Atividade 1 - Gabarito Matemática Básica

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Disciplina: 
 Matemática Básica 
ATIVIDADE 1 - GABARITO 
 
 
- Objetivo desta atividade: 
1. Desenvolver a habilidade de trabalhar com os cálculos de valores de funções; 
2. Compreender a relação existente entre as variáveis de uma função; 
3. Desenvolver a habilidade de analisar e construir gráficos de funções; 
4. Utilizar o MS Excel para a construção de gráficos; 
5. Resolver equações; 
6. Obter raízes (ou zeros) de funções; 
1. Obter e analisar as funções Custo, Receita e Lucro relacionadas a uma utilidade; 
7. Analisar as funções de demanda. 
 
- Com isso você será capaz de (habilidades desenvolvidas): 
1. Efetuar cálculos numéricos e algébricos; 
2. Realizar cálculos de valores de funções a partir de valores dados à variável independente; 
3. Reconhecer o comportamento dos gráficos de determinadas funções a partir de suas expressões 
algébricas; 
4. Relacionar valores de variáveis diferentes através de funções matemáticas. 
5. Calcular a quantidade que deve ser produzida e vendida para que a empresa comece a ter lucro; 
6. Determinar a quantidade produzida de uma determinada utilidade que maximiza o lucro obtido com 
a produção e venda da mesma. 
7. Analisar o comportamento da demanda (procura) de uma determinada utilidade a partir de sua 
função de demanda ou do gráfico da mesma. 
 
 
1. Na revelação de um filme, uma óptica calcula o preço a ser cobrado usando a fórmula 
nP 65,000,12 
, onde P é o preço,em reais, a ser cobrado e n é o número de fotos reveladas 
do filme. 
a) Quanto pagarei se forem reveladas 22 fotos do meu filme? 
b) Se paguei a quantia de R$ 33,45 pela revelação, qual o total de fotos reveladas? 
 
Resolução 
a) Devemos substituir n por 22 e calcular o valor de P: 
reaisP
P
P
30,26
30,1400,12
2265,000,12



 
b) Nesse caso, substituímos P por 33,45 reais e calculamos n : 
fotosn
n
n
n
n
n
33
65,0
45,21
45,2165,0
45,2165,0
45,3300,1256,0
65,000,1245,33






 
 
2. Determine analítica e graficamente o ponto de intersecção das funções 
4)(  xxf
 e 
22)(  xxg
. 
 
Resolução 
 Para se determinar analiticamente o ponto de intersecção, devemos igualar as 
funções e calcular o valor de x na equação resultante: 
2
3
6
63
63
422
224
)()(







x
x
x
x
xx
xx
xgxf
 
 
 O cálculo acima nos revela que a coordenada x do ponto de intersecção é igual a 2. 
Para determinarmos a coordenada y , desse ponto, devemos substituir o valor encontrado 
para x em qualquer uma das funções. Tomando, por exemplo, a função f(x), temos: 
242)2( f
 
 Portanto, a coordenada y também é igual a 2. Podemos afirmar, então, que o ponto 
de intersecção é: 
(2,2) 
 
 Para determinarmos graficamente esse ponto de intersecção (bem como as funções f 
e g), vamos traçar os gráficos das duas funções num mesmo sistema de eixos. Para isso 
escolheremos valores arbitrários para x e, a partir desses valores, calcularemos o valor (y) 
da função. 
 
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
y
 Para a função 
4)(  xxf
: 
- se x = 0, então 
440)0( f
; 
- se x = 5, então 
145)5( f
. 
 
 Para a função 
22)(  xxg
: 
- se x = 0, então 
2202)0( g
; 
- se x = 5, então 
8210252)5( f
. 
 
 Com os pontos obtidos, construímos os gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Se a equação da receita referente a um 
determinado produto é 
qR 10
 e do custo é 
18004  qC
, 
a) qual é a quantidade de equilíbrio para esse produto? 
b) qual é a expressão que fornece o lucro em função da quantidade q? 
c) qual é o lucro se forem produzidas e comercializadas 500 unidades desse produto? 
 
Resolução 
a) A quantidade de equilíbrio se dá quando a receita é igual ao custo, portanto, basta 
igualarmos R e C e resolvermos a equação: 
300
18006
1800410
1800410





q
q
qq
qq
CR
 
x f(x) 
0 4 
5 –1 
x g(x) 
0 –2 
5 8 
 Assim, a quantidade de equilíbrio é 300. 
 
b) Para obtermos a função lucro, devemos subtrair o custo C da receita R. Portanto: 
18006
1800410
)18004(10




qL
qqL
qqL
CRL
 
 
c) Na expressão que fornece o lucro (obtida no ítem b), substituímos q por 500 e calculamos L: 
12001800300018005006 L
 
 O lucro na produção e comercialização de 500 unidades será de 1200,00 
 
 
4. O preço de equilíbrio de mercado para um produto é o preço de venda do produto que equilibra 
a quantidade que os produtores estão dispostos a oferecer e a quantidade que os consumidores 
estão dispostos a adquirir. Se a equação que dá a oferta do produtor for 
401,0  pq
 e a 
equação que mede a demanda do consumidor for 
pq 2,0500
, qual o ponto de equilíbrio 
desse mercado? 
 
Resolução 
Igualando quantidade ofertada (
401,0  pq
) e quantidade demandada (
pq 2,0500
), 
temos: 
1800
3,0
540
5403,0
405002,01,0
2,0500401,0





p
p
p
pp
pp
 
 
 
5. Calcule o valor de cada uma das expressões abaixo: 
a) 







2
3
25
15
21
7
9
5
 
 
Resolução 
 Efetuando as simplificações dos termos das frações que estão se multiplicando, podemos 
escrever: 
100)10()155()5135(
3
25
15
21
7
9
5 222
2







 
 
b) 







2
5
2
1700
 
 
Resolução 
7
2500
7
25
100
49
25
700
7
5
700
5
7
700
5
25
700
5
2
1700
2222

















 







 
 
 
6. Simplifique as seguintes expressões algébricas: 
a) 
532 22  xxxx
 
 
Resolução 
54532 222  xxxxxx
 
 
b) 
22 )()( baba 
 
 
Resolução 
abbabababababababababa 422)2(2)()( 2222222222 
 
 
c) 
222)( babab 
 
 
Resolução 
222222222222 22)()( aabbababababbabab 
 
 
d) 
abba 2)( 2 
 
 
Resolução 
22222 222)( baabbabaabba 
 
 
 
e) 
25
24 103
xx
xx


 
 
Resolução 
 Em ambos os termos da fração (numerador e denominador) é possível colocar o termo x2 em 
evidência, para depois cancelá-lo. 
 
1
103
)1(
)103(103
3
2
32
22
25
24








x
x
xx
xx
xx
xx
 
7. Sendo 
xxf 45)( 
 , calcule: 
a) 
)0(f
 
b) 
)1(f
 
c) 
)2( xf
 
d) 
)( hxf 
 
 
Resolução 
 Vamos substituir o termo x na expressão (função) 
xxf 45)( 
 pelos valores ou expressões 
propostos para, em seguida, calcular o valor de f. 
a) 
505045)0( f
 
b) 
945)1(45)1( f
 
c) 
134845)2(45)2(  xxxxf
 
d) 
hxhxhxf 445)(45)( 
 
 
 
8. Considere a função quadrática 
xxxf  2)(
. Calcule 
)0(f
, 
)1(f
, 
)1(f
 e 
)( axf 
. 
 
Resolução 
 Proceda da mesma forma que no exercício 3. 
000)0( 2 f
 
 
211)1()1()1( 2 f
 
 
01111)1( 2 f
 
 
axaaxxaxaxaxf  222 2)()()(
 
 
 
9. Uma lista de preços de custo de produtos é fornecida ao funcionário de uma loja de 
conveniência. O gerente solicita que ele determine um número pelo qualtodos os valores da 
lista sejam multiplicados para obter o preço de venda dos mesmos, de tal forma que a margem 
de lucro seja de 30% sobre o preço de venda. Que número é esse? 
(Sugestão: chame o preço de venda de y e o preço de custo de x e estabeleça a relação entre 
essas variáveis, isolando o y). 
 
Resolução 
Denominando por y o preço de venda e por x o preço de custo, para que a margem de lucro 
seja de 30% sobre o preço de venda, então o preço de custo deve corresponder a 70% do preço 
de venda, ou seja, 
yxyx 70,0
100
70

. 
Daí, isolando a variável y (preço de venda), temos: 
xyxy
x
yyx 429,1
70,0
1
70,0
70,0 
 
Portanto, para obter o preço de venda a partir do preço de custo, basta multiplicar este último 
por 1,429 (aproximadamente). 
 
 
10. Desenhe o gráfico das seguintes funções e encontre sua(s) raízes quando existir: 
(Sugestão: você pode montar tabelas atribuindo valores a x e calculando os respectivos valores 
de f(x); caso queira, utilize o Microsoft Excel para calcular tais valores.) 
 
Resolução 
 
Nas resoluções abaixo, as tabelas mostram alguns dos valores que podem ser utilizados no 
gráfico. Você não precisa colocar exatamente os mesmos, porém o gráfico tem que mostrar o 
mesmo “comportamento”. 
 
 
a) 
22)(  xxfy
 
 
 Raiz: x = –1 
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-2
0
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
x
y
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-2
0
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
x
y
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-2
0
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
x
y
 
X y 
-10 -18 
-9 -16 
-8 -14 
-7 -12 
-6 -10 
-5 -8 
-4 -6 
-3 -4 
-2 -2 
-1 0 
0 2 
1 4 
2 6 
3 8 
4 10 
5 12 
6 14 
7 16 
8 18 
9 20 
10 22 
 
 
 
b) 
14)(  xxfy
 
 
 Raiz: x = 1/4 
 
X y 
-5 21 
-4 17 
-3 13 
-2 9 
-1 5 
0 1 
1 -3 
2 -7 
3 -11 
4 -15 
5 -19 
 
 
 
 
 
c) 
2)( xxfy 
 
 
 Raiz: x = 0 
 
X y 
-5 -25 
-4 -16 
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-2
0
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
x
y
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
x
y
-3 -9 
-2 -4 
-1 -1 
0 0 
1 -1 
2 -4 
3 -9 
4 -16 
5 -25 
 
 
 
 
 
 
d) 
4)(  xfy
 
 
Raiz: não possui 
 
X y 
-7 4 
-6 4 
-5 4 
-4 4 
-3 4 
-2 4 
-1 4 
0 4 
1 4 
2 4 
3 4 
4 4 
5 4 
6 4 
7 4 
 
 
 
 
e) 
2)12()( 2  xxfy
 
 
 Raiz: não possui 
 
X y 
-2 27 
-1 11 
-0,8 8,76 
-0,6 6,84 
-0,5 6 
-0,2 3,96 
0 3 
0,1 2,64 
0,3 2,16 
0,4 2,04 
0,5 2 
0,8 2,36 
1 3 
1,5 6 
2 11