Apostila de Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade

Prévia do material em texto

Universidade Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE 
Controle de Qualidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICOS DE CONTROLE E INSPEÇÃO DE 
QUALIDADE 
 
 
 
 
 
Prof. Marcos Moreira 
 
 
 
 
 
 
Toledo – PR 
2016 
 
SUMÁRIO 
 
 
1. Gráficos de Controle para Variáveis.................................................. 01 
2. Gráficos de Controle para Atributos.................................................. 17 
3. Gráficos de Controle de CUSUM e de EWMA................................. 21 
4. Inspeção de Qualidade....................................................................... 29 
 
BIBLIOGRAFIA................................................................................... 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Embora ninguém possa voltar atrás e fazer um novo começo...qualquer um 
pode começar agora e fazer um novo fim.”(Chico Xavier) 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
Nesta apostila são apresentados os Gráficos de Controle e a Inspeção de 
Qualidade. 
Na parte de Gráficos de Controle são apresentados os Gráficos para 
Variáveis (Capítulo 1) onde destacam-se os gráficos da média e amplitude, os 
gráficos da média e desvio-padrão e os gráficos para medidas individuais. Ainda 
no Capítulo 1 são abordados a porcentagem de itens fora de especificação, a 
capacidade do processo e o tempo esperado até um sinal de descontrole. 
No Capítulo 2 são abordados os gráficos para atributos. 
Para pequenas variações no processo, são aplicados os gráficos 
apresentados no Capítulo 3, de CUSUM e de EWMA. 
Já no Capítulo 4, sobre Inspeção de Qualidade, tratam-se dos fundamentos 
de amostragem e apresentam-se a determinação de planos de amostragem. 
No final da apostila encontram-se tabelas utilizadas ao longo do texto. 
 
 
Prof. Marcos Moreira 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 1 
1. GRÁFICOS DE CONTROLE PARA VARIÁVEIS 
 
 
1.1 Gráficos 
RX 
 
 
 
Se a variável a ser controlada é uma variável contínua, o usual é monitorar o processo 
por um par de gráficos de controle: um para monitorar a centralidade e outro para monitorar a 
dispersão da variável. Na maioria das vezes, os gráficos empregados são o da média amostral 
(
X
) para monitorar a centralidade e o da amplitude amostral (R) para monitorar a dispersão. 
Comecemos examinando o gráfico de 
X
. 
A linha média (LM) para o gráfico de 
X
é localizada na média (valor esperado) de 
X
, e os limites de controle [limite superior de controle (LSC) e limite inferior de controle 
(LIC)] para o gráfico são usualmente estabelecidos a três desvios-padrão dessa média (k=3). 
Os limites para a média e para a amplitude são dados por: 
 
RAxLSC
X 2

 
xLM
X

 
RAxLIC
X 2

 
 
RDLSCR 4
 
RLMR 
 
RDLICR 3
 
 
onde: 
nd
k
A
2
2
 , 
2
3
4
1
d
d
kD  , 
2
3
3
1
d
d
kD  , 3k 
 
sendo as estimativas da média e do desvio-padrão do processo sob controle dadas por: 
 
 
x
0
ˆ
 
 
2
0
ˆ
d
R

 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 2 
ESTABELECIMENTO DE LIMITES PARA OS GRÁFICOS DE CONTROLE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 3 
 
Gráficos de controle para a média e para a amplitude 
 
 
Alternativa para identificar quedas no desvio-padrão do processo 
 
 
Uma alternativa na construção do gráfico da amplitude R consiste em utilizar limites 
que levem a uma probabilidade predeterminada de alarme falso. Por exemplo, para =0,002, 
isso é conseguido usando limites tais que: 
 
 
)/( 2999,0 dRWLSCR 
 
RLMR 
 
)/( 2001,0 dRWLICR 
 
 
A vantagem dessa abordagem é que melhorias no processo (caracterizadas por 
redução na variabilidade) podem agora ser detectadas (quando um valor de R fica abaixo do 
limite inferior de controle, já que o limite inferior é diferente de zero). A outra vantagem está 
na redução do risco de alarme falso, pois a faixa entre os limites superior e inferior de 
controle pode ser alargada. 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 4 
1.2 Gráficos 
SX 
 
1.2.1 Gráficos 
SX 
(Amostra constante) 
Este tipo de gráfico é preferido ao gráficos 
RX 
 quando: 
1- ou o tamanho da amostra é grande (maior que 5 ), 
2- ou o tamanho da amostra é variável. 
4c
S
n
k
XLSC
X

 
XLM
X

 
4c
S
n
k
XLIC
X

 
Para k=3 temos que: 
4
3
c
S
n
XLSC
X

 
XLM
X

 
4
3
c
S
n
XLIC
X

 
ou 
 
SAXLSC
X 3

 
XLM
X

 
SAXLIC
X 3

 
onde 
nc
A
4
3
3

 
S
c
c
kLSCS )
1
.1(
4
2
4 
SLMS 
 
S
c
c
kLICS )
1
.1(
4
2
4 
ou para k=3 
SBLSCS 4
 
SLMS 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 5 
SBLICS 3
 
 
onde 
)1(
3
1
2
4
4
4 c
c
B 
; 
)1(
3
1
2
4
4
3 c
c
B 
; 
34
44
4



n
n
c
 
 
mSS
m
i
i /
1



; 
1
)(
1
2
2





n
xx
S
n
i
i 
 
sendo as estimativas da média e do desvio-padrão do processo sob controle dadas por: 
 
 
x
0
ˆ
 
 
4
0
ˆ
c
S

 
 
1.2.2 Gráficos 
SX 
(Amostra variável) 
 
Nesse caso devemos aplicar a abordagem da média ponderada no cálculo de X e 2S , 
ou seja: 
 




m
i
i
m
i
ii
n
xn
x
1
1
 
 
)1(
)1(
1
1
2
2







m
i
i
m
i
ii
n
Sn
S 
 
mn
Sn
mn
xx
S
m
i
i
m
i
ii
m
i
i
m
i
n
j
ij
i













 
1
1
2
1
1 1
2
)1()(
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 6 
Os limites de controle serão calculados pelas equações utilizadas no caso anterior, 
mas os parâmetros A3, B3 e B4 são função do tamanho da amostra, então o gráfico apresentará 
variações nos limites de controle superior e inferior de amostra para amostra. 
Para os casos onde a diferença entre o tamanho das amostras não é grande, 
S
pode ser 
dado como: 
m
S
S
m
i
i
 1
 
 
e A3, B3 e B4 são obtidos para um tamanho médio de amostra, dado por: 
m
n
n
m
i
i
 1
 
Para os casos onde o tamanho médio não é um número inteiro, podemos fazer uso do 
tamanho modal das amostras (o tamanho mais comum) em lugar do tamanho médio. 
 
 
 
1.3 Capacidade do Processo 
 
É importante não confundirmos os limites de especificação com os limites naturais do 
processo, e muito menos com os limites de controle do gráfico 
X
. Os limites naturais do 
processo (LSN e LIN) são definidos como os valores de X situados a 3 desvios-padrão da 
média  do processo, ou seja: 
 
ooLSN  3
 
ooLIN  3
 
 
Adotando X e 
2/ dR
como estimadores de  e , temos: 
 
2
3
d
R
XLSN 
 
2
3
d
R
XLIN 
 
 
Já os limites de controle são dados por: 
 
nd
R
XLSC
23
 
nd
R
XLIC
2
3
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 7 
 
Esses limites definem a região de ação do gráfico de 
X
. Seu propósito é fornecer um 
critério que indique o momento de intervir no processo. 
 
Já os limites de especificação são estabelecidos pela engenharia levando em conta a 
segurança, o respeito às normas, etc. 
 
Limite Inferior de Especificação (LIE) – é o limite inferior do intervalo em que a medida X 
pode variar. 
 
Limite Superior de Especificação (LSE) – é o limite superior do intervalo em que a medida X 
pode variar. 
 
A diferença entre LSE e LIE é a tolerância do projeto e a média aritmética desses 
valores é o valor nominal (VN). 
 
Não existe relação matemática ou estatística entre limite de controle e limite de 
especificação e também não há sentido na comparação entre essas duas variáveis, pois os 
limites de especificação são aplicados a valores individuais de X e os limites de controle são 
aplicados às médias amostrais 
X
. 
 
1.3.1 Análise da capacidade do processo usando o histograma 
a) colete uma amostra de pelo menos 100 itens produzidos e meça o característico de 
qualidade; 
b) calcule a média, o desvio-padrão, os limites naturais, organize uma tabela de distribuição 
de freqüência e desenhe um histograma; 
c) verifique se a média do processo coincide ou tem valor próximo ao valor nominal; 
d) compare o valor 6 com a tolerância (LSE-LIE) e calcule o Índice da Capacidade do 
Processo “Cp” (ou razão de capacidade do processo): 
6
LIELSE
Cp


 
Alguns autores chamam Cp de PCR (“Process Capacity Ratio”). 
e) calcule a porcentagem do intervalo de especificação (P) que está sendo utilizada pelo 
processo: 
Cp
P
1
100
 
e) analise o histograma quanto à forma e à dispersão; 
f) veja se os dados estão distribuídos entre os limites de especificação. 
 
 
1.3.2 Índices de Capacidade do Processo 
 
Os índices de capacidade de processo (ICPs) são parâmetros adimensionais que 
indiretamente medem o quanto o processo consegue atender às especificações. Não há uma 
relação fixa entre o seu valor e a porcentagem de itens que o processo é capaz de produzir 
dentro das especificações: essa relação vai depender da distribuição de probabilidades do 
característico de qualidade considerado (para alguns índices de capacidade, conhecida a 
distribuição do característico, a relação fica determinada, como veremos adiante). Contudo, 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 8 
para grande parte dos índices, quanto maior o seu valor, melhor o processo consegue atender 
às especificações. Existem vários índices de capacidade do processo. Dentre eles, os índices 
Cp, Cpk e Com, dados pelas expressões a seguir, são os mais usuais. 
 
6
LIELSE
Cp


 
 
 





 
 



3
,
3
LIELSE
MinCpk
 
 
22 )(6  


d
LIELSE
Cpm
 
2
LIELSE
d


 
 
Os três indices tornam-se iguais quando =d. 
Como regra geral, quanto maior for o valor do ICP, melhor o processo estará atendendo 
às especificações. Deve-se porém ter cuidado ao comparar valores de índices distintos. 
O índice Cp é insensível a mudanças na média do processo; portanto, só deve ser 
utilizado quando a média do processo permanece centrada em d. Se a média do processo não 
pertencer ao intervalo das especificações o índice Cpk assumirá valores negativos. O índice 
Com possui a desvantagem de que, por um lado, processos que produzem unidades não 
conformes em iguais proporções podem ter valores de Cpm muito diferentes; por outro lado, 
processos que produzem itens não conformes em proporções muito diferentes podem ter 
valores de Cpm próximos. Isso se deve ao fato de o índice Cpm penalizar os processos muito 
mais pela falta de centralidade do que pela quantidade produzida de itens não conformes. O 
índice Cpm é mais coerente com a visão proposta por Taguchi, de que existe uma “perda” 
crescente com o afastamento do valor do característico de qualidade em relação a seu valor-
alvo; mas não é coerente com a visão de que um item é conforme se o valor do característico 
de qualidade estiver entre LIE e LSE, e não conforme no caso contrário. 
Alguns característicos de qualidade possuem apenas um limite de especificação, inferior 
ou superior (especificação unilateral). Nesse caso, obviamente, os índices Cp e Com não se 
aplicam, e o índice Cpk é calculado com o limite existente, LSE ou LIE. 
A relação entre o ICP e a PFE depende da distribuição do característico de qualidade X. 
Se X tem distribuição normal e =d, então um valor de Cp=Cpk=1,33 corresponde a Z=3,99 
o que significa que 70 itens por milhão (70ppm) estarão fora das especificações. Assim, um 
processo com Cpk1,33 é um processo altamente capaz. Não devemos, contudo, esquecer 
que os processos estão sempre sujeitos a ocorrências de causas especiais. Uma causa especial 
que desloque a média do processo, , de 2 desvios-padrão reduzirá o Cpk para 0,667. 
Processos com 1Cpk1,33 são processos razoavelmente capazes e processo com 
Cpk<1 são processos incapazes. 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 9 
1.4 Porcentagem de itens fora de especificação (PFE) 
 
Com os dados amostrais estimamos a média e o desvio-padrão do processo. 
Assim podemos calcular a porcentagem de itens fora da especificação (PFE) que será 
dada por: 
 
]Pr[]Pr[ LSELIE ZZZZPFE 
 
 
o
o
LIE
LIE
Z



 
 
o
o
LSE
LSE
Z



 
 
 
 
1.5 NMAF e NMA 
 
Alarme falso no gráfico de 
X
corresponde a algum valor de controle que caia fora da 
faixa de controle. A probabilidade disso ocorrer é de . 
Se quisermos calcular a probabilidade de retirarmos “d” amostras sucessivas e apenas 
a última cair fora da faixa de controle, teremos que: 
 
 .)1(]Pr[ 1 ddL d=1,2,3,4… 
 
Essa distribuição é uma distribuição geométrica e sua média é portanto 1/. Assim 
temos que: 

1
NMAF
 
 
NMAF é o número médio de amostras até um alarme falso. Em outras palavras, com 
limites de k=3, teremos =0,0027 e NMAF=370,4, ou seja, um alarme falso a cada 370,4 
amostras. Caso o usuário considere essa freqüência de alarmes falsos inaceitável, a alternativa 
consiste em alargar os limites de controle com a diminuição de , ou seja, com o aumento de 
k. Passando k para 3,1, teremos um risco de alarme falso () de 0,0019. A cada 516,7 
amostras ocorrerá um alarme falso em média. Se uma amostra é retirada do processo a cada 
15 minutos, então teremos um alarme falso a cada 129 horas de produção. 
O tamanho da amostra não afeta a probabilidade de alarme falso. 
Se por um lado o tamanho da amostra não afeta a probabilidade de alarme falso, por 
outro lado o tamanho da amostra tem grande influência no poder do gráfico de controle (Pd). 
 
1Pd
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 10 
Considerando que 
0
01
ˆ




, teremos que: 
 
   nZnZ    2/2/ 
 
   nZnZPd    2/2/1 
 
 
 
O valor de  é definido a partir do valor de k que nada mais é do que o valor de Z. O 
valor de k serve para montar os limites inferior e superior de controle. Geralmente é tomado 
como 3 (para k=3, =0,0027). 
Se quisermos calcular a probabilidade de retirarmos “d” amostras sucessivas e apenas 
a última gerar um alarme verdadeiro (ou seja, o processo mudou de média), teremos que: 
 
PddL d .]Pr[ 1  d=1,2,3,4… 
 
Essa distribuição é uma distribuição geométrica e sua média é portanto 1/Pd. Assim 
temos que: 
Pd
NMA
1

 
NMA é o número médio de amostrasaté um alarme verdadeiro. Em outras palavras, 
com limites de k=3, teremos =0,0027 e NMAF=370,4, ou seja, um alarme falso a cada 
370,4 amostras. Caso o usuário considere essa freqüência de alarmes falsos inaceitável, a 
alternativa consiste em alargar os limites de controle com a diminuição de , ou seja, com o 
aumento de k. Passando k para 3,1, teremos um risco de alarme falso () de 0,0019. A cada 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 11 
516,7 amostras ocorrerá um alarme falso em média. Se uma amostra é retirada do processo a 
cada 15 minutos, então teremos um alarme falso a cada 129 horas de produção. 
 
 
 
O risco , ou risco de alarme falso, é dado por: 
 
]Pr[1 oRR LSCRLIC   
A distribuição de R não é simétrica por isso devemos fazer algumas modificações 
para obtermos a distribuição W(=R/) e aí podermos utilizar as tabelas para W para encontrar 
a probabilidade de alarme falso. 
A probabilidade de alarme falso é dada por: 
];Pr[1 ooRR nnLSCRLIC   
};)(])(,0Pr{max[1 3232 oooo nnkddRkdd   
Dividindo todos os membros da dupla inequação por =o, obteremos: 
 
 
})()](,0Pr{max[1 3232 onnkddWkdd  
 
 
É comum utilizarmos k=3, mas esse valor depende do usuário. 
Obtido o valor de , podemos calcular o NMAF para o gráfico R, pois NMAF=1/. 
Também podemos obter Pd a partir das tabelas para W. Supondo que o desvio-padrão 
do processo () se altere, passando para o. Então: 
];)(Pr[ 32 oooR nnkddLSCRPd   
ou 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 12 
];
)(
Pr[ 32 oo
o
o
R nn
kdd
LSC
R
WPd 

 


 
 
]
)(
Pr[ 32 onn
kdd
WPd 

 
 
 
 
 
 
 
 
Tanto no risco de alarme falso quanto no poder do teste há a influência do tamanho da 
amostra quando tratamos dos gráficos R. 
 
 
O risco , de um alarme falso para os dois gráficos ao mesmo tempo é dado por: 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 13 
RXRX
 . 
 
O Pd para os dois gráficos ao mesmo tempo é dado por: 
 
RXRX
PdPdPdPdPd .
 
 
Abaixo são dados os valores de  e Pd para a média e para a amplitude. 
];Pr[1 ooXXX LSCXLIC   
 
]Pr[1 oRRR LSCRLIC   
 
])(Pr[ 1132 oooRR RWkddLSCRPd     
 
]Pr[
1

RWWPdR


 
 
O poder para a média na análise em conjunto torna-se um pouco diferente do poder da 
média para o caso da análise isolada, pois agora devemos considerar também a mudança do 
desvio-padrão do processo () além da mudança na média (). 
O poder da média será dado pela área da curva normal onde a hipótese alternativa é 
aceita a partir da análise de H1, ou seja, 
 
];Pr[];Pr[ 1111   XXX LSCXLICXPd 
];Pr[];Pr[ 1111  
n
kX
n
kXPd oo
o
oX
 
Subtraindo de cada termo 1 e dividindo cada termo por n/1 tem-se que: 
 
]
)(
Pr[]
)(
Pr[ 


 nk
Z
nk
ZPd
X




 
sendo que 
0
01





 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 14 
1.6 Regras Suplementares de Decisão 
 
Consideremos os 3 casos a seguir a respeito da decisão sobre o descontrole do processo. 
 
Caso 1: um ponto fora dos limites (regra básica) 
Caso 2: dois pontos fora dos limites, não necessariamente consecutivos 
Caso 3: dois pontos fora dos limites, necessariamente consecutivos 
 
Para o Caso 2 
 
Pd
NMA
2

 

2
NMAF
 
 
Para o Caso 3 
 
2
1
Pd
Pd
NMA


 
2
1

 
NMAF
 
 
 
1.7 Tempo Esperado até o Sinal (TES) 
 







2
1
NMAhTES
 
h
n
TA 
 

h
TMAF 
 
 
),,( nkNMANMA 
 
htempo entre duas amostragens consecutivas 
TAtaxa de amostragem (n unidades por h) 
TMAFtempo médio até a ocorrência de um alarme falso (geralmente é um dado de 
entrada) 
 
Devemos levar em conta TES e TMAF para tomarmos uma decisão. 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 15 
1.8 Gráficos de Controle de Shewhart para Medidas Individuais 
 
Em algumas situações, para controlar o processo, usam-se amostras de um só 
elemento. Isto acontece quando: 
 
a) aplica-se a tecnologia de inspeção e medição automática e toda a unidade fabricada 
é inspecionada, de modo que não há razão para formar subgrupos racionais. 
 
b) a taxa de produção é muito lenta e é inconveniente acumular amostras com mais de 
um elemento para a análise, pois o longo intervalo entre as unidades fabricadas pode causar 
problemas na formação dos subgrupos. 
 
c) medidas repetidas do processo diferem apenas por causa de erro de laboratório ou 
de análise, como em processos químicos. 
 
Em muitas aplicações dos gráficos de controle para unidades individuais usamos a 
amplitude móvel de duas observações consecutivas como base para estimar a variabilidade do 
processo. A amplitude móvel é definida como: 
 
1 iii xxMR
 
 
Não se define amplitude móvel para a primeira amostra. 
 
Os limites para as medidas individuais são dados por: 
 
2d
RM
kxLSCx 
 
xLM x 
 
2d
RM
kxLICx 
 
onde 
1
2




m
MR
RM
m
i
i
 
 
Os limites para a amplitude são dados por: 
 
RMDLSCR 4
 
RMLMR 
 
RMDLICR 3
 
Geralmente k é tomado como 3 e os parâmetros d2, D4 e D3 são tomados para n=2, 
pois a amplitude móvel é calculada a partir de dois valores. Assim tem-se que: 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 16 
 
RMxLSCx .66,2
 
xLM x 
 
RMxLICx .66,2
 
 
RMLSCR .267,3
 
RMLMR 
 
0RLIC
 
 
sendo as estimativas da média e do desvio-padrão do processo sob controle dadas por: 
 
 
x
0
ˆ
 
 
2
0
ˆ
d
MR

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 17 
2. GRÁFICOS DE CONTROLE PARA ATRIBUTOS 
 
2.1 Gráfico de Controle np 
 
Este gráfico monitora o número de itens não-conformes em amostras de tamanho 
constante. 
nm
D
p
m
i
i
.
1

 
 
Se n clientes são consultados e D representa o número de clientes insatisfeitos, então D 
tem distribuição binomial, com parâmetros n e p: 
 
dnd pp
d
n
dD 





 )1.(.]Pr[
 
A média e o desvio-padrão da variável aleatória D são: 
 
npD 
; 
npqD 
 
 
Então teremos que: 
 
)1( ooonp pnpknpLSC 
 
onp npLM 
 
)1( ooonp pnpknpLIC 
 
Sendo po desconhecido, usamos 
p
como uma estimativa do seu valor. Assim, 
 
)1( ppnkpnLSCnp 
 
pnLMnp 
 
 )1(;0 ppnkpnmáxLICnp 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 18 
2.2 Gráfico de Controle p 
 
Este gráfico monitora a proporção de itens não-conformes em amostras de tamanho 
constante ou variável. 
Para obter os limites de controle do gráfico de p, basta dividir os limites de controle do 
gráfico de np por n, ou seja: 
 
 
i
oo
op
n
pp
kpLSC
)1( 

 
op pLM 
 
i
oo
op
n
pp
kpLIC
)1( 

 
Sendo po desconhecido, usamos 
p
como uma estimativa do seu valor. Assim, 
 
i
p
n
pp
kpLSC
)1( 

 
pLM p 
 







 

i
p
n
pp
kpmáxLIC
)1(
;0 
Sendo a média das proporções dada por: 
 




m
i
i
m
i
i
n
Dp
1
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 19 
2.3 Gráfico de Controle C 
 
Este gráfico monitora o número de defeitos (ou não-conformidades) em unidades de 
tamanho constante. 
Supõe-se em geral que a variável aleatória C, número de não-conformidades em 
qualquer quantidade definida de produto, tem distribuição de Poisson, isto é: 
 
!
]Pr[
c
e
cC
c  

 
onde c é o número de não-conformidades e  representa o número médio de não-
conformidades na quantidade de produto considerada. 
Os requisitos básicos para que o número de não-conformidades obedeça a uma 
distribuição de Poisson são: 
a) a freqüência média de não-conformidades deve ser proporcional ao número de itens 
analisados; 
b) as não-conformidades devem ocorrer de forma independente; 
c) na quantidade de produto considerada, deve existir uma infinidade de oportunidades para 
ocorrência de não-conformidades, porém o evento associado à ocorrência de uma não-
conformidade específica deve ser um evento raro. 
 
A média e o desvio-padrão da variável aleatória C são: 
 
 C
; 
 C
 
 
Então teremos que: 
 kLSCC 
 
CLM
 
 kLICC 
 
 
Estimando  por 
unC  então: 
CkCLSCC 
 
CLMC 
 
 CkCmáxLICC  ;0 
 
onde 
m
C
C
m
i
i
 1 ; 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 20 
2.4 Gráfico de Controle u 
 
Este gráfico monitora o número médio de defeitos (ou não-conformidades) em unidades 
de tamanho constante ou variável. 
No gráfico de u, o número de defeitos Ci de cada amostra é dividido pelo número de 
unidades de inspeção da amostra, ni: 
 
i
i
i
n
C
u 
 
Os valores de ui são plotados no gráfico de u. 
 
Os limites de controle do gráfico de u são dados por: 
 
i
o
ou
n
u
kuLSC 
; 
oC uLM 
; 
i
o
ou
n
u
kuLIC 
 
Estimando uo como 




M
i
i
M
i
i
o
n
C
uu
1
1
, teremos que: 
 
 
i
u
n
u
kuLSC 
 
uLMC 
 









i
u
n
u
kumáxLIC ;0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 21 
3. GRÁFICOS DE CONTROLE DE CUSUM e de EWMA 
 
 
Uma das razões do sucesso dos gráficos de Shewhart é a simplicidade da regra de 
decisão: basta examinar a posição do último ponto; se ele estiver na região de ação do 
gráfico, deve-se intervir no processo. Para a detecção de grandes desvios da média do 
processo, ou de aumentos significativos da variância ou da fração defeituosa, os gráficos de 
Shewhart, ou seja, os gráficos da média, da amplitude, do desvio-padrão, da fração 
defeituosa, etc., são imbatíveis; contudo, eles perdem rapidamente a eficiência à medida que 
os processos vão ficando mais robustos (“robustos” no sentido de as causas especiais cada 
vez mais interferirem com menos profundidade, de modo que a magnitude dos desvios ou dos 
aumentos tende a diminuir). Por exemplo, o gráfico de X requer, media, mais de 30 amostras 
de tamanho 5 para sinalizar um deslocamento na média  da ordem de meio desvio-padrão. 
O gráfico de controle das Somas Acumuladas (CUSUM, de “Cumulative Sum”) e o 
gráfico de controle da Média Móvel Ponderada Exponencialmente (EWMA, de 
“Exponentially Weighted Moving Average”) são indicados para o monitoramento de 
processos sujeitos a pequenas perturbações. Quando um desses dispositivos está em uso, a 
decisão sobre o estado do processo é baseada na informação acumulada de diversas amostras, 
e não apenas na última delas. Acumulando dessa forma a “pequena evidência” que cada 
amostra fornece do estado do processo, consegue-se maior rapidez na sinalização de 
pequenos desajustes. 
O procedimento a ser visto aplica-se não só para a média do processo, mas para o 
desvio-padrão, a proporção, etc. 
 
3.1 Gráfico de Controle CUSUM 
 
O gráfico de controle de CUSUM utiliza informações de diversas amostras para decidir 
sobre o estado do processo: à medida que as amostras são retiradas, os desvios de X em 
relação ao valor alvo µo (ou ao valor médio em controle) são acumulados, gerando a 
estatística Si: 
 
 


i
j o
j
i
XS
1
 
 
onde 
jX 
é a média da j-ésima amostra de tamanho n≥1. 
Enquanto a média do processo permanecer ajustada no alvo, os desvios positivos ( X
>µo) serão compensados pelos negativos (X <µo), e a estatística Si oscilará, de forma 
aleatória, em torno do valor zero. Se porém, a média do processo aumentar (ou diminuir), a 
estatística Si crescerá (ou descerá) indefinidamente. 
A tabela a seguir apresenta 30 valores da variável aleatória X. Os valores de Xi, para 
i=1, 2, ... 20, foram gerados aleatoriamente segundo uma distribuição normal com média 100 
e desvio-padrão 1, e os valores para i=21, 22, ... 30 foram gerados de uma distribuição normal 
com o mesmo desvio-padrão, porém com média igual a 101. Os valores da estatística Si estão 
na última coluna da tabela. 
No gráfico de X (observações individuais) todos os pontos estão dentro dos limites 3 
sigma; portanto, o deslocamento da média, de µo=100 para 101, ocorrido entre a 20
a
 e a 21
a
 
amostras, passou despercebido. No gráfico das somas acumuladas esse deslocamento faz com 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 22 
que a estatística Si cresça indefinidamente. Similarmente ao gráfico de X , um limite superior 
e outro, inferior, dividem o gráfico de CUSUM em duas regiões: a de ação e a de controle. 
Nesse caso particular, os limites são de mesma magnitude; o superior é positivo e o inferior, 
negativo. Quando o valor de Si ultrapassa um dos dois limites, isso é entendido como sinal de 
que a média do processo deslocou-se do valor µo. 
 
 
 
O gráfico de CUSUM, além de sinalizar o desajuste, ainda informa quando este 
ocorreu. 
Pelo fato do gráfico de CUSUM basear-se no histórico do processo, e não apenas na 
última observação, ele, naturalmente, não sinaliza os desajustes de imediato, 
independentemente da magnitude destes; portanto, para grandes desvios da média, o gráfico 
de X é sempre mais ágil. 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 24 
Algoritmo CUSUM 
 
O algoritmo CUSUM trabalha com as seguintes quantidades: 
 
 
  

 
1oii
SdμX0,maxS
i
 
  

 
1ioi
SXdμ0,maxS
i
 
 
 
onde Xi é a i-ésima observação do processo, e So
+
= So
-
=0. O algoritmo CUSUM produz um 
sinal sempre que Si
+
 ou Si
-
 for maior que K. Os valores recomendados para K e d são 
respectivamente, 5o e µ1- µo/2, sendo o o desvio-padrão do processo quando em 
controle, e µ1- µo, a magnitude do deslocamento da média que é relevante detectar com 
rapidez. 
O princípio em que se baseia o algoritmo é o seguinte: se não houvesse o parâmetro d, a 
ocorrência casual de vários valores, por exemplo, acima de µo faria o somatório Si
+
 “crescer”; 
o resultado seria uma probabilidade elevada de alarmes falsos. O parâmetro d tem o propósito 
de reduzir essa probabilidade: somente valores de Xi maiores que µo+d é que incrementam 
Si
+
; valores de Xi maiores que µo, porém menores que µo+d, fazem o somatório decrescer. 
Assim, o parâmetro d funciona como uma “mola” que “puxa” os valores de Si
+
 para baixo no 
caso do processo estar com a média em µo. Observe que com isso os valores de Si
+
 tenderiam 
a decrescer infinitamente; para evitar que issoaconteça, sinalizando erroneamente redução da 
média (alarme falso), é que o algoritmo limita Si
+
 a valores positivos ou nulos, zerando Si
+
 
sempre que Xi-(µo+d)+ Si-1
+
<0. Agora, se Si
+
 somente sinaliza deslocamentos da média “para 
cima”, é necessária uma quantidade Si
-
 para sinalizar deslocamentos para baixo. O 
comportamento de Si
-
 é idêntico ao de Si
+
 (note que Si
-
 também é sempre positivo por 
definição; seu aumento, porém, indica redução da média do processo). Deslocamentos da 
média de módulo menor do que d não serão detectados ( a rigor, possuem probabilidades 
de detecção desprezível); por isso, recomenda-se fazer d=µ1- µo/2. 
A tabela a seguir apresenta os cálculos parciais referentes à aplicação do Algoritmo 
CUSUM aos dados apresentados na tabela anterior. O contador N
+
 é zerado sempre que 
Si
+
=0; o mesmo vale para N
-
 com respeito a Si
-
. Esses contadores servem para indicar o 
momento em que a média do processo alterou-se. Isso é importante porque, com o algoritmo 
CUSUM, o sinal ocorre bem depois da alteração, pois Si
+
 (ou Si
-
, conforme o caso) leva 
algum tempo para ultrapassar o limiar K. A informação sobre o momento em que a alteração 
ocorreu pode ser importante para auxiliar no diagnóstico da causa especial. Para determinar o 
instante estimado da alteração basta subtrair N
+
 do número de ordem da amostra observação 
que sinalizou. No exemplo, o sinal foi dado pela 31
a
 observação; como N
+
=11, calculamos 
31-11=20; portanto, é bem provável que a média tenha sido alterada por volta da 20
a
 
observação. A estimativa da magnitude do deslocamento sofrido pela média é dada por: 
 

ii
/NSdδ
 

ii
/NSdδ
 
se Si
+
>K e se Si
-
 >K 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 25 
 
 
No exemplo, i=31 (índice da observação em que o algoritmo sinaliza); portanto 
=0,5+5,91/11=1,04. Note que aqui se trata da estimativa do deslocamento realmente sofrido 
pela média; esse deslocamento não deve ser confundido com o valor hipotético µ1- µo do 
menor deslocamento que é relevante detectar com rapidez, e que foi usado para determinar o 
valor de d a ser usado no algoritmo. 
A tabela a seguir compara o desempenho de diferentes esquemas de controle CUSUM 
com o gráfico de controle X , em termos do número médio de amostras até o sinal (NMA). 
Nesses esquemas, o valor de K foi ajustado conforme o valor de d, de maneira a manter o 
intervalo médio entre alarmes falsos igual a 370 amostras, como no gráfico de X com os 
limites tradicionais de 3 sigma. Ao variarmos o parâmetro d, se mantivermos K fixo, 
alteraremos a frequência de alarmes falsos. O ideal, portanto, é que o valor de K seja 
determinado em função do risco  em que o usuário esteja disposto a incorrer. Como não 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 26 
existe uma expressão simples que relacione o risco  com o parâmetro K para determinado 
valor de d, uma recomendação geral é adotar K=5o. Esse valor costuma dar sempre bons 
resultados, para µ1- µo compreendido entre 0,6o e 1,6o. Pode-se observar que, à medida 
que o valor de d diminui, o esquema CUSUM detecta pequenos desajustes com maior 
rapidez. As duas últimas linhas da tabela confirmam ainda que no caso de grandes desvios da 
média o gráfico de Shewhart (gráfico da média) sinaliza em média mais rapidamente que o 
algoritmo CUSUM. 
 
 
 
O algoritmo CUSUM pode ser utilizado para n>1: basta substituir Xi por X i. e 
considerar o/n
1/2
 em vez de o. Para os gráficos de Shewhart, é altamente vantajoso trabalhar 
com n>1; já com o algoritmo CUSUM, nem sempre. 
 
Algoritmo CUSUM com resposta inicial rápida (RIR) 
 
De tempos em tempos, é necessário intervir nos processos, especialmente quando o 
gráfico de controle sinaliza algum desajuste. Por vezes, após a intervenção, não temos certeza 
se, de fato, todas as causas especiais presentes foram eliminadas. Desse modo, ao 
reiniciarmos um processo, este pode estar ou não isento de causas especiais. 
Se, em virtude de alguma causa especial que não foi eliminada, o processo reinicia-se 
com a média desajustada o algoritmo CUSUM acabará sinalizando o problema; porém, pelo 
fato desse dispositivo basear-se no histórico do processo, e não apenas na última observação, 
ele, naturalmente, não sinalizará o desajuste de imediato. Como é importante detectar o 
desajuste do processo o mais rápido possível, então, se consideramos que há uma 
probabilidade não desprezível de que o processo já possa estar desajustado desde o início, 
podemos aumentar a rapidez de sinalização do algoritmo CUSUM mediante o artifício de 
Resposta Inicial Rápida (RIR), que consiste em recomeçar o monitoramento com Si
+
 e Si
-
 já 
“a meio caminho” do limiar de sinalização K. Para isso basta fazer So
+
 = So
-
 = K/2. 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 27 
Se o processo estiver fora de controle, o NMA será bastante reduzido (a 
aproximadamente 60% do NMA do CUSUM sem RIR, para deslocamentos da média maiores 
ou iguais em módulo a 2d). Se o processo estiver em controle, então, como já vimos, graças 
ao parâmetro d, o algoritmo “puxará” os valores de Si
+
 e Si
-
 para próximo de zero, de modo 
que o artifício RIR praticamente não aumenta a probabilidade de alarmes falsos. 
 
3.2 Gráfico de Controle de EWMA 
 
O gráfico de controle da Média Móvel Ponderada Exponencialmente (EWMA) é outra 
alternativa para o gráfico de controle de Shewhart, se o objetivo é detectar pequenos 
deslocamentos na média do processo. O gráfico de EWMA apresenta desempenho bastante 
similar ao do gráfico CUSUM e, como este, é geralmente utilizado com observações 
individuais. No gráfico de controle de EWMA, são plotados valores da estatística Yi: 
 
 
1
Y-1.Y


iii
X  
 
onde 0<<1, e Yo=o (valor-alvo ou valor médio em controle de X). A variância da variável 
Yi é dada por: 
  i
i
2
22 11
2Y

 







 
onde 2 é a variância da variável X; portanto, a linha média e os limites k-sigma do gráfico 
EWMA são dados por: 
Yio
kLSC  
 
o
LM 
 
Yio
kLIC  
 
 
 
À medida que i aumenta a variância de Yi passa a ser dada por: 
 











2
22
Yi
 
e os limites tornam-se constantes. 
A figura a seguir foi obtida com os dados utilizados anteriormente para o gráfico de 
CUSUM utilizando agora =0,2 e k=2,859. 
Valores pequenos de  fazem com que o histórico dos dados tenha grande peso, 
enquanto que valores elevados diminuem a importância dos dados passados. No caso limite 
quando =1, o gráfico EWMA se transforma no gráfico de Shewhart. Por outro lado, caso 
=0 significa não monitorar o processo, por isso é necessário que >0. 
A cada reinício do processo, após a eliminação da causa especial e consequentes 
reajustes deve-se fazer Yo=o. 
O gráfico de controle de EWMA pode ser utilizado para n>1, nesse caso tem-se que: 
 
 
1
Y-1.Y


i
i
i
X  
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 28 
n
kLSC Yi
o
 
 
o
LM 
 
n
kLIC Yi
o
 
 
 
 
 
A tabela a seguir apresenta uma comparação entre os gráficos de X e de EWMA. 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 29 
4. INSPEÇÃO DE QUALIDADE 
 
4.1 Inspeção para Aceitação 
 
O seguinte teste de hipóteses está associado à inspeção para aceitação: 
 
Ho: p=po 
 
H1: p>po 
 
Se m for o tamanho de um lote que contém D itens defeituosos, a probabilidade de 
encontrarmos d defeituosos em uma amostra de tamanho n tomada desselote é dada por: 
  





















n
m
dn
Dm
d
D
dd OO
O
Pr
 
 
Se em um lote de 200 itens 10 são defeituosos, a probabilidade de uma amostra de 20 
unidades conter 2 itens defeituosos é de: 
  





















20
200
220
10200
2
10
2Pr d
 
 
Já a variável D tem distribuição binomial. Se p é porcentagem de itens defeituosos que 
o processo produz, então: 
 
    oo DmD
O
O
pp
D
m
DD







 1Pr
 
 
A probabilidade de um lote de 200 itens conter 10 itens defeituosos é dada por: 
 
    1020010 1
10
200
10Pr







 ppD
 
 
 
Como exemplo, supondo um processo com p=0,1 (10% de defeituosos), m=200 e n=20, 
a probabilidade de encontrarmos 2 defeituosos será de: 
 
       0,285DDPrDD2dPr2dPr 200
0Do OO
 

 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 30 
Se a relação entre o tamanho da amostra n e o tamanho do lote m for menor ou igual a 
10% é possível fazer a seguinte aproximação: 
 
    oo dnd
O
O
pp
d
n
dd







 1Pr 
 
Uma das razões do sucesso dos gráficos de Shewhart é a simplicidade da regra de 
decisão: basta examinar a posição do último ponto; se ele estiver na região de ação do 
gráfico, deve-se intervir no processo. Para a detecção de grandes desvios da média do 
 
4.2 Planos de Amostragem Simples e Curvas Características de Operação (CCO) 
 
Um plano de amostragem simples por atributos é definido por dois parâmetros: um 
tamanho de amostra, n, e um número de aceitação, Ac. De cada lote, retira-se uma amostra de 
n unidades, que são examinadas uma a uma. Se o número de unidades defeituosas encontrado 
na amostra for menor ou igual a Ac, o lote é aceito; se for maior que Ac, o lote é rejeitado. 
A cada plano de amostragem está associada uma única CCO que relaciona a 
probabilidade de aceitação do lote (pac) com a proporção de defeituosos do lote (p). A figura a 
seguir apresenta a CCO para n=200 e Ac=5. 
 
 
 
A figura acima foi obtida pela distribuição de Poisson acumulada onde pac=Pr(Dd), 
d=Ac e =np. 
A figura a seguir apresenta o efeito do tamanho da amostra e do número de aceitação na 
probabilidade de aceitação dos lotes. Um aumento no tamanho da amostra (de 200 para 300) 
ou uma redução no número de aceitação (de 4 para 3) implica um aumento do risco  (o que 
é ruim para o fabricante) e uma diminuição do risco  (o que é bom para o comprador). A 
única maneira de reduzir simultaneamente ambos os riscos é com mais informação: 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 31 
aumentando o tamanho da amostra (n) e aumentando, também, em contrapartida, o número 
de aceitação (Ac), para não aumentar o risco . Esses aumentos não são, necessariamente, 
proporcionais. 
 
 
 
 
4.3 Determinação do Plano de Amostragem 
 
Os planos de amostragem (valores de n e de Ac, tamanho da amostra e número máximo 
de itens defeituosos permitido na amostra para que o lote seja aceito) podem ser obtidos com 
base nos pares (p0, 0) e (p1, 1), onde: 
 
- p0 é a máxima proporção de defeituosos que o consumidor considera satisfatória como 
média de um processo; p0 também é conhecida como NQA (Nível de Qualidade Aceitável) 
- p1 é uma proporção de defeituosos que o consumidor considera totalmente insatisfatória 
como média de um processo; p1 também é conhecida como NQI (Nível de Qualidade 
Inaceitável) 
-  é o risco que o fabricante está disposto a aceitar de que um lote de boa qualidade, com 
proporção de defeituosos igual a p0, seja rejeitado 
-  é o risco que comprador está disposto a aceitar de que um lote de má qualidade, com uma 
proporção de defeituosos igual a p1, seja aceito 
 
Um algoritmo para a determinação do plano de amostragem é apresentado a seguir: 
 
PASSO 1: Escolha um valor Ac0 inicial para Ac (um bom chute é 3, 4 ou 5) 
PASSO 2: Nas tabelas da distribuição de Poisson acumulada, entrando com Ac0, encontrar a 
célula cujo valor pac
0
 seja maior ou igual a (1-) e ler o valor de , chamando-o de 0 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 32 
PASSO 3: Calcular n=0/p0 e 1=n.p1 
PASSO 4: Na coluna de =1, ler o valor pac
1
 da probabilidade acumulada da linha com 
Ac=Ac0 (se não houver coluna com =1, obter o valor por interpolação; se 1>20, então 
calcular a probabilidade pac
1
 pela aproximação normal com Z0=(Ac-1)/(1)
1/2 
PASSO 5: Se pac
1
 for igual ou um pouco menor do que , a solução foi encontrada: use 
tamanho de amostra igual a n, e LSC=Ac0 + 0,5; 
 Se pac
1
 for maior do que , aumente o valor de Ac0 e recomece (PASSO 2 em 
diante); 
 Se pac
1
 for muito menor do que , diminua o valor de Ac0 e recomece (PASSO 2 
em diante); 
 
4.4 Inspeção Retificadora 
 
A inspeção retificadora diferencia-se da inspeção para aceitação no seguinte: os lotes 
rejeitados na inspeção para aceitação são devolvidos ao fornecedor; já na inspeção 
retificadora, os lotes rejeitados são submetidos à inspeção a 100%, e todos os itens 
defeituosos do lote são substituídos por itens bons. A inspeção retificadora oferece proteção 
contra fornecedores inescrupulosos que têm o hábito de oferecer lotes já rejeitados. Como 
existe o risco , é bem possível que em determinado momento o fornecedor inescrupuloso 
consiga vender seus lotes, advindos de um processo que produz uma proporção p de 
defeituosos superior a p0. A maneira usual de lidar com lotes rejeitados na inspeção 
retificadora consiste em devolvê-los ao fabricante, para que ele faça a inspeção a 100% e 
substitua os itens defeituosos por itens bons, idealmente na presença de um representante 
legal do comprador. 
Com a inspeção retificadora, o consumidor adquirirá menos itens defeituosos, uma vez 
que todos os lotes rejeitados são submetidos à inspeção a 100%, com troca dos defeituosos 
encontrados, de modo que esses lotes passam a ter 0% de defeituosos. Após a 
comercialização de uma série de lotes, a proporção média de defeituosos q que o comprador 
adquire com a inspeção retificadora é menor que p, a proporção média de defeituosos dos 
lotes recebidos. Veja a figura a seguir, na qual, por simplicidade, considera-se a fração 
defeituosa dos lotes constante e igual à fração defeituosa do processo. 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 33 
A proporção média de defeituosos q que o comprador adquire com a inspeção 
retificadora é chamada de Qualidade Média Resultante (QMR). De acordo com a figura: 
 
acacac
p.P)P0.(1p.PQMR 
 
 
A figura a seguir apresenta a curva de Qualidade Média Resultante em função da 
proporção de defeituosos do lote p, para o plano de amostragem (n=200, Ac=5). 
 
 
 
A QMR aumenta com o valor de p até atingir um valor máximo, a partir do qual cai 
rapidamente. Isso acontece porque para valores pequenos de p a maioria dos lotes é aceita 
(Pac1), e a QMR praticamente permanece igual a p. À medida que p aumenta, a 
probabilidade de um lote ser aceito decresce, e maior número de lotes é submetido à inspeção 
total. Quanto mais lotes sujeitos à inspeção total, menor a proporção de defeituosos que o 
consumidor adquire; ou seja, menor a QMR. Um valor grande de p leva à rejeição de todos os 
lotes e, consequentemente, a uma QMR=0. Note que essa redução da QMR é chamado de 
Limite da Qualidade Média Resultante (LQMR), que é a máxima proporção média de 
defeituosos que o consumidor adquire com a inspeção retificadora.4.5 Planos de Amostragem Dupla 
 
A amostragem dupla visa reduzir o número de itens do lote a inspecionar. Um plano de 
amostragem dupla consiste em cinco parâmetros: dois tamanhos de amostra, n1 e n2, dois 
números de aceitação, Ac1 e Ac2, e um número de rejeição, Re1. Inicialmente, uma amostra 
de tamanho n1 é retirada aleatoriamente do lote; se o número de defeituosos encontrado nessa 
amostra, d1, não exceder o número de aceitação Ac1, o lote é aceito; se o número de 
defeituosos d1 for igual ou maior que o número de rejeição Re1, o lote é rejeitado; caso 
contrário, ou seja, se Ac1<d1<Re1, deve-se retirar uma segunda amostra do lote, de tamanho 
n2. Se o total de defeituosos encontrado nas duas amostras, d1+d2, não exceder o número de 
aceitação Ac2, o lote é aceito; caso contrário, ele é rejeitado. A figura a seguir apresenta o 
fluxograma da inspeção para aceitação com amostragem dupla. 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 34 
 
 
 
Exemplo: seja o plano de amostragem dupla n1=n2=125, Ac1=2, Re1=5, Ac2=6. A 
probabilidade de o lote ser aceito na primeira amostra é Pac
1
=Pr[d12n1=125] e a 
probabilidade de ser aceito na segunda amostra é Pac
2
=Pr[d23n2=125, d1=3] x Pr[d1=3] + 
Pr[d22n2=125, d1=4] x Pr[d1=4]. 
No plano de amostragem dupla em consideração, o número de itens inspecionados de 
um lote será igual a 125 ou a 250, dependendo do lote vir a ser aceito ou rejeitado já na 
primeira amostra, ou de vir a ser necessária a segunda amostra. A probabilidade de ter que 
inspecionar a segunda amostra é Pr[d1=3 ou 4]. Portanto, o tamanho médio das amostras, 
TMA, com amostragem dupla será igual a 125 + 125 x Pr[d1=3 ou 4]. A figura a seguir 
apresenta o TMA para diferentes valores de p. Na amostragem dupla o TMA não ultrapassa 
180 itens, sendo 20 unidades menor que o plano de amostragem simples. 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 35 
4.6 Planos de Amostragem da Norma Brasileira NBR 5426 
 
Na NBR 5426 o usuário precisa definir o tamanho do lote, o NQA e o nível de inspeção 
com que pretende trabalhar. O nível de inspeção fixa a relação entre o tamanho do lote e o 
tamanho da amostra. A norma prevê três níveis gerais de inspeção: I, II e III. Geralmente 
adota-se o nível II. O nível I pode ser utilizado quando for necessário diminuir o tamanho da 
amostra (ao preço de aumentar o risco , do consumidor) e o nível III quando for necessário 
reduzir o risco do consumidor (ao preço de aumentar o tamanho da amostra). Há ainda quatro 
níveis especiais, S1, S2, S3 e S4, para os casos em que só se podem usar tamanhos de 
amostra muito pequenos (por exemplo, no caso de ensaios destrutivos muito caros) e em que 
possam e devam ser tolerados grandes riscos de amostragem. 
Além dos planos de amostragem simples, a norma prevê os planos de amostragem 
dupla e múltipla. 
A norma prevê ainda a utilização de modos de inspeção atenuado e severo, de forma 
comutativa, visando uma melhor utilização dos recursos alocados à inspeção. Se o histórico 
do fornecedor gera confiança (dez lotes consecutivos aceitos), então o consumidor pode dar-
se o luxo de substituir a inspeção normal pela atenuada, reduzindo assim o tamanho das 
amostras. Por outro lado, se o histórico do fornecedor não gera confiança (dois em cinco lotes 
consecutivos rejeitados), então a inspeção normal é substituída pela inspeção severa, que 
reduz o número de aceitação (tornando mais rigoroso o critério para aceitação dos lotes). Na 
figura a seguir estão as condições gerais para comutação entre os três modos de inspeção: 
normal, atenuada e severa. Note que, na inspeção atenuada, se o número de defeituosos d 
encontrados na amostra for maior que Ac e menor que Re, o lote deve ser aceito, porém a 
análise dos lotes subsequentes deve-se retornar à inspeção normal. 
Em certas situações, não faz sentido classificar o item como defeituoso ou não, mas 
contar o número de defeitos que ele possui. Os planos da norma podem ser utilizados também 
nesses casos: basta fazer o NQA igual ao número máximo de defeitos por cada 100 unidades 
(DCU – Defeitos por Centena de Unidades) que pode ser considerado satisfatório como 
média do processo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 36 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
Costa, A.F.B.; Epprecht, E.K.; Carpinetti, L.C.R. Controle Estatístico de Qualidade, São 
Paulo, Editora Atlas, 334p., 2004. 
 
Montgomery, D.C. Introdução ao Controle Estatístico de Qualidade, Rio de Janeiro, LTC 
Editora, 513p., 2004. 
 
Vieira, S. Estatística para a Qualidade, Rio de Janeiro, Editora Campus, 198p., 1999. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 38 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 45 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 46 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 47 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 49 
 
 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 50 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 51 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 52 
 
 
 
 
Gráficos de Controle e Inspeção de Qualidade 53