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Métodos de integração 1
Tábua de integrais 4
Anexo:Lista de integrais de funções racionais 8
Anexo:Lista de integrais de funções logarítmicas 9
Anexo:Lista de integrais de funções exponenciais 11
Anexo:Lista de integrais de funções irracionais 12
Anexo:Lista de integrais de funções trigonométricas 16
Referências
Fontes e Editores da Página 21
Licenças das páginas
Licença 22
Métodos de integração 1
Métodos de integração
Os métodos ou técnicas de integração são muito importantes para a resolução de integrais que aparentemente não
possuem uma primitiva elementar. As técnicas mais usuais são a da substituição, por partes e por frações parciais.
Integração por substituição
Considere a seguinte integral:
A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis , onde é uma função
qualquer contínua no domínio de integração. Fazendo :
Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função a ser integrada pode ser
representada como um produto de funções, onde uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante).
Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer substituições pouco intuitivas (tais
como substituição através de funções trigonométricas). Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.
Substituições trigonométricas
As substituições trigonométricas são muito úteis quando encontramos integrais contendo expressões da forma:
Neste caso, as substituições adequadas são:
Passos para a integração:.
Passo 1: Faça uma escolha para . Ex.: .
Passo 2: Calcule .
Passo 3: Faça a substituição , . Neste ponto a integral deve estar em
termos de . Se isso não acontecer, deve-se tentar uma nova escolha para .
Passo 4: Calcule a integral resultante, se possível.
Passo 5: Substituir por ; assim, a resposta final estará em termos de .
Exemplo Considere a integral usando a substituição , obtem-se
A integral de Cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Dom%C3%ADnio
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Regra_da_cadeia
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivada
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integra%C3%A7%C3%A3o_por_substitui%C3%A7%C3%A3o_trigonom%C3%A9trica
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Cosseno
Métodos de integração 2
Voltando a equação original
Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito traspondo o ângulo para um triângulo retângulo.
Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a igual a , conseqüentemente o cateto
adjacente ao ângulo valerá . Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais
da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:
O ângulo pode ser expresso como Obtendo assim a resposta final.
Integração por partes
Pela regra do produto para derivadas, sabe-se que , com e 
deriváveis. Através de manipulações algébricas, e integrando a equação, temos:
, que é a fórmula da integração por partes.
Com um intervalo de integração definido em , com derivadas continuas fica-se com:
Exemplo de aplicação:
A escolha das funções e é arbitrária, ela requer prática e intuição. Depois do exemplo abaixo, algumas regras
podem ser feitas para ganhar tempo.
se escolhemos , temos e tem-se , logo :
Por outro lado, se escolhermos temos e tem-se , logo :
De reparar que este ultimo integral é mais complicado que o anterior.
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Seno
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Regra_do_produto
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Equa%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=F%C3%B3rmula
Métodos de integração 3
Integração por frações parciais
A técnica de frações parciais é muito útil na resolução de integrais do tipo:
A integral pode ser representada por:
, no qual .
Com isso, muitas vezes é possível dividir a integral em duas, onde a resolução de cada uma torna-se mais fácil pela
simplicidade obtida no denominador.
Exemplo de aplicação:
   ∴   
   ∴   
. A segunda integral pode ser facilmente
resolvida utilizando o método da substituição.
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fra%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fra%C3%A7%C3%A3o
Tábua de integrais 4
Tábua de integrais
Tópicos em cálculo
Teorema fundamental
Limites de funções
Continuidade
Cálculo vetorial
Cálculo matricial
Teorema do valor médio
Derivação
Regra do produto
Regra do quociente
Regra da cadeia
Mudança de variáveis
Diferenciação
implícita
Teorema de Taylor
Taxas relacionadas
Tabela de derivadas
Integração
Tábua de integrais
Integral imprópria
Integração por:
partes, substituição,
substituição
trigonométrica,
frações parciais
Cálculo
vetorial
Gradiente
Divergência
Rotacional
Laplaciano
Teorema do gradiente
Teorema de Green
Teorema de Stokes
Teorema da divergência
Cálculo de várias
variáveis
Cálculo matricial
Derivada parcial
Integral Múltipla
Integral de linha
Integral de Superfície
Integral de volume
Matriz jacobiana
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=C%C3%A1lculo
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_fundamental_do_c%C3%A1lculo
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Limite
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o_cont%C3%ADnua
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_vetorial
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_matricial
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_do_valor_m%C3%A9dio
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivada
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Regra_do_produto
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Regra_do_quociente
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Regra_da_cadeia
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Mudan%C3%A7a_de_vari%C3%A1veis
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o_impl%C3%ADcita
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o_impl%C3%ADcita
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Taylor
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Taxas_relacionadas
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Tabela_de_derivadas
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_impr%C3%B3pria
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integra%C3%A7%C3%A3o_por_partes
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integra%C3%A7%C3%A3o_por_substitui%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integra%C3%A7%C3%A3o_por_substitui%C3%A7%C3%A3o_trigonom%C3%A9trica
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integra%C3%A7%C3%A3o_por_substitui%C3%A7%C3%A3o_trigonom%C3%A9trica
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fra%C3%A7%C3%B5es_parciais
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_vetorial
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_vetorial
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Gradiente
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Diverg%C3%AAncia
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Rotacional
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Laplaciano
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_do_gradiente
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Green
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_de_Stokes
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_da_diverg%C3%AAncia
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_de_v%C3%A1rias_vari%C3%A1veis
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http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=C%C3%A1lculo_matricial
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivada_parcial
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_M%C3%BAltipla
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_de_linha
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_de_Superf%C3%ADcie
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral_de_volume
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Matriz_jacobianaTábua de integrais 5
Integração é uma das duas operações básicas em cálculo. Como, ao contrário da diferenciação, é uma operação
não-trivial, existem tabelas de integrais conhecidas que frequentemente se mostram úteis. Esta página relaciona
algumas das antiderivadas mais comuns.
Usa-se C como constante arbitrária de integração que só pode ser determinada se tivermos conhecimento do valor da
integral em algum ponto específico. Cada função possui infinitas antiderivadas, diferenciadas entre si pelo valor
específico de C.
O uso da plica denota a derivada da função em ordem a .
Estas fórmulas são apenas outra forma de apresentação das asserções da tabela de derivadas e somente podem ser
utilizadas para as integrais indefinidas.
Propriedades da Integral Indefinida
•
•
• ou, de outra forma,
•
Integrais Indefinidas de Funções Simples
Funções Racionais
•
•
•
Logaritmos
•
•
Funções Exponenciais
•
• Caso particular: 
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=C%C3%A1lculo
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivada
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Constante_arbitr%C3%A1ria_de_integra%C3%A7%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Derivada
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Tabela_de_derivadas
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o_Racional
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Logaritmo
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o_Exponencial
Tábua de integrais 6
Funções Irracionais
•
• Caso particular: 
•
• Caso particular: 
Funções Trigonométricas
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Funções Hiperbólicas
•
•
•
•
•
•
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o_Irracional
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o_trigonom%C3%A9trica
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o_hiperb%C3%B3lica
Tábua de integrais 7
Integrais Impróprias
Existem funções cujas antiderivadas não podem ser expressas de forma fechada. No entanto, os valores das integrais
definidas dessas funções em intervalos comuns podem ser calculados. Algumas integrais definidas de uso frequente
estão relacionadas abaixo.
•
•
•
•
•
Funções Especiais
Algumas funções são determinadas através de integrais definidas:
• A função gama 
Referências
• LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica., 3.ed. São Paulo, Harbra, 1994.
• Tabela de Integrais [1] - www.profwillian.com (original: [2]), por Jack Pogorelsky Jr.
Referências
[1] http:/ / www. profwillian. com/ calculo/ Integrais. htm
[2] http:/ / www. pogorelsky. net/ jack/
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o_gama
http://www.profwillian.com/calculo/Integrais.htm
http://www.pogorelsky.net/jack/
http://www.profwillian.com/calculo/Integrais.htm
http://www.pogorelsky.net/jack/
Anexo:Lista de integrais de funções racionais 8
Anexo:Lista de integrais de funções racionais
A seguinte lista contém integrais de funções racionais.
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o_racional
Anexo:Lista de integrais de funções racionais 9
Anexo:Lista de integrais de funções logarítmicas
Segue uma lista de integrais de funções logarítmicas. Para uma lista geral de integrais, ver tábua de integrais.
Nota: assume-se x>0 neste artigo.
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Logaritmo
Anexo:Lista de integrais de funções logarítmicas 10
Referência
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and
Mathematical Tables, 1964. A few integrals are listed on page 69 [1] in this classic book.
Referências
[1] http:/ / www. math. sfu. ca/ ~cbm/ aands/ page_69. htm
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Milton_Abramowitz
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Irene_A._Stegun
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Abramowitz_and_Stegun
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Abramowitz_and_Stegun
http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_69.htm
http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_69.htm
Anexo:Lista de integrais de funções exponenciais 11
Anexo:Lista de integrais de funções exponenciais
A lista seguinte contém integrais de funções exponenciais.
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o_exponencial
Anexo:Lista de integrais de funções irracionais 12
Anexo:Lista de integrais de funções irracionais
A lista seguinte contém integrais de funções irracionais.
Integrais envolvendo 
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Integral
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o_irracional
Anexo:Lista de integrais de funções irracionais 13
Integrais envolvendo 
Assuma , for , ver próxima secção:
Note que , de onde os valores positivos de 
são para retirar.
Anexo:Lista de integrais de funções irracionais 14
Integrais envolvendo 
Integrais envolvendo 
Anexo:Lista de integrais de funções irracionais 15
Integrais envolvendo 
Anexo:Lista de integrais de funções trigonométricas 16
Anexo:Lista de integrais de funções
trigonométricas
A lista seguinte contém integrais de funções trigonométricas.
A constante "c" é assumida como não nula.
Integrais de funções trigonométricas contendo apenas sin
onde cvs{x} é a função de Coversene
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Seno
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Coversene
Anexo:Lista de integrais de funções trigonométricas 17
Integrais de funções trigonométricas contendo apenas cos
Integrais de funções trigonométricas contendo apenas tan
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Cosseno
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Tangente
Anexo:Lista de integrais de funções trigonométricas 18
Integrais de funções trigonométricas contendo apenas sec
Integrais de funções trigonométricas contendo apenas csc
Integrais de funções trigonométricas contendo apenas cot
Integrais de funções trigonométricas contendo sin e cos
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Secante
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Cosecante
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Cotangente
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Seno
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Cosseno
Anexo:Lista de integrais de funções trigonométricas 19
também:
também: 
também: 
Anexo:Lista de integrais de funções trigonométricas 20
também: 
também: 
Integrais de funções trigonométricas contendo sin e tan
Integrais de funções trigonométricas contendo cos e tan
Integrais de funções trigonométricas contendo sin e cot
Integrais de funções trigonométricas contendo cos e cot
Integrais de funções trigonométricas contendo tan e cot
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Seno
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Tangente
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Cosseno
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Tangente
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Seno
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Cotangente
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Cosseno
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Cotangente
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Tangente
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Cotangente
Fontes e Editores da Página 21
Fontes e Editores da Página
Métodos de integração  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=26752873  Contribuidores: 8gpgk8, Bisbis, Bonás, Faustino.F, GOE2, HVL, JCSantos, Luisloros, Salgueiro,
Tuliohmendes, Userbb, 43 edições anónimas
Tábua de integrais  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=26014182  Contribuidores: Albmont, Arges, Coelhoscoelho, Cícero, Der kenner, Fernando S. Aldado, Flip, Francisco
Quiumento, JSSX, José1, Lechatjaune, LeonardoRob0t, Luis Dantas, Luis costa, Manuel Anastácio, Miguel.econ, Momergil, OS2Warp, Osias, Planax, Rei-artur, Rômulo Penido, Salgueiro,
Sampayu, Tilgon, Tschulz, 72 edições anónimas
Anexo:Lista de integrais de funções racionais  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=26711827Contribuidores: Burmeister, Cralize, E2m, Lijealso, Salgueiro, Txus.aparicio, 1
edições anónimas
Anexo:Lista de integrais de funções logarítmicas  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=26719914  Contribuidores: Albmont, JotaCartas, Sampayu, Txus.aparicio
Anexo:Lista de integrais de funções exponenciais  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=26717272  Contribuidores: E2m, Lijealso, Osnimf, Salgueiro, Txus.aparicio
Anexo:Lista de integrais de funções irracionais  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=26713294  Contribuidores: E2m, Lijealso, Osnimf, Salgueiro
Anexo:Lista de integrais de funções trigonométricas  Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=26719800  Contribuidores: E2m, Lijealso, Marcos-cruz, Salgueiro, Yanguas, 7 edições
anónimas
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Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 1
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração
Wikiversidade - Disciplina: Cálculo II
<< Análise de funções elementares II Indeterminação e integrais impróprias >>
Considerações iniciais
A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises
de cálculos diversos, além disso o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de
absorver a sua essência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados
algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico.
Devido à necessidade de exercício dessas técnicas que apresentaremos, teremos mais exemplos neste capítulo, uma
ótima maneira de introduzir o conteúdo enquanto a teoria é exposta. A natureza diversa das formas de integrais nos
obriga a fazer este estudo a parte, pois certas funções são peculiarmente difíceis de serem analisadas antes da
utilização de algum artifício que permita sua simplificação, este é o objetivo deste capítulo: trazer ao leitor os
processos de integração e as diversas possibilidades de simplificação de funções para a aplicação destes processos.
Por partes
A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da
regra da diferencial do produto, ou seja:
Que após a antidiferencial se torna:
E, portanto:
A utilização desta fórmula para melhorar o processo de integração implica na necessidade de uma breve explanação,
o processo consiste em observar a função a ser integrada como sendo uma integral , ou seja, devemos
separar a função em duas partes: uma, chamamos de u, que consideraremos função primitiva e outra dv que será uma
diferencial, desta forma, faremos a integração da parte dv para encontrar v e depois subtrairemos a integral da mesma
com relação a diferncial de u: du. Parece um tanto incomun a princípio, porém após o hábito no uso da técnica, esta
se torna muito útil.
Outro fato deve ser explorado: como o processo demanda a integração da diferencial dv nos vem a questão sobre a
necessidade de utilização da constante de antidiferenciação C, portanto façamos a verificação da fórmula
utilizando-a:
Se ,
http://pt.wikiversity.org/w/index.php?title=../An%C3%A1lise_de_fun%C3%A7%C3%B5es_elementares_%282%29
http://pt.wikiversity.org/w/index.php?title=Ficheiro:Griechisches_Alphabet.svg
http://pt.wikiversity.org/w/index.php?title=../Indetermina%C3%A7%C3%A3o_e_integrais_impr%C3%B3prias
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 2
Ou seja, a constante é dispensável para o cálculo da integral que resulta em v.
Exemplo 1 - Caso do logaritmo
Utilização da integração por partes na resolução da integral do logaritmo natural:
Separamos a diferencial dx e a primitiva , procedendo as operações inversas:
depois:
Aplicando à fórmula de integração por partes:
Também há os que preferem simplificar mais, desta forma:
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Exemplo 2 - Caso do arcseno
Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arcseno:
Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:
depois:
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 3
Aplicando à fórmula da integração por partes:
agora consideremos o seguinte:
logo:
Portanto:
Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.
Exemplo 3 - Caso do arccosseno
Utilização da integração por partes para encontrar a integral do arccosseno:
Separamos as partes e operamos para encontrar as respectivas inversas:
depois:
Aplicando à fórmula da integração por partes:
agora consideremos o seguinte:
logo:
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 4
Portanto:
Sendo C a nossa tradicional constante de antidiferenciação.
Exemplo 4 - Caso do arctangente
Utilizando a integração por partes para encontrar a integral do arctangente:
Separando as partes e operando as inversas:
e
Aplicamos a fórmula da integração por partes:
Por outro lado:
onde podemos extrair:
voltando ao desenvolvimento da integral:
Portanto:
Novamente, temos C como contante de antidiferenciação.
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 5
Exemplo 5 - Algébricas com exponenciais
Este é um exemplo que nos revela uma função claramente divisível em duas partes:
Considerando as partes:
e:
Substituindo na fórmula de integração por partes:
O segundo lado desta expressão pode ser novamente simplificado, aplicando a integração por partes mais uma vez:
Portanto:
Exemplo 6 - Secante com expoente maior que 2
Utilizando a integração por partes para resolução da integral de secantes com expoente maior que 2:
Podemos fazer:
E aplicar a integração por partes:
E finalmente:
Com C constante.
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 6
Por substituição trigonomética
A existência de relações algébricas que nos levam a arcos nos traz a possibilidade de converter uma expressão
algébrica, conseqüentemente uma função algébrica, em uma função trigonométrica. A possibilidade de lidar com
certas funções de forma trigonométrica nos traz a possibilidade de utilizar os artifícios das identidades para a
simplificação dessas funções.
Transformando expressões algébricas em trigonométricas
Três funções algébricas têm semelhanças com funções trigonométricas que são notoriamente úteis para a
simplificação de algumas funções, elas são:
1.
2.
3.
Sendo "a" constante.
Note que as expressões são meramente relações quadráticas que descendem da relação quadrática entre todos os
lados de um mesmo triângulo: , se escolhermos um par (variável,constante) e substituirmos na
equação teremos as expressões acima como resultantes, teremos uma variável dependente para cada par
(variável,constante), por exemplo: se fizermos , e teremos a expressão (2)
como resultante (y).
Imagine que temos uma nova variável e que:
Sendo: 
Podemos dizer que:
Portanto:
 quando e 
O exposto acima encontra respaudo no fato de que a expressão é simplesmente a tradução da relação métrica de um
triângulo retângulo para definição do cosseno a partir do seno, como segue:
Se fizermos a comparação entre as funções e o gráfico acima, substituindo as variáveis e constantes de acordo com a
função dada, teremos o seguinte:
1. Na função é uma tangente;
2. Na função é um seno;
3. Na função é uma secante.
O que nos dá as substituições:
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 7
Expressão Substituição
A substituição trigonométrica na integração
Agora, considere o fato de que a função tem como integral a função , então podemos
fazer:
Uma vez, que pela análise anterior já sabemos que quando fazemos temos:
então:
Temos que encontrar :
O que nos revela algo interessante:
Ou seja:
Logo:
Exemplo 7 - Substituição por seno
Seja a função: , calculemos a sua integral por substituição trigonométrica:
Fazendo a transformação de variáveis:
A integral será:
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 8
Como:
Portanto:
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Exemplo 8 - Substituiçãopor secante
Seja a função: , calculemos a sua integral por substituição trigonométrica:
Se
Introduzimos a variável angular , de forma que:
e sua diferencial:
Substituindo na equação anterior:
Retornando a função ao domínio da variável x:
Portanto:
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 9
 
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Exemplo 9 - Substituição por tangente
Seja a função: , calculemos a sua integral por substituição trigonométrica:
Se
Introduzimos a variável angular , de forma que:
e sua diferencial:
Substituindo na equação anterior:
Retornando a função ao domínio da variável x:
Portanto:
 
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 10
Funções racionais com denominadores lineares
Denominadores de segundo grau ou mais são um pouco mais problemáticos quando queremos definir uma integral,
por exemplo:
Seja a função: 
É possível demonstrar que a função pode ser fatorada da seguinte forma:
Onde A e B são os fatores a serem definidos; o processo para definí-los será explicado mais adiante e são as
raizes da equação formada a partir do denominador quando o igualamos a zero.
Porém a demonstração disto está fora do escopo deste livro, deve ser tratado na algebra avançada.
Em todo caso, o teorema é bastante útil para a simplificação de tais funções.
Conceito da fatoração de funções racionais polinomiais
As funções racionais do formato: têm uma característica bem interessante, os seus denominadores 
, quando fatorados em partes lineares e quadráticas permitem que possamos escrever a referida função como uma
soma:
Seja a função , podemos simplificá-la desta forma:
Considerando as raizes da equação , podemos dizer que:
Os fatores são calculados fazendo:
logo, as raizes permitem: , então temos que admitir que ao analisar cada raiz:
Quando :
Quando :
então, podemos fazer:
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 11
A simplificação de denominadores usada na integração
O artifício de encontrar componentes lineares para substituir os denominadores, como exposto no tópico anterior,
permite uma boa simplificação de integrais com denominadores polinomiais de graus superiores, porém ainda
depende da determinação das raízes do polinômio dos denominadores, o que limita a nossa capacidade de resolução
aos polinômios biquadráticos. Sem levar em conta este fato, podemos simplificar a integral para uma boa parcela de
problemas que apresentam estes formatos de expressões.
Vejamos o caso anterior:
A função:
,
pode ser substituida por:
O que nos permite fazer:
Com C Constante.
Exemplo 10 - Decomposição do denominador em fatores lineares
Utilizando a decomposição de funções racionais em funções de denominadores lineares para a simplificação de
integrais.
Seja a função:
Encontremos a integral:
Devemos simplificar a função, para isto podemos efetuar a divisão polinomial, que resulta:
Ainda resta uma parte fracionária que podemos decompor usando o método que já vimos neste capítulo:
As raízes nos revelam que:
logo podemos fazer:
ou
Analisando os valores da equação quando x se iguala as raízes:
Para :
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 12
Para :
Podemos concluir que:
Desta forma temos a função simplificada:
Podemos integrá-la:
Portanto:
Sendo C a constante de antidiferenciação.
Funções racionais com denominadores quadráticos
A segunda categoria de funções racionais às quais temos que nos aplicar são as que dão origem a denominadores
quadráticos.
Decompondo funções racionais em denominadores quadráticos
Quando não temos como encontrar as raizes de certos denominadores quadráticos podemos mantê-los e utilizar a
seguinte substituição:
O teorema que estabelece esta relação faz parte da álgebra avançada, portanto não entraremos em detalhe neste livro,
porém faremos uso de suas consequências como forma de simplificação, como fizemos com a decomposição de
denominadores em fatores lineares vista na seção anterior.
A melhor maneira de definir a parte é substituir a variável x nesta fazendo-a igual a derivada do
denominador, ou seja:
No lado esquerdo da equação acima, se houver variáveis de expoente maior que o maior expoente do lado direito
devemos proceder uma simplificação efetuando a divisão dos polinômios, caso contrário teríamos:
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 13
Separamos cada fator de acordo com o grau da variável, obtendo:
Para 
Para 
logo:
e 
Porém em funções racionais mais comuns temos que lidar com funções com partes lineares e quadráticas, onde o
processo de encontrar os valores para depende das outras partes envolvidas, para verificar o processo,
vejamos o próximo exemplo...
Exemplo 11 - Decomposição de funções racionais em denominadores quadráticos e lineares
Utilizando a decomposição de funções racionais com denominadores quadráticos para simplificar o cálculo da
integral.
Seja a função:
Calculemos a sua integral indefinida:
Antes de tudo façamos a simplificação dos polinômios, primeiro faremos a divisão simples do numerador pelo
denominador:
Da divisão separamos a parte do resto:
Procedendo a decomposição dos fatores:
Que nos permite fazer:
Quando separamos os fatores para cada variável de expoente correspondente em ambos os lados da equação, temos:
Resolvendo o sistema linear temos:
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 14
Podemos escrever a função como:
Agora podemos integrá-la:
Portanto:
Com C constante.
Por substituição hiperbólica
Se podemos fazer substituições trigonométricas em funções algébricas e existem funções hiperbólicas, por que não
utilizar o mesmo método de substituição com funções hiperbólicas? Temos mais esta possibilidade para simplificar a
integração de funções algébricas; Detalharemos nesta seção as formas de substituição com funções hiperbólicas, que
podem ser uma valorosa ferramenta para a integração de funções mais complexas.
Integrais resultantes das hiperbólicas inversas
Como conseqüência das derivadas de funções hiperbólicas inversas, temos as seguintes integrais:
Função: Derivada: Integral relacionada:
, 
, 
, 
, 
, 
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 15
Transformando funções algébricas em hiberbólicas
A técnica aqui exposta é semelhante à abordada na seção Transformando expressões algébricas em trigonométricas,
a diferença básica está nas expressões a serem substituídas, uma vez que as identidades trigonométricas e
hiperbólicas são sutilmente distintas, as expressões seguem a mesma tendência. Então vamos ver quais são as
correspondentes algébricas para as funções hiperbólicas:
1. Na função é um seno hiperbólico;
2. Na função é uma tangente hiperbólica;
3. Na função é uma cotangente hiperbólica.
O que nos dá as substituições:
Expressão Substituição
Em todas as substituições consideramos um triângulo retângulo cujo vértice relacionado ao ângulo faz parte de
uma perspectiva hiperbólica, ou seja, o ângulo está em , trata-se de uma abstração que pode ser
comprovada em cálculo avançado, o nosso objetivo aqui é de fornecer as ferramentas necessárias para análises desse
tipo.
A substituição hiberbólica na integração
Considere a função: e que sua integral seja: , então teremos:
Concebemos uma nova variável de forma que:
conseqüentemente, sua diferencial é:
Substituindo na equação inicial, temos:
Ou seja:
Porém, devido a natureza exponencial das funções hiperbólicas inversas, ainda podemos transformar esta equação na
forma puramente logarítmica:
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 16
Finalmente:
Funções racionais trigonométricas
O problema da integração de funções racionais trigonométrica consiste, basicamente, na característica da
complexibilização progressiva quando estas funções são submetidas às técnicas convencionais de substituição, no
momento que tentamos substituir a expressão original temos que definir sua diferencial, o que implica na criação de
mais um termo a ser incorporado a expressão original.
Digamos que tenhamos que integrar a função:
Ao adotarmos a linhatradicional de substituições teremos:
e
no entanto:
logo teremos que integrar:
de forma que:
Que, pelo menos, é uma função algébrica pura, mas que ainda demanda um certo trabalho para ser integrada...
Portanto concluimos que o processo de substituição de variáveis e diferenciais não ajuda muito.
Nesta seção exporemos um método de substituição mais eficiente para estes casos.
Usando as identidades trigonométricas
Apresentamos duas identidades que serão muito úteis para a simplifição de funções racionais trigonométricas, são
elas:
1. Seno em forma algébrica
2. Cosseno em forma algébrica
Basicamente são resultantes de um processo de substituição mais bem estruturado, para possibilitar a simplificação
da integração.
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 17
I-17 Cosseno em forma algébrica
A identidade relacionada ao Cosseno é apresentada antes da relacionada ao seno pois será útil para a sua dedução.
Considere a seguinte definição:
logo, é dedutível que:
• Demonstração:
Considerando a identidade I-2 Cosseno da soma, temos, por conseqüência:
Se :
ou
Por outro lado:
Substituindo na identidade temos:
que nos dá:
I-18 Seno em forma algébrica
Ainda considerando a definição:
também é dedutível que:
• Demonstração:
Da identidade anterior:
http://pt.wikiversity.org/w/index.php?title=../An%C3%A1lise_de_fun%C3%A7%C3%B5es_elementares_%281%29%23I-2_Cosseno_da_soma
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 18
Da I-1 Identidade relacional básica:
Fazendo as substituições:
logo:
Integrando
Temos duas funções trigonométricas fundamentais na forma algébrica para substituir as originais na forma
trigonométrica, porém para integrar as funções racionais substituindo-as por estas temos que encontrar uma
diferencial correspondente para esta nova variável algébrica que criamos.
Da definição inicial:
Diferenciando:
Da identidade I-14 Relacionando tangente e secante:
de onde concluimos que:
 
Agora podemos encontrar a integral proposta no início da seção:
para , temos:
ou seja:
http://pt.wikiversity.org/w/index.php?title=../An%C3%A1lise_de_fun%C3%A7%C3%B5es_elementares_%281%29%23I-1_Identidade_relacional_b%C3%A1sica
http://pt.wikiversity.org/w/index.php?title=../An%C3%A1lise_de_fun%C3%A7%C3%B5es_elementares_%282%29%23I-14_Relacionando_tangente_e_secante
Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração 19
Não é incrível? !!!
e
Jamais poderemos nos esquecer de C, a famigerada constante de antidiferenciação que tanto nos persegue.
Tabela de integrais
Para auxiliar nos cálculos, consulte a tabela de integrais na wikipédia
acima: Índice
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http://pt.wikiversity.org/w/index.php?title=W:T%C3%A1bua_de_integrais
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http://pt.wikiversity.org/w/index.php?title=../An%C3%A1lise_de_fun%C3%A7%C3%B5es_elementares_%282%29
http://pt.wikiversity.org/w/index.php?title=../Indetermina%C3%A7%C3%A3o_e_integrais_impr%C3%B3prias
Fontes e Editores da Página 20
Fontes e Editores da Página
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	Introdução ao Cálculo/Técnicas de integração
	Considerações iniciais 
	Por partes 
	Exemplo 1 - Caso do logaritmo 
	Exemplo 2 - Caso do arcseno 
	Exemplo 3 - Caso do arccosseno 
	Exemplo 4 - Caso do arctangente 
	Exemplo 5 - Algébricas com exponenciais 
	Exemplo 6 - Secante com expoente maior que 2 
	Por substituição trigonomética 
	Transformando expressões algébricas em trigonométricas 
	A substituição trigonométrica na integração 
	Exemplo 7 - Substituição por seno 
	Exemplo 8 - Substituição por secante 
	Exemplo 9 - Substituição por tangente 
	Funções racionais com denominadores lineares 
	Conceito da fatoração de funções racionais polinomiais 
	A simplificação de denominadores usada na integração 
	Exemplo 10 - Decomposição do denominador em fatores lineares 
	Funções racionais com denominadores quadráticos 
	Decompondo funções racionais em denominadores quadráticos 
	Exemplo 11 - Decomposição de funções racionais em denominadores quadráticos e lineares 
	Por substituição hiperbólica 
	Integrais resultantes das hiperbólicas inversas 
	Transformando funções algébricas em hiberbólicas 
	A substituição hiberbólica na integração 
	Funções racionais trigonométricas 
	Usando as identidades trigonométricas 
	Integrando 
	Tabela de integrais 
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