Teoria e Pratica do Sistema UTM da Projecao Conforme de Gauss

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DIRE'l'ORU DO SERViço GEOGRAFICO
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Teoria e Prática do Si~tema0 UTM
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Coronel CA.I?LOS BRAGA CHAGAS
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Extrato do C~~logo d9 C~rtas e Obras Diversas
Btude d'UR syst~me de projectlon de Gauss, par le Commandant Tardi. Re_
produção para uso particular dos oficiais do 5GB.
Coordenadas de Gauss segundo Jordan l~ Parte (1938) 21 Parte (193~). Tra-
dução para uso particular dos oficiais do SGE.
Tabelas Auxiliares para o cálculo de coordenadas con:ormes pelo Capitão
Crist6vão Falcão Castelo Branco •
SG& _ Projeção conforme de Causs _ Fórmulas de Cmt Tardi. 1& Parte - Ex-
plicações úteis e exemplos num~ricos. za Parte - Tabelas.
SGE - Tabelas para o transporte de coordenadas geográficas (a logari tmo).",
Tabelas para o transporte de coordenadas geográficas (a máquina) pelo Ca-
pitão Cristóvã~ Falcão Castelo Branco •
Projeç5o conforne de Gauss pelo Hajcr 1u1z E. de Freltas .Abreu.
o sisêema de projeção UTM e seu empr~go na elaboração de cartas topográr1
cas pelo Coronel Csrlos Braga Chagas.
SGB _ Coordenadas planas sistema UT).:. Ia Parte _ Explicações úteis e exell
pIos ~um~ricos ZQ Parte _ Tabel~s Auxiliares.
SGE Y~ual T~cnico - CálculOlGeod~sicos. Fasc1culo III (Transporte d. co-
ordenadas geográficas, Projeção conforme de Gauss).
SG! MAnual Técnico - Notações, sÍmbolos e formulários de c~lculo.
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Cálculo das cOQrdenadas geográficas em função das
planas •.••..••....••.•....••.•.••.•......•.••..•.•
Cálculo dos az~utes planos em função cos elipsóidi
cos e v í.ea-var sa •••••.••••••.•..•••.•.•.••.•••.•••
Cálculo da converg~ncia meridiana •••••.•......••••
Cálculo das reduções às cordas •••.....••••.••••.••
Cálculo dos ângulos planos em função dos elipsóidi-
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!lotações ••••..•.•••••..••...•••.............•.••••
Formulário ...................................................................
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Artigo I - Preliminares ••••.•.•..•..•..•..••••.•••
Generalidades ••••••••••••••••••.•••..••••••••••••.
Especificações ••••••.•.•••••••••.•••.••.••••••••••
kJ -, "-Bibliografia ••.••••••••••••••..•.••.••••••.•••••••
Artigo 11 - Relações anal{tlcas fundamentais ••••••
Transformação de coordenadas geográ~icas em,planas.
Tr~~sfo~ação de coordenadas planas eo geográficas.
ConveTg~ncia meridiana .•••••....•••.••••••••••••••
MÓdulo de deformação ..•........................................................
Deformações lineares ............................•...............•............
Reduções angulares ••••••••••••.••••.••••••••••.•••
••r,., Artigo 111 - Aplicações práticas do sistema •••••••UTM - Empr~go das tabelas do AMS
Generalidades ..........................................................................
Cálculo das coordenadas planas em função das geo;ri
ficas .
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Cálculo das distâncias planas em função das elipsól
dicas e v ice-versa ••••••••••••••••••.•.•••.•••..••
Artigo IV - Cálculo das coordenadas plaras dos vér-
tices das tr1angulações •••••••••••••••..••.•••••••
Triangulação de la ordem •••••••••.••.••.••••••••••
Triangulação de 2a e 3a ordens ••••••••••••••••••••
Triangulação topográfica ••••••••••••••••••••••••••
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27
29
35
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42
48
51
52
57
60
72
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Poligonação cadastral •••••••••••••••••••••••••••••
Artigo VII - Preparo das rÔlhaa topográficas DA es-
cala de 1:50.000 (15' X 15') ••••••...••...•.....••
Cálculo das coordenadas dos cantos ••••••••••••••••
CáJ.e1llo da quad.r1culagem ••••.•••••••••••••••••••••
Cálculo: da declinação 1IIIlgnÓtiea•••••••••••••••••••
, .Calculo da eonvergene1a ser1d1ana •••••••••••••••••
Pa.ragrároPlÍ.giDa
Artigo V _ cáJ.euJ.odas coordcIllo4&s plr:mas.,.'r opo-,
gra!1a. de detalhes pare. levantaEentos DAli eaeale..s
de 1:10.000 a 1150.000 •••••••••••••••••••.••••••••
Pontos tr1ganométricos auxiliare ••••••••••••••••••
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u'.i Poli gonaç ao •••••.••••••..•.•.•.••••••••••....•••••
Artigo VI _ cálc:ülo das coor4eDadas tJn( para 1evan-
, taa.ento eadnstra.1a ••••....•.•.•••....••.•.•.••••••
Tria.BgUl.ação cadastral ......•.........•..........•
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Notações
El1psóide
Semi-eixo aaí or
Semi-eixo menor
Achatamento
Raio de curvatura polar
Raio de curv~tura méridiana
"r-e;
Raio de cur-:atura segundo a normal
Raio de curvatura média
Primeira excentricidade
Segunda excentricidade
Latitude redu,;ida
Latitude geoc~ntriea,
Latitude geográfica
Longitude geográfica
Diferença de latitude
Diferença de longitude
Âzimute e11psóidico
Lado de tri~~gulo elips6id1co
Representação plane
Coordenadas cartesianas verdadeiras
Coordenadas cartes1anas UTM
Coordenadas planas UTM, pos1tivaz ou
de quadrícula
Azimute geodésico projetado
Âzimute plano ou de carta
Lado do triângulo plano
MÓdulo ou fator de deformação linear
MÓdulo ou fator de escala
Converg;ncie mertdiana plana
Redução angular
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Formulário
Desenvolvimento em série
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(l+x)n :: 1 + n x + n(o.1) ,;:.+ •••• + n(o-12 (n-2) ~ •••••••••
21 31
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-L = (l+x)-l ::1 _ x + ,;:. _ ~ + ••••••••••••••••••••••••••••• (5)
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'h-x = O-x) --Z = 1 -+ x -+ x2 - li- x3 ••••••••••••••• (6)
Jt~~1 (l+x) :: x - 2 + 3 + 4 + •••••••• (7)
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505 299 40 4568uoz
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19 (x+ f.,) = J.g [x (1+ ~ )J 6:: 19 x + A-r
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tg (x + é) li: tg x + Esec2 x ••••• "'= tg x (1 + 2! )sen 2 x
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tg x = x + ~+ ~+3 15 ••••.•••••.•••••
(1)
(2)
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ar cosen x ::X + ~ + ~6 uo + •••••••••••
(3) arco tg x = x - ~ + ~ +3 5 ..••.••••..•
(4)
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50,00000 48481 36811
sen 1" :: 0,סס000 485 ~ 1: ') "
Seno e tangente cos pequenos ângulos (x = 4Q)
y2. , 2 2:1Igsen x = Ig x (1 - b) '"19· (x") + [lgsen I" -T (x") sen 15
(8)
Ig sen x = 19 (x") + s
(9)
19 tg x = 19 Cx") + [lg senl" +~ (x"l sen2 li] = 19 Cx") + T
Desenvolvimentos de Moi~e
2 :x - ~ _ ~ cos 2 zsen - 2 2
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sen3 :x = -1- sen ~ • ~ sen 3 x
4 4
senu x =+ -+ cos 2 :x ++ cos 4 x
cos2 x = ...l.+ -L cos 2 x
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C054 x = ..2-. +..1.-. co s 2 x ++ cos 4 x8 2, ,~-, ~
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Triângulo esrérico retângulo com um lado muito pequeno
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onde tg c ::K tg a x:: (l..K) (l+K)
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Triângulo plano 'retângulo com um lado mu!to pequeno
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Geometria da ellps8
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Equação de elipse meridiana:
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Raio de curvatura polar,
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Primeira excentricidade:
e a
/Z.J1.
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1+e'2
Segunda excentricidade: {;.Çb2
a' a b
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.1_e2.
(36) Ses1_eixo maior:
(37) aacW z: C
)1 • e,2
(38) Semi-eixo lIuinorz b =...c
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Raio de eurvatura segundo o normal:
N =--Ã-cos'f
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Raio de curvatura segundo o meridiano:
" .
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b2M=-a•,)"
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a 1 N. CM=w"VZCVZ=-;r
Raio de curvatura média:
Cr :r: .,;fMN ;: vz-
Relação entre os raios de curvatura princ1pais:
()
+..v2
•••
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Arco elementar de elipse meridiana:
dB ::MÁ~
(5Sl)
(60)
(61)
(62)
(63)
(64)
(65)
(66)
"
Arco elementar de paralelo:
dL = N cos'f AlI-.. (67)
Compr1mento de um arco de elipse meridiana entre as la.titude<fI' e f:
m '" M(fI -<P) + -L. JL. rC t (,°1 _ t.p)2Z VZ T
ALFABETO GREGO
.". - nu_,1a -alfa
-11 p - beta
-!: r - gama
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-E, - épsuon
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Teoria e prática do sistema U'l'Hda proj;!çG.oconfoI'!JIede Gauss.
ARTIGO I PRELIY.1NAH.bS
Generalidades Par~grarõ
•••....... ,•.••..••.... ........ ... .••.....•..... 1
Especificações •••....••...•.••.•••••••.•.•••••• ,•••,.••.,.... 2
Bibliografia •••••.••••••••••••••••••••••.•••••...•••.•.•••.•• :;
1 - Geperalidades. Gauss (1) tendo em ~ista o levantamento do território
de Ranover, estabeleceu um sistema de proje~ão conforme para a represen-
tação direta do elipsóide sob o plano e que leva seu nome (Gauss Hanno-
versche Projeksion), Outro geodesista alp.mãoK~ger (3) retomando os es-
tudos de'Gauss estabeleceu a projeção em sistemas parciais (fusos), Da!,
o nooe - projeção Gauss - K~~ger coco também; conhecica a projeção con-
forme de Gauss. Após a Ia. Grande Guerra, em virtude das ex1g~ncias mill
tares, as projeções conformes passar~ a ser as geralmente utilizadas p~
ra confecção de eartas topográficas. O SOE em 1932, por indicação de seu
Consultor Técnico G.Gaksch, adotou a projeção conforme de Gauss em fusos-. -------_.- --------------
de 311 (1.5Q para cada lado). O então Capitão Cristovão Falcão Castelo---_._--- .•---
Branco organizou - Tabela AUXiliares pr.rao cálculo (a 10gariUno) de co-
ordenadas planas conformes de Gauss. Só ~eSQO o Capitão Cristov&o, trabª
lhador infatigável,poderia orgar,izar tra~alho de tanta monta,com tão po~
cos recursos, como os que disp~~a. O trabalho do Capitão Cristovão re-
pre~enta uma das maiores constribuições do SGE ~ cartografia nacional.
Por indição do então Coronel Polli Coelho, passou o SOE à partir de
19~, a adotar a mesma projeção de Gauss em fusos de 60 (30para cada IA
~~-~:;:d~' o~';~;~;-T~~di ('k):;:-::'~e~~ên~;:-:~g~Se um comp1e-
, # o .mento as Tabelas Auxiliares (15) para emprega-Ias nos fusos de 6. Os m~
ridlanoscentrais dos fusos adotados pelo S6E (18) não coincidem com os
___~ropostos pelo Cmt Tard1 (4) o qual segue o plano cartográfico interna-
cional (carta ào milionésimo). Finalmente em 1955 o SGE resolveu adotar
o sistema UTM da mesma projeção de Gauss, sistema recomendado pela União
Geodésica e GeOrrSica Inte~ona1 (IX Assembléia de Bruxelas,1951~ ~
ralllente conhecido.sob a s1gl.~__-,:,TK{universal Transverse Merc~~~L,,--em
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virtude do bat1.SIIIoinglês à projeção, de Gauss - projeção Kercator Trans-
versa. O sistema U!K (9) da projeção con!orme de Gauss é o mesmo de Tar-
di (4) -;;~--;-;ari~o mÓd~~·-d~-;edução d~ escala (Ko)-e--·~~ "das
_.,_...... - ~~._-._----~-.
constantes para o cálculo das coordenadas positivas ou de quadrlcula. Di
tere no entanto nos merid.1anos centrals do sistema 'l'ardi (18) utiliz;ado
no SGE. Para os cálculos a máqu1Da de coordenadas 1nM, o SGE emprega as
tabela. 40 AJW7 Map Service (OS): (10), (U) e (12) das quais está pu-
blicando ua extrato referente às nossas latitudes (22). E, para os cálc~
105 a locar1taoa as Tabelas Âux11iares (15).
'--.
Figura 1
2 _ EspecificaçÕes. A projeção de Gauss originária é uma projeção cilÍn-
drica sendo o cilindro tangente ao lIlerldianocentral do fuso que, assim,
se pr03eta em verdadeira grandeza, figura 1. A. O sistema Tardi da proj:
ção conforme de Gauss é constitUido des
(1) Projeção conforme de Gauas em tuBos de ~ de amplitude (30para 'c~da
lado);
(2)Origem dos sistemas parcial. no crusaaento do equador COlllo merldia-
no central do ~o, acrescidas as caDStaDtelS 5000 Em para o eqúarlor e
500 l!Jn para o JIIerldiano'Central. De aedrdo coa & convenção eatabeleclda
por G&un, x , é a coordeDad.& (abela ••.) caata4& sôbre o merld.1ano a par-
tir do equadore, '/,a coorden&4.a (ordeDa.dA) eontada sôbre o equador &
part.ir do •• rid1.ano central I
(3) Coef1cientõ de redução de escalas
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l~o('~" (1
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(4) Fusos limitados pelos mer1dianos mÚltiplos.de 6,em coincld~1a coa
os fusos da carta internacional ao milionésimo.
(5) lonas de superposlção - os pontos básicos situados até 30' além do
fuso são calculados no fuso prÓprio e no cont1guo, para facilitar os trA
balhos de campo e certas aplicaçÕes militares.
••
b. Sistema Tardi - SGE •
Figura 2.
Os meridianos centrais de cada fuso são múlti-
plos de 6, justamente os mgridianos limites dos sistemas Tardi e OTM. As
demais especificações são as mesmas do sistema Tardi.
fCÀ Sistema UTM da projeção conforme de Gauss.
O SOE adotou o sistema UTM tal qual foi ~ecomendado pela União Geodésica
e Georis1ca Internacional. O sistema U!M ~ constituído de:
(1)Projeção conforme de Gauss,como o sistema Tardi;
(2) Origem dos sisteaas parciais. Ó cruzamento do equador com o meridia-
no central, acrescidas as constentes 10 000 !em para o equador (hemiSfé-
rio sul) e 500.Km para o meridlano central.
Não são usadas as letras x e y para designação de coordenadas, acrescen-
tando-se a letra B ou a letra E ao valor da coordenada, significandO RA-
.!:! .2 porte c u ~ i.Ú,2;
(3)Coeficiente de redução de escala:
Ko c 0,999 6 • (1 _ --1--)2500
(4) Fusos - como no sistema Tardij
(5)Zonas de superpolição .- como no sistema Tardi.
d. ,Sistemas parciais. Os sistemas parciais que abr~gem o terr1~rio b~
s1leiro são os se~~tes:
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23 ·C 45W i ~:
24 I 3.QW I 42W
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o BRASil DIVIDIDO EM FUSOS DE 6·
11' .,. GO' 5" 4e' 41' lh'
+--+~-Ir-+~-f-+-+-+-+-r--'-1'"
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3. Eibl1ogra!'if;
(1) Schreiber - Theorie der Projektions nethode der hannoverchen Landes-
ve~essung, Har:.over, 1866.
(2) Helmert _ ~~~erungsformuln ~úr die Gauss'sche Proj~cktion der Hanno-
verschen Landes7ermessuns.Z. (ur V.1876.
(3) KrÜger - Konforme Abbildung des Erdelllpsolds in der r:bene. Le.í.pz í.g ,
1912.
!
i•
(u) Kr'úger Formeln Zur Konformen Abbildung des Erdellipsoids io der
Ebene. Berlin, 1919.
(5) Tardi - Etude d 'un Srsteme de proj sc t í.on de Gaus s en fuseaUJC de 60
d'ê.::lpl1tudepou'.'ants'appliquer a l'en~emble ·du ccntinen: africain. :::c!i-
çao particular do SGE.
(6) Jordan - !~dbuch der Vermess~~gsk\mde Band 111. Stuttgart, 1923.
(7) Instituto Ge~gráfico Xi~itare - Sulla Rappresentazione conforme di
Ga~ss. Firenze, 19U1.
(8) 'l'H 5-2.37- Surveying Computers hanuel. USA. •
(9) TI-! 5-2Ul ':"Tne Universal Grid Systems. DS.t.
(10) AMS
r n.: AHS
TI, liQ 6 - Tables. Vo1.1 e '101. 11. U:;.•.•
TH J>C 38 Tâbles. ;,;.•1..
(12) AHS - TI~K~ 50 _ Tables. USA.
(13) Cel. Djal:ra ?olli Coelho - Goordenuda s con f orme s de Gauss B.C.T.M.-·
1940 ne 4 e 6.
(14) Allyrio Hugueney de Matos - Teoria e prática da proj~ção conforme .
~
I
i
.~
.r
de Gauss. Rio, 1941.
(15) Capitão Cristovão Falcão Castelo Br&~co - Tabelas Auxiliares para o
c~culo de coordenadas planas conformes de Gauss. SGE, 1937.
(16) Major Luiz de rreitas Abreu - A prOjeção conforme de Gauss _ Rio,
1943.
(17) Serviço Geográfico do Exército - Coordenadas de Gauss segundo Jor-
dano Tradução para uso particular Ia. Parte, 193~, 2a. Parte, 1939.
(lS) Serviço Geográfico do Exército _ Projeção conforme de Gauss _ Ma_
nual para os cálculos a máquina com as r~rmulas Tardi la. e 2a. Par·~os.
.; \
rtio, 1946.
(19) Coronel GarIos Braga Chagas _ O sistema de projeção UTM e seu empri
~=-l\o::~:::::i
9
.~
'"
q
"
"
t'"
(j.
go na elaboração de cartas topográficas. 3GB, 1957.
(20) Tenente Coronel João 'ebtônio d@ Oliveira Junior. InstruçÕes sôbre
o emprêgo dos novos formulários de cálculo !eodésico, organizadOS aeg~
do o sistema UTK.
(21) Coronel João 'ebrÔnio de Oliveira Junior - Manual de Cálculos Geo~
aicos 6&. Parte.
(22) Serviço Geográfico do Bxército - Manual Técnico - Coordenadas pla-
nas U!H la e 2&. Partes. Rio, 1959.
11
1..
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ARTIGO TI P-ET.,.éCÕES ANALÍTICAS FVNPAXKN'tAIS
ParágrafO
Transrorma~ão de coordenadas geográfica~ em planas
Transrormação de coordenadas planas em geográficas
1+
5
6
7
B
9
Converg;ncia meridiana •••••••••••••••••.•.••..••••••••••••••••
MÓdulo de defomação ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Deformações lineares
deduções angulares ••••••••••.••••••••••••.•.••.•••••••••••••••
4. TranSformação de coordenadas geográficas em planaS. Sejam (Fig./>-I}
no elipsóide: ON,o meridiano central do fuso considerado, Ã e Á' dois
pontos próximos, de coordenadas (P ,..\) e ('fi+ d<f ,J..+ d~), respectiva-
mente. &, no plano de representação, de projeção ou da carta: o sistema
cartesiano de eixos de coor~nadas, o ~eridiano central (ox), e o equa-
dor (oy), figura 4-1I, e os pontos & e a' de coordenadas planas (x, y) e
(x + dx, y + dy), projeções dos pontos A e A' do elipsóide.
Considerando no ~riângulo elipsóidico elementar lDA', retângulo em D:
AO ~ dE, arco eleme~tar de merid1ano cuja representação no plano é dx,
io = 41, arco elementar de paralelo, representado no plano por dy, e
.,
es AA ,', arco elipsó1dico representado no plano por aa = ds; t8lll-se
com suficiente aproximação:
# 2 2 .2no elipsoide: 6S = dE + dI. (ll.lO)
no plano: dsZ = dx2 + ctrZ
Por outro lado, tem-se, (66) e (67):
dll I: ~{dIf
dI. = ~ coe'f dÁ
(4.11)
Donde:
2 2' Z
60S Z -(M d'f) + (N cos" dÁ )
ConsiderandoJpara facilitar os desanvolvimentos analíticos:
(1l.12)
!!..Jf.. = d ct = dq
!l co.stp v2 co~
E, eIII conseqU;ncia:
(4.13)
(4.1h)
(4.15)
dE •• J( d'f •• li cos !{J dq
es •• !I COSf(d/,,2 + dq2
a ~
-'
i
"iI,
i!
'II;·(J !
..
'b
,
r:
1:>
'"
\J
-··8-·-
<!!
Considerando o módulo de ampliação dos comprimentos elipsóidicos:
K = plano
el1psóide
=~
dS
'feIO-se:
K=..,j.L. rd:!z"'r
dS N cos 'f {d+ dqZ
K~=~ di .•.dr
li C05~ (dl..Z+ dqZ)
(l~.17)
(u.16)
Ou:
3endo a projeção con~orme (no caao,do triângulo ADA'~O módulo K no pon-
to ~ deve ser o mesmo em tôdas as direções. Assim, K só deve ser função
das coordenadas de ~ e não de dfe d~, eleoentos que definem a direção
ds. Introduzindo em (4.17) a unidade imaginária i = v-:í, tem-S81
Z 1 Z
K = NZc o s 'f
li; • ldv
dq. idÁ
dx - idy
dq - idl.. (4.13) .
Ou: 1
K2 - -Z--=--"!!'Z--
, - li cos 'f
d (x + ir)
d (q. i/..)
d (:x - 1.z.L
d (q - 11..)
(4.19)
Seg~do a teor1a das funções da variável complexa, K obedecer~ às co~di-
ções impostas considerando :x + 1y função da variável complexa q • 1" ,i~
to ~:
x + 11 = r (q + 1f.) (4.20)
Como no sistema plano ax é o merid1ano central do,ruso em verdadeira
grandeza, para ~I = O (po~to sôbre o meridiano central), tem-se:
y = o
x = r (q) = B (u.Zu
onde B ~ o arco de meridiano que va1 do equador ~ latlt~de ~
Seg~do a série de Taylor (1) e a segunda de (4.21), tem-se:
x • 1y = r (q + i}.,) '"
:: B + 1,( ~ - L .-4- -JL .A +
dq 2 dq 6 'dqT Á
U .4+z.u dq (4.22)
Donde, atendendo que o merldlano é um elxo de simetria:
x "' ~_Ldq4 7Z0 9-dq (4.Z3)2 ;4B_ ...1::::.- • ....d:.L. ...6...:...2 d7 Z4
,{ ..!1fL_-<3 . ~ +L
dq ~ ~ lZO ~
y "'
~7~----
---- ~"- ..;.:.-==-z~...:-;.:::;;--"-;:.--:-:::- __ .__
-'J-_
Para o cclculo cas àerl vad as de B en relcçã" a q, teI:_se, atendendo
E e q SRO f~~ções do latitude:
dn::>
dqn
( dn-1:9
dqn-l
.s«:
de;."::: -"'--d<p
;r
1
Considerando,segundo (4.13)
E, segundo (4.11) e (63)
-2L
dq ,;. cos r
-ªJL=M=+
d~ p
onde, segundo (41) I (46) e (55)
2c=~", __ a
b ll-::e2 " a
J 1 .•.e,2
? Z Z ZV- = 1 .'(. = 1 -+ e' cos 'f
Da Última relação resulta, sem dlflcÚldade:
1-v2
-.-.-. tv
-ªY....
df
Donõe:
~~~ = - + sen ~ cos r
E, ap11canào (Ú.2u) em (4.29), atendendo (4.26) e (4.28) tem-se:
d3]:l
dq3
c.cos3
V
2Cl+rc, .,2.,v •
Procedendo da mesma maneira e atendendo q~e:
tem-se:
p p
~ = - ~'?(. .t
d'f
~ = -L senf
dqU V
2...-Ill- ::: 1 + t
dlf
----I• 3 2 ? .!j
COS Cf (5-t + 9,f + 4'1. )
z:
Desprezando os têr.rnose. partir de '1.. 4, tem_se da mesma mane i re s
~ ::: •• ..f.... cos5!f (5-18 tz. .11..-Z • 141'L4 _ 5tlrv2 t2)dq5 V
,,~ = - ..f.... sen f cos5cp (61-50 t2+t4• 270.,..,Z _ 330.,....2 t2)
~ V
z; .:; ••• ..;.:..::-:
~~-----.r.-~:t..~;----.~·~;:;~·::f:.~~t
-':~~~~~':~~
:~-;
••'_~:"·E.;;.,(1
que
(4.24)
(4.25)
(4.26)
(4.27)
C'
(4.2~)
(1.!..29)
(u.30)
(u.31)
(Ll..32)
(u.33)
.,
,1
"
<11
()
..
I"-,~
"
r .------~-- .
o
p
"
-10--
'1.na.UIente,introduzindo a grUllienonaaJ.
!I '"+ (4.34)
e a longitude (dJ..) contada a partir do lI8r1diano central do fuso, tel!-
X. B + 41 (+ . I .en" ees f aeu2 1")
+ .6J.. 3 ($-,' I sen f cos3({J J 1-) (5-~+9.,t + 4 ~)
+& Á,6 (~ • !I seu ff eos51f a.é 1·) (61-58i+t~+Z70~ - 330 tZr.h
(4.35)
seI
y. 4J.- li coa fi' len l-
+ M3 (+ ! eOB~ sen31·)
+ 6Á.5 (Jo li cos5'f seD5 1·)
(l-tZ + "J)
(5_18t2+t4+14 ~ -58;,t)
onde B ~ o arco de aeridiano que vai do equador à lat1tude If • Bstes &r-
cos são dados por "Tablea de L'Ellipsoiãe de Référence Internat"ional"
(Hayford) publ1eadas pela 'tIn.1ãoGeodés1ca e Geot1aica Internacional.
Para o cálculo dos arcos B, tes-se:
('I' 1'1' - ~B '")0 Kdf' = a(1_.2) o (1-e2 •• ry) 4-'f (4.36) •
Dessnvolvendo e~ série a função e iutegr&ndo-a tem-se:
B ::cí:'f -{3seo2f + 'Ísen4f - ~lIen6,,+ tseDE., - [sen 10r+ 0•.37)-
onde:
A,•. <1-e>0(. r
ç "l-e>r • 4
• 1(1••2)
& • 8
B,o(1_,2)
2
D.&(~•..•2)
r .a<1_e2)
10
(4.38)
,j3 -
, J _
, €-
ODdes f' •~, Z95 779 51.31
A- 1 ++ til + -t- e4 + ~ .6 +
B. +..L.z .•.-15...4 + ..25... .6 +
, 4 -10' 5lZ
~ e8 + ~~~ .10 +
~ .8 + m~ elo + ••••• I
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C :: + -l.5- .4 + ~ e6 + -".Qí.. .8 +6u -2SO- 409~
+ ~ é + --lli- e8 +
512 2048 elO +
râsâa
~
131072
elO +
D =
g •• +~.8+~
1638~ 65536
~
+ 131072 elO ••• ",.,.
elO. ........
F ••
a (semi-eixo maior), a:: 6 378 388 m
e (la. excentricidade), e2 ,.0,00672267~22
De ac;rdo com as deduções, o meridiaoo central (eixo dos x) é represeo-
tado em verdadeira grandeza, pois a superrície de projeção é o cilindro
tangente ao elipsóide segundo ;sse me ridiaoo , figura 1. Com o afastamen-
to ao meridiano, os comprimentos e1ipsóidicos vão sofr~ndo na projeção
ampliações proporcionais ao quadrado dos afastamentos. Segundo (4.16)1
e
K • plao~ ••-L
e11psoide S
onde K é o módulo de ampliação:
Donde I
(4.39)s ,. S.K.
Em tôrno de um meSllloponto, o módulo K é constante.
tem_se,em um ponto de ordeoada 7:
a
K=l+rlz
Aprox1madame~te,
(4.UO)
onde r é o raio de curvatura média no ponto considerado. Ã8Sim, a am-
pliação máxima verifica-se de acôrdo com (4,uO) nos extremos do tuso.
No meridiano ceutral,7,- o,el
K :: 1
(~.UJ.)
s • •
No ruso de 60 a ordenada máxima corresponde ao arco
to é, à c;rca de 3,1~M. Con51dere.odo o re.1omédio
de 30 no equador, i~
",--- ---.. ..•..
de 6 360 Km, tem-S81
-,'
Kz1+--l.-
725
(4.42)
isto é, o aumento de 1 metro em cada 725 metros. Como a 8IIpl1açã.odos
comprl.l!entosé uniforme em tôrno de llIl ponto, tem o efeito de lenta __va-
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riação da escala de projeção. ASSim, ~a figura situada próxim& ao ex-
tremo do fuso, ~ representada em escala ligeir~ente maier que se esti-
vesse nas proY~midades de meridiano central.
Para reduzir as deformações, e~prega-se o artifício algébrico do mÓdulo---------------------- -
ou fator de redução de escala (Ko)' Considerando:
K = r:o K' (4.1.43)
seja, aproximadamente:
K = to ( 1 + ~)
tendo-se agora para y = o (no ~eriéiano ce~tral):
(4.44)
K = Ko
\
F~~~a 5
Á imagem geométrica da projeção com o artifício de redução de escala
(Ko), obtem-s6 considerando o cIlindro secante, figura 5, em lugar de
tangente, segundo duas linhas que são representadas em verdadeira gran-
deza. A projeção originária (que s~ apresenta ampliação de comprimen-
tos), co~ a introdução de Xc passa a apresentar reduções e ampliações,
aquelas máximas no meridiano central, e estas nos extremos do fuso. S,
em lugar de uma só linha· sem deformação, tem-se agora duas, simétricas
em relação ao merid1ano central. Introduzindo o fator Xo nas relações a-
nal1ticas da projeção, teD-S8, segundo (4.21)1
::~:_:;_=.:« q) .: Xo .B (4.45)
(jfJeP ,
.. danadas geograrlcas ~ planas UTM:
~~~UJO~o r N' =~~,tA ---{- .B' =Jl-= .
t
,
",
~'
, (\~
-T d,t
~~r~
~!
- ..~~."'!. -_.-":"
:-::2~Ej- ---
.I-
E, elli conse<iú;r.cla, tem-se que mul tipllcar todos os termo S de (4.35)
por Ko' Tardi (5) para redULir à me~aàe as deformações emprega o coefi_
ciente:
Ko = 0.999 333 333 .•• = 1_--L
1500
Donde püra as deformações máximas ne sistema Tardi da projeção conforme
de Gauss:
Ko (1 + 7Í5) = (1 - ~) (1 + ~ ) = 1 + -rlro +
isto é, a deformação de 1 metro em 1500 metros.
O sistema UTM da projeção de G&USS emprega o coeficiente 1
Ko = 0.999 6 = 1 _ ---l-
2500
Donde, para o deforma;ão máxima:
(1 +--..l.-)(l_--L.) =l.~+
- 725 2500 I025
isto é, a deformação de 1 metro em cada 1025 metros.
Assim, o sistema U!M apresenta no meridiano central a redução uniforme.
de* e)Dos ex:tremos do fuso, a ampliação m~x1ma de ~. Coe li
introd~ção do fator de escala e as notações do AHS, resultam para os c~
ficlentes do grupo (4.35), considerando:
(. p o 0,000].1,( o lO-"d,(
CI) = Ko B = KoS
(II) =+ li sen'f'=r sen2 1". 8Ko • 10
2 2 4 U '6(IIl) = zt- N senlfcos3'f senU 1" (5-t + 911.+ ?'l) x, . 10 ~
A6:: ...l..-. fi sen 'f cos5~ seé 1K (61-58 t2+ 270~ _ 330 t2,l-) x
120 Z4 6
x Io.IO • p
(IV) = N cos <f sen 1" Ko 104, (4.46)
(V) = -t- N cos~ sen3 1" (1_tZ + ~Z) ~o • 10 12
B5 = rlõ- N cos5~ lenS P (5-18 t2• t4 • 14"t _ 58 t2~) K o • 10 2;; p5
~~ " . - ,~~ Nas tabelas do A.~ CIO), os te~os A6 e B5 !BO dados graficamente.
Assim, segundo as notações do iMS, t~-set para 8 transformação de coor_
(1)+(11) p2 + (lI!) p4 + Á6; N = 10 000 000 _ N' (h.sul)
(IV) p + (V) p3 + B5 '.,: 500 000+ E I
) -
(L!..47)
~u
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(i,
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~'~. -
5. Transformação de cooràenadas plana~ em geográfica? ! dedução das
f~rmulas para o cálculo de f e dÁ em função de x e y, ~ feita pelo mé-
todo das aproximações sucessivas. Retomando o grupo (4.35) e consideran-
do em primeira aproximação:
y
.dÁ = N costp + •••• (5.10)
E, com aproximaçãosuficiente:
liA' = y3 'N' cos3'f
Obtem-se, da segunda equação do citado grupo:
(5.11)
3
1 =dÁ N cos'f+ ---7- (l - t2 +,.g)
6 N
(5.12)
Donde, em segunda aproximação: , .
~A = Y _ Y Cl _ t2 +~)
11 cos'f 6 N3 cos\" ( 5.13)
valor que levado na segunda equação do grupo (~.35) fornece, com ~proxi-
mação suficiente:
&Á:: -:L
N COB<f
~ 2::>
6 N3 _~~" O-t +~)cos~
+ ;3120 N coslf (5-2t2 + 9 t4)
( 5.14)
Êste valor levado na primeira do citado grupo fornece, abadQnando os t;~
mos de ordem superior a 16•
x-B = ~ t + v4 . t (1+,t2+5~) + ~ • t (1+30t2+~5t4)
2N ~ 720 N5
( 5.15)
onde:
x = ao arco de ~eridiano que vai do equador ao pé da perpendicular bai~
'. Ida do ponto ao meridiano central, seja do equador a latitude de <f OU~l
B = ao arco de meridiano que vai do equador à latitude f do ponto consi-
derado. Assim:
x-B:: ~ - B = m (5.16)
conrorme se demonstra em Geodésia (cálculo dos comprimentos de arcos de
meridianos), tem_se com suficiente apro~ação, segundo (68)
onde x-B = M4f +..L2 2.lL ~2 tA"V2 (5.17)
4f-' <fl - r
'--'~-~ -_ .._------- -------_.-
t.,
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i____o.
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.....,'..,;;..--
' .. '.,,,"~:,:;;:"~
=~:~l
::~~
-'
Levando (5.17) em (5.15), tem-se:
= zf·
x _ B z: MÁtp+ +.~~ t,,$.. V
t + y4 • t (1+3t2+5,r) + y6 • t. (1+30t2+45t4)Z;V 720 15
(5.18)
Donde, em primeira aproximação:
~'f= v: -'f. ~
2MI
tM N3 t (1+3tZ+5.,i) (5.19)• t •
Valor que levado em (5.18) fornece, com apro~ão w!ic1ental
t.rp = ~ -If :I ~
2MB t + Z.4~ li' • t (l+3~+5~ - 9~~2)
+ y6720 MlII5 • t. Cl+30t2+45t4)' (5.20)
As equaçOes (5.14> e (5.20) resolvem apenas teor1camente o prob18lla,po1s
os coeficientes são tunçõaa da lat1tude If que não : conhecida. Coco a 1& "
titUde ~ do pé da perpendi~ular baixada do pOlltO ao ael'1diano cantral é- .:fac1lmente c!lculada, pode-se expr1Jl.1rtodos os coeticientes 911 ttmqao
de ft • O cálculo de e, 1\" K e li 8111função de tl ,'t1, Xl e li1 exige longas
transfonu.çÕes algébl'1cas provenientes de inÚmaros desenvolvimentos 8Ii .i
l'1••• Retirando da obra fundamental de Jcrdan (6) ou (17) os rasul tadoa
finais e eliminando segundo (4.11) Ml' tem-sel
~f= W _ /I :c: y2 2~ 1 z: tl (1+ "1..1)
2 Rl sen 1"
_ rP e. : 22 22 4 4.
24 N;lIen l- -1 5+3~+6"i - -6 tl111 - ~ - ~ tI)
6
+ l 2 4
720 !i6 senl" tl (61+90tJ:+45tJ.:+I07~-16~J-45t~)
l'
(5.21.)
Coa a introdlAÇão do fator de redução de escala e as notaçÕes do ~,
tes-se:
q c 0,0סס001 II • 10-6,x BI B I • 5OOOOO-X
) ~ "(VII, -2r, 1811 1
(VIrI). :) enl"
, 24 1 •
z ~ 12
(1 +"]:) ~. 10
o
Z 2 2 2 11 4.,2 Zia
(5+3 t1+~- ~l t},-3"i.-9~"l) ~ 10
o
9
;> "r:'~tj
,I'i.,
'iõ"
"
..
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~"1 Cr"'J1it - W!
d.:~~~.~.--
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~
~-::;:-_.~::...
-::-,..::.;.::;-......:::~-;
~--:'--_.~..~~~
D6
t
~ (61+90t2 "5 4 - 2 ~ 2 '2720 N nl" 1+'-' \+101~-16z,.ct _Ll5t
U
) ~ 36'-1 se .I. .:. 1 ;,.. ,-10 10"o
6q
(IX)
sec 'f 1
:>1 senl"
(5.22)
---L- . 10 6
Ko
(X) 2 2sec«i1 O+2tl'+1Ll)- 3 ti- 6 N senl
1
~ x 10 18K3o
&5 =
SCC'f' 15 (5+28t2+21Lt4+6~2.8.t •.2) -L 10 30
120 N sen I" 1 1 1 1"1 K51 o
q5
Onde os t~rmos D, e E6 são calculados por meio de gráficos.
Assim, pura o transformação de cQordenadas planas UTM em geogrúficas,
tem-se, segundo as Tabelas do AMS;
Figura 6
No.5
~ a representa-6. Convergência meridiana. Considerando, figura 6 I
tação conforme do mor1d1ano do~; W a E, ~ do paralolo do C.CSlCO ponto e
NQ a direção paralela ao meridiano central seja,o norte da carta ou da
·';U!ldricula•.O mgulo.f-- (ou -r) formado .p eLa tanger:te.à NaS em íi e a di-
reção N~, chuJI:&._seconv,>rg~n~18 meridiana pl~, por analogia com a con-,
vergencia meridi!Ula clips~idicR. De -..z:nmodo gCTal ';em-se,na representa -
ção confonne:
x = Fl ( 'f, /.. ) y = F2 ( Cf, Á ) (6.10)
::.• ....:~7':._-~~_.~;;,
.7" .,--,.-:'-:-::-:---- -~_-. _, _
Cons1derando Á. constante, tem-se:
x = rl (" ) y •• !z ( 'fi ) (6.11)
isto ~, as equaçÕes para m~tr1cas da repreaentaiÃc coc!orme do merid1ano
(curva NaS da figura 6). Da mesma mansira tem-se para a representação
do paralelo (c~-va g a V da figura 6):
c = tg C _ + tg3 C + + tg5C_._ J,\ \;j. cant.anc1oa 1OlJZ,itut.e3a partir do lIIerid1anocentral, tem-se:
I ~!J~\\~t-~C lI:.ià sen'f +4- sen Cf cos21f SfJl1~· (1+3,t. ~)
IJI' r ~~V' .d.<5 4 4 z:J..t " + -- senC/)cos tpsen 1- C2.-t)
, (C 1 15 T
. Expr••são que fornece a convergência ••r1d1aoa em função das coo~.
geocnrlca.. Para calcular C em !'u:lção das cCXlrdenadasplanas x.. 7,
t_-Ie que expr1a1r ~1.. em função d. T e redtl%1r a ft ou 'f' tudo ~ de-
. I·r
._\.J,
X '" r3 (I.. ) r • r4 (Á )
i
I
---_"<~~~~I
,- -:::_i~"~l------' -.,~::.-_ ..------~-:-:.:-=~-.-._-'.-
-----~ .,.
. -i ...!.."!<1;;-~ __.-....-=--=_
Por outro lado tas-se:
tg C •• ..n..
d.x
Donde,segundo (6.12) ..:ft:",~..n.. dÁ
d"<'
Considerando em (4.35) f constante, tem-se:
~-1
d )(tg C
,.<3 ~ 2. 2. 4...IlX.. •• Á. N senlD COSI!) • - li sen lrJ cos (5-t +9~+ 4~) +-~ T 16 T .
'~ - 2. a
+. li seo f cosli- (61-58t +C)
120 Y
..L = N C05'1 • .e... li
dÁ 2
4• ..L.:- li
Z4
cos3f (l_t2+~) +
cosSrp (5-18l+t~
-1
auxilio do desenvolvimento em série de {~! tem-s~:Donde ,COlll
I ,.(3 2 2 2 u,tg C = I\sen <fi + -3- senep cos'f (14t +;7\.+ Zn;
+ 1: sen 'f cos4ep(2+4t2+2.t4)
••!
Coos1derando,segundo a série arco tangente (22)
---~
I
(6.12)
(6.1;)
( 6.11..>
(6.15>
e
(6.16)
(6.17)
(6.18)
" o
..:=.._..,.;;;.;;.:....._.-
_ .._---~._-.----_._---_._~-
~
li
j
~
L> •
l
]
1
,~
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01
~
~
i[
!~:.ij:
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l
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't.t
~~~.
-1:, __ __o __
~,
.l:
'I!<
I,f
~-,
l!
~l:
p
•••
~
111
1E:~
~
pende de~. como no caso da transformação de coordenadas planas em geo-
gráficas.
De acôrdo com a segunda equação do grupo (5.21), tem_se:
JA= y
y3
Nl co s fI
- Cl+ZS+>{) +
6 Nfcos '1'1
+ y5 (5+Z8~ +Z1l~)
120 Ni cos 'f 1
R, com suficiente aprozimação:
3 y3
- 3 3~ f., - N cos r :
1
y5
? !{5co~on- 1 I·
4/ = 5 v\
111 cos 'f 1
Para redw:lr a f. os coeficient-es de (6.18), tem-se:
1
(6.19)
"j(6.20) •
sen'f ;:sen ~ - (1/ - tf ) cos~ - + (<ft - Cf)2 senn
OU, considerando r, - r de ac;rdo co~ a pr~eira do grupo (5.Zl),tem-se:
senlf ;: senif'l - -2:.
2M1N1 ~=", + ~24 HIN1
, Z.
tI cos~ (~,~)-
o8 Mf Ni sen <fI
ou, atendendo que:
...L:; '!! ;:+ (l+~)
M ,u
tem-se:
.., 2 *sen'f' ;: sen lf.f - ~ seu tf.( (1+~) + sen 9'
2 Nf 24 N1
Considerando ainda:
cos2rp ;:C052,." (I ++. ~)
if N
1
Tem-se, levando ~sses valores na equação (6.18)
C = y
N1 sen 1"
y3
t - 3 1"1 3 N, sen...
224-
~ Cl+t1-~1-2r"l) +
+ y515 N5 ,,, (2+5t2+3t4)1 senl" 1 1
- - '::~:";::,_::::,=-,_o,:-:,_ _--~-~._,------
(6.21)
(6.22)
(6.23)
-~
----_!
!, I••
.':'= ::0:;$,1
...,...."'-..-ii'. __ .~,
_:'~r
. ,~i~{~J~,.~~
__0-- -~l'---"
- 1,_
!~
I
Com a introdução do fator de escala (Ko) e as notaçÕes do .AMS,tem_se:
p = O,OOOlM., 10-4 %.61..
(XII) ~ sen ~olO 4
(XIII) .,+ senfC:os'f sen'\ .. (1+3,é+2~) 10 12
..l- A 4 2 20 5
C5 = 15 Sf!etp cOu'f sen ln (2-t). 10 • p
q = 0,000 001 B' = 10-6 % R'
(6.24)
I:
I'.
I·i,
I
i
!\(}..'V) = N sen 1"
1
6
~.10
Ko
(m)o;:~
3 Ni sen I"
'5 • ~15 N5 (2+5t?+3~)1 SeD I" -1-1
2 2 4){l-\-~-2~ +.10 18
Ko
30 5--l-.. . 10 • q
05Ko e
Assim, tom_se, para o cálculo da converg~ncla merldiana em função das cQ
ordenadas gaógráticas e das ~l~s pelas tabelas do AMS:
{ c = (XII) p +(XIII) p3 .• CsC = .( XV) q _ (7.:V1) q3 + FS
7. MÓdulo de defo~ação. Segundo (u.11), (4.12)
(6.25)
e (4.16), tem-se:
Z 2
K =~-
dS2 -
d + dy2 (7.10)
(Mdlj' )2 .• O; cos '{dI.. )2
22 1.. (...ft:L)
2 (-'Iv o dyK = -.J-).dÁ. 2 2 r Mdf 5N cos 1f LI .• ( )
~ costp df.,
Z
xZ = (-dx ): 1" (-1;:)
d'f r1-[1 + (- N cosf dA J 27
Hd((i J
Considerando, figura 4, A,oazimute plano do elemento ds, e ~, o azimute
(7.11)
(7.12)
elipsóldico do el"mento dS, tem_se:
...Ax... = ctg A
ãy
IoWf
l'i cos 9' df.. = ctg oC (7.13)
b
(I CI IJ
n -
-'I
11;~:;
~!
ir
-i':
II
L
'J~,.
.I,~.
~i
!UdI
111
·;;ti
':l~
}~~
~j
••.Uf
:~li!
~~l
i~t{
'~if.~!
,tn
.:~;
~
'I>
..
lj
_20_
2
(~=~ (7.14)
d:I: cos A
2
( N çosl,O dó) :: ~
Mdf cor",
Donde: 2
sen~ j,
1 + (~) . ; \ 1 +dy
21 + ( Md<t )= 1 : 1 •
N cosf d.<. san~
Levando (7.14) em (7.11) e (7.12), tem_se:
X.J\L. 1 .~
dÁ N ccs 'f sen I..
K :: ..AL. • 1 .~df M cos A
equaçoes adequadas ao estudo da variação linear ao longo do paralelo e
do meridiano, respectivament.e. I.s&1lll., considerando:
cP •• constante .'. ce c 900
e, s~bre o plano de Gaussl
.A '" 90..c
Donde, segundo (7.15)
I = 1 .~ sec C
P li cos1J <L(
Considerando:
J.. . ~= 0°:: constante . .
e, sôbre o plano de Gauss
A :: C
Donde,segundo (7.15)
Km:: l.~ sec C
M df
Segundo (6.15)
14... - .-(3 3 Z 2 4
~,(li sen'fcosCf+ -6- li =r=» (5-t +9r.+'t'",)
Por der1vação,resultQ
Z...slL '" J1l. + ~ (
d'f drp 2
da primeira (4.35)
~.entp cosf + H eos1> • II 88l1~)
Ou, segundo (4.1.1)
.JllL ••_C_ 'h..2t
df( v3
~ •• H
d'f'_
'r8lll_se, - - - -- - -Z J
- - Z 2-"=. - -- ~. M[1 +..6.:: cos4t (l-t +n;)
d<f Z
_-:'C";::,.-;-.~-- ~;:_. __, __ , _.~..,.. •..,',. _'....;..•. _ ""';:.':.~'_-:';:-:.':, "..•....•
'-~-'-' -"--
--- _._-.- ._._._ ••• - •••• o
(7.15)
(7.16)
(7.17)
(1;18)
(7.19)
(7.2<)
,
"-.-.
~
---~
---I
_._._ --.!
'.'"'"--="'~.'--:-"---'-------
_.-'..:;,:~~i;.
Donde, levando (7.1J) e (7.20) em (7.16) e (i.17) respectivamente,tem-se:
jI
I
i2
cos~ (1.t2+1'~;)]~:: [1 + -f- sec.C (7.21)
2
cos2cp <1.t2+J)]~:: [1 + ~ sec.C
Assim, o módulo de ampliaçãq é o mesmo na direção do paralelo e do aeri-
-diano , isto;, o lIIesmoem tÔdas as direções, CClClO nas projeções cClll!or.
mes. Assim, para o módulo de ampliação nUI!! ponto qualquer de coordenadas
(r, .-\),tem-se:
[L 2 2 2. JK = 1 + 2 cos 'f O-t + nJ + ••••• sec.C
Coris~derando com suficiente aproximação de (6.18)s
(7.22)
3
C • dÁ. senr+ ~~ sen r cos~ sen2 l- (1~3~)
E,
4 . z a, ..s"4 2 Z 2-+- + zrr- c •• 1 + ~ SEn'f + z:u sen 'f cosf (8+5t )
(7.23)
i
~
5
ri
~
~
li
ri
L
aee C ., 1 +
Donde:
1
0- 2 2 4 4 4 2.1K:: 1 + ~ cos2'f sen2 1" (1+"') + ..4L cos rr sen 1ft (5-4t lj (7.2W2 24
# • - ,
ro~üla que permite calcular K em fUnçao dds coordenadas geogra!icas do
ponto considerado.
Considerando CQ!!l sv.ficiente aproLmaçao:
Donde:
/ _ y y3 2.;i" - • 3 <l.t + •••• )
N cos tp 6 li coa tp
I..~_ y2 _ y4 2
<:1 - _-7' 2.. r 2,. Cl-t + •••• )
tf- cos 'f 3 N eos 'f
[
.2'2 4 2 JK = 1 + ..;I;:2 (1+ n,.) + ~ (1+ n;+ ••• )
- 2J! Z4 lf4
(7.25)
j, tendendo ques C + i_~,f
C •• :?_N :: V , r :: vr- ' c-
[1 ~+ ~~+ •••• JK • + zrZ 2b7item-sei (7.26)
Donde,introduz1ndo o rator de redução de escala (Ko}z
,. = 10[1 + ~. ..,4 + ••• ]-_. ~ -7xr (7Zf)
D
«r
•..
~
'"
(,1
..
,"
i:!
-~~
~.~
,""
:t
-,
~p;t
~Ti
:1:
if
1
J
,~
fi
j"- ~_._-
" -
';L:'
Segundo as no~açõe~ do AY~,te~_se,atendendo (7.25):
q = 10-ó R'
(XVIII ) = ~ (1+ 2). -1- 10 12 _ -1-' 122 li rv 1(Z -;> • '2 . 10
.'0 2r- Ko
(7.28)
~ C1+~) • ....L 10 ZlI = 0,00003 = ~. -l... 10 ZlI
ZlI lT IC4 2r "uo "0
Assim ~para o cálculo do mÓdulo de deformação pelas Tabelas do -'Y.5 I tem-
se: 'r (7.29)K •• 1\0 [1 + (XVlIl) q2 + O,00)()3 q~
I
'\
2
~
lt
8. Defor,s~cões lineares.
Figura 7
J" geod~sica 1_ I:i = S ~ representada no plano
de projeção pela curva (transforeada) de corda l...2z: 5.. Conforme se de-
monstra em GeodÉs1a, t rat.andcvse de lados nc rna.ís de ·."ri!UI5'.tl.ação,po-
de-se r:ons!.dera.T o cccp r ímen to ê.E. trür.s!or-..-é.é.c. igtUl.l ao da corda. respec-
tive. O cálc~o rigor02o da defo~açãc to~ do lado geod~sic~ prcjeta-
do é problema coeplexo. a) Para o cálculo da deformação de lados da tri.
angulação de Ia. ordem excepcionalmente lonb~s, tem-5el
-L=+K JL+-1-)K3 K2 ( B.10)-L +Kl
oooe
Kl = mÓd'uo de derorme~ão no extremo 1 do lado geod~sico de coordanadaa
Xl' Yl
K2 m módulo de derorm&~ão no e~re=o 2, do coordenadas %2' Y2
K3 = ~ódulo de de!or.:ação no ~eio do lado considerado, de coordenadas,
%3 : 0.5 (Xi + Xz) e Y3 & 0.5 (71 + 12)
No 11stema UTM ea1culam-8~ Kl'
• (7 .Z71.-- __
~ e K, por (7.29), proven1ent8 de (7.25)
••
••
i
'!t'
•••
i-_.'{
-;-:--- i
1
".."., .._.,--_._-""_.~.- .- ---
:-".'- 1.. =::-:.- I
--:-.:::--r- ~
_ .•__ ...:..::::!:..1
..'
o Pa ra o ci2..c·..:l:; da ':'e:~:)r:iJ~ç~')d·') 1:.::-:: r.·.":·).:éS1CG :'~2 onde 1. CI~ ,7,) e
(,'r. "1· .•.. ,r.:. ~c .•..c ~... rop,~n •..•• ": r:'" .•," ~Z "Z' YZ/l € nc rtaa men ...e s u•.•c i sn __ O ~""_<.,," c a ,~r:n,,-,-a.
~~ c l anoelipsóide s
i1 +i.. 2 1 1? \---1- Y +y I ?(y 1+r 1 2 2 2:r'--..J-=--3
Ou. considerando:
teo_se:
( y~ =
~ K
'-
-t, ,
;:""-:r .
C:-.J
0.5 (Yl+YZ) = 11 + O.:> ~ y
r
LI + <ri + Iz 1:, l)
(8.11)
(8.1Z)
(8.13)
- "Onde,eo (e.ll) e (8.13)\0 ~a10 ~ejio r ~~~e,e-sea latitude mecia seja,
a abcissa média x = 0.5 (xl" xZ).
De ac~rdo com as relações an~eriores:
, , ,
::-""5 -:::--=-- =-=--" Z,~r- Z H:-i Z NC . r+ 71// (8.14)
\' - -ci l'ara o calculo das de f ormac oe s de lados da s t r í angul aç ce s eie Za. e'
3a. ordens, é nornalmen te satisfa tório c ,~=pr~go ca rór:nula si.=l=1!.:i.c2.~"-:
K = r- 2L 1 + Ym ~J
d. Para ·0 emprego da tabela do &V~, tem-se:
~'oÜl _ó ....,10 t.1
10-6 p;~
i>l 500 ::JOO ql
E'
2 ".Z - :;00 000 qz
K = r , 2 ?L 1 + -t- (ql +ql qz+q~) (!.VI1I:1 f
.J
c~de, em hsrm0nia com (9.11), desprezou-se o ~êr.ncO,:~03 q4, e
(XVIII) ~ ~ • ~ 10 12 segundo (7.23)
2r-- Ko )
9. Para o cálculo das def~rmações conjuntamen~e com as reduções
res, resulta mais prático o emprego de (ti.11) ou (b.1Z). Assiml
Ei
g,
-,
1>2
[1 +
E1
},;2 - 500 000
...J......i ,2, ,,2 ,
--, -. E1+El EZ+E2 ) (XXII:J
500 000
K • Ko
(8.15)
(8.16)
(8.17)
angula-
(8.1ti)
b
'.
.,
,'"
;1
'I.
.•.
..
J
j
li -
~
tl
'I
I
1
~!~J.
'.U
~~I
',j
[:~!
o,
:i!
,
.J
I~~
~
~,fl
i;
~'&:
o!!
'~
-2' --,
011:
K = ~o [1 .•. (&;,.2 .•. +z & ,h (nnil (8.19)
Onde:
(XXII) •• --:z . ...lz • (XVIrl) x 10-12
z. • Ko
O coeficiente (XXII) não se encontra nas tabelas do AMS porém é de rácil
(8.20)
tabelamento.
y
T
Figura 8
9. Reduções angulares. Segundo a representação conforme a linha geo<1:-
, ------.sica 1.11 e representada no plano pela linha 1 m 2. chamada transfOrmada,
de comprimento prs.ticamente igual ao da cor-da 1. 2. J.. redução angular ou
\ - , , .•.mais propriamente a reduçao a corda em um ponto 1, e o angulo formado p~---- -Ia transformada 1 m 2 com a corda 1.2. Seb~o Drlencaurt 8 Laborde-Tral
t~ das projectlons de cartes geograph1ques, tasciculo 4 página 37,tem-se
para a redução angular li-' :
1 1C -.r e (9.10)If :: 2 lIeo l-
onde
C ...l.... '" curva tura da trana fOl'1U.<1aem I.S pont.o • situado a UII\ terço....,.....3
12 ,a partir de 1
8 = compr1aento da transforaada
Segundo os trabalhos de'Scho1s, • cu.~atura da trans!oluada é igual ~
alteraçio da eurvat~ra geodésica provocada pela representação con!orm.
na direção considerada. ÃnIllltic&llente, lrual também 'a derinda do loga-
rit.o neperiano do aódulo I •• relação a uma direção V normal. direção
da corda 1." ~icura 8.
,
~
'fi
,-
•de
i
í
!,__ I
-:----t-·-
':-_.-i
- - ..,::., ---
,.
c-~:-L ,h- ev K' -;v-
Ou, como K ~ .JJnafunção conhecida das cO:l::'denadasxe y, tem_se:
c _ .-L
K
<: - 'I'. ",,'.=:1L. . ~ .•. _C_ -L)
J x ev ",';"y av
Considerando t, azimute plano da corda 1.2, tem-se:
..AL. = sen. t
dV -ºLdV cos.t
Donde:
c O:...L ( JK sen t _ Jl': cos t )
K 7Y:" Jy
Considerando aprOximadamente segundo (7.27) K função apenas de y,
se: C e _...LK • ~K cos tdY
SegWldo (7.27)
dK o: J.. + ~+
6Y ~ 8 rU •
Donde:
c = ...l.... • ..:L.. ~os tK r2
Ou, considerando a curvatura no ponto de ordenada Y ...L, tem-~e,de acôr-. 3
do coe: (9.10):
cp 0:_ ,""""'-K 2 ::2 sen I"
. y-L
3
1 <Xz - ~)
onde: Xz - Xl = cost
Considerando,segWldo (7.27)
1 6----=1-
K 2
tem_se, com suficiente aproximação prática:
'fJ =-y+.~ 2 r , sen 1"
Os desenvolvimentos analíticos
\ x2 - Xl)
(9.11)
(9.12)
(9.13)
(9.1W
tem-
(9.15)
(9.16i
(9.17>
(9.18)
(9.19)
(9.20)
aqui considerados sao todos aproximados.
tor a obra fundamental de Jordan (6) ou (17).
y ...l.... = 2Yl.•.Y?
3 :3
Y...L=y .•. ~Lly31:;
Y-L=y _-L..1y
.3 111 __ 6
Considerando:
Para a dedução exata da expressão da redução ~gular lembramos ao 1ei-
(9.21)
SI
tJ
"
•• r
\
.. I ----- <1
l-
I ,
I.
I
I
I>
'"
11
1--
---:''',---
,~
Ten:._se:
- (Xz ~ Xl) Z 1 (Y, •. + Á y)
Z r sen I" •
4J
Cf = • (xZ - xl) 1 (7 - + d y)
- ? sen 1ft m
onde
1 + r!-
~
r2 = K li ••
o AMS para o cálculo da redução angular eQprega a ~órmulal
s{ = E1 - 500 000
,
&Z = Xz • 500 000
<tJ = • <1 li (2 E{ .• Z~) (XVIII) 6,8755 x 10-8
Onde:
1 12 -8~ x 10· = (XVIII) 6,8755 X 10
3 senl"
.....L = (XVIII)
[2
o6 rZ sanl"
(9.22)
(9.23)
,.
(9.211)
••.•..........•••.....•.•.•••••••••••••...••••.••••••••.•••••••••• (9.25)
Resul ta mais prático) para o cálculo, tabelar o coeficiente:
1
(XX) = Z r.2z r o
-L- = (XVIII) x 10-12 .....l.-
seu 1" sen 1"
Donde:
ljJ = - (NZ - li1) (IX) (E~ - + A E)
OU:
-lf :c - (R2 - 1'1) (XX) (Ei .• -t.d &,
(9.26)
(9.27)
(9.28)
---:1:- __
DO M';I Me SRrtV;CE
axTIGO 111 - 6PpCAÇ~!tS P!ÚTIC.c:; De :;:STEW. U-1'I'l- f:{PJdço D,tS 1!BELAS
Figura 9
10. Generalidades. A figura 9 ~ostra a situação de um ponto L de coord~
nadas geográficas ~ e Á , a leste do meridiano central e no hemisfério
sul. Para facilitar os cálculos práticos a DSQ está editando um extrato
das tabelas do Army Map Service (~S):
Ál".s _ TM NQ 6
J.MS _ TM fiD ~8
Generalidades
••
CálcUlO das coordenadas planas em função das geográficas
Cálculo das coordenadas geográficas em função das planas
Cálculo dos azimutes planos em função dos e11psóidicos e Vice •.,
versa •••••••••••••••••.••.•.•••••.•••••.•.•••••••••••.•••.•.••
Cálculo da cODverg~ncia lIIeridiana•••••..••.....••...••••••.•••
Cálculo das reduções às cordas ••••••••••...••.....•.•••..•••••
Cálculo dos ~gulos planos em função dos e1ipsóld1cos •••••••••
Cálculo de dls~cias planas em função das elipsóld1cas e vice-
ve rsa •...................•.....•.......•.......••...•...•..•.•
E~tlo,. O
---- 4
I T I
I I
I t_
I I ,,_
I ISK. I I
~
If I.••.• I I I
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I. G 1 I I~l--~ :
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••
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Volumes I e II
Parágrafo
10
11
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13
14
15
16
17
t;
~:
,
i,
!i
";.~:
"I
,
!
f
I
!
!
~
~' ,
!~.
~
Pret.ende também reeditar as Tabelas Auxiliares do Capltão Chr1stovio.
Os exemplos práticoS que apresentamos,tanto no cálculo a aiqu1.Dacomo no
cálculo a logar1 tmo, são baseados nas tabelas do AMS.
C>
(J
'J
'iI
.,
r=t
'I~
~
D
,;
-;z, __o
I
I
i
Ii,
_.:> _...
Na figura 9:
r = p~ da perpendicular baixada do ponto ao meridiano central (ponto de
latitude Ifl ou 'f')
L G c paralelc de latitude 'f (latitude do ponto L)
n1 ~ mericiano geográfico (verdadeiro) do ponto L
O a origem do sistema de coordenadas retangulares pl~s (encontro do
equador com o lIleridiano central)
OG = B & S = arco de lIIeridiano que vai do equador ao ponto. Jas tabelas
do L~~,~ o arco verdadeiro (5) multiplicado pelo fator de escala (Ko) e
representado por (I) = SKn
l-i; = norte da quadrlcula ou de carta
C •..coo'lerg:ncia meridiana no ponto L
As coordenadas planas do ponto L são:
Distância ao equador (aDeissa) N'
Distância ao meridiano (ordenada) E'
E' ; positivo para pontos situados a este do meri~ano central e, negatl
vo, para pon~os a oeste
fi' é positivo para pOútoS situados ao norte do equador e, negativo, ao
sul
Nas tabelas do j,}!S E! ll' lá resul tal:!mul tiplicados pelo fator de escala
Ko
Para o cálculo das cocr-cenacas nnturau;, tem-se:
Y '" g" = g' -+ r.o
x :; N" = N''';'- Ko
Para evitar coordenadas negativas, atribuem-~e aee e í xos de coordenadas
as constantes:
ao equador: 10 000 000 m (nemisf~rio sul)
ao meridi811o: 500 000 11
ASSim, para calcular as coordenadas positivas ou de quadrícula, tem.se:
E • E' + 500 000 (ponto a e;te do meridiano central)
E • 500 000 • g' (ponto a oeste do meridiano central)
B ao If' (pontos ao norte 40 equador)
• •• 10.000 000 _ li.'(pontos ao sul do equador)
-. -~--
TUdO, porque, p81á"~- ~tabelas do J.X5, !' 11 '. ruul tem 8ft Talor absoluto.
~•
t
&
!
"-I
.i
:j
~'-Ií-~---J
~
.~'
Para verificar à simples .ist& se o ?onto está & este ou a oeste do aer,1
diano central, tSlll-se,considerando 1.0 a Long ; t\\Ó.edo meridiano centra'
e Á , a do ponto:
Á'?J..o, ponto a oeste, s ", negativo
Á ~ J.. , ponto a oeste, E', posltlVC
o
Para efetuar certos cálculos com as t~belas do A}~, tem-se que passar
das coordenaàas positivas às coordenadas alg~bricas S' H'. Neste caso:
E' = g _ 500 000
N' = 10.000 000 - N (hemisfério sul)
Quando:
E > 500 000 ponto a es~e, E' positivo.
E":: 500 000 ponto a oeste g' negativo.
Comumente, para o emprego da tabela L~, necessita_se de E' e N' apenas
em valores absolutos.
, -, )'11. C~cul9 das cooràepadas planas em junçao das geograficas. a Calculo
a máquina. Segundo (4.47).
i
~1,I
.!j
; I
Li
N' -
g' =
1'2 [ (lI)
P [(IV)
p2J
p2] i1
r; = 10 000 000 li' (h.sul)+ (I II )
+ (V)
(1) + + 1..6
+ BS
:1
Ij:
ij.
111
1!:
"1
-I
500 000 !. R's
No cálculO, consideram-se pos1tivos:
<f , 6,( e p = 10-4 x A"
resul tando I E; N~ positivos
Para calcular E, N, tem-se que levar ~ conta os sinais de ~: N!
1 tabela do AMS dá em runção da latitude (considerada positiva) os valo-
res dos coeficientes:
I
~I
::
i:;
!l-
i-I
i:;
i~_l
tf.
"liIr
I'
il
11
liI,
ij
II
1
(I), rn i , (Ill), (IV) e (V)
, .e, graficamente, 05 termos:
1.6 e B5
1 interpolação dos valores de (I), (11), (111) e (V) ~ l1near; a de (IV)
~ fdta peLas ~gundas d i f'e rença s com alLXÜi~ do gráfiCO da tun«ão .t.2
(IV) •
Para calc~ar E, N, com as aproximaçõe~ de 1m, O,lm e O,Olm,tem_se que
calcular p e p2 de scôrdo com'a tabela abaixo
~
!to
<)
'J
'11
Q
'.
I::
r ,
I
1·
ç'
"
".!
~j
:1
".;:
">,
li
ii:1-
[H~ll,~
f~-''ll~ '-
~
--JC --
Precisão p pZ
1 11 6 dec. 5 4ec.
0,1 • 7 dec. 6 dec.
0,01 IZI 8 dec. 7 dec.
Para o e~cu1o dos têr=os: (111) p2 e (V) p2
~ geralaente ~1c18nte cons1derar p2 com cinco decimaisl
O) Cálculo das coordenadas planas do v~rtice de Ia ordem Quilo:nbo) da
rêde geod;slca do Rio Grande do Sul.
8' ., O) • p2 [(II> + (III) lJ + 1.6 ; E' = p Ü1V) + (V) pzJ.•. BS..
Ponto Q1Úlombo ..( 5~0 57' 49'.!908
'f 290 34' lt9~457 Á. 51
'f. 29 34 L1.< 20 57' 49~908
~cp 49~457 d" 10 669.908 ~
p2 1,138 4694 p 1,066 'J9 030
(III) 2 253 (V) 54 436
I (rn 3 2.19 h27 (IV) 269 041 621
rn n pz. 2 565 (V) p2 + 61 I '174
3 2Zl 992 I 269 103 595[] []
(I) 3 273 3"39 565
p2-(J 668 139 p[ l' zB7 131 060-
~6 + O OOZ BS - O 007
J' 3 276 007 706 I' 287 131 053
+10 000 000 000 500 000 000
I 6 723 992 Z9 & 21Z 868 95
(2) Cá1.culo doa coefic1ente ••
O arguaento para o cálculo4.a /1.6 é 4<.'/'- - ,(coda graduação à eaquerd.&. do
.uporte da escala.
Os--arrumento.a para o cá1.eulo de B; .ão:a 'lat1 tude dada e a diferença de
longitude .6,.1., aabas conaide1'a4&a '.ó até o lI11nuto. 1 .ilIp1e, viata eat1-
--ll _
~&Q-se a vertical correspondente ~ latitude e a inclinada correspondente
li ÃÁ... Para encontrar BS segue-se a horizontal passando pelo encontro de~
sas duas linhas. lio cálculo de (IV), tiJ-(IV) é de sinal contrário à 4f-4
Valor tabular Dif - 1" (G )
~
~
I
1J'f't.
(I) I ·
+ 30,778703 270 817.343
1 522.222
3 272 339·565
~
~
,
II 3.218.503 I+ 0,01869'/:''f4 + 0.924(II) 3 219.h27 I
! I
Ir1 2.253 0,0
rm: 2.253 .
IV 269 078.043 I - 0,73649
IJCfA. - 36.424 I
".6 (IV) + 0.002
(IV) 269 041.621
V 54.487 I - 0,00103
JIfÁ - 0.051 I
I(V) 54.436
·6 + 0.002
B5 - 0.007
",'
',j
I{J
<t-
~
,I
j
J
t ~
li!;
[:
,.
b. Cálculo a logaritmos. Para os cálculos a 1o •.aritmo o SGB possue as T~
belas Auxiliares do Capitão Cristóvão. E= todo o caso, êste cálculo pode
ser feito COl!! re1at1'ra fac1l1dade com auxilio das tabelas do AMS para os
c~culos a máquina. De (4.ll7) resultam:
19[W' - (I) - A6] = 2 19 P + 19 [ (lI) + (IIl) p~
19 (E' - B5) = 19 P + 19 [(IV) + (V) p~
Ou, segundo (8)
r 1 (-'T) 2 r19 I N'-(I)-A6j = 2 19 P + 19 (Tl ) + ,{.A-L.~ p -,~ LL (lI) 2
(11.10)
2
(TIl( p~
(ll.ll)
. *:;
f'
.;,;
. __ . :J.3 ~-_.
/ ,J
í
1~I
. q219 (& - õ
5
) = 19 P + 19 (IV) +,..J..Y.L p2 _ ~ [..íY.L p2
, (IV) 2 (IV)
Ou, consil1erando :
~
~'
(lI!)
(I I) •
r. 1 '"" -, :7
19LNl.(!)-.l6j = 2 19 p+lg L(II)+(III) p':::'J; 19(9'-B5) = Ig p+lg [(IV)+(V) p'j
Ponto
I
Quilombo
/..
I 530 57' 49'!908!f 29° 34' 49';1.<57 1.. 51°
!.f.
I
29° 34' (;,( 20 57' 49':908
dÁ "âtp L!9~!l57 10 669.908
P I 1,06ó 9908 I 19 P 0,028 16 067
(:::r1) í 2.253 I (Yi 511.436I
19 (!Ir) I 0,35 276 I 19 (V) 1,73 589 II2 19 P 0,05 632 Z 19 P 0,05 632
19 (IIl) p2 0,40 908 I 1& (V) p2 1,79 221
(ÍI) 3 219.42.7 (IV) 269 OUl.621
.(llI) p2 2·565 - (V) p2 61.975. ,
269 103.596[] 3 221.992 [ ]
r
19 [ ]
~I
3,508 12 446 19 [ ..J 5,429 91 950
2 lI! P 0,056 32 136 19 P 0,028 16 067
19 t J p2 3, 564 L,~ 580 19rJ'·p 5,458 08 017
(1)
I •
3 272. 339.565 I
p2[ J _I3 668.139 pC ..J 287 131.060
A6 + 0.002 ES - !XJ7
Ji' 3 276 007.706 E' 287 131.053
10 000 000 00
I
500 000·00
N 6 723 992.29 E 212 868 ·95
p2 = X
(11.12)
UL.- p2 = r
(IV)
Tem.se:
19[1l'-(I} l ' 2Á?] = 2 19 P + 19 (II) + ~x - -!-,,<A-(X)
(ll.13l •
~
~-- ... •r. ~I:
p
&J
:
..~ -
I •
4 t~
,..
a--_
16[g. - B5] = 19 P • 19 (IV) +~y _ +ÁA-ly)2
(1) Cálculo c.as coordenadas planas do ve rt í ce àe Ia orden Qui10mbci
~;::.~~--;';--
()
.\
" .,,
I
I
i
I
" I J
I
1
1
--:H---
(1) Cálcul.o dos coeficientes:
I 32.70 817.343 + 30.77870
19.i <f 1,694 2278
19 fi 1,U88 2503
~" Â 3,182 4781 1 522.2.22
(I) 3.2.71 339·565
II 3 218.503 • 0,01 869
19Áf. 1,69 42.3
194 8,27 161
491 4 9,96 5aa + 0·92.4
(II) 3 219·427
II! 2.253 0,0
(lU) 2.253
\
IV 269 078.043 - 0,73 649
19 Lllf 1,694 2278 .
Ig A 9,867 1169 n
6!f to 1,561 3lm7 n - 36.42.4
(IV) • 0·002
(IV) 269 041.621 I
V 54 4B7 - 0,00 103
1~4tf 1,69 42.3
19 li 7,01 2B4 n
f.'f .Á 8,70 707 n - .0 51
(V) 54.436
I,
i
<
~
.J.
--~--
, , - '\ ,
12. Calculo das ,o?rsienadas geQgrafica: \I; !).IjC/lO das plana!!. a) Caleulo
a máquina. Segundo (5.23):
2, " 'f = 'f' fi?,
.6tlf :: ti [(VII) - (VIII) q2J - D6 ;
1." ., q [( IX) - (X) q2J + E5 ,.( = '<0 !.""
q :; 10-6 X 8' 8' ,. 8 - 500 000
Para ° emprego das tabelas do AMS, consideram-se:
df, y e q, positivos
sendo o cálculo ~e~to sem levar em conta a situação do p~nto em relação
ao meridi~~o ce~:ral. o argumento para o cálculo à~s funções (VII),
I
(VIII), (IX) e (;::),é Il latitude'f (ou'f.) do ponto F, figura 9, por cOll,
seguin,tEl)éa. latit".ldedo ponto cuja abc í ssa ~
misrério sul). 4ssim:
N' (N' - 10.000 000 _'N ,h~
N' :; (I) = Ko S
i .Para calcul.ar ~ , te~-se, considerando 1, o valor tabular imediatamente
menor que N' e que corresponde ~ latituáefa e cuj~ diferença tabular pa-'
ra 1" é LI:
I{)=fo·álf
~It'= !f' - 1, ~
A interpolação dos coefieientes é linear, exceto a de (IX)
pelas segundas di~ereDças, com auxilio do gráfiCO da função
que é feita.,
.d (IX).
Para calcular ~ e Ácoc as aproximaçõos de 0,1", 0,01" e 0,001" respectl
vamente, te~-se ~ue calcular p com o n~ero de decimais indieado no qua-
dro abaixo
Precisão
;>
q
I
q-
0,1- 6 dee. 5 dee.
0,01" 7 dec. 6 dee.
0,001- a dec. 7 dee.
(1) CálculO das coordenadas geográfieas do vértice de 1& ordem Quilombo
!
'\
Ir
,
~'
<J
q
"
.•
I,
..
f.j ~
a:•r
l.v_
-.:;6-
[ dC/' D6
~ ?7é,,:: q L (IX) - (X) q':J + &52-Z [(VIU-eVIIO qj
I
Ponto ,",ullombo
& 2.1Z 868 95 ti 6 723 992 29
!t' 287 131 05 N' 3 276 007 71
qZ 0,082 441: 2b q 0,z87 131 052
(VIII) 17 6L! (X) I 251,303
(VII) 1 447.006 (IX) 37 181.107
(VIII) q2 - 1.454 CX) q2
I
- 20·718
[] 1 445.552 r , 37 160-389, - "'
2- ri
q C J' "q [ J 119.177 10 669-901--
D6 - 000 ~ + 0-006- "4'f' 119.177 ..1Á 10 669.907
~<f 00° 01' 59:1tt (;Á OZo 57' 49':907
'f' 290 36' W3~635 Á 510
1
'f 29° 34' 49~458 Á "530 57' 49.907
(l) Cálculo dos coeficientes:
, L, . I
O argumento para o calculo de..:l(IX) e-os segundos da latitude 1f. O Vb-
lor de .:j<-(IX) ~ negativo pOlsl~r.1 é positivo.
, , , , .•
O argumento para o calculo de D6 e q; o valor tirado do grafico e positl
vo (negativo na f~rmula). Os argumentos para o cálculo de 85 são:a lati-
tude 'f' e q, À sl!1lp1esvista estimam-se: a vertical corr-e spondente a ~ (8
a inclinada corresponde a qj ~ h~rizontal passando pelo encontro dessas
linhas fornece &5'
i
i
!
!
!
~
~
!
f
!
I
!,
I
I
I
1
t,
I
I Valor talTular Diferença l- I
1 3 274510-792 + 30,77887
li' 3 276 007·no
N'_I + 1 u96 ·918
f· 290 36' .1
~'P wr 635
r' I 29
0 36' 03'1635
l":I 1 Lú.l6.216 + 0,01625
4tfl. + 0·790 I'
(VII) 1 41.;7·006I
(VIII) 17 64 I
IX 37 176.153 I + 0,10191 II
Arp t.-. + 4.956 I IiÜIl - 0·002 , I
(IX) 37 18:.107
I 251.162 + 0,000 290
IJcç f:, + 0.141 I
(X) 251 303 I I
I
D6 C.000
&5 O.Ci06
b. C~culo e. 10ga:-1tlllo. De (5.23) resultam:
19 (Jy+ D6) ::: 2 19 q + 19 [ (VII)-(VII1)
19 (61\ - &5) ::: 10; q + 19 [(lX)-(X) q2]
Ou, segundo (9)
19 (Ar. D6) = 2 19 q • 19 (VII 1 .l.Yllll rtZ -.Aé=-
~ 2
q2]
(12.10)
2
[lfWr+ q2] (12.11)
2U.L q2]
(IX)
1, (.d,(_ &5) ::: 19 q + 19 (U) _,---.lll_ q2 -~ [7{l'X"f'" Z
(1) Cálculo das coordenadas geográficas do vértice Quilombo
<S
(í,~
'-It
~
.,
~I I
~ i
--3!!-- --- JS- __
'lg(4!f+D6) ,. 2 19 q+1g [(VII).(VIII) q:J I 1,CdÁ-!5) = 19 q+lg [eu)-cx) qZ]J
Ponto Qu11ombo q 0,287 131052 I& 212 868 95 11 6 72.3 992 29 I,
287 131 05 ,
3 276 007 71
g
ti'
I
(VIII) 1 447 006 I (X) 251 303
li: (VIII) 1,2U650 I 19 (X) 2,4002019 q2 8t91616 Ig q2 8,9161619 (VIII) q2 0,16266 I 19 (X) q2 1,31636
(VII) 1 447.006 I (IX) 37181.1°1(VIII) q2 . 1.454 I (X) qZ 20·719[] 1 445.552 I 37 160·388[ ]
19 [ ] I3,160 0)372 1;; [ J 4,570 08024
19 q2 8,916 16032 19 q 9,U58 0801619 [ ]q2 2,076 19404 Ig [ J'q 4,028 16040
[ Jq2 I' I ,I119.177 q 10 669 .901D6 0.000 85 + 0.006
00° 01' 59". vn éJi "1 1J.'f 10 669.907j 'fI 29° 36' W;".635 U: oz? 57' 49". 907i
J 'f 29° 34' 49r..458 -< 53° 57' 49-, 907
:J Ti qZll
(2) Cálculo dos coef1c1entes:
,
(1
~{4
!
i
I
-Óe
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I19 C '1 1,686 94 53
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ep' I 29° 3ó' llB~ 365
I VII I 1 44ó,216 + 0,01 625
19 "'f. 1,68 695I
19 4 8,21 085 I tcl T ;\ 9,89 180 0.790
(VII) I 1 447,006
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I Figura 10
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13. Cálculo de azlmutes planos e~ !ynção de elipsóidicos e vlce-versa.
O azimute elipsóldlco (geográ!ico ou verdadeiro), de uma direção; o ~~
gulo formado pela direção com o meridiano verdadeiro (geográfico ou geo-
désico) do lugar, ;ste ~gulo é contado de 0° a 360°, a partir do norte,----- ...- -~-_.- .._- •.._- -. -'-- ._-
a no sentido do movimento dos ponteiros do relógio (no caso, NE 50). Nas
A ------_ ----- - - - ~--.--- --.- -- -'-'- --,------'--#---
redes geodeslcas, no ponto crlg~ (datum), ° azimute elipsoidico e o azl
mute astronÔmico diretamente observado, da me~a maneira em certos pon:
tos de cor.tr;le (pontos de Laplace). Nos demais pontos, é o azimute
Em Astronomia Geod~slca e emastroaômico, transportado através a r~de.
certos cálculos geodésicos, consideram-se os azimutes & partir do sul,no
sentido SO NE. As direções elipsóidicas observadas (lados dos triingulos
geodésicos) são linhas geodésicas, portanto, as projeções no plano ~.
(da car~a) serão geralmente curvas, ch~das transrorma~as. ~ssim, flgu----_.--
ra 10, a representação do lado geodés1co 1.Z será a curva 1.2, de corda
1.Z. Para lados geodésicos comuns, pode-se cons1derar o comprimento da
corda igual ao da transformada. A transformada forma com a cordh, figura
10, em 1 o pequeno ângulo o/,~e em 2, o ângulo 't'Z.l'pouco diferente de ••
'1"1.2' O ~gu1o ~ chama-se r"?dUç8.o IUlCular ou, mais propriamente, n~
À 52$. ,
Considerando. ficura 10:
oC: a:lmute ellpsóld1co do lado 1.2
nlS c representação do merid1ano verdadeiro de 1
NQ c norte da carta
1•••5e:
-u-
;;.
Chama-se azimqte geodésicQ pr01etado C!) o ângulo formado pelo norte da
carta com a transfor:ada do lado geodésico considerado.
Chama-se a;imute ~ C t) (azimute U'rM I de auadrlcula ~ ~~) o ~
gulo que a direção NQ faz eom a corda da trans~ormada do lado co~ider&-
do. Essas direções contam-se a partir do norte e no sentido NE SO.- ..•.•...
Chama-se convergB.ncia merid1ana (C) o ângulo formadO pela representação
do meridiano geográfico com o norte da carta (NQ), no ponto considerado.
,j.ISim sendo:
T1Z c azimute geodésico projetadO do lado 12, ~igura 10.
~Z c az1mute plano àa carta 1.2, figura 10.
Tem.se:
I
!
~
~2 - T12 = 4'12 (13.10)
E, da mesma maneira
tz 1 • '1'21" <fZ.1 (13.ll)
Como a projeção ~ conforme, isto é, conserva os ângulOI, o azlmute geodi
sico CoC) é também igual eo ângulo !o~do pela representação conforme
do meridiano geográfiCO de 1 com & transro~~a do lado geodésico 1.2,
considerado, rl~a 10. Assim:
.d:
T12• 12 t. C ~13.1.2)
ou, considerando o azimute elipsóid1co a partir do sul I
TIZ • oC12 ~ 1800 ~ C (13.13)
E, da mesma mane1ra:
• ~ = TU + 'fi2oa + C= 12 (13.U)~2
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lI..:. ~áJ.("'.lJ.o C-~é. ·~on-\·e!'~;r::ia r.-Ie::~iéL"1f... 2.. J... con)"err;enc::: zie r i d i an« p0C,€
ser calculada e~ f~~~ã0 das coorder~das ,gecgra.!'icas 0"11 da s ?l~ê.s, c cz ª-
prôx1rnação de !:. 0,01" pelas f~rrnulas (6.25;:
c
P [(XII) + (XJ:II) pZ]
q [om - (XVI) q2 J ...F5
c .•.C5
Ó>
" convergência C resulta co cticulo pelas r6rmulas do A.1o\S eo va.}?r abso.,
luto. Na f~:rnr..ua:
t12 =-x!12 ~ C .•. lf'12
para o cticulo, com precisão geodésica, do azimute plano e~ f~.~ão
geodésico, como mostra a figura 11, C ~ positivo para pontos a este
do
çio
meridiano central e, negativo, para pontos a oeste, tudo no heoisfério
sul. Ao contrário, na fór:nula:
oC12 = ~2 :. C - 'f12
1J. (1l.!.10)
para o cálculo do azi~ute elipsóidico ~ função do plaLo, isto ~, c é n~
'~
gativo para pontos a este do ~eridiano central e, positivo, para pontos
a oeste.
b! Cálculo a ~áquin~ em função das coordenadas gaogriticas
(1) C~lcuJ.o dos coeficientes:
[
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I XII
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i (XII)I .
• I " (XIII)
C5 I .•.
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(2) C~lculo de co~vergenci2.:
~ - ~ [rX1T) + IX··I) pzJ ...Cv -:-' \ "'- - \,:...1.. 5
I
I A. I 53° 57' 49~908Ponto I Quiloabo i
'f j 29° 34' 49'~457 1.0 I 51° Ir., 29° 34' 61.. I 2° 57' 49~908 I
49';457
, , ,/
1J'f L~ i 106D9.908, !
p 1,066 9908
I
p2 I 1,13 847
II(XIII) ,2.970 c'" ... 0.002.I
I
(XII) . 4936 .445
(XIII ),,2 3 .381
[] 4939 .826
«t: ] 5270. 749
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Cs i 0,; 00e: I
c I 5210·751 I
C I o:o 2'71 5011751
i ,f .' I
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~. Cálculo é log~ri~os em fur.Ç&0 da~ coo:denQd~s b~c&=ã~lcas. Segundo
(6.25) :
19 (C - C5)
Ou:
19 (C .: C5) :: 19 P .•. 19 (XII)
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Ir, p .• 19 [ (XII) + (XIII) (lU.ll)
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19 (C-C5) •• 19 P .•. 19 [(XII)+(XIII) p:]
Ponto Quilanoo fi. )3° 51' 49':908
t.f 29° 34' M'!457
/.
6 51°
fo 29° 34' U 2° "1' 49'!908
ÃCf (JÁ. 1149~451 10 669,908
p 1,066 990 80 p2 1,13 847
(XII) I 2.970 19 [ ] 3,693 7117
1& (XIII) 0,47 216 19 P 0,028 1607
19 p2 0,05 632 19 [J P 3,721 8724
19 (XIII) p2 0,52 908 P [ J 52 70~750
(liI) 4936,h45 C5 .•. 0,002
(XIII) p2 3,381 "C 52 70,752
[ ] 4939,826 C 010 27' 50~75
d. CálculO a mÉ.qw.naem função das coordenadas planas:
c = q [(IV)-(XVI) q] ~ F5
Ponto Q1lil=bc I
ri 290 36' 48~635
g 212 868,948 N 6 723 992,290
C' 281 131,052 N' 3 276 007,710
q 0,287 13 11 q2 0,082 44
(XVI) 1981 '5 + 0,005
(rv) 18 372,930
(XVI) q2 - 16,331
[1 18 356,599
q 52 70,750
'5 + 0,005
c 52 10,755
c 10 21' 50'!16
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(1) o argumento para o ~Rlculo dos coeficientes (XV) e (XVI), é e 1at1~
I' ,de 'f do pe da perpendic' .l.cr baixada do ponto ao mel"idiano central (ponto
F figura, 9). A lat!tuàerF ~ calculada eia mesma maneira que !li. transfor-
mação de coordenadas planas e~ geográficas.
(2) À interpolação do coeficiente (XV) ~ linear, c do (XVI), & s~les
vista.
e. CálculO a lagari tmo em função das coordenadas planas. Segundo (6.25)
(14.13)
19 (C _ F,) = 19 q + 19 [ (XV) - (XVI) c1J
OU: 2
19 (C-JI'5) = 19 q + 19 (XV) _;<A.JLlll <;.2 - ~ [ unl. q2J(XV) 2 (XV)
(l4.l1JJ
19 (C _ "5) • 19 q + 19 [ (XV)-(XVI) clj
Ponto I Qui1ombo p' 29°36' 48~635
g Zl2 866,948 li
6 723 992,290
R' 287 131,052 N' 3 276 007,71
0
(XVI) 193.1 q
0,287 131 052
I
19 (XVI) 2,29 6S8 19 [ J I 4,263 79 22
19 q2 8,91 616 19 q
9,458 08 02
19 (XVI) q2 1,21 304 1& [ Jq 3,721 87 24
11
(XV) 18 372,930 r Jq 52 70,750
(XVI) q2 I - 16,332 '5 + 0,005
[ J I 18 356,598 C 010 27[ 50':76
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Figura az
~"
<1>,••
(14.18)
-\1:
f. C~culo dú ccnvergenciB oeridiana para ~i~s tcpogr~~icos. Em cer~as
0"
aplicações militarestem_se que traçaT P2 carta direções de azimutes di-
reta!l1ente de termí.nadas no terreno ou, ao contrário, conhec í da a direção
na carta deseja-se o azirnute geográfico ou verdadeiro. Na figura 12,1.11,
é uma direção do terreno de azimute astronô:nico ou geográfico conhe cí.do
e 1.2, a correspondente direção na carta. l,este caso te::-se,CO:!l sur í ci an;
te aproximação prática:
T12 -;:;:;t12z cC12 :t. C
Para o cálculo de C, tem_se:
( Cf :::, O) (14.15)
.:!.< sen 'fc = p (XII) (14.16)
c = q (XV) (l4.17)
onde ,ó 'f, if, q e C são considerados em valores absolutos. A convençao
de sinais da convergência c, é a estabelecida no it~ ~ deste parágra-
Em (L4.17) pode-se empregar em lugar de q = 10-6 X E', a ordenadar~ fo.
E' s 500 000 _ E, do ponto considerado:..
<'IJ , -6 ~,-=- . E' = (XV) Ã 10 . b
Ko
c = tg <f
N senl "
Considerando, grosso modo:
r=VMN::::t/
tem_se, co:n aproximação, um pouco IDenor que (14.18):
t,g <p -+ E'C = senl " "or (14.19)
onde r ~ o raio m~dio no po~to de ordenada g' e latitude r
I'
Ponto
I
Quilombo ! 530 57' Lt9~908
'P 29° 34' U9~451 -<D 510
ó'< I ,.' •2° 51 49.908
tr
I ÁÁ 10 669.908
g I 212 868,948 &' 287 131 052I
I
C :;: JÁ sen cj C = (XV). 10-6 • 8'I
! I (XV) 10-6 I 0,018 312 930i sen 0,"9' '" 45 I II C I 52 67" C I 52 75"
C 1° 27' 41" , C 1° 27' 55·
C ~ 1° 28' I C -;::;::,1° 28'
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(VV)r...h., (XX)
9 900125 542
9 80°125 542
9 100 25 542
9 60°125 540
9 500i25 540
9 400125 538
(XXII)
123 83
123 83
112" 8-! " ,
I
1123 82
123 82
123 31
1123 81
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Figura 13
15. Cálculo da reducão à corda. a. O valor da redução à corda (ângulo~)
é necessário para a transformação de aZ~Jtes e11psó1dicas em planos e
vice-versa, e para a transformação de ângulos elipsóidicos em planos UTM.
O primeiro problema é raramente utilizado em Geodésia Prát1ca,porém o s~
gundo é de empr;go freqüente.
Para o cálculo das reduções à corda, em lugar das rórmulas do.AKS (9.24)
empregamos (9.27) isto é:
li) , , Ar 12 :: tu - 1'12 =. s 11 (~ - '"6 •..E) (XX)
(15.10)
!f21 = tzI - '1'21 '" + li f. (!:~ + 7- Ã g) (XX)
.l t.abela do coeficiente (XX), segundo (9.26), não consta das tabelas d'o
AKS. Junto, encontram-se as tabelas dos coeficientes (XX) e (XXII) para o
cálculo das reduções angulares e deformações lineares.
b. tia prática, geralmente quando tem_se ~ue calcular a~ red~ões angula-
res e 85 derormações lineares, não se conhecem, pelo menos, as coordena-
das de um dos extremos da linha considerada. Tem-se assim que calcular
as coordenadas planas aproximadas, seja gràricamente, seja por meio de
um ~álculo prd~1nar. Para calcular ~ COlll a precisão d. 0.01-. é suti_
ciente eonh.cer as coordenadas aprox1mad.as com a preoisão de t. 10 .e-·
tros.
c. Cálculo a máquina da red~ão angular da direção de la ordem Bonito..!'1
nhe1roa
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lf'lZ .1N (~ - -+-..1 E) (XX)c i 4}2.2. + 6 N (~ + + Á E) (XX)c
1: Bonito 2.: Pinheiro
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E::> I 267 173 i 1;2 I 6 61Z 630
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SI I 270 104 I N1 6 6Ll9 917
AE . _ 2.,93 Km I Â!; - 37,29 Km
E~ _ 232,83" '(D.) 25 454 x 10-7
Ei 1 - 239,90" I /. li (Y.x:) - 0,094 918 \'
~ 1
1
_ 231,36 Y.m I ~ - +.11 E - 230,87 Km
I 't : I
II ~ ,'",-,- ~.6 E :>31 85 v s, 'I o D::.. ,- o,ü9 ; ~ + b - -, I\.JQ I
I \í'n I + 22~01 I ':-\2 I - 21.';91 I
(1) CálculO dos coeficientes. O ar~~~n~c par~ o c~lculo do coeficiente
(XX) pela tabela anexa ~ a abc t ssa médi'a 0.5 (Hl+N2). em q.l.U;metros. es-
sim: K = 0.5 (6613 + 6650) 6631 K:n
As coordenadas Ei e EZ devem ser expressas at~ o eentésimo do quil;metro.
, ' ,Deve-se notar que, contrariamente aos de mais calculos pel~s !o~ulas e
, - "tabelas do AME, no calculo das reduçoes ~~gulares, El e E2,figuram com os
re spec tí.vos sinais pc'í s ç a f6r:::tllafornece {.f' em grandeza e sinal.
fa'OQGor
l ( ; i 2; I'
'" I ; " l,,' I I \
, ~i----~t:C~--i~ ,
//7'( 11' i IV' ~S \ I : I ..•.,
'.1 l .,
.Figura 14
~"-'
Como mostra a figura 14, a
concav1dade da transformada está sempre voltada para o merldiano cen-
tral. Ás reduções angulares aão máximas par& lados na direções N-S e, =1-
mimas, na direção E-V, como mostra a figura 14. O quadro abaixo mostra as
reduções angulares máximas para lados de Z & 15 Km e &taatamentos at~ 3Q
do meridiano central.
d . CálculO das :-e1uçõescr.gulcres a lq;<l:-i0110
,
<I'
! <t\Z = - lI:/ (E~ - +.6 E) (XX) j crzi " + Â ti (l!:~ + + Á E) oco
11 Bonito ZI Pinheiro
IsZ 267 173 52 6 612 630
~ 270 104 !lI 6 649 917
ÁR - 2,93 km t Ali - 37,29 km
B' _ 232,83 li 19 Á li 1,57 159 (+ ,-)2
&{ - 229,90 " 19 (XX) 7,40 576
~ - 231,36 " 19Á li (XX) 8,97 735 (+,-)
+ÁE - 0,49 " 19 (~ - +AE) 2,36 337
E~ - +A g - 230,87 11 l'g (~+ +ÁE) 2,36 52.1
E' + ....l... .6 B - 231,85 km 19 If'l 2 1,34 072m 6
(XX) 25 454 % 10-7 'lglf 21 1,34 256
4121 + 22':01 4112 - 2.1~91
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e. Observações sôbre as reduções angulares.
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5m 1,Z· 2,5" 3,"- II
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Figura 15 TI
~ 16. CálculO d05 ângulos planol! em funcão dos ellPsói41eos. Como a proje-
;; - ' . .'~ çao àe GausS e r~gorosamente conforme, os angulos elipsoidicos observados
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sao iguais aos ângulOS formados pelas transformadas dos lados geodésicos
no plMo. de projeção. ,"ssim, o ângulo n'!', figura 15, é igual ao ângulo
el1psÓidico formado pelos l.ados geodésiCOs 1.2 e 1.·3. No plano do proje -
ção, de representação, ou da carta, consideram-se, em lugar das transfor-
madas, a! cordas respectivas,' figura 15~ Para transformar ângulos e1ipsó~
dicos er:ângulos planos, tem-se que reduzir as direções observaàas (dire-
ções geodésicas) ~s cordas das transformadas dessas direções. Em Topogra-
fia de detalhes as direções observadas podem ser consideradas como pla-
nas, representando-se, assim, diretamente no plano, os ângulOs observa-
dos. O processo geralmente empregado na medida dos ângulos em Geodésia e
Topogra~ia é o das direções. Segundo as relações anteriores, tem_se,figu-
ra 15:
Direção plana [ 1.2] : Direção e1ipsóidica (1.2) + ~1.2
(16.10)
Direção plana [1.3] :::Direção el1psóidica (1.3) .• CJ.I1.3
(16.11J
Ângulo plano 3.1.2 '" [1.2] .- [1.3J :::(1.2)-(1.3) + ~12 - .4113 (16.12)
onde (16.13)
Como ae
r., 't'12 - <fi13 :::redução angul ar
reduçÕes is cordas são caleuladas em grandeza e sinal pelas
fórmulas (15.10), de um modo geral tem-se, considerando o sentido da gra-
duação dos ponteiros do relógiO:
redução anglllarJ:: tf (~ direita) - 'f (~esquerda) (16.lli)
Asaim, .e~do a figura 15, tem_SOl
J1 • 4'12 - '1'13
d2 = c,J23 - CjJzi
d3 •• <ti31 - <f32
(16.15)
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<.J = - [(e::cesso eSférico)
Em lU] triângulo qualquer 1,2,3, figure 15, tem-se:
no 1:ri~"1(;u2.oelips6id1co: 0'-:':+ /3 + c = 180 .• E. .• I(
.... (16.16)••. , r; - _no 1:riang\llo no plano UTM: (,-{~ Ó
l
) + (':+c
2
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