Estatistica Aplicada

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UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIP
INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E COMUNICAÇÃO
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS
ANDERSON SARMENTO DA SILVA
R.A: C3164G3
ESTATÍSTICA APLICADA
SÃO PAULO - SP
2020
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UNIVERSIDADE PAULISTA – UNIP
INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E COMUNICAÇÃO
CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS
ANDERSON SARMENTO DA SILVA
R.A: C3164G3
ESTATÍSTICA APLICADA
SÃO PAULO - SP
2020
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 Estatística no mundo empresarial
Aplicações Empresariais
Para um Executivo ou profissional nas áreas empresariais, raciocinar estatisticamente nos dias de hoje é tão necessário quanto a habilidade de comando. Com a evolução das informações nas empresas, a questão que se coloca hoje não se refere mais à sua escassez, mas como ler e interpretar as informações disponíveis. As necessidades atuais estão requerendo:
Identificar situações problemáticas através de análise de clima organizacional; utilizar a montante de dados armazenados nos computadores de suas empresas para entender melhor o que acontece em seus negócios e melhorar a qualidade de suas decisões; entender o comportamento das vendas de produtos ou serviços; identificar causas de defeitos ou motivadoras da baixa qualidade; Entender o comportamento dos clientes frente a empresa e aos seus produtos;
Portanto, diante da necessidade de tomada de decisões diante de incertezas do mundo empresarial, coloca-se a Estatística como ferramenta importantíssima, talvez a que possa trazer melhores contribuições aos administradores ao lidarem com informações e com os mais diversos problemas encontrados nesse universo.
Não é então de se surpreender que a Estatística seja largamente aplicável em praticamente todas as áreas das mais diversas atividades econômicas/ empresariais e utilizadas na obtenção de conclusões válidas e na tomada de decisões razoáveis baseadas em análise e interpretação de dados. Entre as aplicações no campo da gestão podemos destacar:
A Estatística nos dias de hoje é uma ferramenta indispensável para qualquer profissional que necessita analisar informações em suas tomadas de decisões diárias, seja no seu trabalho ou na sua vida pessoal. Atualmente, o ambiente que rodeia as decisões de carácter financeiro ou de gestão tendem a ser cada vez mais exigentes. Porém a utilização da estatística como suporte para a tomada de decisões é verificada também no mundo antigo, e indícios de sua utilização são encontrados até na Era antes de Cristo.
Introdução
Atualmente vivemos rodeados por uma quantidade de informações tão grande que não podemos deixar de pensar o quanto a Estatística nos é útil e o quanto esta ciência vem configurando-se como uma das competências mais importantes para quem precisa tomar decisões.
O mundo moderno vem sendo objeto de profundas e aceleradas transformações econômicas, políticas e sociais que têm levado os Gestores a adotarem estratégias diferenciadas e criativas para elevar a qualidade de suas empresas.
Estas transformações estão ocorrendo em escala mundial em um processo jamais visto de globalização dos mercados, de formação de blocos econômicos regionais, com uma rapidez de inovações tecnológicas que tudo somado, compõe um cenário extremamente desafiante para a competitividade das empresas.
Este trabalho tem por objetivo destacar a importância da estatística na gestão das empresas e no mundo globalizado.
Definição
Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, a organização, a descrição, a análise e a interpretação de dados, visando à tomada de decisões.
.
Na indústria e no comércio podem-se comparar produções e volumes de vendas em relação ao total por região, estudar a situação dos mercados e suas tendências.
A Estatística é uma ciência que se dedica ao desenvolvimento e ao uso de métodos para a coleta, resumo, organização, apresentação e análise de dados. (Farias Soares & César, 2003)
A palavra estatística tem origem na palavra em latim status, traduzida como o estudo do Estado e significava, originalmente, uma coleção de informação de interesse para o estado sobre população e economia. Essas informações eram coletadas objetivando o resumo de informações indispensáveis para os governantes conhecerem suas nações e para a construção de programas de governo.
O que é estatística?
A palavra estatística tem origem na palavra em latim status, traduzida como o estudo do Estado e significava, originalmente, uma coleção de informação de interesse para o estado sobre população e economia. Essas informações eram coletadas objetivando o resumo de informações indispensáveis para os governantes conhecerem suas nações e para a construção de programas de governo.
Atualmente vivemos rodeados por uma quantidade de informações tão grande que não podemos deixar de pensar o quanto a Estatística nos é útil e o quanto esta ciência vem configurando-se como uma das competências mais importantes para quem precisa tomar decisões.
Não podemos escapar dos dados, assim como não podemos evitar o uso de palavras. Tal como palavras os dados não se interpretam a si mesmos, mas devem ser lidos com entendimento. Da mesma maneira que um escritor pode dispor as palavras em argumentos convincentes ou frases sem sentido, assim também os dados podem ser convincentes, enganosos ou simplesmente inócuos. A instrução numérica, a capacidade de acompanhar e compreender argumentos baseados em dados, é importante para qualquer um de nós. O estudo da estatística é parte essencial de uma formação sólida." Moore (2000).
Importância da Estatística
A Estatística é a ciência que coleta, organiza e interpreta dados utilizando técnicas para lidar com a variabilidade, ou seja, é uma coleção de métodos utilizados para converter dados brutos em informações que auxiliem na tomada de decisão, podendo resolver quase todos os problemas da vida real que envolvam conjuntos de dados.
A Estatística é de suma importância para empresários, administradores, gestores, para comparar grupos de variáveis relacionadas entre si e obter um quadro simples e resumido das mudanças significativas nas áreas relacionadas como preços de matérias primas, cadastros, preços de produtos acabados, preço final de produtos, financeiro, marketing, volume físico dos produtos, controle de qualidade.
O controle de qualidade de produtos não constitui novidade; é ele, de fato, tão antigo como a própria indústria. Durante muito tempo foi realizado sob a forma tradicional denominada "inspeção". Somente a partir de 1920, no entanto, é que se verificou o desenvolvimento do Controle Estatístico da Qualidade, cuja aplicação vem se tornando generalizada nos países industrializados.
A grande contribuição da estatística não se baseia tanto no fato de levar um grupo de estatísticos altamente qualificados para uma indústria, mas no fato de criar uma geração de físicos, matemáticos e químicos com uma mentalidade estatística, os quais irão, de algum modo, dar uma ajuda no desenvolvimento e no direcionamento dos processos de produção no futuro. Walter Shewart (1891-1967)
A questão da competitividade é sobremaneira importante nos mais diversos níveis com que pode ser analisada, ou seja, em nível de nação, de setor econômico e de empresas. Em particular, interessa a questão olhada sob a ótica das organizações que necessitam aprimorar a própria competitividade para sobreviver e vencer neste ambiente cada vez mais desafiador.
A necessidade de se oferecer um produto ou serviço pleno de condições competitivas surge como sendo vital para a sobrevivência de uma Empresa. Tal condição tem como princípio a gestão empresarial, baseando-se na gestão de pessoas e processo em busca da qualidade total. A procura de clientes não mais se resume em ter um baixo preço, e sim produtos e serviços que forneça com qualidade aquilo a que se propõe, e a aplicação da Estatística é primordial nestes casos.
O conhecimento de estatística é fundamental no ambiente empresarial, seja na análise de conjunto de dados, seja na previsão de variáveis.
 Conclusão
Desejo demostrar a importância da estatística ecomo é importante o seu estudo e compreensão por parte dos empreendedores. Assim, não só a gestão empresarial, com a otimização dos fatores de produção, somados as ferramentas de qualidade e produtividade são suficientes, se estas não contarem com um suporte dos métodos estatísticos para controle e mensuração dos resultados e informações obtidas.
Através disto, os administradores, tomam frente de novas situações de negócios e necessitam de tomadas de decisões rápidas, precisas, eficientes e eficazes. Dá para até tomar nota da receita de como satisfazer clientes, e competir com empresas mundiais no mercado globalizado, cada indivíduo dentro da corporação necessita de fatores determinantes de sucesso para sua carreira, para assim garantir seu sustento pôr muito mais tempo, e emprego efetivo ou não até o fim de sua vida.
Já se dizia há um século que raciocinar estatisticamente será um dia tão necessário quanto à habilidade de ler e escrever.
Probabilidade
MATEMÁTICA
Probabilidade é o estudo das chances de ocorrência de um resultado, que são obtidas pela razão entre casos favoráveis e casos possíveis.
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Probabilidade é um ramo da Matemática em que as chances de ocorrência de experimentos são calculadas. É por meio de uma probabilidade, por exemplo, que podemos saber desde a chance de obter cara ou coroa no lançamento de uma moeda até a chance de erro em pesquisas.
Para compreender esse ramo, é extremamente importante conhecer suas definições mais básicas, como a fórmula para o cálculo de probabilidades em espaços amostrais equiprováveis, probabilidade da união de dois eventos, probabilidade do evento complementar etc.
Experimento aleatório
É qualquer experiência cujo resultado não seja conhecido. Por exemplo: ao jogar uma moeda e observar a face superior, é impossível saber qual das faces da moeda ficará voltada para cima, exceto no caso em que a moeda seja viciada (modificada para ter um resultado mais frequentemente).
Suponha que uma sacola de supermercado contenha maçãs verdes e vermelhas. Retirar uma maçã de dentro da sacola sem olhar também é um experimento aleatório.
Ponto amostral
Um ponto amostral é qualquer resultado possível em um experimento aleatório. Por exemplo: no lançamento de um dado, o resultado (o número que aparece na face superior) pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Então, cada um desses números é um ponto amostral desse experimento.
Espaço amostral
O espaço amostral é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento aleatório, ou seja, por todos os seus resultados possíveis. Dessa maneira, o resultado de um experimento aleatório, mesmo que não seja previsível, sempre pode ser encontrado dentro do espaço amostral referente a ele.
Como os espaços amostrais são conjuntos de resultados possíveis, utilizamos as representações de conjuntos para esses espaços. Por exemplo: O espaço amostral referente ao experimento “lançamento de um dado” é o conjunto Ω, tal que:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Esse conjunto também pode ser representado pelo diagrama de Venn ou, dependendo do experimento, por alguma lei de formação.
O número de elementos dos espaços amostrais é representado por n(Ω). No caso do exemplo anterior, n(Ω) = 6. Lembre-se de que os elementos de um espaço amostral são pontos amostrais, ou seja, resultados possíveis de um experimento aleatório.
Evento
Os eventos são subconjuntos de um espaço amostral. Um evento pode conter desde zero a todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, ou seja, o evento pode ser um conjunto vazio ou o próprio espaço amostral. No primeiro caso, ele é chamado de evento impossível. No segundo, é chamado de evento certo.
Ainda no experimento aleatório do lançamento de um dado, observe os seguintes eventos:
A = Obter um número par:
A = {2, 4, 6} e n (A) = 3
B = Sair um número primo:
B = {2, 3, 5} e n(B) = 3
C = Sair um número maior ou igual a 5:
C = {5, 6} e n(C)= 2
D = Sair um número natural:
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(D) = 6
Espaços equiprováveis
Um espaço amostral é chamado equiprovável quando todos os pontos amostrais dentro dele têm a mesma chance de ocorrer. É o caso de lançamentos de dados ou de moedas não viciados, escolha de bolas numeradas de tamanho e peso idênticos etc.
Um exemplo de espaço amostral que pode ser considerado não equiprovável é o formado pelo seguinte experimento: escolher entre tomar sorvete ou fazer caminhada.
Cálculo de probabilidades
As probabilidades são calculadas dividindo-se o número de resultados favoráveis pelo número de resultados possíveis, ou seja:
P = n(E)
      n(Ω)
Nesse caso, E é um evento que se quer conhecer a probabilidade, e Ω é o espaço amostral que o contém.
Por exemplo, no lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número um?
Nesse exemplo, sair o número um é o evento E. Assim, n(E) = 1. O espaço amostral desse experimento contém seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Logo, n(Ω) = 6. Desse modo:
P = n(E)
       n(Ω)
P = 1
       6
P = 0,1666…
P = 16,6%
Outro exemplo: qual a probabilidade de obtermos um número par no lançamento de um dado?
Os números pares possíveis em um dado são 2, 4 e 6. Logo, n(E) = 3.
P = n(E)
       n(Ω)
P = 3
       6
P = 0,5
P = 50%
Observe que as probabilidades sempre resultarão em um número dentro do intervalo 0 ≤ x ≤ 1. Isso acontece porque E é um subconjunto de Ω. Dessa maneira, E pode conter desde zero até, no máximo, o mesmo número de elementos que Ω.
Exercícios de Probabilidade
 Questão 1
Ao jogar um dado, qual a probabilidade de obtermos um número ímpar voltado para cima?
Resposta correta: 0,5 ou 50% de chances.
Um dado possui seis lados, logo, a quantidade de números que podem ficar voltados para cima é 6.
Há três possibilidades de termos um número ímpar: caso ocorra o número 1, 3 ou 5. Sendo assim, o número de casos favoráveis é igual a 3.
Calculamos então a probabilidade utilizando a seguinte fórmula:
Substituindo os números na fórmula acima, encontramos o resultado.
As chances de ocorrer um número ímpar são 3 em 6, que corresponde a 0,5 ou 50%.
Questão 2
Se lançarmos dois dados ao mesmo tempo, qual a probabilidade de dois números iguais ficarem voltados para cima?
Resposta correta: 0,1666 ou 16,66%.
1º passo: determinar o número de eventos possíveis.
Como são dois dados jogados, cada face de um dos dados tem a possibilidade de ter um dos seis lados do outro dado como par, ou seja, cada dado tem 6 combinações possíveis para cada um de seus 6 lados.
Sendo assim, o número de eventos possíveis é:
U = 6 x 6 = 36 possibilidades
2º passo: determinar o número de eventos favoráveis.
Se os dados possuem 6 lados com números de 1 a 6, logo, o número de possibilidades do evento é 6.
Evento A =
3º passo: aplicar os valores na fórmula de probabilidade.
Para termos o resultado em porcentagem basta apenas multiplicar o resultado por 100. Logo, a probabilidade de se obter dois números iguais voltados para cima é de 16,66%.
Questão 3
Um saco contém 8 bolas idênticas, mas com cores diferentes: três bolas azuis, quatro vermelhas e uma amarela. Retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade da bola retirada ser azul?
Resposta correta: 0,375 ou 37,5%.
A probabilidade é dada pela razão entre o número de possibilidades e de eventos favoráveis.
Se existem 8 bolas idênticas, esse é o número de possibilidades que vamos ter. Mas apenas 3 delas são azuis e, por isso, a chance de retirar uma bola azul é dada por.
Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de retirar uma bola azul é de 37,5%.
Questão 4
Qual a probabilidade de tirar um ás ao retirar ao acaso uma carta de um baralho com 52 cartas, que possui quatro naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 1 ás em cada naipe?
Resposta correta: 7,7%
O evento de interesse é tirar um ás do baralho. Se há quatro naipes e cada naipe possui um ás, logo, o número de possibilidades de retirar um ás é igual a 4.
O número de casos possíveis corresponde ao número total de cartas, que é 52.
Substituindo na fórmula de probabilidade, temos:
Multiplicando o resultadopor 100, temos que a probabilidade de retirar uma bola azul é de 7,7%.
Questão 5
Sorteando-se um número de 1 a 20, qual a probabilidade de que esse número seja múltiplo de 2?
Resposta correta: 0,5 ou 50%.
A quantidade de número total que podem ser sorteados é 20.
A quantidade de números múltiplos de dois são:
A =
Substituindo os valores na fórmula de probabilidade, temos:
Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de sortear um número múltiplo de 2 é de 50%.
Questão 6
Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes?
Resposta correta: 0,3125 ou 31,25%.
1º passo: determinar o número de possibilidades.
Há duas possibilidades existentes ao lançar uma moeda: cara ou coroa. Se há duas possibilidades de resultado e a moeda é lançada 5 vezes, o espaço amostral é:
2º passo: determinar o número de possibilidades de ocorrer o evento de interesse.
O evento coroa será chamado de O e o evento cara de C para facilitar a compreensão.
O evento de interesse é apenas cara (C) e em 5 lançamentos, as possibilidades de combinações para que o evento ocorra são:
CCCOO
OOCCC
CCOOC
COOCC
CCOCO
COCOC
OCCOC
OCOCC
OCCCO
COCCO
Sendo assim, existem 10 possibilidades de resultados com 3 caras.
3º passo: determinar a probabilidade de ocorrência.
Substituindo os valores na fórmula, temos que:
Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de "sair" cara 3 vezes é de 31,25%.
Questão 7
Em uma experiência aleatória foi lançado duas vezes um dado. Considerando que o dado é equilibrado, qual a probabilidade de:
a) A probabilidade de conseguir no primeiro lançamento o número 5 e no segundo o número 4.
b) A probabilidade de obter em pelo menos um dos lançamentos o número 5.
c) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual a 5.
d) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual ou menor que 3.
Respostas corretas: a) 1/36, b) 11/36, c) 1/9 e d) 1/12.
Para resolver o exercício devemos considerar que a probabilidade da ocorrência de um determinado evento, é dada por:
Na tabela 1 indicamos os pares resultantes dos lançamentos consecutivos do dado. Note que temos 36 casos possíveis.
Tabela 1:
	1.º lançamento->
2.º lançamento
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	1
	(1,1)
	(1,2)
	(1,3)
	(1,4)
	(1,5)
	(1,6)
	2
	(2,1)
	(2,2)
	(2,3)
	(2,4)
	(2,5)
	(2,6)
	3
	(3,1)
	(3,2)
	(3,3)
	(3,4)
	(3,5)
	(3,6)
	4
	(4,1)
	(4,2)
	(4,4)
	(4,4)
	(4,5)
	(4,6)
	5
	(5,1)
	(5,2)
	(5,3)
	(5,4)
	(5,5)
	(5,6)
	6
	(6,1)
	(6,2)
	(6,3)
	(6,4)
	(6,5)
	(6,6)
a) Na tabela 1 observamos que existe apenas 1 resultado que cumpre a condição indicada (5,4). Assim, temos que em um total de 36 casos possíveis, apenas 1 é um caso favorável.
b) Os pares que atendem a condição de pelo menos um número 5 são: (1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(6,5). Assim, temos 11 casos favoráveis.
c) Na tabela 2 representamos a soma dos valores encontrados.
Tabela 2:
	1.º lançamento->
2.º lançamento
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
Observando os valores da soma na tabela 2 vemos que temos 4 casos favoráveis da soma ser igual a 5. Assim a probabilidade será dada por:
d) Usando ainda a tabela 2 observamos que temos 3 casos em que a soma é igual ou menor que 3.
Questão 8
Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?
Resposta correta: 7,8%.
Para encontrar o resultado podemos usar o método binomial, visto que cada lançamento do dado é um evento independente.
No método binomial, a probabilidade de um evento acontecer em k das n vezes é dado por:
onde:
n: número de vezes que ocorrerá a experiência
k: número de vezes de acontecer um evento
p: probabilidade do evento acontecer
q: probabilidade do evento não acontecer
Vamos agora substituir os valores para a situação indicada.
Para ocorrer 3 vezes o número 5 temos:
n = 7
 k = 3
 (em cada jogada temos 1 caso favorável entre 6 possíveis)
Substituindo os dados na fórmula:
Logo, a probabilidade de jogar o dado 7 vezes e sair 3 vezes o número 5 é de 7,8%.
Questão 9
(Enem/2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa.
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta.
As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
Alternativa correta: a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
1º passo: determinar o número total de possibilidades utilizando o princípio multiplicativo.
2º passo: interpretar o resultado.
Se cada aluno deve ter uma resposta e foram selecionados 280 alunos, entende-se que o diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 10 alunos a mais do que a quantidade de respostas possíveis.
Questão 10
(Enem/2012) Em um jogo há duas urnas com dez bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.
	Cor
	Urna 1
	Urna 2
	Amarela
	4
	0
	Azul
	3
	1
	Branca
	2
	2
	Verde
	1
	3
	Vermelha
	0
	4
Uma jogada consiste em:
1.º: o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2
2.º: ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão
3.º: em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2
4.º: se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?
a) Azul
b) Amarela
c) Branca
d) Verde
e) Vermelha
Alternativa correta: e) Vermelha.
Analisando os dados da questão, temos:
Como a urna 2 não tinha nenhuma bola amarela, se ele pegar uma amarela da urna 1 e colocar na urna 2, o máximo que terá de bolas amarelas é 1.
Como tinha apenas uma bola azul na urna 2, se ele pegar mais uma bola azul, o máximo que terá de bolas azuis na urna é 2.
Como tinha duas bolas brancas na urna 2, se ele adicionar mais uma dessa cor, o máximo de bolas brancas na urna será 3.
Como já tinha 3 bolas verdes na urna 2, se ele pegar mais uma dessa cor, o máximo de bolas vermelhas na urna será 4.
Já há quatro bolas vermelhas na urna 2 e nenhuma na urna 1. Logo, esse é o maior número de bolas dessa cor.
Pela análise de cada uma das cores, vimos que a maior probabilidade é de pegar uma bola vermelha, já que é a cor que está em maior quantidade.
Questão 11
(Enem/2013) Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras: inglês e espanhol.
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
a) 1/2
b) 5/8
c) 1/4
d) 5/6
e) 5/14
Alternativa correta: a) 1/2.
1º passo: determinar o número de alunos que falam pelo menos uma língua.
2º passo: determinar o número de alunos que falam inglês e espanhol.
3º passo: calcular a probabilidade do aluno falar espanhol e não falar inglês.
Questão 12
Considere o seguinte jogo de apostas:
Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis,serão sorteados apenas 6.
O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.
	Quantidade de números
escolhidos em uma cartela
	Preço da Cartela
	6
	2,00
	7
	12,00
	8
	40,00
	9
	125,00
	10
	250,00
Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:
Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos
Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos
Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos
Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos
Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:
a) Caio e Eduardo
b) Arthur e Eduardo
c) Bruno e Caio
d) Arthur e Bruno
e) Douglas e Eduardo
Alternativa correta: a) Caio e Eduardo.
Nessa questão de análise combinatória, devemos utilizar a fórmula de combinação para interpretar os dados.
Como são sorteados apenas 6 números, então o valor de p é 6. O que vai variar para cada apostador é o número de elementos tomados (n).
Multiplicando o número de apostas pela quantidade de combinações, temos:
Arthur: 250 x C(6,6)
Bruno: 41 x C(7,6) + 4 x C(6,6)
Caio: 12 x C(8,6) + 10 x C(6,6)
Douglas: 4 x C(9,6)
Eduardo: 2 x C(10,6)
De acordo com as possibilidades de combinações, Caio e Eduardo são os apostadores com mais chances de serem premiados.
Mediana
A mediana é uma medida de tendência central da Estatística que corresponde ao valor central de um conjunto de valores ordenados.
No estudo da Estatística, as medidas de tendência central apresentam-se como uma excelente ferramenta para reduzir um conjunto de valores em um só. Dentre as medidas de tendência central, podemos destacar a média aritmética, média aritmética ponderada, a moda e a mediana. Neste texto, iremos abordar a mediana.
O termo “mediana” refere-se a “meio”. Dado um conjunto de informações numéricas, o valor central corresponde à mediana desse conjunto. Dessa forma, é importante que esses valores sejam colocados em ordem, seja crescente ou decrescente. Se houver uma quantidade ímpar de valores numéricos, a mediana será o valor central do conjunto numérico. Se a quantidade de valores for um número par, devemos fazer uma média aritmética dos dois números centrais, e esse resultado será o valor da mediana.
Vejamos alguns exemplos para esclarecer melhor o que é mediana.
Exemplo 1:
João vende picolés em sua casa. Ele registrou a quantidade de picolés vendida em dez dias na tabela apresentada a seguir:
	Dias
	Quantidade de picolés vendida
	1° dia
	15
	2° dia
	10
	3° dia
	12
	4° dia
	20
	5° dia
	14
	6° dia
	13
	7° dia
	18
	8° dia
	14
	9° dia
	15
	10° dia
	19
	10
	12
	13
	14
	14
	15
	15
	18
	19
	20
Se quisermos identificar a mediana da quantidade de picolés vendida, devemos ordenar esses dados, colocando-os em ordem crescente, da seguinte forma:
Como temos dez valores, e dez é um número par, devemos fazer uma média aritmética entre os dois valores centrais, no caso, 14 e 15. Seja M.A a média aritmética, teremos então:
M.A. = 14 + 15
           2
M.A. = 29
            2
M.A. = 14,5
A mediana da quantidade de picolés vendida é 14,5.
Exemplo 2:
Um programa de televisão registrou as medidas de audiência alcançadas ao longo de uma semana. Os dados estão registrados na tabela a seguir:
	
Dias
	
Audiência
	Segunda-feira
	19 pontos
	Terça-feira
	18 pontos
	Quarta-feira
	12 pontos
	Quinta-feira
	20 pontos
	Sexta-feira
	17 pontos
	Sábado
	21 pontos
	Domingo
	15 pontos
Para identificar a mediana, é importante ordenar os valores da audiência em ordem crescente:
	12
	15
	17
	18
	19
	20
	21
Nesse caso, como há sete valores no conjunto numérico, e sete é um número ímpar, não é necessário fazer nenhum cálculo, a mediana é exatamente o valor central, ou seja, 18.
1) Determine a média, moda e mediana do seguinte conjunto de dados:
A = {2, 5, 1, 8, 12, 9, 10, 2}
Esconder resposta
A média é a soma dos valores e dividido pelo total deles:
Média = (2 + 5 + 1 + 8 + 12 + 9 + 10 + 2) / 7 = 49 / 8 = 6,125
A moda é o valor que aparece mais vezes:
Moda = 2
A mediana é o valor central do conjunto de dados:
Mediana = 1, 2, 2, 5, 8, 9, 10, 12 = (5 + 8)/2 = 6,5
Primeiro ordenamos os dados e depois pegamos os dois valores centrais, pois o total de elementos do conjunto é par e fizemos a média dos dois valores centrais.
2) Calcule a média simples do conjunto de dados:
a) {1,22; 4,302; 9,012; 100,91}
b) {5; 8; 4; 6}
c) {1,3; 9,1; 2,7; 8,0; 30,2}
Esconder resposta
a) (1,22 + 4,302 + 9,012 + 100,91) / 4 =115,444 / 4 = 28,861
b) (5 + 8 + 4 + 6) / 4 = 23/4 = 5,75
c) (1,3 + 9,1 + 2,7 + 8,0 + 30,2) / 5 = 51,3 / 5 = 10,26
3) Os dados da tabela abaixo são referentes as idades dos alunos de uma determinada disciplina.
Calcule a media das idades, a mediana das idades e a idade modal dos alunos da disciplina.
Idade Média = ((16 . 5) + (15 . 16) + (14 . 10) + (18 . 9) + (17 .10)) / 50 = 792 / 50 = 15,84
Idade Mediana = (15 + 15) / 2 = 30 / 2 = 15
Idade Modal = 15
Média versus mediana
Às vezes é difícil decidir qual agregador é melhor usar, especialmente quando se trata de Média e Mediana. Claro, sempre se pode usar os dois -- uma métrica para calcular a média, e outra para a mediana. Isso permitirá ver qual medida será mais útil nesse caso específico. No entanto, a compreensão desses termos estatísticos ajudará você a fazer a escolha certa muito mais rapidamente.
Média e mediana desempenham papel semelhante para compreender a tendência central de um conjunto de números. A média tem sido tradicionalmente uma medida popular de um ponto médio em um conjunto, mas tem a desvantagem de ser influenciada por valores individuais que são muito maiores ou menores do que o resto. É por isso que a mediana é uma medida melhor de ponto médio para casos em que um pequeno número de valores discrepantes poderiam distorcer a média drasticamente.
Média Mediana
	Definição
	A média é a média aritmética de um conjunto de números.
	A mediana é um valor numérico que separa a metade superior de um conjunto da metade inferior.
	Quando ela é aplicável?
	A média é usada para distribuições numéricas normais, que têm uma baixa quantidade de valores discrepantes.
	A mediana é geralmente utilizada para retornar a tendência central para distribuições numéricas distorcidas.
	Como calcular?
	A média é calculada somando-se todos os valores e dividindo a soma pelo número total de valores.
	A mediana pode ser calculada listando-se todos os números em ordem crescente para localizar todos os números em ordem crescente e depois localizá-lo centro dessa distribuição.
	Exemplo: Distribuição normal
	2, 3, 3, 5, 8, 10, 11
(2+3+3+5+8+10+11)/7= 6
AVG = 6
	2, 3, 3, 5, 8, 10, 11
MED = 5
	Exemplo: Distribuição distorcida
	2, 2, 3, 3, 5, 7, 8, 130
(2+2+3+3+5+7+8+130)/8= 20
AVG = 20
	2, 2, 3, 3, 5, 7, 8, 130
(3 +5)/2 = 4
MED = 4
Conclusão
Se os dados que você estiver comparando são geralmente uniformes, você pode usar o agregador Média (M) com segurança. No entanto, se o seu conjunto numérico tiver alguns valores discrepantes, considere usar Mediana (MED) ou filtre os valores que estão distorcendo os resultados.
Exemplos
Alguns exemplos práticos:
Para reportar sobre o Tempo Total de Resolução, vou usar a métrica-padrão Tempo Total de Resolução (hrs) [MED]. Vou escolher usar o operador mediana porque sei que temos uma série de tickets que estão sob investigação há algum tempo, e não quero esses tickets distorcendo o meu relatório.
Se eu quiser verificar a quantidade média de Respostas publicadas pelos agentes, vou usar a métrica # Replies [MED], porque sei que o número de respostas é mais ou menos constante.
Se eu precisar descobrir a velocidade com que a equipe de suporte responde às novas solicitações, posso usar a métrica-padrão Primeiro Tempo de Resposta (hrs) [Mdn]. Contudo, como sei que o primeiro tempo de resposta é normalmente constante, vou optarpor criar uma métrica que contará a média do primeiro tempo de resposta. Além disso, vou filtrar do relatório tickets proativos, criados por agentes, pois a maioria deles tem tempo de primeira resposta alto, de maneira irregular.
O que é moda?
Trata-se da medida de tendência central, ou seja, o valor observado com mais frequência entre todos os dados.
Em alguns jogos de futebol, um time fez a seguinte quantidade de gols:  3, 2, 0, 3, 0, 4, 3, 2, 1, 3, 1. Sendo assim, concluímos que a moda desse conjunto é de 3 gols.
Uma linha de ônibus marca, em 15 oportunidades, os tempos de viagens em minutos, totalizando 52, 50, 55, 53, 61, 52, 52, 59, 55, 54, 53, 52, 50, 51, 60. Podemos concluir, então, que a moda desse conjunto é de 52 minutos.
As alturas de algumas pessoas são 1,82 m; 1,75 m; 1,65 m; 1,58 m; 1,70 m. Não há moda aqui, pois nenhum valor se repete.
O que é mediana?
Trata-se de uma medida de tendência central que mostra o valor do meio em uma amostra de informações.
Vamos aos exemplos:
As notas de um estudante em um semestre de aula foram: 4,0; 4,0; 5,0; 7,0; 7,0. A mediana é o valor que está no centro da amostra, ou seja, 5,0. Assim, conclui-se que 40% das notas estão acima de 5,0 e 40% estão abaixo de 5,0.
Se os dados não tiverem valor central, precisamos tirar a mediana extraindo a média dos dois valores centrais. Por exemplo:
O número de hotéis três estrelas espalhados por uma cidade é: 1, 2, 3, 3, 5, 7, 8, 10, 10, 10.
Mediana = 5+7/2 = 12/2 = 6
Concluímos que há 50% das cidades com mais de seis hotéis três estrelas e 50% das cidades com menos de seis hotéis três estrelas.
No cálculo da mediana devemos:
- Colocar os valores da amostra em ordem crescente ou decrescente;
- Se a quantidade de valores da amostra for ímpar, a mediana é o valor central;
- Se for par, tira-se a média dos valores centrais para calcular a mediana. Assim como a média, a moda e a mediana servem para medir a tendência central de um conjunto de dados. Elas têm a função de resumir, em apenas uma informação, todas as características dos dados apresentados. O mais difícil, porém, é saber em qual situação usar a média, a moda ou a mediana.
Por exemplo:
Em um grupo de pessoas de diferentes alturas, é possível calcular uma que caracterize o grupo todo ou, ainda, tendo as notas de um aluno durante um semestre na faculdade, podemos calcular uma nota que resuma a sua situação no semestre.
Vamos aos exemplos:
Se os dados não tiverem valor central, precisamos tirar a mediana extraindo a média dos dois valores centrais. Por exemplo:
O número de hotéis três estrelas espalhados por uma cidade é: 1, 2, 3, 3, 5, 7, 8, 10, 10, 10.
Mediana = 5+7/2 = 12/2 = 6
Concluímos que há 50% das cidades com mais de seis hotéis três estrelas e 50% das cidades com menos de seis hotéis três estrelas.
	
	
	
	
Moda (estatística)
Moda é uma das medidas de altura de um conjunto de dados, assim como a média e a mediana. Ela pode ser definida em moda amostral e populacional.
Em relação à primeira delas, a moda amostral de um conjunto de dados trata do valor que ocorre com maior frequência ou o valor mais comum em um conjunto de dados.[1] Moda é especialmente útil quando os valores ou as observações não são numéricos, casos em que a média e a mediana não podem ser definidas. Por exemplo, a moda da amostra {maçã, banana, laranja, laranja, laranja, pêssego} é laranja.[2] Moda amostral não é necessariamente única como média ou mediana. Amostras que possuem uma moda são chamadas unimodais. Por exemplo, a amostra {1, 2, 3, 5, 5, 6, 7} tem moda 5. Amostras que possuem duas modas são chamadas bimodais. Por exemplo, a amostra {1, 2, 3, 5, 5, 6, 6} tem modas 5 e 6. Amostras que possuem várias modas são chamadas multimodais. Por exemplo, a amostra {1, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7} tem modas 5, 6 e 7. Amostras que não possuem moda são chamadas amodais. Por exemplo, a amostra {1, 3, 2, 5, 7, 6} não tem moda.[3]
Já a moda populacional de uma distribuição de probabilidade discreta é o valor {\displaystyle x}, em que a função massa de probabilidade atinge o valor máximo. Em outras palavras, é o valor que é mais provável de ser amostrado. Moda populacional de uma distribuição de probabilidade contínua é o valor {\displaystyle x}, em que a função densidade de probabilidade atinge o valor máximo. Em outras palavras, é o valor que está no pico. Moda populacional também não é necessariamente única, uma vez que a função massa de probabilidade ou a função densidade de probabilidade podem ter o mesmo valor máximo em vários pontos {\displaystyle x_{1},x_{2}\dots }. O caso extremo ocorre nas distribuições uniformes, em que todos os valores ocorrem com igual frequência.
De acordo com a definição acima, máximos globais são modas. Quando uma função densidade de probabilidade tem vários máximos locais, é comum referir-se a todos os máximos locais como modos de distribuição. Tal distribuição contínua é chamada multimodal (em oposição a unimodal). Em distribuições unimodais simétricas como a distribuição normal ou distribuição gaussiana (distribuição cuja função densidade de probabilidade forma a curva em forma de sino quando representada graficamente), a média, a mediana e a moda coincidem. Em amostras extraídas de distribuições simétricas, a média pode ser a estimativa da moda populacional. É importante lembrar que o valor expresso como maioria em um conjunto de dados não necessariamente representa o valor da moda estatística
Moda amostral
Ilustração do cálculo da moda de uma população. Para a população {1, 7, 4, 6, 5, 5, 3, 5}, a moda é 5.
Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição simétrica (por exemplo, uma distribuição normal) quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade no espaço amostral e a linha azul representa a localização da média, da mediana e da moda do conjunto de dados.
Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição assimétrica negativa quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade no espaço amostral, a linha azul (à esquerda) representa a média, a linha amarela (ao meio) representa a mediana e a linha verde (à direita) representa a moda do conjunto de dados.
Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição assimétrica positiva (por exemplo, uma distribuição qui-quadrado) quando alterada a dispersão dos dados. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade dos dados no espaço amostral, a linha azul (à direita) representa a média, a linha amarela (ao meio) representa a mediana e a linha verde (à esquerda) representa a moda do conjunto de dado.
Ilustração do comportamento das medidas de tendência central em uma distribuição bimodal, formada por outras duas distribuições com seus respectivos parâmetros, que transita entre distribuição assimétrica positiva, distribuição assimétrica negativa e distribuição simétrica conforme as dispersões dos dados no espaço amostral são alteradas. A curva vermelha descreve a densidade de probabilidade dos dados no espaço amostral, a linha azul representa a média, a linha amarela representa a mediana e a linha verde representa a moda do conjunto de dados.
Uma amostra pode ser unimodal (uma moda), bimodal (duas modas), multimodal (várias modas) e amodal (nenhuma moda).[3] Determinadas distribuições patológicas como a distribuição de Cantor não apresentam moda definida. Em uma votação em que a quantidade de votos determina a vitória, um resultado unimodal determina o vencedor enquanto que um valor multimodal exige o desempate. A amostra é chamada homogênea quando possui apenas uma moda e heterogênea quando possui mais de uma moda.[8]
Em estatística, moda como média e mediana é uma medida de posição, de localização ou de tendência central que mostra a frequência dos dados. Geralmente ordena-se os elementos de um conjunto de dados e conclui-se que a moda é o elemento com maior repetição. [9]
Moda em conjunto de dados com elementos repetidosé o valor que ocorre com maior frequência ou o valor mais comum em um conjunto de dados.[1][10]