AOL 04 - Cálculo Vetorial

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1. Pergunta 1
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As funções parametrizadas são extremamente importantes para o cálculo integral, até dentro do contexto vetorial. Elas conseguem representar expressões algébricas que muitas vezes não são funções comuns, tornando possível o trabalho com integrais e derivadas. Segue um exemplo de função parametrizada:

A derivada de uma função paramétrica, por exemplo, pode auxiliar a definir o trabalho de uma partícula ao longo de um campo vetorial, pois se trata de um vetor tangente. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cálculo vetorial, dado o exemplo supracitado, pode-se dizer que o vetor tangente dessa função é  , porque:
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1. 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte forma: 
2. 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte forma: 
3. 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte forma:  
4. 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte forma: 
5. 
o vetor tangente, ou derivada da função paramétrica, é definido da seguinte forma:  
2. Pergunta 2
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Os teoremas de Green, Gauss e Stokes podem ser considerados facilitadores algébricos, uma vez que transformam integrais complexas, tais como superfícies e linha, em integrais de regiões, sólidos e afins. A manipulação dessas integrais é muito menos complexa do que as outras. Porém, é necessário conhecer cada um dos elementos desses teoremas, pois eles são definidos em espaços geométricos e contextos vetoriais diferentes. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os teoremas de Green, Gauss e Stokes, analise as afirmativas a seguir
I. O teorema de Green pode ser escrito de uma forma que envolve o rotacional
II O teorema de Green pode ser escrito de uma forma que envolve o divergente
III. O Teorema de Gauss trabalha com superfícies não orientadas.
IV. A regra da mão direita é uma regra auxiliadora do Teorema de Stokes
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I e II.
2. 
I, II e IV.
3. 
I e III.
4. 
II e IV.
5. 
I e IV.
3. Pergunta 3
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As integrais de linha retomam conceitos do Teorema Fundamental do Cálculo, possibilitando o cálculo de integrais em um contexto vetorial. Para isso, porém, deve-se encontrar maneiras algébricas para se trabalhar com os objetos matemáticos, de modo a tornar viável o cálculo de integrais e derivadas.
Uma das maneiras algébricas de se trabalhar com alguns objetos é efetuando a parametrização. Considerando essas informações e os conteúdos estudados, pode-se dizer que a parametrização é de extrema importância para o Cálculo Vetorial porque:
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1. 
a parametrização torna dispensável o trabalho com vetores.
2. 
a parametrização é uma maneira de se definir limites integrativos.
3. 
a parametrização é uma representação de uma função, ou seja, torna o objeto matemático integrável.
4. 
a parametrização é uma estrutura algébrica nula.
5. 
a parametrização faz com que a integral de linha independa de limites integrativos.
4. Pergunta 4
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Considere o exemplo a seguir da aplicação do teorema da divergência. Dado  , integre sobre a esfera unitária  . O divergente de F é   , integrando sobre  que é o próprio volume da esfera, resultando em .
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, pode-se dizer que o cálculo da integral foi facilitado porque:
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1. 
só é possível resolver o lado direito do teorema da divergência.
2. 
o lado direito é uma integral tripla de um campo vetorial.
3. 
a superfície S é orientada para fora.
4. 
o integrando  é mais simples de integrar. 
5. 
a superfície S é fechada.
5. Pergunta 5
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Os Teoremas de Green, Gauss e Stokes são teoremas que facilitam o trabalho algébrico com as integrais de linha e superfície. Eles definem equivalências com outras integrais, de modo que não se calcule as integrais de linha e superfície por definição.É interessante, também, lançar um outro olhar sobre esses teoremas. Observar as diferenças e similaridades acerca de seus aspectos vetoriais também é fundamental. 
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, Gauss e Stokes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) O Teorema de Green é pautado em regiões simplesmente conexas.
II. ( ) Uma região R, que é delimitada por uma curva C que corta a si mesma, pode ser utilizada pelo Teorema de Green.
III. ( ) O Teorema de Gauss é pautado em um sólido delimitado por superfícies.
IV. ( ) O Teorema de Stokes é pautado em uma superfície orientada.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
V, F, F, V.
2. 
F, F, V, F.
3. 
V, F, V, V.
4. 
V, V, F, F.
5. 
F, F, V, V.
6. Pergunta 6
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O teorema de Stokes  é bastante utilizado para simplificar o problema da integral de um campo vetorial sobre uma superfície para uma integral de linha. Ou seja, é utilizado no sentido contrário (da direita para a esquerda) de como temos escrito ele. Para tanto, é necessário que o campo vetorial em questão possa ser escrito como o rotacional de um outro campo.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, ordene as etapas a seguir de acordo com a sequência em que devem ser efetuados os passos para a utilização do teorema no sentido .
( ) Verificar se campo vetorial pode ser escrito como um rotacional e se ele e a superfície satisfazem os requisitos do teorema.
( ) Executar a integral de linha.
( ) Parametrizar o caminho.
( ) Fazer a mudança de sistema de coordenadas convenientes.
( ) Projetar a superfície no plano XY para definir o caminho de integração.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
1, 5, 3, 4, 2.
2. 
3, 4, 1, 2, 5.
3. 
5, 4, 1, 3, 2.
4. 
4, 3, 5, 2, 1.
5. 
2, 1, 3, 4, 5.
7. Pergunta 7
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O teorema de Green também é utilizado para simplificar a resolução de algumas integrais de caminho. Para tanto, é necessário verificar se a integral e a região satisfazem os requisitos do teorema. Fora isso, basta fazer as derivadas parciais e integrar sobre a região.
Considerando essas informações e os estudos sobre teorema de Green, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) Dado o campo vetorial , a integral na circunferência unitária  é .
II. ( ) Dado o campo vetorial  a integral na circunferência unitária  é .
III. ( ) Dado o campo vetorial , a integral na circunferência unitária  é .
IV. ( ) Dado campo vetorial , a integral no quadrado definido por  e  é . 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
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1. 
V, V, F, F.
2. 
V, F, F, V.
3. 
F, F, V, V.
4. 
F, F, V, F.
5. 
V, F, V, V.
8. Pergunta 8
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Em um contexto com variáveis reais definidas em domínios e imagens de pontos, o cálculo integrativo se dá com objetos matemáticos conhecidos como integrais. Já em um contexto vetorial, o cálculo integrativo se dá com objetos matemáticos conhecidos como integrais de linha.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, pode-se afirmar que as integrais referentes ao teorema fundamental do cálculo e as integrais de linhas, apesar de distintas, se relacionam porque:
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1. 
as integrais do contexto vetorial podem ser escritas como integrais duplas e triplas, referentes ao outro contexto integrativo.
2. 
as integrais de linha possuem integrandos que não são vetores.
3. 
ambas são definidas no mesmo contexto, em um cenário onde domínio e contradomínio representam conjuntos de pontos.
4. 
ambas conseguem tratar do mesmo objeto matemático sem que haja perda de informações.
5. 
as integrais triplas conseguem definir qualquer tipo de objeto matemático.
9. Pergunta 9
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O teorema de Green, em sua forma vetorial, é utilizado parasimplificar a resolução de integrais de linha em caminhos fechado. O teorema relaciona a borda do caminho com a área formado pelo caminho fechado, que deve ter orientação anti-horária. O teorema de Green possui mais de uma forma de ser escrito. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, analise as afirmativas a seguir.
I.  é uma forma do teorema de Green.
II.  é uma forma do teorema de Green, sendo .
III.  é uma forma do teorema de Green. 
IV.  é uma forma do teorema de Green.
Está correto apenas o que se afirma em:
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1. 
I e II.
2. 
II e IV.
3. 
I e IV.
4. 
I, II e IV.
5. 
I, II e III.
10. Pergunta 10
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O campo conservativo é extremamente relevante para a integral de linha do trabalho (W). Caso o campo seja conservativo, qualquer curva que une dois pontos pré-fixados no campo vetorial tem o mesmo valor numérico do trabalho. Esse campo é definido em termos de um gradiente de uma função escalar:
.
Em algumas situações não se sabe sobre a função f, mas, mesmo assim, é possível descobrir se um campo é ou não conservativo caso ele respeite as igualdades a seguir:
.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, pode-se dizer que  é um campo conservativo porque:
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1. 
o gradiente dessa função é nulo.
2. 
se verificou todas as igualdades supracitadas e todas verdadeiras.
3. 
as igualdades serem válidas é uma condição necessária, mas não suficiente.
4. 
as igualdades supracitadas possuem diferenças entre seus termos.
5. 
o divergente dessa função é nulo.