar o valor limite
sem a necessidade de cálculo de limite proprimente dito.
Luís Cláudio LA Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo
Vimos nos primeiros slides que
Definição - Integral Definida
Definimos, independente da função assumir apenas valores
positivos ou negativos
lim
n→∞
n−1∑
i=0
f (xi) ·∆x =
∫ b
a
f (x) · dx
Queremos encontrar uma forma de determinar o valor limite
sem a necessidade de cálculo de limite proprimente dito.
Luís Cláudio LA Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo
Note inicialmente que, de acordo com o visto na última aula, se
F (.) é uma primitiva para f (.) então F (.) + C também é, onde
C ∈ R. Seja
G(x) = F (x) + C
ou, de forma equivalente,
G(x) =
∫ x
a
f (t)dt + C.
Note que se x = a ficamos com
G(a) =
∫ a
a
f (t)dt︸ ︷︷ ︸
=ZERO
+C = 0 + C = C
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Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo
Note inicialmente que, de acordo com o visto na última aula, se
F (.) é uma primitiva para f (.) então F (.) + C também é, onde
C ∈ R. Seja
G(x) = F (x) + C
ou, de forma equivalente,
G(x) =
∫ x
a
f (t)dt + C.
Note que se x = a ficamos com
G(a) =
∫ a
a
f (t)dt︸ ︷︷ ︸
=ZERO
+C = 0 + C = C
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Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo
Note inicialmente que, de acordo com o visto na última aula, se
F (.) é uma primitiva para f (.) então F (.) + C também é, onde
C ∈ R. Seja
G(x) = F (x) + C
ou, de forma equivalente,
G(x) =
∫ x
a
f (t)dt + C.
Note que se x = a ficamos com
G(a) =
∫ a
a
f (t)dt︸ ︷︷ ︸
=ZERO
+C = 0 + C = C
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Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo
Agora,
G(x) =
∫ x
a
f (t)dt + C ⇔ G(x) =
∫ x
a
f (t)dt + G(a)
de onde vem que
G(x)−G(a) =
∫ x
a
f (t)dt .
Se x = b teremos:∫ b
a
f (t)dt = G(b)−G(a) =
Luís Cláudio LA Integrais Definidas e Indefinidas
Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo
Agora,
G(x) =
∫ x
a
f (t)dt + C ⇔ G(x) =
∫ x
a
f (t)dt + G(a)
de onde vem que
G(x)−G(a) =
∫ x
a
f (t)dt .
Se x = b teremos:∫ b
a
f (t)dt = G(b)−G(a) =
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O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo
Esse resultado (repetido a seguir) é conhecido como Segundo
Teorema Fundamental do Cálculo.
∫ b
a
f (t)dt = G(b)−G(a)
O resultado diz que para calcular a soma integrada devemos
conhecer a primitiva da função dada (aqui G é a primitiva de
f ). O valor limite é encontrado calculando a diferença entre G
aplicado no extremo superior (b) e G aplicado no extremo
inferior (a).
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Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo
Esse resultado (repetido a seguir) é conhecido como Segundo
Teorema Fundamental do Cálculo.
∫ b
a
f (t)dt = G(b)−G(a)
O resultado diz que para calcular a soma integrada devemos
conhecer a primitiva da função dada (aqui G é a primitiva de
f ). O valor limite é encontrado calculando a diferença entre G
aplicado no extremo superior (b) e G aplicado no extremo
inferior (a).
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Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
O Segundo Teorema Fundamental do Cálculo
Esse resultado (repetido a seguir) é conhecido como Segundo
Teorema Fundamental do Cálculo.
∫ b
a
f (t)dt = G(b)−G(a)
O resultado diz que para calcular a soma integrada devemos
conhecer a primitiva da função dada (aqui G é a primitiva de
f ). O valor limite é encontrado calculando a diferença entre G
aplicado no extremo superior (b) e G aplicado no extremo
inferior (a).
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Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Exemplos
Calcule o valor da soma integrada∫ 3
0
x2 dx .
Precisamos conhecer a primitiva da função f (x) = x2.
Sabemos que uma dessas primitivas é G(x) = x
3
3 . O Segundo
Teorema Fundamental do Cálculo diz que o valor do limite será
G(3)−G(0) = 3
3
3
− 0
3
3
= 9
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Exemplos
Calcule o valor da soma integrada∫ 3
0
x2 dx .
Precisamos conhecer a primitiva da função f (x) = x2.
Sabemos que uma dessas primitivas é G(x) = x
3
3 . O Segundo
Teorema Fundamental do Cálculo diz que o valor do limite será
G(3)−G(0) = 3
3
3
− 0
3
3
= 9
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Exemplos
O cálculo rápido fica assim:∫ 3
0
x2 dx =
[
x3
3
]3
0
=
33
3
− 0
3
= 9.
De forma análoga,
1
∫ pi
2
0
cos(x)dx = [sin(x)]
pi
2
0 = sin
pi
2
− sin 0 = 1− 0 = 1.
2
∫ 1
0
√
x dx =
[
2
3
x
3
2
]1
0
=
2
3
· 1 32 − 2
3
· 0 32 = 2
3
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Exemplos
O cálculo rápido fica assim:∫ 3
0
x2 dx =
[
x3
3
]3
0
=
33
3
− 0
3
= 9.
De forma análoga,
1
∫ pi
2
0
cos(x)dx = [sin(x)]
pi
2
0 = sin
pi
2
− sin 0 = 1− 0 = 1.
2
∫ 1
0
√
x dx =
[
2
3
x
3
2]1
0
=
2
3
· 1 32 − 2
3
· 0 32 = 2
3
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Exemplos
O cálculo rápido fica assim:∫ 3
0
x2 dx =
[
x3
3
]3
0
=
33
3
− 0
3
= 9.
De forma análoga,
1
∫ pi
2
0
cos(x)dx = [sin(x)]
pi
2
0 = sin
pi
2
− sin 0 = 1− 0 = 1.
2
∫ 1
0
√
x dx =
[
2
3
x
3
2
]1
0
=
2
3
· 1 32 − 2
3
· 0 32 = 2
3
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Resumo
Vimos nesta aula:
1 O símbolo
∫ b
a
f (x)dx será usado para representar o limite
lim
n→∞
n−1∑
i=0
f (xi) ·∆x .
2 Podemos calcular o valor de
∫ b
a
f (x)dx sem precisar
calcular o limite diretamente. Basta lembrar que se G é
uma primitiva de f então∫ b
a
f (x)dx = G(b)−G(a).
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Resumo
Vimos nesta aula:
1 O símbolo
∫ b
a
f (x)dx será usado para representar o limite
lim
n→∞
n−1∑
i=0
f (xi) ·∆x .
2 Podemos calcular o valor de
∫ b
a
f (x)dx sem precisar
calcular o limite diretamente. Basta lembrar que se G é
uma primitiva de f então∫ b
a
f (x)dx = G(b)−G(a).
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Integrais Definidas e Indefinidas Os Teoremas Fundamentais do Cálculo
Resumo
E ainda...
3 O símbolo
∫
f (x)dx será usado para representar a
primitiva da função f .
4 A função integral definida por
F (x) =
∫ x
a
f (t)dt
é tal que
d
dx
F (x) =
d
dx
∫ x
a
f (t)dt = f (x).
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Resumo
E ainda...
3 O símbolo
∫
f (x)dx será usado para representar a
primitiva da função f .
4 A função integral definida por
F (x) =
∫ x
a
f (t)dt
é tal que
d
dx
F (x) =
d
dx
∫ x
a
f (t)dt = f (x).
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Fim desta aula...
Agora você deve fazer exercícios para fixar as ideias discutidas
aqui.
Tudo de bom.
Luís Cláudio LA
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