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Prévia do material em texto

Instituto Federal de Educação,
Ciência e Tecnologia
de Pernambuco
Edição 2008
Recife-PE
Licenciatura em Matemática 
Elementos de Lógica e 
Teoria dos Conjuntos
José Arimatéia Rocha
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Presidência da República Federativa do Brasil
Ministério da Educação
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES
Este Caderno foi elaborado em parceria entre o Instituto Federal de Educação, 
Ciência e Tecnologiade Pernambuco - IFPE e a Universidade Aberta do Brasil - UAB
Equipe de Elaboração
Coordenação do Curso
Maria de Fátima Neves Cabral
Supervisão de Tutoria
Sônia Quintela Carneiro 
Logística de Conteúdo
Giselle Tereza Cunha de Araújo
Maridiane Viana
Coordenação Institucional
Reitoria
 Pró-Reitoria de Ensino
 Diretoria de Educação a Distância
Pró-Reitoria de Extensão
Pró-Reitoria de Pesquisa e Inovação
Pró-Reitoria de Administração e Planejamento
Diagramação
Luciano Aguiar
Leila Nunes
Projeto Gráfi co 
Eliana Virgínia Vieira de Melo
Projeto Gráfi co - Capa
Verônica Emília Campos Freire
Giselle Tereza Cunha de Araújo
Revisão Linguística
Leona Maria de Sá
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Módulo 1
Disciplina: Elementos de Lógica e Teoria dos Conjuntos
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A Linguagem da Matemática
Meta: Apresentar as bases de como se organiza o discurso na matemática
 Objetivos:
Descrever sentenças atômicas1) 
Definir o valor lógico de uma sentença e relacioná-lo com o Princípio do 2) 
Terceiro Excluído
Compreender e fazer uso de alguns símbolos de uso freqüente em 3) 
Matemática.
Entender a noção de Conjunto em Matemática como conceito unificador 4) 
de sua linguagem.
1. Introdução
Neste módulo consideramos de modo elementar a organização da linguagem 
matemática. Nele você estudará as sentenças ou proposições do ponto de 
vista de como um Matemático às considera e de como um professor de mate-
mática deve fazer uso de modo a organizar o pensamento de seu aluno.
2. Sentenças Atômicas
Consideramos as afirmações traduzidas abaixo:
 (a) 3 é um número ímpar.
 (b) 5 é maior que 8.
 (c) Hoje é sábado.
 (d) Plutão é um Planeta.
 (e) Recife é a capital do estado de Pernambuco.
 (f) Todo homem tem alma.
Observe que algumas das afirmações acima exprimem fatos que você 
sabe serem verdadeiros como, por exemplo, (a) e (e). A afirmativa (b) é 
evidentemente falsa. As demais afirmativas têm sua veracidade dependente 
Aristóteles (384 a.C- 322 a.C) 
foi um dos primeiros pensadores 
a escrever sobre a lógica. Em 
seu “Organon”, obra clássica 
de Filosofia Grega, ele projeta 
construir um instrumento para 
construção segura da ciência.
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de certas considerações ou convenções humanas. Por exemplo, até bem 
pouco tempo atrás (d) era verdadeira mais agora não é mais (Veja quadro 
ao lado), a afirmativa (c) depende do dia que você tiver fazendo a leitura 
desse texto enquanto que (f) depende de suas considerações pessoais.
De um modo geral, uma proposição ou sentença transmite pensamentos as 
quais exprimem juízos a respeito de certos objetos ou entes.
Tais juízos podem ser verdadeiros, falsos ou indecidíveis quanto a sua vera-
cidade ou falsidade. Em Matemática, iremos considerar sentenças sobre as 
quais possamos decidir se são verdadeiras ou falsas. Logo, estão excluídas 
de nosso estudo:
 1) As sentenças interrogativas tipo “Que dia é hoje?”
 2) As sentenças exclamativas tipo “Que dia calorento!”
 3) As sentenças imperativas tipo “Dane-se você e sua corja”.
Assim, a estrutura básica de uma sentença matemática é:
 SUJEITO + PREDICADO
em que o predicado descreve algum fato sobre o sujeito para o qual é possí-
vel decidir se o fato é verdadeiro ou falso, como mostram os exemplos:
 (g) 5 é um número primo.
 (h) é um número racional
 (i) 2 é maior que 1.
Tal tipo de sentença chamaremos de Sentença Atômica ou Simples.
Atividade 1: Pesquise o significado dos termos Sujeito e Predicado e para 
cada uma das sentenças (a,b,c,d,e,f,g,h,i) acima, diga qual o sujeito e qual o 
predicado.
3. Valor Lógico De Uma Proposição
Não é só a estrutura “sujeito + predicado” que determina uma sentença 
matemática. O fato mais relevante é a possibilidade de podermos decidir o 
chamado valor lógico da sentença, isto é, se ela é verdadeira ou falsa. Tal fato 
é chamado Princípio do Terceiro Excluído (PTE) pelos matemáticos e assume 
um papel fundamental na chamada lógica matemática.
Nas ciências, em geral, determi-
nados conceitos podem mudar. 
Em matemática este é um fato 
difícil de ocorrer, acontecendo 
em geral, quando uma estrutura 
nova é observada permeando o 
conceito.
Plutão perde o status de Planeta
Fonte: Folha Online 15/08/2006
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No que segue iremos representar as sentenças por letras latinas minúsculas, 
com p, q, r, ... e seus valores lógicos por V(p), V(q), V(r), .... Veja os exemplos 
abaixo:
 p: 3 é maior que 2.
 q: 5 é a metade de 8.
No caso V(p)= v e V(q)=f, ou seja, os valores lógicos das sentenças p e q são 
respectivamente v (verdadeiro) e f (falso).
Atividade 2: Complete com os valores lógicos das sentenças dadas abaixo.
 a: 15 é um número primo V(a) = f
 b: 2 =1,41 V(b) = ___
 c: V(c) = ___
 d: V(d) = ___
 e: V(e) = ___
 f: V(f) = ___
 g: Todo quadrado é retângulo V(g) = ___
 h: V(h) = ___
 i: Dois triângulos semelhantes 
 têm a mesma área V(i) = ___
 j: Se x é um número então V(j) = ___
4. Os Símbolos da Matemática
A linguagem matemática escrita contém muitos símbolos tais como:
 = significa “é igual a”
 < significa “é menor que”
 significa “é menor ou igual que”
 > significa “é maior que”
 significa “é maior ou igual que”
TRISTEZA NO CÉU
No céu também há 
uma hora melancólica.
Hora difícil, em que a 
dúvida penetra as almas.
Por que fiz o mundo? Deus se 
pergunta e se responde: não sei. 
Os anjos olham-no com 
reprovação, e plumas caem. 
Todas as hipóteses: a graça, a eter-
nidade, o amor caem, são plumas. 
Outra pluma, o céu se desfaz.
Tão manso, nenhum fragor denun-
cia o momento entre tudo e nada,
ou seja, a tristeza de Deus.
In: Drummond. Antologia Poética.Rio de 
Janeiro: José Olympio, 1978.
Na poesia, a linguagem tem outros 
objetivos. Ela visa, por exemplo, 
provocar emoções. Veja: Não há 
preocupação sobre a Verdade ou 
falsidade dos Versos acima de 
Carlos Drummond de Andrade. 
(1902-1987)
A escrita V(d) = f significa que 
o valor lógica da afirmativa (d) 
é falso. Quanta economia de 
palavras conseguimos com tal 
notação!
ATENÇÃO
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38
O DIA O DIA EM QUE UM 
MATEMÁTICO PROVOU A EXISTÊNCIA 
DE DEUS.
Em uma disputa famosa entre o 
filosófo Diderot (1713-1784) e o 
matemático Euler (1707-1783) sobre 
a existência de Deus, este último 
coloca a seguinte sentença para o 
filosófo redargüir:
 , logo Deus existe!
Segundo Hogben (1950) “Como 
acontece a muitos de nós, Diderot 
ficou cheio de dedos quando 
defrontado com uma frase na 
linguagem das grandezas. Por isso, 
retirou-se abruptamentedo salão, 
debaixo do escárneo dos presentes, 
fechou-se em seus aposentos, pediu 
seu passaporte e tratou de partir 
para França.”(p.19)
O exemplo acima mostra que os 
símbolos matemáticos podem nos 
afastar da compreensão de um 
fato, logo devemos ter cuidado 
com seu uso em sala de aula.
Tais símbolos, assim como outros, têm significado universal. Você pode 
en-contrá-los em livros matemáticos americanos, italianos, alemães, etc. 
Boa parte da tarefa de compreender matemática está associada a apro-
priação de uso de símbolos e você deve dedicar atenção especial a isso.
Na tabela abaixo indicamos alguns símbolos de uso freqüente em matemá-
tica e seu significado. Você deve consultá-la sempre que achar necessário.
 
5. A Noção de Conjunto
De um ponto de vista de sua estrutura interna, a Matemática costuma organi-
zar seus objetos de estudo em conjuntos. Assim, por exemplo, os pontos do 
plano são vistos como um conjunto, o conjunto dos pontos do plano. Neste 
caso, para indicar que um ponto está em um conjunto, usa-se o símbolo 
. Desta forma se designarmos o conjunto dos pontos do plano por E, a sen-
tença P E (lê-se P pertence a E) significa que P é um ponto do plano E. 
Do mesmo modo, Q ∉ E (lê-se Q não pertence a E) significa que Q não é 
um ponto de E.
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39
É usual, representar-se um conjunto por uma letra maiúscula. Os objetos do 
conjunto, também chamados de elementos, são colocados entre chaves e 
separados por vírgulas, sem repetição e numa ordem qualquer. Por exemplo, 
A={a,e,i,o,u} é uma maneira de indicar que A é o conjunto cujos elementos 
são as vogais.
Muito freqüentemente, um conjunto matemático é formado por uma infinidade 
de elementos. Por isso, também podemos indicar o conjunto no formato.
 X= {x | x satisfaz a propriedade P}
Tal tipo de representação é chamada Representação por Compreensão.
No caso, P é uma propriedade que caracteriza os elementos de X enquanto x 
designa um elemento genérico do conjunto X. Veja, isto não quer dizer que x 
X, mas simplesmente que x representa um elemento qualquer de X.
Ademais é freqüente o uso de símbolos especiais para designar certos con-
juntos de objetos matemáticos. Por exemplo:
N → Conjunto dos Números Naturais, isto é 
 N = {0, 1, 2, 3, ...}
Z → Conjunto dos Números Inteiros, isto é
 Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Q → Conjunto dos Números Racionais, portanto
 Q = 
Treine tais considerações nas atividades abaixo.
Atividade 3: Assinale V (verdadeiro) ou F(falso) de acordo com as afirmati-
vas abaixo:
 ( ) 2 {1,2,3}
 ( ) 5 {13,14,15}
 ( ) 0 ∉ {10}
 ( ) – 3 {1,2,3}
 ( ) a {vogal}
Didaticamente, alguns autores falam 
em representação por extensão de 
um conjunto, aquela que indicamos 
seus elementos separados 
por virgula. Também podemos 
representar conjuntos por diagramas 
como o descrito abaixo
Fig 3. A representação do conjunto 
das vogais por diagrama.
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40
DICAS DE ESTUDO
Você está com o objetivo bem
relevante para sua vida: Fazer 
um curso de Licenciatura em 
Matemática a distância. É 
fundamental que você organize 
seu tempo!
Aconselhamos que:
* Estabeleça horários de estudo 
individual diariamente
* Reúna-se com um grupo de 
colegas igualmente matriculados 
no curso uma ou duas vezes por 
semana
* Consulte seus tutores a distância 
sempre que dúvidas surgirem
* Use os momentos de tutoria 
presencial para dirimir suas 
duvidas
* Faça um diagrama dos objetivos 
propostos para cada disciplina e 
reflita sobre seu desempenho nas 
atividades propostas.
 ( ) 2 {1,{2},3}
 ( ) Recife { x | x é cidade de Pernambuco}
Observação: Uma vez admitida a representação {x | x satisfaz a proprie-
dade P} podemos escrever {x | x x}. Como não existe x tal que x x, 
um tal conjunto é dito Conjunto Vazio sendo representado pelo símbolo . 
Da mesma forma podemos indicar conjuntos com um único elemento como, 
por exemplo, {x | x é um número inteiro e 2 < x < 4}. Conjuntos como estes 
– que têm um único elemento – são chamados conjuntos unitários. Portanto, 
a idéia matemática de conjunto, amplia aquela que se tem na linguagem 
comum, sinônima de coleção.
Atividade 4: Para cada sentença indicada à esquerda do quadro abaixo indi-
que uma possibilidade de leitura no lado direito do quadro.
Atividade 5: Para cada sentença indicada no quadro acima, informe qual 
o valor lógico que você acha que ela tem (Discuta essa questão com seus 
colegas e em caso de dúvida, consulte seu tutor).
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Resumo
1. As sentenças simples (atômicas) em Matemática têm a forma básica 
“sujeito+predicado” e admitem um único valor lógico (verdadeiro ou falso);
2. Se p é uma sentença então V(p) é o modo como se indica seu valor 
lógico.
3. Compreender o uso dos símbolos especiais em matemática é parte impor-
tante da tarefa de compreender matemática.
4. A idéia de conjunto é básica em Matemática e amplia a idéia que temos 
de coleção.São considerados conjuntos com um único elemento, chamados 
conjuntos unitários e até mesmo um conjunto que não tem elemento, cha-
mado vazio.
Auto-avaliação
Muna-se de lápis e papel e em um lugar tranqüilo tente resolver as seguin-
tes questões. As respostas para elas podem ser encontradas ao final deste 
caderno. Só as consulte após ter escrito todas as respostas.
1. Traduza para a linguagem corrente as seguintes sentenças matemáticas:
 a. 
 b. 
 c. 
 d. 
2. Indique qual o valor lógico das sentenças acima.
3. Traduza para forma simbólica matemática as seguintes sentenças:
 a. Todo o número natural é um número racional.
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42
 b. Existe um número racional que não é inteiro.
 c. Se x é um inteiro par então x2 é um inteiro par.
 d. x é um inteiro impar se, e somente se x2 também é um inteiro impar.
4. Indique o valor lógico de cada uma das sentenças da questão 3.
5. Escreva explicitamente os elementos dos seguintes conjuntos:
 A = 
 B = 
 C = 
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43
Bibliografi a
ALENCAR FILHO, Edgar. Iniciação a Lógica Matemática. São Paulo: Nobel, 
1981.
ANDRADE, Carlos Drummond de. Antologia Poética. 12 ed. Rio de Janeiro: 
J. Olimpio, 1978.
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgar Blücher, 1974.
CASTRUCI, Benedito. Elementos da Teoria dos Conjuntos. São Paulo: 
Nobel, 1972.
HALMOS, P. R. Teoria Ingênua dos conjuntos.São Paulo: Polígono, 1977.
HOGBEN, Lancelot. Maravilhas da Matemática: influência e função da mate-
mática nos conhecimentos humanos. Tradução: Paulo Moreira da Silva. 
2ºed. São Paulo: Globo,1950.
LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos conjuntos. São Paulo: Ao Livro Técnico 
S.A, 1980.
MONTEIRO, L. H. Jacy. Iniciação as estruturas algébricas. São Paulo: 
Nobel, 1973.
Referência Bibliográfi ca
FOLHA ONLINE. Conferência decide se Plutão é planeta. Figura publi-
cada em 15/08/2006 – 12h03 <http://www1.folha.uol.com.br/folha/ciencia/
ult306u15023.shtml> acessada em 14/02/2007 as 10h30
RUIZA, M.(dir.) Figura publicada na pagina Biografías y Vidas, São 
Francisco, Barcelona 2004. <http://www.biografiasyvidas.com/biografia/a/
aristoteles.htm> acessada em 14/02/2007 as 10h35
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Módulo 2
Disciplina: Elementos de Lógica e Teoria dos Conjuntos
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33
Sentenças Compostas
 Objetivos
1. Definir a conjunção e a disjunção de sentenças lógicas;
2. Definir a união de conjuntos e a intersecção de conjunto;
3. Relacionar tais operações de conjuntos com as operações lógicas 
correspondentes;
4. Inferir as propriedades de tais operações.
1. Introdução
Continuaremos desse modo a apresentação de como a linguagem matemá-
tica se organiza. Desta feita, consideraremos a composição de sentenças 
através dos conectivos: “ou” (representado pelo símbolo ∨) e “e” (represen-
tado por ∧). Relacionaremos também tais conectivos com as operações de 
união e de intersecção de conjuntos.
2. A Disjunção e a Conjunção Lógicas
Consideremos as sentenças:
p: Recife é a capital do frevo.
q: Recife é a cidade mais populosa de Pernambuco.
Com elas, podemos compor as seguintes sentenças:
p ∨ q: Recife é a capital do frevo ou é a cidade mais populosa de Pernambuco.
p ∧ q: Recife é a capital do frevo e é a cidade mais populosa de 
Pernambuco.
A sentença p ∨ q é chamada disjunção da sentença p com a sentença q. 
Analogamente, a sentença p ∧ q é chamada conjunção da sentença p com 
a sentença q.
Os conectivos “ou” (∨) e “e” (∧) são usados na matemática como modo de 
compor sentenças. De fato, eles são considerados como uma espécie de 
Dicas de Estudo
Uma regra básica, para quem 
quer aprender matemática, é não 
acumular dúvidas. Palavras, cujo 
significado você desconhece, 
devem ser consultadas nos 
dicionários ou, ainda, ser 
solucionadas com os seus tutores 
ou professores. Por exemplo: 
Você sabe o que é conectivo?
Meta
Indicar modos básicos de 
composição de sentenças 
matemáticas.
George Boole (1815-1864)
O matemático G. Boole publicou, 
em 1847, The Mathematical 
Analysis of Logic, onde 
fundamentou as bases da lógica 
moderna.
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34
produtores de sentenças. Mais tarde, em nosso curso, definiremos a noção 
de operação caracterizando-os como operadores lógicos. No momento, 
devemos nos preocupar como associar os valores lógicos (verdadeiro ou 
falso) a tais sentenças compostas, a partir dos valores lógicos das senten-
ças dadas. Isto é feito com a construção das chamadas tabelas lógicas, as 
quais analisam todas as possibilidades de valores lógicos para as sentenças. 
Postulamos que:
1) p ∨ q é falso se somente se tanto p quanto q são sentenças falsas.
2) p ∧ q é verdadeiro se somente se ambas as sentenças p e q são verda-
deiras.
Com tais postulados, podemos compor as seguintes tabelas lógicas para a 
disjunção e para conjunção.
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Atividade 1: Considere dado que a sentença p: João é médico é verdadeira, 
enquanto que a sentença q: João é professor é falsa. Qual o valor lógico para 
as sentenças
p ∨ q: João é médico ou professor?
p ∧ q: João é médico e professor?
Respostas: V (p ∨ q) = V (p ∧ q) = 
A partir de tabelas lógicas, é fácil inferir se os operadores lógicos possuem 
determinadas propriedades. Por exemplo, mostraremos, a seguir, que a 
conjunção é comutativa, isto é, que p ∨ q é equivalente a q ∨ p. Siga as 
orientações dadas abaixo:
Passo 1: Construindo a tabela lógica para p ∨ q.
ATENÇÃO!
LEMBRE: Cada sentença tem 
um único valor lógico V ou F. 
Assim, para duas sentenças, 
temos 2 x 2 = 4 possibilidades 
de análise.
ATENÇÃO!
LEMBRE: O “ou” só é falso 
se ambas as sentenças forem 
falsas.
livro_mat_mod2.indd 34livro_mat_mod2.indd 34 4/12/2007 15:03:154/12/2007 15:03:15
35
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Passo 2: Construindo a tabela lógica para q ∨ p.
q p q ∨ p
V V V
V F V
F V V
F F F
Passo 3: Comparamos os resultados obtidos para “p∨q” e para “q∨p”. A 
seqüência de valores lógicos encontrados na terceira coluna de ambas as 
tabelas, quando lidos de cima para baixo é a mesma, o que significa que as 
sentenças “p∨q” e “q∨p” são logicamente equivalentes. Escrevemos:
p ∨ q ⇔ q ∨ p
(lê-se: p∨q equivale a q∨p)
Atividade 2: Verifique que p ∧ q ⇔ q ∧ p.
Passo 1: Construindo a tabela lógica para p ∧ q.
p q p ∧ q
V V
V F
F V
F F
Passo 2: Construindo a tabela lógica para q ∧ p.
q p q ∧ p
V V
V F
F V
F F
livro_mat_mod2.indd 35livro_mat_mod2.indd 35 4/12/2007 15:03:164/12/2007 15:03:16
36
Passo 3: Comparando os valores lógicos obtidos para p∧q e q ∧ p, indique 
as seqüências encontradas para:
p ∧ q:
q ∧ p:
Uma questão interessante é a de determinarmos o número de linhas na 
tabela lógica, a partir do número de sentenças dadas para análise. Como 
sabemos, para cada sentença, temos duas possibilidades: V ou F. Assim, o 
total de análise possível para duas sentenças é 422 =× possibilidades, 
como mostram as tabelas acima. Para três sentenças, haverá 8222 =×× 
possibilidades de análises. Utilizemos este fato para mostrar que a conjunção 
é associativa, isto é, que:
(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)
Quaisquer que sejam as sentenças p, q e r.
Passo 1: Construção da tabela lógica para (p ∧ q) ∧ r.
p q p ∧ q r (p ∧ q) ∧ r
V V V V V
V V V F V
V F F V F
V F F F F
F V F V F
F V F F F
F F F V F
F F F F F
Passo 2: Construção da tabela lógica para p ∧ (q ∧ r).
p q r q ∧ r p ∧ (q ∧ r)
V V V V V
V V F F F
V F V F F
V F F F F
F V V V F
F V F F F
F F V F F
F F F F F
Passo 3: Comparação dos valores lógicos.
Observamos que a última coluna de ambas as tabelas contém a mesma 
seqüência: V, F, F, F, F, F, F, F, F. Portanto, (p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)
IMPORTANTE!
SINAIS DE AGRUPAMENTOS
Em matemática, quando se têm 
várias operações a executar, é 
usual indicar-se com o uso de 
parênteses, colchetes ou chaves 
a prioridade **com que se deve 
realizá-las. O convencionado é 
de que, primeiro, se resolvem 
as operações entre parênteses, 
depois aquelas entre colchetes 
e, por fim, as entre chaves. Por 
exemplo, na investigação do valor 
lógico de uma sentença do tipo
{p ∧ [q ∧ (r ∨ s)]} ∨ t,
primeiro, analisaríamos r ∨ s, 
depois, q ∧ (r ∨ s), em seguida, p 
∧ [q∧(r∨s)] , para por fim, concluir 
a análise.
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ATENÇÃO!
Segundo a história, o grande 
filósofo Sócrates dizia: “Se 
queres discutir comigo, defi na-se 
teus termos”. Para a sociedade, 
as leis morais que definem o que 
se deve e o que não se deve 
fazer. O operário age a partir de 
suas ferramentas de trabalho. 
Correspondentemente, para um 
matemático, a idéia de Conjunto 
Universo indica de que objetos 
ele pode lançar mão para obter 
os resultados desejados. Por 
exemplo, uma pergunta do tipo 
“Pode a metade de um número 
ser maior do que ele?” Tem a 
resposta negativa no Universo dos 
Números Naturais; e afirmativa no 
Universo dos inteiros. Portanto, 
sempre que estiver resolvendo um 
problema veja em que Universo 
ele está sendo proposto!
Atividade 3: Verifique a associatividade para a disjunção, ou seja, que
(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)
Passo 1: Construção da tabela lógica para (p ∨ q) ∨ r.
p q p ∨ q r (p ∨ q) ∨ r
Passo 2: Construção da tabela lógica para p ∨ (q ∨ r).
p q r q ∨ r p ∨ (q ∨ r)
Passo 3: Comparando as últimas colunas das tabelas.
(p ∨ q) ∨ r:
p ∨ (q ∨ r):
3. A União e a Intersecção de Conjuntos
Uma idéia muito importante em matemática é a de Conjunto Universo. Para 
o matemático, o Conjunto Universo é aquele que contém todos os elementos 
a serem considerados em um dado problema ou situação matemática. Assimse dissermos que o conjunto Universo é o conjunto das letras do alfabeto, 
só poderemos usar conjuntos cujos elementos são tais letras (ou o conjunto 
vazio). Representaremos conjunto universo pela letra grega ‘Ω’.
Desta forma, se dissermos que ‘A’ é um conjunto, estamos pressupondo a 
existência de um Universo Ω em que ele está inserido, isto é, cada elemento 
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de ‘A’ deve ser um elemento de ‘Ω’ (Escreve-se A ⊂ Ω e lê-se: “A está contido 
em Ω”).
Dados ‘A’ e ‘B’ conjuntos em um certo Universo ‘Ω’, estamos interessados 
em obter outros conjuntos em ‘Ω’ a partir de ‘A’ e ‘B’. Um dos modos de 
realizar isto é através das operações de disjunção e conjunção lógicas. Das 
sentenças
p: x ∈ A
q: x ∈ B
podemos criar as sentenças
p ∨ q: x ∈ A ou x ∈ B
p ∧ q: x ∈ A e x ∈ B
Assim sendo, podemos obter os conjuntos:
A ∪ B = BxouAxx ∈∈Ω∈
A ∩ B = BxeAxx ∈∈Ω∈
O conjunto A ∪ B é chamado “união de A com B” e contem tanto os 
elementos de ‘A’ como os elementos de ‘B’, sem repetição e numa ordem 
qualquer. Por sua vez ,o conjunto A ∩ B é chamado “intersecção de A com B” 
contendo apenas os elementos comuns a ‘A’ e a ‘B’.
Por exemplo, sendo Ω = ℵ e dados os conjuntos:
51 ≤≤ℵ∈= xxA e
73 ≤<ℵ∈= xxB
então
5,4,3,2,1=A e
7,6,5,4=B 
logo
A ∪ B = 7,6,5,4,3,2,1 e
A ∩ B = 5,4
Atividade 4: No Universo dos Números Naturais, considere os conjun-
tos 92 ≤ℵ∈= xxA e 102 <<ℵ∈= xxB . Escreva A e B por 
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extenso e em seguida obtenha A ∪ B e A ∩ B.
Uma vez que, para quaisquer sentenças p e q, ‘p∨q’ equivale a ‘q∨p’, assim 
como ‘p∧q’ equivale a ‘q∧p’ ,então A ∪ B é igual a B ∪ A e A ∩ B é igual a 
B∩A, quaisquer que sejam os conjuntos do Universo Ω.
Outras propriedades destas operações de conjuntos são:
A ∪ A = A (Idempotência)
A ∩ A = A (Idempotência)
A ∪ ∅ = A (∅ é elemento neutro)
A ∩ ∅ = ∅ (Absorção)
A ∪ Ω = Ω (Absorção)
Representação da União de Conjuntos em Diagramas
CASO I: Os conjuntos A e B têm elementos em comum.
A B
Ω
CASO II: Os conjuntos A e B não têm elementos em comum.
A B
Ω
VEJA: No Caso I, um elemento pertence a ‘A∪B’ pode significar:
Ele pertence a ‘A’, mas não pertence a ‘B’; »
Ele pertence a ‘B’, mas não pertence a ‘A’; »
Ele pertence a ambos os conjuntos. »
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Este fato corresponde, na lógica matemática , à idéia de que o ‘ou’ é em geral, 
‘inclusivo’ e pode agregar as duas sentenças. Na linguagem usual, o ‘ou’ é 
exclusivo (indicado pela situação do caso II).
Quando digo vou à praia ou ao cinema, em geral, não se imagina que eu 
execute as duas ações simultaneamente.
A ∩ Ω = A (Ω é elemento neutro)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (Associatividade)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (Associatividade)
(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (Distributividade)
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (Distributividade)
Algumas dessas propriedades são imediatas, outras serão comentadas em 
nosso módulo de exercícios resolvidos (Módulo 5).
Exercite-se na atividade abaixo!
Atividade 5: No Universo 150 ≤≤ℵ∈=Ω xx considere os conjuntos:
4,3,2,1=A ; 8,6,3=B ; 12,10,8,6,4,2=C
Determine cada uma dos conjuntos abaixo:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A ∩ C
d) B ∩ C
e) (A ∪ B) ∩ C
f) A ∪ (B ∩ C)
g) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
h) (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
i) (A ∪ B) ∪ C
j) A ∪ (B ∪ C)
REPRESENTAÇÃO DA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS EM 
DIAGRAMAS
CASO I: Os conjuntos A e B têm elementos em comum.
A B
Ω
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CASO II: Os conjuntos A e B não têm elementos em comum.
A B
Ω
Neste último caso, os conjuntos se dizem disjuntos (não têm elementos 
comuns), isto é, A∩B=∅
Resumo
A partir de duas sentenças p e q ,podemos obter as sentenças p 1) ∨ q 
chamadas disjunção lógica e p ∧ q chamadas conjunção lógica.
A sentença p 2) ∨ q é falsa, se somente se as sentenças p e q forem fal-
sas.
A sentença p3) ∧q é verdadeira, se somente se p e q forem verdadeiras.
Dados os conjuntos A e B, podemos construir os conjuntos A 4) ∪ B e
A ∩ B.
O conjunto A 5) ∪ B está associado à disjunção lógica do mesmo modo 
que A ∩ B está associado à conjunção lógica. Podemos usar esse fato 
na verificação de propriedades sobre tais operações de conjuntos.
Auto-Avaliação
Uma boa técnica para estudo é a que chamamos “técnica do espelho”. Ela 
consiste em você e um colega tentarem resolver separadamente os mes-
mos exercícios. Em seguida, cada um corrige a solução dada pelo outro. É 
feita a discussão das questões em que não há concordância e, em seguida, 
busca-se ajuda de um tutor ou professor para dirimir as dúvidas. Aplique a 
técnica do espelho para as questões abaixo.
Mostre, através de Tabela Lógica, que (p 1) ∨ q) ∧ r é equivalente a
(p ∧ r) ∨ (q ∧ r). Qual a conseqüência desse fato para as operações 
de união e intersecção de conjuntos?
Suponha que p seja uma sentença verdadeira; q uma sentença falsa,e 2) 
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r seja outra sentença verdadeira. Qual o valor lógico da sentença
(p ∧ q) ∨ r? E da sentença p ∧ (q ∨ r)?
No diagrama abaixo, 3) Ω representa o conjunto dos pernambucanos, A 
o conjunto dos pernambucanos que estuda matemática, B é o conjunto 
dos pernambucanos que fala inglês e C o conjunto dos alunos pernam-
bucanos da UAB.
Ω
A
C
B
Pinte de amarelo o conjunto dos pernambucanos que estuda na UAB e a) 
fala inglês.
Pinte de azul o conjunto dos alunos que estuda matemática pela UAB.b) 
Você sabe que a composição do azul com o amarelo reproduz o verde. c) 
De acordo com essa informação, descreva que pernambucanos fica-
riam demarcados de verde.
Se um conjunto A tem 15 elementos e um conjunto B tem 8 elemen-4) 
tos, qual o número máximo de elementos que têm A ∪ B? E o número 
mínimo de elementos?
Bibliografi a
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgar Blücher, 1974.
CASTRUCI, Benedito. Elementos da Teoria dos Conjuntos. São Paulo: 
Nobel, 1972.
HALMOS, P. R. Teoria Ingênua dos conjuntos.São Paulo: Polígono, 1977.
LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos conjuntos. São Paulo: Ao Livro Técnico 
S.A, 1980.
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Módulo 3
Disciplina: Elementos de Lógica e Teoria dos Conjuntos
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29
Subconjuntos e Implicações
Meta
Indicar modos básicos de composição de sentenças matemáticas 
Objetivos:
 Definir subconjunto de um conjunto1) ;
 Apresentar a implicação como operação lógica sobre sentenças relacio-2) 
nando-a com a inclusão de conjuntos;
 Inferir propriedades dos subconjuntos.3) 
1. Introdução
Neste módulo, estudaremos uma maneira fundamental de construção de 
sentenças matemática: a implicação lógica. A partir da idéia natural de sub-
conjunto de um conjunto dado, apresentaremos tal operação lógica e, em 
seguida, faremos aplicações desta importante forma de organização do dis-
curso matemático.
2. A Idéia de Subconjunto
Dados A e B conjuntos quaisquer em um Universo Ω, diz-se que A é subcon-
junto de B se cada elemento de A é elemento de B. Escrevemos, então,A ⊂ 
B (lê-se: “A está contido em B” ou “A é subconjunto de B”). Assim, simbolica-
mente podemos afirmar:
A ⊂ B se, e somente se, ∀ x ∈A, x ∈ B
Ou seja, temos outro modo de produção de conjuntos a partir de um conjunto 
dado: a determinação dos subconjuntos dele. Porexemplo, a partir do con-
junto { }dcbaA ,,,= ,podemos gerar os subconjuntos { }cb, , { }dba ,, , { }a 
etc.
ATENÇÃO!!
Não confundir o uso dos 
símbolos ∈ (pertence) e ⊂ 
(está contido). O primeiro (∈) 
deve ser usado para indicar 
que um elemento está em um 
conjunto, enquanto o segundo 
(⊂) para exprimir que um 
conjunto é um subconjunto de 
outro conjunto. O símbolo ⊂ 
também é chamado da inclusão 
de conjuntos.
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30
É importante observar que, para escrevermos A ⊂ B, é necessário que:
A e B sejam conjuntos; »
Cada elemento de A seja elemento de B. »
Portanto, mesmo que A e B sejam conjuntos, em caso de A, é preciso que 
cada elemento de A seja elemento de B para escrevermos A ⊂ B.
Treine o uso de símbolos ∈ e ⊂ na atividade seguinte!
Atividade 1: 
Complete com ∈ ou ⊂ as sentenças abaixo:
a) 3 ∈ {1,2,3,4} 
b) {}3 _____ { }4,3,2,1
c) { }2,1 _____ { }4,3,2,1
d) {}3 _____ {}{ }4,3,2,1
Observe que, na letra (d) da atividade acima, o preenchimento correto deve 
ser:
{}3 ∈ {}{ }4,3,2,1 ,
pois mesmo que {}3 seja um conjunto unitário, ele é elemento do conjunto 
{}{ }4,3,2,1 .
Se A é um conjunto, é claro que cada elemento de A é um elemento de A, daí 
dizer que A ⊂ A, sempre. Por outro lado, para que A não seja subconjunto 
de B (A ⊄ B, simbolicamente), basta que algum elemento de A não seja ele-
mento de B. Por exemplo:
{1,2,3,4,5} ⊄ {1,2,3,4,6,7}
Pois o elemento 5 do primeiro conjunto, não é elemento do segundo con-
junto.
Como cada sentença matemática deve ter um único valor lógico, devemos 
considerar ∅ como subconjunto de qualquer conjunto. O argumento lógico 
ATENÇÃO!!
Veja: a idéia de elemento é um 
conceito primitivo enquanto 
que a de subconjunto é dada 
por definição. Muitas vezes, 
um conjunto figura como 
elemento para outro conjunto. 
Por exemplo, o conjunto dos 
triângulos do plano tem como 
elementos os triângulos, os 
quais são conjuntos de pontos.
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31
é que, se ∅ ⊄ A deveria existir x ∈ ∅ com x ∉ A, mais é claro que isto não 
ocorre. Daí, é sempre verdade que ∅ ⊂ A.
Atividade 2 
Complete o quadro abaixo em que, na coluna da direita, estão os subconjun-
tos do conjunto apontado na coluna da esquerda:
Conjunto Subconjuntos
∅ ∅
{a} ∅ e {a}
{a,b} ∅, {a}, {b}, {a,b}
{a,b,c}
Indutivamente, observamos que, a partir de um conjunto de n elementos, 
podem-se construir exatamente n2 subconjuntos. (nesta conta, incluem-se 
∅ e o próprio conjunto).
Uma outra propriedade da inclusão de conjuntos é que se A, B e C são con-
juntos tais que A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C. Tal propriedade é chamada de 
transitividade para a inclusão de conjuntos. Descubra mais fatos sobre con-
juntos resolvendo as atividades abaixo:
Atividade 3: 
Um conjunto A tem 350 elementos. Diga quantos são os subconjuntos de A 
com 349 elementos cada um. (Sugestão: pense em quantos subconjuntos 
com um elemento ele tem).
Atividade 4: 
Assinale V (verdadeiro) ou F (Falso) conforme o caso.
a) ( ) Se x ∉ A e A ⊂ B então x ∉ B.
b) ( ) Se x ∈ A e A ⊄ B então x ∉ B.
c) ( ) Se x ∉ A e A ⊄ B então x ∉ B.
d) ( ) Se x ∈ A e A ⊂ B então x ∈ B.
I M P O R T A N T E
A Produção dos Conjuntos
A partir de um conjunto X, 
podemos produzir o conjunto 
formado por todos os 
subconjuntos de X. Tal conjunto 
é chamado Conjuntos das 
Partes de X sendo denotado 
P(X). Nele estão presentes 
o conjunto vazio e o próprio 
conjunto X, chamados 
subconjuntos triviais de X.
A Transitividade da Relação 
de Inclusão.
Se todo número natural é um 
número inteiro e todo número 
inteiro é um número racional, 
então todo número natural é um 
número racional. Em geral, se A 
⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C.
Q Z
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32
3. A Implicação Lógica
A sentença, se x ∈ A então x ∈ B pode ser dita que, a condição x ∈ A implica 
a condição x ∈ B. Simbolicamente escrevemos:
x ∈ A ⇒ x ∈ B
De um modo geral, se “p” e “q” são sentenças, podemos obter a sentença “p 
⇒ q” a qual pode ser lida:
“p é condição sufi ciente para q” ou “q é condição necessária para p”.
Por exemplo, seja Ω, o conjunto dos cidadãos brasileiros e nele considere:
A= {x ∈ Ω/ x é pernambucano}
B = {x ∈ Ω/ x é nordestino}
Como podemos observar A ⊂ B, ou seja, ser pernambucano implica ser nor-
destino. Dito de outra maneira, a condição ser pernambucano é suficiente 
para se ser nordestino. Alternativamente, a condição ser nordestino é neces-
sária para se ser pernambucano.
Abaixo indicamos a tabela-lógica para a implicação.
p q p ⇒ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Na implicação p ⇒ q, p é dita antecedente enquanto q é dita conseqüente. 
Não é necessário haver relação de causa e efeito entre p e q. Boa parte dos 
teoremas matemáticos tem essa forma lógica. Neste caso, p é dita hipótese, 
e q é chamada tese do Teorema. No caso, demonstrar o teorema significa 
mostrar que tal implicação é verdadeira.
Atividade 5
Considere as sentenças abaixo:
p: todo triângulo é retângulo
q: os lados de um quadrilátero são congruentes
Implicação 
x 
Inclusaõ
É suficiente pertencer a A para 
pertencer a B. É necessário 
pertencer a B para está em A.
A
B
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r: 5 + 8 é um número primo
Determine os valores lógicos seguintes:
a) V (p ⇒ q) = V pois V(p) = F e V(q) = F.
b) V (q ⇒ p) =
c) V (r ⇒ p) =
d) V ((p ∨ r) r ⇒ q) = e) V ((p ∧ r) r ⇒ q) =
4. A Equivalência Lógica
Se p ⇒ q e q ⇒ p então dizemos que p e q são logicamente equivalentes 
escrevendo p ⇔ q. Neste caso, também se diz que p (ou q) é condição 
necessária e suficiente para q (ou p) ou que “p se e somente se q”.
A tabela lógica para p ⇔ q é dada por:
p q p ⇒ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Sendo A e B conjuntos dados por sentenças p e q, respectivamente, então 
dizer que A = B significa que p ⇔ q. Por exemplo, sendo A = {x∈ℵ⎟ x2 – 3x 
+ 2 = 0} e B = {1,2} observam que A = B, ou seja:
x2 – 3x + 2 = 0 ⇔ x ∈{1,2}
Atividade 6
Sabendo que p e q são sentenças verdadeiras e que r e s são sentenças 
falsas, qual o valor lógico das seguintes sentenças:
a) (p ⇔ q) ⇔ (r ⇔ s) Resposta: V
b) (p ⇒ r) ⇒ (q ⇒ s) Resposta: _______________
c) (p ⇔ r) ⇒ (q ⇒ s) Resposta: _______________
d) (r ⇒ q) ⇔ (p ⇒ s) Resposta: _______________
Dicas de Estudo
Uma etapa importante de sua 
formação matemática é a de 
demonstrar certas afirmativas. 
Por exemplo: para provar que 
dois conjuntos são iguais, você 
deve lembrar que:
A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A
Assim, você deve cumprir as 
seguintes etapas:
1) Tomar x ∈ A e comprovar que 
x ∈ B;
2) Tomar x ∈ B e comprovar que 
x ∈ A.
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34
e) (r ⇒ q) ⇔ (s ⇒ p) Resposta: _______________
5. Exercícios de Fixação
A partir desse módulo, você encontrará uma lista de exercícios para que você 
treine os conceitos e resultados trabalhados até agora. Nela introduziremos 
alguns fatos complementares, portanto é fundamental que você tente fazer 
todos os exercícios.
1. Represente por compreensão os conjuntos:
a) A = {0,2,4,6,8,...}
b) B = {0,1,2,...,9}
c) C = Conjunto dos múltiplos de 3
d) D = Conjunto das frações com numerador e denominador compreendidos 
entre 1 e 3 (inclusive)
e) E = {1,4,9,16,25,36,...}
2. Diga se é Verdadeira ou Falsa cada uma das sentenças:
a) ( ) 0 ∈ {0,1,2,3} e) ( ) {a} ∈ {a, {a}} 
b) ( ) {1} ∈ {1,2,3} f) ( ) ∅ ∈ {∅, 1}
c) ( ) 0 ∈ ∅ g) ( ) ∅ ∈ {0, {∅}}
d) ( ) ∅ ∈ {0}h) ( ) ∅ ⊂ {0,{ ∅}}
3. Dados os conjuntos A = {1,2,3}, B = {3,4} e C = {1,2,4}, determine X = 
conjunto tal que X ∪ B = A ∪ C e X ∩ B = ∅.
4. Quantos são os subconjuntos do conjunto das vogais?
5. Assinale ,no diagrama dado, os seguintes conjuntos:
a) A ∩ B ∩ C
b) A ∩ (B ∪ C)
c) A ∪ (B ∩ C)
6. Determine o valor lógico das seguintes sentenças:
Use esse espaço abaixo 
para suas observações e 
dúvidas!
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a) 1 + 3 = 4 e 2 > 5
b) 1 + 3 = 4 ou 2 > 5
c) 1 + 3 = 4 ⇒ 2 > 5
d) 2 > 5 ⇒ 1 + 3 = 4
e) 5 ≥ 2 e 0 + 1 = 1
f) 5 ≥ 2 ou 0 + 1 = 1
g) 5 ≥ 2 ⇒ 0 + 1 = 1
h) 5 ≥ 2 ⇔ 0 + 1 = 1
7. Determine V(p) nos seguintes casos:
a) V(q) = F e V(p∧q) = F
b) V(q) = F e V(p∨q) = F
c) V(q) = F e V(p ⇒ q) = V
d) V(q) = F e V(p ⇔ q) = V
Resumo
1. Sendo A e B conjuntos, A ⊂ B signifi ca que: x ∈ A ⇒ x ∈ B.
2. Para quaisquer conjuntos A, B e C sempre vale que:
ƒ A ⊂ A;
ƒ A ⊂ B e B ⊂ A ⇔ A = B
ƒ A ⊂ B e B ⊂ C ⇒ A ⊂ C
ƒ ∅ ⊂ A
3. A implicação p ⇒ q só é falsa se V(p) = V e V(q) = F.
4. A equivalência p ⇔ q é verdadeira se, e somente se, p e q tiverem 
o mesmo valor lógico.
Use esse espaço abaixo 
para suas observações e 
dúvidas!
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Auto-avaliação
1. Assinale V ou F conforme verdadeira ou falsa seja cada uma das afirmati-
vas; Justifique as que são falsas.
a) ( ) p ∧ p ≡ p ∨ p
b) ( ) p ∧(q ∨ r) ≡ (p ∨ r) ∧ (p ∨ q)
c) ( ) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ r) ∧ (p ∨ q)
d) V(p) = V e V (q) = F ⇒ V(p ∧ q) = F
e) V(q) = F e V (p ∧ q) =F ⇒ V(p) = V.
2. Sendo ℜ o conjunto dos números reais, determine o valor lógico de cada 
uma das seguintes proposições:
a) (∀ x ∈ ℜ; ⎟ x ⎟ = x)
b) (∃ x ∈ ℜ; ⎟ x ⎟ = 0)
c) (∀ x ∈ ℜ; x + 1 > x)
d) (∃ x ∈ ℜ; x2 = x)
e) (∃ x ∈ ℜ; x + 2 = x)
f) (∀x ∈ ℜ; x2 = x)
3. Se p, q e r são sentenças construa a tabela lógica para p ⇒ (q ∨ r):
4. Um conjunto tem precisamente 1024 subconjuntos. Indique quantos ele-
mentos ele tem?
5. Determine o conjunto P(P(∅))
Use esse espaço abaixo 
para suas observações e 
dúvidas!
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37
BIBLIOGRAFIA
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgar Blücher, 1974.
CASTRUCI, Benedito. Elementos da Teoria dos Conjuntos. São Paulo: 
Nobel, 1972.
LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos conjuntos. São Paulo: Ao Livro Técnico 
S.A, 1980.
MONTEIRO. JACY L.H. Iniciação às Estruturas Algébricas. São Paulo: 
GEEM, 1973.
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Módulo 4
Disciplina: Elementos de Lógica e Teoria dos Conjuntos
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17
A Diferença de Conjuntos e a Negação de Pro-
posições
Meta
Apresentar modos de negação de uma sentença matemática.
Objetivos
Definir diferença entre dois conjuntos inserindo o conceito de comple- »
mentar de um conjunto como caso particular;
Relacionar a complementação de conjuntos com a negação lógica; »
Deduzir propriedades da complementação de conjuntos e da negação. »
1.introdução
Uma maneira simples de produzir uma sentença é negando-se outra sen-
tença dada. Por exemplo, se p: 3 + x = 7 é uma sentença, então sua negação, 
denotada por ∼p, é a sentença:
∼p: 3 + x ≠ 7
Portanto, ∼p será verdadeira se p for falsa, e será falsa se p for verdadeira. 
Então, a tabela lógica para a negação é:
Na negação, encontramos algumas “armadilhas” da escrita e do pensamento 
matemáticos; pretendemos, então, ajudar você a evitá-las. Neste módulo, 
estudaremos ,ainda, a noção de complementar de um conjunto, naturalmente 
relacionada à negação lógica.
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18
2. Os Quantifi cadores Lógicos
Na matemática, é comum o uso de sentenças que se utilizam dos símbo-
los ∀ (para todo, qualquer que seja) e ∃(existe, existe pelo menos um). Por 
Exemplo:
p: ∀ x ∈ IN x² ≥ x (Qualquer que seja o número natural, seu quadrado é maior 
ou igual a ele próprio)
q: ∃ x ∈ IN /2x + 1 = 7 (Existe um número natural cujo dobro mais um é igual 
a 7).
Estes dois símbolos são chamados Quantificadores. O símbolo ∀ é chamado 
Quantificador Universal, enquanto que o símbolo ∃ é chamado Quantificador 
Existencial. É importante que você fixe a idéia seguinte:
Cada um destes símbolos é usado na negação de sentenças que contenham 
o outro. Por exemplo, a negação das sentenças acima é dada por:
∼p: ∃ x ∈ IN / x² < x (Existe um número natural cujo quadrado é maior que 
ele próprio).
∼q: ∀ x ∈ IN, 2x + 1 ≠ 7 (Qualquer que seja o número natural, seu dobro mais 
um é diferente de sete).
Use a informação acima para resolver a atividade abaixo:
Atividade 1:
Negue as sentenças abaixo:
a: Todo dia da semana é dia de feira.
∼a: Existe um dia da semana que não é dia de feira .
b: Em algum dia da semana, eu não vou à missa.
∼b:
c: ∃ x ∈ Z / x ≠.x
∼c: 
d: ∀ x ∈ Q , - x ≤ x
Desafi o
Um náufrago chega a uma ilha 
onde convivem duas tribos A 
e B. Todos os nativos da tribo 
B sempre falam a verdade. 
Ao se deparar com um nativo, 
o náufrago fez a seguinte 
pergunta:
“Existe ouro nesta ilha?”
O nativo respondeu:
“Existe ouro na ilha se e 
somente se eu falo a verdade”.
Usando a lógica matemática 
para analisar a resposta do 
nativo, descubra se existe ou 
não ouro na ilha.
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19
~ d: 
e: Todo triângulo eqüilátero é isósceles
~ e: 
Um uso importante das idéias acima está na noção de subconjunto. Como 
vimos, dizer que um conjunto A é subconjunto de um B (A ⊂ B) significa que 
todo elemento de A é também elemento de B. simbolicamente, escrevemos:
A ⊂ B ⇔ ∀ x ∈ A, x ∈ B
Portanto, para que A não seja subconjunto de B (A ⊄ B), basta que ao menos 
um elemento de A não seja elemento de B. Ou seja:
A ⊄ B ⇔ ∃ x ∈ A / x ∉ B
Neste último fato, encontra-se o dado relevante para considerarmos o conjunto 
vazio como subconjunto de qualquer conjunto. De fato, se A é um conjunto, 
pelo princípio do terceiro excluído, apenas uma das afirmativas abaixo deve 
ser verdadeira:
( i ) ∅ ⊂ A
ou (ii) ∅ ⊄ A
Se (ii) fosse verdadeira, então deveria existir um elemento no x conjunto ∅ 
tal que x ∉ A. Mas é impossível x ∈⋅∅, logo tal afirmativa é falsa. Resta, 
então, (i) ser verdadeira. Este tipo de raciocínio é chamado Raciocínio por 
Vacuidade, tendo importante função na filosofia e na Ciência em Geral.
3. Conjunto Complementar
Sendo A e B conjuntos em um universo Ω, define-se o conjunto diferença A 
– B por:
A – B ={X ∈ Ω / x ∈ A e x ∉ B}
Por exemplo, se A = {1,2,3,4,5} e B = {0,1,3,7} então A – B = {2, 4, 5 }. Note 
que (A – B) ⊂ A. Em particular, é claro que, em geral, A – B ≠ B – A.
Um caso particular desta noção encontra-se quando B ⊂ A. Neste caso, A – B 
é chamado complementar de B com relação a A sendo denotado por C
A
B. Por 
exemplo, se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5}, então A – B ={2, 4}.
Dicas de Estudo
Em matemática, o raciocínio por 
Vacuidade é muito importante. 
Muitas vezes, para provarmos 
que uma afirmativa p é falsa, 
mostramos queo conjunto dos 
elementos que satisfazem p é 
vazio.
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20
Neste caso, como B ⊂ A tal diferença pode ser representada por C
A
B. Exercite 
tais considerações na atividade abaixo.
Atividade 2
Sejam Ω = {x ∈ IN / x ≤ 10}. Considere
A = {1,2,3,4,5,6};
B = {3,4,5,6} e
C = {5,6,7,8}. Determine:
A – B =a) 
B – A =b) 
A – C =c) 
C – A =d) 
B – C =e) 
C – B =f) 
Cg) 
A
B =
Ch) ΩB =
Ci) ΩA =
Cj) ΩC =
As representações CΩA, CΩB, CΩC significam Ω – A, Ω – B, Ω – C sendo, 
pois, os complementares dos conjuntos A, B e C, respectivamente. Neste 
caso, por uma simplificação de linguagem e do simbolismo usados, iremos 
representar-lhe a notação , , chamando tais conjuntos de comple-
mentares de A, de B e de C respectivamente. Ou seja, se x é um conjunto 
qualquer em um universo Ω denotamos por ao complementar de X (em 
relação ao Universo Ω)
Isto é,
=CΩX = Ω –X
No caso da atividade 2, como você pode confirmar:
Atenção!
Na notação CAB ,o conjunto 
A é chamado conjunto base 
ou referência. No caso em 
que A = Ω, é melhor usarmos 
a notação (Complementar 
de B).
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21
 = {0,7,8,9,10}, = {0,1,2,7,8,9,10} e = {0,1,2,3,4,9,10}. (Confira com 
os itens h, i, e j da atividade).
Atividade 3
Seja Ω = {a, b, c, d, e, f, g, h }. Considere A = { a, b, c, d } e B = {c, d, e, f, g}. 
Determine:
a) 
b) 
A c) ∪ B
d) 
A e) ∩ B
f) 
g) ∪ (União dos complementos)
h) ∩ (Interseção dos complementos)
i) (Complementar de )
j) (Complementar de )
4. As Leis de Morgan
Você deve ter notado no exercício acima que, = ∪ , isto é, o 
complementar da união de dois conjuntos é igual à interseção dos comple-
mentares dos mesmos. Analogicamente, você deve observar que = 
∪ isto é:
O Complementar da Interseção de dois conjuntos é igual à união dos 
complementares dos conjuntos.
Estes dois resultados são devidos ao matemático inglês (hindu de nasci-
mento) Augustus de Morgan (1806 -1871). A seguir, faremos a justificativa 
destes resultados com base no uso de tabelas lógicas.
Note Que:
A – B
A B
B A
B – A
A
B
CAB
 
A
Ω
A
Atenção!
Se você diz que não é verdade 
que é mentira que o Brasil é 
pentacampeão. O que,de fato, 
você disse...
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22
Devemos antes notar que, dizer que x ∈ é equivalente a dizer que x ∉ A. 
Como a negação da negação de uma sentença equivale à própria sentença 
(Ver tabela ao lado), o complementar do complementar de um conjunto é 
igual ao próprio conjunto ( = ). Mostraremos agora que, se p e q são sen-
tenças então: ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∧ ~q (Em termos da linguagem dos conjuntos 
isto quer dizer que = ∩ ).
Passo 1: Construída a tabela para ∼(p ∨ q)
p q p ∪ q ∼( p ∨ q )
V V V F
V F V F
F V V F
F F F V
Passo 2: Construindo a tabela para (∼ ∧ p) ∧ (~ q)
p q ∼p ∼q (∼p) ∧ (∼q)
V V F
V F F
F V V
F F V
Passo 3: Comparando a seqüência de resultados nas últimas colunas das 
duas tabelas.
∼(p ∨ q):
(∼p) ∧ (∼q):
Agora, mostre você mesmo que ∼(p ∧ q) ⇔ (∼ p) ∨ (∼ q)
Atividade 4
Mostre que
∼(p ∧ q) ⇔ (∼ p) ∨ (∼ q)
Passo 1: Tabela para ∼ (p ∧ q)
Curiosidade!
Em uma cidade,existe um 
barbeiro que barbeia todo 
mundo que não se barbeia. 
Esse barbeiro barbeia-se a si 
próprio...
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23
p q p ∧ q ∼(p ∧ q)
Passo 2: Tabela para (∼ p ) ∨ (∼ q )
p q ∼p ∼q (∼p) ∧ (∼q)
Passo 3: Comparação dos valores lógicos obtidos na última coluna.
~(p ∧ q):
(~ p) ∧ (~ q):
Observe que, se p e q são propriedades características dos conjuntos A e 
B,então, equivalentemente, você acabou demonstrar que:
= ∪
De fato, se x ∈ ,então x ∉ ∩ , isto é, ou x não satisfaz a proprie-
dade p ou o x não satisfaz a propriedade q. Logo, x ∈ ∪ , reciprocamente 
se x ∈ ∪ então ou x ∈ ou x ∈ , portanto ou x não satisfaz a pro-
priedade p ou o x não satisfaz a propriedade q.
5. Negação e Implicação
Dada a implicação p implica q (p ⇒ q) a partir das negações de p (∼p) e de q 
(∼q) podemos formar as implicações:
(1. ∼p) ⇒ (∼q). Essa implicação é a chamada contrária de (p ⇒ q);
q 2. ⇒ p. Essa implicação é a chamada de recíproca de (p ⇒ q);
(3. ∼q) ⇒ (∼p). Essa é a chamada de contra-recíproca de (p ⇒ q);
Organizando as tabelas de p ⇒ q e de sua contra-recíproca, podemos obser-
var que elas são logicamente equivalentes.
Assim ,por exemplo, no teorema: “Se um número inteiro é par, então seu 
quadrado é par”. O teorema contrário seria: “Se um número inteiro não é par, 
Atenção!
p q ∼q ∼p (∼q) ⇒ (∼p)
V V F F V
V F V F F
F V F V V
F F V V V
Como você pode observar a 
contra-recíproca de p ⇒ q 
é equivalente a p ⇒ q. Este 
fato vai ser importante nas 
demonstrações por redução 
ao absurdo
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24
então seu quadrado também não é par”. O teorema recíproco seria: “Se o 
quadrado de um número inteiro é par, então ele é par”; e o contra-recíproco 
seria: “Se o quadrado de um número inteiro não é par, então ele não é par”.
No caso, todos os teoremas acima são válidos, mas não é verdade que o 
recíproco e o contrário de um teorema válido sejam válidos. O contra-recí-
proco de um teorema válido também é válido visto que ele é equivalente.
Atividade 5: Dada a proposição: “Se João é paraibano, então é nordestino”, 
escreva as proposições contrária, recíproca e contra-recíproca.
Acrescente mais duas palavras ao seu vocabulário matemático: Tautologia e 
Contradição. Uma Tautologia é uma sentença sempre verdadeira enquanto 
que uma contradição é uma sentença sempre falsa. Portanto, a negação de 
uma tautologia é uma contradição é vice-versa. Por exemplo, a sentença p ∨ 
(∼p) é uma tautologia, enquanto que, p ∧ (∼p) é uma contradição, qualquer 
que seja a sentença p dada.
Resumo
Os quantificadores 1. ∀ e ∃ são usados um na negação do outro.
Se A é um conjunto em um certo universo 2. Ω, então o complementar de 
A é o conjunto dos elementos de Ω que não estão em A. Esta operação 
de conjunto está associada à negação de sentenças, visto que dizer que x ∈ 
 significa que x ∉ .
Vale que 3. = , = ∪ e = ∩ . Do ponto de 
vista das sentenças matemáticas, isto quer dizer que negar uma negação é 
afirmar; nega-se um “e” com um “ou” e nega-se um “ou” com um “e”.
Cada implicação “p4. ⇒q” é equivalente ao seu contra-recíproco “∼q ⇒ 
∼p”.
Auto-Avaliação
Mostre que as proposições são tautologias:1. 
(pa) →q) → ((p∧r)→q)
(pb) →q) → (p→(q ∨ r))
(pc) →q) → ((p ∧ r) → (q ∧ r))
(pd) →q) → ((p ∨ r) → (q ∨ r))
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25
2. Mostre que as proposições são contradições:
 a) ∼p ∧ (p ∧ (∼q))
((p b) ∧ q) ∧ ∼(p ∨ q))
p c) ↔ ∼p
p d) ∧ ∼p
3. Escreva o teorema relativo às proposições p e q, ou seja, p ⇒ q, como 
também seu recíproco, seu contrário e seu contra-recíproco.
4. Sendo ℜ o conjunto dos números reais, determine o valor lógico de 
cada uma das seguintes proposições:
(a) ∀x∈ℜ, |x|=x)
(b) ∃x∈ℜ, x2=x)
(c) ∃x∈ℜ, |x|=0)
(d) ∃x∈ℜ, x+2=x)
(e) ∀x∈ℜ, x+1>x)
(f) ∀x∈ℜ, x2=x)
5. Dar a negação das proposições do item 4.
Bibliografi a
BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgar Blücher, 1974.
CASTRUCI, Benedito. Elementos da Teoria dos Conjuntos. São Paulo: Nobel, 
1972.
LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos conjuntos. São Paulo: Ao Livro Técnico 
S.A, 1980.
MONTEIRO. JACY L.H. Iniciação às Estruturas Algébricas. São Paulo: GEEM, 
1973
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Módulo 5
Disciplina: Elementos de Lógica e Teoria dos Conjuntos
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21
Métodos de Demonstração 
Meta
Exemplifi car alguns métodos de demonstração de proposições matemáticas
Objetivos
Descrever métodos de demonstração usuais em Matemática. »
Compreender a indução como modo de obtenção do conhecimento »
matemático. 
1. Introdução
Grande parte do discurso matemático é construída com implicações. A vali-
dade de uma implicação, quando não aceita “a priori”, é verificada por sua 
demonstração, sendo esta palavra, responsável pelo recheio relevante nas 
teorias matemáticas. Neste módulo, você entrará em contato com algumas 
demonstrações de Teoremas matemáticos acessíveis a este nível de conhe-
cimento. A organização dada ao texto presente tem caráter didático e não 
se propõe definir o conceito de demonstração ou esgotar o assunto. Leia 
criticamente cada demonstração dada e comece a pensar em “Teoremas” 
matemáticos já assimilados por você, tentando organizar demonstrações 
para eles.
2. Demonstração Direta
 Em um teorema do tipo p ⇒ q ( se p então q ) você já sabe que p é a 
hipótese e q é a tese do teorema. A demonstração direta consiste em a partir 
da afirmativa p, usando argumentos válidos, obter a afirmativa q.
ATENÇÃO!!
 Consultando o Dicionário 
A priori: segundo um princípio 
anterior admitido como evidente; 
sem os fundamentos dos fatos; 
por hipótese.
In: Dicionário Contemporâneo de 
Língua Portuguesa: Caldas Aulete, 
Rio de Janeiro: Delta S. A., 1964.
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22
IMPORTANTE
A demonstração de um teorema 
é a sua essência. Para o lógico 
matemático austríaco Ludwig 
Wittgenstein (1989 – 1951) 
“se você quer ver o que um 
teorema diz, observe o que sua 
demonstração prova”.
 Observe a demonstração abaixo:
Teorema 1
O quadrado de um número natural par é um número natural par.
Hipótese: INx ∈ é um número par.
Tese: 2x é um número par.
Demonstração
Dizer que INx ∈ é um número par significa que x pode ser escrito como 
nx 2= em que INn ∈ (Um número natural par é o duplo de algum número 
natural). Assim, ( ) ( )2222 2.242 nnnx === . Como 22n é um número 
natural, segue-se que 2x é o duplo de um número natural, portanto também 
é par. C.Q.D.
Atividade 1
Use que INx ∈ é um número ímpar significa que x pode ser escrito como 
12 += nx com INn ∈ para mostrar que o quadrado de um número natural 
ímpar é um número natural ímpar.
Teorema 2
O produto de dois números naturais ímpares é um número natural ímpar.
Hipótese: INx ∈ e INy ∈ são números ímpares. 
Tese: O produto INyx ∈. .
Demonstração
 Dizer que x e y são números ímpares em IN é dizer que 
 x = 2n + 1 com INn ∈
 y = 2m + 1 com INm ∈ 
Daí, 
 x . y = (2n + 1) . (2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1
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23
I M P O R T A N T E
A demonstração por redução 
ao absurdo também é 
chamada demonstração por 
contradição. Chamamos 
contradição a uma sentença 
sempre falsa. Exemplo:
p ^ (~ p)
 .: xy = 2 (2nm + n + m) + 1
Como 2nm + n + m = k IN∈ tem-se que 
 xy = 2k + 1 com INk ∈ 
Logo, x.y é ímpar. 
Veja:
uma vez demonstrado o Teorema 2 acima você pode deduzir o resultado 
obtido na atividade 1 acima. Diz-se que este resultado é um corolário do 
Teorema em apreço.
3. Demonstrações por Redução ao Absurdo.
A demonstração por redução ao absurdo consiste em partir da negação da 
tese e, usando argumentos válidos, concluir a negação da hipótese. Ela se 
baseia na equivalência entre as sentenças p ⇒ q e ~q ⇒ ~p. 
Estude o exemplo abaixo:
Teorema 3
Se a soma de dois números inteiros é par e um deles for ímpar então o outro 
também é impar.
Hipótese: ∈ba, Z; ba + par; a ímpar.
Tese: b é ímpar.
Se b é par então – b é par. Daí (a + b) + (-b) é par pois a soma de inteiros 
pares é um número par. Mas
 (a + b) + (-b) = a, logo seria par o que contradiz a hipótese.
Atividade 2
 Demonstre a afirmativa seguinte: 
Se a soma de dois inteiros é ímpar e um deles é par então o outro é ímpar.
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24
Curiosidade
Para os gregos antigos, todo 
número era um número racional. 
Coube aos seguidores de 
Pitágoras, grande matemático 
grego do século IV a.C. a 
descoberta de que havia 
números irracionais: se o 
quadrado tem lado 1 então sua 
diagonal tem lado .
Na época, expressava-se 
este fato dizendo-se que a 
diagonal do quadrado não é 
comensurável com o seu lado. 
A demonstração por redução assume outros modos de organização. Por 
exemplo, pode-se negar a tese, usar que a hipótese é verdadeira e obter-
se uma contradição qualquer. Este esquema de demonstração baseia-se na 
equivalência das sentenças 
“p ⇒ q” ⇔ ( ~ q ) Λ p ⇒ r Λ ( ~ r). 
Muitos resultados importantes em matemática não conhecem uma prova 
direta. Abaixo ilustramos algumas clássicas demonstrações por redução ao 
absurdo. 
Teorema 4
2 é um número irracional.
Demonstração
Se 2 fosse um número racional então existiriam p e q inteiros tais que 
q
p
=2 
Sem perda de generalidade podemos supor que p e q são primos entre si, ou 
seja, que a fração 
q
p
é irredutível. 
Daí 
( ) 2222 qp=
 donde p² = 2q² logo p² é par, portanto p é par, isto é, 
p = 2k com Zk ∈ . Substituindo na igualdade acima obtém-se:
 (2k)² = 2 q²
∴ 4k² = 2q² 
∴ 2k² = q²
Portanto q² é par e assim q é par. Obtemos que tanto p como q é um número 
par, o que é um absurdo contra o fato da fração 
q
p
 ser irredutível.
Teorema 5
Existem infinitos inteiros primos.
Demonstração
Seja P(n) uma afirmativa sobre 
um número natural n ≥ 1 
genérico tal que
Curiosidade 
O teorema 5 ao lado é 
conhecido como Teorema de 
Euclides, mais importante 
matemático grego da 
antiguidade. Sem “Elementos” 
são considerados o texto 
matemático mais consultado no 
mundo. 
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25
Suponhamos que o conjunto de todos os números primos fosse finito. Então 
existiria um inteiro positivo k tal que seria possível indicar todos os primos da 
seguinte maneira: P1, P2, ..., Pk. 
Consideremos o número inteiro 
N = P1 . P2 . ... Pk + 1
Ora cada número inteiro que não seja 1 ou –1 tem um divisor primo p. Seja p 
o divisor primo de N. Como p divide P1 . P2 ... Pk. Isto é p divide 1, logo não 
pode ser primo, contradizendo a hipótese adicional assumida.
4. Demonstrações por Indução Finita.
Uma das bases construtivas dos números naturais é conhecida como 
Princípio da Indução Finita (P. I. F.). Ele admite várias formulações, uma das 
quais indicaremos abaixo.
Seja P(n) uma afirmativa sobre um número natural n ≥ 1 genérico tal que
(i) P(1) é verdadeira, isto é, a afirmativa é verdadeira para n = 1.
(ii) Se P(k) é verdadeira para um natural k ≥ 1, então P (k + 1) é verda-
deira.
Então: P(n) é verdadeira para todo *INn ∈ .
Por exemplo, considere a afirmativa:
( ) ( ) *,
2
1...321: INnnnnnP ∈+=++++
Tem-se que:
(i) P(1) é verdadeira pois 
 
( )
2
11.11 +=
(fizemos n = 1 na afirmativa)
(ii) Suponhamos P(k) verdadeira: 
 
( )
2
1....321 +=++++ kkk
Provemos que P(k+1) é verdadeira, isto é que
I M P O R T A N T E
O teorema 5 ao lado é 
conhecido como Teorema de 
Euclides, mais importante 
matemático grego daantiguidade. Sem “Elementos” 
são considerados o texto 
matemático mais consultado 
no mundo. 
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( ) ( ) ( )
2
2.11...321 ++=+++++ kkk
De fato: 
 1 + 2 + ... + (k + 1) = 1 + 2 + ... + k + (k+1) = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2.1
2
1.21.1
2
1. ++
=
+++
=++
+
=
kkkkkkkk
Portanto P(n) é verdadeira *INn ∈∀ .
Atividade 3
Use o P. I. F. para mostrar que 
( ) .*,12...531 2 INnnn ∈∀=−++++
Muitas vezes a proposição P(n) tem significado para n = 0. Neste caso, a 
condição (i) do P.I.F. é substituída por 
(i) P(0) é verdadeira
A conclusão é que P(n) é verdadeira INn ∈∀ . Por exemplo, considere a 
tarefa de demonstrar a proposição:
P(n): o número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é 2n.
Neste caso, a afirmativa tem significado para n = 0. Portanto, o primeiro 
passo é provar que P(0) é verdadeira.
Consideremos A um conjunto de n elementos.
(i) Se n = 0 então A = {}. Logo, A tem apenas 
 1 = 2º subconjunto, a saber, ele próprio.
(ii) Supondo que afirmativa é verdadeira para 
n = k. Isto é, todo conjunto com k elementos
 tem 2k subconjuntos. 
Vamos provar que ela vale para k + 1. Seja:
{ } { } { }121121 ,...,,,,...,, ++ ∪== kkkk aaaaaaaaA
Dicas de Estudo
Se você quiser provar que “a 
soma dos ângulos internos de 
um polígono convexo é 180º.(n-
2) “então é claro que o menor 
valor de n a ser tomado é n = 
3. Este é o valor inicial para se 
realizar a indução.
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27
Obter subconjuntos de A envolve dois passos: 
1º) Obter todos os subconjuntos de { }kaaa ,...,, 21 .
2º) Juntar a estes, o elemento 1+ka para obter os demais subconjuntos de 
A. 
Ora, pela hipótese de indução, o 1º passo garante 2k subconjuntos para A. 
Com o 2º passo, dobramos esta quantidade, obtendo 2 . 2 subconjuntos. Isto 
é 2k + 1 subconjuntos. C. Q. D.
Atividade 4
Prove que
INn
n
n ∈∀−=++++
+
,
2
133...333
1
210
.
Uma forma muito usada do P. I. F. substitui a condição (ii) por:
(ii) Se P(k) é verdadeira para todo k < n então P(n) é verdadeira. 
Usaremos esta forma para demonstrar um importante resultado da Teoria dos 
Números.
Algoritmo da Divisão: Dados a e b ≠ 0 números naturais, existem q e r em 
IN tais que:
(i) a = b.q + r
(ii) 0 ≤ r < b
Demonstração
Faremos indução sobre a (supondo b fixado). Tem-se.
(i) A afirmativa vale se a = 0. De fato, basta tomar q = r = 0.
Podemos supor, sem perder generalidade, que
a ≥ b
uma vez que se a < b tomamos q = 0 e r = a para provar a afirmativa.
(ii) Suponhamos que a afirmativa vale para todo natural menor que a. Então 
ela vale para a – b. Isto é, existem q e r naturais tais que:
Curiosidade
Ache o erro no raciocínio 
abaixo:
n = n + 1 ,∀ n ∈ IN.
Provemos a afi rmativa:
De fato, suponha que a 
afi rmativa vale para n = k, isto 
é k = k + 1. Vamos provar que 
ela vale para 
k + 1, ou seja,
k + 1 = (k + 1) + 1 = k + 2.
Ora, se k = k + 1 então 
adicionando-se 1 a ambos os 
membros obtém-se:
k + 1 = (k + 1) + 1 = k + 2
C.Q.D.
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28
(I) a – b = b.q + r e
(II) 0 ≤ r < b
De (I) segue-se que 
 a = b.q + r + b ∴a = b (q + 1) + r
Ou seja, existem naturais q + 1 e r tais que 
(I) a = b (q+1) + r
(II) 0 ≤ r < b
Portanto a afirmativa vale para a.
5. Exercícios de Fixação
1) Prove que a soma de dois números inteiros pares também é par.
2) Mostre que m + n + m² + n² é para INnm ∈∀ , .
3) Prove que INn ∈∀ é verdadeiro afirmar que ( ) INnn ∈+
2
1.
. 
4) Na divisão dos números naturais a e b o quociente é 1060 e o resto 304. 
Qual o maior número de que se pode aumentar o dividendo e o divisor sem 
que o quociente se altere.
5) Prove por indução finita que:
a) ( ) *,1.2...642 INnnnn ∈∀+=++++
b) 
( )( ) INnnnnn ∈∀++=++++ ,
6
2.1....321 2222 
Resumo
1. A forma básica de um teorema matemático é: 
H ⇒ T (Hipótese Implica Tese)
2. Na prova direta, supõe-se H, usa-se argumentos válidos e conclui-se T.
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29
3. A redução ao absurdo consiste em negar T e obter-se uma negação de H, 
alternativamente, pode-se negar T, usar-se H e chegar-se a uma contradição 
qualquer.
4. O Princípio da Indução Finita é um modo básico para demonstrar afirmati-
vas sobre números naturais.
Auto-Avaliação
Interpretação de texto matemático
Considere o seguinte teorema:
Teorema
Todo número inteiro n diferente de 0, 1 e – 1 ou é primo ou é um produto de 
primos.
Demonstração
Basta demonstrar o resultado quando n > 0. Seja S o conjunto de todos os 
inteiros n > r que sejam primos ou que sejam produto de primos, claro, 2 e 5. 
Suponhamos que o Teorema é verdadeiro para todo inteiro k tal que 
2 ≤ k < n.
Se n é primo então n ∈ S, trivialmente, logo não há o que provar. Se n não é 
primo então existem inteiros p e q tais que n = p.q, com 2 ≤ q < n e 2 ≤ p < 
n. Logo p ∈ S e q ∈ S. Portanto, n ∈ S, conforme queríamos demonstrar.
Agora, responda as questões abaixo:
1º) Qual o formato da demonstração (direta, redução ao absurdo, indução)?
2º) Porque a suposição n > 0 não invalida a demonstração?
3º) Em que se baseia a afirmativa de que n = p.q para p e q inteiros?
4º) Porque afirmar-se que n ∈ S e como isto prova o teorema?
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30
Bibliografi a
DOMINGUES, H. H. Fundamentos de Aritmética. São Paulo: Atual, 1991.
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas, SP: Editora da 
Unicamp.
MONTEIRO, L. H. J. Elementos de álgebra. 2ª Ed. Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científicos, 1978.
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Módulo 6
Disciplina: Elementos de Lógica e Teoria dos Conjuntos
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19
Métodos de Demonstração 
Meta
Apresentar o universo das relações binárias como modo de conceituar a idéia 
de relação entre dois objetos matemáticos.
Objetivos:
1. Definir o produto cartesiano de dois Conjuntos;
2. Compreender o produto cartesiano como Universo apropriado para defini-
ção das relações binárias.
1. Introdução
Uma tarefa constante no trabalho do matemático é a de estabelecer relações 
entre os objetos matemáticos. A igualdade entre números ou conjuntos, a 
pertinência entre elementos e conjuntos, a inclusão de conjuntos, são exem-
plos de relações entre objetos matemáticos (elementos, números, conjuntos) 
até agora estabelecidas. Neste módulo, pretendemos apresentar a própria 
relação como um objeto matemático a ser estudado e, daí, inferir proprieda-
des básicas de seu estudo. Você deve focar bem sua atenção nas definições 
e notações dadas, pois elas serão um ingrediente muito importante na sua 
compreensão da matemática.
2. O Produto Cartesiano de Dois Conjuntos
Se A e B são Conjuntos não vazios, iremos produzir um tipo de Universo 
Matemático muito importante: o produto cartesiano de A por B. Ele é o con-
junto formado por todos os pares ordenados (x,y) tais que x ∈A e y ∈ B, 
sendo representado por A x B (lê-se: “A cartesiano B”). Assim, simbolica-
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20 IMPORTANTE
O tipo de diagrama ao lado 
é chamado cartesiano. O 
nome cartesiano é derivado 
de Cartesius, modo como o 
matemático francês René 
Descartes erachamado. 
Descartes foi responsável 
pela criação da Geometria 
Analítica cuja idéia básica é a 
de identificar um ponto no plano 
como um par ordenado (x,y) de 
números reais, como indicado 
abaixo:
Plano Cartesiano
mente:
A x B = ( ){ Axyx ∈/; e }By ∈ .
Por exemplo: se A = { }3,2,1 e =B { },ba ,então A x B é o conjunto.
A x B = ( ) ( ) ( ) ( ){ ( ) ( )}bababa ;3,;3,;2,;2,;1,;1
Podemos representar A x B em diagramas de setas como: 
Outra maneira de representar A x B é através de diagrama cartesiano:
Como, em geral, o par ordenado (x, y) é diferente do par ordenado (y, x), o 
conjunto A x B é diferente do conjunto B x A. De fato, A x B é igual a B x 
A, se e 
somente se, A = B. Neste caso, A x B = A x A é denotado de A2.
Atividade 1
Sendo { }52/ ≤<∈= xINxA e }{ 2,1=B , encontre A explicitamente e em 
seguida determine:
a) A x B
b) B x A
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21
Diagrama de Setas da 
Relação R
Diagrama Cartesiano da 
Relação R
c) A2
d) B2
Para cada um destes conjuntos, dê também o diagrama de setas e o dia-
grama cartesiano.
3. As Relações Binárias
O princípio multiplicativo mostra que, se A for um conjunto finito com m ele-
mentos e B for um conjunto finito com n elementos, então A x B terá m x n 
elementos. Por exemplo: se }{ dcbaA ,,,= e B = {∆, … } então:
Como notamos, A x B tem 4 x 2 = 8 pares ordenados.
Portanto, se o número de subconjuntos de A x B é 28 = 256 subconjuntos 
(incluindo-se aí os subconjuntos triviais ∅ e A x B).
Cada um de tais subconjuntos é chamado relação binária de A em B.
No caso, R={(a ; …), (a ; ∆)} é uma relação do conjunto A no conjunto B. 
Podemos representar R 
tanto em diagrama de setas como em diagrama cartesiano (veja ao lado).
Se R é uma Relação de A em B ,então o subconjunto de A, {x ∈ A/ (x;y) ∈ 
R para algum y ∈ B} é chamado Domínio de R sendo representado por D(R) 
ou DR. No caso da relação acima, DR = {a}.
Como vemos D(R) contém apenas os primeiros elementos dos pares orde-
nados de R.
Analogamente, o subconjunto de B formado pelo segundo elemento dos 
pares ordenados de R é chamado Imagem de R, sendo denotado por Im(R) 
ou IMR. No caso acima, Im(R) = {∆ , … } = B.
Simbolicamente, se R ⊂ (A x B), então
Im(R) = {y ∈ B / (x ; y) ∈ R para algum x ∈ A}
A x B={(a;∆),(a;…),(b;∆),(b;…),(c;∆),(c;…),(d;∆),(d;…)}
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22
Dicas de Estudo
Veja: você não diz na linguagem 
comum que: “João está na 
relação de namoro com Joana”. 
Você diz: “João namora Joana”. 
Do mesmo modo se o par (x,y) 
pertence a uma relação R, então 
se escreve xRy e lê-se: “x está 
na relação R com y”. A negação 
deste fato é escrita 
Observe o exemplo abaixo:
Considere R = {(x , y) ∈ N 2 / x + y = 5}. Assim um par ordenado (x ,y) 
está na relação R ,se e somente se,
1º) x ∈ N e y ∈ N
2º) x + y = 5
Atribuindo valores naturais para x e obtendo – se os valores correspondentes 
para y ,podemos calcular todos os pares ordenados de R.
x y = 5 – x
0 5
1 4
2 3
3 2
4 1
5 0
Organizamos uma tabela como a indicada abaixo (note que x + y = 5 ⇔ y 
= 5 – x)
Portanto, R = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,5,1,4,2,3,3,2,4,1,5,0 sendo D(R) = Im (R)=
{ }5,4,3,2,1,0
Atividade 2
Considere a seguinte relação:
( ){ }4/, 2 =+×∈= yxINZyxR .
Determine:
a) Todos os pares ordenados de R.
b) D(R)
c) Im(R)
4. Inversa de uma Relação
Se R é uma relação de A em B (R⊂(A×B)) ,então está definida uma relação 
S de B em A pela condição:
Dicas de Estudo
A palavra inversa em 
matemática tem vários usos 
que podem fazê-lo confundir 
conceitos. No caso da Relação 
Inversa, algumas vezes 
chamada mais apropriadamente 
Relação Recíproca, o tipo de 
inversão mencionado é o mais 
simples de todos: trocar a ordem 
dos elementos do par ordenado.
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23
xRy ⇔ ySx
Isto é, S contém todos os pares ordenados inversos dos pares ordenados de 
R. Por exemplo:
R= ( ) ( ) ( ){ }fedcba ,,,,, ⇔ S = ( ) ( ) ( ){ }efcdab ,,,,,
A relação S assim definida é denominada Relação Inversa de R sendo deno-
tada por R -1(lê-se: Inversa de R).
É claro que:
(R-1)-1 = R (A inversa da inversa de R é a própria R);
D(R-1) = Im (R)
Im(R-1) = D(R)
Atividade 3
Obtenha R -1 no caso da atividade 2 acima. Indique seu Domínio e Imagem:
5. Composição de Relações
Suponhamos que A, B e C sejam conjuntos não vazios e sejam dadas as 
relações R ⊂ A×B e S ⊂ B×C. Podemos definir uma relação T ⊂ A × C de 
modo que:
xTy ,se e somente se, existe z ∈ B tal que xRz e zSy.
Por exemplo, sendo { }3,2,1=A e { }dcbaB ,,,= e {∆=C , }, dadas R = 
( ) ( ){ }ba ,2,,1 ⊂ A×B e S = ( ){ ( ,,, aa ∆ )} então:
T = SoR = ( ){ ( ,1,,1 ∆ )}
Atividade 4
Sejam A = B = C = IN e considere R = ( ){ }42, 2 =+∈ yxINyx 
e
S = ( ){ }25, 222 =+∈ yxINyx
I M P O R T A N T E
O teorema 5 ao lado é 
conhecido como Teorema de 
Euclides, mais importante 
matemático grego da 
antiguidade. Sem “Elementos” 
são considerados o texto 
matemático mais consultado 
no mundo. 
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24
Determine R e S explicitamente e em seguida obtenha:
a) SR o
b) RS o
Você deve ter notado que, mesmo no caso de A=B=C, a composta RS o 
pode ser diferente da composta RoS. Entendendo a obtenção de compos-
tas como sendo uma operação (Composição de Relações), diríamos que tal 
operação é não comutativa. Entretanto, é fácil mostrar que ela é associativa, 
isto é:
 (RoS) oT = Ro (SoT).
De fato, considere R, S e T relações em A e seja (x,y)∈ (RoS)oT. Isto é, 
existe z ∈ A tal que xTz e z(RoS) y. Desta última condição, existe t ∈ A tal 
que zSt e tRy. Ora de xTz e zSt segue-se que x (SoT)t como tRy, vem que 
x(Ro(SoT))y, ou seja, (x,y)∈ (RoS)oT. De modo análogo se mostra que: 
Ro(SoT).⊂ (RoS)oT.
Também considerando IA a diagonal de A
2 ,é claro que, qualquer que seja a 
relação R em A, vale :
RoIA = IA oR = R
Isto é, IA é uma espécie de elemento neutro da Composição de Relações 
em A.
O exemplo abaixo indica uma outra propriedade da Composição de aplica-
ções. Considere R e S as relações em Z expostas na atividade 4. Isto é:
R = ( ) ( ){ }0,4,2,0
S = ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,4,4,3,0,5,5,0 . Assim tem-se:
SoR = ( ){ }5,4
RoS = ( ) ( ){ }0,3,2,5
Por outro lado, determinando as inversas de todas as relações, tem-se: R-1 
= ( ) ( ){ }4,0,0,2
S-1 = ( ) ( ) ( ) ( ){ }4,3,3,4,5,0,0,5 .
(SoR) -1 = ( ){ }4,5
I M P O R T A N T E
Quando A = B uma relação de 
A em B é simplesmente dita 
relação em A. Boa parte do 
estudo de matemática no ensino 
elementar trata do estudo das 
relações em IR, conjunto dos 
números reais. Para estas, a 
representação gráfica no plano 
cartesiano deve receber um 
estudo especial.
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25
(RoS) -1 = ( ) ( ){ }3,0,5,2
Você pode notar que:
(SoR) -1 = R-1o S-1 e (RoS) -1 = S-1oR-1
Uma regrinha de fácil memorização diz que a Inversa da Composta de duas 
relações é igual à Composta da Inversa na ordem inversa. Este fato é geral e 
fácil de demonstrar. (Tente!!)
Atividade 5: Sejam R = ( ){ }923, 2 =+∈ yxINyx e S = ( ) ( ) ( ){ }1,1,5,3,1,0 
Determine R, explicitamente, e obtenha:
a) RoS
b) (RoS) -1
c) SoR
d) R-1
e) S-1o R-1
f) S-1
Resumo
1. Relações são conjuntos de pares ordenados;
2. Quando dizemos que R é uma relação de A em B, isto significa que 
R ⊂ A×B. Neste caso, o Domínio de R é o conjunto dos primeiros elementos 
de seus pares ordenados, enquanto a Imagem