Assimetria, curtose e probabilidade

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CURSO DE ADMINISTRAÇÃO E CONTÁBEIS
Estatística
Assimetria, Curtose e Probabilidade
Professor Julio Servulo
Assimetria e Curtose
Assimetria
Após conhecermos as medidas de posição moda, mediana e
média aritmética, veremos agora como elas se comportam
relativamente uma em relação às outras. A assimetria de
determinada base de dados possibilita analisar uma distribuição
de acordo com as relações entre suas medidas de moda,
média e mediana, quando observadas graficamente. Uma
distribuição é dita simétrica quando apresenta o mesmo valor
para a moda, a média e a mediana. Ou seja, essas medidas,
teoricamente, coincidem no ponto central da distribuição.
Assimetria e Curtose
Nesse exemplo, tanto a média aritmética quanto a mediana e a
moda se localizam no ponto 10 do eixo dos x. Mas, não é
sempre que isso acontece na prática. É possível que haja
pequenas diferenças entre as três medidas e, ainda assim,
consideremos a distribuição como sendo simétrica. Resumindo,
teoricamente, a moda, a média aritmética e a mediana se
localizam no ponto central da distribuição.
Assimetria e Curtose
Mas quando essa igualdade não acontece, teremos
distribuições assimétricas, ou seja, distribuições em que a
“corcunda” do gráfico está mais à direita ou mais à esquerda.
Dependendo do lado em que se encontre a corcunda – direito
ou esquerdo, teremos uma distribuição assimétrica à direita ou
uma distribuição assimétrica à esquerda. Observando a figura
abaixo poderemos tirar as seguintes conclusões:
Assimetria e Curtose
A distribuição (a) é simétrica porque a média “coincide” com a
mediana e a moda. A distribuição (b) é assimétrica à direita
porque a moda é menor que a mediana, que, por sua vez, é
menor que a média aritmética. A distribuição (c) é assimétrica
à esquerda porque a média aritmética é menor que a mediana
que, por sua vez, é menor que a moda.
Assim, concluímos que a mediana deve estar em algum ponto
entre o valor da média e o valor da moda, mas pode também
ser igual à moda e à média, não simultaneamente, para
termos ainda uma distribuição assimétrica. Com essas três
medidas de posição, podemos determinar a ASSIMETRIA da
curva de distribuição de frequência.
Assimetria e Curtose
1o Caso: Média = Mediana = Moda - a curva da
distribuição é SIMÉTRICA
2o Caso: Média < Mediana < Moda - a curva da
distribuição tem ASSIMETRIA NEGATIVA
3o Caso: Média > Mediana > Moda - a curva da
distribuição tem ASSIMETRIA POSITIVA
Assimetria e Curtose
O que significa analisar um conjunto quanto à Curtose?
Significa apenas verificar o “grau de achatamento da curva”.
Ou seja, saber se a Curva de Frequência que representa o
conjunto é mais “afilada” ou mais “achatada” em relação a uma
Curva Padrão, chamada de Curva Normal.
Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um
conjunto, as seguintes possibilidades:
Curva LeptocúrticaCurva Leptocúrtica
Curva Mesocúrtica
Curva Platicúrtica
Assimetria e Curtose
Logo, como vemos acima, uma curva (um conjunto) poderá
ser, quanto à sua Curtose:
- Mesocúrtica: ou de curtose média! Será essa a nossa
Curva Normal. “Meso” lembra meio! Esta curva está no
meio termo: nem muito achatada, nem muito afilada;
- Platicúrtica: é a curva mais achatada. Seu desenho lembra
o de um prato emborcado, estão vendo? Então “prato”
lembra “plati” e “plati” lembra “platicúrtica”;
- Leptocúrtica: é a curva mais afilada!
Assimetria e Curtose
Encontraremos este índice usando a seguinte fórmula:
 
 19
13
2 DD
QQ
C



Índice Percentílico de Curtose
Onde:
- Q3 é o terceiro quartil;
- Q1 é o primeiro quartil;
- D9 é o nono decil e
- D1 é o primeiro decil. Ou seja, trabalharemos aqui com
duas Medidas Separatrizes – o Quartil e o Decil!
Assimetria e Curtose
Exercícios na próxima aula
O conceito de Probabilidade
O estudo da probabilidade vem da necessidade de em certas situações,
prevermos a possibilidade de ocorrência de determinados fatos.
Ao começarmos o estudo da probabilidade, normalmente a primeira ideia
que nos vem à mente é a da sua utilização em jogos, mas podemos
utilizá-lo em muitas outras áreas. Um bom exemplo é na área comercial,
onde um site de comércio eletrônico pode dela se utilizar, para prever a
possibilidade de fraude por parte de um possível comprador.
Para iniciarmos o estudo da probabilidade, vamos a seguir definir alguns
conceitos importantes sobre a matéria.
Experimento Aleatório
Se lançarmos uma moeda ao chão para observarmos a face que ficou
para cima, o resultado é imprevisível, pois tanto pode dar cara, quanto
pode dar coroa.
Se ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o
resultado será mais imprevisível ainda, pois aumentamos o número de
possibilidades de resultado.
A experimentos como estes, ocorrendo nas mesmas condições ou em
condições semelhantes, que podem apresentar resultados diferentes a
cada ocorrência, damos o nome de experimentos aleatórios.
Espaço Amostral
Ao lançarmos uma moeda não sabemos qual será a face que ficará para
cima, no entanto podemos afirmar com toda certeza que ou será cara, ou
será coroa, pois uma moeda só possui estas duas faces. Neste exemplo,
ao conjunto { cara, coroa } damos o nome de espaço amostral, pois ele é
o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer neste experimento.
Representamos um espaço amostral, ou espaço amostral universal
como também é chamado, pela letra S. No caso da moeda representamos o
seu espaço amostral por:
S = { cara, coroa }
Se novamente ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado,
o espaço amostral será:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Classificação de Eventos
Podemos classificar os eventos por vários tipos. Vejamos alguns deles:
Evento Simples
Classificamos assim os eventos que são formados por um único elemento
do espaço amostral. A = { 5 } é a representação de um evento simples do
lançamento de um dado cuja face para cima é divisível por 5. Nenhuma
das outras possibilidades são divisíveis por 5.
Evento Certo
Ao lançarmos um dado é certo que a face que ficará para cima, terá um
número divisor de 720. Este é um evento certo, pois
720 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1, obviamente qualquer um dos números da face
de um dado é um divisor de 720, pois 720 é o produto de todos eles.
O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um evento certo pois ele
possui todos os elementos do espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Classificação de Eventos
Classificação de Eventos
Classificação de Eventos
Ocorrência de um Evento
Os três irmãos Pedro, João e Luís foram brincar na rua. Supondo-se que
as condições de retorno para casa são as mesmas para cada um deles,
qual é a probabilidade de Luís voltar para casa primeiro?
Como 3 é o número total de irmãos, então Luís tem 1 chance em 3 de
voltar para casa primeiro, por isto a probabilidade de Luís voltar para
casa antes dos seus irmãos é igual a 1/3.
Definição
A probabilidade de um evento ocorrer (Luís voltar para casa primeiro)
considerando-se um espaço amostral (Pedro, João e Luís) é igual a razão
do número de elementos do evento (1, apenas Luís) para o número de
elementos do espaço amostral (3, o número de irmãos que foram brincar
na rua), desde que espaço o amostral seja um conjunto equiprovável, ou
seja, todos os seus elementos tenham a mesma possibilidade de ocorrer (as
condições de retorno para casa são as mesmas para os três irmãos). Sendo
E um evento, n(E) o seu número de elementos, S o espaço amostral não
vazio e n(S) a quantidade de elementos do mesmo, temos que a
probabilidade de E ocorrer é igual a:
sendo n(S)≠0. A probabilidade é um númeroentre zero e um, inclusive, o que
significa que no mínimo não a nenhuma hipótese do evento acontecer e no
máximo o evento sempre ocorrerá: 0 ≤ P(E) ≤ 1.
Normalmente representamos probabilidades através de frações, mas
também podemos representá-las por números decimais, ou até mesmo por
porcentagens.
Exemplo
Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número
divisor de 6?
Como vimos acima, o espaço amostral do lançamento de um dado é:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Como estamos interessados apenas nos resultados divisores de 6, o
evento E é representado por:
E = { 1, 2, 3, 6 }
Então n(E) = 4 e n(S) = 6, portanto:
Podemos também apresentar o resultado na forma de uma porcentagem:
A probabilidade de se obter um número divisor de 6 é 2/3 ou 66,67%.
Problemas de Contagem
Princípio Fundamental de Contagem
“Se um certo acontecimento pode ocorrer de n1 maneiras diferentes e se,
após este acontecimento, um segundo pode ocorrer de n2 maneiras 
diferentes e, após este segundo acontecimento, um terceiro pode ocorrer 
de n3 maneiras diferentes …, então o número de modos diferentes em 
que os acontecimentos podem ocorrer na ordem indicada é n1 x n2 x n3…”
Exemplo:
No lançamento de dois dados, quantas possibilidades podem acontecer?
Se contarmos todas as possibilidades verificamos que são 36, o mesmo 
número que obtemos se aplicarmos o “Princípio Fundamental de Contagem”
6 x 6 = 36.
Análise Combinatória
Quando o número de elementos é elevado, a contagem pelos
processos anteriores é praticamente impossível e, nestes
casos, recorre-se á análise combinatória. Assim, a análise
combinatória pode ser entendida como um conjunto de
processos alternativos e simplificados de contagem.
Partimos sempre de um conjunto com um número finito de
elementos (números, pessoas, objetos, letras …). Com os
elementos desse conjunto formam-se Sequências ou
Subconjuntos.
Análise Combinatória
O processo de cálculo do número de sequências que é
possível formar vai depender de dois factores:
- Ordem dos seus elementos;
- Repetição dos seus elementos (sim ou não).
Na formação de Subconjuntos não interessa a ordem e
os elementos não de repetem. Casos em que na contagem
interessa a ordem:
- Arranjos com ou sem Repetição;
- Permutações.
Casos em que não interessa a ordem:
- Combinações.
O conceito de probabilidade -
propriedades
P1: A probabilidade do evento impossível é nula.
Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos:
p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0
Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de 
se retirar uma bola verde (evento impossível, neste caso) é nula. 
P2: A probabilidade do evento certo é igual a unidade. 
Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1
Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade 
de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1. 
P3: A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado 
no intervalo real [0, 1]. 
Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima. 
O conceito de probabilidade -
propriedades
P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento 
complementar é igual a unidade. Seja o evento A e o seu 
complementar A'. Sabemos que A U A' = U.
n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U).
Dividindo ambos os membros por n(U), vem: 
n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:
p(A) + p(A') = 1
Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita 
a solução de muitos problemas aparentemente complicados. 
Em muitos casos, é mais fácil calcular a probabilidade do 
evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil 
determinar a probabilidade do evento. 
O conceito de probabilidade -
propriedades
O conceito de probabilidade -
propriedades
Exercícicios
Considerando a ementa de um restaurante, quantas refeições diferentes é
possível fazer neste restaurante, incluindo uma entrada, um prato e uma
sobremesa?
Exercícicios
Num baralho de 52 cartas quantas sequências (interessa
a ordem) diferentes se podem formar ao tirar sucessivamente 3 
cartas sem reposição?
Exercícios
Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: 
a) sair o número 3: b) sair um número par: c) sair um múltiplo de 3: d) sair 
um número menor do que 3: e) sair um quadrado perfeito:. 
Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de: 
a) sair a soma 8: b) sair a soma 12.
Exercícios
Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas.
Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes:
a) sair bola azul; b) sair bola vermelha; c) sair bola amarela